Corso di biomatematica Lezione 3: Distribuzioni di probabilità continue Davide Grandi.

Corso di biomatematica Corso di biomatematica Lezione 3:Lezione 3:

Distribuzioni di Distribuzioni di probabilitàprobabilitàcontinuecontinue

Davide Grandi

Sommario•Distribuzioni di probabilità continue:•Definizioni •Funzione distribuzione cumulativa •Densità di probabilità•Continue - esempi

•La distribuzione di gauss-introduzione

Distribuzioni continue

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• Funzione di distribuzione cumulativaFunzione di distribuzione cumulativaLa funzione di distribuzione cumulativa per

una variabile aleatoria continua X è definita come la

probabilità che la variabile X assuma un valore minore di un

determinato valore x:P(X<x) = F(X)E’ caratteristica di una variabile aleatoria

ed esiste sia per quelle continue che per quelle discrete.



• Funzione di distribuzione cumulativaFunzione di distribuzione cumulativaLe sue proprietà fondamentali sono:• F(X) è una funzione non decrescente, cioè

per x2 > x1 si ha F(x2) F(x1)• Quando l’argomento della funzione tende

a la funzione di distribuzione tende a zero, F( )= 0

• Quando invece l’argomento tende a + la funzione di distribuzione tende a uno, F(+ )= 1



• Funzione di distribuzione Funzione di distribuzione cumulativa :esempiocumulativa :esempio

Supponiamo di avere una variabile aleatoria discreta che

assume solo cinque valori: le probabilità di ottenere i singoli

valori siano:

Andiamo ora a costruire la funzione di distribuzione

cumulativa, ovvero F(X)= P(X<x) = xi <x P(X=xi ) Dove la disuguaglianza xi <x significa che la

sommatoria è estesa a tutti gli xi minori di x




Otteniamo dunque:

E il grafico di tale funzione è:




Ovvero la funzione di distribuzione cumulativa è sempre una

funzione a gradino (per distribuzioni discrete di probabilità)

i cui salti sono ovviamente in corrispondenza dei valori

possibili della variabile, la somma di tutti i salti è uno

(assioma probabilità).Per una distribuzione continua aumentano i

valori possibili e diminuiscono gli intervalli, per cui la

funzione di distribuziuone cumulativa diventa una

funzione continua (sempre crescente) caratteristica delle

variabili aleatorie continue.



• Funzione densità di probabilitàFunzione densità di probabilitàDefinita la funzione di distribuzione

cumulativa, vediamo di considerare la probabilità che la mia

variabile aleatoria assuma valori in un intervallo con estremi

per x1 e x2 : P(x1 X < x2 ) = F(x2 ) – F(x1)Esprimo la probabilità di questo evento

attraverso i seguenti 3 eventi:• Evento A corrispondente a X< x2

• Evento B corrispondente a X< x1

• Evento C corrispondente a x1 X < x2



• Funzione densità di probabilitàFunzione densità di probabilitàAvremo che l’evento A si può esprimere

come come la somme degli altri due, cioè A=B+C e per il

teorema di addizione delle probabilità avremo:P(X < x2 ) = P(X < x1 ) + P(x1 X < x2 ) da cui ricavo la formulaP(x1 X < x2 ) = F(x2 ) – F(x1)

Facendo tendere x 0 Calcoliamo il rapporto tra la differenza della

funzione di distribuzione cumulativa e l’intervallo

stesso (derivata)ovvero…



• Funzione densità di probabilitàFunzione densità di probabilitàAbbiamo

si definisce quindi funzione di distribuzione o densità di

probabilità:

La funzione p(x) caratterizza la densità di probabilità dei

valori in un punto x (esprimo la legge della distribuzione)

dxxdF

xxFxxF

x

)()()(lim 0

dxxdF

xp)(

)(



• Condizione di normalizzazioneCondizione di normalizzazionela condizione di normalizzazione è la

generalizzazione al caso continuo del terzo assioma della

probabilità, e dal fatto che F(+ )= 1 abbiamo:

1)(

)(

dxdx

xdFdxxp



• Distribuzione uniforme Distribuzione uniforme Variabili aleatorie di cui è noto a priori che i

loro valori possibili appartengono ad un dato intervallo

e all’interno di questo intervallo tutti i valori sono

equiprobabili si dicono uniformemente distribuite.Considero la variabile aleatoria X soggetta

ad una legge di distribuzione uniforme nell’intervallo () e

scrivo la densità di probabilità p(X), che deve essere

costante nell’intervallo e nulla al di fuori, cioèp(X)= c per <x < p(X)= 0 altrove



• Distribuzione uniforme Distribuzione uniforme Per la condizione di normalizzazione avremo

che l’area delimitata dalla curva sarà uguale all’unità,

ovvero:cDa cui risultac=1/

Ovvero la distribuzione di probabilità sarà:p(X)= 1/per <x < p(X)= 0 altrove



• Proprietà della distribuzione uniforme Proprietà della distribuzione uniforme Le caratteristiche fondamentali della

distribuzione aleatoria sono:Il valor medio vale

La deviazione standard vale:2

m

32

m



• Distribuzioni limiteDistribuzioni limitePosso parlare di distribuzioni limite se il

numero di eventi tende all’infinito (o comunque è

sufficientemente grande….).Dopo un certo numero di eventi i risultati

ottenuti si disporranno secondo una determinata

distribuzione, che diventerà sempre più evidente al crescere

del numero di eventi.. Ad esempio vediamo i seguenti istogrammi

nel caso in cui si siano effettuate 10, 100 e 1000 misure della

stessa grandezza



• Distribuzioni limiteDistribuzioni limite



• Esempio come ottenere la distribuzione di Esempio come ottenere la distribuzione di GaussGauss

Lanciamo un dado e calcoliamo la frequenza con cui escono i

numeri da 1 a 6, dopo un numero abbastanza grande di

ripetizioni.

Ora lanciamo due dadi, facciamo la somma e vediamo con

che frequenza escono i numeri da 2 a 12, dopo un numero

abbastanza grande di ripetizioni.

Ora lanciamo 3 dadi, facciamo la somma e vediamo con che

frequenza escono i numeri da 3 a 18



• Esempio come ottenere la distribuzione di Esempio come ottenere la distribuzione di GaussGauss

Lanciamo N dadi e vediamo con che frequenza escono i

numeri da N a 6N.

Rappresentiamo il tutto su dei grafici.

Al limite di infinite misure la frequenza più probabile

sarà…….N, 6N,6N/2?

Corso di biomatematica Lezione 3: Distribuzioni di probabilità continue Davide Grandi.

Documents

Transcript of Corso di biomatematica Lezione 3: Distribuzioni di probabilità continue Davide Grandi.