CORSO DI IDRAULICA esercizi svolti di correnti a...

08/02/2000

CORSO DI IDRAULICA

esercizi svolti di correnti a superficie libera

Prof. E. Larcan - Ing. F. Ballio

collaborazione dell'Ing. Sara Marcante

Sulla base dell'esperienza didattica nell'ambito dei corsi di Idraulica si è sentita l'esigenza di sviluppare una serie di esercizi riguardanti le correnti a superficie libera in moto permanente. Sono qui raccolti una serie di 5 esercizi svolti in maniera puntuale, che hanno lo scopo di guidare lo studente in ogni passo logico della risoluzione del problema, indicandone la metodologia di approccio. Altri 4 esercizi sono svolti invece dando per scontato alcuni dei passi fondamentali già discussi, ponendo l'attenzione sulle condizioni al contorno e sulle difficoltà che non erano state precedentemente introdotte. Il materiale si presenta in forma provvisoria e richiederà una revisione ed un completamento; ciò nonostante si è ritenuto utile renderlo disponibile agli studenti per la preparazione all'imminente sessione di esame. Sono gradite osservazioni, note e correzioni che faciliteranno tale revisione. Milano, 26 maggio 1997

ESERCIZIO 1

Tracciamento dei possibili profili di moto permanente nell’alveo prismatico a sezione di

geometria nota indicato in figura. Sono noti inoltre: la scabrezza, la portata Q e la pendenza

di ogni singolo tratto di alveo ij.

i1 > ic

i2 < ic

i3 > i1 > ic

2

1

b

Q

• Il 1° tratto di alveo è a forte pendenza ed è indefinito verso monte, il 2° tratto è a debole

pendenza e di lunghezza nota; il 3° tratto è a forte pendenza ed è indefinito verso valle. La pendenza

del 3° tratto è maggiore rispetto a quella del 1° tratto.

• Note la portata Q e la geometria della sezione, è possibile calcolare l’altezza di stato critico k,

attraverso la relazione:

AB

Qg

3 2

=⋅α

(1)

nella quale si può porre il coefficiente di ragguaglio per la potenza cinetica α =1.

A è l’area della sezione e B la larghezza dell’alveo in corrispondenza del pelo libero. Nel caso della

sezione trapezia in esame A e B valgono rispettivamente:

A = A k k bk

( ) = ⋅ +

2 (2)

B = B(k) = b + k (3)

Sostituendo la (2) e la (3) nella (1) è possibile ricavare k per tentativi. Essendo la sezione dell’alveo

costante, il valore di k è lo stesso per i tre tratti.

Esercizio 1

2

i1 > ic

i2 < ic

i3 > i1 > ic

sez. Asez. B

1° tratto 2° tratto 3° tratto

k

b

B

k

• Noti, inoltre, il coefficiente di scabrezza ks di Strickler e la pendenza ij di ogni singolo tratto, è

possibile calcolare l’altezza di moto uniforme h0,j nei tre tratti, mediante la formula di Chézy:

Q A C R i= ⋅ ⋅ ⋅0 (4)

dove

C = ks ⋅R1/6

Nel caso in esame l’area e il raggio idraulico nelle condizioni di moto uniforme valgono:

A h bh

0 00

2= ⋅ +

(5)

RAP

h bh

b hh

h bh

b h= =

⋅ +

+ ⋅ +

=⋅ +

+ ⋅0

00

02 0

2

00

0

2

24

2

5 (6)

Sostituendo la (5) e la (6) nella (4) è possibile ricavare per tentativi h0.

NOTA: l’altezza di moto uniforme del 3° tratto è minore rispetto a quella del 1° tratto. Come si può

osservare dalle formule sopra scritte, infatti , sia A che R crescono all’aumentare di h0. A parità di

portata Q, dalla formula di Chézy risulta pertanto evidente che h0 deve diminuire all’aumentare della

pendenza i.

Esercizio 1

3

i1 > ic

i2 < ic

i3 > i1 > ic

sez. Asez. B


k

h0,1

h0,2

h0,3

• Per individuare le condizioni al contorno per il tracciamento del profilo, si può cominciare

osservando che il 1° tratto di alveo è a forte pendenza. In un alveo a forte pendenza, la condizione di

moto uniforme viene raggiunta asintoticamente verso valle. Poiché il tratto d’alveo è indefinito verso

monte (non presenta cioè alcun disturbo a monte), in esso si instaurano condizioni di moto uniforme.

In assenza di disturbi da valle in grado di provocare una corrente lenta, nel 1° tratto si ha moto

uniforme in corrente veloce.

A valle della sezione A l’alveo è a debole pendenza. L’unico profilo di corrente veloce in alveo a

debole pendenza è il profilo D3 (che in questo caso parte da h0,1 in corrispondenza della sezione A).

Esso tende allo stato critico, dove avrebbe una tangente verticale.

E’ possibile tracciare il profilo D3 fino all’altezza di stato critico.

i1 > ici1 > ic

i2 < ici2 < ic

i3 > i1 > ici3 > i1 > ic

sez. Asez. Asez. Bsez. B

1° tratto1° tratto 2° tratto2° tratto 3° tratto3° tratto

k

h0,1

h0,2

h0,3

D3

Esercizio 1

4

Nella figura precedente il profilo D3 è stato tratteggiato in quanto, come si vedrà in seguito, non è

detto si verifichi effettivamente.

• Si può inoltre notare che nella sezione B si ha il passaggio da debole a forte pendenza; questa è

normalmente una condizione necessaria e sufficiente per il passaggio della corrente attraverso lo stato

critico. Nel 2° tratto di alveo (sez. A - sez. B) si avrà quindi un profilo D2 di corrente lenta, che può

essere tracciato partendo dalla sezione B e risalendo verso monte. Tale profilo D2 tende

asintoticamente al moto uniforme verso monte. Se il profilo raggiunge la sezione A, esso determina la

condizione al contorno per il tracciamento, nel tratto a monte, dell’unico profilo di corrente lenta

nell’alveo a forte pendenza (F1), che tende allo stato critico ove avrebbe tangente verticale. Il

tracciamento del profilo F1 va quindi eseguito a partire dall’altezza raggiunta dal profilo D2 in

corrispondenza della sezione A e procedendo verso monte. Anche in questo caso il profilo F1 è

stato tratteggiato, in quanto non è detto che debba verificarsi.

• Il 3° tratto di alveo è a forte pendenza e indefinito verso valle. Si ha quindi un profilo F2 di

corrente veloce accelerata, che parte da k nella sezione B e tende asintoticamente al moto uniforme

verso valle.

i1 > ici1 > ic

i2 < ici2 < ic

i3 > i1 > ici3 > i1 > ic



k

h0,1

h0,2

h0,3

F1

D3

D2

F2

La figura seguente mostra qualitativamente il profilo completo. Sono inoltre segnalate le posizioni dei

due possibili risalti (a monte o a valle della sezione A). In seguito verrà discusso il problema della

localizzazione del risalto stesso.

Esercizio 1

5

i1 > ici1 > ic

i2 < ici2 < ic

i3 > i1 > ici3 > i1 > ic



k

h0,1

h0,2

h0,3

F1

D3

D2

F2

DEFINIZIONE QUANTITATIVA DEL PROFILO

L’andamento qualitativo del profilo prima trovato e le considerazioni che lo hanno determinato

permettono di conoscere da quale sezione bisogna partire per il suo tracciamento quantitativo (in

pratica per il calcolo dell’altezza d’acqua h in ogni sezione dell’alveo) e con quali condizioni al

contorno (h di partenza nel calcolo del profilo).

1° tratto: moto uniforme.

h = h0,1 =cost

2° tratto: il calcolo del profilo D2 viene eseguito utilizzando un procedimento alle differenze finite. Si

ricorda che il tracciamento di una corrente lenta va eseguito da valle verso monte. In questo caso si

parte dalla sezione B, in cui h è nota e pari a k. Si impone quindi come condizione al contorno:

h = k

Il tracciamento per differenze finite si effettua imponendo un passo ∆h (positivo in quanto l’altezza

cresce verso monte) e calcolando E e ∆E ad ogni passo tramite le formule:

E hQg A

= +⋅ ⋅

2

22

∆E = E(h+∆h) - E(h)

Dove A = A(h).

Si calcola quindi

∆∆

sE

i J=

−

dove i è la pendenza dell’alveo e J è la cadente che si calcola con la formula di Chézy:

Esercizio 1

6

JQ

C R A=

⋅ ⋅

2

2 2

La cadente J può essere calcolata ad esempio in corrispondenza dell’altezza media dell’intervallo in

studio (sono valide anche altre approssimazioni). In tal caso risulta:

A = A hh+

∆2

e B = B hh+

∆2

L’integrazione prosegue fino a quando la somma dei ∆s calcolati uguaglia la lunghezza del tratto

d’alveo (in pratica fino a quando si raggiunge la sezione A). Chiamiamo h* l’altezza d’acqua che si

verifica nella sezione A.

Per il completamento del profilo nell’intorno della sezione A si rimanda al paragrafo seguente.

Il profilo F2 nel 3° tratto si traccia in maniera analoga, a partire dalla sezione B (h=k).

CALCOLO DELLA POSIZIONE DEL RISALTO

Dal momento che si conoscono le altezze dei due profili (di corrente lenta di valle h* e di corrente

veloce di monte h0,1) in corrispondenza della sezione A, si calcolano le rispettive spinte totali con la

formula:

S A hQAG= ⋅ ⋅ + ⋅γ ρ

2

Dove hG = hG(h) è l’affondamento del baricentro sotto il pelo libero.

Si possono avere due casi:

1) Sveloce < Slenta => il risalto è spinto a monte.

La corrente veloce in questo caso è in moto uniforme, quindi:

S S A hQAveloce G≡ = ⋅ ⋅ + ⋅0 1 0 1

2

0 1, ,

,

γ ρ

Per quanto riguarda la corrente lenta di valle, bisogna tracciare il profilo F1, partendo dalla sezione

A e proseguendo verso monte. La condizione di partenza è l’altezza h* (calcolata precedentemente)

raggiunta dal profilo D2 in corrispondenza della sezione A.

Ad ogni passo (per ogni ∆h) si calcola anche la spinta Slenta fino a raggiungere un valore pari alla

Sveloce.

Tale operazione può essere effettuata graficamente, dopo aver tracciato il diagramma delle spinte

totali:

Esercizio 1

7

h

SAndamento della spinta totale per Q = cost

Svel ≡ S0,1

A

hveloce ≡ h0,1 h*hlenta

Slenta, A

2) Sveloce > Slenta => il risalto è spinto a valle.

In questo caso bisogna tracciare, per differenze finite, il profilo D3, partendo dall’altezza di moto

uniforme h0,1 in corrispondenza della sezione A e procedendo verso valle. Ad ogni passaggio (per

ogni ∆h) si calcola la spinta e la si confronta con quella della corrente lenta nella stessa sezione, la cui

altezza è già stata precedentemente calcolata (profilo D2). Si prosegue nel calcolo del profilo D3,

fino a quando Sveloce=Slenta (punti B e B’ del grafico seguente).

h


h*

A

A’

B’ B

h0, 1

sez. Asez. A

D3

D2A

A’

B

B’

A questo punto rimane da tracciare il profilo del 3° tratto.

Si noti come nel caso (1) nel calcolo del risalto l’altezza di corrente veloce (e quindi Sveloce) è nota a

priori, e rimane da calcolare solo l’altezza di corrente lenta e l’ascissa in cui il risalto si verifica. Nel

caso (2) sono invece variabili e quindi incognite entrambe le altezze.

Esercizio 1

8

PROFILO ALTERNATIVO

Il profilo D3 può anche protrarsi fino alla sezione B, senza raggiungere lo stato critico e senza che

si verifichi un risalto. In questo caso la spinta totale della corrente veloce D3 è sempre maggiore di

quella della corrente lenta D2. Questa ipotesi può verificarsi, ad esempio, nel caso in cui il 2° tratto

di alveo sia molto corto.

Il profilo del 3° tratto è sempre di tipo F2, ma in questo caso la condizione iniziale per il suo

tracciamento non è più k, bensì l’altezza raggiunta dal profilo D3 in corrispondenza della sezione B.

Com’è ovvio, la tangente al profilo in corrispondenza di quest’ultima sezione non è verticale.

Si può quindi osservare come in questo caso il passaggio da debole a forte pendenza non sia

condizione sufficiente per determinare il passaggio attraverso lo stato critico.

Il profilo alternativo è il seguente:

i1 > ici1 > ic

i2 < ici2 < ic

i3 > i1 > ici3 > i1 > ic



D3F2

NOTA: è utile sottolineare che nel 3° tratto di alveo non può verificarsi un profilo F3, in quanto hB >

h0, 1 > h0, 3.

ESERCIZIO 2

Tracciamento dei possibili profili di moto permanente per l’alveo prismatico a sezione di

geometria nota indicato in figura. Sono noti inoltre: la pendenza i, i coefficienti di Strickler di

ogni singolo tratto di alveo ks, j e la portata Q.

ks, 1 = 80

ks, 2 = 40

ks, 3 = ks, 1 = 80

2

1

b

Q

i

• La pendenza è costante nei tre tratti in cui può essere suddiviso l’alveo. Anche la sezione, di

geometria nota, non varia. Il parametro che varia è il coefficiente di Strickler.

• Dal momento che la sezione è costante, l’altezza di stato critico k è la stessa nei tre tratti ed è

ricavabile (come visto nell’esercizio 1) dalla formula:

AB

Qg

3 2

=⋅α

dove A = A(k) e B = B(k) sono note.

• L’altezza di moto uniforme si calcola mediante la formula di Chézy:

Q A C R i= ⋅ ⋅ ⋅0

Il coefficiente di scabrezza C dipende linearmente dal coefficiente di Strickler ks, mediante la formula

di Strickler:

C = ks ⋅R1/6

E’ opportuno ricordare che il coefficiente ks, è tanto più grande quanto minore è la scabrezza

dell’alveo. Con riferimento al disegno iniziale, si può quindi affermare che il tratto intermedio ha una

scabrezza maggiore degli altri due.

L’area A = A(h0) e il raggio idraulico R = R(h0) (che sono funzioni note di h0) aumentano

all’aumentare di h0. Dalla formula di Chézy si può quindi dedurre che, se ks (e quindi C) diminuisce,

A e R (e quindi h0) devono aumentare, a parità di portata Q.

Esercizio 2

10

Tramite la formula di Chézy si ottiene, per tentativi:

h0, 1 = h0, 3

h0, 2 > h0, 1 , h0, 3

A seconda che h0 sia maggiore o minore dell’altezza di stato critico k, si avranno tratti a debole o a

forte pendenza.

In funzione dei valori ottenuti sono possibili tre casi:

A) I tre tratti di alveo sono a forte pendenza.

h0,1 = h0,3 < k e h0, 2 < k

i > ic, 1 = ic, 3 e i > ic, 2

ks, 1 = 80

ks, 2 = 40

ks, 3 = ks, 1 = 80i

sez. A

sez. B


k

h0,1

h0,2

h0,3

• Il 1° tratto di alveo è a forte pendenza. In un alveo a forte pendenza la condizione di moto

uniforme viene raggiunta asintoticamente verso valle. Dal momento che l’alveo è indefinito verso

monte (non presenta cioè alcun disturbo a monte), si instaurano condizioni di moto uniforme, che si

propaga verso valle indisturbato. E’ quindi possibile affermare che, se non ci sono disturbi da valle

che impongono il passaggio a corrente lenta, nel 1° tratto si ha moto uniforme in corrente veloce.

Esercizio 2

11

ks, 1 = 80

ks, 2 = 40

ks, 3 = ks, 1 = 80i

sez. A

sez. B


k

h0,1

h0,2

h0,3

• Il 2° tratto è ancora in forte pendenza, ma l’altezza di moto uniforme è maggiore rispetto al 1°

tratto. Si ha quindi un profilo F3 di corrente veloce ritardata, che parte da h0, 1 in corrispondenza

della sezione A e tende al moto uniforme verso valle.

Il profilo F3 viene tracciato quantitativamente per differenze finite, imponendo un passo ∆h>0 e

calcolando E agli estremi di ogni intervallo di integrazione, tramite la:

E hQg A

= +⋅ ⋅

2

22

Si calcola il ∆E e si ricava ∆s:

∆∆

sE

i J=

−

dove i è la pendenza dell’alveo e J è la cadente, che si calcola con la formula di Chézy in

corrispondenza dell’altezza media hh+

∆2

:

JQ

C R A=

⋅ ⋅

2

2 2

Si prosegue l’integrazione fino a quando la somma dei ∆s uguaglia la lunghezza del 2° tratto di alveo

(in pratica fino a quando si raggiunge la sezione B).

Esercizio 2

12

ks, 1 = 80

ks, 2 = 40

ks, 3 = ks, 1 = 80i

sez. A

sez. B


k

h0,1

h0,2

h0,3

F3

• Nel 3° tratto l’altezza di moto uniforme diminuisce nuovamente (ho , 3 = h0 , 1). Si ha quindi un

profilo F2 di corrente veloce accelerata che tende al moto uniforme verso valle.

La condizione iniziale per il tracciamento del profilo (eseguito per differenze finite imponendo un

∆h<0) è l’altezza raggiunta dal profilo F3 in corrispondenza della sezione B. Il tracciamento viene

eseguito verso valle, trattandosi di una corrente veloce. La tangente del profilo F2, in corrispondenza

della sezione B, non è ovviamente verticale.

ks, 1 = 80

ks, 2 = 40

ks, 3 = ks, 1 = 80i

sez. A

sez. B


k

h0,1

h0,2

h0,3

F3F2

B) I tre tratti di alveo sono a debole pendenza

h0,1 = h0,3 > k e h0, 2 > k

i < ic, 1 = ic, 3 e i < ic, 2

Esercizio 2

13

ks, 1 = 80

ks, 2 = 40

ks, 3 = ks, 1 = 80i

sez. A

sez. B


k

h0,1

h0,2

h0,3

• Dal momento che l’alveo è tutto a debole pendenza e indefinito verso valle (non presenta cioè

alcun disturbo che possa determinare il passaggio a corrente veloce), nel 3° tratto si instaurano

condizioni di moto uniforme in corrente lenta, che si propaga indisturbato verso monte.

ks, 1 = 80

ks, 2 = 40

ks, 3 = ks, 1 = 80i

sez. A

sez. B


k

h0,1

h0,2

h0,3

• Passando dal 3° al 2° tratto di alveo (quindi risalendo verso monte) l’altezza di moto uniforme

aumenta. Si ha quindi un profilo D2 di corrente lenta, che tende ad h0, 2 verso monte.

Il profilo viene calcolato per differenze finite, ponendo come condizione iniziale h = h0, 3 nella sezione

B e risalendo verso monte (con ∆h > 0) fino a quando la somma dei ∆s uguaglia la lunghezza del 2°

tratto di alveo.

Esercizio 2

14

ks, 1 = 80

ks, 2 = 40

ks, 3 = ks, 1 = 80i

sez. A

sez. B


k

h0,1

h0,2

h0,3

D2

• Risalendo nel 1° tratto, l’altezza di moto uniforme diminuisce. Si ha quindi un profilo D1 di

corrente lenta che tende asintoticamente al moto uniforme verso monte. La condizione iniziale nel

tracciamento per differenze finite (con ∆h < 0) è l’altezza raggiunta dal profilo D2 nella sezione A.

ks, 1 = 80

ks, 2 = 40

ks, 3 = ks, 1 = 80i

sez. A

sez. B


k

h0,1

h0,2

h0,3

D2

D1

C) Il 1° e il 3° tratto sono a forte pendenza, mentre il 2° tratto è a debole pendenza.

h0,1 = h0,3 < k e h0, 2 > k

i > ic, 1 = ic, 3 e i < ic, 2

Si osservi che in questo caso la situazione che si verifica è analoga a quella analizzata nell’esercizio 1.

Si è ritenuto comunque utile ripetere i ragionamenti seguiti per la costruzione dei profili, che

ovviamente saranno qualitativamente identici a quelli determinati nel suddetto esercizio.

Esercizio 2

15

ks, 1 = 80

ks, 2 = 40

ks, 3 = ks, 1 = 80i

sez. A

sez. B


kh0,1

h0,2

h0,3

• Dal momento che il 1° tratto di alveo è indefinito verso monte, in esso si instaurano condizioni di

moto uniforme. In assenza di disturbi da valle in grado di provocare una corrente lenta, nel 1° tratto

si ha moto uniforme in corrente veloce.

• A valle della sezione A l’alveo diventa a debole pendenza. L’unico profilo di corrente veloce in

alveo a debole pendenza è il profilo D3, che in questo caso parte da h0,1 in corrispondenza della

sezione A e tende allo stato critico con una tangente verticale.

Si può quindi effettuare il tracciamento per differenze finite.

ks, 1 = 80

ks, 2 = 40

ks, 3 = ks, 1 = 80i

sez. A

sez. B


kh0,1

h0,2

h0,3

D3

Il profilo D3 è tratteggiato in quanto non è detto che si verifichi effettivamente.

• Si può inoltre notare che nella sezione B si ha il passaggio da debole a forte pendenza. Questa è

normalmente condizione necessaria e sufficiente per il passaggio della corrente attraverso lo stato

critico. Nel 2° tratto di alveo si avrà quindi un profilo D2 di corrente lenta, che tende asintoticamente

al moto uniforme verso monte. Il tracciamento per differenze finite si esegue imponendo h = k nella

sezione B e risalendo verso monte, con un ∆h > 0. Una volta raggiunta la sezione A, l’unico profilo

Esercizio 2

16

di corrente lenta in alveo a forte pendenza (tratto di monte) è il profilo F1, che tende allo stato critico

con una tangente verticale. Il tracciamento quantitativo (per differenze finite) del profilo F1 va

eseguito a partire dall’altezza (h*) raggiunta dal profilo D2 in corrispondenza della sezione A e

procedendo verso monte, con un ∆h<0 perché il profilo decresce. Anche in questo caso il profilo F1

va tratteggiato, perché non è detto che si verifichi effettivamente.

• Il 3° tratto di alveo è a forte pendenza e indefinito verso valle. Si ha quindi un profilo F2 di

corrente veloce accelerata, che parte dallo stato critico nella sezione B e tende asintoticamente al

moto uniforme verso valle. Il tracciamento per differenze finite viene quindi eseguito imponendo h = k

nella sezione B e proseguendo verso valle con ∆h<0 perché il profilo decresce.

Il profilo completo può essere disegnato qualitativamente come segue, indicando le due possibili

localizzazioni del risalto (a monte o a valle della sezione A).

ks, 1 = 80

ks, 2 = 40

ks, 3 = ks, 1 = 80i

sez. A

sez. B


kh0,1

h0,2

h0,3

D3

F1D2

F2

CALCOLO DELLA POSIZIONE DEL RISALTO (per il caso C)

In corrispondenza della sezione A si calcolano le spinte dei due profili, in modo da stabilire se il

risalto viene spinto a monte o a valle della sezione stessa.


La corrente veloce in questo caso è in moto uniforme, quindi:

S S A hQAveloce G≡ = ⋅ ⋅ + ⋅0 1 0 1

2

0 1, ,

,

γ ρ

Noto il profilo F1 si calcola, ad ogni passo (per ogni ∆h), la spinta totale Slenta e la si confronta con

Sveloce.

Esercizio 2

17

h


Svel ≡ S0,1

A

hveloce ≡ h0,1 h*hlenta

Slenta, A

2) Sveloce > Slenta => il risalto è spinto a valle. Sono incognite entrambe le altezze e, di conseguenza,

anche il valore della spinta per cui si verifica il risalto.

Un metodo per la localizzazione del risalto diverso da quello visto nell’esercizio si basa sul

tracciamento del luogo delle altezze coniugate a quelle di uno dei due profili. Partendo, ad esempio,

dal profilo D3, tracciato in precedenza, si valutano le altezze coniugate in una serie sufficientemente

estesa di punti che appartengono al profilo stesso, attraverso il diagramma delle spinte.

h


hveloce hlenta CONIUGATA

Si disegnano quindi il profilo D3 e il luogo delle altezze coniugate alle altezze del profilo D3. La

posizione del risalto viene individuata dall’intersezione di suddetto luogo con il profilo D2 di corrente

lenta.

Esercizio 2

18

sez. A

D3

D2

Sezione del RISALTOLuogo delle altezzeconiugate a quelledel profilo D3

PROFILO ALTERNATIVO (per il caso C)

Può anche accadere che il profilo D3 si estenda fino alla sezione B, senza raggiungere lo stato

critico e senza che si verifichi un risalto. In questo caso la spinta totale della corrente veloce D3 è

sempre maggiore di quella della corrente lenta D2. Questa ipotesi può verificarsi, ad esempio, nel

caso in cui il 2° tratto di alveo sia molto corto.

Il profilo del 3° tratto è sempre di tipo F2, ma in questo caso la condizione iniziale per il suo

tracciamento non è più l’altezza di stato critico k, bensì l’altezza raggiunta dal profilo D3 in

corrispondenza della sezione B. Inoltre la tangente al profilo in corrispondenza di quest’ultima

sezione non è verticale.

Si può quindi osservare come, anche in questo caso, il passaggio da un alveo a debole pendenza ad

uno a forte pendenza non sia condizione sufficiente a determinare il passaggio per lo stato critico.

Il profilo alternativo è il seguente:

ks, 1 = 80

ks, 2 = 40

ks, 3 = ks, 1 = 80i

sez. A

sez. B


kh0,1

h0,2

h0,3

D3F2

19

ESERCIZIO 3

Tracciamento dei possibili profili di moto permanente nell’alveo prismatico a sezione di

geometria nota indicato in figura. Siano noti inoltre: le pendenze di ogni singolo alveo ij , il

coefficiente di Strickler ks e la portata Q.

i1 < ic

i2 > ic

i3 < i1 < ic

2

1

b

Q

Sez. A

Sez. B

• Il 1° tratto di alveo è a debole pendenza ed è indefinito verso monte, il 2° tratto è a forte

pendenza e di lunghezza nota; il 3° tratto è a debole pendenza (con i3 < i1) ed è indefinito verso valle.

• Dal momento che la sezione è costante, l’altezza di stato critico k è la stessa nei tre tratti ed è

ricavabile (vedi esercizi precedenti) dalla formula:

AB

Qg

3 2

=⋅α

dove A = A(k) e B = B(k) sono note.

Nella formula si impone unitario il coefficiente di ragguaglio delle potenze cinetiche (α =1).

• L’altezza di moto uniforme si calcola mediante la formula di Chézy:

Q A C R i= ⋅ ⋅ ⋅0

Dove C è il coefficiente di scabrezza calcolato con la formula di Strickler:

C = kS ⋅R1/6

L’area A = A(h0) e il raggio idraulico R = R(h0) sono funzioni note di h0.

E’ importante notare che h0, 3 > h0, 1.

Esercizio 3

20

i1 < ic

i2 > ic

i3 < i1 < ic

Sez. A

Sez. Bk

h0,1

h0,2 h0,3


• La condizione al contorno per il tracciamento del profilo è subito individuabile nella sezione A,

dove la pendenza passa da debole a forte: questa è normalmente condizione necessaria e sufficiente

per il passaggio della corrente attraverso lo stato critico.

Nel 1° tratto di alveo si verifica, quindi, un profilo D2 di corrente lenta accelerata, che parte da k

nella sezione A e tende asintoticamente al moto uniforme verso monte. Il tracciamento quantitativo

del profilo viene eseguito per differenze finite (come visto negli esercizi precedenti), imponendo come

condizione al contorno h = k nella sezione A e procedendo verso monte con un passo ∆h > 0. Agli

estremi di ogni intervallo si calcola E tramite la:

E hQg A

= +⋅ ⋅

2

22

Si calcola il ∆E e si ricava ∆s:

∆∆

sE

i J=

−



∆2

:

JQ

C R A=

⋅ ⋅

2

2 2

Poiché l’asintoto (h0,1) viene raggiunto all’infinito, il profilo viene calcolato per un tratto finito di alveo.

• Nel 2° tratto si ha un profilo F2 di corrente veloce accelerata, che parte da k in corrispondenza

della sezione A e tende al moto uniforme h0,2 verso valle.

Esercizio 3

21

Il tracciamento quantitativo viene eseguito per differenze finite, imponendo come condizione di

partenza h = k nella sezione A e procedendo con un ∆h < 0 perché l’altezza d’acqua decresce verso

valle. In corrispondenza della sezione B si calcola quindi l’altezza d’acqua h* (h* ≥ h0, 2).

• A valle della sezione B l’alveo diventa a debole pendenza. L’unico profilo di corrente veloce in

alveo a debole pendenza è il profilo D3, che in questo caso parte da h* in corrispondenza della

sezione B, e tende allo stato critico dove avrebbe tangente verticale. Nel disegno il profilo è

tratteggiato, in quanto non è detto che si verifichi effettivamente.

• Poiché il 3° tratto di alveo è a debole pendenza ed è indefinito verso valle, in esso si verificano

condizioni di moto uniforme (corrente lenta). A monte della sezione B, l’alveo diventa a forte

pendenza. L’unico profilo di corrente lenta in alveo a forte pendenza è il profilo F1, che tende allo

stato critico dove avrebbe tangente verticale. Il tracciamento quantitativo (per differenze finite) del

profilo F1 va eseguito a partire dall’altezza di moto uniforme h0, 3 in corrispondenza della sezione A e

procedendo verso monte, con un ∆h<0 perché il profilo decresce. Anche in questo caso il profilo F1

è tratteggiato, perché non è detto che si verifichi effettivamente.

Il profilo qualitativo può quindi essere rappresentato nel modo seguente; i due profili teorici F1 e D3

sono tratteggiati e sono indicate le due possibili posizioni del risalto.

i1 < ic

i2 > ic

i3 < i1 < ic

Sez. A

Sez. Bk

h0,1

h0,2 h0,3


D3

F1

D2

F2

h*

CALCOLO DELLA POSIZIONE RISALTO

Il passaggio da corrente veloce a corrente lenta avviene, come abbiamo già visto, sempre attraverso

un risalto.

Per sapere se il risalto viene spinto a monte o a valle della sezione B, si calcolano le spinte totali delle

due correnti in tale sezione. si possono quindi verificare due casi:


Esercizio 3

22

La corrente lenta in questo caso è in moto uniforme, quindi:

S S A hQAlenta G≡ = ⋅ ⋅ + ⋅0 3 0 3

2

0 3, ,

,

γ ρ

Noto il profilo D3 si calcola, ad ogni passo (per ogni ∆h), la spinta totale Sveloce e la si confronta con

il valore costante della Slenta.

h


Slenta ≡ S0,3

h* hlenta ≡ h0, 3

Sveloce


Per la localizzazione del risalto si può ricorrere al tracciamento del luogo delle altezze coniugate a

quelle di uno dei due profili. Partendo, ad esempio, dal profilo F1 tracciato in precedenza, si

calcolano le spinte totali della corrente in una serie di punti del profilo e si individuano le altezze di

corrente veloce che hanno le stesse spinte (altezze coniugate).

h


hlentahveloce CONIUGATA

Si disegnano quindi il profilo F1 e il luogo delle altezze coniugate alle altezze del profilo F1. La

posizione del risalto viene individuata dall’intersezione del suddetto luogo con il profilo F2 di corrente

veloce.

Esercizio 3

23

Sez. B

D3

F1

Sezione del RISALTO

Luogo delle altezze coniugatea quelle del profilo F1

PROFILI ALTERNATIVI

Se a monte della sezione B Slenta >> Sveloce, il profilo F1 può interessare interamente il 2° tratto di

alveo. In questo caso in esso non si instaura la corrente veloce F2. Ciò implica che è necessario

effettuare nuovamente il tracciamento della corrente lenta nel 1° tratto, in quanto sono cambiate le

condizioni al contorno: in corrispondenza della sezione A l’altezza d’acqua non è più pari a k, bensì

all’altezza h’ raggiunta in tale sezione dal profilo F1.

Si possono in tal caso verificare due eventualità:

1) h’ < h0, 1

Nel 1° tratto di alveo si ha ancora un profilo D2, che parte da h’ in corrispondenza della sezione A e

tende al moto uniforme verso monte. Tale profilo può essere calcolato per differenze finite, con

∆h>0.

i1 < ic

i2 > ic

i3 < i1 < ic

Sez. A Sez. B

k

h0,1

h0,2

h0,3


F1D2

h’

Esercizio 3

24

2) h’ > h0, 1

In questo caso invece, nel 1° tratto si ha un profilo D1 di corrente lenta ritardata, che tende verso

monte al moto uniforme. Il tracciamento per differenze finite si esegue imponendo h = h’ come

condizione al contorno nella sezione A e procedendo verso monte con ∆h < 0.

i1 < ic

i2 > ic

i3 < i1 < ic

Sez. A Sez. B

k

h0,1

h0,2

h0,3


F1D1

h’

25

ESERCIZIO 4

Tracciamento dei possibili profili di moto permanente nel caso di un canale prismatico a

sezione nota con imbocco da lago. Sono noti inoltre: le pendenze di ogni singolo tratto di

alveo ij , il coefficiente di Strickler ks ed i livelli Em. ed hr dell’acqua nel lago di monte e nel

recapito di valle. La portata Q è invece incognita.

i1 > ic

i2 < ic

2

1b

Sez. A

Sez. B

Sez. C

1° tratto 2° tratto

Em

hr

• Il 1° tratto di alveo a valle del bacino è a forte pendenza, mentre il 2° tratto, che scarica nel

recapito, è a debole pendenza.

• Non conoscendo la portata Q, sono necessarie due condizioni per tracciare il profilo, una da

utilizzarsi quale condizione al contorno per la risoluzione dell’equazione del profilo, e l’altra per

determinare il valore di Q.

La prima condizione si ottiene imponendo che l’imbocco dal lago avvenga senza dissipazione di

energia e, quindi, che l’energia specifica della corrente nella sezione A sia pari a Em (velocità del lago

trascurabile):

hQ

g AEA

Am+

⋅ ⋅=

2

22 (1)

Nella (1) sono incognite sia la portata Q che l’altezza d’acqua della corrente nella sezione A (hA).

Per individuare la seconda condizione, si può notare che il 1° tratto di alveo è a forte pendenza. Un

tratto a forte pendenza a valle di un lago (acqua ferma, caso limite di corrente lenta) è normalmente

condizione necessaria e sufficiente per il passaggio della corrente attraverso lo stato critico nella

sezione di monte dell'alveo.

Esercizio 4

26

Quindi nella sezione A si può porre:

hA = k

La (1) diventa quindi:

kQg A

E m+⋅ ⋅

=2

22 (1’)

dove A = A(k).

La seconda equazione necessaria per risolvere il problema è quella che definisce il legame fra la

portata Q e l’altezza di stato critico k:

A kB k

Qg

3 2( )( )

= (2)

La (1’) e la (2) formano un sistema di due equazioni in due incognite (k e Q) facilmente risolvibile.

• Una volta nota Q si calcolano h0, 1 e h0, 2 tramite la formula di Chézy:

Q A C R i= ⋅ ⋅ ⋅0

i1 > ic

i2 < ic

Sez. A

Sez. B

Sez. C


Em

kh0,1

h0,2

• Stabilita quindi la condizione al contorno nella sezione A (hA = k), si può tracciare il profilo. Nel

1° tratto di alveo si ha una corrente veloce accelerata che parte da k nella sezione A e tende al moto

uniforme (h0, 1) verso valle, con un profilo di tipo F2. A monte della sezione A, nel lago, la superficie

libera presenta un abbassamento per effetto del richiamo esercitato dall’imbocco e della conseguente

accelerazione subita dalla particelle.

Il profilo viene tracciato quantitativamente per differenze finite, imponendo un passo ∆h < 0 e

calcolando E agli estremi di ogni intervallo, tramite la:

Esercizio 4

27

E hQg A

= +⋅ ⋅

2

22

Si calcola quindi il ∆E e si ricava ∆s:

∆∆

sE

i J=

−



∆2

:

JQ

C R A=

⋅ ⋅

2

2 2

Si prosegue nell’integrazione fino a quando la somma dei ∆s uguaglia la lunghezza del 1° tratto di

alveo (in pratica fino a quando il profilo F2 raggiunge la sezione B).

• Chiamiamo h* l’altezza d’acqua raggiunta dal profilo F2 in corrispondenza della sezione B

(h*≥h0,1).

A valle della sezione B l’alveo diventa a debole pendenza. L’unico profilo di corrente veloce in alveo

a debole pendenza è il profilo D3, che in questo caso parte da h* in corrispondenza della sezione B,

e tende allo stato critico dove avrebbe tangente verticale. Questo profilo viene indicato con un

tratteggio in quanto non è detto che si verifichi effettivamente.

• Per quanto riguarda il tratto di valle è inoltre da tenere presente che, in relazione al valore

dell’altezza del pelo libero del recapito, si possono avere tre casi.

1. Pelo libero nel recapito più basso dell’altezza critica (ed eventualmente inferiore al

fondo dell’alveo)

Lo sbocco di una corrente lenta da un alveo a debole pendenza in un recapito nel quale il pelo libero

risulti più basso di k è normalmente condizione necessaria e sufficiente per il passaggio della corrente

stessa attraverso lo stato critico.

• Si ha in questo caso, nel 2° tratto, un profilo D2 di corrente lenta accelerata che tende al moto

uniforme h0,2 verso monte. Il tracciamento quantitativo viene eseguito per differenze finite imponendo

come condizione al contorno h = k nella sezione C e risalendo verso monte (con un ∆h>0) fino alla

sezione B. Chiamiamo h’ l’altezza d’acqua del profilo D2 nella sezione B. A monte di tale sezione,

l’unico profilo di corrente lenta in alveo a forte pendenza è il profilo F1, che parte da h’ nella sezione

B e tende allo stato critico verso monte, dove avrebbe tangente verticale. Anche in questo caso il

profilo F1 è stato tratteggiato, perché non è detto che si verifichi effettivamente.

Esercizio 4

28

i1 > ic

i2 < ic

Sez. A

Sez. B

Sez. C


Em

kh0,1

h0,2

F2

D2

D3

F1

CALCOLO DELLA POSIZIONE DEL RISALTO

Note le due altezze d’acqua in corrispondenza della sezione B (h* e h’), si calcolano le spinte totali

delle due correnti per stabilire se il risalto viene spinto a monte o a valle.

Si possono verificare le due situazioni:



Per le metodologie di localizzazione del risalto si rimanda agli esercizi precedenti. Le figure seguenti

presentano le due situazioni possibili.

sez. B

h0,2D3

D2

Sezione del RISALTOLuogo delle altezze coniugatea quelle del profilo D3

h0,1

F2

Esercizio 4

29

Sez. B

D3

F1

F2

Sezione del RISALTO


D2

1.1 Primo profilo alternativo

Il profilo D3 può anche estendersi fino alla sezione C senza raggiungere lo stato critico e senza che si

verifichi un risalto. In questo caso la spinta totale della corrente veloce D3 è sempre maggiore di

quella della corrente lenta D2. Questa ipotesi può verificarsi, ad esempio, nel caso in cui il 2° tratto

di alveo sia corto.

In questo caso lo sbocco a lago avviene in corrente veloce.

i1 > ic

i2 < ic

Sez. A

Sez. B

Sez. C


Em

kh 0,1

h0,2

F2

D3

1.2 Secondo profilo alternativo

Se nella sezione B Slenta >> Sveloce, il profilo F1 può interessare interamente il 1° tratto di alveo. In tal

caso non si instaura in questo tratto la corrente veloce. In corrispondenza della sezione A l’altezza

d’acqua non è più pari a k, bensì al valore hA che compete in tale sezione al profilo F1.

In questo caso e per questa ragione, la valutazione della portata Q effettuata all’inizio non risulta

più corretta. Bisogna quindi calcolare la nuova portata con un procedimento per tentativi: si

ipotizza una portata Q’ di 1° tentativo, si calcolano k, h0,1 e h0,2 e si traccia il profilo partendo da

Esercizio 4

30

valle. In questo caso la sezione dove imporre la condizione al contorno di partenza è la sezione C in

cui h = k. Si traccia il profilo D2 verso monte, fino alla sezione B; da qui si traccia il profilo F1 fino

alla sezione A. Calcolata la hA' , si deve verificare se:

hQ

g AEA

A

m'

'+

⋅ ⋅=

2

22

In caso contrario bisogna modificare la portata e ripetere il procedimento.

i 1 > ic

i 2 < i c

Sez . A S e z . B

S e z . C

1° t r a t t o 2° t r a t t o

E m

kh 0 , 1

h 0 , 2 D 2

F1

h A

2. Pelo libero del recapito compreso fra h0,2 e k

In questo caso la condizione al contorno per il tracciamento del profilo di corrente lenta nel 2° tratto

è l’altezza hr del pelo libero del recapito in corrispondenza della sezione C.

Nel 2° tratto si ha ancora un profilo D2, che parte da hr nella sezione C e tende al moto uniforme

verso monte. Per differenze finite si traccia quantitativamente il profilo fino alla sezione B, a monte

della quale si ha un profilo F1, che viene tracciato a partire dall’altezza h” raggiunta dal profilo D2

nella sezione B.

Il procedimento per il posizionamento del risalto è analogo al caso 1.

Esercizio 4

31

i1 > ic

i2 < ic

Sez. A

Sez. B

Sez. C


Em

kh0,1

h0,2

F2

D2

D3

F1

hr

2.1 Primo profilo alternativo

Se il profilo D3 arriva fino alla sezione C, si deve confrontare la sua spinta con la spinta statica del

recapito:

Sr = γ⋅A⋅hG

Se SC >Sr il risalto è spinto nel lago. La sua posizione non può però essere calcolata, trattandosi di

un fenomeno non monodimensionale. In figura viene indicato con un semplice raccordo.

Nella figura seguente sono indicate la spinta totale della corrente e la spinta statica del lago, con le

altezze relative.

h


hrhC

SC

SrSstatico = γ⋅hG⋅A

Esercizio 4

32

i1 > ic

i2 < ic

Sez. A

Sez. B

Sez. C


Em

kh0,1

h0,2

F2

D3

Se invece Sr > SC il risalto è spinto a monte e si ricade nei casi precedentemente discussi.

2.2 Secondo profilo alternativo

Se il profilo F1 risale fino al lago, il profilo è analogo a quello esaminato al punto 1.1.

i1 > ic

i2 < ic

Sez. A Sez. B

Sez. C


Em

kh0,1

h0,2

D2

F1

hA

hr

3. Pelo libero del recapito più alto di h0,2

In questo caso nel 2° tratto si ha un profilo D1 che viene tracciato quantitativamente partendo

dall’altezza del lago nella sezione C e risalendo verso monte, fino ad un’altezza h”’ (h”’>h0,2) in

corrispondenza della sezione B.

A monte di tale sezione si ha un profilo F1.

Il posizionamento del risalto va eseguito come nel caso 1.

Esercizio 4

33

i1 > ic

i2 < ic

Sez. A

Sez. B

Sez. C


Em

k

h0,1

h0,2

F2

D1

D3

F1

hr

3.1 Profilo alternativi

I due profili alternativi, qualitativamente analoghi a quelli del caso precedente, sono riportati nelle

seguenti figure.

i1 > ic

i2 < ic

Sez. A

Sez. B

Sez. C


Em

kh0,1

h0,2

F2

D3

i1 > ic

i2 < ic

Sez. A Sez. B

Sez. C


Em

kh0,1

h0,2

F1

hA

hr

D1

OSSERVAZIONE

Esercizio 4

34

Nella sezione A, supponendo nulle le perdite all’imbocco, si ha:

h E E hQg Am m A A

A

≡ = ≡ +⋅ ⋅

2

22

Quindi l’altezza della corrente nella sezione A (hA) è sempre minore dell’altezza del pelo libero del

bacino di monte (hm).

Nel caso di sbocco a lago, invece, si verifica una perdita di carico pari all’energia cinetica.

E hv

gE PerditaC C

Crecapito≡ +

⋅= +

2

2

Dove:

Eracipito = hr (altezza di pelo libero del recapito)

Perdita = Ecinetica sbocco =v

gC2

2 ⋅

Ne deriva quindi:

hC = hrecapito

35

ESERCIZIO 5


sezione nota con imbocco da lago. Sono noti inoltre: le pendenze di ogni singolo alveo ij , il

coefficiente di Strickler ks ed i livelli Em e hr dell’acqua nel lago e nel recapito di valle. La

portata Q è invece incognita.

i1 < ic

i2 > ic

2

1b

Sez. A

Sez. B

Sez. C


Em

hr

• Il 1° tratto di alveo a valle del lago è a debole pendenza, mentre il 2° tratto, che scarica nel

recapito, è a forte pendenza.

• Non conoscendo la portata Q, sono necessarie due condizioni per tracciare il profilo di moto

permanente: una condizione al contorno per risolvere l’equazione del profilo e l’altra per determinare

la portata.

La prima condizione si ottiene, come per l’esercizio 4, imponendo che l’imbocco dal lago avvenga

senza dissipazione di energia e, quindi, che l’energia specifica della corrente nella sezione A sia pari a

Em (velocità nel lago trascurabile):

hQ

g AEA

Am+

⋅ ⋅=

2

22 (1)

Nella (1) sono incognite sia la portata Q che l’altezza d’acqua della corrente nella sezione A (hA).

Dal momento che il 1° tratto di alveo è a debole pendenza e, quindi, la corrente di moto uniforme è

lenta, si deve cercare una condizione al contorno a valle. In questo caso si può osservare che nella

sezione B si verifica il passaggio da debole a forte pendenza. Questa è normalmente condizione

necessaria e sufficiente per il passaggio attraverso lo stato critico.

Esercizio 5

36

Per poter calcolare l’altezza critica è però necessario conoscere la portata. Si dovrà pertanto

procedere per tentativi: si fissa una portata Q’ di primo tentativo mediante la quale si determina

l’altezza di stato critico per mezzo della relazione:

A kB k

Qg

3 2( )( )

'= ⋅α (2)

Dove si impone α=1.

La (2) rappresenta la seconda condizione con cui calcolare la portata. La risoluzione per tentativi

si rende necessaria in quanto le due equazioni (1) e (2) sono riferite a sezioni diverse (la (1) vale nella

sezione A e la (2) nella sezione B).

L’altezza di moto uniforme nel primo tratto, relativa alla portata Q’, si calcola mediante la formula di

Chézy:

Q A C R i' = ⋅ ⋅ ⋅0

Dove C è il coefficiente di scabrezza calcolato con la formula di Strickler:

C = kS ⋅R1/6

Il profilo della corrente nel 1° tratto è di tipo D2 e può essere tracciato partendo dall’altezza critica k

in corrispondenza della sezione B e proseguendo verso monte. Il tracciamento viene eseguito con un

procedimento alle differenze finite, imponendo un passo ∆h > 0 e calcolando E agli estremi di ogni

intervallo tramite la:

E hQg A

= +⋅ ⋅

'2

22

Si calcola quindi il ∆E e si ricava ∆s:

∆∆

sE

i J=

−


corrispondenza dell’altezza media hh+ ∆

2:

JQ

C R A=

⋅ ⋅'2

2 2

Si prosegue nell’integrazione fino a quando la somma dei ∆s uguaglia la lunghezza del 1° tratto di

alveo (in pratica fino a quando il profilo D2 raggiunge la sezione A).

Esercizio 5

37

In corrispondenza della sezione A, con l’altezza d’acqua hA* prima ottenuta, si calcola l’energia della

corrente, che deve essere uguale alla Em del bacino di monte. La condizione da verificare è quindi la

(1):

hQ

g AEA

A

m*

*+

⋅ ⋅=

2

22

Se l’energia della corrente risulta inferiore a Em, è necessario aumentare la portata di tentativo,

mentre se è superiore bisogna diminuirla. Una volta individuata la portata corretta (che verifica cioè

la (1)), si calcola l’altezza di moto uniforme nel secondo tratto e si procede con il tracciamento del

profilo.

A monte della sezione A, nel lago, la superficie libera presenta un abbassamento per effetto del

richiamo esercitato dall’imbocco e della conseguente accelerazione subita dalle particelle.

• Il 2° tratto di alveo è a forte pendenza. Si ha quindi un profilo F2 che parte da k in

corrispondenza della sezione B e prosegue verso valle.

Come osservato nell’esercizio 4, al variare del pelo libero del bacino di valle, si possono avere

diversi casi.

1. Pelo libero del recapito più basso di h0,2 (ed eventualmente inferiore al fondo

dell’alveo)

In questo caso si può tracciare il profilo F2 per differenze finite fino alla sezione C, a valle della quale

si ha semplicemente un profilo di caduta, come rappresentato nella seguente figura.

i1 < ic

i2 > ic

Sez. A

Sez. B

Sez. C


Em

kh0,1

h0,2

F2

D2

2. Pelo libero del recapito maggiore di k

Esercizio 5

38

In questo caso è necessario confrontare la spinta totale della corrente nella sezione C (SC) con la

spinta statica del recapito (Sr), pari a:

Sr = γ⋅A⋅hG

Se SC >Sr il risalto è spinto nel lago. La sua posizione non può però essere calcolata, trattandosi di

un fenomeno non monodimensionale. In figura viene indicato con un semplice raccordo.

Nella figura seguente sono indicate la spinta totale della corrente e la spinta statica del lago, con le

altezze relative.

h


hrhC

SC

Sr

Sstatico = γ⋅hG⋅A

Nella seguente figura è riportato il profilo qualitativo.

i1 < ic

i2 > ic

Sez. A

Sez. B

Sez. C


Em

kh0,1

h0,2

F2

D2

Se invece Sr > Sc, il risalto è spinto verso monte. In questo caso il pelo libero del recapito risale

verso monte con un profilo F1 e la posizione del risalto può essere individuata individuando il luogo

delle altezze coniugate di uno dei due profili (F1 o F2). Ad esempio il profilo F1, tracciato per

Esercizio 5

39

differenze finite si calcola la spinta totale in un congruo numero di suoi punti e si individuano le altezze

di corrente veloce che hanno la stessa spinta totale (altezze coniugate).

h


hlentahveloce CONIUGATA

Si disegnano quindi il profilo F1 ed il luogo delle altezze coniugate. La posizione del risalto viene

individuata dall’intersezione di quest’ultimo con il profilo F2 di corrente veloce.

Sez. CF1

Sezione del RISALTO


Nella figura seguente si riporta il profilo qualitativo.

Esercizio 5

40

i1 < ic

i2 > ic

Sez. A

Sez. B

Sez. C


Em

kh0,1

h0,2

F2

D2

OSSERVAZIONE

Si noti che per hr = k è senza dubbio Sr <SC, in quanto Sr comprende solo la parte statica della

spinta. Non è pertanto sufficiente che l’altezza nel recapito sia maggiore di k perché si verifichi un

profilo F1 di lenta, ma è necessario che essa sia superiore ad un’altezza h* tale per cui:

Sstatica(h*) ≥ SC

Per hr > h*, quindi, il risalto è spinto a monte.

h


h*k

SC

S(k)

Sstatica (k)

Sstatica

hC, veloce

3.1 Profili alternativi

Se il pelo libero del recapito di valle è molto alto, si può presentare il caso che nel 2° tratto di alveo

la spinta totale della corrente lenta F1 sia sempre maggiore di quella della corrente veloce F2. Il 2°

tratto di alveo è interamente interessato dal profilo F1 che si traccia per differenze finite fino alla

sezione B. Detta hB l’altezza d’acqua nella suddetta sezione possono verificarsi due casi: se hB<h0,1

Esercizio 5

41

nel 1° tratto si avrà un profilo D2, mentre se hB>h0,1 si avrà un profilo D1. In entrambi i casi si deve

effettuare il tracciamento del profilo per differenze finite (considerando come condizione al contorno

l’altezza hB) fino alla sezione A. In tale sezione occorre verificare che venga soddisfatta la relazione

(1) di uguaglianza fra l’energia della corrente lenta e l’energia del lago. Se la (1) non è verificata il

problema si complica perché è necessario imporre una nuova portata ed effettuare nuovamente il

tracciamento del profilo dalla sezione C.

Nelle figure seguenti sono riportati i due casi citati.

i1 < ic

i2 > ic

Sez. A

Sez. BSez. C


Em

kh0,1

h0,2

D2 F1

i1 < ic

i2 > ic

Sez. A

Sez. BSez. C


Em

kh0,1

h0,2

D1F1

42

ESERCIZIO 6

Tracciamento dei possibili profili di moto permanente nel caso di alveo prismatico a sezione

rettangolare nota che ha origine da un lago. Sono noti inoltre: le pendenze di ogni singolo

tratto dell’alveo ij, il coefficiente di Strickler ks ed il livello Em del lago. La portata Q è invece

incognita.

i1 > ic

i2 = 0

B

Sez. A

Sez. BSez. E


Em

a

3° tratto

Sez. D

• Il 1° tratto di alveo a valle del lago è a forte pendenza, mentre il 2° tratto, che scarica nel

recapito, è a pendenza nulla. Dalla formula di Chézy si può dedurre che l’altezza di moto uniforme

nel secondo tratto risulta h0,2→∞. Dalla formula di Chézy si ricava anche h0,1.

Dal momento che un alveo a pendenza nulla si comporta come un alveo a debole pendenza,

chiameremo ancora D2 e D3 i profili che in esso si verificano. Poiché l’altezza di moto uniforme è

situata all’infinito, in un alveo a pendenza nulla non può ovviamente esistere il profilo D1.

• Non conoscendo la portata Q, sono necessarie due condizioni per tracciare il profilo di moto

permanente: una condizione al contorno per integrare l’equazione del profilo e l’altra per determinare

la portata. Come già visto nell’esercizio 4, la soluzione si ottiene risolvendo il seguente sistema di

equazioni in corrispondenza della sezione A:

hQg A

E

h kQ

g B

AA

m

A

+⋅ ⋅

=

= =⋅

2

2

2

23

21

2

( )

( )

La (1) esprime la condizione che l’imbocco avvenga senza dissipazione di energia, mentre la (2)

deriva dal fatto che, essendo il 1° tratto di alveo a forte pendenza, è verificata la condizione

generalmente necessaria e sufficiente per il passaggio attraverso lo stato critico.

Dal sistema si ricavano k e Q.

Esercizio 6

43

• Nel 1° tratto di alveo si avrà quindi un profilo F2 di corrente veloce, che tende asintoticamente al

moto uniforme e che può essere tracciato per differenze finite (verso valle fino alla sezione B)

imponendo come condizione al contorno h=k nella sezione A.

• A valle della sezione B l’alveo ha pendenza nulla: si instaura quindi un profilo D3 che parte

dall’altezza raggiunta dal profilo F2 nella sezione B e tende allo stato critico.

• Il passaggio sotto la paratoia è un processo poco dissipativo. Ipotizzando quindi che l’energia

specifica si mantenga costante fra la sezione a monte della paratoia e la sezione contratta, si può

porre:

ED’ = EDc (3)

Nella figura seguente sono indicati i punti D’ (pelo libero a monte della paratoia) e Dc (pelo libero

della sezione contratta).

D’

Sezione contratta

hD’

hDc = a⋅cc

Dc

a

L’altezza del pelo libero nella sezione contratta è pari al valore della luce della paratoia (a),

moltiplicato per un coefficiente di contrazione cc.

hDc = a⋅cc

La velocità dell’acqua nella sezione contratta è ricavabile in funzione della portata:

vQ

a c BDcc

=⋅ ⋅

(4)

Nella figura seguente sono indicati i vari termini dell’energia specifica.

D’

Sezione contratta

hD’

hDc = a⋅cc

Dc

α⋅⋅

vg

Dc2

2

Eα' '⋅

⋅v

gD2

2

Si può quindi scrivere:

Esercizio 6

44

( )h

Q

g h Ba c

Qg a c BD

D

cc

'

'

'( )

+ ⋅⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

α α2

2

2

22 2 (3’)

L’unica incognita nella (3’) è hD’, che può quindi essere calcolata, ponendo uguali a 1 i coefficienti di

ragguaglio, per tentativi oppure graficamente, come indicato nella figura seguente.

Andamento dell’energia specifica rispetto al fondo,per Q costante

h

E

hDc hD’

Si noti che necessariamente hDc è altezza di corrente veloce mentre hD’ è altezza di corrente lenta. La

paratoia rappresenta quindi una condizione di monte per una corrente veloce e una condizione di

valle per una corrente lenta.

A questo punto è possibile tracciare per differenze finite sia il profilo D3 a valle della paratoia (che

parte da a⋅cc nella sezione contratta e tende a k), sia il profilo a monte della stessa (che parte da hD’ e

prosegue verso monte), composto da un profilo di tipo D2 nel tratto a pendenza nulla e uno di tipo

F1 a monte della sezione B.

• A monte della paratoia si verificherà un risalto, la cui posizione può essere calcolata con i

procedimenti visti negli esercizi precedenti.

• Per quanto riguarda il tratto di valle, il profilo dipende dall’altezza del pelo libero del recapito.

Nel caso di altezza d’acqua del recapito inferiore a k, si può ipotizzare il passaggio da corrente lenta

(profilo D2) a corrente veloce attraverso lo stato critico in corrispondenza della sezione E. Si impone

quindi h=k nella sezione E e si traccia il profilo D2 fino alla paratoia. Il passaggio dal profilo D3 al

profilo D2 avviene attraverso un risalto, la cui posizione può essere individuata con i procedimenti

illustrati negli esercizi precedenti.

La seguente figura illustra un possibile andamento del profilo. Vengono in seguito analizzati alcuni

profili alternativi.

Esercizio 6

45

i1 > ic

i2 = 0

Sez. A

Sez. BSez. E


Em

3° tratto

Sez. D

h0,1

k

F2 F1

D3

D2

k

D2

PROFILI ALTERNATIVI

1) Tratto a valle della paratoia

1.1 Risalto annegato

Se la spinta totale del profilo D3 è sempre inferiore a quella del profilo D2, quest’ultimo si estende

fino alla paratoia e presenta un’altezza hD’’c in corrispondenza della sezione contratta. Poiché il

deflusso sotto la paratoia avviene in questo caso sotto battente, nel calcolo dell’energia specifica si

dovrà tener conto anche dell’altezza piezometricap Dc

γ. I diversi termini sono indicati nella seguente

figura.

D’

Sezione contratta

hD’

hDc = a⋅cc

Dc

D’’c

pDc

γ hD’’c

α"⋅⋅

v

gDc2

2

Ev

gD'2

2 ⋅

Il carico totale nel punto Dc a valle della paratoia vale quindi:

E hp v

gh

Qa c BDc Dc

Dc DcD c

c

= + + ⋅⋅

= +⋅ ⋅γ

α"( )''

2 2

22 (5)

Analogamente al caso precedente, imponendo ED’ = EDc si ricava il valore di hD’ con il quale

tracciare il profilo del 2° tratto.

La figura seguente mostra qualitativamente il profilo che si instaura in questo caso.

Esercizio 6

46

i1 > ic

i2 = 0

Sez. A

Sez. BSez. E


Em

3° tratto

Sez. D

h0,1

k

F2F1

D2

D2

1.2 Sbocco in corrente veloce

E’ possibile inoltre che il profilo D3 a valle della paratoia si estenda fino al recapito, senza che si

instauri una corrente lenta. Ciò avviene quando la spinta totale del profilo D3 è sempre maggiore di

quella del profilo D2.

i2 = 0

Sez. E


Sez. D

D3

2) Risalto nel 1° tratto spinto a monte

In relazione all’apertura della paratoia il profilo D2 a monte di questa può essere più o meno elevato.

Tanto più elevato è il profilo D2 tanto più probabile è l’eventualità che il risalto sia spinto verso

monte nel 1° tratto di alveo. Può anche verificarsi il caso che, se Slenta>>Sveloce, il profilo F1 possa

estendersi fino al lago. In questo caso la valutazione della portata Q effettuata all’inizio dell’esercizio

non risulta più corretta. Bisogna quindi calcolare la nuova portata con un procedimento per tentativi.

Ipotizzata una Q’ di tentativo, si tracciano il profilo D3 a valle della paratoia e il profilo D2 che

sbocca nel recapito di valle. Dopo aver stabilito se si verifica un risalto annegato oppure no, si

Esercizio 6

47

calcola hD’ a monte della paratoia e si tracciano il profilo del 2° tratto e il profilo F1 (1° tratto) fino

alla sezione A. In corrispondenza di questa sezione si verifica infine se:

hQ

g AEA

A

m'

'+

⋅ ⋅=

2

22

In caso contrario, bisogna modificare la portata e ripetere il procedimento.

La figura seguente illustra qualitativamente il profilo.

i1 > ic

i2 = 0

Sez. ASez. B

Sez. E


Em

3° tratto

Sez. D

h0,1

k

F1

D3

D2

D2

48

ESERCIZIO 7

Tracciamento dei possibili profili di moto permanente nel caso di alveo prismatico a sezione

rettangolare nota che ha origine da un lago. Sono noti inoltre: le pendenze di ogni singolo

tratto di alveo ij, il coefficiente di Strickler ks, il livello Em del lago e il diametro d della luce a

spigolo vivo praticata su una delle pareti del canale, dalla quale l’efflusso avviene in

atmosfera. La portata Q è invece incognita.

i1 = 0

i2 < ic

B

Sez. A Sez. B

Sez. F


Em

3° tratto

Sez. C

i3 = 0

Sez. ESez. D

d

4° tratto

• Il 1° tratto di alveo a valle del lago è a pendenza nulla, il 2° tratto è a debole pendenza; il 3°e il 4°

tratto sono anch’essi a pendenza nulla.

• Dal momento che l’alveo è costituito da una serie di tratti a pendenza debole o nulla, ci si può

attendere l’instaurarsi di una successione di correnti lente, e si deve pertanto cercare una condizione

al contorno a valle. In questo caso si può osservare che, se il livello del recapito di valle è inferiore

all’altezza critica, nella sezione F si verifica il passaggio attraverso lo stato critico. Poiché non

abbiamo una seconda condizione al contorno per la determinazione della portata, la soluzione deve

essere cercata per tentativi, imponendo una portata di tentativo Q2 nel 4° tratto di alveo. Si traccia

quindi il profilo D2 nel 4° tratto, imponendo h=k nella sezione F e procedendo verso monte per

differenze finite fino alla sezione E.

Per calcolare la portata Qout che fuoriesce dalla luce laterale si possono considerare trascurabili le

perdite localizzate nel processo di efflusso e imporre quindi costante l’energia specifica fra le sezioni

di monte e di valle della luce (ED = EF), nell’ipotesi che la variazione di quota del fondo sia

Esercizio 7

49

trascurabile. Ipotizzando che l’efflusso avvenga in condizioni di corrente lenta nel canale, ne deriva

che il processo è influenzato dall’energia di valle EE. Si consideri una generica traiettoria sulla sezione

trasversale della luce, dal punto a sul pelo libero al punto b nella sezione contratta (posizionato ad

una quota d/2 dal fondo dell’alveo):

a

b

ha

d hb = d C c / 2

vg

b teo,2

2 ⋅

vga2

2 ⋅

Ea = Hb

z = 0

Nota l’energia specifica del punto a (Ea = ED) è quindi possibile calcolare la velocità teorica di

sbocco, imponendo Ea = Hb1 (assunto il piano di riferimento z=0 coincidente con il fondo del

canale).Si assume inoltre unitario il coefficiente di ragguaglio delle potenze cinetiche e si ipotizza che

la velocità baricentrica coincida con la velocità media nella sezione.

g2

v

2Cd

g2

vhE

2teo,bc

2teo,b

ba ⋅+=

⋅+= (1)

e quindi

−⋅⋅=

2Cd

Eg2v cateo,b

La velocità reale si ottiene moltiplicando quella teorica per il coefficiente di velocità cv=0.97÷0.99:

vb = cc⋅vb, teo

La portata Qout si ottiene moltiplicando la velocità effettiva per l’area della sezione contratta Ac:

Qout = vb⋅Ac =cc⋅cv⋅vb,teo⋅Aluce =

−⋅⋅⋅⋅µ

2Cd

Eg2A caluce (2)

NOTA

In effetti l’ipotesi che il processo di efflusso (a → b) avvenga ad energia costante (a meno di una trascurabile

correzione per mezzo di cv) è perlomeno discutibile. In alternativa si può calcolare la velocità di efflusso come:

v c g hb v D= ⋅ ⋅ ⋅2

ipotizzando quindi che solo la componente piezometrica dell’energia a monte della presa laterale sia utile per

l’efflusso stesso, e trascurando il termine cinetico v

gD2

2 ⋅

Esercizio 7

50

• A questo punto è quindi possibile calcolare la portata Q1 che circola nell’alveo a monte della luce:

Q1 = Q2 + Qout (3)

• Tramite un bilancio di energia (Bernoulli) si calcola l’altezza del pelo libero nella sezione D,

imponendo l’uguaglianza fra l’energia specifica nella sezione D e nella sezione E:

hQ

g Ah

Q

g ADD

EE

+⋅ ⋅

= +⋅ ⋅

12

222

22 2 (4)

Nel seguente grafico ad energia costante sono visualizzate le due altezze.

EDhE

hD

Q2 Q1

Q

h

E = cost

Come si può notare, risulta hD < hE.

• Si può quindi tracciare per differenze finite il profilo di corrente lenta che parte da hD (nella

sezione D) e si estende verso monte fino al lago.

• Ipotizzando che l’imbocco dal lago avvenga senza dissipazione di energia si deve a questo punto

verificare che l’energia specifica della corrente nella sezione A sia pari a Em

hQ

g AEA

Am+

⋅ ⋅=1

2

22 (5)


h

E

hA hm

Em

1 H è il trinomio di Bernoulli g2

Vpz

2

++++γ

Esercizio 7

51

In caso contrario bisogna cambiare la portata Q2 e ripetere il procedimento.

La seguente figura illustra qualitativamente il profilo nel caso che risulti hC > h0,2 . Nel 2° tratto si

verifica un profilo D1. Nel 1° tratto, a pendenza nulla, il profilo è di tipo D2.

i1 = 0

i2 < ic

Sez. A

Sez. B

Sez. F


Em

3° tratto

Sez. C

i3 = 0

Sez. ESez. D


k1 h0,2

k1 k2

D1

D2

hC

hA

La seguente figura illustra qualitativamente il profilo nel caso che risulti hC < h0,2. In questo caso nei

tratti compresi fra la sezione D e la sezione A il profilo è di tipo D2.

i1 = 0

i2 < ic

Sez. A

Sez. B

Sez. F


Em

3° tratto

Sez. C

i3 = 0

Sez. ESez. D


k1

h0,2

k1k2

D2

D2hC

PROFILO ALTERNATIVO

Dal momento che la luce laterale produce un effetto di richiamo, può accadere che nella sezione D la

corrente passi attraverso lo stato critico. Ciò avviene nel caso che l’energia EE non sia sufficiente per

il passaggio della portata Q1 nella sezione D. In questo caso lo scarico dalla luce avviene in presenza

di corrente veloce nel canale ed è quindi influenzato dalla corrente di monte. Imponendo il passaggio

Esercizio 7

52

per k nella sezione D si può quindi tracciare il profilo D2 verso monte. Anche in questo caso è

necessario seguire un procedimento per tentativi, ipotizzando la portata Q1. Si traccia quindi il profilo

fino alla sezione A, dove deve essere verificata la (5). In caso contrario, si impone un nuovo valore

di Q1 e si itera il procedimento.

Una volta calcolato il profilo nella prima parte di alveo, si calcola la Qout con la (2) imponendo:

Ea = ED

Si calcola quindi la Q2 = Q1 - Qout e si calcola hE dalla relazione (4); il procedimento è illustrato

graficamente nel diagramma seguente.

k1

Q2 Q1

Q

hE = ED

hEE

D

Si traccia quindi il profilo D3 nel 5° tratto, partendo da hE e proseguendo verso valle. Se il profilo

D3 incontra l’altezza critica k2 prima dello sbocco a lago, si ha il passaggio a corrente lenta. Si

verifica quindi una corrente D2 che parte da k2 nella sezione F e risale verso monte. Il calcolo della

posizione del risalto è analogo agli esercizi precedenti.

In figura è indicato l’andamento del profilo nel caso del risalto.

Sez. F

3° tratto

i3 = 0

Sez. ESez. D


k1k2

D2

E

D

D3

54

ESERCIZIO 8


sezione rettangolare1 che ha origine da un lago. Sono noti inoltre: le pendenze di ogni singolo

tratto di alveo ij, il coefficiente di Strickler ks, il livello Em del lago di monte e il livello Ev del

recapito di valle . La portata Q è invece incognita.

i1 < ic

i2 > ic

B1

Sez. A

Sez. B

1° tratto

2° tratto

Em

3° tratto

Sez. C

Sez. D

B2

Ev

• Il 1° tratto di alveo a valle del lago è a debole pendenza, mentre il 2° e il 3° tratto sono a forte

pendenza. Il 3° tratto inoltre ha una sezione di larghezza inferiore rispetto ai primi due. Dalla formula

di Chézy si ricava che, a parità di portata, l’altezza di moto uniforme aumenta al diminuire della

larghezza della sezione. Come si ricava dalla relazione seguente, anche l’altezza critica aumenta:

kQ

g B=

⋅

2

23 (1)

• Dal momento che il 1° tratto di alveo è a debole pendenza, l’imbocco non può che avvenire in

corrente lenta, e si deve quindi cercare una condizione al contorno a valle. In questo caso si può

osservare che in corrispondenza della sezione B si ha il passaggio da un alveo a debole pendenza ad

uno a forte pendenza: questa è normalmente condizione necessaria e sufficiente per il passaggio della

corrente attraverso lo stato critico.

La soluzione deve essere cercata per tentativi, imponendo una portata Q (di tentativo), calcolando la

corrispondente altezza critica k1 per il 1° (e 2°) tratto e tracciando per differenze finite il profilo D2:

Esercizio 8

55

si pone h=k1 nella sezione B e si procede verso monte. In corrispondenza della sezione A la

condizione al contorno è rappresentata dall’ipotesi che l’imbocco dal lago avvenga senza dissipazioni

di energia e con velocità nel lago trascurabili. Si deve quindi verificare che l’energia della corrente in

tale sezione sia pari all’energia del lago:

hQ

g AEA

Am+

⋅ ⋅=

2

22 (2)

In caso contrario si impone una nuova portata di tentativo e si ripete il procedimento.

• Una volta nota la portata Q si calcolano le altezze di moto uniforme dei tre tratti (h0,1, h0,2 e h0,3)

mediante la formula di Chézy e l’altezza critica relativa al 3° tratto di alveo.

• Nel 2° tratto si instaura un profilo F2 di corrente veloce, che parte da k1 nella sezione B e tende

al moto uniforme (h0,2) verso valle, raggiungendo nella sezione C l’altezza hF.

• In corrispondenza della sezione C cambia la larghezza dell’alveo. Cambiano di conseguenza

anche l’altezza di moto uniforme e l’altezza critica.

Per determinare la variazione subita dal pelo libero, si considerano due punti F e G posti

rispettivamente subito a monte e a valle della sezione C. Se si ipotizza che il passaggio fra di esse

avvenga senza dissipazioni di energia, dalla curva ad energia costante sotto riportata (dove l’asse

delle ascisse rappresenta la portata per unità di larghezza e l’asse delle ordinate l’altezza del pelo

libero) si deduce che, essendo la corrente veloce, il pelo libero si alza.

FG

hF

hG

QB1

QB2

QB

hE = cost

correnti lente

correnti veloci

k

• Nel 3° tratto si ha ancora un profilo F2, che parte dall’altezza hG a valle della sezione C e tende al

moto uniforme (h0,3) verso valle.

• Poiché il livello del recapito di valle è superiore al fondo dell’alveo nell’ultima sezione del canale

(D), si può instaurare un profilo F1 che si estende verso monte provocando un risalto. Perché tale

profilo si verifichi, non è sufficiente che il livello del recapito sia superiore a k2. Come già discusso

1 In corrispondenza della sezione C si ha un restringimento della sezione.

Esercizio 8

56

nell’esercizio 5, per hrecapito=k2 è sicuramente Sr<SD (dove SD è la spinta totale della corrente nella

sezione D) in quanto Sr comprende solo la parte statica della spinta. Affinché si verifichi il profilo F1,

l’altezza del recapito deve essere superiore ad una h* tale per cui:

Sstatica (h*) = SD

h


h*k2

SD

S(k2)

Sstatica (k2)

Sstatica

hD, veloce

• Finché hr<h*, quindi, la corrente si mantiene sempre veloce e si ha, nel recapito, la presenza di un

disturbo locale, come schematizzato nella seguente figura.

i1 < ic

i2 > ic

B1

Sez. ASez. B

1° tratto

2° tratto

Em

3° tratto

Sez. C

Sez. D

B2

hv = Ev

k1h0,1

h0,2

h0,3k2

F

G

h*

D2

F2

• La seguente figura illustra invece il caso in cui si verifica un risalto nel 3° tratto.

Esercizio 8

57

i1 < ic

i2 > ic

B1

Sez. ASez. B

1° tratto

2° tratto

Em

3° tratto

Sez. C

Sez. D

B2

hv = Ev

k1h0,1

h0,2

h0,3

k2

F

G

h*

• Nel caso il profilo F1 di corrente lenta si estenda fino al 2° tratto, in corrispondenza della sezione

C esso incontra una variazione di larghezza. Come si nota nel seguente grafico, risulta in tal caso

hG<hF (corrente lenta).

FGhF

hG

QB1

QB2

Q

B

h E = cost

La seguente figura illustra il conseguente caso, nel quale il risalto si forma nel 2° tratto.

i1 < ic

i2 > ic

B1

Sez. ASez. B

1° tratto

2° tratto

Em

3° tratto

Sez. CSez. D

B2

hv = Ev

k1h0,1

h0,2

h0,3k2

F

G

h*

D2

F2 F1F1

Esercizio 8

58

• Può anche accadere che il profilo F1 si estenda a monte della sezione B influenzando la corrente

lenta nel 1° tratto. A seconda che l’altezza hB raggiunta dal profilo F1 nella sezione B sia maggiore o

minore dell’altezza di stato critico k1, nel 1° tratto si avrà un profilo D1 o un profilo D2. La

condizione al contorno per il calcolo della portata è in questo caso da ricercarsi nella sezione D, in

cui si pone hD = hv. Il profilo va quindi tracciato ipotizzando una portata e partendo dalla sezione D

nel tracciamento del profilo. In corrispondenza della sezione A, si deve verificare infine l’equazione

(2); in caso contrario il procedimento va ripetuto ipotizzando una nuova portata.

La figura seguente mostra i due profili (D1 e D2) che possono verificarsi nel 1° tratto.

i1 < ic

i2 > ic

Sez. ASez. B

1° tratto

2° tratto

Em

3° tratto

Sez. C Sez. D

hv = Ev

k1

h0,1

h0,2h0,3

k2

F

G

h*

D2

F1F1D1

hB > h0,1

hB < h0,1

ENERGIA INSUFFICIENTE

Ritornando al caso in cui al cambio di sezione (sezione C) arrivi una corrente veloce di altezza hF,

può anche accadere che l’energia della corrente non sia sufficiente per far passare l’acqua attraverso

il restringimento. La figura seguente mostra come, per la larghezza B2, non esista un’altezza d’acqua

in grado di far passare la portata Q con energia pari a EF.

QB1

QB2

Q

B

h E = EF

hFF

Esercizio 8

59

A monte della strettoia si verifica quindi un innalzamento del pelo libero che consente alla corrente di

incrementare la propria energia, fino ad averne a sufficienza affinché, nel punto G subito a valle del

cambio di sezione, si abbia il passaggio della corrente stessa per k2 (condizione di minima energia

per il deflusso della portata Q attraverso la sezione di larghezza B2).

F’

G

hF’

hG = k2

QB1

QB2

QB

hE = Ek

F

A valle della sezione C si verifica quindi un profilo F2 di corrente veloce, mentre a monte si instaura

un profilo F1 di corrente lenta. La figura seguente mostra il profilo risultante.

i1 < ic

i2 > ic

B1

Sez. ASez. B

1° tratto

2° tratto

Em

3° tratto

Sez. CSez. D

B2

hv = Ev

k1h0,1

h0,2

h0,3

k2

F’

G

h*

D2

F2 F1F1

FF2

Anche in questo caso, se il profilo F1 del 2° tratto raggiunge, in corrispondenza della sezione B, una

altezza hB >k1, la condizione al contorno per il calcolo della portata risulta il punto G (in

corrispondenza della sezione C) in cui hG = k2. Dopo aver tracciato il profilo fino alla sezione A, si

verifica la (2) e si itera il procedimento se questa non è soddisfatta.

61

ESERCIZIO 9

Tracciamento dei possibili profili di moto permanente nell’alveo di sezione rettangolare

indicato in figura. Sono noti: la geometria, la portata Q, le pendenze dei due tratti di alveo i1 e

i2, il coefficiente di Strickler ks e il livello Ev del recapito di valle. Fra le sezioni B e C è inserita

una soglia di fondo di altezza nota a.

i1 < ic

i2 < i1 < ic

B

Sez. A Sez. B


Sez. C

Q

Evba

sez. D

• Il 1° tratto di alveo è a debole pendenza ed è indefinito verso monte; il 2° tratto è a debole

pendenza (con i2 < i1) e sbocca nel recapito di valle (lago ad altezza assegnata) attraverso una luce

rettangolare di altezza b e larghezza B sottostante una paratoia.

• Nota la portata Q si calcolano h0,1, h0,2 e k. Poiché il 2° tratto di alveo ha pendenza inferiore al

1°, dalla formula di Chézy si deduce che, a parità di portata, h0,2 > h0,1.

• Dal momento che l’alveo è a debole pendenza, è possibile immaginare l'instaurarsi di una serie di

correnti lente e quindi si cerca una condizione al contorno a valle. La condizione cercata è

individuabile in corrispondenza della sezione D (sbocco sotto battente), ipotizzando nulle le perdite

localizzate all'imbocco.

Si considera quindi il bilancio fra i punti C e D indicati in figura:

Esercizio 9

62

hv = EvhC

hD = b⋅cc

C

D

pD

γ

v

gD2

2 ⋅

Ev

gC2

2 ⋅

z = 0

Si può scrivere:

( )h

vg

hp v

gh

Q

g b c BC

CD

D Dv

c

+⋅

= + +⋅

= +⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 2 2

22 2 2γ (1)

Dalla (1) si ricava quindi hC, che risulta essere la condizione al contorno per tracciare il profilo (in

figura di tipo D1) nel 2° tratto. Il tracciamento del profilo si esegue per differenze finite, fino ad un

punto F subito a valle della sezione C, in cui l’energia specifica è pari a:

E hv

gF FF= +⋅

2

2

Nell'ipotesi che il passaggio sulla soglia avvenga senza apprezzabili perdite energetiche, in un punto

F’ subito a monte della sezione C l’energia specifica rispetto al fondo vale:

EF’ = EF - a

Nella figura seguente sono indicate le energie e le altezze relative ai punti F e F’.


h

E

hF’ hF

EF’

EF

aF’

F

Dal grafico si può dedurre che:

hF - hF’ > a

e di conseguenza, detta z la quota del pelo libero, risulta:

zF’ < zF

Esercizio 9

63

Se la soglia è sufficientemente corta si può supporre che l’altezza d’acqua sopra di essa sia costante:

hsoglia = cost

Considerando quindi due punti G e G’ rispettivamente a monte e a valle della sezione B, si può

affermare che:

hG’ = hF’

e quindi, sempre nell'ipotesi di trascurare eventuali perdite di energia sulla sezione B, risulta:

EG = EG' + a = EF ⇒ hG = hF

• Il punto G è la condizione al contorno per il tracciamento del profilo D1 fino alla sezione A.

L'altezza calcolata in corrispondenza di tale sezione è condizione al contorno di valle per il

tracciamento del profilo di corrente lenta (D1) nel primo tratto.

Il profilo completo è proposto nella figura seguente.

i1 < ic

i2 < i1 < ic

Sez. A Sez. B1° tratto 2° tratto

Sez. C

k

Ev

ba

sez. D

h0,1

D1

h0,2

D1 G

G’ F’

F D1

PROFILO ALTERNATIVO

Se l’altezza a della soglia è abbastanza elevata, può accadere che l’energia della corrente non sia

sufficiente per superarla. Questo si verifica quando (EF - a) < Ek.

Esercizio 9

64


h

E

hF

EF - a

EF

aEk

k

F

In tale caso il passaggio sulla soglia avviene attraverso lo stato critico e la corrente presenta a monte

della soglia un'altezza superiore rispetto al caso precedentemente analizzato, fino a raggiungere,

nell'ipotesi di perdite trascurabili, in corrispondenza della sezione B una energia EB pari a:

EB = Ek + a

A valle della soglia la corrente è necessariamente veloce (in quanto condizionata condizionata da

monte), con altezza hH deducibile dal diagramma seguente; tale altezza risulta essere la condizione al

contorno per il tracciamento del profilo D3 che in tal caso si determina a valle della soglia.


h

E

hF

EF - a

EF

aEk

EB = Ek + a

hB

F

B

a

hH

H

Il passaggio da corrente veloce (D3) a corrente lenta (D1) a valle della soglia avviene attraverso un

risalto, la cui posizione si determina come negli esercizi precedenti.

In figura è riportato il profilo risultante.

Esercizio 9

65

i1 < ic

i2 < i1 < ic

Sez. ASez. B

1° tratto 2° trattoSez. C

kEv

a

sez. D

h0,1

D1

h0,2

D1B

HD3

hB

hH

ak

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