Controrelazione su:

Interpretazione e didattica della matematica

Una prospettiva ermeneutica

Francesca Ferrara

Università di Torino

Mirko Maracci

Università di Siena

Piano dell’opera

Ermeneuticavs

epistemologiaSemiotica

Pre-supposizioni

Immagini

Artefatto

Cultura

Prospettiva ermeneutica

Cosa si intende per prospettiva ermeneutica?

Cosa apporta alla/comporta per la didattica della matematica?

ricerca in didattica della matematica

pratica didattica

Cosa si intende per ermeneutica?L’ermeneutica è la dottrina del comprendere:

quel processo nel quale noi conosciamo un’interiorità sulla base dei segni che ci sono dati sensibilmente dall’esterno (Jung, 2002; Dilthey, 1986).

L’ermeneutica è essa stessa ‘solo interpretazione’ (Vattimo, 2002).

Dunque se non si sono segni da interpretare non c’è alcunché da comprendere.

Ermeneutica

Semiotica

… verso quale semiotica?

Peirce? Saussure? Vygotskij?

Sono tutte ugualmente compatibili/coerenti con un approccio ermeneutico?

Cosa vuol dire che due teorie o approcci sono compatibili o coerenti? (CERME6, Plenary Panel on Theories, Monaghan)

Quale visione della matematica e dell’apprendimento della

matematica si portano dietro questi approcci?

Non mi ritrovo con la prospettiva epistemologica di Peirce (Bagni)

Assume l’esistenza di una logica oggettiva L’individuo è una sorta di astrazione

Epistemologia vs Ermeneutica (Rorty) “Discorso normale” condotto all’interno di un sistema condiviso di

convenzioni su cosa sia:un contibuto rilevanteuna risposta ad una domandaun buon argomento…

“discorso anormale”condotto in assenza di un tale sistema

contributi c

ommensurabili

vs

contributi in

commensurabili

Quale discorso? Qual è il tema del

discorso? La matematica

(savoir à enseigner) La matematica

(savoir savant) La matematica

(savoir de l’élève) La didattica della

matematica

Chi sono gli attori? Quali sono le voci? Allievi Insegnanti Artefatti Ricercatori in didattica Matematici Policy-makers

Qual è il contesto del discorso? La classe La scuola La Scuola La ricerca

Assumere una prospettiva ermeneutica Chi? In relazione a cosa?

Ricercatori in didattica della matematica rispetto all’insegnamento/apprendimento della matematica

Ricercatori in didattica della matematica rispetto alla matematica

Ricercatori in didattica della matematica rispetto alla ricerca in didattica della matematica

Insegnanti rispetto alla propria attività di insegnamento

…

Assumere una prospettiva ermeneutica Chi? In relazione a cosa?

Ricercatori in didattica della matematica rispetto all’insegnamento/apprendimento della matematica

Ricercatori in didattica della matematica rispetto alla matematica

Ricercatori in didattica della matematica rispetto alla ricerca in didattica della matematica

Insegnanti rispetto alla propria attività di insegnamento

…

Una prospettiva ermeneutica in/sulla ricerca in didattica della matematicaSembra mancare “sistema condiviso di

convenzioni…” che è proprio del “discorso normale”.

Il discorso in ricerca della didattica della matematica è anormale.

La prospettiva ermeneutica più che una scelta appare una necessità.

Possiamo andare oltre?

Una prospettiva ermeneutica in/sulla ricerca in didattica della matematicaProliferare di quadri teorici, di approcci…

Frammentazione che mina: il nostro costituirsi in una comunità, i rapporti con altre comunità (insegnanti, matematici, policy-makers), l’impatto sul mondo della Scuola.

Molti sforzi si stanno compiendo per affrontare questa frammentazione.

(CERME 4, 5 e 6; ZDM, 2008; Progetti di ricerca: TELMA, ReMath)

Cosa vuol dire porsi di

fronte a questo problema

assumendo una prospettiva

ermeneutica?

Una prospettiva ermeneutica in/sulla ricerca in didattica della matematical’ermeneutica coglie le relazioni tra i vari

discorsi, come tra le linee di una possibile conversazione, una conversazione che non presuppone matrici disciplinari comuni ai parlanti, ma fin che dura mantiene la speranza dell’accordo. Questa speranza non punta alla scoperta di un terreno comune esistente in precedenza, ma semplicemente all’accordo, o almeno a un disaccordo stimolante e fruttuoso. (Rorty)

È necessario riconoscere l’esistenza

di contributi tra loro incommensurabili, ma non necessariamente

incompatibili.

Assumere una prospettiva ermeneutica Chi? In relazione a cosa?

Ricercatori in didattica della matematica rispetto all’insegnamento/apprendimento della matematica

Ricercatori in didattica della matematica rispetto alla matematica

Ricercatori in didattica della matematica rispetto alla ricerca in didattica della matematica

Insegnanti rispetto alla propria attività di insegnamento

…

Una prospettiva ermeneutica sulla matematica ed il suo insegnamento“contribuirà[anno] ad allontanarci da una

concezione di una matematica assolutamente “oggettiva” “da tramandare”

Paradigma messo in discussione non da ora.

Quale alternativa?

Cosa vuol dire per un insegnante assumere

una prospettiva ermeneutica?

Indipendente da: soggetti, contesto socio-culturale, momento storico

Una prospettiva ermeneutica sulla matematica

allontanarci da una concezione di una matematica assolutamente “oggettiva”, cioè di una matematica indipendente da: soggetto, contesto socio-culturale, momento storico.

Non esiste una conoscenza “intrinsecamente corretta”; ogni conoscenza in quanto tale ha un carattere provvisorio (Balacheff).

La matematica esiste come

oggetto istituzionalizzato (o

istituzionale) (Chevallard)

Una prospettiva ermeneutica sulla matematica

Matematica come oggetto istituzionalizzato

M dei matematici

M degli educatori

M dei policy-makers

M dei Test: PISA, TIMSS, INVALSI

M dei manuali e delle case editrici

Una prospettiva ermeneutica sulla matematica

Matematica come oggetto istituzionalizzato

M dei matematici

M degli educatori

M dei policy-makers

M dei Test: PISA,TIMSS, INVALSI

M dei manuali e delle case editrici

Non si può prescindere da questa considerazione.

Non esiste una scelta obbligata.Non c’è identità di vedute nella

ricerca internazionale:(TDS+IA+ATD vs

Costruzionismo alla Papert)

Quale discorso? Qual è il tema del

discorso? La matematica

(savoir à enseigner) La matematica

(savoir savant) La matematica

(savoir de l’élève) La didattica della

matematica

Chi sono gli attori? Quali sono le voci? Allievi Insegnanti Artefatti Ricercatori in didattica Matematici Policy-makers

Qual è il contesto del discorso? La classe La scuola La Scuola La ricerca

Quali costrutti specifici?

Specifici di un approccio ermeneutico Strumento per un’analisi ”più fine”

Emergenza di costrutti specifici Incompatibilità

Incommensurabilità

Irriducibilità

Circolo ermeneutico

Presupposizione

Pre-supposizioni e circolo ermeneutico L’individuo deve essere considerato in un

dato momento in un dato contesto socio culturale ed è caratterizzato da proprie pre-supposizioni.

Tali pre-supposizioni guidano il rapportarsi dell’individuo con il mondo.

Pre-supposizioni non sono definitive ma possono essere arricchite, approfondite, trasformate dal rapporto con il mondo.

Pre-supposizioni conoscenze anteriori:

si apprende con e contro le proprie conoscenze anteriori (Castela, Bachelard)

concezioni (ck¢ Balacheff), any knowing has a provisional character, or rather, any knowing could be revisited, its domain of validity can be modified as a result of some perturbation

intuizioni (Fischbein), discorso matematico ed elementi del discorso

che acquisiscono significato uno dall’altro discorso della matematica come sistema autopoietico

(Sfard)

Pre-supposizioni e circolo ermeneutico Strumento di analisi di … ? Strumento di

progettazione di … ? Per/da chi? Quale livello di granularità?

Esempio

bacchette cinesi

Un esempio: le bacchette cinesiRispetto alla granularità, le pre-supposizioni

possono essere considerate…

da un punto di vista olistico : dicono qualcosa sull’intero processo di costruzione di conoscenza?

da un punto di vista analitico: dicono qualcosa sui processi cognitivi in atto?

Le bacchette cinesi: problema 1 “bisogna toglierli, cavarne più che si può” “Va bene, sì, ne abbiamo cavati tanti” “si riesce quando due diventano uguali”

“bisogna toglierli, cavarne più che si può” “Va bene, sì, ne abbiamo cavati tanti” “si riesce quando due diventano uguali”

INDICALITÀ ICONICITÀ

Assenza concreta delle bacchette Valutazione dell’assenza di bacchette

Le bacchette cinesi: problema 1

Una possibile interpretazione

“bisogna toglierli, cavarne più che si può” (prima presupposizione)

“Va bene, sì, ne abbiamo cavati tanti” (seconda presupposizione)

“Via i B, con quelli di sopra siamo a posto” (terza presupposizione - decisiva)

“si riesce quando due diventano uguali” (quarta presupposizione - generalità)

QUANDO FERMARSI?

TANTI QUANTI?

ASSENZA DI STRATEGIA

STRATEGIA EFFICACE

PROBLEMA 1

Le bacchette cinesi: problema 2 “non si può togliere questi da quelli, non ce

ne sono abbastanza lì” “stavolta ci han dato un esercizio impossibile” “però se li aumentiamo … con l’altra, si può

moltiplicare questi cioè … sì … finché non diventano abbastanza”

“bisogna far diventare questo uguale a questi!”

Una possibile interpretazione

“non si può togliere questi da quelli, non ce ne sono abbastanza lì” (prima presupposizione)

“stavolta ci han dato un esercizio impossibile” (seconda presupposizione)

“però se li aumentiamo … con l’altra, si può moltiplicare questi cioè … sì … finché non diventano abbastanza” (terza presupposizione - decisiva)

“bisogna far diventare questo uguale a questi!” (quarta presupposizione - generalità)

COME OPERARE?

ASSENZA DI STRATEGIA

STRATEGIA EFFICACE

PROBLEMA 2

IMPOSSIBILITÀ?

Le bacchette cinesi: riflessioni

Nell’esperienza descritta le potenzialità dell’artefatto dipendono dalle sue caratteristiche

semiotiche e i dati sperimentali suggerisono che l’importanza delle bacchette da calcolo (per

gli allievi considerati) è da collegarsi alla loro notevole componente iconica e a un secondario

aspetto indicale. (p. 73)

TUTTAVIA…

Aspetti importanti: artefatti (disposizione matriciale - bacchette) Qual è la trasparenza degli artefatti?

(inizialmente non trasparenti) Qual è il significato delle trasformazioni

considerate?

(trasformazioni matematiche soggiacenti) Quale concezione di incognita algebrica e di

equazione emerge?

La trasparenza degli artefatti

the transparency of any instrumental tool is an emergent phenomenon intricately interwoven with learners’

current activities and participation in specific practices, such as collaborative inquiry within

classrooms. From this perspective, artifacts become efficient, relevant, and transparent through their use

and in relation to the transformations that they undergo in the hands and dialogues of users.

Meira, L. & Peres, F. (2004). A dialogue-based approach for evaluating educational software. Interacting with Computers, 16(4), 615-633.

Latour (1987) - Lave e Wenger (1991) - Roschelle (1996) - Ainley (2000)

Aspetti importanti: le regole del gioco (schemi d’uso degli artefatti) Le possibilità creative del linguaggio vanno

ricercate nel contesto del gioco Questo gioco ha un ben definito significato

algebrico, per gli studenti? Lo scopo è quello di abbassare il numero

delle bacchette, ma gli studenti si rendono conto del significato di ciò?

Artefatti, trasparenza, schemi d’uso

MATEMATICA

SOGGETTO

ARTEFATTO

Il pericolo maggiore è che i significati matematici ai quali rimanda l’uso di un artefatto restino inaccessibili al soggetto

RUOLOINSEGNANTE

Compito / schemi d’uso

significatimatematici

sign

ificat

i

Artefatti, trasparenza, schemi d’uso

Trasparenza degli artefatti Trasparenza dei compiti pedagogici che coinvolgono gli

artefatti (riflessioni sulla progettazione) Relazione tra i soggetti e gli artefatti (schemi d’uso) Relazione tra i soggetti e il compito/problema (scelta degli

schemi d’uso) Relazione tra i soggetti e la matematica Relazione tra gli artefatti e la matematica (significati che

emergono dall’uso e significati matematici) Relazione tra gli artefatti, i soggetti e i segni Mediazione semiotica (Mariotti, Bartolini Bussi)

Aspetti importanti: Tecnica e tecnologie

… preziosa possibilità di impiegare nuove tecnologie, sempre più efficienti.

Il rischio, però, è di trovarci di fronte a una matematica “oggettificata” dalla tecnica, a una

matematica che funziona e che dunque esiste in assoluto. Per parte nostra, preferiamo rivalutare

una matematica “inventata”, naturalmente “inventata per uno scopo”, inventata in un

contesto culturale e sociale … (p. 77)

non è solo il caso delle nuove tecnologie che si porta dietro questo rischio, ma l’uso di qualsiasi tipo di artefatto

la parola tecnica e la parola tecnologia si possono allargare agli artefatti in generale (in cui allora rientrano anche le bacchette cinesi dell’esempio)

Aspetti importanti: Tecnica e tecnologie

Aspetti importanti: Procedura oggettualizzata

Nell’esempio delle bacchette cinesi, si parla di procedura oggettualizzata

Ma: la procedura è davvero oggettualizzata? Il rischio non è che sia oggettualizzata dalla

tecnica acquisita grazie alle trasformazioni operate con le bacchette?

Aspetti importanti: Procedura oggettualizzata

Quando una procedura è oggettualizzata? Lo è solo in termini della possibilità di una

sua ri-applicazione nella risoluzione di nuovi problemi?

Oppure lo è quando si coglie la matematica ad essa soggiacente?

procedura vs significato l’acquisizione di una procedura non implica

l’acquisizione dei significati matematici

Aspetti importanti: Procedura oggettualizzata

Aspetti importanti: Iconicità

importanza dell’iconicità per Peirce diversi tipi di icona: immagini, metafore,

diagrammi

Aspetti importanti: Iconicità

Esempio del meccanismo di Wittgenstein: anche qui la rappresentazione è importante. Ma accanto a questa è necessaria l’immaginazione del movimento

Tra il funzionamento fisico e la proposizione matematica si colloca la mediazione della rappresentazione visuale (p. 53)

Da un lato c’è l’immagine della macchina, dall’altro la macchina concreta in cui è incorporato il contenuto matematico

A fare la differenza è l’evocazione del meccanismo in movimento, il quale descrive fisicamente la traiettoria

TransformationalReasoning (Simon, 1996)

Immaginazione

Metafore (Lakoff & Nunez, 2000)

STATICITÀ

DINAMICITÀ

Mettendo in moto il meccanismo, il suo movimento mi prova la proposizione

Aspetti importanti: Iconicità

importanza dell’iconicità per Peirce diversi tipi di icona: immagini, metafore, diagrammi Secondo Radford, dato che il ruolo epistemologico del

“ragionamento diagrammatico” consiste nel rendere apparenti alcune relazioni nascoste, esso si collega alle azioni di oggettualizzazione, e un diagramma può essere considerato un mezzo semiotico di oggettualizzazione (pp. 67-68)

mezzo semiotico di oggettualizzazione (objectification = costruzione di nuova conoscenza)

Aspetti importanti: Iconicità

Aspetti importanti: Iconicità

Contenuti matematici di “livello elevato” (di alto grado matematico) sembrano meno suscettibili di un efficace collegamento a segni di tipo iconico, dunque sarebbero meno iconicamente consistenti. (p. 57)

Che cosa può funzionare come mezzo semiotico

di oggettificazione?

Gesti?Artefatti?Metafore?

Altri tipi di segni?

Ogni insegnante sa bene che un allievo ha sempre un “vissuto” (culturale, ma anche affettivo) che precede l’esperienza in aula e che influenza in modo a volte decisivo l’apprendimento. La nostra conclusione è

più generale: rivaluta una posizione attiva del discente, il quale nel momento interpretativo, un

momento che si rinnova continuamente, costruisce un senso al sapere in gioco. E l’insegnante è una figura chiave a tale proposito: deve infatti seguire

questa fase delicatissima con la necessaria consapevole prudenza.

Aspetti importanti: Ruolo dell’insegnante

Ogni insegnante sa bene che un allievo ha sempre un “vissuto” (culturale, ma anche affettivo) che precede l’esperienza in aula e che influenza in modo a volte decisivo l’apprendimento. La nostra conclusione è

più generale: rivaluta una posizione attiva del discente, il quale nel momento interpretativo, un

momento che si rinnova continuamente, costruisce un senso al sapere in gioco. E l’insegnante è una figura chiave a tale proposito: deve infatti seguire

questa fase delicatissima con la necessaria consapevole prudenza.

Aspetti importanti: Ruolo dell’insegnante

Aspetti importanti: Ruolo dell’insegnante

nella progettazione e nell’organizzazione delle esperienze matematiche per l’allievo (positum)

rispetto al processo di oggettualizzazione / oggettificazione

nel rendere accessibili i significati matematici (ai quali rimanda l’uso di artefatti o più in generale)

nel guidare la presa di consapevolezza da parte degli allievi dei significati emergenti

nel favorire le relazioni tra i significati emergenti e i significati matematici

Quale tipo di analisi sul ruolo dell’insegnante può fornire un approccio ermeneutico?

Ci sono elementi di analisi specifici? Le azioni dell’insegnante rispetto alla gestione del

circolo ermeneutico? Se e come interviene? Con quale obiettivo?

Aspetti importanti: Ruolo dell’insegnante

Grazie a tutti per l’attenzione

&

Grazie a Giorgio