6 Equazioni Parametriche Di Primo Grdo

Paolo Siviglia

Equazioni parametriche di primo grado 1

Equazioni parametriche di primo grado

Premessa

Come si sa dallalgebra elementare,

si chiama equazione unuguaglianza fra due espressioni letterali che si verifica soltanto attribuendo particolari valori alle lettere, dette incognite

Le equazioni, cio, sono uguaglianze condizionate.Ad esempio, luguaglianza:

4x = 12 vera soltanto se al posto dellincognita x si pone il valore numerico 3. Infatti, si ha: 4 3 = 12, 12 = 12. La relazione di uguaglianza fra i termini 4x e 12 sussiste soltanto per x = 3. Per x 3, invece, si ha: 4x 12 I valori delle incognite che verificano unequazione si dicono soluzioni o radici dellequazione. Per le equazioni algebriche a unincognita, il numero delle radici dipende dal grado delequazione.

Il teorema fondamentale dellalgebra afferma, infatti, che unequazione algebrica di grado n, con n numero intero positivo, ammette al massimo radici che possono essere tutte reali, tutte complesse, alcune reali e altre complesse. Le radici di unequazione, inoltre, sono funzioni dei coefficienti delle incognite.

Se i coefficienti di unequazione sono numerici, le sue radici sono dei numeri; se, invece, sono funzioni di una o pi variabili, dette parametri, anche le radici risultano funzioni di tali variabili. Come si sa, inoltre, unequazione pu rappresentare la traduzione in termini analitici di un problema di natura qualsiasi. In tal caso, le radici dellequazioni devono verificare certe condizioni affinch rappresentino soluzioni anche del problema. Non sempre, cio, le radici di unequazione che risolve un certo problema rappresentano soluzioni del problema stesso. Si chiarir ora con degli esempi quanto appena affermato.

1. Sia 4x 20 = 0 lequazione risolvente un problema per il quale sono accettabili, ad esempio, valori di x maggiori di 2. Si deve avere, cio, x > 2.


Risolvendo lequazione, si trova:

x = 5 Il risultato ottenuto rappresenta una soluzione del problema perch compatibile con la condizione del problema espressa dalla relazione x > 2. Si pu quindi affermare che il problema proposto possibile e la sua soluzione espressa da x = 5.

2. Sia 4x 7 = 0 lequazione risolvente un certo problema per il quale sono accettabili soltanto valori interi dellincognita x. Risolvendo lequazione, si trova:

47=x

Il valore di x trovato non pu rappresentare una soluzione del problema perch 47

non un numero

intero. Questa volta, cio, la condizione del problema non stata rispettata, contrariamente a quanto successo nel caso precedente. Si conclude che il problema proposto impossibile, ossia non ammette soluzione.

3. Sia x k + 2 = 0 lequazione risolvente un certo problema per il quale sono accettabili soltanto valori di x maggiori di 5 e dove k indica un numero reale qualsiasi. Risolvendo lequazione, si ricava:

x = k 2 La radice dellequazione non costante, cio non un numero ben definito e preciso come nei due casi precedenti. Al variare del parametro k, infatti, variano i valori della radice x dellequazione. Si dice che x una funzione della variabile k. Per certi valori di k si trovano valori di x maggiori di 5, per altri minori o uguali a 5. Questa volta non si pu affermare che il problema sia possibile o impossibile. La possibilit o meno del problema dipende dai valori di k. Il problema possibile per tutti quei valori di k per cui x risulta maggiore di 5; impossibile, invece, per tutti quei valori di k per cui x risulta minore o uguale a 5.

Si dice che se lequazione risolvente un problema parametrica, il problema non assolutamente possibile o impossibile; cio, come si detto prima, dipende dai valori del parametro presente nellequazione.

Insomma, mentre nei primi due esempi si trattato soltanto di accertare se le radici delle equazioni fossero compatibili con le condizioni del problema, in questo caso, invece, bisogna chiedersi per quali valori del parametro la radice dellequazione rispetta la condizione del problema. In ci consiste la discussione delle equazioni parametriche.

Ponendo k 2 > 5 si trova: k > 7

La radice dellequazione maggiore di 5 per k > 7; minore o uguale a 5 per k 7. Si afferma allora che il problema possibile per k > 7, impossibile per k 7. Ora saranno presentati i vari metodi di discussione delle equazioni parametriche di primo grado.

Paolo Siviglia


Discussione delle equazioni parametriche di primo grado

Una generica equazione di primo grado in forma ridotta del tipo:

ax + b = 0 Se i coefficienti a e b sono numeri reali, lequazione detta numerica e la sua soluzione :

abx =

A seconda dei valori di a e b, lequazione si dice: determinata, impossibile o indeterminata. La radice di unequazione di primo grado pu essere considerata come lascissa del punto di intersezione della retta y = ax + b con lasse delle ascisse. Infatti, dal sistema:

=+=

0ybaxy

per la propriet transitiva della relazione di uguaglianza, si ha: ax + b = 0 Si pu dire allora che lequazione: ax + b = 0:

determinata se la retta y = ax + b interseca lasse x; impossibile se la retta y = ax + b non interseca lasse x; indeterminata se la retta y = ax + b coincide con lasse x.

Come noto, una retta interseca lasse x se il suo coefficiente angolare diverso da zero. Poich il coefficiente angolare della retta y = ax + b a, la retta interseca lasse x se a 0.

Quindi:

per a 0, lequazione ax + b = 0 determinata e la sua

radice vale abx = ;

per a = 0, la retta y = ax + b diviene y = b; 1. se b 0, la retta y = b

risulta parallela allasse x; 2. se b = 0, la retta y = b

diviene y = 0 e coincide con lasse x.

Nel primo caso la retta non interseca lasse x e perci

y

O x

y = ax + b a = 0 e b 0

y

O x y = ax + b a = 0 e b = 0

Fig. 2

O Ox x

y y

y = ax + b

a > 0

ab

y = ax + b

a < 0

abFig. 1


lequazione ax + b = 0 impossibile, ossia non ammette soluzioni. Nel secondo caso, invece, ha infiniti punti in comune con lasse x e perci lequazione ax + b = 0 indeterminata, ossia ammette infinite soluzioni. Si consideri ora unequazione di primo grado come, ad esempio: (3k 2)x 5k + 1 = 0 con k numero reale arbitrario. Come si vede, i coefficienti dellequazione non sono numerici bens funzioni del parametro k. Si ha, cio, unequazione parametrica. Risolvendola, si ottiene:

2315

=

kkx

I valori di x dipendono dal parametro k. Si dice allora che la radice dellequazione pu assumere infiniti valori in corrispondenza degli infiniti valori che possono essere assegnati al parametro k.

Ad esempio: per k = 2 si ha: 49

26110 =

=x

per k = 5 si ha: 1324

215125 =

=x e cos via.

Se si vuole che lincognita x assuma particolari valori, ad esempio maggiori di un dato numero, necessario attribuire al parametro k valori tali che le corrispondenti radici che si ottengono verifichino le condizioni imposte. Mentre per le equazioni numeriche basta accertare semplicemente se le radici soddisfino eventuali condizioni, per le equazioni parametriche, invece, bisogna discutere i risultati per stabilire in corrispondenza di quali valori del parametro risultano verificate tali condizioni.

ESEMPI

1. Data lequazione parametrica: (2k 5)x + k 3 = 0, kR, stabilire per quale valore del parametro k , si ha: x = 4. PRIMO PROCEDIMENTO

Risolvendo lequazione, si trova:

52

3=

kkx

Per la condizione del problema, si deve avere:

452

3 =

kk

Risolvendo lequazione in k, si trova il valore del parametro per il quale viene verificata la condizione posta.

Si ha: 3 k = 8k 20, 9k = 23, 923=k

Per 923=k la radice dellequazione 4.

Paolo Siviglia


Il procedimento applicato costituisce il cosiddetto metodo diretto della discussione. Infatti, risolta lequazione, si posto direttamente il risultato uguale a 4.

Per la verifica, si pone 923

al posto di k e si risolve poi lequazione numerica ottenuta.

Si ha: ,03923

91 ,03

9235

946 =+=+

xx x + 23 27 = 0, x = 4

Il valore di k trovato quello esatto.

SECONDO PROCEDIMENTO Il problema pu essere risolto anche nel modo seguente.

Osservando che la radice di unequazione di primo grado ax + b = 0 equivale allascissa del punto di intersezione della retta y = ax + b con lasse x, il problema proposto pu essere ricondotto a quello della determinazione della retta del fascio y = (2k 5)x + k 3 passante per il punto di coordinate (4; 0). Sostituendo le coordinate del punto nellequazione del fascio di rette, si ha:

0 = 4(2k 5) + k 3, 0 = 8k 20 + k 3, 9k = 23, 923=k

Il risultato identico a quello trovato prima.

Questo secondo procedimento rappresenta un metodo indiretto per la discussione delle soluzioni di unequazione parametrica.

TERZO PROCEDIMENTO

Il problema pu essere risolto pi semplicemente sostituendo nellequazione 4 al posto di x.

Infatti, si ha: 4(2k 5) + k 3 = 0, 8k 20 + k 3 = 0, 9k = 23, 923=k

Il risultato identico a quello trovato prima. Si preferito presentare i tre procedimenti per dar modo di semplificare i problemi pi complessi che si dovranno affrontare in seguito.

2. Sia (m 6)x 4m + 1 = 0 unequazione parametrica, dove m un numero reale. Per quali valori di m la radice dellequazione risulta minore di 8 ? PRIMO PROCEDIMENTO

Applicando il metodo diretto, si risolve lequazione e si impone alla radice di essere minore di 8.

Si ha: 614

=

mmx

Per la condizione del problema, devessere:

8614


,08614

Paolo Siviglia


Si sono ritrovati cos i risultati ottenuti col primo procedimento. Con questo secondo metodo, per, si nota qualcosa che prima era sfuggito. Come si vede chiaramente dalla figura, la retta x = 4 non interseca liperbole. Ci significa che lequazione data non ammetter mai la radice x = 4. Cio, per i valori del parametro m soddisfacenti le condizioni:

m < 6 oppure 4

47>m i valori di x sono tutti i numeri minori di 8 e diversi da 4. Infatti, sostituendo nellequazione 4 al posto della x, si ha:

4(m 6) 4m + 1 = 0, 4m 24 4m + 1 = 0, 23 = 0 impossibile Quindi, per nessun valore di m lequazione ammette la radice x = 4. Col primo procedimento, questa particolarit dellequazione non stata cos evidente come col secondo. Da ci si pu capire limportanza della geometria analitica per la risoluzione dei problemi. Questa caratteristica pu essere messa in evidenza anche decomponendo la frazione:

.614

mm

Si esegue la divisione fra il numeratore e il denominatore.

Si ha: 4 m 1 m 6 4 m + 24 4 23

Si pu scrivere: 6

234614

+==

mmmx

Poich la frazione 6

23m sempre diversa da zero, essendo il numeratore una costante diversa da zero,

la radice x assumer tutti valori minori di 4 per m < 6 e maggiori di 4 per m > 6. Per m = 6 lequazione impossibile.

3. Discutere le soluzioni dellequazione (2k 1)x k + 4 = 0 al variare del parametro k. Risolvendo lequazione, si ha:

124=

kkx

Si rappresenta la funzione reale x della variabile k in un sistema Okx di assi coordinati cartesiani ortogonali. Ok lasse delle ascisse, Ox quello delle ordinate. Il diagramma della funzione liperbole equilatera avente per asintoti le rette:

21=x (asintoto orizzontale)

21=k (asintoto verticale)

La curva interseca lasse k delle ascisse nel punto (4; 0) e quello x delle ordinaste nel punto (0; 4).


Dalla figura risulta subito che per 21=k lequazione impossibile.

Osservando attentamente la figura, si deduce quanto segue:

per < k < 0 si ha:

421

Paolo Siviglia


Si trova: k = 4, .27=k

Si ha, cos:

A(4; 3),

4 ;27B

I punti della curva di ordinate x comprese fra 3 e 4

sono tutti quelli che formano larco .

AB Le ascisse k

dei punti dellarco

AB sono comprese fra 27

e 4.

Si dice allora che per 27 k 4, risulta: 3 x 4.

SECONDO PROCEDIMENTO Si risolve ora il problema con un altro metodo indiretto, basato sempre sulla geometria analitica. Si pone il primo membro dellequazione uguale a y. Si ha: y = (k 3)x 2k + 5 Lequazione rappresenta un fascio di rette. Il problema proposto equivale alla ricerca dei valori di k in corrispondenza dei quali si ottengono rette del fascio che intersecano lasse delle ascisse nellintervallo avente per estremi i numeri 3 e 4. Si studiano i segni del primo coefficiente dellequazione e delle ordinate dei punti della retta di ascisse rispettivamente 3 e 4. Si ha: 1 coefficiente = k 3 0 per k 3 f(3) = 3(k 3) 2k + 5 = 3k 9 2k + 5 = k 4 0 per k 4 f(4) = 4(k 3) 2k + 5 = 4k 12 2k + 5 = 2k 7 0 per

27k

Si trovato che il primo coefficiente (o coefficiente angolare della retta) positivo per k > 3 e negativo per k < 3. Ci significa che per k < 3 la retta forma angoli ottusi con la direzione positiva dellasse delle ascisse; per k > 3, invece, gli angoli sono acuti. Con f(3) si indicata lordinata del punto della retta di ascissa 3. Si trovato che, per k < 4, i punti

delle rette del fascio hanno ordinate negative per x = 3; per k > 4, invece, si hanno ordinate positive. Analogo discorso pu essere ripetuto per i punti delle rette del fascio di ascissa x = 4. I risultati trovati vengono riportati nella figura 6 . Si studia la situazione per k compreso, rispettivamente, nei quattro intervalli trovati.

O 327

4 k

4 3 2

A

B

x

x = 4

x = 3

Fig. 5

3

4

27

1 C.

f(3)

f(4) Fig. 6


Per k < 3 il primo coefficiente negativo e le rette del fascio risultano inclinate rispetto allasse x come indicato nella figura 7. La retta interseca lasse delle ascisse nel punto x0, che una radice dellequazione.

Ora occorre vedere come si colloca tale radice x0, che si ottiene per k < 3, rispetto allintervallo avente come estremi i numeri 3 e 4. Nellintervallo considerato il segno delle ordinate dei punti di ascissa 3 negativo. Ci significa che il numero 3 alla destra di x0. Poich anche f(4) negativa per k < 3, il 4 si trova alla destra di x0. Come si vede, per k < 3 si ottengono equazioni le cui radici non sono comprese fra i numeri 3 e 4. Si dice che per: k < 3 non esiste nessuna soluzione; si ha: x0 < 3 < 4

Si considera ora lintervallo da 3 a 27

. In tale intervallo il primo coefficiente positivo e perci si

hanno rette che formano angoli acuti con la direzione positiva dellasse delle ascisse. Poich sia f(3) che f(4) sono negative nellintervallo considerato, i numeri 3 e 4 si trovano entrambi a sinistra della radice x0. Anche in questo caso i valori di x non sono

compresi fra i numeri 3 e 4.

Si dice che per: 273 0. In questo caso x0 compreso fra 3 e 4.

Si dice che per: 4, come si vede nella figura 10, entrambi i numeri 3 e 4 sono maggiori di x0. Si dice che: per k > 4 nessuna soluzione. x0 < 3 < 4

Si esaminano ora i casi particolari. Per k = 3, il primo coefficiente nullo e la retta parallela allasse delle ascisse ed ha equazione y = 1. Lequazione data, perci, impossibile.

x0 3 4 xFig. 7

x0 3

4 xFig. 9

x0 3 4 x

Fig. 10

x0 3 4 xFig. 8

3 4 x

Fig. 11y = 1

Paolo Siviglia


Per k = 27

si ha x0 = 4, essendo f(4) = 0.

Cio, per k = 27

si ottiene la retta del fascio

che interseca lasse delle ascisse nel punto x0.= 4.

Si dice che per: = 27k x = 4 ( una soluzione limite), 3 < x0 = 4

Per k = 4 si ha la soluzione x = 3. Infatti, essendo f(3) = 0, la retta del fascio che si ottiene per k = 4 interseca lasse x nel punto x0.= 3.

Si dice che per: k = 4 x = 3 ( una soluzione limite), 3 = x0 < 4 Sintetizzando i risultati, si ha:

per 427 k 43 x

Ci significa che lequazione parametrica data ammette soluzioni i cui valori risultano compresi fra i

numeri 3 e 4 soltanto in corrispondenza dei valori di k compresi fra27

e 4.

5. Risolvere il seguente sistema misto: Rkxkxk

=+

4203)1(

Si risolve il problema considerando il fascio di rette:

y = (k 1)x k + 3 Si ha: 1 coefficiente = k 1 0 per k 1

f(2) = 2(k 1) k + 3 = 2k + 2 k + 3 = 3k + 5 0 per 35k

f(4) = 4(k 1) k + 3 = 4k 4 k + 3 = 3k 1 0 per 31k

Si forma il seguente quadro degli intervalli.

Tenendo presente tutte le considerazioni fatte per lesercizio precedente, dal quadro si ricava:

3 xFig. 12 x0 = 4

4 xFig. 13 x0 = 3

1 C.

f(2) f(4)

Fig. 1431

1

35


Per 31

>

=

0)4(0)2(

01

ff

Ceq. impossibile

Per351 >

>

0)4(0)2(

01

ff

Cx0 < 2 < 4

Per 35=k

>=

>

0)4(0)2(

01

ff

Cx0 = 2 < 4

x Fig. 15

x0 4 2

x

Fig. 16

x0 = 4 2

x Fig. 17

x0 42

x Fig. 18

42 y = 2

x Fig. 19

x0 2 4

x Fig. 20

x0 = 2 4

Paolo Siviglia


Per 35>k

>

0)4(0)2(

01

ff

C 2 < x0 < 4

Quindi, lequazione data ammette radici i cui valori sono compresi fra 2 e 4 per 31k oppure per

35k . Come si vede:

1 per 31


Le radici dellequazione sono comprese fra

1 e 3 per 41a .

7. Risolvere il seguente sistema misto: Rkxkx

=+

32

012

PRIMO PROCEDIMENTO

Poich il coefficiente di x una costante, possibile seguire un procedimento grafico pi semplificato. Si scrive lequazione nel modo seguente:

2x = k 1 Si pu formare cos il sistema:

==

12ky

xy

La prima equazione rappresenta una retta passante per lorigine degli assi coordinati, la seconda, invece, esprime un fascio di rette parallele allasse x.

Il problema equivale alla determinazione dei valori di k in corrispondenza dei quali si hanno rette parallele allasse x che intersecano la retta y = 2x nei punti di ascisse comprese fra 2 e 3. Tali punti sono quelli del segmento AB. Si trovano le coordinate degli estremi di tale segmento.

Si ha: f(2) = yA = 4; f(3) = yB = 6. Risulta: A(2; 4), B(3; 6). Per trovare le rette del fascio y = k 1 passanti per i punti A e B, si deve porre: k 1 = 4 k = 3 k 1 = 6 k = 7

Dal grafico risulta che:

per 3 k 7 2 x 3. SECONDO PROCEDIMENTO

Lesercizio pu essere risolto anche nel modo che segue. Si consideri il fascio di rette:

1a dis.

2a dis

4 1

2

2 Fig. 22

2 O 3 x

y

k 1 = 6 6 k = 7

k 1 = 4 4 k = 3 Fig. 23

B

A

Paolo Siviglia


y = 2x k + 1 Si ha cio un fascio di rette parallele fra loro. Si ricerchi per quali valori del parametro k si ottengono rette del fascio che intersecano lasse x nei punti di ascisse comprese fra 2 e 3.

Si trovi prima per quali valori di k si hanno le rette del fascio passanti rispettivamente per i punti (2; 0) e (3; 0). Sostituendo le coordinate di tali punti nellequazione del fascio di rette, si ha:

0 = 4 k + 1, k = 3 0 = 6 k + 1, k = 7 Le rette del fascio passanti per i punti di cui sopra sono:

y = 2x + 4 e y = 2x 6 Le rette del fascio che intersecano lasse x nei punti di

ascisse comprese fra 2 e 3 si hanno in corrispondenza dei valori di k compresi fra 3 e 7. Quindi, per: 3 k 7 2 x 3.

TERZO PROCEDIMENTO Risolvendo lequazione, si ha:

2

1= kx Tenuto conto delle condizioni poste, si ha:

32

12 k Moltiplicando per 2, si ha: 4 k 1 6 Sommando 1, risulta: 3 k 7. Si perviene al medesimo risultato di prima.


=+

4

0235

Risolvendo lequazione, si ha:

5

23 = kx Poich la condizione x 4 pu essere espressa nel modo seguente: 4 x 4, si ha:

3 2 x O

y

k = 7

k = 3

Fig. 24


45

234 k Moltiplicando per 5, si ha: 20 3k 2 20 Sommando 2, si ha: 18 3k 22 Infine, dividendo per 3, si perviene al risultato:

.3226 k


=+

2

0356

Risolvendo lequazione, si ha:

653 kx =

Poich la condizione x 2 pu essere espressa con x 2 e x 2, si ha: 2

653 k 2

653 k

Moltiplicando per 6, si ha: 3 5k 12 3 5k 12 Sottraendo 3 da entrambi i membri , si ha: 5k 15 5k 9 Infine, dividendo per 5, si perviene ai risultati: k 3

59k

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