CORSO DI INSEGNAMENTO IN FISICA - med.unipg.it Didattico/Fisica canale B 2012 2013... · Meccanica...

CORSO DI INSEGNAMENTO IN

FISICA PARTE II

Corsi di Laurea

Odontoiatria e Protesi Dentaria

Medicina e Chirurgia (canale B)

Università degli Studi di Perugia

1 Nevio Forini - Università degli Studi di

Perugia

SECONDA PARTE: SISTEMI E FENOMENI

PARTICOLARI

Meccanica dei Liquidi (Fluidi) – (DG) cap 10

Fasi della Materia

• Solido – forma e volume proprio – molecole aggregate da forze

relativamente intense

Fluidi- non hanno forma propria

• Liquido - ha volume proprio: le molecole sono legate tra loro e non possono

avvicinarsi né allontanarsi (come tante bilie in un contenitore…).

Trasmettono le forze di compressione, ma non quelle di taglio

• Aeriforme : hanno il volume del contenitore (possono essere espansi o

compressi). Esercitano forze di compressione mediante gli urti delle

molecole (forze impulsive) la cui intensità è quindi dipendente dalla

temperatura.

Massa volumica e Densità

• Massa volumica (già densità): massa contenuta nell’unità di volume ρ:=M/V

unità kg m-3 (o g cm-3) – Es massa volumica dell’acqua pura

• Densità (già densità relativa): d = ρm/ρa - adimensionale

• Es densità del ferro, aria, piombo, mercurio

Idrostatica

Principio di Pascal e Pressione

Come in una corda le forze di tensione, in un liquido

incomprimibile in quiete le forze di compressione

(perpendicolari alle superfici) vengono trasmesse in

tutte le direzioni in modo che la loro intensità per

unità di area si trasmette inalterata in tutte le

superfici (del liquido, del contenitore e dei corpi

immersi), comunque orientate

Si definisce quindi PRESSIONE in un punto di un

liquido p(P) la forza di compressione

(perpendicolare alla superficie) esercitata dal

liquido sull’unità di area di superficie (liquido in

pressione). P = Fc / A

L’unità SI della pressione è il N/m2 che prende il nome

speciale di pascal (Pa)

Viceversa, un liquido avente pressione p, eserciterà su

una superficie di area A una forza di compressione

pari a Fc = p A

Il corpo umano è immerso nel

fluido atmosferico (in pressione)

ed è sottoposto a una pressione

(atmosferica) pari a circa 100

000 Pa. Il sangue del sistema

circolatorio, inoltre, viene

ulteriormente compresso dalle

contrazioni cardiache

raggiungendo una pressione

(arteriosa) pari a circa 115000

(quindi 15000 Pa maggiore di

quella esterna)

Manometri, Barometri e Unità di misura

Lo strumento di misura della pressione è il manometro, quello della pressione

atmosferica è il barometro.

Spesso il funzionamento del manometro è tale che fornisce direttamente la

differenza tra il valore assoluto della pressione e il valore della pressione esterna

(manometro relativo). Pressione relativa pr = p - patm (es pressione arteriosa)

In un manometro a U : pr = ρ g h

Leva idraulica

Il principio di Pascal può essere applicato per spiegare il funzionamento del

martinetto idraulico:

p in = p out da cui Fin/Ain = Fout/Aout o, in analogia con la legge della leva, per la

quale sono state introdotte le forze ‘Potenza e Resistenza’:

(R/P) = V = AP/AR (attenzione perché il vantaggio in questo caso è pari al rapporto

tra l’Area in corrispondenza della Potenza e l’area su cui è distribuita la

Resistenza)

Pressione idrostatica

• Nel caso di un liquido (fluido) immerso in un campo di gravità (fluido pesante), ogni

strato di liquido esercita su quello sottostante una forza di compressione in modo

che la pressione si trasmette in modo tale da aumentare via via che aumenta la

profondità

• si dimostra il Teorema di Stevino (legge dell’idrostatica):

p = p0 + ρ g y (y = profondità, p0 = pressione esterna): la pressione in un punto di

un liquido è pari alla pressione esterna più un termine chiamato PRESSIONE

IDROSTATICA (ρ g y) che dipende dalla profondità del punto (cioè dalla distanza

tra il livello della superficie esterna e quello del punto) y = H-h

• Ad esempio, ogni 10 m di acqua di profondità corrispondono a un aumento di

pressione pari a 1 atm

H

h

y

Misura della pressione arteriosa

p = g h es. cervello/aorta:

Posiz. eretta: p ~ -40 mmHg

Posiz. supina: p ~ -5 mmHg

LA MISURA DELLA

PRESSIONE ARTERIOSA

VIENE FATTA A LIVELLO

DEL CUORE

Effetto delle intense accelerazioni sulla pressione arteriosa

Nel caso di accelerazioni verticali (testa-piedi e viceversa) l’accelerazione apparente G può essere molto maggiore di g e così il fattore idrostatico ρgh

Per G = 3g:

- Nel senso piedi-testa: diminuzione della pressione arteriosa al cervello che potrebbe determinare la chiusura delle arterie e quindi ISCHEMIA

- Nel senso testa-piedi: aumento della pressione arteriosa al cervello che potrebbe comportare emorragie (retina, cerebrali)

PRECAUZIONI: INTENSE ACCELERAZIONI RACCOMANDATE IN DIREZIONE “ORIZZONTALE”

Paradosso idrostatico

– Come si spiega il paradosso idrostatico: considerando le forze di pressione

trasmesse al piatto di una bilancia, come è possibile che i 3 vasi abbiano peso

diverso? Oltre alla forza di compressione trasmessa dalla base alla bilancia,

occorre considerare anche le forze di compressione laterali che possono dare

un contributo, come si vede, positivo o negativo

Principio dei vasi comunicanti

Formalmente, la relazione di Stevino può essere interpretata: a pari

pressioni (es. atmosferica) corrispondono uguali altezze, da cui la

legge dei vasi comunicanti

foro

Spinta di Archimede

• Spinta di Archimede o di galleggiamento (Principio di Archimede) – Esercitata dal liquido (fluido) sul corpo immerso (totalmente o parzialmente)

– Dal basso verso l’alto

– Applicata al Centro di spinta (baricentro del liquido spostato)

– Intensità pari al peso del fluido spostato S = Mfs g = ρf Vi g

• E’ possibile interpretare la S come la risultante delle compressioni esercitate

da un liquido pesante sul corpo immerso

Galleggiamento

• Peso apparente (per un corpo totalmente

immerso):

Pa = P – S = Vg (ρc –ρf) per cui la condizione

di galleggiamento è (ρc < ρf)

• Densimetro- può essere costituito da un

cilindro appesantito sul fondo e graduato

lungo l’altezza in termini di densità: maggiore

sarà la densità del liquido, maggiore sarà la

frazione emersa del volume del cilindro

• Stabilità di un corpo che galleggia: baricentro

del corpo al di sopra del centro di spinta

Tensione Superficiale

Esercitata da ogni elemento di superficie su

quello adiacente (tensione)

Forza di contatto distribuita sul bordo della

superficie

Tangente alla superficie nel senso della

riduzione dell’area dell’elemento di

superficie che la esercita

Intensità : mentre è ovvio che dipenda

linearmente dalla lunghezza del ‘bordo’ della

superficie ‘(b=2l), essa NON cambia con

l’allungamento della superficie stessa

Dipende inoltre dalla natura dell’interfaccia,

ovvero dalle due sostanze divise dalla

superficie, per tramite di un coefficiente

chiamato COEFFICIENTE DI TENSIONE

SUPERFICIALE (γ) la cui u.m. è il N/m (o

N/cm) F = γ1,2 b

Tensione Superficiale

• L’origine di tale forza può essere spiegata considerando

un’interfaccia (superficie) che divide due sostanze

(tipicamente un liquido (sotto) e un gas (aria, sopra). Le

molecole ‘superficiali’ (distanti dalla superficie fino a

qualche centinaia di nanometri) sono sottoposte a una

forza di attrazione intermolecolare maggiore verso il

volume del liquido che verso il volume del gas. Tale forza

risultante dipende dalla natura dell’interfaccia (cioè da

entrambe le sostanze).

• Quando si cerca di dilatare la superficie (frecce rosse

orizzontali) si sperimenta una forza contraria (tangente

alla superficie) dovuta al fatto che tale dilatazione

comporta il trascinamento verso l’alto delle particelle

‘superficiali’ attratte dal volume del liquido.

• I valori dei coefficienti di tensione superficiale riportati in

tabella per alcuni fluidi sono relativi all’aria.

1

2

Conseguenze della Tensione Superficiale

• Forma sferica delle (piccole) gocce e bolle

• Sostentamento dei piccoli oggetti

• Pressione di Laplace: tra la parte concava e

quella convessa di una superficie liquida con

curvatura R c’è una differenza di pressione pari

a pint – pest = 2 γ / R

• Capillarità: fenomeno di trasporto: nel caso la

forza di coesione tra le molecole del liquido sia

maggiore di quella di adesione con le pareti del

contenitore (menisco concavo) la forza di

tensione superficiale ha una componente verso

l’alto (es. acqua in capillare di vetro). Viceversa

per mercurio in capillare di vetro)

Le Leggi della Fisica

Osservazioni

Nevio Forini - Università degli Studi di

Perugia 20

LEGGI DELL’IDROSTATICA


Perugia 21

PRINCIPIO

di Pascal

H

h

y

LEGGE

di Stevino

deducibile dalle leggi

di Newton (Teorema)

LEGGE

della t. superficiale

Legge empirica

(metodo induttivo)

-Tali leggi hanno, in generale, un ben definito AMBITO DI VALIDITA’.

-E’ possibile, tuttavia, che conservino efficacia, almeno IN FORMA

APPROSSIMATA o QUALITATIVA, anche fuori da tali ambiti

Legge Empirica di tipo Lineare • La legge riguardante la tensione superficiale è una tipica legge empirica di tipo

lineare (che vuole esemplificare tutte le altre comprese nel programma):

l’intensità della tensione superficiale (F) è DIRETTAMENTE PROPORZIONALE

alla lunghezza del bordo (b) su cui agisce; il loro rapporto (F/b) è quindi una

costante, caratteristica del liquido (considerando l’aria come mezzo 2 per

semplicità). Tale rapporto (F/b) equivale alla tensione superficiale che il liquido

esercita su un bordo di lunghezza unitaria (in termini di unità S.I.: i newton

esercitati su ogni metro di bordo).

• A tale rapporto (F/b) si dà il nome di ‘coefficiente di tensione superficiale del

liquido’ e si indica con γliquido. Quindi γliquido = F/b. Ad es. : γacqua = 7 mN//m significa

che una massa d’acqua eserciterebbe una forza di tensione superficiale pari ad

appena 7 mN su un bordo di lunghezza 1 m, 14 mN su 2 m e così via. I valori dei

coefficienti di tensione superficiale vengono riportati in tabelle per i vari liquidi di

interesse, anche in funzione della loro temperatura.

• Da quanto detto, risulta impreciso e fuorviante esprimere la legge riguardante la

tensione superficiale così: “l’intensità della tensione superficiale dipende dalla

lunghezza del bordo su cui è esercitata e dal coefficiente di tensione superficiale

dell’interfaccia”.


Perugia 22

Legge Empirica di tipo Lineare

• Una legge empirica di tipo lineare tra due grandezze

X e Y può essere rappresentata graficamente nel

piano X-Y come una retta.

• Il coefficiente di proporzionalità è rappresentato dalla

pendenza di tale retta (coefficiente angolare – m )

• L’intercetta (q) della retta (intersezione asse Y)

rappresenta il valore della grandezza Y quando X =0

• La legge viene ricavata sperimentalmente

effettuando misure di Y per differenti valori di X. Ogni

coppia di misure rappresenta un punto sperimentale

nel piano X-Y.

• Tecniche di elaborazione statistica dei dati

sperimentali permettono di verificare se la

dipendenza è veramente di tipo lineare e, nel caso,

trovare la ‘miglior retta’ ossia i parametri m e q

(metodo della regressione lineare).


Perugia 23

Y

X

Y

X

+ + +

+ +

+

m

q

Idrodinamica

Portata e Legge di Continuità

• In un condotto, si definisce portata in volume Qv

attraverso una sezione del condotto: il volume di

liquido che attraversa quella sezione nell’unità di

tempo. Si misura in m3/s (e non l/min)

• Si dimostra che Qv = v A , dove v è la velocità

media del fluido e A l’area della sezione del

condotto.

• La portata in massa Qm è pari alla massa di

liquido che attraversa la sezione nell’unità di

tempo ed è tale che Qm = ρ Qv. Si misura in kg/s

• In un flusso ove non vi siano perdite (pozzi) né

sorgenti di fluido e ove questo non cambi la sua

densità (es liquido), ogni sezione è attraversata

dalla stessa portata: Qv = cost., ovvero : v e A

sono inversamente proporzionali: v A = cost.

• Occorre precisare che ove il flusso sia ramificato,

A rappresenta l’area della sezione totale (di tutti i

rami).

Q sangue = 83 cm3/s (media)

Teorema di Bernouilli

• Per un fluido ideale (incomprimibile e senza

attriti) in moto stazionario, si dimostra (teorema)

che sussiste la seguente relazione tra la

pressione (P), la velocità (di scorrimento) e

l’altezza in ogni punto del fluido:

• In ogni punto del condotto, cioè, risulta costante

la somma dei tre termini; in particolare, per un

condotto di altezza costante, a velocità maggiori

corrispondono pressioni minori:

P2 – P1 = ½ ρ (v12 – v2

2) = pressione idrodinamica

Esempi e Applicazioni della Pressione

Idrodinamica

Viscosità

• La viscosità è un fenomeno tipico dei liquidi reali

in moto, dovuto all’attrito interno tra gli strati di

liquido che esercita una forza ‘di taglio’ che si

oppone al flusso. Nell’esempio in figura si nota

che è necessaria una forza esterna per

mantenere il piatto mobile a una velocità v.

• Nel caso in cui il moto risulti laminare e non

turbolento, l’intensità della forza è direttamente

proporzionale alla velocità di scorrimento v e

all’area A del piatto mobile, e inversamente

proporzionale alla distanza (l) tra i piatti.

• Introducendo le grandezze: gradiente della

velocità (g=v/l) e sforzo di taglio (s=F/A), si ha

una diretta proporzionalità tra (s) e (g) che rende

possibile definire la VISCOSITA’ DINAMICA (η) di un liquido come il loro rapporto: η = s/g.

• L’unità SI di η è il Pa s; l’unità cgs è il poise (P),

1 Pa s = 10 P. La viscosità di un liquido

diminuisce con l’aumentare della temperatura.

η = (F/A) / (v/l)

Equazione di Poiseuille

• Per mantenere una certa portata (Q) in un

fluido reale (viscoso), occorre stabilire tra i capi

del condotto una differenza di pressione

(maggiore a monte che a valle)

• Nel caso di un liquido newtoniano (con η non

dipendente da v) e in moto laminare (non

turbolento) si trova che portata e differenza di

pressione sono direttamente proporzionali:

• ne segue: – La pressione sanguigna diminuisce dalle arterie alle

vene (con L)

– Perché aumenti Q (per aumento dell’attività) occorre

che aumenti Δp (frequenza e intensità contrazioni

cardiache)

– una piccola variazione di R può riflettersi in un grande

cambiamento di Q (selettività del flusso nei vari

compartimenti prodotto dalla contrazione delle

arteriole)

– La riduzione del lume per ispessimento o per placche

arteriosclerotiche determina un patologico aumento

della pressione affinché Q rimanga sufficientemente

elevato (ipertensione arteriosa).

Numero di Reynolds: Re = ρLv/η

< 1200 moto laminare

1200<Re<10000 regime transizione

> 10000 moto turbolento

Equazione di Poiseuille

Q = Δp / R,

R = resistenza idraulica

R = (8/π) η L / r4

Temperatura e Calore – (DG) Cap. 13 e 14

Temperatura e Termometri

La temperatura è un indice della sensazione fisiologica del caldo/freddo e, in

accordo con la Teoria Cinetica è un indice della energia cinetica media molecolare

Definizione operativa: la temperatura è quella grandezza misurata mediante un

termometro. Uno strumento che misura direttamente una grandezza (grandezza

termometrica) correlata alla temperatura tramite una SCALA TERMOMETRICA: es

1. scala termometrica CELSIUS: definisce il grado celsius (°C);

2. scala termometrica KELVIN: definisce il kelvin (K) – 0 K è la temperatura minima

Con: T/K = t/°C + 273,15 : mentre il valore numerico della temperatura di un corpo

è diverso se espresso nelle due unità, le differenze di temperatura non lo sono.

Termometri (grandezza termometrica):

a espansione liquida (altezza colonna)

a lamina bimetallica (angolo di torsione)

a gas perfetto (pressione o volume)

a resistenza elettrica (resistenza elettrica)

a termocoppia (tensione elettrica)

Dilatazione Termica

La legge della dilatazione termica può essere

interpretata come una legge empirica lineare

(tra l’allungamento relativo e l’aumento della

temperatura):

ΔL/L = α ΔT

Con α coefficiente di dilatazione termica

lineare, definito dal rapporto (ΔL/L) / ΔT .

Rapporto che, non dipendendo da ΔT, è una

caratteristica del materiale di cui è composto il

corpo che si dilata e da altri parametri come la

temperatura del corpo stesso.

Dalla legge precedente si ricava quella che

riguarda il volume del corpo

ΔV/V = β ΔT con β, coefficiente di dilatazione

termica di volume, pari a circa 3 α

Gas Perfetto

• Un sistema termodinamico è definito GAS

PERFETTO se segue la LEGGE DI STATO DEI

GAS PERFETTI:

P V = n R T con R = costante universale dei gas

perfetti = 8,314 J / K mol

• La legge suddetta può essere dedotta dalla Teoria

Cinetica (dei gas) applicata a un modello di N0

particelle non interagenti se non per urti elastici e

di volume trascurabile, contenute in un volume V.

• Il comportamento dei gas reali si approssima a

quello descritto dalla legge dei gas perfetti tanto

più sono rarefatti

Gas Reale

• Sistemi il cui comportamento

termodinamico si discosta da quello che

definisce il gas perfetto: molecole

interagenti e con volume proprio

(potenziale di Lennard-Jones)

• Es- Legge di stato di V. d. Waals:

• (P+a) (V-b) = n R T

• R = costante universale dei gas perfetti =

8,314 J / K mol

(Diagramma di Andrews)

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Potenziale_intermolecolare.PNG

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Gas_reale.PNG

Calore

Energia trasmessa (si ricordi il primo principio della termodinamica) in virtù di una

differenza di temperatura.

Q (quantità di calore)/ J

1 cal = 4,186 J

H = flusso di calore attraverso una sezione = quantità di calore che attraversa una

sezione nell’unità di tempo / J s-1 = W (watt)

Meccanismi di trasferimento del calore:

1. Conduzione

2. Convezione

3. Irraggiamento

Conduzione

Legge di Fourier

Hc = k A (T2 – T1) / l

k = coefficiente di conducibilità termica

(conduttività termica)

Convezione

Naturale / Forzata

Irraggiamento

Legge di Stefan

Hi = e σ A (T41 – T4

2)

e = emissività (e < 1 emissività di corpo nero)

σ = costante di Stefan = 5,67 10-8 W / m2 K-4

Irraggiamento Solare

Il flusso di calore che attraversa 1 m2 di superficie disposta trasversalmente ai raggi

solari (detto Costante solare CS) è pari a = 1350 W m-2

Attenuazione / Assorbimento da parte dell’atmosfera (dal 70% al 30%)

Flusso di calore in ingresso per irraggiamento solare: Hin = CS cosθ

Bilanciamento Termico Uomo-Ambiente

M ± K ± C ± I - E = 0

200 W – 10 W - 100 W – 80 W - 10 W = 0 W

Hin Hout

Hin - Hout = 0

Effetti della somministrazione di calore

RISCALDAMENTO

TRASFORMAZIONE DI FASE (STATO DI AGGREGAZIONE)

Legge del Riscaldamento

Legge Lineare

Q = C ΔT

C = cs m oppure C = c n

C = capacità termica / J K-1

cs = calore specifico / J K-1 kg-1

c = capacità termica molare / J K-1 mol-1

TEMPERATURA DI EQUILIBRIO

Qin = Qout

cs1 m1 (Teq – T1) = cs2 m2 (T2 – Teq)

La variazione di temperatura è

inversamente proporzionale al calore

specifico del materiale e alla massa del

corpo

Calore Specifico

Calore Latente

Legge Lineare

Q = CL ΔM CL = calore latente di trasformazione/ J kg-1 (di Fusione – solidificazione,

Evaporazione – condensazione, Sublimazione – sublimazione)

Passaggi di fase Diagramma di stato

Pressione di vapor saturo

Un liquido tende a evaporare fino a che la pressione del vapore (pv) raggiunge un

valore ‘soglia’ detto PRESSIONE DI VAPOR SATURO (pvs)

Per ogni sostanza la pvs è differente e dipendente (crescente) dalla temperatura


Un liquido tende a evaporare fino a che la pressione del vapore (pv) raggiunge un

valore ‘soglia’ detto PRESSIONE DI VAPOR SATURO (pvs)

Per ogni sostanza la pvs è differente e dipendente (crescente) dalla temperatura

Si individua la curva pv(T) nel diagramma T-p

T

pv

Equilibrio delle fasi

Un liquido tende a evaporare e la sua pv ad aumentare fino a raggiungere pvs

(equilibrio delle fasi).Se non c’è sufficiente liquido perché ciò avvenga (freccia L V),

il liquido risulta completamente evaporato (quindi la sostanza è allo stato di VAPORE)

Al contrario, comprimendo del vapore (freccia VL), esso comincerà a

CONDENSARE con pv = pvs (equilibrio delle fasi). Quando la sostanza è

completamente condensata (LIQUIDO) la pressione può continuare a salire.

T

pv 1

V L L V

Temperatura Critica

A temperature superiori alla TEMPERATURA CRITICA (Tc), specifica per ogni

sostanza, il vapore compresso non può comunque condensare (aumenta la sua

densità)

Le sostanze la cui Tc è inferiore (di molto) alle temperature ambientali, è chiamata

GAS (anziché vapore)

T

pv 1

V L L V

Tc

GAS

VAPORE

LIQUIDO

Umidità Relativa

Se la sostanza è l’acqua, il rapporto tra pressione di vapore e pressione di vapor

saturo (espresso in forma percentuale) è detto UMIDITA’ RELATIVA

U% =( pv / pvs) 100

T

pv

A (U% < 100%)

B ( U% = 100%)

C

T1

Temperatura di Rugiada

In condizioni di U% < 100% è possibile raggiungere l’equilibrio (delle fasi) anche

diminuendo la temperatura fino a che la Pvs, diminuendo a sua volta, diventi pari alla

pv (e, quindi U% = 100%) – v. freccia orizzontale nel diagramma

La temperatura alla quale si realizza CONDENSA (PVS PV) è detta T. di RUGIADA

T

pv 1

Tc

GAS

VAPORE

LIQUIDO

V L

Tr

Volatilità

La sostanza 1 è più VOLATILE della sostanza 2 perché a pari temperatura ha una pvs

maggiore

T

pv 1 2

Temperatura di ebollizione

Se la pvs è pari alla pressione esterna, si possono creare bolle di vapore all’interno del

liquido (non implodono) che, quindi, passa allo stato di vapore non solo in superficie

La sostanza più volatile ha temperatura di ebollizione minore

T

pv

pest

Teb2 Teb1

1 2


Si definiscono le grandezze:

1. Teb = temperatura di ebollizione, corrisponde a quella temperatura per cui la

pressione di vapor saturo uguaglia la pressione esterna (permettendo la

formazione di bolle di vapore) – per l’acqua Teb è pari a 100 °C quando la

pressione esterna è 1 atm

2. La Teb è indicativa della volatilità di una sostanza: minore è Teb, maggiore è la

volatilità della sostanza

3. Tcr = temperatura critica – al disopra della quale un vapore non può condensare

(se una sostanza ha Tcr < Tamb è detto gas e non può essere liquefatto se non

raffreddandolo)

4. U% = umidità relativa = rapporto tra la pressione di vapore ambientale e quella di

vapor saturo alla stessa temperatura

5. TR = temperatura di rugiada: temperatura alla quale la pvs eguaglia la pressione di

vapore (si usa solo nel caso del vapore acqueo)

Diagramma di stato

Vibrazioni e Onde – (DG) Cap. 11

Forze di Attrito Radente • STATICO

– è una forza di tipo vincolare

– Si interpreta immaginando le superfici scabre

– Forza che il piano fa sul corpo sottoposto a una forza motrice

– Forza superficiale (superficie del solido a contatto con il piano)

– Orientazione opposta alla forza motrice, parallela al piano

– Intensità pari alla forza motrice. Ammette una massimo : As max = μs N

• DINAMICO – Stesse caratteristiche, ma

– intensità : Ad = μd N, con μ d < μ s

– I coefficienti di attrito μ dipendono dalla natura delle

superfici a contatto e non dipendono né da A né da v


Perugia 57

Legge di Hooke • La legge (empirica lineare) di Hooke va formulata: per una

molla (ideale, elastica) la forza di richiamo (F) è direttamente

proporzionale alla deformazione (allungamento) della molla

(x). Il rapporto F/x che rappresenta la forza esercitata dalla

molla per ogni deformazione unitaria (1 m oppure 1 cm),

rimane lo stesso per ogni allungamento della molla (perché

se raddoppia l’allungamento raddoppia anche la forza) ed è

quindi una caratteristica della molla. Tale rapporto, indicato

con k, viene chiamato COSTANTE ELASTICA DELLA

MOLLA ed è misurato in N/m o in N/cm

• NON ripetere quindi la legge: l’intensità della forza elastica di

una molla è direttamente proporzionale all’allungamento

della molla e alla costante elastica della molla

• NOTA: la legge fu per prima formulata da Robert Hooke nel 1675, nella forma dell'anagramma latino "ceiiinosssttuv", la cui soluzione fu da Hooke pubblicata nel 1678 come "Ut tensio, sic vis" che significa "come l'estensione, così la forza", cioè l'allungamento prodotto (nella molla) è direttamente proporzionale alla forza impressa [da wikipedia] Nevio Forini - Università degli Studi di

Perugia 58

F

x m = k

http://it.wikipedia.org/wiki/Robert_Hooke



http://it.wikipedia.org/wiki/1675

http://it.wikipedia.org/wiki/Anagramma

http://it.wikipedia.org/wiki/Lingua_latina

http://it.wikipedia.org/wiki/1678

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Simple_harmonic_oscillator.gif

Elasticità

• L’elasticità è la proprietà dei materiali (solidi

o fluidi) di deformarsi in modo direttamente

proporzionale al livello di sollecitazione

• I materiali reali hanno un limite di elasticità

espresso in termini di deformazione limite

oltre il quale esibiscono plasticità (materiali

plastici) o rottura (materiali fragili)

• La legge dell’elasticità si esprime come

diretta proporzionalità tra sforzo σ = F/A e

deformazione ε = l/L. La costante di

proporzionalità k è detta costante elastica:

F/A = k l/L

• Conseguenza della legge di proporzionalità è

che, entro tali limiti di validità, l’oggetto

elastico recupera la sua forma originaria

quando cessa la sollecitazione (a riposo).

//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8e/Metal_yield.svg

Ancora sulle leggi di tipo Lineare • La precedente legge della molla è un ulteriore esempio di legge empirica di tipo

lineare. Si ricordano le caratteristiche della legge e il modo corretto di enunciarla

:

1. l’intensità della forza esercitata dalla molla (F) è DIRETTAMENTE

PROPORZIONALE all’allungamento della molla (x);

2. Le condizioni di validità sono definite in termini di limite di deformazione elastica

3. il loro rapporto (F/x) è quindi una costante, caratteristica della molla.

4. Tale rapporto corrisponde alla forza che la molla esercita per unità di

allungamento (es. numerico)

5. a tale rapporto (F/x) si dà il nome di ‘costante elastica della molla’ e si indica con

k. Quindi k := F/x.

6. in termini di unità S.I. k rappresenta i newton ‘esercitati’ dalla molla per ogni

metro o centimetro di allungamento. Quindi si misura in N/m o N/cm

7. k dipende dalle caratteristiche fisiche della molla quali il materiale di cui è

composta, il diametro del filo avvolto, il numero di spire e le loro dimensioni ecc.


Perugia 60

Ancora sulle leggi empiriche di tipo Lineare • Elenco delle leggi già studiate:


Perugia 61

1. F = γ1,2 b

2. (F/A) = η (v/l)

3. Δp = [(8/π) η L / r4 ] Q

4. ΔL/L = α ΔT ; ΔV/V = β ΔT

5. P V = R n T

6. Hc = k A/l ΔT

7. Hi = e σ A (T41 – T4

2)

8. Q = (cs m) ΔT

9. Q = CL ΔM

10. As max = μs N

11. Ad = μd N

12. F = k x

13. ΔV = (ρ l/A) i

14. Q = C ΔVc

Forza elastica di una Molla

Fe = - k x Forza di richiamo (componenti)

La forza è conservativa

Energia potenziale di una molla: ½ k x2

Energia meccanica di una molla = ½ k A2

Il moto è periodico:

Periodo di un fenomeno periodico (T): intervallo

di tempo perché il fenomeno si ripeta /s

Frequenza di un fenomeno periodico (f): numero

di ripetizioni (cicli) nell’unità di tempo/s-1 = Hz

Moto Armonico

Un oscillatore armonico compie un ‘moto

armonico’ ovvero caratterizzato dalla

equazione del moto:

x(t) = A cos(ωt + φ)

soluzione della legge del moto, con: x = spostamento,

A = ampiezza (spostamento massimo)

ω = pulsazione

(ωt + φ) fase della oscillazione

φ = fase iniziale

Derivando si ottiene l’equazione temporale per

v e per a:

v(t) = - A ω sin(ωt + φ)

a(t) = - A ω2 cos(ωt + φ)

Oscillatore Armonico

Se l’accelerazione (a) (e quindi la risult. Delle forze) è direttamente proporzionale

allo spostamento (x), ma di verso opposto, il moto è oscillatorio e il periodo di

oscillazione non dipende dalla ampiezza (spostamento massimo) di oscillazione

(oscillatore armonico).

La legge del moto si scrive:

a = - ω2 x (ω pulsazione),

avendo indicato con ω2 (valore positivo) la costante di proporzionalità tra a/-x

In tal caso si dimostra che :

f = ω / 2 non dipende dalla ampiezza (stessa relazione che c’è tra frequenza e

velocità angolare in un moto circolare uniforme) – frequenza dell’oscillatore

Pertanto ω = 2 f è anche detta frequenza angolare

Quindi per la molla:

F = - k x , m a = - k x ; a = - (k/m) x, ovvero la molla (ideale) è un oscillatore

armonico con ω = √(k/m) e f = √(k/m)/ 2

Altri oscillatori armonici

la proiezione di un moto circolare uniforme lungo un diametro,

con ω (pulsazione) = velocità angolare

Per questo motivo la pulsazione si indica con lo stesso simbolo

Per lo stesso motivo la fase di una oscillazione viene espressa

come un angolo

Il pendolo semplice,

considerando lo

‘spostamento angolare’ θ,

si ha ω = rad(g/l) non

dipende dalla massa

Galleggiante,

circuito elettrico RLC

…

Oscillazioni smorzate

Oscillazioni Forzate

Elettrostatica – (DG) Cap. 16 e 17

introduzione


Perugia 69

Quantità di Carica Elettrica

• Il concetto nasce dalla esperienza della

attrazione e repulsione elettrostatica

• Un corpo è carico quando il numero di

elettroni (Ne) e di protoni (Np) è differente

• Diremo che la sua Quantità di Carica

elettrica (Q) è proporzionale alla

differenza (Np – Ne), quindi è una

grandezza scalare con segno.

• L’unità di misura SI della quantità di

carica elettrica è il coulomb (C) definito in

termini di intensità di corrente elettrica

unitaria (v. oltre)

• 1 C corrisponde a un eccesso di circa

6,24 1018 protoni

• 1 e = - 1,6 10-19 C

• Quantità di carica elettrica comuni: C

Elettrizzazione

Elettrizzazione per

• Strofinio (diffusione)

• Conduzione (elettrica)

• Induzione (elettrostatica)

Forza Elettrica o di Coulomb

Charles Augustin de

Coulomb (1736-1806)

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Coulomb.jpg

http://it.wikipedia.org/wiki/File:CoulombsLaw.svg

Forza Elettrica o di Coulomb

Charles Augustin de

Coulomb (1736-1806)

k = 9 109 N m2 /C2 nel vuoto, è una caratteristica del

mezzo in cui sono immerse le cariche. Nei mezzi

dielettrici (sostanze dipolari) è molto più piccolo (per

l’acqua 80 volte più piccolo)

k può essere espressa in forma razionalizzata

mediante la cosiddetta costante dielettrica del mezzo

(ε): k = 1/(4πε) che ha quindi significato ‘opposto’ a k

(è grande nei mezzi dielettrici es acqua)

Si ha per due particelle atomiche:

FORZA EL./FORZA GRAV. = 1036


Campo di Forza

• Il campo di forza sostituisce il modello secondo cui

due corpi a distanza interagiscono direttamente

(F12). Il campo di forza diventa quindi un ente della

realtà fisica che si aggiunge alla materia e

all’energia (interazione).

CARICA1 CAMPO di forze CARICA2

Programma:

1) Definizione e rappresentazione del Campo

Elettrico

2) Sorgenti di campo elettrico

3) Effetti del campo elettrico su carche e corpi

Michael Faraday (1736-

1806)


//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/91/Faraday.jpg

Il campo elettrico


Perugia 75

Definizione del Campo Elettrico

Il campo elettrico è una regione di spazio dove in ogni punto sono definite le

grandezze

• Vettore Campo elettrico (E)

• Potenziale Elettrico (V)

Vettore Campo Elettrico

• In ogni punto del campo elettrico è definibile una Forza elettrica esercitata

dal campo su una carica q posta in quel punto F(P) campo, carica

• L’intensità di tale forza è direttamente proporzionale alla quantità di carica

stessa

• Così il rapporto Fel / q è una caratteristica del punto (cioè del campo e non

dipende dalla carica su cui agisce).

• Tale rapporto, pari alla forza che il campo eserciterebbe su una carica

unitaria, si definisce vettore campo elettrico E nel punto P

• E (P) := Fel (P) / q

• L’unità di misura dell’intensità del campo elettrico è : N/C (= V/m, v.oltre)

Potenziale Elettrico

• La forza elettrostatica è conservativa e ‘a lavoro non nullo’, è definibile

quindi una energia potenziale elettrica di una carica in un punto del campo

elettrico Uel(P,q)

• Dato che la forza elettrica è proporzionale alla quantità di carica su cui

‘agisce’, anche l’energia potenziale elettrica di una carica q in un punto del

campo è proporzionale alla quantità di carica stessa.

• Il rapporto Uel / q è quindi una caratteristica del punto del campo (e non

della carica)

• Tale rapporto, che indica l’energia potenziale elettrica posseduta da una

carica unitaria posta in quel punto, si definisce potenziale elettrico V nel

punto P

• V (P) = Uel (P,q) / q

• Il potenziale elettrico si misura in joule/coulomb che prende il nome speciale

di volt (V)

Relazione tra E e V

• Nel campo di gravità terrestre l’energia potenziale di gravità

diminuisce verso il basso (cioè nella direzione della forza)

1) La differenza di energia potenziale lungo tale direzione vale

ΔU = - (mg) d

2) L’energia potenziale di gravità è costante su superfici

orizzontali, ovvero perpendicolari a tale direzione (superfici

equipotenziali)

F

U1

U2

Relazione tra E e V

• In modo del tutto analogo, ricordando che E e V

rappresentano rispettivamente la forza elettrica del campo

sull’unità di carica elettrica e l’energia potenziale elettrica

della stessa quantità di carica, si ha che:

1) La differenza di potenziale elettrico lungo la direzione del

campo (uniforme) tra due punti a distanza (d), è pari a:

ΔV = - E d (E può quindi essere espresso in V/m); ovvero:

maggiore è l’intensità del campo elettrico E, maggiore sarà la

RAPIDITA’ con cui cambia V lungo la direzione del campo.

2) Il potenziale elettrico sui punti di una superficie

perpendicolare alla direzione del campo elettrico è costante

(superfici equipotenziali)

• La differenza di potenziale (ΔV , ddp) tra due punti è detta

anche TENSIONE ELETTRICA ed è spesso indicata

semplicemente con V

E

V1

V2

d

Relazione tra E e V nel caso generale

• nel caso si voglia trovare la ddp tra due punti non allineati

lungo la direzione del campo, si deve moltiplicare E per la

‘componente perpendicolare’ della distanza: ΔV = - E (d

cosθ)

• Se il campo non è uniforme lungo tale distanza, si ricorre al

calcolo integrale:

1) si suddivide tale distanza in piccoli elementi di percorso tali

che entro essi il campo non cambi (in modo apprezzabile)

2) Per ognuno di essi si calcola la piccola differenza di

potenziale con il metodo già descritto: δV = - E (δd cosθ)

3) Si sommano tutti gli elementi δV calcolati lungo il percorso

scelto (si ricorda che la differenza di energia potenziale,

ovvero il lavoro conservativo, non dipende dal percorso su

cui è stata calcolata): ΔV = Σ δV

E

V1

V2

d θ

Rappresentazione del Campo Elettrico

• Posto che un campo vettoriale non può essere rappresentato graficamente

disegnando il vettore (con un segmento orientato) in ogni suo punto, la

rappresentazione per LINEE DI CAMPO (curve continue orientate), ne fornisce

una descrizione sommaria e a ‘colpo d’occhio’. Essa segue due regole :

1) In ogni punto il vettore del campo è tangente alla linea (in BLU)

2) L’intensità del vettore è proporzionale alla densità delle linee, ovvero al numero

di linee che attraversano una superficie unitaria centrata nel punto e

perpendicolare alle linee

Inoltre, se il punto non giace su una linee di campo occorre mediare utilizzando

punti vicini giacenti su linee

Rappresentazione del Campo Elettrico

• Le SUPERFICI EQUIPOTENZIALI

1) Sono superfici per definizione perpendicolari alle linee di forza, in ogni punto

2) Le superfici equipotenziali vengono rappresentate in modo tale che tra due

superfici successive vi sia sempre la stessa differenza di potenziale. Ne segue

che, essendo ΔV = E d , la distanza (d) tra due superfici successive è

inversamente proporzionale al valore di E tra quelle superfici (se sono fitte le

linee, lo saranno anche le superfici…)

Sorgenti di campo elettrico


Perugia 84

Sorgenti di Campo Elettrico

• Le cariche elettriche sono sorgenti di campo

elettrico

• Il campo elettrico generato da una CARICA

POSITIVA PUNTIFORME è del tipo

rappresentato in figura (divergente)

• L’intensità di tale campo è in ogni punto

ricavabile dalla relazione (legge di Coulomb)

E = 1/(4πε) Q / r2 ovvero dipende (solo)

inversamente dal quadrato della distanza tra il

punto e la carica

• Il potenziale elettrico (positivo, si annulla a

distanza infinita dalla carica) è in ogni punto

ricavabile da: V = 1/(4πε) Q / r

• Per una CARICA NEGATIVA il campo è

convergente e il potenziale ovunque negativo

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Linee_di_flusso_negative.PNG

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Linee_di_flusso_positive.PNG

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Linee_di_flusso_positive.PNG

Campo elettrico generato da una distribuzione di carica qualsiasi

• Le grandezze E e V sono additive, cioè:

• Il Vettore campo elettrico prodotto in un punto da un insieme di cariche

elettriche, è pari alla SOMMA dei vettori campo elettrico che sarebbero

prodotti in quel punto da ognuna delle cariche

• Idem per il potenziale elettrico (grandezza SCALARE CON SEGNO), quindi:

– E TOT(P) = Ei (P) – V TOT(P) = Vi (P)

• Il campo elettrico generato da una distribuzione di cariche può essere ricavato

anche mediante il TEOREMA DI GAUSS

Campo elettrico generato da un Dipolo Elettrico

• Un dipolo è un sistema di due

cariche uguali e opposte (q e –q) la

cui distanza (a) è piccola e fissa

• Nei punti lontani dal dipolo, cioè a

distanza molto maggiore di (a), il

campo elettrico è trascurabile,

mentre è relativamente intenso

vicino a ognuna delle due cariche

(o tra esse)

Effetti del campo elettrico


Perugia 88

Forza Elettrica

• La forza esercitata da campo elettrico su una carica

elettrica posta in un punto (P) del campo, è pari al

prodotto tra il Vettore Campo elettrico in quel punto e

la quantità di carica (q) presa con segno (ovvero la

forza ha il verso del vettore E o verso contrario a

seconda che la carica sia positiva oppure negativa)

• F el = q E

• Questo significa che una carica, inizialmente ferma,

posta in un punto di un campo elettrico, viene

accelerata lungo la linea del campo elettrico (cioè

‘verso potenziale elettrico minore’ (V-) oppure in

senso inverso (cioè verso il potenziale elettrico

maggiore V+) a seconda che sia positiva oppure

negativa.

Effetto di un campo elettrico sui conduttori

• In condizioni di equilibrio elettrostatico, il fatto

che le cariche elettriche di un conduttore,

altrimenti libere di muoversi, sono ferme, indica

che:

1) all’interno di un conduttore il campo elettrico è

comunque nullo (gabbia di Faraday) e non vi è

carica elettrica netta

2) Sulla superficie di un conduttore il campo

elettrico non ha componente lungo la sua

superficie. Se il corpo è carico, la carica si

dispone sulla superficie. L’intensità del campo

elettrico (superficiale e perpendicolare alla

superficie) è direttamente proporzionale alla

densità superficiale di carica elettrica (effetto

punte)

3) Il potenziale elettrico è lo stesso in ogni punto

del conduttore

Forza elettrica su un dipolo elettrico

• Un dipolo elettrico (es. una molecola dipolare) immerso in un campo elettrico

(supposto uniforme) è sottoposto a una coppia di forze tale da ORIENTARE il

dipolo nella direzione del campo stesso.

• Il momento torcente (meccanico) è proporzionale all’intensità del campo

elettrico e al MOMENTO DEL DIPOLO definito come prodotto tra la quantità di

carica e la distanza tra le cariche (μ = q a)

F+

E -q

+q

F-

Effetto del campo elettrico sui Dielettrici

• Un mezzo dielettrico può essere rappresentato come un

insieme di molecole dipolari che si orientano quando

immerse in un campo elettrico esterno

(POLARIZZAZIONE) producendo un campo (interno) di

verso opposto a quello esterno.L’effetto macroscopico,

quindi, è che il campo elettrico e le forze elettriche

all’interno di un mezzo dielettrico sono ‘ATTENUATE’.

• L’entità del fenomeno e il valore dell’attenuazione

dipendono da una caratteristica del mezzo: la (già nota)

COSTANTE DIELETTRICA DEL MEZZO (ε) definibile

anche relativamente a quella del vuoto: εr = ε / ε0 . La

costante dielettrica relativa dell’acqua è circa 80.

• Se l’intensità del campo supera una certa soglia

(CAMPO DI ROTTURA), le forze elettriche possono

rompere il legame dipolare e consentire il passaggio di

carica (scarica o scintilla)

Circuiti elettrici – (DG) Cap. 18 e 19

Corrente elettrica e Circuiti elettrici La corrente elettrica è un flusso ordinato di carica elettrica la cui

intensità (i) è definita come la quantità di carica che attraversa

una sezione nell’unità di tempo: i = q/t. L’unità di misura S.I. di i è

il coulomb al secondo (C/s) che prende il nome speciale di

ampere (A) (unità di base nel S.I.) Il suo verso è fissato

convenzionalmente come quello percorso dai portatori di carica

positiva.

Le correnti elettriche sono generate da campi elettrici: nei

conduttori l’energia potenziale elettrica, dissipata per effetto

Joule, è dovuta al generatore di fem, la cui fem è definita come il

lavoro da esso compiuto per trasportare l’unità di carica tra i suoi

terminali. fem = L(-, +)/q, ufem = J/C = volt (V) (omaggio ad

A.Volta).

Un circuito elettrico è costituito da una serie di DISPOSITIVI

ELETTRICI collegati tra loro da un conduttore (un filo di rame,

una sottile lamina di rame nei circuiti stampati, un cavo, ecc.)

all’interno del quale circola una corrente elettrica la cui intensità

varia ramo per ramo secondo un progetto specifico che ne

assicura il funzionamento.

f.e.m.

V+

V-

Circuiti Elettrici

A seconda del tipo di generatore, il REGIME della

corrente sarà:

•continuo (d.c.) : corrente elettrica (i) costante nel tempo

•alternato (a.c.): (i) varia con legge sinusoidale,

passando con regolarità da un verso a quello opposto

con una certa pulsazione ω o frequenza ‘f’ (ω = 2πf). La

frequenza della c.a. industriale è 50 Hz in Europa e 60

Hz in America

•variabile: la corrente elettrica può dipendere (essere

‘modulata’) da altre grandezze il cui particolare

andamento nel tempo può ‘contenere un’informazione’

(segnale elettrico, es. telecomunicazioni, ECG, EEG).

Per il Teorema di Fourier, un segnale elettrico

complesso può essere sempre scomposto in una serie

opportuna di segnali sinusoidali. In particolare, un

segnale periodico di frequenza fs è scomponibile in

ARMONICHE di frequenza multipla (n x fs) (analisi di

Fourier), un segnale non periodico in una serie continua

rappresentata dalla c.d. trasformata di Fourier

Bipoli elettrici

I dispositivi elettrici possono essere considerati BIPOLI

caratterizzati da un polo d’ingresso (della corrente) e uno di

uscita. Tra i poli, posti in tensione (Vb), circola la corrente

(ib) che attraversa il bipolo. Se la relazione tra tensione e

corrente è semplice (lineare), il dispositivo (bipolo) è detto

lineare.

Si distinguono dispositivi elettrici ATTIVI E PASSIVI:

1) i primi generano tensione, ovvero energia elettrica,

consumandone di altro tipo (sono GENERATORI o

sorgenti di f.e.m. le batterie che convertono energia

chimica in elettrica e le DINAMO o gli ALTERNATORI

che generano energia elettrica da energia meccanica)

2) i secondi, viceversa, determinano cadute di tensione,

convertendo energia elettrica in altro tipo. Sono

dispositivi passivi lineari: il resistore (energia elettrica

viene dissipata in calore); il condensatore (l’energia

elettrica è immagazzinata come energia di campo

elettrico) e l’induttore (l’energia elettrica è

immagazzinata come energia del campo magnetico).

i u

•I bipoli possono essere collegati in

SERIE quando l’uscita del primo è

collegata all’ingresso del secondo o in

PARALLELO, se ingresso e uscita del

primo dispositivo sono collegati a ingresso

e uscita del secondo dispositivo.

•Nel caso di collegamento in serie, quindi,

i due dispositivi sono attraversati dalla

stessa corrente mentre la tensione ai capi

del collegamento è pari alla somma delle

tensioni ai capi di ogni bipolo; in un

collegamento in parallelo vale il contrario.

Collegamenti

Circuiti Elettrici

In genere, poi, un circuito comprende uno o più INTERRUTTORI, dispositivi cioè

che permettono di interrompere il flusso di corrente (automatici o manuali). Si

dicono chiusi o aperti a seconda che, rispettivamente, permettono o interdicono il

passaggio di corrente.

Infine, ‘mettere a terra’ o ‘a massa’ un punto (o un elemento) del circuito significa

collegarlo a un potenziale di riferimento, cui generalmente si assegna valore 0 V,

e che si realizza nella pratica collegando effettivamente il punto del circuito nel

terreno (il potenziale del terreno può essere considerato costante relativamente al

funzionamento del circuito).

applicazione: la messa a terra ‘di sicurezza’ evita il formarsi di accumuli di cariche

elettriche, potenzialmente pericolosi, negli elettrodomestici.

Legge della Maglia

Un circuito elettrico può essere suddiviso in più circuiti

elementari. Un circuito privo di ramificazioni (NODI) è

detto MAGLIA (fig). In un circuito, la corrente e la

tensione in ciascun BIPOLO, RAMO o MAGLIA,

dipendono dalle caratteristiche del circuito; per trovarne i

valori (risolvere/progettare un circuito elettrico) è possibile

applicare la legge della maglia o L. di Kirchoff:

percorrendo ogni maglia secondo un verso della corrente

scelto arbitrariamente, la somma totale delle tensioni

incontrate (ai capi di ogni bipolo) è pari a zero.

Per risolvere l’espressione nella incognita (i) (intensità di

corrente), con cui poi calcolare anche la tensione ai capi

di ogni bipolo, occorre esprimere ogni tensione incontrata

(V) come funzione di (i). Così, la legge della maglia

diventa un’equazione (algebrica o differenziale) nella sola

variabile i (con soluzione positiva o negativa a indicare

che il verso di i può essere concorde o contrario a quello

arbitrariamente scelto).

Il calcolo verrà limitato ai soli dispositivi LINEARI (v.oltre)

∑magliaV = 0

∑magliaV(i) = 0

Resistenza e resistori


Perugia 100

Prima legge di Ohm

La legge di Ohm è un ulteriore esempio classico di legge

empirica di tipo lineare:

1.l’intensità della corrente elettrica (i) che circola attraverso

un conduttore è direttamente proporzionale alla tensione

elettrica applicata ai suoi capi (V)

2.Il rapporto (V/i) (coefficiente di proporzionalità) è quindi

una caratteristica del conduttore.

3.Tale rapporto corrisponde alla tensione necessaria per

ottenere una corrente unitaria

4.a tale rapporto (V/i) si dà il nome di ‘resistenza elettrica

del conduttore’ e si indica con R. Quindi R := V/i.

5.in termini di unità S.I., R rappresenta i volt necessari per

ottenere 1 ampere di corrente. Quindi si misura in V/A,

unità chiamata ohm (Ω)

6.La legge è valida per i conduttori ohmici

7. R dipende dalle caratteristiche del conduttore quali la

sua lunghezza, la sua sezione, il materiale di cui è

composto, ma anche dalla temperatura alla quale si trova

(v. oltre la seconda legge di Ohm).

V = R i

Seconda legge di Ohm

Anche la 2° legge di Ohm è una legge lineare:

1.La Resistenza elettrica (R) di un conduttore è

direttamente proporzionale alla sua lunghezza (l) e al

reciproco della sua area di sezione (A)

2.Il rapporto R/ (l/A) = R (A/l), che corrisponde alla

costante di proporzionalità, è quindi una caratteristica

del materiale di cui è composto il conduttore.

3.Tale rapporto corrisponde alla resistenza che

avrebbe un conduttore di lunghezza e area di sezione

unitarie

4.a tale rapporto si dà il nome di ‘resistività del

materiale” (ρ) . Quindi ρ := R (A/l).

5.in termini di unità S.I., ρ rappresenta gli ohm di un

conduttore di lunghezza e sezione unitari. Quindi si

misura in Ω m

6.La legge è valida per i conduttori ohmici

7. ρ dipende dal materiale di cui è composto il

conduttore e dalla sua temperatura (v.tabella)

Effetto Joule

L’energia elettrica degli elettroni in un conduttore viene quindi dissipata (per urti con il reticolo cristallino) in

calore. Tale fenomeno, chiamato effetto Joule, è utilizzato in alcune applicazioni come le stufette elettriche e in

tutti i dispositivi che producono calore elettricamente. Altre volte costituisce un effetto indesiderato: sia perché

l’energia dissipata è ‘perduta’, sia perché il calore può essere causa di incendio: negli impianti elettrici sono

previsti interruttori automatici o fusibili che ‘aprono’ (interrompono) il circuito quando la corrente supera un

certo valore di sicurezza, oltre il quale il filo conduttore potrebbe bruciarsi. Rischio analogo si può correre in

caso di corto circuito, quando cioè due punti a potenziale differente vengono in contatto (i due poli dell’impianto

domestico). L’elevata corrente che circolerebbe nel circuito potrebbe innescare un incendio per effetto joule.

Infine, alcuni circuiti sono così sensibili all’aumento di temperatura per effetto joule che, perché funzionino

correttamente, devono venir raffreddati.

Si può facilmente derivare la formula che esprime la relazione tra la potenza elettrica dissipata per effetto Joule

e i parametri tensione e corrente: si consideri un conduttore sottoposto a tensione elettrica e, quindi, percorso

da corrente. L’energia perduta per unità di tempo (la potenza dissipata), si trova considerando che nell’unità di

tempo una carica pari a ‘i’ è passata attraverso una tensione V. L’energia perduta (convertita in calore) è quindi

pari a: P = V I (Si ricorda che la potenza è espressa in watt).

In un conduttore ohmico, è possibile esprimere la relazione di Joule in termini della sola corrente, utilizzando la

legge di Ohm:

P = i2 R

da cui risulta chiaro che gli elettrodomestici in cui circola molta corrente sono (a parità di tensione applicata es.

220 V) quelli che consumano di più. Inoltre, dato che la resistenza non può ridursi oltre un certo valore, si

capisce il perché l’energia elettrica viene trasportata dalla centrale alle città mediante cavi di alta tensione (fino

a 380 kV per le linee di trasmissione): a una grande tensione, infatti, può essere corrisposta una piccola

corrente, e,quindi, una piccola potenza dissipata i2R.

Resistore

Un resistore è un dispositivo (passivo, lineare, localizzato)

formato da un conduttore la cui resistenza è relativamente

elevata (tanto da poter trascurare la resistenza elettrica del filo

conduttore di collegamento del circuito)

E’ già stato detto che attraversando un resistore (un

conduttore) nel verso scelto per la corrente, la caduta (da cui il

segno meno) di potenziale è data da

VR = - R i

Che esprime la relazione tra V e i per un resistore

L’energia elettrica viene dissipata dal resistore, sottoforma di

calore, con una potenza (v. legge di Joule):

P = I2r (da cui dipende, ad es. l’illuminamento generato da una lampada a

incandescenza)

Resistenza Equivalente

Si dimostra facilmente (dalla stessa definizione,

ma anche applicando il metodo di Kirchoff) che:

Rserie = R (la resistenza della serie è maggiore di ogni

resistenza componente)

1/Rparallelo =1/R (la resistenza del parallelo è minore di ogni resistenza

componente, e in un parallelo di N resistenze uguali, la

resistenza ‘totale’ è pari a 1/N delle resistenze

componenti )

Generatori di forza elettromotrice


Perugia 106

Generatore di fem

Tenendo conto della (piccola) resistenza interna del

generatore (r), la relazione tra tensione ai capi del

generatore (Vfem) e intensità di corrente che lo attraversa

(i) è la seguente: Vfem = ±fem - r i

dove fem è la forza elettromotrice del generatore

(generalmente indicata) e il segno positivo o negativo va

scelto a seconda che, nel verso di percorrenza scelto per

la corrente, si attraversa il generatore rispettivamente

dall’elettrodo (terminale) (-) a quello (+) oppure viceversa.

Da tutto ciò segue che la fem di un generatore è pari alla

tensione ai suoi capi solo se può essere trascurato il

termine (r i) (es. a circuito ‘aperto’, cioè se i=0)

Si mostra facilmente che per una serie di generatori:

Vserie = Vfem

+ -

Capacità e condensatori


Perugia 108

Carica elettrostatica nei conduttori e nei condensatori

• Il potenziale di un conduttore elettricamente carico (un

conduttore in equilibrio elettrostatico è un sistema

equipotenziale) è direttamente proporzionale alla

quantità di carica ‘accumulata’

• La carica elettrica ‘accumulata’ per unità di potenziale

elettrico del conduttore è chiamata CAPACITA’

ELETTRICA del conduttore e dipende dalle sue

dimensioni e dalla sua forma

• Un dispositivo finalizzato all’accumulo di carica elettrica

(+Q e –Q) è Il CONDENSATORE, costituito da due

armature metalliche contrapposte (e divise da un

dielettrico) tra le quali è stabilita una ddp.

• Il condensatore può essere quindi utilizzato come (una

potente) riserva di energia elettrica da utilizzarsi al

momento opportuno e che si manifesta con una

‘scarica’ (anche rapida e molto intensa):

• Applicazioni: memorie accessorie e temporanee nei PC,

flash, Defibrillatori

QConduttore/VCconduttore= C

Condensatore elettrico

In un condensatore elettrico, la tensione applicata tra le

armature è direttamente proporzionale alla quantità di carica

accumulata nelle stesse (uguale e contraria nelle due

armature), ma diversa da condensatore a condensatore. Il

rapporto tra quantità di carica accumulata e tensione alle

armature è una caratteristica del condensatore che prende il

nome di CAPACITA’ ELETTRICA del condensatore, cioè:

Q/VC = C l’unità S.I. è il coulomb su volt (C/V) che prende il nome di

farad (F); il valore dei condensatori nei circuiti più comuni va

da pochi pF ai μF – si noti la legge empirica di tipo lineare (il

condensatore elettrico è una componente circuitale di tipo

lineare)

In un condensatore a facce piane, la capacità elettrica

dipende direttamente (altra legge empirica lineare) dall’area

delle facce delle armature, inversamente dalla loro distanza, e

dalla costante elettrica del mezzo interposto (es. mica o carta)

C = A/d

Condensatore In un condensatore di capacità (C), la relazione (lineare)

tra tensione ai suoi capi (armature) e carica accumulata

segue dalla legge del condensatore (v. prec):

VC = - C Q

La relazione tra Vc e intensità di corrente (i) è più

complicata: un condensatore cui è applicata una ddp

costante è ‘attraversato’ da corrente solo nel transiente

della ‘carica’ (o, al contrario nella fase di ‘scarica’) e

l’andamento temporale della corrente è di tipo

esponenziale (con tempo caratteristico di carica (o di

scarica) pari a τ = 1/√RC) (v.fig.)

Tuttavia tra la carica Q che attraversa la sezione del filo

conduttore accumulandosi in un’armatura e la rapidità con

cui l’attraversa vi è la relazione differenziale:

I = dQ / dt ovvero Q = ∫ i dt

Pertanto è possibile interpretare l’equazione della maglia

come una equazione differenziale nella sola incognita i(t)

(funzione incognita del tempo).

Capacità Equivalente

Si dimostra facilmente che un sistema di più

condensatori collegati in parallelo o in serie ha una

capacità complessiva (o equivalente, o totale) data

rispettivamente dalle relazioni:

1/Cs = 1/C; Cp = C

Si nota che la capacità di in una serie di N

condensatori (come per le resistenze in parallelo):

1. diminuisce con il numero di condensatori

collegati;

2. è più piccola di quella di ciascun condensatore

componente;

3. nel caso che le capacità siano tutte uguali, la

capacità complessiva è pari a 1/N della

capacità di ognuno.

Impedenza del Condensatore

Applicando una tensione ai capi del condensatore, la corrente che circola e con la

quale il condensatore si carica è dapprima relativamente intensa, poi decresce fino

ad annullarsi, quando i condensatore è completamente carico, ovvero fino a quando

la tensione ai suoi capi eguaglia quella applicata. Il tempo impiegato a raggiungere

una frazione 1/2,7 (1/e) della carica finale (detto ‘tempo caratteristico del

condensatore elettrico’) è pari a

C = 1 / √RC .

Se ne deduce che la corrente è nulla quando la tensione è massima (e viceversa)

tanto da far concludere che il condensatore non sia un componente lineare.

Tuttavia, la corrente massima ottenibile è proporzionale alla tensione massima,

anche se il valore massimo della corrente precede quello della tensione.

Ciò è ancora più evidente in regime di corrente alternata (in cui avvengono

successive cariche e scariche) in cui tensione e corrente variano nel tempo

entrambe con legge sinusoidale, con valori sfasati di π/2 rad. Tuttavia i loro valori

massimi (ampiezze V0 e i0 ), sono direttamente proporzionali, il loro rapporto è quindi

una caratteristica che dipende dalla capacità del condensatore (C ) nonché (e

questa è una novità!) dalla frequenza di oscillazione della corrente (es. 50 Hz). Tale

rapporto viene chiamato IMPEDENZA (capacitiva) del dispositivo.

Esempio

1

- fem – ir – i R1 – Q / C – i R2 = 0 equazione da risolvere nell’incognita i

Conduttori di seconda specie

• Perché un liquido come l’acqua distillata conduca elettricità (si comporti

come un conduttore), occorre che al suo interno sia presente una (qualche)

sostanza in grado di comportarsi come ‘portatore di carica libero’, detta

ELETTROLITA. L’acqua non-distillata è una soluzione elettrolitica in grado

di comportarsi come un conduttore

• Anche i gas possono condurre elettricità se IONIZZATI (se vi sono presenti

ioni, ovvero particelle cariche)

• In entrambi i casi la legge di Ohm non vale e tali conduttori sono

genericamente chiamati ‘di seconda specie’

Magnetismo – (DG) Cap. 20

Forza Magnetica

La forza magnetica si manifesta tra due magneti

e rivela la doppia natura della ‘carica magnetica’

da essi ‘posseduta’ e l’impossibilità di separare

l’una dall’altra.

Oggi chiamiamo tali ‘cariche magnetiche’:

espansione polare NORD e SUD (o

semplicemente polo magnetico nord e sud).

La stessa forza si manifesta anche tra due

cariche in moto relativo e quindi tra due fili

percorsi da corrente elettrica (i fili non sono

elettrizzati, ovvero non hanno carica netta)

La forza magnetica (tra due poli magnetici o tra

due correnti elettriche) è un’azione a distanza

che può essere interpretata, come per la forza

elettrica, come mediata da un campo di forze

(campo magnetico).

Campo Magnetico

CORRENTE1 CAMPO MAGNETICO CORRENTE2

magnete 1 magnete 2

Programma:

1) Definizione e rappresentazione del campo magnetico

2) Sorgenti di campo magnetico

3) Effetti del campo magnetico su cariche in movimento

Definizione del Campo Magnetico

• Il campo magnetico è una regione di spazio dove in ogni punto è definita la

grandezza vettoriale:

– Vettore Campo Magnetico (H)

– O la più conosciuta grandezza :Vettore di Induzione Magnetica (B)

• L’intensità di H si misura in ampere su metro (A/m), mentre quella di B in

tesla (T)

• Dato che la forza magnetica non compie lavoro (v. oltre), non è possibile

definire un potenziale magnetico

Vettore Induzione Magnetica

• Come per E, anche B è definito in un punto a partire dalla forza magnetica

che verrebbe esercitata su una carica positiva unitaria posta in quel punto e

avente una velocità unitaria (ovvero una corrente unitaria). Tuttavia, dato

che l’intensità della forza magnetica dipende anche dalla direzione della

velocità della carica, l’intensità di B viene definita considerando l’intensità

massima di questa forza:

B = Fmax/q v • L’orientazione di B è definita come quella perpendicolare alla direzione di v

e F, con verso dato dalla regola della mano destra considerando la

rotazione di F verso v (secondo l’angolo di ampiezza minore)

• Tale definizione sarà più chiara una volta studiata la legge di Lorentz per la

forza magnetica

Rappresentazione del Campo Magnetico

• La rappresentazione di un campo magnetico

mediante le linee di campo (o di forza), segue

le stesse regole per la orientazione e l’intensità

(di B) già descritte per il campo elettrico

• La linee di B sono sempre linee chiuse (campo

solenoidale) a ribadire che non esistono

sorgenti puntiformi di campo magnetico

(divergenza nulla) ossia cariche magnetiche

Sorgenti di Campo Magnetico

• I magneti e le correnti elettriche sono sorgenti

di campo magnetico

• Il campo magnetico generato da un filo diritto di

lunghezza infinita e attraversato da una

corrente di intensità (i) è rappresentato in

figura:

• Tale campo ha intensità B che dipende dalla

distanza (d) dal filo (simmetria cilindrica), dalla

intensità di corrente che attraversa il filo e da

una caratteristica del mezzo nel quale il filo è

immerso che prende il nome di permeabilità

magnetica del mezzo (μ):

B = (μ/2π) ∙ i/d (LEGGE DI AMPERE)

• In generale, Il campo magnetico generato da

una qualsiasi distribuzione di corrente, può

essere sempre ricavato come somma dei

campi che sarebbero prodotti nel punto da ogni

singola corrente elementare.

B TOT(P) = Bi (P)

Solenoide

• Un avvolgimento di N spire, di lunghezza l (la densità

lineare di spire è quindi n = N/l), detto SOLENOIDE,

genera un campo simile a quello di un magnete: al di

fuori dell’avvolgimento il campo ha bassa intensità, che

invece diventa elevata a livello delle estremità

(espansioni polari) e all’interno, dove il campo è

parallelo all’asse del solenoide (e verso dato dalla

regola della mano destra) e di intensità uniforme e pari

a B = μ n i • Inoltre, l’estremità del solenoide dal quale escono le

linee è il così detto polo NORD magnetico, l’estremità

dal quale entrano si dice polo SUD

• La permeabilità magnetica del mezzo, per molti

materiali simile a quella del vuoto, diventa molto più

grande di questa (anche di 5000 volte) per i così cd.

materiali FERROMAGNETICI (v. elettromagneti).

Campo magnetico Terrestre

• Il campo GEOMAGNETICO è simile a

quello che sarebbe prodotto da un enorme

magnete disposto, come in figura, con il

polo sud (magnetico) relativamente vicino al

polo nord geografico, ma in continuo

spostamento (diversi chilometri l’anno)

• In ogni punto della superficie terrestre:

1. La DECLINAZIONE MAGNETICA è la

differenza angolare tra il polo geomagnetico

e quello geografico (in Italia vale

attualmente meno di 1°)

2. La INCLINAZIONE MAGNETICA è l’angolo

formato dalla direzione del campo

magnetico rispetto alla superficie

orizzontale

3. L’INTENSITA’ del campo magnetico

aumenta dall’equatore (≈ 20 μT) ai poli (≈

70 μT)

Forza Magnetica o di Lorentz

• Per una carica in moto all’interno di un campo magnetico

(uniforme), la forza di Lorentz:

1. E’ esercitata dal campo magnetico sulla carica in moto;

2. Il punto di applicazione corrisponde al centro della carica

3. La direzione è sempre perpendicolare al vettore B e alla

velocità della carica ed è quindi una forza centripeta che

non compie lavoro (e quindi non produce un cambiamento

dell’energia cinetica della carica)

4. Il verso è dato dalla regola della mano destra, applicata

facendo riferimento alla rotazione di qv (velocità che tiene

conto del segno della carica) su B

5. L’intensità è pari al prodotto della quantità di carica,

dell’intensità di B e della componente della velocità della

carica perpendicolare a B: FL = q v┴ B

• Una carica in moto all’interno di un campo magnetico

uniforme percorrerà una traiettoria curva a velocità

costante in modulo (applicata negli acceleratori , negli

spettrometri di massa, …)

Forza Magnetica su filo percorso da corrente

• Un filo diritto (fig) percorso da un corrente elettrica di intensità (i),

immerso in un campo magnetico di intensità B, è sottoposto alla

forza magnetica risultante cui sono sottoposte tutte le cariche

che al suo interno sono in movimento. Si può mostrare che tale

forza:

1. Ha direzione perpendicolare al filo e al campo B

2. Ha verso dato dalla regola della mano destra considerando che

le cariche positive si muovono nel verso della corrente

3. ha intensità pari a

FL = i l┴ B dove l┴ è la componente della lunghezza del filo

perpendicolare a B (l sinθ )

• Due fili paralleli percorsi da corrente interagiscono in quanto

ognuno è immerso nel campo magnetico prodotto dall’altro. In

particolare, si attraggono se le correnti hanno lo stesso verso e

si respingono se hanno verso contrario (tale forza è alla base

della definizione dell’ampere).

Forza Magnetica su spira percorsa da corrente

• Una spira (per semplicità rettangolare di lati a e b)

percorsa da corrente (i) e vincolata a ruotare attorno a un

asse perpendicolare al campo magnetico (uniforme)

esterno (fig), è soggetta a un momento meccanico o

torcente (τ) che tende a orientare la superficie della spira

verso le linee del campo (come per un magnete). Tale

momento torcente è pari a:

• τ = FL l = (i a B) b sinθ = (i A) B sinθ quindi dipende

dall’intensità del campo magnetico e da una caratteristica

della spira (i A) oppure (N i A) se le spire sono N, che viene

definita MOMENTO DI DIPOLO MAGNETICO della spira

M = N i A. Più precisamente, il vettore M ha direzione e

verso determinati alla regola della mano destra

considerando la rotazione della corrente attraverso la

spira.

• Applicazioni:

1. GALVANOMETRO

2. MOTORE ELETTRICO

Galvanometro

• In un galvanometro un avvolgimento

(bobina) immerso in un campo

magnetico viene percorso da una

corrente elettrica e quindi sottoposto a

un momento torcente

• Una molla antagonista (in verde)

produce un momento torcente di

richiamo che determina una

deflessione della bobina (e, se

presente, dell’ago a essa solidale) fino

al raggiungimento di un angolo di

equilibrio proporzionale alla intensità di

corrente che circola nella bobina

• Viene utilizzato per la misura di

precisione dell’intensità di corrente o di

altre grandezze elettriche

Motore elettrico

• Il motore elettrico a corrente continua ha

lo stesso schema di funzionamento di un

galvanometro senza molla di richiamo

• E’ costituito da una parte fissa (che

genera il campo magnetico statico) detta

STATORE e una parte in rotazione

(attraversata dalla corrente elettrica) detta

ROTORE.

• Per garantire il movimento continuo

(altrimenti il moto risulterebbe in un

allineamento rotore-statore) è previsto un

collegamento che commuta la direzione

della corrente nel rotore a ogni mezzo

giro (commutatore o collettore a

spazzole)

Elettromagnetismo– (DG) Cap. 21

Induzione elettromagnetica

Schema seguito per la descrizione delle leggi

dell’elettrostatica e del magnetismo: cariche e

correnti elettriche sono sorgenti dei campi

elettrico e magnetico, i quali campi esercitano

forze su esse (doppia freccia)

Gli esperimenti di Faraday (e di Henry)

rivelarono che i due campi possono

influenzarsi: un campo magnetico può

generare correnti elettriche e, quindi, campi

elettrici: induzione elettromagnetica

Schema dell’elettromagnetismo: anche un

campo magnetico può produrre un campo

elettrico (e viceversa: legge di Maxwell). Per

capire la legge della induzione

elettromagnetica, occorre tener conto che:

1) il campo elettrico non può essere descritto

dal potenziale elettrico, ma dalla fem

2) Il campo magnetico deve variare nel tempo

Fem indotta

• Il campo elettrico indotto magneticamente è solenoidale (descritto da linee

chiuse). Dato che il lavoro compiuto da tale campo lungo una linea chiusa non è

in generale nullo, tale campo non è conservativo e non possibile definirvi un

potenziale elettrico (o una tensione elettrica tra punti diversi).

• Può essere invece definito il lavoro (elettrico) compiuto da detto campo su una

carica unitaria che percorra un ciclo lungo una linea chiusa. Tale lavoro elettrico

(doppiamente) unitario è detto ‘forza elettromotrice lungo la linea chiusa (c)’

• Femc = L(1 ciclo) / q

• Unità S.I. : J/C = V


Altri esempi:

Si verifica che la

corrente indotta è

proporzionale alla

rapidità con cui cambia

il numero di linee del

campo magnetico che

attraversano le spire

Flusso magnetico

• Il numero di linee del campo magnetico che

attraversa una superficie rappresenta

graficamente il c.d. FLUSSO MAGNETICO

attraverso la superficie stessa: ΦB

• Si def. : ΦB = B A┴ = B A cos θ

• Unità S.I. : T m2 = Wb (weber)

Legge di Faraday

• In un campo magnetico, la fem indotta

magneticamente lungo una linea chiusa è pari

alla rapidità con cui varia il flusso magnetico

attraverso la superificie individuata da quella

linea

femi = d ΦB / dt

• Il flusso magnetico può cambiare in 3 modi:

1. Se cambia l’intensità di B(t)

2. Se cambia l’area della superficie A(t)

3. Se cambia l’orientazione tra campo magnetico

e superficie: θ(t)

La fem (e quindi la corrente indotta) è

proporzionale alla rapidità con cui cambiano le

grandezze 1,2,3 (v. diapositiva successiva)

Faraday, 1791 -1867


femi = d ΦB / dt

(1)

(2)

(3)

Verso della fem indotta

• Per trovare il senso di percorrenza della corrente indotta su una spira, occorre

applicare la regola della mano …sinistra, oppure la regola della mano destra e

poi cambiare verso al pollice (da cui il segno meno nella formula), considerando

come direzione cui associare quella del pollice quella corrispondente alla

VARIAZIONE DEL FLUSSO MAGNETICO (e non quella del flusso magnetico!):

femi = - d ΦB / dt

• Esempi:

Legge di Lenz • La regola precedentemente descritta sul verso della fem (e della corrente

indotta) ha una ragione fisica: per produrre energia elettrica (nella spira) occorre

spendere lavoro: ad esempio, avvicinando alla spira in figura il polo nord di un

magnete, si trova, applicando la regola, che la corrente elettrica indotta avrebbe

verso antiorario, tale che la faccia visibile della spira esporrebbe un polo nord

magnetico e, così facendo, richiedendo energia per avvicinare il magnete. In

generale vale la legge di Lenz: il verso della fem indotta è sempre tale da

opporsi alla variazione di flusso che l’ha generata

• se, per assurdo, lo stesso magnete inducesse sulla spitra una corrente di verso

tale da produrre sulla superficie anteriore della spira un ‘POLO SUD’, il

fenomeno si auto alimenterebbe con conseguente violazione della legge di

conservazione dell’energia.

X

X

X X

X

X

Applicazioni

Generatori elettrici

• In un ALTERNATORE, una serie di spire

arrotolate attorno a un’armatura sono

fatte ruotare all’interno di un campo

magnetico costante. La corrente indotta

magneticamente è alternata con

frequenza pari a quella di rotazione (50

Hz europa).

• La a.c. può essere ‘raddrizzata’ in d.c.

mediante collettori sezionati collegati

alle spazzole.

Mutua induzione

• Due circuiti (vicini) possono interagire

(interferire) a causa del fenomeno della

induzione elettromagnetica.

• La variazione di corrente nel primo

circuito può generare nel secondo una

variazione di flusso magnetico e quindi

una fem indotta dal primo nel secondo.

• Tale fem(1,2) è proporzionale alla

rapidità di variazione di corrente nel

primo circuito e da altre caratteristiche

di accoppiamento quantificate da un

coefficiente detto COEFFICIENTE DI

MUTUA INDUTANZA:

• Fem (2) = M(1,2) di(1)/dt

Trasformatore

• Un trasformatore è un bipolo atto a trasformare il valore

della tensione e della corrente elettrica.

• E’ costituito da due avvolgimenti (primario in ingresso e

secondario in uscita) costituiti da un numero differente di

spire (Np e Ns), accoppiati da un nucleo di materiale

ferromagnetico (v. fig).

• Dato che il flusso magnetico è lo stesso per ogni spira, in

regime di a.c. la fem indotta ai capi di ogni spira

(unitaria) è la stessa. La tensione ai due avvolgimenti (in

e out) è quindi direttamente proporzionale al rispettivo

numero di spire: Vp/Vs = Np/Ns

• Un trasformatore IN SALITA ha un GUADAGNO in

tensione pari a Ns/Np

• Un trasformatore in DISCESA, invece, amplifica la

corrente in uscita, riducendo la tensione: Is/Ip = Np/Ns

• I trasformatori elettrici sono utilizzati anche per il

trasporto di energia elettrica

Autoinduzione e induttore

• In un avvolgimento attraversato da corrente

variabile (es. alternata), ogni spira induce una fem

indotta sulle altre.

• Ne risulta che ai capi di un INDUTTORE è

presente una tensione (VL ) proporzionale a di /dt:

• VL = - L di/dt il coefficiente di proporzionaliltà è

una caratteristica dell’induttore, chiamata

INDUTTANZA

• Unità misura S.I. di L : V s /A = henry (H)

• Un induttore è una componente passiva di tipo

REATTIVO, come il condensatore, ovvero tale da

immagazzinare energia elettrica in altra fgorma

(nella fattispecie energia del campo magnetico

interno) che poi può essere riconvertita.

• Si dimostra: Lserie = L ; 1/Lparallelo =1/L

Impedenza

• In regime di corrente alternata sia il CONDENSATORE che l’INDUTTORE

possono essere impiegati alla stregua dei resistori per regolare la intensità di

corrente nei vari rami. Infatti può essere definita per tali componenti una

grandezza analoga alla resistenza: l’IMPEDENZA (Z) REATTIVA detta,

rispettivamente, capacitiva (Xc) e induttiva (XL).

• Ai capi di entrambi i dispositivi, infatti, le tensioni sono legate rispettivamente alla

funzione integrale e alla funzione derivata della corrente le quali funzioni, essendo

quest’ultima sinusoidale del tempo, sono anch’esse di tipo sinusoidale, ma

sfasate di π/2 rad rispetto alla corrente stessa.

• In altre parole, per entrambi i bipoli le ampiezze Vmax e Imax sono tra loro

direttamente proporzionali così che può essere definito il rapporto Vmax / Imax

come caratteristica del bipolo analoga alla resistenza di un resistore e che viene

chiamata, appunto, impedenza (Z). Per un resistore Z coincide con R.

• Z = Vmax / Imax ; u. mis. Ohm (Ω)

• Infine, per entrambi i componenti reattivi l’impedenza dipende anche dalla

FREQUENZA della corrente: in modo direttamente e inversamente proporzionale

rispettivamente per l’induttore e per il condensatore. Le impedenze variabili con la

frequenza hanno molte applicazioni elettrotecniche (es filtri di banda).

ONDE


Perugia 145

Moto Ondulatorio

• Definizione:

– Il moto ondulatorio (onda) consiste nella propagazione (in un mezzo

mono, bi, o tri dimensionale) di una perturbazione (spec. oscillazione)

• Meccanica/elettromagnetica

• Trasversale/longitudinale

• Comprendere la meccanica della formazione di:

– ONDE DEL MARE

– ONDE LUNGO UNA CORDA O UN MEZZO ELASTICO

– ONDE ACUSTICHE

– ONDE ELETTROMAGNATICHE

Esempi di moto ondulatorio

Rappresentazione 1-D

– Grafica:

• Onda impulsiva/continua

• Onda periodica (T,f )

– Lungh. d’onda = v/f

• Onda armonica (A, 0)

– Analitica

• EQUAZIONE D’ONDA

Rappresentazione onde piane (e nello

spazio)

– Fronti d’onda

– Raggi di propagazione,

perpendicolari ai fronti d’onda

Nota: lungo ogni raggio può essere

adottata la rappresentazione

unidimensionale

Velocità di propagazione, frequenza e

lunghezza d’onda

• DIPENDE SOLO DALLE CARATTERISTICHE (elastiche e inerziali)

DEL MEZZO (approssimazione lineare):

– Vcorda = T/

– Vacust in un gas = B/

– Vacust in un solido elastico = K/

– Vem = 1/εμ Vem(vuoto) = c (3 108 m/s)

• FENOMENO DI DISPERSIONE v(f) (es. arcobaleno)

Per un’onda periodica:

• f dipende dalla sorgente fo=fs

• V dipende dal mezzo di propagazione (a meno di fenomeni di

dispersione)

• λ dipende da entrambi : λ = v /f

Fenomeni tipici delle onde

• I fenomeni caratteristici più comuni delle onde derivano da 2 principi generali : – Principio di Sovrapposizione

• T. Fourier

• Interferenza

• Onde stazionarie

– Principio di Huygens • diffrazione

Principio di Sovrapposizione

Due onde si propagano indipendentemente l’una dall’altra, lo spostamento (perturbazione) nei punti di sovrapposizione è pari alla somma algebrica dei due spostamenti

Interferenza

Definendo fase la distanza reciproca tra

le creste delle due onde, due onde

armoniche che si propagano in fase

(a) interferiscono

COSTRUTTIVAMENTE, se si

propagano in opposizione di fase (b)

interferiscono DISTRUTTIVAMENTE

Nel caso (c) lo sfasamento è intermedio

e la loro interferenza è parzialmente

distruttiva

Nel caso di onde che si propagano su

superfici o nello spazio, vi sono punti

in cui esse interferiscono sempre

costruttivamente: a valli e creste

corrispondono valli e creste dell’altra

onda e viceversa per i punti di

interferenza distruttiva

Nella maggior parte dei punti

l’interferenza è parziale

Onde stazionarie

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c5/Harmonic_partials_on_strings.svg

Teorema di Fourier

Un’onda può essere rappresentata come una sovrapposizione di onde

armoniche. Se l’onda composta è periodica, indicata con f la sua frequenza,

allora le uniche armoniche componenti sono quelle di frequenza multipla: f

(armonica fondamentale), 2f, 3f, …

Principio di Huygens

Ogni fronte d’onda può essere interpretato come un insieme di sorgenti (secondarie) puntiformi emittenti onde progressive sferiche in fase tra loro (coerenti)

La propagazione del fronte d’onda può essere interpretata come l’effetto dell’interferenza delle onde secondarie

Diffrazione

Se un fronte d’onda viene limitato (es. da un ostacolo o da una fenditura) il fronte si deforma. Infatti la forma del fronte è determinata dall’interferenza di tutte le sorgenti che lo compongono che, nel caso in cui vengano limitate, generano una interferenza ‘incompleta’ che ne cambia la forma rispetto a quella ‘attesa’.

L’angolo di diffrazione, definito come in figura, dipende da: θ = D / λ con D dimensioni lineari dell’ostacolo o fenditura. Se D>> λ il fenomeno non si manifesta e sono valide le leggi della propagazione ‘geometrica’ (es. ottica geometrica)

Effetto Doppler

Radiazione Le onde trasportano (irradiano) energia senza trasporto macroscopico di massa. Una

radiazione è descritta dalle seguenti grandezze principali:

• POTENZA (P0) DELLA SORGENTE = energia generata (trasformata)dalla sorgente

nell’unità di tempo / W

• FLUSSO DI ENERGIA (H) attraverso una sezione del mezzo: energia che

attraversa la sezione nell’unità di tempo / W

• INTENSITA’ dell’onda in un punto (I): energia che attraversa una sezione centrata

nel punto, perpendicolare alla direzione di propagazione e di area UNITARIA,

nell’unità di tempo / W cm-2

per un’onda emittente isotropamente, vale per (I) la legge dell’inverso del quadrato

della distanza: I(d) = P0/4πd 2

Per un’onda armonica è possibile esprimere il flusso e l’intensità di un’onda in termini

dei parametri Ampiezza (A) e frequenza (f):

• H = 2π2 ρ S v A2 f2

• I = 2π2 (ρ v) A2 f2 con (ρ v) = Z impedenza del mezzo

QUANTIZZAZIONE: l’energia è trasmessa da un’onda in modo discreto. Si può quindi

immaginare il flusso di energia trasportato da un’onda come un flusso di (quasi)

particelle, dette quanti. Per onde elettromagnetiche tali particelle vengono chiamate

FOTONI. L’energia di un fotone dipende solo dalla frequenza (f) dell’onda

elettromagnetica secondo la relazione di Plank: Ef = h f (h = cost. di Plank)

Acustica


Perugia 160

Onde Acustiche

INFRASUONI 20 Hz SUONI 20 kHz ULTRASUONI

(vibrazioni) s. gravi s. acuti

Vengono chiamate ‘onde acustiche’ tutte le onde meccaniche longitudinali. In

base alla frequenza, possono essere suddivise in:

La velocità delle onde acustiche in aria (condizioni std) vale circa 333 m/s, così

che le lunghezze d’onda udibili sono comprese tra circa 20 cm e circa 20 m.

• Il più importante mezzo di comunicazione

è basato sulla emissione, trasmissione e

ricezione delle onde sonore

• Si distingue tra:

fonazione/trasmissione/udito

• SENSAZIONI UDITIVE (grandezze

psicoacustiche):

– Altezza tonale (s.acuto/grave):

frequenza della prima armonica (se

non periodico lo percepiamo come

‘rumore’)

– Timbro o carattere : componenti

armoniche

– Volume (forte/debole): intensità

(v.oltre)

Percezione Sonora

• Il livello di intensità sonora (in un

punto sede attraversato dall’onda

sonora) (L) può essere interpretato

come l’espressione logaritmica della

intensità dell’onda in quel punto e

viene introdotto in virtù del fatto che

molte delle percezioni sensoriali

seguono una tale scala (l’intensità

della percezione ‘raddoppia’ se la

corrispondente grandezza fisica

aumenta di dieci volte)

• L = log (I / I0 ) con I0 pari alla intensità

minima udibile con f=1000 Hz (soglia

di udibilità) pari a 10-12 W/m-2

L’unità SI di L è il bel (B), dB (decibel)

= 0,1 B,ossia L/dB = 10 log (I / I0 )

Livello di Intensità Sonora

• Dato che suoni a frequenze (f) diverse

vengono percepite di diverso volume anche

con pari livello di intensità sonora, si

definisce una grandezza (psicoacustica) più

fedele alla percezione stessa, detta Livello di

Intensità Soggettiva (P).

• P(f) = 10 log (I/I0(f) ) dove I0(f) è pari alla

soglia di udibilità alla frequenza (f) e la cui

rappresentazione grafica è riportata in figura

(curva‘0’); uP =phon. P(1000Hz)/phon = L/dB.

• Utilizzando grafici come quello riportano in

figura, è possibile trovare, per ogni valore di

frequenza (in ascissa), il livello di intensità

sonora (espresso in dB) corrispondente al

livello soggettivo di interesse. In generale,

maggiore è la soglia di udibilità, minore sarà

il livello di intensità soggettivo di un suono a

parità di L/dB.

Livello di Intensità Soggettiva

Onde elettromagnetiche


Perugia 165

Onde elettromagnetiche

• In un’antenna emittente, la corrente oscilla

con una frequenza f producendo un campo

magnetico oscillante con la stessa

frequenza.

• Tale oscillazione del campo magnetico

induce un campo elettrico che oscilla con la

stessa frequenza.

• Anche un campo elettrico oscillante

produce un campo magnetico (LEGGE DI

MAXWELL) e così via a generare un’ONDA

ELETTROMAGNETICA con frequenza f e

velocità di propagazione pari a 1 / √με

• Tale velocità nel vuoto vale 3 108 m/s (c)

Spettro Elettromagnetico

• L’insieme delle onde elettromagnetiche, suddiviso in BANDE di frequenza, è

rappresentato nello SPETTRO ELETTROMAGNETICO:

• A seconda della loro capacità di ionizzare la materia (hv = circa 10 eV,

corrispondente alla banda UVC) , le radiazioni sono distinte in IONIZZANTI

(IR) e NON IONIZZANTI (NIR).

Ottica geometrica– (DG) Cap. 23, 24, 25

Ottica Geometrica

La luce visibile (capace di stimolare i

fotorecettori della retina) è un’onda

elettromagnetica con lunghezza d’onda

compresa (in aria) tra 400nm (violetto)

e 750 nm (rosso)

I raggi luminosi (direzione di

propagazione dell’onda) seguono le

leggi dell’ottica geometrica nel caso in

cui gli effetti del fenomeno della

diffrazione possano essere trascurati:

Condizione di validità:

λ << D (dimensioni lineari di ostacoli o

fenditure)

Indice di Rifrazione del mezzo

In un mezzo omogeneo la velocità

della luce è costante e dipende da una

caratteristica del mezzo detta INDICE

DI RIFRAZIONE DEL MEZZO (n)

v = c /n

In realtà n dipende anche da λ

(fenomeno della dispersione)

n è una grandezza adimensionale

Prima legge dell’O.G.

I raggi di luce in un mezzo omogeneo e

trasparente sono RETTILINEI

Da cui la formazione delle OMBRE

(regione del piano non illuminata): si

trova tracciando i raggi che partono

dalla sorgente e intersecano il bordo

dell’ostacolo (oggetto opaco) fino al

piano stesso

… e delle PENOMBRE (nel caso di

sorgenti di luce estese è la regione

illuminata solo parzialmente ossia da

una parte della sorgente)

Si trova congiungendo il bordo della

sorgente con il bordo dell’ostacolo

Leggi di Snell-Cartesio

• Quando un raggio di luce incontra

un’interfaccia ottica, ovvero un altro

mezzo trasparente con indice di

rifrazione diverso dal primo, il raggio si

divide in RAGGIO RIFLESSO nel

primo mezzo e RAGGIO

TRASMESSO nel secondo mezzo

cambiando direzione (RIFRATTO)

• L’intensità dei due raggi dipende da

vari fattori (non affrontati)

• Con i due fenomeni della riflessione e

della rifrazione possono essere

progettati gli strumenti ottici (lenti e

specchi)

Legge della riflessione

1. I raggi incidente (i) e riflesso (r)

nonché la normale all’interfaccia nel

punto di incidenza (n) giacciono sullo

stesso piano

2. L’angolo di riflessione è uguale

all’angolo di incidenza: θr = θi,

(gli angolo sono definiti a partire dalla

normale n)

Legge della rifrazione

1. I raggi incidente (i) e trasmesso (t)

nonché la normale all’interfaccia nel

punto di incidenza (n) giacciono sullo

stesso piano

2. I seni degli angoli di rifrazione e di

incidenza sono inversamente

proporzionali agli indici di rifrazione dei

rispettivi mezzi di propagazione:

sinθr / sin θi, = n1/n2

1. In particolare, se il secondo mezzo è più

rifrangente del primo (come in figura), il

raggio rifratto si avvicina alla normale

2. Viceversa se il secondo mezzo è meno

rifrangente del primo

Riflessione Totale ed Endoscopia

1. Nel caso in cui il secondo mezzo sia

meno rifrangente del primo, il raggio

rifratto si allontana dalla normale.

Esisterà un angolo di incidenza, detto

ANGOLO LIMITE (θL), il cui

corrispondente angolo di rifrazione è 90°,

ovvero per cui il raggio rifratto si propaga

lungo la superficie di separazione:

sinθL / 1 = n2/n1 = n21

2. Per angoli di incidenza maggiori

dell’angolo limite il raggio incidente non

viene trasmesso nel secondo mezzo

(RIFLESSIONE TOTALE)

3. La RT viene utilizzata per guidare la luce

per riflessioni totali multiple lungo fibre di

vetro (a maggiore indice di rifrazione

dell’aria) negli ENDOSCOPI

Immagini

Immagini

Il fascio di raggi DIVERGENTE che

dalla sorgente raggiunge la pupilla dà

luogo all’immagine percepita

Se la sorgente emette in tutte le

direzioni (es. sorgente secondaria di

luce diffusa) essa è visibile da tutte le

direzioni

Viceversa per una sorgente che emetta

in un’unica direzione

Immagine reale

• Una sorgente puntiforme emette raggi in tutte le direzioni. L’occhio rivolto

verso la sorgente, da ogni posizione, ne intercetta una parte: il fascio

racchiuso dal cono con vertice in S e avente la pupilla come base

S

Immagine reale

• Nel caso in figura la stessa percezione è prodotta da raggi che provengono

da IR pure non essendo ivi ‘generati’. Il punto IR dove convergono i raggi di

luce (fascio) provenienti da una sorgente è detto immagine reale.

IR

Immagine Virtuale • In questo nuovo caso (in cui i raggi provenienti dalla sorgente sono deviati

verso l’osservatore) la stessa percezione dei due casi precedenti è prodotta

da raggi generati in S’, ma deviati (ad es. da uno strumento ottico) in modo

tale che i loro prolungamenti all’indietro passino in corrispondenza dello

stesso punto.

S’

Immagine Virtuale Il punto di intersezione dei ‘prolungamenti all’indietro’ di raggi che

raggiungono l’occhio divergendo, provenendo da una sorgente S’, prende il

nome di Immagine Virtuale.

IV

S’

Immagini Reali e Virtuali

Quindi, considerando i raggi EMERGENTI da uno strumento ottico:

• L’immagine reale di una sorgente si trova nel punto di intersezione dei

raggi CONVERGENTI provenienti dalla sorgente (fig a sinistra) e, perché

sia percepita, l’occhio si deve trovare a valle dell’immagine

• L’immagine virtuale si trova nel punto di intersezione dei prolungamenti

all’indietro di raggi DIVERGENTI provenienti dalla sorgente (fig a destra).

Lenti Sottili

Lenti Sottili

1. La lente è un elemento ottico di materiale

trasparente (es vetro) molato in modo tale che,

mediante una DOPPIA RIFRAZIONE, possa far

convergere (LENTE CONVERGENTE) i raggi che vi

incidono paralleli al suo asse, in un punto dell’asse

detto FUOCO, la cui distanza dal centro della lente

è detta DISTANZA FOCALE della lente (f)

2. Con questa proprietà una lente è utilizzata per

produrre immagini reali o virtuali di oggetti (sorgenti

di luce)

3. Le LENTI DIVERGENTI sono molate in modo tale

che, analogamente, i raggi paralleli all’asse

principale divergono come se provenissero da un

punto posto sull’asse (FUOCO)

Lastra Piano Parallela

1. In una lastra piano parallela i raggi incidenti

non vengono deviati, ma solo spostati (es.

una finestra)

2. Lo spostamento è proporzionale allo

spessore della lastra

3. Quale che sia la sua forma, una lente si

comporta nel suo centro come una lastra

piano parallela: è detta SOTTILE se lo

spostamento del raggio di luce che passa

per il suo centro è trascurabile

Costruzione grafica delle Immagini Procedimento:

1. Disegnare la lente con il suo asse ottico, i due fuochi e

l’oggetto AB (freccia) con base A sull’asse ottico.

2. Tracciare due raggi uscenti dalla punta dell’oggetto:

quello parallelo all’asse ottico e quello passante per il

centro della lente

3. Attraversando la lente, il raggio parallelo viene deviato,

nel caso la lente sia convergente, verso il fuoco e, nel

caso la lente sia divergente, come se provenisse dal

fuoco opposto; il raggio passante per il centro della

lente non viene deviato in entrambi i casi

4. Si trova l’immagine (B’) della punta (B) come punto di

intersezione dei raggi emergenti dalla lente se questi

convergono (immagine reale); se i due raggi emergenti

divergono, B’ si trova nel punto di intersezione dei loro

prolungamenti all’indietro (immagine virtuale).

5. L’immagine della intera freccia (A’B’) è prodotta da tutti

i raggi uscenti da AB che attraversano la lente e si

trova tracciando la perpendicolare da B’ all’asse ottico.

L’immagine può essere:

reale/virtuale,

diritta/capovolta,

ingrandita/rimpicciolita

Legge delle Lenti

1. La legge delle lenti sottili fornisce un metodo

ANALITICO (in alternativa a quello grafico)

per trovare l’immagine di un oggetto formata

da una lente di cui si conosca la lunghezza

focale (f). Indicando con p e q

rispettivamente la distanza dell’oggetto e

dell’immagine dal centro della lente e

indicando con (m) l’ingrandimento lineare

A’B’/AB:

1/p + 1/q = 1/f ;

m = - q/p

2. regola dei segni: se la lente è divergente (f) è

negativo, se la soluzione per q (in genere q è

l’incognita) è negativa, allora l’immagine è

virtuale e si trova dalla stessa parte

dell’oggetto rispetto alla lente

Potere Diottrico

1. Il potere diottrico o POTENZA (P) di una lente è

definito in alternativa alla sua lunghezza focale (f) e

ne indica la capacità di far convergere (o divergere)

i raggi paralleli all’asse ottico

2. Si def. P = 1/f

u.mis. P = diottria (D)

Vale la legge (approssimata) dei costruttori di lenti:

P = (n-1) (1/R1 -1/R2)

dove R1 e R2 sono i raggi di curvatura regola dei

segni: i raggi R1 e R2 delle due superfici sferiche

vanno presi con segno positivo o negativo a

seconda che le superfici siano (lungo la stessa

direzione) convesse o concave; inoltre, se P è

negativo la lente è divergente

Strumenti Ottici

L’occhio e la visione

L’occhio può essere rappresentato come una lente

(molto trasparente) convergente con potere

diottrico variabile perché l’immagine,

indipendentemente dalla distanza dell’oggetto, si

formi sempre in corrispondenza della retina

(immagine retinica: reale e rimpicciolita).

P = 1/p + 1/(0,02m) = 1/p + 50D

Tale meccanismo è chiamato accomodazione del

cristallino e si realizza mediante la contrazione

dei muscoli ciliari che ne aumenta la curvatura. P

varia da un minimo di 50D (occhio ‘rilassato’) a

un valore massimo di 55D che limita la possibilità

di vedere nitidamente oggetti a distanza inferiore

di 20cm (punto prossimo). Quindi per un occhio

emmetrope:

pp (punto prossimo) = circa 20 cm (massima

capacità prossimo)

pr (punto remoto) = infinito

Lenti Correttive

Si trova il potere diottrico P per le lenti correttive dei

difetti della vista più comuni:

Miopia: pr’ < infinito

Lente correttiva: deve consentire di vedere oggetti

distanti (pr=infinito) formandone un’immagine

dalla stessa parte dell’oggetto (virtuale), ma alla

distanza pr’:

P(pr’) = 1/inf – 1/pr’ = - 1/pr’ (negativa, ossia

lente divergente)

Ipermetropia e presbiopia: pp’ > pp

Lente correttiva: deve consentire di vedere oggetti

vicini, ossia a distanza pp (0,2 m) formandone

un’immagine virtuale a distanza pp’ (maggiore);

ovvero:

P(pp’) = 1/(0,2) – 1/pp’ = 5 – 1/pp’

(positiva, quindi lente convergente)

Strumenti di Ingrandimento

L’occhio ha un potere risolutivo pari a 5 mrad

separazione angolare (ossia 0,1 mm di

separazione lineare al pp). Per migliorarlo

occorre avvalersi di strumenti ottici di

ingrandimento (lente di ingrandimento,

microscopio composto). E’ sufficiente porre

l’oggetto vicino al fuoco di una lente: p = f±δ

(realizzabile per ‘lunghe’ focali) si avrà:

1/q = 1/f – 1/(f±δ) e quindi

m = -q/p ≈ f/ δ, ovvero molto grande

Se l’oggetto è posto a distanza maggiore del fuoco

(p = f+δ) l’immagine ingrandita sarà reale e

capovolta, altrimenti (p = f-δ) virtuale e diritta

E’ possibile aumentare l’ingrandimento combinando

le due lenti in un microscopio composto, formato

da un obiettivo (i.reale) e un oculare (i.virtuale)

CORSO DI INSEGNAMENTO IN FISICA - med.unipg.it Didattico/Fisica canale B 2012 2013... · Meccanica...

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