Corso di Recupero in Economia Politica - web.uniroma1.it · ... (MICROECONOMIA) ... problema di...

Corso di Recupero in Economia Politica

Jacopo Bonchi

November 28, 2017

IMPORTANTE

Le soluzioni si trovano:

• sul sito del prof. Parello (https://sites.google.com/a/uniroma1.it/economicamente/)

in �materiale didattico� (�esercitazioni�)

• sul PDF intitolato �Esercizi di Macroeconomia� del prof. Ravagnani

che trovate sulla sua pagina web cliccando su �Didattica� e poi �Programmi

d'esame� (https://sites.google.com/a/uniroma1.it/fabioravagnani/insegnamenti)

Molto importante

Gli esercizi fatti in classe non necessariamente assomigliano a quelli dell'esame,

dato che, a seconda del canale, i programmi e le tipologie d'esame sono diverse.

Si consiglia pertanto di cercarsi autonomamente gli esercizi più simili a quelli

d'esame e di formare autonomamente un proprio esercizario conforme agli ar-

gomenti ed alla tipologia d'esame del proprio canale.

1 Massimizzazione dell'utilità

Data la funzione di utilità:

U(x, y) = 8xy

1

ed il vincolo di bilancio:

I = pxx+ pyy

Si determini:

• la funzione reddito-consumo del consumatore (la si rappresenti su uno

spazio (x,y))

• le funzioni di domanda del bene x ed y

• la scelta ottimale del consumatore per I = 24, px = 3 e py = 2

• l'elasticità della domanda di y rispetto al prezzo e rispetto al reddito in

corrispondenza della scelta ottima

SOLUZIONE: sito del prof Parello esercizio 2 dell'esercitazione 3 (MI-

CROECONOMIA) a.a. 2016-2017

2 Max pro�tto e Teoria della Produzione

1. La funzione di produzione del bene Y è pari a:

Y = ALαK1−α

• Trovate l'equazione dell'isoquanto corrispondente ad un generico liv-

ello di output Y.

• Quale regime di rendimenti di scala caratterizza la funzione di pro-

duzione?

• Calcolate le seguenti grandezze: Prodotto medio (AP) e prodotto

marginale (MP) di entrambi i fattori, e tasso di marginale di sosti-

tuzione tecnica (MRTS) tra L e K.

• Calcolate l'elasticità di sostituzione tra il fattore L e il fattore K.

2

SOLUZIONE

Sito del prof Parello esercizio 1 dell'esercitazione 4 (MICROECONOMIA)

a.a. 2015-2016

2. Dalla seguente tecnologia di produzione:

q = xα1xβ2

si ricavino:

• le funzioni di domanda dei fattori produttivi

• la funzione di o�erta

• le quantità q, x1, x2, sapendo che p = 16, α = β = 1/4 e p1 = p2 = 1

SOLUZIONE

Il problema di massimizzazione dell'impresa assume la seguente forma:

maxx1,x2

π = pq − p1x1 − p2x2

s.t.

q = xα1xβ2

Sostituendo il vincolo all'interno del'equazione del pro�tto, π, il problema

diventa:

maxx1,x2

π = pxα1xβ2 − p1x1 − p2x2

Le condizioni del primo ordine, che si ottengono derivando il pro�tto rispetto

a x1 e x2 ed eguagliando le derivate risultanti a 0, sono:

αpxα−11 xβ2 = p1 (1)

βpxα1xβ−12 = p2 (2)

3

Moltiplicando il primo ed il secondo membro della (1) per x1, otteniamo:

αpxα1xβ2 = p1x1 (3)

Ricordando che q = xα1xβ2 e dopo alcune manipolazioni, la (3) può essere

riscritta come:

x1 = αp

p1q (4)

che è la domanda del fattore produttivo x1.

Allo stesso modo, moltiplicando il primo ed il secondo membro della (2) per

x2, ricaviamo:

βpxα1xβ2 = p2x2 (5)

Ricordando che q = xα1xβ2 e dopo alcune manipolazioni, la (5) può essere

riscritta come:

x2 = βp

p2q (6)

che è la domanda del fattore produttivo x2. Per determinare l'o�erta

di q, devo sostituire all'interno della funzione di produzione le domande dei due

fattori produttivi, in questo modo ottengo:

q = xα1xβ2 =

[αp

p1q

]α [βp

p2q

]βEsplicitando l'equazione sopra rispetto a q e dopo alcuni passaggi algebrici

(CHE DOVETE SAPER FARE!), ricaviamo l'o�erta:

q =

[αp

p1

] α1−α−β

[βp

p2

] β1−α−β

(7)

Da notare che la funzione di produzione è di tipo Cobb-Douglas e, quando ha

rendimenti costanti (α+β = 1), la funzione di o�erta non è de�nita. Ciò deriva

4

dal fatto che, con rendimenti costanti, i pro�tti sono nulli indipendentemente

dalla quantità prodotta e, quindi, l'impresa non ha preferenze sulla q da produrre.

Sostituendo i valori dati nel terzo punto dell'esercizio all'interno di (4), (6) e

(7), si ottiene:

x1 = x2 = 4q

q = 4

ossia:

x1 = x2 = 16

q = 4

3 Minimizzazione dei costi

1. Considerate la funzione di produzione Cobb-Douglas:

Q = L2K2

• Supponendo che il prezzo del capitale sia r = 36 e che il prezzo del

lavoro sia w = 4, determinate la retta dell'isocosto

• Determinate le funzioni di domanda derivate di lungo periodo del

capitale, K, e del lavoro, L

• Calcolate a quanto ammonta il costo minimo di lungo periodo del pi-

ano di produzioneQ = 10000, e disegnate la scelta ottima dell'impresa

nel piano (L,K)

SOLUZIONE


a.a. 2016-2017

5

Il prossimo esercizio non è stato svolto in classe, ma è utile da

fare (soprattutto i punti 1 e 3)

2. Considerate la funzione di produzione CES (Constant Elasticity of Sub-

stitution):

Q =√L2 +K2

• Determinate le funzioni di domanda derivate di lungo periodo del

capitale, K, e del lavoro, L

• Determinate il sentiero di espansione dell'output

• Calcolate a quanto ammonta il costo minimo di lungo periodo del pi-

ano di produzioneQ = 10000, e disegnate la scelta ottima dell'impresa

nel piano (L,K)

SOLUZIONE


a.a. 2016-2017

4 Concorrenza perfetta

In questa esercitazione sono presentati due metodi alternativi per risolvere

il problema dell'impresa in concorrenza perfetta.1 Per massimizzare il

pro�tto, l'impresa può:

• determinare l'output che garantisce il max pro�tto (come nel primo

esercizio presentato);

1 In questo caso l'impresa è price-taker, quindi assume i prezzi di input e prodotto comedati.

6

• determinare gli input che garantiscono il max pro�tto e, poi, in-

serirli nella funzione di produzione per ottenere l'output corrispon-

dente (come nel secondo esercizio presentato e nell'esercizio 2 della

seconda esercitazione)

(a) La funzione del costo totale di breve periodo di un'impresa perfetta-

mente concorrenziale è:

STC(Q) = 100 + 20Q+Q

• Trovate la corrispondente curva del costo marginale

• Determinate la quantità ottimale o�erta, Q, per ogni possibile

livello del prezzo P

• Determinate la funzione del pro�tto dell'impresa

• Determinate la funzione del costo totale, il prezzo di chiusura e

la funzione di o�erta di breve periodo dell'impresa

• Supponendo che P = 30, stabilite se all'impresa conviene o meno

uscire dal mercato

SOLUZIONE

Sito del prof Parello esercizio 1 dell'esercitazione 6 (MICROECONO-

MIA) a.a. 2015-2016

(b) Un'impresa perfettamente concorrenziale si trova ad a�rontare un

problema di programmazione di lungo periodo della propria attività

di economica. Le informazioni a sua disposizione sono le seguenti:

• Funzione di produzione: Q = L13K

13

• Prezzi attesi dei fattori L e K: w > 0 (salario orario) e r > 0

(costo orario dei servizi del capitale)

• Prezzo atteso di mercato: P > 0

Determinate:

7

• le funzioni di domanda dei fattori L e K

• la funzione del costo totale di lungo periodo dell'impresa

• le funzioni del costo marginale e medio

• il regime di economia di scala che caratterizza l'impresa

• la quantità ottimale o�erta dall'impresa per ogni P > 0

SOLUZIONE

In classa la forma della funzione di produzione (Q =[L

23K

23

])

era sbagliata, qui sotto trovate l'esercizio corretto

Il problema di massimizzazione dell'impresa assume la seguente forma:

maxL,K

π = PQ− wL− rK

s.t.

Q =[L

13K

13

]Sostituendo il vincolo all'interno del'equazione del pro�tto, π, il prob-

lema diventa:

maxL,K

π = P[L

13K

13

]− wL− rK

Le condizioni del primo ordine, che si ottengono derivando il pro�tto

rispetto a L e K ed eguagliando le derivate risultanti a 0, sono:

1

3PL

−23 K

13 = w (8)

1

3PL

13K

−23 = r (9)

Moltiplicando il primo ed il secondo membro della (8) per L, otteni-

amo:

1

3PL

13K

13 = wL (10)

Ricordando che Q =[L

13K

13

]e dopo alcune manipolazioni, la (10)

8

può essere riscritta come:

L∗ =1

3

(PQ

w

)(11)

che è la domanda del fattore produttivo L.

Allo stesso modo, moltiplicando il primo ed il secondo membro della

(9) per K, ricaviamo:

P1

3L

13K

13 = rK (12)

Ricordando che Q =[L

13K

13

]e dopo alcune manipolazioni, la (12)

può essere riscritta come:

K∗ =1

3

(PQ

r

)(13)

che corrisponde alla domanda del fattore K. Da notare che le

domande, ottenute dal problema di minimizzazione dei costi nell'esercitazione

3, erano �domande derivate�, mentre nel caso di quelle ottenute dal

problema di massimizzazione si parla semplicemente di domande dei

fattori.

Il costo totale è dato da:

CT (Q) = wL∗(Q) + rK∗(Q) = w1

3

(PQ

w

)+ r

1

3

(PQ

r

)cioè:

CT (Q) =2

3PQ

Il costo medio e marginale sono dati, rispettivamente, da:

CMe =CT (Q)

Q=

2

3P

9

CMa =dCT (Q)

dQ=

2

3P

Per determinare i rendimenti di scala bisogna, invece, procedere

nel seguente modo:

Q(λL, λK) = [λL]13 [λK]

13 = λ

23L

13K

13 = λ

23Q

dal momento che λ è elevato ad un valore minore di 1 (=2/3), i

rendimenti sono decrescenti, infatti:

Q(λL, λK) = λ23Q < λQ(L,K)

In�ne, possiamo determinare la quantità ottimale o�erta dall'impresa,

sostituendo le domande dei due fattori nella funzione di produzione:

Q(L∗,K∗) =

[1

3

(PQ

w

)] 13[1

3

(PQ

r

)] 13

Dopo alcuni passaggi algebrici, in�ne, otteniamo:

Q(L∗,K∗) =

[1

9

P 2

wr

]

5 Monopolio

i. La funzione di domanda di mercato di un certo bene X è:

Q = Q(P ) = 12− P

10

Il costo totale di produzione di X è dato da:

TC(Q) = 5Q2

• Trovate il punto d'o�erta del monopolista e posizionatelo in

10

un gra�co

• Calcolate il pro�tto dell'impresa e il surplus del consumatore

e tracciate il gra�co

SOLUZIONE

Sito del prof Parello esercizio 3 dell'esercitazione 7 (MICROE-

CONOMIA) a.a. 2015-2016

ii. Un monopolista si trova a fronteggiare una curva di domanda di

mercato pari a:

Q = Q(P ) = 250− P

5

I costi di produzione totali corrispondono alla funzione:

TC(Q) = 20Q2

• Trovate il punto d'o�erta del monopolista e tracciate il gra�co

• Calcolate il pro�tto dell'impresa e il surplus del consumatore

in corrispondenza del punto di o�erta

• Indicate in un gra�co l'area del pro�tto (o della perdita) e

l'area del surplus del consumatore

• Determinate la perdita secca da monopolio NON FARE

SOLUZIONE

Sito del prof Parello esercizio 1 dell'esercitazione 7 (MICROE-

CONOMIA) a.a. 2015-2016

6 Modello reddito-spesa

La parte teorica è tratta dalle dispense del prof. Saltari, che

potete trovare sul sito del prof. Luigi Ventura sul programma di

Economia Politica, dove trovate anche delle dispense sulla IS-LM

e sulla politica monetaria e �scale nella IS-LM.

11

A. In un certo sistema economico il consumo delle famiglie è

dato dalla seguente funzione:2

C = 200 +1

2Y D

• Supponendo che la tassazione sia uguale ai trasferimenti

(T = TR), scrivere la corrispondente funzione del risparmio

• Supponendo invece che si abbia Y = 1200, T = 200, TR =

100, a quanto ammonterebbe il consumo aggregato C?

• Supponete in�ne che si abbia Y = 1300 e che T e TR

restino invariati ai livelli ipotizzati al precedente punto.

A quanto ammonterebbero il reddito disponibile Y D e il

risparmio aggregato S?

SOLUZIONE

Esercizio 1 del capitolo 3 �IL MERCATO DEI BENI NEL

MODELLO REDDITO-SPESA� (PDF �Esercizi di Macroe-

conomia�)

B. In un'economia chiusa agli scambi con l'estero, e con presenza

dello Stato, valgono le seguenti condizioni:

Y = C + I +G

C = 300 +1

2Y D

Inoltre si ha T = T = 500, TR = TR = 100, I = I = 200,

G = G = 1000 (si noti che in queste ipotesi la tassazione e

i trasferimenti sono interamente autonomi, cioè totalmente

indipendenti dal reddito).

• Calcolare il reddito di equilibrio

2 D'ora in poi con Y D si indicherà il reddito disponibile, che è diverso dalla domandaaggregata, indicata nell'esercitazione 8 con Y D.

12

• Di quanto varierebbe il reddito di equilibrio se l'investimento

I raddoppiasse a parità di tutte le altre condizioni? E

di quanto sarebbero variati i consumi delle famiglie nella

nuova situazione di equilibrio?

• Di quanto varierebbe il reddito di equilibrio se, ferme re-

stando le condizioni iniziali I = 200 e TR = 100, la tas-

sazione T aumentasse a 600 e al tempo stesso G aumen-

tasse a 1100?

SOLUZIONE



conomia�)

C. In un'economia chiusa vale la seguente condizione:

C =2

3Y D

Inoltre, si ha T = T = 300, TR = TR = 0, I = I = 1500,

G = G = 2000.

• Si calcoli il reddito di equilibrio

• Si supponga ora che il reddito di pieno impiego sia Y =

10200. Di quanto dovrebbe aumentare la spesa pubblica

per raggiungere la piena occupazione?

SOLUZIONE



conomia�)

Il prossimo esercizio non è stato svolto in classe, ma

è utile da fare

D. In un'economia chiusa agli scambi con l'estero, e con presenza

dello Stato, valgono le seguenti condizioni:

13

C = 500 +7

8Y D

T = −320 + 1

7Y

Inoltre, si ha TR = TR = 0, I = I = 600, G = G = 300.

• Calcolare il reddito di equilibrio

• Calcolare l'ammontare della tassazione T in corrispondenza

del reddito di equilibrio determinato al punto precedente

• Di quanto varierebbe il reddito di equilibrio se, a parità di

tutte le altre condizioni, I passasse a 700 e G a 100?

SOLUZIONE



conomia�)

7 Esercitazione 7: Modello IS-LM

La parte teorica è tratta dalle dispense del prof. Saltari (vedi

sopra) sulla IS-LM e dal capitolo 19 del libro �Manuale di

economia politica� (nuova edizione) di De Vincenti, Saltari

e Tilli.

E. In un'economia chiusa e senza Pubblica Amministrazione

valgono le seguenti condizioni:

C = 100 +4

5Y

I = 200− 80i

• Determinare l'equazione della scheda IS

SOLUZIONE

14

Esercizio 5 del capitolo 4 �LA FUNZIONE DEGLI INVES-

TIMENTI E LA SCHEDA IS� (PDF �Esercizi di Macroe-

conomia�)

F. In un'economia chiusa e senza Pubblica Amministrazione


L =2

3Y + 100− 10i

M

P= 1300

• Determinare l'equazione della scheda LM

SOLUZIONE

Esercizio 6 del capitolo 5 �LA FUNZIONE DEGLI INVES-

TIMENTI E LA SCHEDA IS� (PDF �Esercizi di Macroe-

conomia�)

G. In un'economia chiusa e senza Pubblica Amministrazione


C = 40 +1

2Y

I = 13− 20i

L =1

2Y + 50− 10i

M

P= 100



• sulla base delle equazioni ottenute ai punti precedenti,

determinare in�ne i valori di Y e i che assicurano simul-

taneamente l'equilibrio sul mercato dei beni e l'equilibrio

sul mercato della moneta

15

SOLUZIONE

Esercizio 7 del capitolo 6 �IL MODELLO IS-LM� (PDF �Es-

ercizi di Macroeconomia�)


è utile da fare

H. In una economia chiusa con presenza della Pubblica Ammin-

istrazione, e nella quale si ha TR = 0, tr = 0 (assenza di

trasferimenti), valgono le seguenti condizioni:

Y = C + I +G

C = 220 +1

2Y D

Y D = Y − T

T = 120 +1

5Y

G = G = 30

I = 50.4− 2i

M

P= L

L =1

2Y + 600− 5

3i

M

P= 800






sul mercato della moneta (si consiglia di calcolare prima

il valore del tasso di interesse)

16

SOLUZIONE

Esercizio 8 del capitolo 6 �IL MODELLO IS-LM� (PDF �Es-

ercizi di Macroeconomia�)


fornisce un utile esempio di come varia il moltipli-

catore e la spesa autonoma nel caso di imposte pro-

porzionali al reddito. I risultati non sono numeri

interi, ma decimali.

I. In una economia chiusa con presenza della Pubblica Ammin-

istrazione, valgono le seguenti condizioni:

C = 100 + 0, 625Y D

t = 0, 2

G = G = 550

I = 200− 1000i

L = Y − 10000i

M

P= 900






sul mercato della moneta

SOLUZIONE

Le equazioni necessarie per determinare la IS sono:

Y = C + I +G

17

C = C + cY D = 100 + 0, 625Y D = 100 + 0, 625(Y − T )

= 100 + 0, 625(Y − tY ) = 100 + 0, 625(1− 0, 2)Y = 100 + 0, 5Y

G = G = 550

I = I − bi = 200− 1000i

Sostituendo le ultime tre equazioni nella prima, si ricava:

Y = 100 + 0, 5Y + 200− 1000i+ 550

che, dopo alcune manipolazioni:

(1− 0, 5)Y = 850− 1000i

Y =1

1− 0, 5(850− 1000i) = 2 (850− 1000i)

assume la forma:

Y = 1700− 2000i

questa è l'equazione della IS. Da notare che il moltipli-

catore keynesiano, con tassazione proporzionale al reddito,

è:

m =1

1− c(1− t)=

1

1− 0, 5= 2

e di�erisce, quindi, dal moltiplicatore nel caso di tassazione

in forma �ssa (vedi esercizio sulla AD-AS nell'esercitazione

successiva):

m =1

1− c

Per determinare la LM le equazioni necessarie sono:

L = kY + L− hi = Y − 10000i

18

M

P= 900

Eguagliando la prima equazione (la domanda di moneta) con

la seconda (o�erta di moneta), otteniamo la condizione di

equilibrio sul mercato della moneta:

900 = Y − 10000i

Poi, esplicitando rispetto ad i la condizione di equilibrio:

i =Y

10000− 900

10000=

Y

1000− 0, 09

determiniamo l'equazione della LM . Inserendo la LM

dentro la IS, si ottiene il valore di equilibrio di Y :

Y = 1700− 2000

(Y

10000− 0, 09

)1, 2Y = 1700 + 180

Y = 1566, 66

Inserendo il valore di equilibrio di Y nella LM , si ricava anche

il valore di i in equilibrio:

i =1566, 66

1000− 0, 09 = 0, 066

8 Esercitazione 8: Modello AD-AS

La parte teorica è tratta dal capitolo 20 del libro �Manuale di

economia politica� (nuova edizione) di De Vincenti, Saltari

e Tilli, così come gli esercizi svolti.

J. Le equazioni che caratterizzano l'economia sono le seguenti:

19

C = C + cY D = 200 + 0, 75Y D = 200 + 0, 75(Y − T + TR)

I = I − bi = 200− 25i

L = kY − hi = Y − 100i

Inoltre, G = G = 100 e T − TR = 100 (le imposte ed i

trasferimenti sono assunti esogeni), M = 1000. Pe quanto

riguarda il lato dell'o�erta di questa economia, si assuma che

la funzione di produzione aggregate sia F (N) = 180√N e che

il salario monetario sia W0 = 180. Determinare l'equazione

della domanda e dell'o�erta aggregata, l'occupazione, il salario

reale, il reddito ed il livello dei prezzi di equilibrio.

SOLUZIONE

Come spiegato nella parte teorica, la domanda aggregata si

ottiene inserendo la LM (equazione (15)) all'interno della IS

(equazione (14)):3

Y D =1

1− c[C + I +G− c(T − TR)− bi

]= m [A− bi]

(14)

i =k

hY − 1

h

M

P(15)

dove A = C + I + G − c(T − TR) e m = 11−c .

4 Seguendo

la procedura anzidetta,5 dopo alcuni passaggi, si ottiene la

generica domanda aggregata:

3 Determinatevi autonomamente IS ed LM , che si ottengono, rispettivamente, partendodall'equilibrio del mercato beni e della moneta ed esplicitando le equazioni rispetto ad Y edi, come mostrato nell'esercitazione precedente.

4 IMPORTANTE: da notare che la forma di m, cioè del moltiplicatore, cambia a sec-onda delle ipotesi fatte, in particolare di quelle relative alla tassazione (vedi esercizio Edell'esercitazione precedente).

5 Una procedura alternativa, ma del tutto equivalente, consiste nel sostituire i valori dellevariabili nelle equazioni, durante la costruzione della IS e LM , e determinare immediatamentela domanda aggregata in termini numerici.

20

Y D =mh

mbk + hA+

mb

mbk + h

M

P

Sostituendo i valori assunti delle variabili, l'equazione sopra

diventa:

Y D =(4 ∗ 100)

(4 ∗ 25 ∗ 1) + 100[200+200−(0, 75∗100)]+ (4 ∗ 25)

(4 ∗ 25 ∗ 1) + 100

1000

P

In�ne, svolgendo i calcoli, otteniamo la domanda aggre-

gata:

Y D = 850 +500

P

Per quanto riguarda la determinazione dell'o�erta aggregata,

bisogna partire dalla condizione di max pro�tto delle imp-

rese:

F′(N) =

W0

P

Data la forma della funzione di produzione e il valore del

salario nominale, la condizione sopra assume la seguente forma:

1

2180N

12−1 =

1800

P

da cui si ricava, dopo diversi passaggi, la domanda di lavoro:

N =

(P

2

)2

Sostituendo la domanda di lavoro nella funzione di produzione,

si determina l'o�erta aggregata:

Y S = 180

√(P

2

)2

= 90P

21

Per trovare il livello di Y e P di equilibrio, bisogna com-

binare la domanda e l'o�erta aggregata, facendo così ricavi-

amo (il valore di P è la radice positiva del polinomio di sec-

ondo grado):

Y ∗ = 900

P ∗ = 10

Sostituendo il valore di P nell'equazione del salario reale,

abbiamo:W0

P=

180

10= 18

e, sostituendo il valore di Y nella funzione di produzione ed

esplicitandola rispetto ad N , ricaviamo l'occupazione:

N =

(Y

180

)2

=

(900

180

)2

= 25

22

Corso di Recupero in Economia Politica - web.uniroma1.it · ... (MICROECONOMIA) ... problema di...

Documents

Transcript of Corso di Recupero in Economia Politica - web.uniroma1.it · ... (MICROECONOMIA) ... problema di...