curve parametriche

8/18/2019 curve parametriche

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L.1 Curve parametrizzate

1.1 Definizioni , esempi e nozioni di base

1.1.1 Definizione

Una curva parametrizzata di Rn è un'applicazione differenziabile a : I ™ Rn definita su un intervallo I

della retta reale a valori in Rn. Se scegliamo un sistema di riferimento, il punto a(t) ha coordinate

(x 1(t),.....,x n(t)), le componenti x i(t) sono funzioni numeriche del parametro t. Diremo che la curva è

di classe C k se tutte le sue componenti sono funzioni con derivate continue fino all'ordine k. In base a

questa definizione, una curva parametrizzata è un'applicazione e non un insieme di punti. Intiutiva-

mente, a(t) è un punto mobile di Rn che, al variare del parametro t, descrive una traiettoria, rappresen-

tata dal sottoinsieme G a= {a(t) : t Î I} di Rn.

1.1.2 Esempi

1.1.2.1 Esempio 1

Ad esempio, le rette di Rn sono le traiettorie descritte da un punto un moto rettilineo uniforme, con

velocità costante non nulla, ed è rappresentata tramite equazioni parametriche

a 1(t) = a 1 + tv 1 ,...., a n(t) = a n + tv n, tÎR,

dove a 1,...,a n sono le coordinate del punto iniziale e v 1,...,v n sono le componenti della velocità v,che nel caso uniforme è un vettore di Rn. Se f : R ® R è una funzione suriettiva di classe C k allora la

nuova curva parametrizzata con componenti

a 1[ f (t)] = a 1 + f (t)v 1 ,...., a n[ f (t)] = a n + f (t)v n, tÎR,

ha la stessa traiettoria di a (cioè una retta) ma percorsa con una diversa legge oraria e, in quanto

curva parametrizzata è diversa da a. In generale, quando si parla di retta parametrizzata ci si riferisce

a una parametrizzazione con velocità costante.

1.1.2.2 Esempio 2

Una circonferenza del piano è la traiettoria descritta da un punto materiale animato da un moto

circolare uniforme ed è rappresentata da equazioni parametriche del tipo

a 1(t) = rCos(wt+t 0) + x 0, a 2(t) = rSin(wt+t 0) + y 0 tÎR,

dove (x 0,y 0) sono le coordinate del centro, r è il raggio ed w¹0 è la velocità angolare. Analoga-

mente, un'ellisse con centro nel punto (x 0,y 0) e assi coordinati come assi di simmetria ammette una

rappresentazione parametrica del tipo

a 1(t) = aCos(wt+t 0) + x 0, a 2(t) = bSin(wt+t 0) + y 0 tÎR,

Le parametrizzazioni delle circonferenze e delle ellissi sono periodiche con periodo 2p/w e le corrispon

denti traiettorie sono delle curve chiuse. Inoltre la restrizione della parametrizzazione a sull'intervallo


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[0,2p/w) è iniettiva e le traiettorie sono semplici (cioè prive di autointersezioni). Un esempio di curva

chiusa ma con un autointersezione è la lemniscata di Gerono definita dalle equazioni parametriche

a(t)=(Sin(t) ,Sin(t)Cos(t)), tÎR.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-0.4

-0.2

0.2

0.4

à

a := 0; b := 2 Pi;

a@t_ D := 8Sin@tD, Sin@tD Cos@tD


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-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

à

Una classe notevole di spirali sono le spirali logaritmiche definite da equazioni parametriche del tipo

1.1.2.4 Esempio 4

Una terza classe notevole di spirali sono le cosidette spirali di Cornù (Clotoidi), che trovano appli-

cazione nella progettazione di svincoli autostradali. Le parametrizzazioni delle spirali di Cornù sono

del tipo

a(t) = (Ù 0

t Cos(hu2)du, (Ù

0

t Sin(hu2)du),

dove h è una costante reale non nulla. Si noti che gli integrali che compaiono nella definizione non

sono direttamente esprimibili con funzioni elementari :

x@t_, h_, n_ D := FullSimplify@Integrate@Cos@h * t ^ nD, tD, Element@t, RealsDD

y@t_, h_, n_ D := FullSimplify@Integrate@Sin@h * t ^ nD, tD, Element@t, RealsDD

x@t, h, nD

y@t, h, nD

Plot@Evaluate@y@t, 1, 2DD, 8t, - 2, 2


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a := - 10; b := 10

CLOTOIDE@h_, n_ D :=ParametricPlot@Evaluate@8x@t, h, nD, y@t, h, nD


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- Diremo che a(t 0) è un punto stazionario di a se a'(t 0) = 0Rn In caso contrario a(t 0) si dice punto

regolare. Se a(t) è regolare, per ogni tÎI, allora la curva a si dice regolare.

- Se a(t 0) è un punto regolare, il vettore non nullo a'(t 0) si dice vettore tangente alla curva in

a(t 0). La retta vettoriale L[a'(t 0)] Í Rn generata da a'(t 0) è la retta tangente vettoriale di a in

a(t 0). La retta con giacitura L[a'(t 0)] e passante per a(t 0) si dice retta tangente ad a in a(t 0) ed èdenotata con T(a, t 0).

- Se la curva è regolare, il vettore unitario a'(t 0)/||a'(t 0)||, denotato con T a(t 0), si dice versore

tangente ad a in a(t 0).

- Un punto regolare a(t 0) si dice punto di flesso se la velocità a'(t 0) e l'accelerazione a''(t 0) sono

linearmente dipendenti.

- Se a(t 0) è regolare e se a'(t 0) e a''(t 0) sono linearmente indipendenti, allora il punto si dice

biregolare. In un punto biregolare ha senso considerare il piano osculatore ad a in a(t 0), cioè il

piano passante per a(t 0) con giacitura generata da a'(t 0) e a''(t 0).

1.1.4 Esempi

1.1.4.1 Esempio 1

Il calcolo delle derivate successive di una curva parametrizzata, del suo sviluppo in serie di Taylor e

la ricerca dei punti stazionari e dei punti di flesso possono essere effettuati usando direttive implemen-

tate in Mathematica :

ak@t_, k_ D := FullSimplify@Derivative@kD@aD@tDD;Taylor@t0_, k_ D := Series@a@tD, 8t, t0, k


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Animazione

Il punto mobile a(t) passa per l'origine delle coordinate negli istanti tk = 2kp, k Î Z. Dalla figura e

dall'animazione si vede che a'(tk ) = 0, per ogni k. Quindi i punti a(tk ) sono stazionari.

ak@t_, k_ D := FullSimplify@Derivative@kD@aD@tDD;Taylor@t0_, k_ D := Series@a@tD, 8t, t0, k


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a@t_ D := 8r * Cos@w * tD, r * Sin@w * tD, v * t<FullSimplify@D@a@tD, tD‰ D@D@a@tD, tD, tD, Element@t v r w, RealsDD

L'equazione parametrica della retta tangente ad a in a(t) è

P(u) = ua'(t) + a(t).

Fissando t specifichiamo il punto della curva, al variare di u il punto P(u) descrive la retta tangente.

P@u_, t_ D :=Evaluate@FullSimplify@u * D@a@tD, tD + a@tD, Element@t v r w, RealsDDD

P@u, tD

Ad esempio, l'equazione della retta tangente nel punto a(0) si ottiene ponendo t = 0 nella formula

precedente :

P@u, 0D

Il piano osculatore di a in a(t) è il piano passante per a(t) perprendicolare ad a'(t) ‰ a''(t). Quindi la sua

equazione cartesiana è

a'(t) ‰ a''(t)·(P(x,y,z) - a(t)) = 0.

PianoOsculatore@t_ D := Evaluate@FullSimplify@D@a@tD, tD‰ D@D@a@tD, tD, tD.H8x, y, z< - a@tDL, Element@t v r w, RealsDDD

PianoOsculatore@tD

Ad esempio, l'equazione del piano osculatore nel punto a(0) si ottiene ponendo t = 0 nella formula

precedente :

PianoOsculatore@0D

1.2 Riparametrizzazioni, cambi di parametro, ascissa curvilinea e parametrizzazioni medi-

ante l’ascissa curvilinea

1.2.1 Definizione

Siano a : I ™ Rn e b : J ™ Rn due curve regolari di classe C k (k³1). Diremo che b è una

riparametrizzazione di a se esiste una funzione monotona di classe C

k

L1.nb 7


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h : J ™ I

tale che b = aëh. Diremo che h è un cambio di parametro e che b è ottenuta da a con il cambio di

parametro h. Se h è strettamente crescente diremo che a e b hanno lo stesso orientamento. In caso

contrario le curve avranno orientamento opposto. Si noti che le traiettorie di a e di b coincidono.

1.2.3 Definizione

Consideriamo una curva parametrizzata regolare a : I ™ Rn di classe C k (k³1) e fissiamo t 0 Î I.

Chiamiamo ascisse curvilinee di a le primitive della velocità scalare va = °a'´. Quindi, un ascissacurvilinea è una funzione del tipo

s : t Î I ™ Ù t0t °a'(u)´du + c Î R,

dove t 0 Î I e c è una costante reale.

1.2.4 Osservazione

- Le ascisse curvilinee di una curva regolare a sono definite a meno di una costante additiva.

- Se a è di classe C k anche le ascisse curvilinee sono di classe C k .

- s'(t) = °a'(t)´ > 0 e quindi le ascisse curvilinee sono funzioni strettamente crescenti. In particolare,

J = s(I) Í R è un intervallo della retta reale ed s : I ™ J è un diffeomorfismo, cioè possiede unafunzione inversa s : J ™ I di classe C k .

- se la curva è percorsa con velocità scalare costante 1 allora s(t) = t + c, con c costante. In tal caso

diremo che la curva è parametrizzata con l'ascissa curvilinea..

1.2.5 Teorema

Ogni curva regolare a : I ™ Rn può essere riparametrizzata mediante l'ascissa curvilinea.

Dimostrazione

Sia s : I ™ J Í R un ascissa curvilinea di a con inversa s : J ™ I. Denotiamo con b : J ™ Rn la

riparametrizzazione aës di a. Verifichiamo che b è parametrizzata mediante l'ascissa curvilinea.

Anzitutto, per la regola di derivazione della funzione inversa sappiamo che

s'[s(t)] = 1/s'(t), "t Î I.

Sia s 0 = s(t 0) Î J, allora usando la regola della derivazione delle funzioni composte otteniamo

b' (s 0) = (aës)' (s 0) = a'[s((s 0)] s'(s 0) = a'(t 0)·s'(t 0) -1.

8 L1.nb


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Quindi

° b' (s 0)´ = °a'(t 0)´·s'(t 0) -1 = °a'(t 0)´·°a'(t 0)´ -1 = 1,

per ogni s 0 Î J. Il teorema è così dimostrato.à

1.2.6 Esempi

1.2.6.1 Esempio 1

Riconsideriamo l'esempio 1.2.2 relativo alla spirale logaritmica

a(t) = c ãt(Cos(t), Sin(t)), t Î R,

a@t_ D := c * Exp@tD 8Cos@tD, Sin@tD 0D

va@tD

Quindi le ascisse curvilinee della spirale logaritmica sono funzioni del tipo

s(t) = c 2 Ù ãudu = c 2 ã t + h

dove h è una costante d'integrazione. Scegliamo l'ascissa curvilinea con h = 0. Allora l'immagine di s

è l'intervallo (0, ¥), con inversa

s : s Î (0, ¥) ™ Log (s

2 c

) Î R.

Dunque

b(s) = a[s(s)] = s2

(Cos[ Log ( s2 c

)], Sin[ Log ( s2 c

)])

è una riparametrizzazione di a mediante l'ascissa curvilinea.

1.2.6.2 Esempio 2

Per una curva generale il calcolo dell'integrale indefinito con cui si definiscono le ascisse curvilinee

potrebbe non essere risolubile con funzioni elementari. Già nel caso di una curva molto semplice

come l'ellisse

a(t) = (aCos(t), bSin(t)), t Î R,

L1.nb 9


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con semiassi a > b > 0, l'integrale della velocità non è di tipo elementare e può essere calcolato solo

ricorrendo ai cosidetti integrali ellittici di seconda specie

a@t_ D := 8a * Cos@tD, b * Sin@tD 0

D

va@tD

FullSimplify@Integrate@va@tD, tD, Element@ b a t, RealsD && a > b & & b > 0D

Nella figura abbiamo riportato il grafico di un'ascissa curvilinea dell'ellisse con semiassi a = 3, b = 1.

1 2 3 4 5 6

2

4

6

8

10

12

à

Nel caso delle ellissi (o anche delle iperboli) le ascisse curvilinee pur non essendo funzioni elemntari

sono funzioni ben note e studiate da molto tempo. Consideriamo un esempio in cui il calcolo dell'as-

cissa curvilinea non può essere ricavato usando le librerie di funzioni speciali implementate nei

programmi di uso comune : la curva è un ovale parametrizzato da

a(t) = (ãCosHt LCos(t), Sin(t)), t Î R,

1.0 1.5 2.0 2.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

à

a@t_ D := 8Exp@Cos@tDD, Sin@tD


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va@tD

Integrate@va@tD, tD

In questi casi si può comunque procedere con un integrazione numerica. Il comando per effettuare le

integrazioni numeriche con Mathematica è "NIntegrate". Vediamo come trattare l'esempio precedente

:

a@t_ D := 8Exp@Cos@tDD, Sin@tD


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(*) F(0) = P 0, F'(t) = F[F(t)], "tÎI.

Inoltre F è unica nel senso che se Y : J ™ R

n

è una curva di classe C

k

che verifica la (*) alloraF(t) = Y(t), per ogni tÎIÝJ. Diremo che F è una soluzione dell'equazione differenziale ordinaria x' = F(x), con condizione inizial e P 0. Se l'intervallo di definizione I è massimale allora F si dice

curva integrale dell'equazione differenziale ordinaria x' = F(x).

Soluzioni numeriche del problema relativo alla parametrizzazione con l'ascissa curvilinea

Consideriamo la curva parametrizzata a : I Í R ™ Rn che supponiamo regolare e di classe C 2,

indichiamo con v : I ™ R + la sua velocità scalare e poniamo

h =

1

v : I ™ R +

.

Le funzioni inverse delle ascisse curvilinee di a sono le soluzioni dell'equazione differenziale ordinaria

s'(s) = h a[s(s)]. Se s è una soluzione numerica dell'equazione, allora aës è una riparametrizzazione

(numerica) di a mediante l'ascissa curvilinea. Riconsideriamo l'ovaloide dell'esempio precedente :

a(t) = (ãCosHt LCos(t), Sin(t)), t Î R,

H*Definizione della curva e del suo intervallo di definizione*La

@t_

D :=

8Exp

@Cos

@t

DD, Sin

@t

D<;

a := 0; b := 2 Pi;

H* Velocità*Lv@t_ D := ,HD@a@tD, tD.D@a@tD, tDL;H*Lunghezza della curva*LLunghezza := NIntegrate@Evaluate@,HD@a@uD, uD.D@a@uD, uDLD, 8u, a, b, 8x


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Animazione

à

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