Corso di Laurea in Informatica Analisi Numerica (1° mod., 6...

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Corso di Laurea in Infomatica

Corso di Laurea in Matematica Matematica Computazionale(6cfu)

Ottimizzazione(8cfu)

(a.a. 2013-14, lez.1)

Docente: Marco Gaviano

(e-mail:[email protected])

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Matematica Computazionale, Ottimizzazione, a.a. 2013-14, Lezione, n.1

Gli argomenti del corso rientrano nell’ambito

più generale della Ricerca Operativa.

Questa ha lo scopo di fornire strumenti

matematici di supporto alle attività decisionali

in cui occorre gestire e coordinare attività e

risorse al fine di effettuare le scelte migliori

per raggiungere un determinato obiettivo.

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Storia

La nascita della Ricerca Operativa è dovuta

ad esigenze di tipo militare, durante la

seconda guerra mondiale.

Immediatamente prima e durante la seconda

guerra furono creati alcuni gruppi di ricerca

orientati alla soluzione di importanti

problemi di ordine strategico e tattico

collegati alla difesa nazionale.

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Tra questi importante fu il problema (tra il 1935

e il 1937 nel Regno Unito) di ottimizzare la

distribuzione delle apparecchiature radar sul

territorio e di inviare via radio la segnalazione

ad opportune località .

A.P. Rowe, sovrintendente della "Bawdsey

Research Station", nel 1938, utilizzò per la prima

volta l'espressione "Operational Research".

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Fasi per la risoluzione di un problema

•esame della situazione reale e raccolta delle informazioni;

•formulazione del problema (individuazione delle variabili

e scelta della funzione obbiettivo da massimizzare o

minimizzare);

•costruzione del modello matematico che rispecchi il più

possibile il problema reale;

•soluzione e verifica del modello matematico;

•verifica delle soluzioni ottenute in rapporto al problema

reale (si verifica se la funzione obbiettivo offre vantaggi e

si verifica la rappresentatività del modello).

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definizione

del

problema reale

costruzione

del

modello

verifica che la

soluzione trovata

risolve il problema reale

analisi

della

soluzione trovata

formulazione

del

problema matematico

risoluzione

del

problema matematico

Fasi della Ricerca Operativa

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Obiettivo del corso

Dati un problema reale lo studente dovrà

•Individuare una possibile modellizzazione matematica

•conoscere i metodi per la soluzione del modello.

•scrivere ed implementare gli algoritmi conseguenti

• trovare le soluzioni numeriche

•valutare l’affidabilità delle soluzioni

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Il modo di operare

• Descrizione di problemi reali

• Presentazione del modello matematico

• Presentazione di risultati teorici relativi al

modello

• Studio di metodi numerici che possono risolvere il

modello e loro implementazione.

• Scrittura degli algoritmi in un linguaggio di

programmazione

• Presentazione del software commerciale

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Il corso consiste in

lezioni teoriche integrate da attività di

laboratorio in cui agli studenti sono assegnati

dei problemi da risolvere o con programmi già

disponibili o con codici da mettere a punto.

Ad ogni studente è assegnato un progetto da

valutare nella prova orale

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Programma del corso

Programmazione Lineare

•Risultati teorici fondamentali.

•Il metodo del Simplesso .

•Dualità e sensibilità.

•Interpretazione economica della dualità.

•Complessità computazionale.

•Altri algoritmi di risoluzione.

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Programmazione NonLineare

•Risultati teorici fondamentali.

•Minimizzazione non vincolata .

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Testi di riferimento

Hillier F.S., Lieberman G.J.:Introduction to

Operations Research, McGraw Hill 2005

Ravindran A.,Phillips D.T.Solberg J.: Operations

Research,John Wiley, 1987

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Testi di riferimento per il laboratorio

W.J Palm III, Matlab 6, Mc Graw-Hill.

W.H. Press et alii., Numerical Recipes, The art of

Scientific Computing, Cambridge Press.

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Modalità dell’esame

prove scritte

1 prova finale

prova orale

1 prova finale per la verifica della conoscenza

della parte teorica, dell’attività di laboratorio

e della valutazione del progetto assegnato.

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Informazioni utili

Gli schemi delle lezioni e i problemi assegnati

nel laboratorio saranno disponibili all’indirizzo

informatica.unica.it

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Corso di Laurea in Infomatica

Corso di Laurea in Matematica

Matematica Computazionale(6cfu)

Ottimizzazione(8cfu)

(a.a. 2013-14, lez.2)

Docente: Marco Gaviano

(e-mail:[email protected])

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Esempi di problemi risolvibili mediante l’ottimizzazione

Scelta di una strategia di produzione

Un’azienda deve decidere la strategia per la produzione di un

certo prodotto: si utilizzano operai e materiali vari.

La quantità di materiale disponibile giornalmente è: 200 Kg.

Ugualmente c’è un vincolo per le ore di lavoro disponibili:

150 ore.

Si possono utilizzare 3 linee di produzione ciascuna con

caratteristiche diverse:


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linea produzione A B C

n.ore lavoro per unità prodotta 7 3 6

quantità materiale per unità prodotta 4 4 5

profitto 4 2 3

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Problema

Si vogliono determinare le quantità prodotte dalle

linea di produzione A, B e C in modo da ottenere il

massimo profitto

Il problema può tradursi in linguaggio matematico nel

modo seguente

20


)negativitànon(vincoli0x,0x,0x

e)disponibil materiale(vincolo2005x4x4x

i)disponibilore(vincolo1506x3x7x

condizionilesotto

3x2x4x)x,x,z(xreMassimizza

CBA

CBA

CBA

CBACBA

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Gestione di un bacino idroelettrico

Si abbia un bacino d'acqua che rifornisce n centrali

idroelettriche Ei i=1,…,n secondo il seguente schema

c1 c2 … cn

E1 E2 … En

Bacino d’acqua

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• Ogni condotta ha una portata massima ci per ora.

• La quantità di energia prodotta deve essere in un'ora

maggiore o uguale a Pk , k=1,..,24.

• In una giornata può essere consumata al più una

quantità d'acqua Q.

Le centrali devono produrre energia elettrica con

la condizione che vengano rispettati i seguenti

vincoli.

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Problema

Si vogliono determinare le portate orarie xi,k di ciascuna

condotta in modo da soddisfare i vincoli.

(si sa che ad un portata xi,k corrisponde una potenza a·xi,k ).


modo seguente

24


Modellizzazione matematica

k)oranell'erogata(potenzaPax

prelevata)acquad'(quantitàQx

portata)sulla(vincolicx

condizionilesotto

xz(x)eMinimizzar

k

i

ki,

ki,

ki,

iki,

ki,

ki,

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Scelta di una Campagna Pubblicitaria

Una azienda di pubblicità deve pianificare una campagna

di spot pubblicitari in televisione, alla radio e sui giornali.

L’azienda ha fissato una spesa totale non superiore a

800.000 Eu. Inoltre richiede che

a) Almeno 2 milioni siano i potenziali utenti donne.

b) La spesa per la televisione non superi 500.000Eu.

c) Almeno 3 spot siano in televisione la mattina.

d) Almeno 2 spot siano in televisione la sera.

e) Il numero di spot su radio e giornali siano tra 5 e 10.

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Televisione

mattino

Televisione

sera

Radio Giornali

Costo per una unità

pubblicitaria

40.000 75.000 30.000 15.000

No.potenz. utenti

per una unità pubbl.

400.000 900.000 500.000 200.000

No.potenz. donne

per una unità pubbl.

300.000 400.000 200.000 100.000

Si dispone della seguente tabella

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Problema

Si vogliono determinare le unità pubblicitarie per

ciascun media in modo da raggiungere il numero

massimo di potenziali utenti


modo seguente

28



Si denotino con x1, x2, x3 e x4 le unità pubblicitarie da

calcolare per i vari media. Il numero di potenziali utenti

è espresso dalla funzione obbiettivo

Ciascun vincolo può tradursi in una disequazione.

Il problema può descriversi come

4321 200x500x900x400xz(x)

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,10x5,x,10x5,x,2x,3x

telev.)costo(vincolo50075x40x

donne)utenti(vincolo20010x20x40x30x

totale)costo(vincolo80015x30x75x40x

condizionilesotto

200x500x900x400xz(x)eMinimizzar

443321

21

4321

4321

4321

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Miscellazione ottimale

Una compagnia petrolifera produce due tipi di benzina

normale e verde che vende alla sua catena di distribuzione

per 12 e 14 euro al barile. Le due benzine provengono da

petrolio nazionale ed importato. Esse devono soddisfare i

requisiti della seguente tabella

Pressione

massima

vapore

numero

minimo

ottani

domanda

massima

barile/sett

consegne

minime

barile/sett

Normale 23 88 100.000 50.000

Verde 23 93 20.000 5.000

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pressione

vapore

numero

ottani

scorte

barili

costo

euro/barile

nazionale 25 87 40.000 8

importato 15 98 60.000 15

Le caratteristiche delle scorte sono

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Problema

Quali quantità dei due petroli (nazionale ed importato)

devono essere miscelati nelle due benzine per ottenere il

massimo profitto settimanale?


modo seguente

33



Si pone

x1 barili di petrolio nazionale miscelato nella benzina normale

x2 barili di petrolio estero miscelato nella benzina normale

x3 barili di petrolio nazionale miscelato nella benzina verde

x4 barili di petrolio estero miscelato nella benzina verde

x1+x2 è la quantità di benzina normale prodotta. Essa dà il

ricavo 12(x1+x2 ). La quantità di benzina verde venduta dà il

ricavo 14(x3+x4 ).

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Si impiegherà la quantità x1+x3 di petrolio nazionale al costo

di 8(x1+x3 ) e x2+x4 di petrolio importato al costo 15(x2+x4 ).

Dunque si deve massimizzare (funzione obbiettivo)

z = 12(x1+x2 )+14(x2+x4)-8(x1+x3 )-15(x2+x4 )

= 4x1-3x2+6x3-x4

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Si devono ora soddisfare i vincoli. Per la domanda si ha

x1+x2 100.000 (massima domanda di benzina normale)

x3+x4 20.000 (massima domanda di benzina verde)

x1+x2 50.000 (fabbisogno minimo di benzina normale)

x3+x4 5.000 (fabbisogno minimo di benzina verde).

Per la disponibilità si ha

x1+x 3 40.000 (nazionale)

x2+x4 60.000 (estero).

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I componenti di una miscela contribuiscono a determinare

il numero complessivo di ottani a seconda della propria

percentuale di peso; lo stesso vale nel caso della pressione

del vapore. Pertanto il numero di ottani della benzina

normale è

ed il requisito richiesto che questo tipo di benzina abbia

almeno 88 ottani è espresso da

x1-10x2 0;

21

2

21

1 9887xx

x

xx

x

37


Analogamente si ottiene

6x3-5x4< 0 (vincolo relativo agli ottani della verde)

2x1-8x2< 0 (vincolo relativo alla pressione del vapore nella normale)

2x3-8x4< 0 (vincolo relativo alla pressione del vapore nella verde)

Considerando i vincoli di non negatività si ottiene il

problema finale

38


estero scorte60.000xx

nazionale scorte40.000xx

verdedomanda massima20.000xx

normale domanda massima100.000xx

condizionilesotto

x-6x3x-4x x)z(reMassimizza

42

31

43

21

4321

39


0,,,

verderichiesta5000xx

normale richiesta50.000xx

verdevapore08x2x

normale vapore08x2x

verdeottani05x6x

normale ottani010xx

4321

43

21

43

21

43

21

xxxx

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Criteri di Modellizzazione

• Raccogliere il maggior numero di elementi che

descrivono la situazione reale.

• Costruire un modello il più vicino possibile alla

realtà.

• Condurre rigorosamente la fase di costruzione del

modello.

• Non costruire un modello sofisticato quando uno

semplice è sufficiente.

• Non dimenticare che un modello è un’astrazione

della realtà.

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