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Corso di fisica generale con elementi di fisica tecnica

Secondo modulo – Parte seconda (fondamenti dei fenomeni di trasporto del calore)

Aniello (Daniele) Mennella

Dipartimento di Fisica

Aniello Mennella Corso di fisica generale con elementi di fisica tecnica A.A. 2013-2014

Lezione 5

Calore e energia termica


Sommario

● Calore e temperatura

● Calori specifici

● Trasferimento di energia termica

● Principio di conservazione dell'energia

● Bilanci energetici (condizioni statiche e flusso stazionario)



Calore e temperatura


Brevissima storia del concetto di calore

● Il calore è una realtà fisica che l'uomo ha da sempre imparato a conoscere per esperienza diretta, associandolo alla sensazione di caldo o freddo che il nostro corpo avverte in determinate condizioni

● L'esperienza ci insegna che ci possono essere sorgenti di calore (come il sole o il fuoco) e che il calore si può propagare, trasferire da un corpo a un altro

● Prima di discutere dei fenomeni di trasporto del calore affrontiamo le seguenti domande: cos'è il calore? Cos'è la temperatura? Sono la stessa cosa?


● Nel XVIII secolo Antoine Lavoisier formula una teoria (detta calorica) secondo la quale il calore è una sostanza incolore, inodore e senza massa che fluisce da un corpo a un altro.


● Questa sostanza, denominata calorico, sarebbe stata presente in tutte le sostanze in concentrazione diversa. La concentrazione di calorico sarebbe quindi responsabile della temperatura dei corpi.

● Quando due corpi con diversa concentrazione di calorico vengono a contatto la sostanza passa dal corpo con maggior concentrazione a quello con concentrazione minore, portando i due corpi alla stessa temperatura

● Un corpo che non può più assumere calorico diventa saturo. Da qui i termini vapore saturo e liquido saturo che vengono utilizzati ancora oggi



● Nel 1798 l'americano Benjamin Thompson dimostra che il calore può venire continuamente creato attraverso la frizione.

● La teoria di Lavoisier non può spiegare questo fatto a meno di non supporre una creazione continua della sostanza

● A metà del 1800 l'inglese James Joule effettua degli esperimenti sul calore generato da un circuito elettrico, formulando la relazione che lega potenza, resistenza e corrente: P = V x I = R x I 2

● Nel 1843 pubblica i risultati che mostrano che il calore viene generato all'interno del conduttore e non trasportato da una parte a un'altra. Questo decretò la fine della teoria calorica.


Calore, temperatura, forme di energia termica

● Il calore è una forma di energia che viene trasferita da un corpo a un altro a causa di differenze di temperatura.

● L'energia cinetica media delle molecole di un gas a una temperatura T è

dove R = 8.3143 J/(mol x K) è la costante dei gas perfetti e M la massa molare (la massa di una mole di gas, pari a una quantità di gas composta da un numero N

A = 6.022 x 1023 di molecole

● La temperatura è legata al movimento delle particelle, in particolare alla dispersione della distribuzione delle velocità delle singole particelle. Per un gas perfetto, monoatomico, si ha:

● dove kB è la costante di Boltzmann, pari a 1.38 x 1023 J/K


Piccolo reminder sui concetti di mole e massa molare

● Ricordiamo che una mole di una sostanza corrisponde alla quantità di sostanza composta da un numero di componenti elementari (es. molecole) pari al numero di atomi presenti in 12 grammi di carbonio.

● La massa molare di una sostanza è pari alla massa di una mole della sostanza, ovvero al prodotto del numero di Avogadro per la massa di un costituente elementare della sostanza

● Questo numero è detto numero di Avogadro, è indicato con il simbolo NA

ed è pari a NA = 6.022 x 1023



● La somma delle energie di tutte le molecole in un gas è detta energia interna del sistema ed è indicata dalla lettera U

dove N è il numero di molecole nel gas. Poiché N = n x NA (n è il numero

delle moli), NA k

B= R e si ha che

● Trascurando l'energia potenziale delle molecole (che è trascurabile rispetto all'energia cinetica data dal movimento delle molecole stesse) possiamo scrivere l'energia interna di un gas come:

che è una relazione valida per un gas monoatomico in cui si trascurino l'energia potenziale e gli effetti dovuti ai movimenti rotazionali e vibrazionali


Esercizio

Calcolare le energie cinetica e potenziale media di un gas di idrogeno a temperatura di 300 K e alla quota di 100 m s.l.m.

● L'energia cinetica media è data da

● L'energia potenziale media è data da

che risulta essere più di 1000 volte inferiore all'energia cinetica



● L'energia acquisita (o persa) da un sistema durante un cambio di fase è detta energia latente o calore latente

● Quando forniamo dell'energia a un sistema in una certa fase (ad esempio a un solido) questa energia può superare l'energia di legame fra le molecole, determinando un cambio di fase (per esempio da solido a liquido)

● In un fluido in movimento la densità di energia (cioè l'energia per unità di massa, che indichiamo con lettere minuscole) connessa al moto del fluido stesso è data dal prodotto della pressione applicata sul fluido, P, per il volume specifico (cioè per unità di massa), v.

● In questo caso la densità di energia totale è detta entalpia, h, ed è data dalla somma dell'energia interna, u, con il termine P v



Calori specifici


Calori specifici

T = 20 °Cm = 2 kg

● Immaginiamo di avere un solido della massa di 2 kg alla temperatura di 20°C

● Supponiamo di fornire una certa quantità di energia, ad esempio 50 kJ, e che la temperatura del solido aumenti di 10 °C

T = 30 °Cm = 2 kg

50 kJ

● Definiamo calore specifico la quantità di energia per unità di massa necessaria a fare aumentare la temperatura del corpo di 1 grado

● Nel nostro esempio il calore specifico del solido è: c = 50 x 103 J / (10 °C x 2 kg) = 2.5 kJ / (°C kg)


Calori specifici: nota bene!

● Generalmente il calore specifico è indicato con la lettera “c” minuscola, mentre la lettera “C” maiuscola viene utilizzata per la capacità termica. Noi utilizziamo questa convenzione

● In alcuni testi (come ad esempio nel Cengel) si utilizza la lettera maiuscola per il calore specifico, quindi attenzione a non fare confusione!

● Calore specifico e capacità termica sono di fatto grandezze che esprimono lo stesso concetto, ovvero la quantità di energia necessaria per aumentare la temperatura di un sistema. Il calore specifico è riferito sia all'unità di temperatura che all'unità di massa, mentre la capacità termica sono all'unità di temperatura


Calori specifici

● Vi sono due tipi diversi di calori specifici, a seconda di come avviene il processo: il calore specifico a pressione costante, c

p, utilizzato nei

processi che avvengono a pressione costante, e il calore specifico a volume costante, c

v, utilizzato nei processi che avvengono a volume

costante.

● Se la pressione viene mantenuta costante questo implica che fornendo energia al sistema si consente al volume di aumentare. Una parte dell'energia, in questo caso, verrà utilizzata dal sistema per espandersi, per cui l'aumento di temperatura, a parità di massa e energia fornita, sarà inferiore. Questo implica che c

p > c

v

● Per un gas ideale la relazione che esiste fra cp e c

v può essere scritta

come:


Calori specifici

● I calori specifici non sono costanti, ma dipendono, in generale, da temperatura e pressione. Nel caso di un gas ideale (come anche nei gas reali a bassa pressione), la dipendenza dalla pressione scompare, così che il calore specifico dipende solo dalla temperatura.

● Il calore specifico è legato alla variazione di energia interna e dell'entalpia di un sistema. In particolare, per un gas ideale, si ha:

● Dimostriamo la seconda relazione. Se scriviamo l'entalpia come h = u + Pv = u + RT abbiamo che

● La prima relazione deriva direttamente dalla definizione di calore specifico


Calori specifici

● Se abbiamo una variazione di temperatura non infinitesima, ΔT, allora possiamo approssimare le variazioni di energia interna e di entalpia come

● Per sostanze incomprimibili si ha che i calori specifici a volume e pressione costante coincidono:

● Se una sostanza non varia apprezzabilmente il suo volume con la temperatura allora la sostanza viene detta incomprimibile (solidi e liquidi in condizioni normali possono essere considerati incomprimibili)

dove cv,ave

e cp,ave

rappresentano il valore medio di cp e c

v nell'intervallo

di temperatura considerato



Trasferimento di energia termica


Trasferimento di energia termica (calore)

● In un sistema formato da due masse a temperatura diversa, l'energia termica viene trasferita dalla massa a temperatura maggiore a quella a temperatura minore.

● In questo caso parliamo di trasferimento di calore, o flusso di calore, ricordando che il termine calore (che indichiamo con la lettera Q) è, a tutti gli effetti, sinonimo di energia termica.

● Come già accennato l'energia termica non è altro che l'energia cinetica associata al movimento delle particelle elementari che costituiscono il sistema considerato

● Quando abbiamo un trasferimento di calore nel tempo da un corpo a un altro siamo interessati alla variazione di calore nel tempo, detta anche potenza termica, e indicata con il simbolo

● Le unità di misura di sono, naturalmente, quelle di una potenza:


Trasferimento di energia termica (calore)

● Se conosciamo la potenza termica è possibile calcolare il calore trasferito da un sistema a un altro in un tempo Δt:

● Nel caso particolare di potenza costante, , si ha che

● In un dato sistema in cui si abbia trasferimento di calore attraverso una superficie, A, il flusso di calore, [W/m2], è dato dalla potenza termica per unità di superficie:


Esercizio

Una sfera di rame di 10 cm di diametro viene scaldata dalla temperatura di 100°C alla temperatura di 150 °C in 30 minuti. Considerando una densità media del rame a questa temperatura pari a ρ = 8950 kg/m3 e C

p = 0.395 kJ / kg • °C determinare: (a) la quantità di

calore trasferita alla sfera di rame, (b) la potenza termica media trasferita alla sfera e (c) il flusso medio di calore

● Il volume della sfera è dato da V = 4/3 π r 3 = 4/3 π 1.25 10-4 m3 = 5.24 10-4 m3

● La massa della sfera è m = ρ V = = 8950 kg/m3 5.24 10-4 m3 = 4.69 kg

● La quantità di calore trasferita è Q = C

p • m • ΔT = 0.395 kJ / (kg • °C)

• 4.69 kg • 50 °C = 92.55 kJ


Esercizio




● La potenza termica è data, semplicemente, da:


Esercizio




● Il flusso di calore è dato dalla potenza termica per unità di superficie, ovvero:



Principio di conservazione dell'energia



● Questo principio, conosciuto anche come primo principio della termodinamica afferma che l'energia non può essere né creata né distrutta ma può solo cambiare forma.

● Quindi, se abbiamo un sistema sottoposto a una trasformazione si ha la seguente relazione:

Energia fornitaal sistema

Energia uscente dal sistema

Variazione di energia interna

del sistema( ) ) )( (



● Possiamo esprimere matematicamente questo principio in vari modi: ad esempio come bilancio energetico

Trasferimento netto di energia (lavoro,

calore, massa)

Variazione dell'energia interna (cinetica, potenziale, ecc)

● oppure come bilancio di potenza

Variazione fra la potenza in entrata e in uscita dal sistema

Variazione nel tempo dell'energia interna del

sistema

[J]

[W]


Conservazione dell'energia in sistemi chiusi

● Se il sistema è chiuso (cioè con massa costante), la differenza fra l'energia fornita al sistema e restituita da sistema coincide con la variazione di energia interna.

● Quando la trasformazione coinvolge solo cambiamenti di temperatura allora la variazione di energia interna corrisponde al calore fornito al sistema (se il sistema si riscalda) o restituito dal sistema (se il sistema si raffredda).


Conservazione dell'energia in condizioni stazionarie

● Se internamente al sistema non vi sono variazioni nel tempo dell'energia (stato stazionario) si ha che dE

system / dt = 0 e, quindi,


Bilancio di energia in condizioni di flusso stazionario

● In molti sistemi di utilizzo comune si hanno condizioni di flusso stazionario (ad esempio l'acqua che circola in un termosifone)

● In condizioni di flusso stazionario la massa contenuta in un qualunque volume di controllo si conserva, ovvero la massa che entra è uguale alla massa che esce dal volume.

● La quantità di massa che fluisce attraverso una sezione qualunque della condotta in cui avviene il flusso si chiama portata di massa, e si indica con il simbolo

● La portata di massa è proporzionale alla sezione della condotta, A, alla densità del fluido, ρ, e alla velocità media del flusso, v. Si ha, quindi:


Bilancio di energia in condizioni di flusso stazionario

Area, A

v = dx / dt

In condizioni di flusso stazionario min = m

out,

Termosifone

La massa nel volumetto è m = ρ A dx, per cui la portata di massa è


La velocità del flusso non è costante lungo la sezione

● La velocità lungo la sezione della condotta non è costante, ma è massima al centro e si annulla ai bordi.


La velocità del flusso non è costante lungo la sezione

● La velocità lungo la sezione della condotta non è costante, ma è massima al centro e si annulla ai bordi.

● In molte situazioni è sufficiente considerare la velocità media lungo la sezione della condotta.


Portata volumetrica

● Ricordando che la massa è definita come il prodotto della densità per il volume, possiamo definire la portata volumetrica (ovvero il volume di fluido che attraversa una sezione arbitraria della condotta in funzione del tempo) come:

● Notiamo che in condizioni stazionarie la portata volumetrica non è necessariamente costante, a meno che lo sia la densità. Quindi possiamo riassumere così le condizioni di flusso stazionario:


Flusso stazionario con variazione di temperatura

Volume di controllo

● Se abbiamo un flusso stazionario in condizioni di temperatura variabile lungo la condotta allora la variazione di energia in un qualunque volume di controllo è data dalla variazione di entalpia, Δh, per la portata di massa


Bilancio energetico superficiale

● In alcuni casi è importante considerare lo scambio energetico che avviene in prossimità di una superficie che divide due sistemi fra i quali ci sia trasferimento di energia.

● Si pensi, ad esempio, alla superficie di un muro che separa un locale dall'esterno

Muro

Conduzione Irraggiamento

Convezione

● Poiché la superficie è bidimensionale non vi è alcuna massa o energia associata

● Possiamo quindi considerarla come un sistema fittizio per il quale l'energia viene sempre conservata

Superficie di controllo

● Nell'esempio, quindi, possiamo scrivere che la potenza entrante la superficie dal muro per conduzione deve essere bilanciato dalla potenza uscente per convezione e irraggiamento:


Esercizio – scaldare un bollitore

● La variazione di energia del sistema corrisponde alla variazione di energia interna dovuta al riscaldamento del bollitore e dell'acqua:

Abbiamo 1.2 kg di acqua a 15°C in un bollitore elettrico di 0.5 kg e vogliamo scaldarla a 95 °C. La potenza distribuita dalla resistenza elettrica è 1.2 kW. Il calore specifico medio del bollitore è di 0.7 kJ / kg • °C. Calcolare quanto tempo ci vuole a scaldare l'acqua, considerando che il calore specifico dell'acqua è di 4.18 kJ / kg • °C. Trascurare le perdite di calore dal bollitore



● I due termini sono dati, rispettivamente, da:




● Quindi la variazione totale di energia è:

● Ricordiamo che la potenza corrisponde alla variazione di energia rispetto al tempo, cioè:

● Si ha quindi che il tempo necessario a fornire 429.28 kJ con una potenza di 1.2 kW è



Rs(aria) = 287 J /kg • K

Esercizio – dispersione di calore

In una condotta a sezione rettangolare di un impianto di riscaldamento ad aria una parte passa in una zona non riscaldata. La sezione del tubo è 20 cm x 25 cm. L'aria calda entra nella sezione con una pressione di 100 kPa e una temperatura di 60 °C a una velocità media di 5 m/s. La temperatura dell'aria scende lungo il tratto a 54 °C a causa delle perdite termiche. Calcolare la potenza termica dissipata in condizioni stazionarie. Calcolare il costo orario di questa perdita nel caso in cui la casa sia riscaldata a gas da una caldaia con l'efficienza dell'80% assumendo un costo di 1 Euro per 100000 kJ. Si assumano i valori di calore specifico nella tabella

T(°C)

-23.15 1.003 0.71626.85 1.005 0.71876.85 1.008 0.721

126.85 1.013 0.726176.85 1.02 0.733226.85 1.029 0.742276.85 1.04 0.753

CP

kJ/kg.KC

v

kJ/kg.K

Consideriamo C

p = 1.007 kJ/kg • K



● La perdita di calore sarà data da:

● Dobbiamo calcolare la massa di aria nel tratto di condotta e il calore specifico a pressione costante. Poiché la temperatura varia abbiamo che anche la densità dell'aria varierà. La pressione possiamo considerarla costante, in quanto gli effetti del cambio di densità e temperatura si compensano. Assumendo che l'aria si comporti come un gas ideale calcoliamo la densità all'ingresso della condotta mediante la relazione

dove Rs è la costante specifica del gas data da R

s = 287.058 J / kg • K

notiamo che 1 Pa = 1 J/m3



● Nota 1: ricordiamo che la pressione è definita come forza per unità di superficie. In questo senso l'unità di misura della pressione, il Pascal, è equivalente a 1 N / m2. D'altra parte sappiamo anche che l'energia è definita come forza per spostamento, per cui l'unità di misura dell'energia, il Joule, è equivalente a 1 N • m. Da qui vediamo che 1 N / m2 è equivalente a 1 J / m3. In altre parole la pressione possiamo anche vederla come densità volumetrica di energia. Quindi:

1 Pa = 1 N / m2 = 1 J / m3

● Nota 2: è importante ricordare che in tutte le relazioni della termodinamica che coinvolgono la temperatura assoluta questa va espressa in Kelvin e non in gradi centigradi.

T(K) = T(°C) + 273.15 °C



● Ci domandiamo ora se possiamo considerare costante la densità anche se sappiamo che la temperatura varia.

● Dal grafico che riporta l'andamento della densità dell'aria in funzione della temperatura osserviamo che la variazione, δρ, nell'intervallo [55-60] °C è dell'ordine di 0.02 kg/m3.

● Se consideriamo, pertanto, la densità costante con il valore calcolato precedentemente (1.046 kg/m3) commetteremo un errore dell'ordine dell'1 – 2%



● La portata di massa dell'aria sarà data, pertanto, da:

● La potenza dissipata sarà, quindi:

● In un'ora verrà dissipata un'energia pari a E = 1.57 kW * 3600 s = 5655.3 kJ. Tenendo conto anche del fatto che l'efficienza della caldaia è dell'80% l'energia oraria totale dissipata è di E

tot = E / 0.8 = 7069.1 kJ

● Il costo orario della perdita sarà, quindi dato da Etot

* 1 € / 105 = 0.07 €(ricordiamo che il costo è di 1 € per 105 kJ

● Se assumiamo 2000 ore di funzionamento all'anno della caldaia, il costo annuale della perdita ammonterà a circa 141 €

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