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ISTITUTO TECNICO SECONDO BIENNIO

TECNOLOGIE E PROGETTAZIONE

Rappresentazione dell’ Informazione

Sistemi di numerazione

GIORGIO PORCU www.thegiorgio.it

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TECNOLOGIE E PROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione


Sommario

• Sistemi posizionali Sistema di numerazione in Base n

Sistema Binario (BIN)

Sistema Ottale (OCT)

Sistema Esadecimale (HEX)

Scrivere i primi numeri in Base n

• Notazione posizionale Notazione posizionale

Conversione Base n DEC: Notazione posizionale

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Sistemi posizionali

Base 2 (BIN)

Base 8 (OCT)

Base 16 (HEX)

Base 10 (DEC)

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Per codificare i numeri nel computer scegliamo una rappresentazione funzionale al modo fisico in cui sono memorizzati e che ci consenta di elaborarli

• Poiché i componenti fisici sfruttano stati binari scegliamo il sistema di numerazione binario

• Nel sistema di numerazione binario è possibile eseguire gli stessi calcoli del sistema decimale attraverso dispositivi elettronici

Rappresentazione dei Numeri

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Sistema di numerazione che utilizza le due sole cifre 0 e 1. E’ detto anche in Base 2 (BIN).

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 0 2

1 1 0 3

Binario (BIN) Decimale (DEC)

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Sistema Binario (BIN)

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Nel sistema binario ogni numero è una sequenza di bit. I primi numeri e i corrispondenti decimali sono:

BIN DEC BIN DEC

0 0 1000 8

1 1 1001 9

10 2 1010 10

11 3 1011 11

100 4 1100 12

101 5 1101 13

110 6 1110 14

111 7 1111 15

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Sistema Binario: primi numeri

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• Il Sistema binario è un esempio di Sistema di numerazione, una modalità di rappresentazione dei numeri che garantisce la possibilità di eseguire calcoli in modo efficiente

• Esistono molti Sistemi di numerazione. I più utilizzati sono detti in Base n e presentano due caratteristiche di base: Utilizzano n cifre (simboli) per creare numeri

Sono posizionali: le cifre hanno un peso diverso a seconda della posizione occupata nel numero

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Sistema di numerazione

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Modalità di rappresentazione dei numeri che utilizza esattamente n cifre (con n>1) • Utilizza le prime cifre arabe (0, 1, 2, …) • I numeri sono sequenze posizionali di cifre • Il più utilizzato, nella vita di tutti i giorni è il sistema

decimale (Base 10, DEC) 10 Cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

• Un numero espresso in base n si indica col pedice n: 3610 36 in Base 10 1012 101 in Base 2

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Sistema di numerazione in Base n

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Esistono sistemi di numerazione non posizionali, oggi poco utilizzati ma importanti in epoche passate. Un classico esempio sono i sistemi di numerazione additivi (o sottrattivi) come i numeri romani. In essi ogni cifra non ha un peso dipendente dalla posizione ma aggiunge o sottrae valore alle cifre precedenti o successive: IX: Sottraggo 1 (I) alla cifra successiva 10 (X): 10-1=910

VIII: Aggiungo 3 (III) alla cifra precedente 5 (V): 5+3=810

Anche il Sistema di numerazione in Base 1 è additivo. 111: Tre volte 1: 1+1+1=310

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Sistema di numerazione additivo

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Scrivere un numero in base 2 come effettivamente è memorizzato sul computer può essere lungo e tedioso…

In informatica si usano quindi anche altre basi (potenze di 2) che consentono: Una rappresentazione più compatta per l’utente Un passaggio da e per la base 2 con regole semplici

Le basi più utilizzate sono: Base 8 (Ottale, OCT) Base 16 (Esadecimale, HEX)

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Sistemi di numerazione in Informatica

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Sistema di numerazione che utilizza le otto cifre 0,…,7. E’ detto anche in Base 8 (OCT).

0 0

0 1

Ottale (OCT) Decimale (DEC)

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Sistema Ottale (OCT)

0 2

0 3

0 4

0 5

0 6

0 7

0 0

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

0 6

0 7

1 0

1 1

1 2

1 3

0 8

0 9

1 0

1 1

Ottale (OCT) Decimale (DEC)

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Sistema di numerazione che utilizza le dieci cifre 0,…,9 più le lettere A,…,F. E' detto anche in Base 16 (HEX).

0 0

0 1

Esadecimale (HEX) Decimale (DEC)

12


0 2

0 3

0 4

0 5

0 6

0 7

0 0

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

0 6

0 7

0 8

0 9


0 A

0 B

0 C

0 D

0 E

0 F

0 8

0 9

1 0

1 1

1 2

1 3

1 4

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In Base 16 (HEX), poiché le 10 cifre arabe 0,…,9 non sono simboli sufficienti alla codifica, si usano anche le lettere A,…,F per esprimere i numeri corrispondenti ai decimali 10,…,15.

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0 A

0 B

0 C

0 D

0 E

0 F

1 0

1 1

1 2

1 3

1 4

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E' importante conoscere un metodo pratico per scrivere ordinatamente i primi numeri in una qualsiasi Base n, e rapportarli con i corrispondenti in Base 10. Possiamo individuare due tecniche: Elencazione per riga

Elenco uno per volta i numeri partendo da lunghezza 1 e cifra 0 (minor valore) seguendo la stessa strategia dei decimali

Elencazione per colonna Sfrutto alcune proprietà delle cifre che si ripetono in colonna in maniera ordinata

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Scrivere i primi numeri in Base n

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Per entrambe le tecniche, consideriamo i numeri come elencati su una griglia (matrice) di righe e colonne. Le Colonne sono numerate da 1 (Colonna più a dx) in poi (Colonne successive a sx).

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Matrice delle cifre

1

Colonna 1

Colonna 2 Colonna 3

In ogni cella inserisco una

sola cifra

Riga 1

Riga 2

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• Inizio a scrivere numeri di 1 cifra sulla Colonna 1 utilizzando in ordine tutte quelle a disposizione

• Passo a scrivere numeri di 2 cifre: Cambiando le cifre in ordine sulla Colonna 2 Riportando le cifre precedenti sulla Colonna 1

• Passo a scrivere numeri di 3 cifre: Cambiando le cifre in ordine sulla Colonna 3 Riportando le cifre precedenti sulle Colonne 1 e 2 con

eventuali zeri iniziali

In pratica, uso la stessa regola "naturale" per elencare i numeri decimali adattata alla Base n.

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Elencazione per riga

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Elenco per riga i primi numeri in Base 2 (n = 2):

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Elencazione per riga: Esempio

0 0

0 1

1 0

1 1

0 0

0 1

1 0

1 1

0

0

0

0

1

1

1

1

Uso 1 cifra Scrivo le 2 cifre in ordine

sulla Colonna 1

Uso 2 cifre Mi sposto sulla Colonna 2

cambiando la cifra Ripeto le precedenti cifre in

ordine sulla Colonna 1

Uso 3 cifre Mi sposto sulla Colonna 3

cambiando la cifra Ripeto le precedenti cifre in ordine sulle Colonne 1 e 2

Aggiungo zeri iniziali

Per avere numeri a lunghezza fissa e riportare le cifre

precedenti

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Osservo che in un elenco ordinato di numeri in Base n: Le cifre nella Colonna 1 cambiano a ogni riga Le cifre nella Colonna 2 cambiano ogni n righe (gruppi

di n righe) Le cifre nella Colonna 3 cambiano ogni n2 righe

(gruppi di n2 righe) In generale le cifre in Colonna m cambiano ogni nm-1

righe (gruppi di nm-1 righe)

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Elencazione per colonna

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Elenco per colonna i primi numeri in Base 2 (n = 2):

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Elencazione per colonna: Esempio

0 0

0 1

1 0

1 1

0 0

0 1

1 0

1 1

0

0

0

0

1

1

1

1

Colonna 1 cambia ogni riga Colonna 2

cambia ogni 2 righe

Colonna 3 cambia ogni 22 = 4 righe

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Notazione posizionale

1 0 1 = 1 · 22 + 0 · 21 1 · 20 +

0 1 2 Potenza

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I sistemi di numerazione in Base n utilizzano una notazione posizionale: Ogni cifra ha peso diverso in base alla posizione nel numero. Ad esempio 12310:

1 2 3

Centinaia Decine

Unità

Verso DX Peso minore

Verso SX Peso maggiore

x 100 Peso ‘100’

x 10 Peso ’10’

x 1 Peso ‘1’

10

Il pedice indica la base del numero

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Notazione posizionale (1/3)

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Possiamo scrivere il numero come somma delle cifre moltiplicate per il peso:

1 2 3

Peso minore Peso maggiore

=

1 · 100 + 2 · 10 3 · 1 +

1 · 102 + 2 · 101 3 · 100 +

Il peso è esprimibile come potenza di 10 (Base del numero di

partenza)

10

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Con la stessa tecnica possiamo rappresentare numeri di qualsiasi Base n. Ciò che cambia è il peso, espresso come potenza di n. Ad esempio 1012

1 0 1 =

1 · 22 + 0 · 21 1 · 20 +

1 · 4 + 0 · 2 1 · 1 +

2

=

Ricorda… un numero elevato zero da come risultato 1


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0 1 2 Potenza

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Se eseguiamo la somma nell’esempio precedente otteniamo il corrispondente in Base 10 del numero binario di partenza!

1 0 1 =

1 · 22 + 0 · 21 1 · 20 +

1 · 4 + 0 · 2 1 · 1 +

2

=

= 4 + 1 = 510

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Conversione BIN DEC


0 1 2 Potenza

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Il risultato ottenuto ci porta a definire un metodo per trasformare un numero da Base 2 in Base 10:

Metodo della notazione posizionale (BIN DEC) Espandere il numero binario in notazione posizionale

(con pesi: potenze di 2) e svolgere i calcoli.

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Conversione BIN DEC

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La notazione posizionale è valida per esprimere qualsiasi numero in Base n, non solo in Base 2.

Abbiamo trovato una metodo generale per trasformare un numero da Base n in base 10:

Metodo della notazione posizionale (generale) Espandere il numero in Base n in notazione posizionale

(con pesi: potenze di n) e svolgere i calcoli.

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Conversione Base n DEC

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