DAL CASO AL CAOS. UN P0 DI STORIA Laplace sapeva che la conoscenza delle varie entità (variabili di...

DAL CASO AL CAOS

UN P0’ DI STORIA

Laplace sapeva che la conoscenza delle varie entità (variabili di stato), essendo frutto di processi di misura, non può essere ottenuta con infinita precisione.

Considerava ovvio che una piccola incertezza nei valori delle condizioni iniziali avesse altrettanto piccole conseguenze nell’evoluzione del sistema, cioè che

condizioni “quasi-identiche” portassero a evoluzioni del sistema “quasi-identiche”

Laplace (1749-1827): “Lo stato attuale del sistema della natura consegue evidentemente da quello che era all’istante precedente…”

UN P0’ DI STORIA

La possibilità di simulare con un modello matematico deterministico l’evoluzione di un sistema reale

era considerata equivalente a dire che

la sua evoluzione fosse necessariamente prevedibile e priva di incertezza

UN P0’ DI STORIA• Ma nello studio dei sistemi reali

(ad esempio nella dinamica dei fluidi) si possono osservare andamenti sia regolari che complessi: il flusso dell’acqua può essere semplice o disordinato, pur essendo le leggi del moto sempre le stesse (equazioni di Navier-Stokes)

• La previsione di Laplace è corretta per i sistemi lineari, per quelli non lineari vale solo se si è lontani dai regimi di comportamento caotico.

UN P0’ DI STORIA

• Henri Poincaré(1854-1912) “Una causa piccolissima che sfugga alla nostra attenzione

determina un effetto considerevole che non possiamo mancare di vedere, e allora diciamo che ciò è dovuto al caso. […] può accadere che delle piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi. La previsione diventa impossibile…”(1903)

Ma i risultati di Poincaré non suscitarono molto interesse

UN P0’ DI STORIA

La teoria qualitativa dei sistemi dinamici fu studiata in seguito da:

• Birkhoff(1884-1944) negli USA• Lyapunov(1857-1918), Kolmogorov(1903-1987),

Andronov(1901-1952) in Russia• Pontriaguine(1908-1988)

UN P0’ DI STORIA

Mentre stava sviluppando modelli matematici per descrivere i movimenti delle masse d’aria nell’atmosfera, nel 1961 scoprì accidentalmente il comportamento caotico delle soluzioni delle equazioni che stava studiando.

In un articolo del 1963 descrisse il fenomeno del CAOS DETERMINISTICO

usando come esempio un sistema di tre equazioni differenziali, calcolato numericamente.

Ma l’argomento divenne popolare con l’articolo di Edward Lorentz, matematico e meteorologo del MIT (scomparso nel 2008 a 90 anni).

UN P0’ DI STORIA

La figura rappresenta (in nero) l’andamento della soluzione a partire dalle condizioni iniziali x0=10, y0=10, z0=10La figura rappresenta (in rosso) l’andamento della soluzione a partire dalle condizioni iniziali x0=10, y0=10, z0=9.99999

Butterfly effect

Da un articolo di Lorentz del 1972:

“Does the flap of a butterfly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas?

L’attrattore strano di Lorentz

UN P0’ DI STORIA• L’attuale popolarità dell’argomento è

sicuramente legata al fatto che il fenomeno sia stato osservato nel contesto delle previsioni meteorologiche, ma esso appare anche nei più svariati contesti:• Fisica• Biologia• Sociologia• Economia• Finanza• …

CAOS DETERMINISTICO

CAOS DETERMINISTICO

•CAOTICO…..senza regole……imprevedibile…….

• DETERMINISTICO…..fenomeno regolare….prevedibile…che si ripete nel tempo

CAOS DETERMINISTICO

Talvolta, modelli matematici deterministici generano andamenti così complessi da risultare quasi indistinguibili da eventi generati da processi aleatori.

Iterare funzioni

fX f(X)

Preso un numero x da un certo dominio, l’applicazione di una funzione produce come risultato l’immagine di x mediante f, che si scrive f(x)

Iterare funzioni

f f fx0 x1 X2 ……. Xn-1 Xn ……

Se al risultato così ottenuto (se sta nel dominio) si applica di nuovo la stessa funzione f si ottiene un terzo numero (funzione composta). Se il risultato sta ancora nel dominio si può ancora applicare f e così via.Si ottiene così in modo deterministico una successione di valori.

Matematica nel tempo

Lo studio dei possibili comportamenti delle successioni generate mediante l’applicazione ripetuta di una funzione può essere utile nella descrizione matematica di

FENOMENI REALI CHE EVOLVONO NEL TEMPO.

Infatti basta pensare xn come misura dello stato di un sistema al tempo n, allora la funzione f assumerà il significato di operatore di avanzamento nel tempo (legge di evoluzione)

Lo schema xn =f(x n-1) diventa un MODELLO DINAMICO

Matematica nel tempo ovvero:

Teoria qualitativa dei sistemi dinamici

Esempio 1(modello lineare affine)

In un piccolo paese del Varesotto, di 1000 abitanti, il tasso di mortalità annuo è del 20%; fortunatamente ogni anno nascono 100 bambini.Qual è nel tempo l’evoluzione della popolazione? Si estingue, aumenta a dismisura, si stabilizza?

soluzione

• Esempio 2 Un pigro quarantenne di

nome Oblomov decide di vivere di rendita. Dispone di un capitale di 100.000€ che produce ogni mese interessi pari all’1% ; per vivere stima di aver bisogno di 1000€ al mese. Ce la farà?



• Esempio 3 (modello quadratico)Supponiamo che una banca proponga un nuovo modo di

pagare gli interessi: ogni anno viene assegnato il quadrato della cifra posseduta l’anno precedente diminuita di una tassa fissa b.

Se un cliente versa oggi un capitale x, quanto avrà tra 10 anni?



SDD: Sistemi dinamici discreti

Bisogna individuare delle grandezze (un sistema) che evolvono (un sistema dinamico) a passi costanti della variabile tempo (un sistema dinamico discreto)

TEORIA

Un sistema dinamico discreto (SDD) è caratterizzato da una legge del tipo:

che si dice: EQUAZIONE ALLE DIFFERENZE dove:• t=0,1,2,…• x è una successione definita in modo ricorsivo mediante f.

Si dice soluzione di un’equazione alle differenze una successione che soddisfa l’equazione data per ogni t.

In generale le soluzioni sono infinite, ciascuna è caratterizzata dalle condizioni iniziali, che di norma sono tante quante l’ordine dell’equazione.

SDD: Sistemi dinamici discreti

xt+1= f(t,xt)

SDD LINEARI

Sono caratterizzati da un’equazione del tipo:

xt+1= axt ,con a≠0

SDD LINEARIIn generale si ricava facilmente, dalla legge ricorsiva, la legge :

x1 = ax0

x2 = ax1 = a2x0

x3 = ax2 = a3x0

….xt =atx0

Ad esempio, se a=2,dopo sole 10 iterazioni il numero iniziale x0 sarà moltiplicato per 210=1024.

Se fosse a=1/2, ad ogni iterazione il valore iniziale verrebbe dimezzato, come se una fotocopiatrice ad ogni passaggio riducesse l’immagine del 50%

Si tratta di una progressione geometrica di ragione a.

SDD LINEARI1° caso: −1 < a < 1 In questo caso at tende a 0;più a è vicino a 0 tanto più rapidamente la successione xt 0 per qualunque condizione iniziale

Caso 1a: 0 < a < 1 In questo caso ad ogni passo x diminuisce di una percentuale pari a 1−a.Per esempio se a=0.8 allora ad ogni passo x diminuisce del 20%.E’ la tipica decrescita esponenziale di valore iniziale x0 e base a.

Caso 1b: −1 < a < 0 In tal caso la convergenza a 0 non è monotona, i valori di x oscillano con segni alternati (infatti at >0 se t è pari, at <0 se t è dipari)

SDD LINEARICaso a>1.Xt è una successione esponenziale crescente : ad ogni passo aumenta di una percentuale pari ad a-1.

Grafico di xt+1 =1.1xt con x0=1000

I casi a=1 e a=-1 sono poco interessanti.

Caso a<1Xt è una successione irregolare, a segni alterni, che diverge in modulocon x0=1000

Grafico di xt+1 =-1.1xt con x0=1000

SDD LINEARISe si applica la legge ricorsiva xt+1 =axt alle dinamiche delle popolazioni (uomini, animali, vegetali, batteri…) si ottiene il cosiddetto

Modello di Malthus:Una popolazione inizialmente di entità x0 è soggetta a:

-un tasso di natalità n (es. Percentuale di nati ogni anno sul totale della popolazione) e ad -un tasso di mortalità m (es. Percentuale di morti ogni anno sul totale della popolazione).

Se non ci sono nè immigrazioni nè emigrazioni l’evoluzione nel tempo del numero di individui sarà del tipo: xt+1 =xt +nxt -mxt

Cioè

xt+1 =axt

SDD LINEARI

xt+1 =axt

Secondo questo modello:

Se 0<a<1, cioè se n<m, allora la popolazione è destinata ad estinguersi

esponenzialmente

Se a>1 allora la popolazione aumenta esponenzialmente

Il modello di Malthus è ragionevole nella misura in cui la popolazione non è soggetta a limitazioni esterne.

SDD lineari affini

Le cose vanno diversamente se l’equazione contiene un termine noto:

xt+1 =axt +b

SDD lineari affini

SDD lineari affiniEsplorando la successione Xt+1= 0.8 Xt+100 , con X0=1000 (ad esempio con excel)si osserva che il sistema converge a 500: la popolazione di quel paese tenderà nel tempo a stabilizzarsi a 500 abitanti.

0 1000 17 542,22 34 501,191 900 18 533,78 35 500,953 820 19 527,02 36 500,764 756 20 521,62 37 500,615 704,8 21 517,29 38 500,496 663,84 22 513,84 39 500,397 631,07 23 511,07 40 500,318 604,86 24 508,85 41 500,259 583,89 25 507,08 42 500,210 567,11 26 505,67 43 500,1611 553,69 27 504,53 44 500,1312 542,95 28 503,63 45 500,113 534,36 29 502,9 46 500,0814 527,49 30 502,32 47 500,0715 521,99 31 501,86 48 500,0516 517,59 32 501,49 49 500,0417 514,07 33 501,19 50 500,03

Cosa ci si può aspettare se si parte da 2000 abitanti invece di 1000?Sarà valido il modello proporzionale?

SDD lineari affiniBasta esplorare la nuova successione: Xt+1= 0.8 Xt+100 , con X0=2000

Il risultato è il seguente:

E se ci fossero solo 200 abitanti?

0 2000 17 542,22 34 501,19

1 1700 18 533,78 35 500,95

3 1460 19 527,02 36 500,76

4 1268 20 521,62 37 500,61

5 1114,4 21 517,29 38 500,49

6 991,52 22 513,84 39 500,39

7 893,22 23 511,07 40 500,31

8 814,57 24 508,85 41 500,25

9 751,66 25 507,08 42 500,2

10 701,33 26 505,67 43 500,16

11 661,06 27 504,53 44 500,13

12 628,85 28 503,63 45 500,1

13 603,08 29 502,9 46 500,08

14 582,46 30 502,32 47 500,07

15 565,97 31 501,86 48 500,05

16 552,78 32 501,49 49 500,04

17 542,22 33 501,19 50 500,03

SDD lineari affini

Basta esplorare la nuova successione Xt+1= 0.8 Xt+100 , con X0=200

Il risultato è il seguente:

1 200 17 491,56 34 499,76

2 260 18 493,24 35 499,81

3 308 19 494,6 36 499,85

4 346,4 20 495,68 37 499,88

5 377,12 21 496,54 38 499,9

6 401,7 22 497,23 39 499,92

7 421,36 23 497,79 40 499,94

8 437,09 24 498,23 41 499,95

9 449,67 25 498,58 42 499,96

10 459,73 26 498,87 43 499,97

11 467,79 27 499,09 44 499,97

12 474,23 28 499,27 45 499,98

13 479,38 29 499,42 46 499,98

14 483,51 30 499,54 47 499,99

15 486,81 31 499,63 48 499,99

16 489,44 32 499,7 49 499,99

17 491,56 33 499,76 50 499,99

SDD lineari affiniSorprendentemente nel lungo periodo non cambia nulla:La successione converge a 500 (per eccesso se x0>500, per difetto se x0<500, non si muove da 500 se x0=500)

La successione costante di valore 500 sembra attrarre tutte le altre.

SDD lineari affini

Abbiamo esplorato il problema con diversi valori iniziali. Tutte le successioni convergono a 500.Vogliamo capire perché.

A quanto pare 500 dipende solo dai valori 0.8 e 100 dei parametri e non dal valore iniziale.

SDD lineari affini

Vogliamo trovare una funzione che,presi in ingresso i valori 0.8 e 100, dia in uscita il 500

500

SDD lineari affini

Ci chiediamo:

Esiste un valore iniziale x0 per il quale la popolazione rimane costante nel tempo?

SDD lineari affini.L’equilibrio di un SDD

Deve risultare, per ogni t:

Cioè xt =0.8xt +100

Questo accade solo se esiste un numero x per il quale risulti: x=0.8x+100

Da cui 0.2x=100Da cui x=500

xt =xt+1

SDD lineari affini.L’equilibrio di un SDD

Il valore 500 viene chiamato :

punto di equilibrio del sistema

Se il sistema parte da 500 rimane inchiodato a quel valore per sempre.

•In generale (se a ≠1) l’equazione xt =xt+1 diventa

x=ax+b la cui soluzione è: (Nel nostro caso era: a=0.8 e b=100)

•Se invece a=1 allora il sistema diventa xt+1 =xt +b.

In questo caso non ci sono equilibri: il sistema evolve linearmente verso +∞ se b>0, verso - ∞ se b<0.

•Il caso a=1e b=0 è ovviamente privo di interesse.

SDD lineari affiniLa stabilità dell’equilibrio

Per il SDD che abbiamo studiato la successione converge sempre all’equilibrio, anche partendo da valori diversi dall’equilibrio.

Sarà vero per ogni valore iniziale?Sarà una caratteristica di tutti gli equilibri in qualunque SDD?

SDD lineari affini: la stabilità di un equilibrio

I risultati sono i seguenti:• Se x0=E allora la soluzione è la successione costante di valore E

• Se a è compreso tra -1 e 1 allora at tende a 0 quindi il sistema converge ad E per ogni valore iniziale x0. In tal caso E si dice equilibrio stabile o attrattore

• Se a>1 allora il sistema diverge esponenzialmente (equilibrio instabile); se si parte da E il sistema rimane fermo, ma la più piccola perturbazione sulla condizione iniziale produce una catastrofe:il sistema si allontana definitivamente dall’equilibrio


PROBLEMA Un pigro quarantenne di nome Oblomov decide di vivere di rendita. Dispone di un capitale di 100.000€ che produce ogni mese interessi pari all’1% ; per vivere stima di aver bisogno di 1000€ al mese. Ce la farà?


Indicando con xt il deposito bancario di Oblomov al tempo T (misurato in mesi), il modello del problema sarà:

Xt+1 = xt +0.01xt-1000Cioè

Xt+1 = 1.01xt-1000Con la condizione iniziale x0=1000.

E’ sempre un SDD della forma

Xt+1 = axt+b, questa volta con a>1.


L’equilibrio del sistema è

Cioè esattamente la condizione iniziale!

Infatti l’interesse mensile dell’1% su 100.000 € è uguale alla quota mensile di 1000€

necessaria per vivere .


In queste condizioni il nostro quarantenne può VIVERE PER L’ETERNITÀ.

Ma…si tratta di un equilibrio molto precario!


Ma cosa succede se il capitale iniziale è (seppur di poco) diverso da 100.000 €?Se x0<100.000, anche solo di un centesimo, il caro Oblomov è destinato (prima o poi) alla rovina.

Il grafico rappresenta l’andamento del deposito per x0=90.000Dopo circa 20 anni (240 mesi) il capitale si estingue


Se invece x0>100.000, anche solo di un centesimo, allora il capitale aumenta indefinitamente.

Il grafico rappresenta l’andamento del deposito per x0=110.000 Dopo circa 20 anni (240 mesi) il capitale raddoppia


Nella figura sono rappresentate varie soluzioni con diverse condizioni iniziali.Dal grafico è chiaro perché un equilibrio di questo tipo viene chiamato REPULSORE

Si tratta di un equilibrio instabile

Riassumendo:Per un SDD lineare affine xt+1 =axt +b si ha:

se |a|>1 l’equilibrio è instabile: qualunque valore iniziale diverso da b/(1-a) genera una successione divergente.


SDD: modello quadratico

• Supponiamo che una banca proponga un nuovo modo di pagare gli interessi:

• Ogni anno viene assegnato il quadrato della cifra posseduta l’anno precedente diminuita di una tassa fissa b.


Se un cliente chiedesse: se oggi verso un capitale x, quanto avrò tra 10 anni?

Bisognerebbe calcolare x10 a partire da x0.

x10 è un polinomio completo di grado 1024!

Il calcolo sarebbe sì deterministico, ma sarebbe difficile sapere come va a finire.


Facciamo delle prove, partendo da casi semplici.1. Supponiamo che sia b=0

Se 0<x0<1 l’iterazione converge a 0Se x0>1, l’iterazione cresce rapidamente divergendo

all’infinitoCi sono i due punti fissi:

X=0 attrattivoX=1 repulsivo


1. Supponiamo che sia b=1

Per trovare i punti fissi basta risolvere l’equazione xn=xn-1

cioè risolvendo l’equazione x=f(x).Si ottengono i due punti fissi:

che sono entrambi equilibri repulsivi.


A seconda delle condizioni iniziali scelte, le successioni divergono oppure continuano a oscillare, avvicinandosi a un andamento periodico.In figura la sequenza che si ottiene a partire da x=1,5

Il caos deterministicoSe b=2, con la condizione iniziale x0=0.5, si ottiene un moto oscillatorio ma non periodico.L’andamento risulta piuttosto irregolare.

La figura in basso rappresentata la traiettoria ottenuta con la condizione iniziale x0=0.499, (pari a solo 0.2% in meno).Dopo le prime 10 iterazioni i valori ottenuti sono così lontani da perdere ogni correlazione con la successione precedente

Iterare funzioni e scoprire biforcazioni(metodo grafico)

Sia y=f(x) una funzione. Sovrapponiamo al suo grafico quello di y=x. Prendiamo la condizione iniziale x0 sull’asse x. Per calcolare x1 basterà calcolare f(x0) tracciando la retta verticale x=x0 e riportando sull’asse y il punto trovato sulla curva.

Per procedere nell’iterazione occorrerà riportare x1 sull’asse x per poter poi calcolare f(x1).Per questo si può usare la bisettrice y=x. Basta portare x1 dall’asse y orizzontalmente fino alla bisettrice, poi scendere verticalmente fino all’asse x.A questo punto si potrà ripetere il procedimento considerando come nuovo punto iniziale x1.

Si può notare che si può passare da x1 a x2 anche senza passare per l’asse x, riportando direttamente il puntoP sulla funzione.

Iterare funzioni e scoprire biforcazioni(metodo grafico)

DIAGRAMMA A SCALAI punti toccati sulla bisettrice sono i punti della successione generata.Tutto ciò si può fare graficamente, senza far calcoli .

DIAGRAMMA A RAGNATELA

• Quando il procedimento riguarda una funzione decrescente la costruzione risulta un po’ diversa:

FUNZIONE QUADRATICACaso in cui la funzione è una parabola di equazione f(x)=x2-b

Caso b=0: f(x)=x2

Partendo da x0=0.7, la traiettoria converge al punto di equilibrio attrattivo p*=0

FUNZIONE QUADRATICA

Caso b=0

Partendo da x0=-1.1, la traiettoria “scavalca” il punto di equilibrio repulsivo q*=1 e poi diverge a +∞

Caso in cui la funzione è una parabola di equazione f(x)=x2-b

Caso b=0: f(x)=x2

FUNZIONE QUADRATICALa differenza di comportamento tra i due diversi punti p* (equilibrio attrattivo) e q* (equilibrio repulsivo) si può capire osservando la pendenza della curva :

•Oltre q* la pendenza della curva supera quella della bisettrice quindi in un intorno di q* si comporta come la progressione geometrica di ragione maggiore di 1 (espansiva).

•In p* la pendenza è 0 (“superstabilità”) e, se approssimiamo la funzione con una funzione lineare, avrà coefficiente angolare minore di 1 (progressione geometrica contrattiva)

FUNZIONE QUADRATICA

Caso b=0 (parabola y=x2)

Dopo un po’ di prove si può vedere che:•Se si parte da una condizione iniziale vicina a p*=0 (punto di equilibrio attrattivo) la traiettoria generata gli si avvicina asintoticamente•Se si parte da una condizione iniziale vicina a q*=1 (punto di equilibrio repulsivo) la traiettoria si allontana da esso.

FUNZIONE QUADRATICA (caso b>0)

Es: b=0,5

In questo caso, la pendenza della tangente nel punto p*= è negativa . Il diagramma è a ragnatela convergente.L’equilibrio è stabile solo localmente, cioè partendo da condizioni iniziali prese abbastanza vicino all’equilibrio (bacino di attrazione)

f(x)=x2-b


I valori di equilibrio dipendono dal valore di b.

All’aumentare del valore di b, il grafico della parabola è sempre più ripido in corrispondenza del punto p*.

In particolare, per b=3/4, la tangente risulta perpendicolare alla bisettrice (m=-1)

FUNZIONE QUADRATICA

Il valore ¾ per b (VALORE DI BIFORCAZIONE) rappresenta un cambiamento nelle proprietà qualitative del sistema dinamico.

Quando b supera il valore ¾ il punto di equilibrio p* da attrattivo diventa repulsivo .

Non solo, ma per valori di b poco maggiori di ¾ con condizione iniziale vicina a p*, la traiettoria si allontana da p* oscillando, da un certo punto in poi tra due punti periodici.

In figura il caso b=1 con valore iniziale 1.3

La traiettoria continua a saltellare tra i due

punti 0 e -1.


Il valore 5/4 per b fa diventare repulsivo il ciclo precedente, che passa da periodo 2 a periodo 4.Continuando ad aumentare b, si arriverà a traiettorie non periodiche, cioè formate da valori che non si ripetono mai , ma riempiono densamente uno o più intervalli (REGIME CAOTICO): le iterazioni sembrano non assestarsi mai su un ciclo periodico e il diagramma a ragnatela continua a ricoprire in modo apparentemente casuale il piano.


approfondimenti

ALTRI MODELLI

Le leggi ricorsive possono essere più complesse rispetto al modello lineare.

• Il triangolo di Sierpinski• Gioco di Collatz• Modello preda-predatore o modello di Lotka-

Volterra (1920 circa).• Algoritmo di Newton

Altri tipi di SDD

I SDD lineari affini hanno al più un punto di equilibrio, cioè un solo punto fa da attrattore per il sistema.Ma esistono SDD con attrattori più complessi come ad esempio:

IL TRIANGOLO DI SIERPINSKI


Sia dato un triangolo qualsiasi, per esempio il triangolo di vertici (0,0), (8,0), (4,7).

Partiamo da un punto qualsiasi P0

Ora lanciamo un dado a tre facce.• Se esce 1 allora Pn+1 è il punto medio tra Pn e A

• Se esce 2 allora Pn+1 è il punto medio tra Pn e B

• Se esce 3 allora Pn+1 è il punto medio tra Pn e C


• Ecco cosa si ottiene simulando con Excel 200 lanci:


Ecco cosa si ottiene simulando con Excel 800 lanci:


Ecco cosa si ottiene simulando con Excel 5000 lanci:

IL TRIANGOLO DI SIERPINSKIL’attrattore di questo SDD è il cosiddetto

Triangolo di Sierpinski (Waclaw Sierpinski, 1882, 1969):

Dato un triangolo qualsiasi T0, si consideri la figura T1 che si ottiene togliendo il triangolo centrale, cioè il triangolo con vertici i punti medi; da T1 si tolga il triangolo centrale a ciascuno dei triangoli ottenuti; da T2 si tolga il triangolo centrale a ciascuno dei 32 triangoli ottenuti;….da Tn tolga il triangolo centrale a ciascuno dei 3n triangoli ottenuti;e così via. Il limite all’infinito è il triangolo di Sierpinski.


Qualunque sia il punto di partenza, la successione tende a “riempire” il triangolo di Sierpinski

Gioco di Collatz• E’ un gioco con i numeri naturali così definito:

• Per tutti i numeri x0<1012 è stato verificato con i calcolatori che la successione prima o poi arriva a 1 (attrattore locale).

• Non è stato ancora provato se è vero o falso che per ogni x0 la successione di Collatz assume prima o poi il valore 1.

• In ecologia e in economia è molto usato il modello quadratico detto preda-predatore o modello di Lotka-Volterra, che lo proposero intorno al 1920.

Modello di Lotka-VolterraIl suo SDD (quadratico) è:

Il suo equilibrio non banale è (c/d, a/b), che in generale è instabile.

Algoritmo di Newton• Serve a trovare soluzioni approssimate di

un’equazione f(x)=0, dove f(x) è una funzione derivabile.

• La sua legge ricorsiva è la seguente:

Che ammette come equilibrio proprio un punto in cui f interseca l’asse x.

Algoritmo di Newton

Cosa succede se la f(x) è tale che l’equazione f(x)=0 ammette più di una soluzione?Supponiamo che f sia una parabola che interseca l’asse x in due punti α1 e α2 (con α1< α2 e Δ>0).

Si ottiene che:Se si parte da un punto a sinistra del vertice, la successione di Newton converge ad α1 altrimenti ad α2

Algoritmo di Newton• Cosa succede se la f(x) è tale che l’equazione

f(x)=0 ammette più di una soluzione?Se si parte dalla semplice equazione di terzo grado

x3-x=0 (che ammette le tre soluzioni -1, 0, 1) si ottiene:

Se x0 > la succ. converge a 1

Se x0 <- la succ. converge a -1

Ma se - <x< si possono trovare punti arbitrariamente vicini tali che la successione converge a valori differenti.

Algoritmo di Newton

Si può verificare ad esempio che

• Se x0 =0.4472 la successione converge a 0

• Se x0 =0.44725 la successione converge a 1!

Algoritmo di NewtonIn questo caso si parla di CAOS

Le prime iterazioni mostrano valori pressoché uguali, ma alla quinta iterazione la prima successione vale circa -0.36, la seconda -0.97, la terza addirittura 15.6!

CASO E CAOS

Si tratta del famoso “effetto farfalla”:

Il battito d’ali in Florida provoca un tornado alle Hawai

Il caos si è impadronito del problema…..

C A S O E C A O S

I SDD hanno il pregio di mostrare, anche con oggetti geometrici e immagini bellissime, la stretta relazione tra caso e caos.Se scelgo a caso il punto di partenza, anche in un bacino strettissimo, posso avere evoluzioni del tutto differenti.

Hanno il pregio di mostrare una matematica in cui spesso si deve rispondere

“non lo so” o addirittura

“non lo posso sapere”.

Gran parte dei sistemi deterministici è così complicato da apparire completamente caotico, quindi

da sottrarsi alla nostra capacità di previsione.

Gli uragani, i crolli in borsa, gli attacchi cardiaci, i terremoti sono eventi al di fuori del nostro controllo

Possiamo prevedere il futuro?


D’altro lato lo studio del caos ci può dire per quali valori dei parametri possiamo ottenere un tipo di comportamento o il suo opposto.

Poiché noi possiamo agire sui parametri esterni di un sistema, è importante sapere come dobbiamo regolarli per

evitare l’insorgere del caos

Se da una parte lo studio del caos deterministico pare imponga limitazioni al potere predittivo della scienza, dall’altro rappresenta

un’area di frontiera verso nuove possibilità di conoscenza e una

sempre più chiara concezione di scienza , intesa come continuo confronto con la realtà.


DAL CASO AL CAOS. UN P0 DI STORIA Laplace sapeva che la conoscenza delle varie entità (variabili di...

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