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Corso di Analisi Matematica

I numeri reali

Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale

A.A. 2013/2014

Universita di Bari

ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 57

1 Insiemi e logica

2 Campi ordinati

3 Estremo superiore e assioma di continuita

4 Radici, potenze, logaritmi

5 Grandezze trigonometriche


Insiemi

I concetti di base di teoria degli insiemi non saranno definiti in modo

rigoroso ma “informale”.

Insieme: nozione primitiva, sinonimo di “classe”, “collezione”,

“famiglia”

“L’insieme degli iscritti all’Universita di Bari”

“L’insieme delle stelle di una certa galassia”

Notazione: X Y Z (lettere maiuscole dell’alfabeto)

Elemento: ogni insieme e determinato dai suoi elementi

Appartenenza: se X e un insieme e x e un suo elemento, si scrive

x ∈ X

“∈” simbolo di appartenenza


Come si specifica un insieme:

Elencandone gli elementi:

X = {1, 2, 3}

Usando le proprieta verificate dai suoi elementi:

X = {x | p(x) e vera}

ove p(x) e una proprieta che dipende da x.

X = {x | x e un numero naturale pari}


Osservazioni

Non e importante:

l’ordine in cui si e elencano gli elementi

{1, 2, 6} = {1, 6, 2}

la molteplicita degli elementi

L’insieme delle sol. dell’eq. x− 1 = 0 coincide con l’insieme delle sol.

dell’eq. (x− 1)2 = 0, anche se nel secondo caso x = 1 ha molteplicita

algebrica 2.


Relazioni tra insiemi: uguaglianza ed inclusione.

Due insiemi A e B sono uguali se hanno gli stessi elementi. In tal

caso si scrive

A = B.

“Ogni elemento di A e elemento di B e ogni elemento di B e

elemento di A”

Formalmente:

∀x (x ∈ A⇒ x ∈ B) e ∀x (x ∈ B ⇒ x ∈ A)

I Quantificatore universale: ∀ “per ogni”I Implicazione logica: ⇒ “implica” “se .... allora”


Se vale una sola delle due richieste: “Ogni elemento di A e elemento

di B” si dice che “A e contenuto in B” e si scrive

A ⊆ B.

Formalmente:

∀x (x ∈ A⇒ x ∈ B)

“A e un sottoinsieme di B”

A ⊆ B non esclude che A = B.

Se A ⊆ B ma A non e uguale a B si scrive

A $ B

e si parla di inclusione stretta.


A $ B:

“Ogni elemento di A e elemento di B ed esiste x in B che non

appartiene ad A”

Formalmente:

∀x (x ∈ A⇒ x ∈ B) e ∃x ∈ B x /∈ A

I Quantificatore esistenziale: ∃ “esiste”I 6∈ “non appartiene”

insieme vuoto ∅: indica un insieme che non ha elementi


Insiemi numerici

L’insieme dei numeri naturali:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}.

L’insieme dei numeri relativi:

Z = {0,±1,±2,±3,±4,±5, . . .}.

L’insieme dei numeri razionali:

Q ={ nm| n,m ∈ Z,m 6= 0

}Due numeri razionali n

m e n′

m′ si identificano se

nm′ = n′m.


Insiemi numericiRappresentazione decimale dei numeri razionali: ogni numerorazionale puo essere rappresentato mediante un allineamento decimale

I limitato (dopo la virgola un numero finito di cifre diverse da 0);

1

2= 0, 5

3

4= 0, 75

I illimitato, periodico, proprio (dopo la virgola un numero infinito di cifre

diverse da 0, che si ripetono in modo periodico con periodo diverso da

9).

1

3= 0, 3333 . . . = 0, 3 2, 44444 . . . = 2, 4 2, 346555 . . . = 2, 3465

Gli allineamenti decimali di periodo 9 (detti impropri) sono usati come

rappresentazione alternativa degli allineamenti decimali finiti.

1 = 0, 9 1, 35 = 1, 349.


Insiemi numerici

L’insieme dei numeri reali, che si denota con R , e l’insieme dei

numeri che scritti in forma decimale presentano dopo la virgola una

successione qualsiasi di cifre diverse da 0, eventualmente anche

infinita e non periodica.

0, 10110111011110 . . .

π = 3, 14 . . .√2 = 1, 41 . . .

Gli elementi di R ma non di Q si chiamano numeri irrazionali (sono

gli allineamenti decimali infiniti e non periodici).

Inclusioni:

N $ Z $ Q $ R


Operazioni su insiemi

Sia X un insieme e A,B ⊆ X.

Intersezione

A ∩B = {x ∈ X | x ∈ A e x ∈ B}

Unione

A ∪B = {x ∈ X | x ∈ A o x ∈ B}

Differenza

A \B = {x ∈ X | x ∈ A, x 6∈ B}

Ad esempio, R \Q e l’insieme dei numeri irrazionali.


Operazioni su insiemi

coppia ordinata: (a, b) con a ∈ A, b ∈ B.

Il prodotto cartesiano di A e B, che si denota con A×B, e l’insieme

costituito da tutte le coppie ordinate (a, b) con a ∈ A, b ∈ B.

A×B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}


Logica elementare

In matematica si usano due tipi di affermazioni:

enunciati o proposizioni cioe affermazioni di cui e possibile stabilire la

verita o la falsita;

2 e un numero pari

2 e un numero dispari

predicati o proprieta cioe affermazioni la cui verita o falsita dipende

dai valori delle variabili che in essa compaiono.

n e un numero naturale dispari


Logica elementare

Dai predicati si ottengono enunciati mediante i quantificatori:

∀n ∈ N (n dispari⇒ n2 dispari).

In generale, se p(x) e q(x) sono predicati,

∀x ∈ A (p(x)⇒ q(x))

e un enunciato che prende il nome di implicazione universale.

La maggior parte dei teoremi e costituita da implicazioni universali.

p(x) si chiama ipotesi,

q(x) si chiama tesi.


Logica elementare

Per provare che ∀x ∈ A (p(x)⇒ q(x)) e vera, si deve considerare un

generico x ∈ A che verifica p(x) e mostrare q(x) e vera.

Proviamo che il seguente enunciato e vero:

∀n ∈ N (n dispari⇒ n2 dispari).

Per provare che ∀x ∈ A (p(x)⇒ q(x)) e falsa , si deve determinare

x ∈ A tale che p(x) sia vera ma q(x) sia falsa. Tale x si chiama

controesempio.

Infatti, la negazione di una implicazione universale e

∃x ∈ A (p(x) e non q(x))

Il seguente enunciato e falso: ∀n ∈ N (n primo⇒ n e dispari).

Controesempio: n = 2


Logica elementare

L’implicazione ∀x ∈ A (p(x)⇒ q(x)) equivale a

∀x ∈ A (non q(x)⇒ non p(x))

Quindi, avendo dim. che

∀n ∈ N (n dispari⇒ n2 dispari)

e vero anche che

∀n ∈ N (n2 pari⇒ n pari).


Logica elementare

Dimostrazione per assurdo.

Consiste nel supporre vera l’ipotesi e la negazione della tesi di un

teorema e dedurre da questi fatti una contraddizione.

Teorema

Non esiste x ∈ Q soluzione dell’equazione x2 = 2.

La negazione di “∀x p(x)” e “∃x non p(x)”;

la negazione di “∃x p(x)” e “∀x non p(x)”.


Campi ordinati

Studiare in dettaglio la struttura degli insiemi numerici.

Capire meglio la differenza tra Q ed R.

Occorre introdurre le operazioni e la relazione d’ordine sia in Q che in R.


Addizione

R1): E definita in Q l’operazione di addizione + tale che

per ogni a, b ∈ Q, a+ b = b+ a;

per ogni a, b, c ∈ Q, (a+ b) + c = a+ (b+ c);

esiste 0 ∈ Q tale che

∀a ∈ Q a+ 0 = a;

per ogni a ∈ Q esiste un (unico) elemento di Q, indicato con −a(opposto di a), tale che

a+ (−a) = 0.


MoltiplicazioneR2): E definita in Q l’operazione di moltiplicazione · tale che

per ogni a, b ∈ Q, a · b = b · a;

per ogni a, b, c ∈ Q, (a · b) · c = a · (b · c);esiste 1 ∈ Q tale che

∀a ∈ Q a · 1 = a;

per ogni a ∈ Q, a 6= 0 esiste un (unico) elemento di Q, indicato con

a−1 o con 1a (inverso o reciproco di a), tale che

a · a−1 = 1 a · 1a= 1.

per ogni a, b, c ∈ Q, a · (b+ c) = a · b+ a · c.ICD (Bari) Analisi Matematica 21 / 57

Osservazioni

in Q + e · sono definite nel seguente modo:

n

m+r

s=ns+mr

ms

n

m· rs=n · rm · s

.

Le proprieta R1) ed R2) permettono di definire tutte le operazioni:I per ogni a, b ∈ Q a− b = a+ (−b)I per ogni a, b ∈ Q, b 6= 0 a : b = a · b−1

Rappresentazione geometrica di Q:

0 1 2 3

5/2−5/2

−1−2−3


Relazione d’ordine in Q

Una relazione d’ordine ≤ su un insieme X e una relazione tale che

per ogni a ∈ X a ≤ a;

per ogni a, b ∈ X a ≤ b, b ≤ a ⇒ a = b;

per ogni a, b, c ∈ X a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c.La relazione ≤ si dice di totale ordine se per ogni a, b ∈ X a ≤ b oppure

b ≤ a.

R3): E definita in Q una relazione di totale ordine minore o uguale (≤)

tale che

per ogni a, b, c ∈ Q a ≤ b ⇒ a+ c ≤ b+ c;

per ogni a, b, c ∈ Q, 0 ≤ c a ≤ b ⇒ a · c ≤ b · c .


Campi ordinati

Notazioni:

a ≥ b ⇔ b ≤ a

a < b ⇔ a ≤ b, a 6= b

a > b ⇔ a ≥ b, a 6= b

Ogni insieme che verifica le proprieta R1) R2) R3) si dice campo ordinato.

Q e un campo ordinato;

R e un campo ordinato.


Quali sono allora le proprieta che distinguono Q da R? Perche e stato

necessario ampliare Q?

Q non e adeguato a misurare le lunghezze: abbiamo gia visto che la

misura della diagonale di un quadrato non puo essere espressa

mediante un numero razionale.

Dal punto di vista geometrico: dopo aver “occupato” i punti della

retta con tutti i numeri razionali, su di essa rimangono dei posti vuoti.

Si e dovuto ampliare Q in modo da avere ancora un campo ordinato i

cui elementi siano in corrispondenza biunivoca con i punti della retta:

R verifica questa proprieta.


Regole di calcoloEsaminiamo alcune proprieta dei numeri reali, conseguenze di R1) R2)

R3).

Per ogni a ∈ Ra · 0 = 0.

Per ogni a, b ∈ R

a · b = 0⇒ a = 0 oppure b = 0.

Dalle precedenti proprieta si ottiene la legge di annullamento del prodotto:

per ogni a, b ∈ R

a · b = 0⇔ a = 0 oppure b = 0.


Regole di calcolo

Proprieta degli opposti:

Per ogni a ∈ R−(−a) = a.

Per ogni a, b ∈ R(−a) · b = −(a · b).

Per ogni a, b ∈ Ra · (−b) = −(a · b).

Per ogni a, b ∈ R(−a) · (−b) = a · b.


Regole di calcolo

Proprieta dei reciproci:

Per ogni a ∈ R a 6= 011a

= a.

Per ogni a, b ∈ R a, b 6= 0

1

a · b=

1

a· 1b.

Per ogni a ∈ R a 6= 01

−a= −1

a.


Regole di calcolo

Proprieta delle uguaglianze:

Per ogni a, b, c ∈ R

a+ b = c⇔ a = c− b.

Per ogni a, b, c ∈ R a 6= 0

a · b = c⇔ b =c

a.

Risoluzione dell’equazione di primo grado: per ogni a, b ∈ R, a 6= 0

ax+ b = 0⇔ ax = −b⇔ x = − ba.


Regole di calcolo

Regole di semplificazione:


a± c = b± c⇔ a = b.

Per ogni a, b, c ∈ R, c 6= 0

a · c = b · c⇔ a = b.

Per ogni a, b, c ∈ R, c 6= 0

a

c=b

c⇔ a = b.


Regole di calcolo

Conseguenze delle proprieta della relazione d’ordine:


a+ b ≤ c ⇒ a ≤ c− b;a ≤ b+ c ⇒ a− c ≤ b.

E possibile “trasportare” un addendo da un membro all’altro di una

disuguaglianza “cambiandolo di segno”.

Si ricava che:

Per ogni a, b ∈ R

a ≤ b ⇒ −b ≤ −a;0 ≤ a ⇒ −a ≤ 0;

a ≤ 0 ⇒ 0 ≤ −a.


Regole di calcolo

Conseguenze delle proprieta della relazione d’ordine:


a < b, c > 0 ⇒ a · c < b · c;a ≤ b, c ≤ 0 ⇒ a · c ≥ b · c;a < b, c < 0 ⇒ a · c > b · c.

Moltiplicando ambo i membri di una disuguaglianza per uno stesso

numero si ottiene una disuguaglianza dello stesso segno se il numero e

positivo, di segno opposto se il numero e negativo.


Regole di calcolo

Disequazioni di primo grado: per ogni a, b ∈ R, a > 0

ax+ b ≥ 0 ⇔ ax ≥ −b ⇔ x ≥ − ba ;

ax+ b > 0 ⇔ ax > −b ⇔ x > − ba ;

ax+ b ≤ 0 ⇔ ax ≤ −b ⇔ x ≤ − ba ;

ax+ b < 0 ⇔ ax < −b ⇔ x < − ba .


Regole di calcolo

Regola dei segni:

per ogni a, b ∈ R

0 ≤ a, 0 ≤ b ⇒ 0 ≤ a · b;0 ≤ a, b ≤ 0 ⇒ a · b ≤ 0;

a ≤ 0, b ≤ 0 ⇒ 0 ≤ a · b.

Il prodotto di due numeri e positivo se i numeri hanno le stesso segno,

negativo se i numeri hanno segno opposto.

Le proprieta precedenti continuano a valere se si sostituisce ovunque ≤con <.


Regole di calcolo

Ricordiamo che per ogni a ∈ R si definisce a2 = a · a.

Proprieta dei quadrati e dei reciproci:

per ogni a ∈ R

a2 ≥ 0

a2 = 0 ⇔ a = 0;

per ogni a ∈ R

a > 0 ⇒ 1

a> 0

a < 0 ⇒ 1

a< 0.


Intervalli

Sottoinsiemi di R che sulla retta corrispondono a segmenti: intervalli

limitati.

Siano a, b ∈ R, a ≤ b.

[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}

(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}

[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}


Intervalli

Sottoinsiemi di R che sulla retta corrispondono a semirette: intervalli

illimitati.

Sia a ∈ R.

[a,+∞) = {x ∈ R | x ≥ a}

(a,+∞) = {x ∈ R | x > a}

(−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}

(−∞, a) = {x ∈ R | x < a}

Semiretta positiva: R+ = (0,+∞)

Semiretta negativa: R− = (−∞, 0)R∗ = R \ {0} = R+ ∪ R−


Insiemi limitati

Definizione

Sia E ⊆ R, E 6= ∅. E si dice

limitato superiormente se esiste M ∈ R tale che

per ogni x ∈ E x ≤M ;

limitato inferiormente se esiste m ∈ R tale che

per ogni x ∈ E m ≤ x;

limitato se e limitato sia superiormente che inferiormente cioe se

esistono m,M ∈ R tali che

per ogni x ∈ E m ≤ x ≤M.


Massimo e minimo

Definizione

Sia E ⊆ R, E 6= ∅.Un numero reale x e il massimo di E (e si denota con maxE) se

I x ∈ E;I per ogni x ∈ E x ≤ x;

Un numero reale x e il minimo di E (e si denota con minE) seI x ∈ E;I per ogni x ∈ E x ≤ x;

Quindi

E ammette massimo ⇒ E e limitato superiormente

E ammette minimo ⇒ E e limitato inferiormente


Estremo superiore e inferiore

Esistono insiemi limitati che non ammettono massimo e/o minimo.

Definizione

Sia E ⊆ R, E 6= ∅.Un numero reale K e un maggiorante di E se

per ogni x ∈ E x ≤ K.

Un numero reale K e un minorante di E se

per ogni x ∈ E K ≤ x.


Estremo superiore e inferiore

Definizione

Sia E ⊆ R, E 6= ∅.Se esiste il minimo dell’insieme dei maggioranti di E, esso si chiama

estremo superiore di E e si denota con supE.

supE = min {K ∈ R | K e un maggiorante di E}

Se esiste il massimo dell’insieme dei minoranti di E, esso si chiama

estremo inferiore di E e si denota con inf E.

inf E = max {K ∈ R | K e un minorante di E}

Se x = maxE allora x = supE.

Se x = minE allora x = inf E.


Completezza di R

Esempi

Esempio importante:

E = {x ∈ Q | x ≥ 0, x2 < 2}

E e limitato superiormente, se supE esiste allora verifica x2 = 2.

Quindi supE non esiste in Q ma esiste in R (ed e√2).

Un insieme X (totalmente ordinato) verifica la proprieta dell’estremo

superiore se

R4): ogni E ⊆ X non vuoto e limitato superiormente ammette estremo

superiore supE ∈ X.


Definizione assiomatica di R

Teorema

Esiste un insieme che verifica le proprieta R1), R2), R3), R4), ossia un

campo ordinato che ha la proprieta dell’estremo superiore.

Tale insieme si denota con R.

R e una rappresentazione adeguata dell’idea di retta. Usando R4) (in

una forma equivalente) si prova che R e la retta r sono in

corrispondenza biunivoca cioe ad ogni punto di r corrisponde un

unico numero reale e viceversa. Cio permette di identificare r e R e di

parlare di retta reale.


Valore assoluto

Definizione

Si chiama valore assoluto di un numero reale a, e si indica con il simbolo

|a|, il numero reale non negativo definito come

|a| =

{a se a ≥ 0

−a se a < 0.

Se a, b ∈ R, |a− b| rappresenta la distanza dei due punti a e b sulla retta

reale.

Sia a ∈ R+. Allora

|x| ≤ a⇔ −a ≤ x ≤ a⇔ x ∈ [−a, a];|x| ≥ a⇔ x ≤ −a oppure x ≥ a⇔ x ∈ (−∞, a] ∪ [a,+∞).


Radice n–esima

Una conseguenza della proprieta R4).

Ricordiamo che per ogni x ∈ R ed n ∈ N \ {0} xn = x · · · · · x︸︷︷︸n volte

.

Teorema (esistenza della radice n-esima)

Sia y ∈ R, y > 0 e n ∈ N, n ≥ 1. Esiste uno ed un solo numero reale

x > 0 tale che

xn = y.

Tale numero x si chiama radice n–esima di y e si denota con il simbolo

n√y oppure y

1n .

Si noti che per ogni y ∈ R √y2 = |y|.


Radice n–esima

Cosa accade se y ≤ 0?

Se y = 0 e n ∈ N \ {0}, l’eq. xn = 0 ammette come unica sol. x = 0.

Dato y ∈ R, y < 0 e n pari, l’eq. xn = y non ammette sol.

Dato y ∈ R, y < 0 e n dispari, osserviamo che(− n√(−y)

)n= (−1)n ·

(n√

(−y))n

= −(−y) = y

cioe x = − n√(−y) risolve l’eq. xn = y.

Quindi ha senso definire la radice n–esima di y come

n√y = − n

√(−y).


Rappresentazione decimale della radice n-esima

Cerchiamo l’allineamento decimale di√2:√2 = a0, a1a2a3 . . .

12 = 1 22 = 4 ⇒ a0 = 1

(1, 4)2 = 1, 96 (1, 5)2 = 2, 25 ⇒ a1 = 4

(1, 41)2 = 1, 9881 (1, 42)2 = 2, 0164 ⇒ a2 = 1

. . . . . . . . . . . .

Sia

E− = {1, 1, 4, 1, 41, . . .}.

E− e limitato superiormente (2 e un maggiorante) quindi ammette

estremo superiore.

Si prova che √2 = supE−.


PotenzeDati a, r ∈ R si definisce la potenza di base a ed esponente r e si scrive

ar.

Caso in cui r e un numero intero.

I Se a ∈ R e r ∈ Z, r > 0

ar = a · · · · · a︸︷︷︸r volte

.

I Se a ∈ R \ {0} e r ∈ Z, r < 0 (in tal caso −r > 0)

ar =1

a−r.

I Se a ∈ R \ {0} si definisce

a0 = 1.


Potenze

Caso in cui r e un numero razionale.

I Se a ∈ R+ e r ∈ Q, r = mn , m ∈ Z, n ∈ N \ {0}

ar = amn = (am)

1n = n

√am.

I La base a puo essere negativa solo in certi casi: sia a ∈ R− e r ∈ Q,

r = mn , m ∈ Z, n ∈ N \ {0}, n dispari

ar = amn = n

√(am).


Potenze

Caso in cui l’esponente e un numero reale.

I Se a > 1 e b ∈ R+, b = b0, b1b2 · · · bn · · · , allora

ab = sup{ab0,b1b2···bn | n ∈ N

}.

I Se 0 < a < 1 (in tal caso 1/a > 1) e b > 0, allora

ab =1(1

a

)b.

I Se a > 0, a 6= 1 e b < 0 (in tal caso −b > 0)

ab =1

a−b.


Proprieta algebriche delle potenze

Siano a, b reali positivi, c, d reali qualsiasi

I a0 = 1 per ogni a 6= 0; 1c = 1 per ogni c;I ac > 0 per ogni c;I ac+d = ac · ad;I ac−d = ac/ad;I (ab)c = ab·c;I (a · b)c = ac · bc;I (a/b)c = ac/bc.


Logaritmo

I logaritmi sono legati alle soluzioni delle eq. del tipo ax = y (ove

l’incognita e x).

Teorema

Siano a, y ∈ R+, a 6= 1. Allora esiste uno ed un solo x ∈ R tale che

ax = y.

La soluzione di tale equazione si chiama logaritmo in base a di y e si

indica con il simbolo loga y.


Se y ≤ 0 l’eq. ax = y non ha soluzione.

Se a = 1 l’eq. ax = y non ha soluzione se y 6= 1, ha infinite soluzioni

se y = 1.

Proprieta algebriche dei logaritmi: per ogni a, b > 0, x, y > 0

I aloga x = x;I loga(x · y) = loga x+ loga y;I loga(x/y) = loga x− loga y;I loga x

y = y loga x y ∈ R;I logb x = loga x/ loga b;I loga a = 1;I loga 1 = 0.


Seno, coseno, tangente

In un sistema di riferimento cartesiano ortonormale, si consideri la

circonferenza goniometrica (indicata con C), cioe la circonferenza

avente centro nell’origine e raggio 1 (di equazione x2 + y2 = 1).

Un numero x ∈ [0, 2π[ si dice ampiezza dell’angolo AOP se x e la

lunghezza dell’arco AP , ove A = (1, 0).

AO

P


Seno, coseno, tangente

Si definiscono coseno e seno di x (e si scrive cosx e senx) come le

coordinate del punto P :

P = (cosx, senx).

Si possono definire senx e cosx per ogni x ∈ R, nel seguente modo:{cos(x+ 2kπ) = cosx ∀x ∈ [0, 2π[, ∀k ∈ Zsen(x+ 2kπ) = senx ∀x ∈ [0, 2π[, ∀k ∈ Z.

Si definisce la tangente di x (e si scrive tg x) come

tg x =senx

cosxx 6= π

2+ kπ, k ∈ Z.


Alcuni valori da ricordare

gradi 0 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦

radianti 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3/2π 2π

radianti 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3/2π 2π

seno 0 1/2√2/2

√3/2 1 0 −1 0

coseno 1√3/2

√2/2 1/2 0 −1 0 1


Proprieta di seno e coseno

Per ogni x, y ∈ R| cosx| ≤ 1, | senx| ≤ 1;

sen2 x+ cos2 x = 1;

cos(x± y) = cosx cos y ∓ senx sen y;

sen(x± y) = senx cos y ± cosx sen y;

sen2 x = (1− cos(2x))/2;

cos2 x = (1 + cos(2x))/2;

sen(2x) = 2 senx cosx;

cos(2x) = cos2 x− sen2 x = 1− 2 sen2 x = 2 cos2 x− 1.


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