Control Automatico´ I€¦ · Control Automatico´ I Notas basadas principalmente en Goodwin...

Control Automatico I

Notas basadas principalmenteen Goodwin et˜al. [2001]

Por Virginia Mazzone

INGENIERIA EN AUTOMATIZACION Y CONTROL INDUSTRIALhttp://iaci.unq.edu.arUniversidad Nacional de QuilmesRoque Saenz Pena 352, BernalBuenos Aires, Argentina

Notas de CAUT1 - II

Indice general

3. Modelos Matematicos en Control 13.1. El por que de los modelos matematicos en control . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Complejidad de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3. Construccion de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4. Modelos en Espacio de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.4.1. Caso General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.4.2. Espacio de Estado Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.5. Linealizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.6. Escalamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.7. Resumen de tipos de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.8. Mas ejemplos de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4. Senales y Sistemas de Tiempo Continuo 174.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2. Funciones transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.1. Modelo en ecuacion diferencial de orden superior . . . . . . . . . . . . 184.2.2. Funcion de transferencia de sistemas con retardo . . . . . . . . . . . . 194.2.3. Modelo del retardo temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3. Diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3.1. Funcion transferencia a lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3.2. Reduccion de un diagrama en bloque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.4. Graficas de flujo de senal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.5. Estabilidad de funciones transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.6. Respuesta dinamca de sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.6.1. Polos, Ceros y Respuesta Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.7. Polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.7.1. Sistema de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.7.2. Sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.7.3. Ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.7.4. Obtencion experimental de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.8. Respuesta en Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.8.1. Respuesta en Regimen Permanente a una Entrada Sinusoidal . . . . . 404.8.2. Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.8.3. Filtrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Bibliografıa 45

III

Indice general Notas de CAUT1 - IV

Indice de figuras

3.1. Circuito electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2. Modelo simplificado de un motor c.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3. Salida no lineal, ynl)(t), y linealizada, yl(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4. Pendulo invertido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.5. Diagrama de los dos cuerpos libres del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.6. Tanques interconectados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.7. Diagrama de bloques del sistema simulado para comparar los resultados . . . 133.8. Representacion en SIMULINK del sistema linealizado . . . . . . . . . . . . . . 133.9. Representacion en SIMULINK del sistema no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 143.10. Estados linealizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.11. Estados no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.12. Comparacion entre los estados aproximados y los reales . . . . . . . . . . . . 15

4.1. Aproximacion de Pade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2. Aproximacion de Pade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3. Aproximacion de Pade para un retardo unitario, con distintos valores de p =

q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.4. Diagrama en bloques a lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.5. Reglas del algebra de los diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.6. Grafica de flujo se senal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.7. Diagrama de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.8. Grafica de flujo de senal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.9. Indicadores de la respuesta escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.10. Respuesta al escalon de un s sistema de primer orden . . . . . . . . . . . . . . 294.11. Respuesta al escalon de dos sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . 294.12. Ubicacion de polos y respuesta al escalon de un sistema de segundo orden . . 304.13. Sobreerror en funcion de ξ para un sistema dado por (4.9) . . . . . . . . . . . 324.14. Respuesta a escalon variando ξ y mismoωn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.15. Respuesta a escalon variandoωn y mismo ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.16. Dinamica de un cero mas rapido que el polo mas lento . . . . . . . . . . . . . 344.17. Dinamica de un cero mas lento que el polos lento y de un cero NMF . . . . . 344.18. Dinamica de un cero mas lento que el polos lento y de un cero NMF . . . . . 354.19. Graficos de y(t) y v(t) para ver las cotas usadas en la demostracion. . . . . . . 364.20. Comparacion entre la entrada y la salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

V

Indice de figuras Notas de CAUT1 - VI

Capıtulo 3

Modelos Matematicos en Control

El diseno de un sistema de control tıpicamente requiere un delicado balance entre limi-taciones fundamentales y soluciones de compromiso. Para poder lograr esto, es necesariotener una comprension del proceso en cuestion. Esta comprension usualmente se capturaen un modelo matematico. Teniendo un modelo, es posible predecir el impacto de distintosdisenos posibles sin comprometer al sistema real.

En este capıtulo vamos a discutir brevemente como

elegir el nivel adecuado de complejidad de un modelo;

obtener modelos de una planta dada

linealizar modelos no lineales;

No discutiremos en detalle como obtener modelos matematicos en forma analıtica. Laderivacion de modelos matematicos es una disciplina compleja en sı misma, elementos dela cual se estudian, por ejemplo, en las asignaturas Procesos y Maquinas Industriales I y II.

3.1. El por que de los modelos matematicos en control

Para muchos problemas es posible encontrar un controlador adecuado simplemente me-diante prueba y error. Sin embargo, en muchos casos el enfoque de prueba y error no esfactible, debido a complejidad, eficiencia, costo, o aun seguridad.

En particular, es imposible mediante prueba y error responder a cuestiones como lassiguientes antes de hacer pruebas:

Dada una planta y un objetivo deseado de operacion, ¿que controlador puede alcan-zarlo? ¿Se puede alcanzar el objetivo propuesto con algun controlador?

Dados un controlador y una planta, ¿como operaran en lazo cerrado?

¿Por que un lazo dado opera de la forma que lo hace? ¿Puede mejorarse? ¿Con que con-trolador?

¿Como cambiarıa la operacion si se cambiaran los parametros del sistema, o si las per-turbaciones fueran mayores, o si fallara algun sensor?

Para responder sistematicamente a estas cuestiones necesitamos modelos matematicos.Los modelos matematicos nos brindan los medios de capturar el comportamiento de

un sistema sujeto a condiciones iniciales, entradas de control y perturbaciones mediante unconjunto de ecuaciones matematicas.

3. Modelos Matematicos en Control Notas de CAUT1 - 2

La importancia de los modelos matematicos radica en que pueden sersimulados en situaciones hipoteticas,

ensayados en estados que serıan peligrosos en el sistema real, y

usados como base para sintetizar controladores.

Decidir cual es un modelo nominal sensible no suele ser facil. Por el momento, diagamosque se debe capturar las caracterısticas de control pertinentes de la dinamica de la planta yno lineales de la planta.

Ejemplo 3.1. Considere un tubo donde el flujo de agua debe ser controlado. A tal efecto, unavalvula esta instalada y el control de entrada u(t) es la senal que conduce el posicionadorde la valvula. Suponiendo que la tuberıa esta siempre llena de agua, entonces es claro que elmodelo de esta planta esta dominada por la dinamica de la valvula, ya que es la unica fuentede la dinamica en el problema. La rigidez de la valvula y la saturacion podrıa ser problemasimportantes para este problema de control.

3.2. Complejidad de modelos

Al construir un modelo es importante tener en cuenta que todo proceso real es complejo,por lo que cualquier intento de construir una descripcion exacta de la planta es usualmenteuna meta imposible de alcanzar.

Afortunadamente, la realimentacion usualmente nos permite tener exito aun con mode-los muy simples, siempre y cuando estos capturen las caracterısticas esenciales del proble-ma.

Es importante destacar que los modelos empleados para control usualmente difieren delos utilizados, por ejemplo, para diseno del proceso.

Los sistemas reales pueden ser arbitrariamente complejos, por lo que todo modelo de-bera ser necesariamente una descripcion aproximada del proceso. Introducimos tres defini-ciones para clarificar este enunciado.

Modelo nominal. Es una descripcion aproximada de la planta que se usa para el diseno decontrol.

Modelo de calibracion. Es una descripcion mas exhaustiva de la planta. Incluye caracterısti-cas no usadas en el diseno de control pero que tienen directa influencia en el desem-peno alcanzado.

Error de modelo. Es la diferencia entre el modelo nominal y el modelo de calibracion. Losdetalles de este error podrıan ser desconocidos, pero podrıan disponerse de cotas apro-ximadas.

3.3. Construccion de modelos

Para la construccion de modelos dos enfoques diferenciados :

Experimental. Se basa en pensar al sistema como una caja negra. En este enfoque se postulauna determinada estructura de modelo, a la que que se varıan los parametros, bien vıaprueba y error, o bien vıa algun algoritmo, hasta que la el comportamiento dinamicodel modelo se ajusta al observado en la planta mediante ensayos.


Analıtico. Se basa en el uso de leyes fısicas (conservacion de masa, energıa y momento).El modelo se obtiene a partir de las leyes fenomenologicas basicas que determinan lasrelaciones entre todas las senales del sistema.

En la practica, es comun combinar una caja negra y las leyes para construir un modelo.Las leyes fısicas a menudo son cruciales para comprender las principales dinamicas (inclu-yendo caracterısticas dominantes), no lineales y un tiempo considerable variaciones en unsistema dado. Por lo tanto, ayudara a tomar una decision inicial sobre la complejidad delmodelo. Por otro lado, el enfoque de caja negra permite ajustar los modelos de secciones dela planta donde las leyes fısica son complejas.

Ejemplo 3.2. Consideremos un tanque cilındrico de area A que descarga a traves de un ori-ficio en el fondo. Los principios fısicos indican que el flujo de descarga q2 puede modelarserazonablemente como q2(t) = K

√h(t), donde h es el nivel de lıquido en el tanque y K una

constante a determinar, por ejemplo, usando principios fısicos.

Figura de Dorf & Bishop (2000).

Por ejemplo, se mide h(t) cada T segun-dos, donde T se elige tal que la varia-cion |h(t) − h(t − T)| sea pequena. Ası,q2(t) ≈ |h(t)− h(t− T)|A/T, y K podrıaestimarse haciendo una regresion linealde q2(t) sobre

√h(t) para distintos va-

lores de t.

Vemos en este ejemplo como el modelo final combina conocimiento fısico con medicionesexperimentales.

Los modelos relevantes en control son a menudo bastante simples encomparacion al proceso verdadero, y usualmente combinan razonamien-to fısico con datos experimentales.

Otra consideracion de relevancia practica es la inclusion del actuador en el proceso demodelado. Los actuadores son, en general, bastante alineales, y usualmente tienen su propiadinamica que, a veces, puede hasta dominar otras caracterısticas del proceso (como suelepasar con valvulas, actuadores hidraulicos, rectificadores controlados)

Ası, de aquı en mas, cuando nos refiramos al modelo de la planta, entenderemos que estemodelo tambien incluye los actuadores, cuando sea necesario.

3.4. Modelos en Espacio de Estado

Una herramienta muy utilizada para modelar plantas es la descripcion en variables de es-tado. Las variables de estados forman un conjunto de variables internas, tal que si se conocenestas variables en algun momento, cualquier salida de la planta y(t) se puede calcular paratodo tiempo futuro, como funcion de las variables de estado y valores presentes y futurosde la entrada


3.4.1. Caso General

Si expresamos el vector de variables de estado elegido x, la forma general de un modeloen espacio de estado viene dado por

Para sistemas de tiempo continuo

dxdt

= f (x(t), u(t), t)

y(t) = g(x(t), u(t), t)

Para sistemas de tiempo discretos

x[k + 1] = fd(x[k], u[k], k)y[k] = gd(x[k], u[k], k)

Dado que la descripcion en espacio de estado es una ecuacion diferencial vectorial de primerorden, facilita la solucion numerica a varios problemas de control.

3.4.2. Espacio de Estado Lineal

Decimos que un sistema es lineal si cumple con el principio de superposicion. Lo queimplica que dadas dos condiciones iniciales x01 y x02 produce respuestas h01(t) y h02(t)respectivamente con entrada nula, y con entradas u1(t) y u2(t) produce h11(t) y h12(t) res-pectivamente, con condiciones iniciales nulas. Entonces la respuesta a entrada u1(t) + u2(t)con condiciones iniciales x01 + x02 es h01(t) + h02(t) + h11(t) + h12(t).

Decimos que un sistema es invariante en el tiempo si la respuesta a una entrada corridaen el tiempo es simplemente la respuesta original corrida en el tiempo, es decir, si una en-trada u1(t) produce una respuesta g1(t), luego una entrada u2(t) = u1(t + τ) produce unarespuesta g2(t) = g1(t + τ).

Para el caso lineal e invariante en el tiempo, el espacio de estado viene dado por

dx(t)dt

= Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)(3.1)

donde A, B, C y D son matrices de dimension apropiada.Veamos un ejemplo de construccion del espacio de estado para un cicuito electrico.

Ejemplo 3.3. Consideremos el circuito electrico de la Figura 3.1, y modelemos la tensionv(t).

+R1

CL

i(t)

v f (t) R2 v(t)

Figura 3.1: Circuito electrico

Aplicando mayas y Kirchoff obtenemos las ecuaciones


v(t) = Ldi(t)

dtv f (t)− v(t)

R1= i(t) + C

dv(t)dt

+v(t)R2

que reordenando resulta

di(t)dt

=1L

i(t)

dv(t)dt

= − 1C

i(t) +(

1R1C

+1

r2C

)(t) +

1R1C

v f (t)(3.2)

Las Ecuaciones (3.2) tienen la misma forma que las Ecuaciones (3.1) si elegimos comovariables de estado x1(t) = i(t) y x2(t) = v(t), es decir el vector de estado resulta x(t) =[x1(t) x2(t)

]T y la salida y = v(t) = x2(t). Si expresamos (3.2) en forma matricial tenemos

A =

[0 1

L− 1

C −(

1R1C + 1

R2C

)] ; B =[

01

R1C

]; C =

[0 1

]; D = 0

Ejemplo 3.4. Consideremos un motor de corriente continua. Sea va(t) la tension del circuitode armadura, θ(t) el angulo de salida. Un diagrama esquematico de este sistema es el quese muestra en la Figura 3.2.

R

ia(t)θ(t)

va(t)vw(t)

Figura 3.2: Modelo simplificado de un motor c.c

SeaJ - la inercia del ejeτe(t) - el torque electricoia(t) - corriente del armadurak1, k2 - constantesR - resistencia del armadura

Aplicando los principios de la fısica, las variables estan relacionados por 1

Jθ(t) = τe(t) = k1ia(t)vω(t) = k2θ(t)

ia(t) =va(t)− k2θ(t)

Rque combinando estas ecuaciones dan lugar a la ecuacion diferencial de segundo orden

Jθ(t) = k1va(t)− k2θ(t)

R. (3.3)

Para expresar la ecuacion (3.3) en espacio de estado, basta con elegir como variables deestados a x1(t) = θ(t) y x2(t) = θ(t). Ahora el modelo (3.3) puede ser expresado como[

x1(t)x2(t)

]=

0 1

0 −k1k2

RJ

[x1(t)x2(t)

] 0k1

RJ

(3.4)

1Para mas detalle ver ejemplo2.2 pp 42 y 43 de Franklin et˜al. [1991]


3.5. Linealizacion

Aunque casi todo sistema real tiene caracterısticas no lineales, muchos sistemas puedendescribirse razonablemente por modelos lineales — al menos dentro de ciertos rangos deoperacion.

Como normalmente un sistema de control opera en las cercanıas de un equilibrio, sehace una linealizacion alrededor de este equilibrio. El resultado es un modelo lineal, muchomas simple, pero adecuado para el diseno de control.

Para un mismo sistema no lineal, la linealizacion alrededor de distintos puntos de equi-librio dara, en general, distintos modelos linealizados.

Consideramos la linealizacion del modelo general en ecuaciones de estado

x(t) = f(x(t), u(t)

)y(t) = g

(x(t), u(t)

) (3.5)

alrededor de un punto de equilibrio, o punto de operacion.Un punto de equilibrio esta definido por un triplo de valores constantes (x∗, u∗, y∗) que

satisfacen

0 = f(x∗, u∗

)y∗ = g

(x∗, u∗

).

Vamos a considerar la linealizacion del sistema alrededor de un punto de equilibrio (alter-nativamente, tambien podrıa ser alrededor de una trayectoria).

Si las funciones f y g son suficientemente regulares, las ecuaciones (3.5) pueden aproxi-marse por

x(t) ≈ f (x∗, u∗) +∂ f∂x

∣∣∣∣x∗ ,u∗

∆x(t) +∂ f∂u

∣∣∣∣x∗ ,u∗

∆u(t),

y(t) ≈ g(x∗, u∗) +∂g∂x

∣∣∣∣x∗ ,u∗

∆x(t) +∂g∂u

∣∣∣∣x∗ ,u∗

∆u(t),(3.6)

donde ∆x(t) .= x(t)− x∗ y ∆u(t) .= u(t)− u∗.Como f (x∗, u∗) = 0 = x∗ y g(x∗, u∗) = y∗, de (3.6) obtenemos finalmente el sistema

(incremental) linealizado

∆x(t) = A ∆x + B ∆u∆y = C ∆x + D ∆u.

(3.7)

Si las variables x ∈ Rn, u ∈ Rm, y ∈ Rp, entonces A, B, C, D son matrices — las matricesJacobianas de f y g evaluadas en el punto de operacion, es decir,

A .=∂ f∂x

∣∣∣∣x∗ ,u∗∈ Rn×n, B .=

∂ f∂u

∣∣∣∣x∗ ,u∗∈ Rn×m, C .=

∂g∂x

∣∣∣∣x∗ ,u∗∈ Rp×n, D .=

∂g∂u

∣∣∣∣x∗ ,u∗∈ Rp×m.

(3.8)Si las variables x, u, e y son escalares (o sea, ∈ R), entonces A, B, C y D son tambien

escalares y representan las pendientes de las superficies f y g en el punto de operacion.

Ejemplo 3.5. Consideremos un sistema cuyo modelo viene dado por

dx(t)dt

= f (x(t), u(t)) = −√

x(t) +(u(t))2

3(3.9)


Supongamos que la entrada u(t) varıa alrededor de u = 2. Hallar un punto de operacioncon u∗ = 2 y linealizar el modelo alrededor de este.

El punto de operacion se calcula de (3.9) con u∗ = 2 y dx(t)dt = 0, es decir

√x∗ − (u∗)2

3= 0 ⇒ x∗ =

169

Ahora el modelo linealizado es el desarrollo de Taylor de (3.9)

d∆x(t)dt

= − 12√

x∗∆x(t) +

2u∗

3∆U(t)

= −38∆x(t) +

43∆u(t)

Podemos apreciar el comportamiento cualitativo de la aprximacion lineal comparando lasimulacion de ambos considerando como entrada una constante igual a 2 mas un incrementocuya amplitud varıa, Figura 3.3. Podemos ver que el error de linealizacion aumenta cuandoes sistema se aleja del punto de operacion alrededor del cual se linealizo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

Tiempo [seg.]

u(t)

ynl(t)

yl(t)

Figura 3.3: Salida no lineal, ynl)(t), y linealizada, yl(t).

Los modelos lineales da un comportamiento cualitativo de los sistemas no linea-les alrededor de los puntos de operacion. Esto nos permite utilizar estrategias decontrol lineal, con el debido cuidado de no apartarse demasiado del punto de ope-racion.

Veamos otro ejemplo, un poco mas complejo que el anterior, de dos variables de estado.

Ejemplo 3.6. Levitador magnetico. La Figura 3.6 muestra el esquema de un sistema de sus-pension magnetica, en el que una bola de material ferromagnetico de masa m se “levita”mediante un electroiman controlado por fuente de corriente. donde g es la aceleracion de lagravedad, y(t) es la posicion de la bola, e i(t) la corriente de excitacion del electroiman. Losparametros L0 y a son constantes positivas.


i

m

y

v

mg

El movimiento de la bola se puede aproximar por laecuacion diferencial no lineal

y(t)− g +L0a

2m(a + y(t))2 [i(t)]2 = 0, (3.10)

Deseamos obtener un modelo incremental linealizado alrededor de un punto de equili-brio definido por la corriente i(t) = i∗.

Punto de equilibrio. En el punto de equilibrio inducido por la corriente constante i(t) = i∗,necesariamente y(t) = constante, es decir, y(t) = 0 = y(t). Ası, de (3.10) obtenemos

0 =L0a

2m(a + y∗)2 [i∗]2 − g ⇒ y∗ =

√L0a2mg

i∗ − a.

Ecuaciones de estado NL. Definiendo las variables de estado x1.= y, x2

.= y, y la entradau .= i, obtenemos de (3.10) las ecuaciones de estado en la forma (3.5),

[x1(t)x2(t)

]=

x2(t)

g− L0a2m(a + x1(t))2 [u(t)]2

=[

f1(x2(t))f2(x1(t), u(t))

]y(t) = x1(t) = g(x1(t)).

(3.11)

Jacobianos y modelo linealizado.

∂ f∂x

=

∂ f1∂x1

∂ f2∂x2

∂ f2∂x1

∂ f2∂x2

=

0 1L0au2

m(a + x1)3 0

,∂g∂x

=[

∂g∂x1

∂g∂x2

]=[1 0

]∂ f∂u

=

∂ f1∂u∂ f2∂u

=

0

− L0aum(a + x1)2

,∂g∂u

= 0

Con los valores numericos L0 = 0,01H, a = 0,05m, m = 0,01kg, g = 9,81m/s2, y i∗ = 2A,obtenemos y∗ = 0,050963. Con x1 = y∗ y u = i∗ en (4.4), obtenemos el modelo incrementallineal

∆x =[

0 1194,327 0

]∆x +

[0

−9,81

]∆u

∆y(t) =[1 0

]∆x.

3.6. Escalamiento

Un factor importante antes de trabajar con un modelo es hacer una buena seleccion delos factores de escala (unidades) para las variables y el tiempo 2 .

Un buen escalamiento hara los calculos mas simples y mas precisos y disminuira enor-memente los problemas de simulacion en computador.

2Ver §2.6 en Franklin et˜al. [1991]


Ejemplo 3.7. Volvamos al ejemplo anterior para ilustrar el procedimiento en concreto. Lasecuaciones del sistema incremental lineal obtenido pueden escribirse de la forma

∆x1 = ∆x2

∆x2 = 194,327∆x1 − 9,81∆u.(3.12)

Para este sistema tan simple las magnitudes de los parametros no estan tan mal, peroaun ası es bueno en la practica tratar de tener constantes entre 0,1 y 100, o entre 0,1 y 10 sies posible, mediante una cuidadosa seleccion de escala, es decir las unidades en que medirlas variables.

Definamos las variables normalizadas

z1 =∆x1

x01, z2 =

∆x2

x02, v =

∆uu0

, τ =ω0t. (3.13)

El escalamiento de tiempo cambia la diferenciacion:

d∆xdt

=d∆x

d(τ/ω0)= ω0

d∆xdτ

.

Este escalamiento en ∆x1 y ∆x2 y el uso de (3.19) en (3.25) da

(ω0x01)dz1

dτ= x02 z2

(ω0x02)dz2

dτ= (194,327x01) z1 − (9,8u0)v,

o sea,

dz1

dτ=

x02

ω0x01z2

dz2

dτ=

194,327x01

ω0x02z1 −

9,8u0

ω0x02v.

Si tomamos la posicion en cm, resulta x01 = 0,01; la velocidad en dm/s da x02 = 0,1. Ası, sielegimosω0 = 10, tenemos

dz1

dτ= z2

dz2

dτ= 1,94327 z1 − (9,81u0)v.

Finalmente, tomando u0 = 1/9,81 = 0,102, llegamos al sistema normalizado

dz1

dτ= z2

dz2

dτ= 1,94327 z1 − v,

que es un modelo con parametros bastante mejor escalados que el original. Mucho mejor pa-ra manipulacion y simulacion digital. Cualitativamente, ambos modelos son equivalentes.


3.7. Resumen de tipos de modelos

Los modelos se clasifican de acuerdo a propiedades de las ecuaciones en la que se basan.Por ejemplo:

Atributo Atributo antagonico Determina si. . .SISO MIMO . . . las ecuaciones del modelo tienen una

entrada y una salida.Lineal No lineal . . . las ecuaciones del modelo son linea-

les en las variables del sistema.Invariante en el tiempo Variante en el tiempo . . . los parametros del modelo son cons-

tantes.Continuo Discreto . . . las ecuaciones del modelo describen

su comportamiento en cada instante detiempo, o solo en muestras discretas.

Entrada-salida Espacio de estados . . . las ecuaciones dependen solo de lasentradas y las salidas, o tambien de va-riables de estado.

3.8. Mas ejemplos de modelos

Los ejemplos que presentamos a continuacion fueron obtenidos de los ejemplos de unode los Tutoriales de Control para MATLAB de la Carnagie Mellon University (http://www.engin.umich.edu/group/ctm/). Antes de estudiar dichos modelos, repasemos las si-guientes definiciones:

Un modelo matematico de un sistema dinamico se define como un conjunto de ecua-ciones que representan la dinamica del sistema con precision o, al menos, bastantebien.

La funcion transferencia de un sistema descrito mediante una ecuacion diferencial li-neal e invariante en el tiempo (LTI) se define como el cociente-entre la transformadade Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada bajo la suposicionde que todas las condiciones iniciales son nulas.

Ejemplo 3.8. La Figura 3.4 muestra un carro con un pendulo invertido, impulsado por unafuerza F. Determinar las ecuaciones dinamicas del movimiento, y linealizar alrededor delangulo del pendulo, θ = 0.

x

θm, I

F m

Figura 3.4: Pendulo invertido


Si calculamos la sumatoria de las fuerzas en el diagrama de cuerpos libres, Figura 3.5,del carro en la direccion horizontal, obtenemos la siguiente ecuacion de movimiento:

Mx + bx + N = F (3.14)

m, I

F

P

θ

xx

N

P

Iθx

mgN

bx

Iθ2

lm

Figura 3.5: Diagrama de los dos cuerpos libres del sistema

Si ahora calculamos la sumatoria de las fuerzas del pendulo del diagrama de cuerposlibres en la direccion horizontal, obtenemos una ecuacion para N

N = mx + mlθ cosθ−mlθ2 sinθ (3.15)

Si sustituimos (4.4) en la ecuacion (4.1), obtenemos la primer ecuacion de este sistema

(M + m)x + bx + mlθ cosθ−mlθ2 sinθ = F (3.16)

Para obtener la segunda ecuacion de movimiento, sumemos las fuerzas perpendicularesal pendulo. Resolviendo el sistema a lo largo de este eje obtenemos la siguiente ecuacion

P sinθ+ N cosθ−mg sinθ = mlθ+ mx cosθ (3.17)

Para deshacernos de los terminos P y N de (3.9), sumemos los momentos alrededor delcentro del pendulo para obtener

−Pl sinθ− Nl cosθ = Iθ (3.18)

Combinando (3.9) y (3.25), obtenemos la segunda ecuacion dinamica

(I + ml2)θ+ mgl sinθ = −mlx cosθ (3.19)

Ahora linealicemos las ecuaciones (4.5) y (3.19) alrededor de θ = π . Si suponemos queel pendulo se mueve unos pocos grados alrededor de π , podemos aproximar cosθ = −1,sinθ ' −θ y θ2 ' 0. Por lo que las dos ecuaciones linealizadas son

mlx =(I + ml2)θ−mglθ

F =(M + m)x + bx + mlθ(3.20)

Para obtener la funcion de transferencia del sistema linealizado, es necesario calcularla transformada de Laplace del sistema de ecuaciones diferenciales (3.20). Notar que estesistema tiene dos salidas, x(t) y θ(t), pero si es nuestro interes controlar el angulo θ, consi-deremoslo nuestra salida. Ası nuestra fucnion de transferencia resulta

Θ(s)F(s)

=mlq s

s3 + b(I+ml2)q s2 − (M+m)mgl

q s− bmglq

con q = [(M + m)(I + ml2)−ml2]


Ejemplo 3.9. La Figura 3.6 muestra un sistema de tanques interconectados cuyo objetivoes modelar y linealizar alrededor del punto de opreacion dado por un caudal de entradaconstante Q.

h1

qi

qo

bomba2

bomba 1

h2

q12

Figura 3.6: Tanques interconectados

Planteamos las ecuaciones de conservacion de masa. Suponiendo que el area A de lostanques es constante, y la misma en ambos tanques, tenemos que

dh1(t)dt

=1A

(qi − q12) ydh2(t)

dt=

1A

(q12 − qo) (3.21)

donde qi es el caudal de entrada al primer tanque, q12 el caudal entre tanques, y qo el caudalde salida del segundo tanque. Las alturas de nivel de lıquido en los tanques son h1 y h2.

El flujo q12 entre los dos tachos puede ser aproximado por la velocidad del caudal encaıda libre de la diferencia de altura entre los tanques por el area de seccion. Ası,

q12 = As

√2g(h1(t)− h2(t)) = k

√h1(t)− h2(t) y qo = k

√h2(t), (3.22)

donde k = As√

2g.Por lo que si reemplazamos (3.22) en (3.21)), obtenemos las siguientes ecuaciones de

estados

[h1h2

]=

1A

(qi − k

√h1(t)− h2(t)

)1A

(k√

h1(t)− h2(t)− k√

h2

) =[

F1(h, qi)F2(h, qi)

]= F(h, qi) (3.23)

Fijando el caudal de entrada en el valor constante qi = Q y resolviendo las ecuacionesalgebraicas que surgen de (3.23) con h = 0, obtenemos el punto de equilibrio h

h1 = 2h2 y h2 =(

Qk

)2

⇒ h1 = 2(

Qk

)2

. (3.24)

Ahora linealizaremos el sistema (3.23) alrededor de (4.4); para ello calculamos los Jaco-bianos correspondientes vistos en la clase teorica.

A =∂F∂h

∣∣∣∣∣ h=hqi=Q

=

[− k

2A√

h1−h2

k2A√

h1−h2k

2A√

h1−h2− k

2A√

h1−h2− k

2A√

h2

] ∣∣∣∣∣ h=hqi=Q

=

[− k2

2AQk2

2AQk2

2AQ − k2

AQ

]

B =∂F∂qi

∣∣∣∣∣ h=hqi=Q

=[ 1

A0

]


j-

-?

-

-

-

-

Sist. Lineal

Sist.No Lineal

ComparacionQ

qiδ

Q + qiδ

Sist.No Lineal

Figura 3.7: Diagrama de bloques del sistema simulado para comparar los resultados

Entonces el sistema linealizado resulta[h1δh2δ

]=

[− k2

2AQk2

2AQk2

2AQ − k2

AQ

] [h1δh2δ

]+[ 1

A0

]qiδ (3.25)

donde las variables h1δ, h2δ y qiδ representan valores incrementales alrededor de los valoresde equilibrio h1, h2 yQ.

Simulacion

El sistema linealizado que obtuvimos en (3.25) es un modelo aproximado que describe ladinamica del sistema original en un entorno del punto de operacion (3.24). Para compararla aproximacion dada por el modelo linealizado con el modelo no lineal, simulamos juntosambos sistemas en el esquema que se muestra en el diagrama de bloques de la Figura 4.3.

Para simular el sistema linealizado (3.25) en SIMULINK usamos el diagrama de la Figura3.8 tomando A = 10, As = 1, g = 9,8 y Q = 2. La dinamica de los estados h1δ y h2δ lapodemos ver en la Figura 3.10 cuando la entrada es un valor constante de perturbacion,qiδ = 0,5.

Step

Scope

s

1

s

1

−K−

Gain2

1/A

Gain1

−K−

Gain

2

Figura 3.8: Representacion en SIMULINK del sistema linealizado

Podemos, tambien representar en SIMULINK el sistema no lineal, Figura 3.9, donde Fcnes la ecuacion matematica expresada en la ecuacion (3.23) como F1(h, qi) y Fcn1 comoF2(h, qi).

La dinamica de los estados que resulta de dicha simulacion la observamos en la Figura3.11. La comparacion entre la aproximacion y los estados reales, la observamos en la Figu-ra 3.12. Podemos observar una pequena desviacion de los estados que aproximamos con


Scope1

s

1

s

1

f(u)

Fcn1

f(u)

FcnF+0.5

Constant3

Figura 3.9: Representacion en SIMULINK del sistema no lineal

0 5 10 15 20 25 300

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

Tiempo

h1(t)h2(t)

Figura 3.10: Estados linealizados

0 5 10 15 20 25 300.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

Tiempo

h1(t)h2(t)

Figura 3.11: Estados no lineales

respecto a los reales, esto se debe a que el sistema lineal es una buena aproximacion en unentorno del punto de operacion. Si tomamos valores de qiδ menores, la aproximacion esmejor. Siempre que utilicemos modelos linealizados debemos tener en cuenta que no pode-mos alejarnos del punto de operacion ya que si ası fuera, el sistema linealizado no estarıadescribiendo nuestro sistema original.


0 5 10 15 20 25 300.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Tiempo

h1(t) realh2(t) realh1(t) h2(t)

Figura 3.12: Comparacion entre los estados aproximados y los reales

Capıtulo 4

Senales y Sistemas de Tiempo Continuo

Los sistemas que vamos a considerar estan descriptos por modelos lineales, invariantesen el tiempo, en tiempo continuo. Estos pueden siempre representarse por una ecuaciondiferencial ordinaria de la forma

dny(t)dtn + an−1

dn−1y(t)dtn−1 + · · ·+ a0y(t) = bm

dmu(t)dtm + · · ·+ b0u(t). (4.1)

En este capıtulo veremos

transformada de Laplace que convierte una ecuacion diferencial lineal en ecuacionesalgebraicas,

funciones transferencia, diagramas de bloques y graficas de flujo de senal,

metdos para analizar estabilidad de sistemas dinamicos,

respuesta dinamica de sistemas LTI, respuesta al escalon,

obtencion experimentalmente modelos elementales, y

respuesta en frecuencia, diagrama de Bode.

4.1. Transformada de Laplace

El estudio de una ecuacion diferencial descripta anteriormente puede realizarse de va-rias formas. De todos los metodos para estudiar ecuaciones diferenciales lineales, una herra-mienta muy util es la la transformada de Laplace, que convierte el problema de ecuacionesdiferenciales lineales en un problema de ecuaciones algebraicas.

Para una senal en tiempo continuo y(t) definida para t ∈ [0, ∞), se define la transforma-da de Laplace

L{y(t)} = Y(s) =∫ ∞

0−e−sτ y(τ) dτ . (4.2)

L−1[Y(s)] = y(t) =1

2π j

∫ σ+ j∞σ− j∞ estY(s)ds (4.3)

El par esta bien definido si existe σ ∈ R y una constante positiva x < ∞ tal que

|y(t)| < keσ t; ∀t ≥ 0

La regionR ≥ σ lleva en nombre de region de convergencia.

4. Senales y Sistemas de Tiempo Continuo Notas de CAUT1 - 18

Una propiedad muy util de la transformada de Laplace es la de la transformada de laderivada de una funcion,

L{y(t)} = sY(s)− y(0−).

Este resultado es utilizdo para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicasen la variable s.

Ejemplo 4.1. Consideremos el modelo de un motor de corriente continua viene dado por

Jθ(t) =k1

R[va(t)− k2θ(t)]

donde

J momento de inercia del eje

k1, k2 constantes

R resitencia del armadura

Aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros se obtiene

Js2Θ(s)− sθ(0−)− θ(0−) =k1

R[Va(s)− k2(sΘ(s)−θ(0−)]

Si consideramos las condiciones iniciales nulas, es decir θ(0−) = θ(0−) = 0, J = R = k1 = 1,k2 = 2, y aplicamos un escalon unitario en t = 0, tenemos

Θ(s) =(

1s2 + 2s

)Va(s)

=(

1s2 + 2s

)1s

Si expandimos en fracciones simples y aplicamos la tabla de anti-transformada, resulta

Θ(s) =1

4(s + 2)+

12s2 −

14s

⇒ θ(t) =14

e−2t +12

t− 14

4.2. Funciones transferencia

La funcion de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo se define comola transformada de Laplace de la respuesta impulsional, con todas las condiciones inicialesnulas.

4.2.1. Modelo en ecuacion diferencial de orden superior

Consideremos nuevamente el modelo lineal descipto por la ecuacion diferencial de ordensuperior (4.1). Aplicando la transformada de Laplace la convertimos en la siguiente ecuacionalgebraica

snY(s) + an−1sn−1Y(s) + · · ·+ a0Y(s) = bmsmU(s) + · · ·+ b0U(s) + f (s, x0),

donde f (s, x0) es una funcion de las condiciones iniciales. En el caso que las condicionesiniciales son nulas — y(0−) = 0, y(0−) = 0, . . . —tenemos

Y(s) = G(s)U(s), donde G(s) =B(s)A(s)

, y donde (4.4)


B(s) = bmsm + bm−1sm−1 + · · ·+ b0,

A(s) = sn + an−1sn−1 + · · ·+ a0.(4.5)

La funcion G(s) es la funcion transferencia del sistema. Es una representacion entrada-salida del modelo y muy utilizada en problemas de diseno de control.

Definamos algunas terminos pertinentes a funciones transferencia. Consideremos la fun-cion de transferencia dada en las ecuaciones (4.4) y (4.5). Por simplicidad, supongamos queB(s) y A(s) no se anulan simultanemente para un ismo valor de s.

Ceros del sistema: son las raıces de A(s) = 0.

Polos del sistema: son las raıces de B(s) = 0.

Grado relativo: es la diferencia en grados n−m entre numerador y denominador.

Funcion transferencia propia: si m ≤ n.

Funcion transferencia estrictamente propia: si m < n.

Funcion transferencia bipropia: si m = n.

Funcion transferencia impropia: si m > n.

Nota 4.1. Los sistemas reales son mayoritariamente estrictamente propias. Sin embargo, al-gunos metodos de diseno de controladores obtienen funciones de transferencia bipropia ohasta impropios. Para ser implementados, estos controladores son llevados a la forma pro-pia, por ejemplo agregando en el denominador factores de forma (αis + 1), conαi ∈ R.

4.2.2. Funcion de transferencia de sistemas con retardo

En general, vamos a considerar funciones transferencia racionales y propias, que corres-ponden a sistemas lineales, invariantes en el tiempo y de dimension finita (orden finito).

Una excepcion de gran importancia en la practica es el caso de sistemas con retardo entreentrada y salida. Estrictamente, estos sistemas tienen dimension infinita. Sin embargo, surepresentacion mediante funcion transferencia es aun tratable, aunque deja de ser racional.

La funcion transferencia de un retardo de T segundos es de la forma

G(s) = e−sT ⇔ y(t) = u(t− T).

Ejemplo 4.2 (Sistema intercambiador de calor.). Un ejemplo simple de un sistema con retar-do es el intercambiador de calor de la figura.

La funcion tranferencia entre la entrada(tension aplicada al elemento calefactor)y la salida (temperatura sensada) es apro-ximadamente de la forma

G(s) =Ke−sT

(τs + 1).

Notar que K, T y τ dependen de la velocidad del ventilador, que puede ser variable. Aun-que muy simple, este tipo de modelo es muy comun en aplicaciones de control de procesos.


4.2.3. Modelo del retardo temporal

Consideremos un retardo temporal puro, T , la transformada de Laplace correspondientees e−Ts. Esta transformada no podemos utilizarla como funcion transferencia dado que no setrata de cociente de polinomios. En esta seccion buscaremos una forma de aproximarla talque se trate de una transferencia racional propia. Para nuestro interes, sistemas de control, laaproximacion debe ser buena a bajas frecuencias, s = 0. El medio mas comun para hallar estaaproximacion se atribuye a Pade y esta basado en ajustar la expansion en serie de la funciontrascendental e−Ts a la de una funcion racional, donde el grado del polinomio numeradores p y el del denominador es q. El resultado se llama aproximacion (p, q) de Pade a e−Tt. Paranuestros propositos utilizaremos solo el caso p = q.

Ejemplo 4.3. Para ilustrar el proceso, empecemos con la aproximacion (1, 1) cuando T = 1.En este caso deseamos elegir b0, b1 y a0 de modo que el error

e−s − b0s + b1

a0s + 1= ε

sea pequeno. Para la aproximacion de Pade expandimos e−s y la funcion racional en unaserie de McLauren y ajustamos los terminos. Las series son

e−s = 1− s +s2

2− s3

3!+

s4

4!− . . . ,

b0s + b1

a0s + 1= b1 + (b0 − a0b1)s− a0(b0 − a0b1)s2 + a2

0(b0 − a0b1)s3 + . . .

Ajustando coeficientes, debemos resolver las ecuaciones

b1 = 1,b0 − a0b1 = −1,

−a0(b0 − a0b1) =12

,

−a20(b0 − a0b1) = −1

6,

Ahora observamos que tenemos un numero infinito de ecuaciones pero solamente tresparametros. La aproximacion de Pade se determina cuando se ajustan los tres primeros coe-ficientes, con lo cual tenemos

e−s ∼=1− s

21 +

s2 1/2 −1/2

Figura 4.1: Aproximacion de Pade

Si suponemos p = q = 2, tenemos cinco parametros, y es posible una mejor aproxima-cion. Para este caso tenemos


e−s ∼=1− s

2+

s2

12

1 +s2

+s2

12

2

-23-3 Re(s)

Im(s)

Figura 4.2: Aproximacion de Pade

Para una aproximacion general tenemos, segun Golub and Loan [1996]: dado un retardoRpq tal que

Rpq(s) =Npq(s)Dpq(s)

donde

Npq(s) =p

∑k=0

(p + q− k)!p!(p + q)!(p− k)!k!

(−s)k y Dpq(s) =q

∑k=0

(p + q− k)!q!(p + q)!(q− k)!k!

sk

Notemos que Rp0 = 1− s + . . . + (−1)p sp

p!es el polinomio de Taylor de orden p de e−s.

La Figura 4.3 muestra la aproximacion del retardo considerando sistintos ordenes. Sepuede observar que ademas de la aproximacion existe un salto en t = 0, este salto podrıaevitarse considerando p < q.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

orden 15

orden 3

orden 2

orden 1

Figura 4.3: Aproximacion de Pade para un retardo unitario, con distintos valores de p = q.

4.3. Diagramas de bloques

Debido a su simplicidad, los diagramas de bloques se eplean, con frecuencia, por los inge-nieros de control para modelar todo tipo de sistema. Capturan la esencia del sistema en un


formalismo grafico abstracto de simple manipulacion. Representan el flujo y procesamientode las senales dentro del sistema.

Figura del curso ME155A, Prof. Astrom, UCSB 2001.

Los diagramas de bloques permiten ver la simi-laridad esencial entre distintos tipos de sistemas(independizan del dominio fısico).

Otro formalismo grafico con esta propiedad sonlos diagramas de enlaces (bond graphs).

El diagrama en bloques es una representacion grafica de las funciones que lleva a cabo ca-da componente y el flujo de senales. Tal diagrama muestra las relaciones existentes entre losdiversos componentes. Un bloque es un sımbolo para representar la operacion matematicaque sobre la senal de entrada hace le bloque para producir la salida. Las funciones de trans-ferencia de componentes por lo general se introducen en los bloques correspondientes, quese conectan mediante flechas para indicar la direccion del flujo de senales.

- -Y(s)U(s)G(s)

El cociente entre la salida Y(s) y lasenal de entrada U(s) se denominafuncion transferencia: G(s) = Y(s)

U(s) .

4.3.1. Funcion transferencia a lazo cerrado

Sea el lazo de la Figura 4.4, calculemos la funcion de transferencia a lazo cerrado de dichodiagrama.

j - -

�6

-−

E(s)R(s) Y(s)G(s)

H(s)Y(s) = E(s)G(s) (4.6)E(s) = R(s)−Y(s)H(s) (4.7)

Figura 4.4: Diagrama en bloques a lazo cerrado

Reemplazando (4.7) en (4.6) obtenemos que la funcion transferencia a lazo cerrado vienedada por

Y(s)R(s)

=G(s)

1 + G(s)H(s)

4.3.2. Reduccion de un diagrama en bloque

Un diagrama en bloque complicado que contenga muchos lazos de realimentacion sesimplifica mediante un reordenamiento paso a paso mediante las reglas del algebra de los


diagramas de bloques. Algunas de estas reglas importantes aparecen en la Figura 4.5, segunOgata [1997].

h- -

6

- G

B−

A AG− B g- - -

�6

GA

B

AG− B

1G

−

- -

- -

GA AG

GAG

- -

-

GA

AG

AG

- -

-

GA

A

AG --

- -

A

A

AG

1G

G

g- - -

6�

A B− G1

G2

G1 G2g- - - --

6−

BA 1G2

Figura 4.5: Reglas del algebra de los diagramas de bloques

Ejemplo 4.4. Calculemos la funcion de transferencia Y(s)R(s) de la figura a continuacion

jj j- - - - - -- -

6

�

�

6

�

?

H2G4

G2G1 G3 G4

H3

H1

+

++ −+−

R(s) Y(s)

Utilizando las reglas de la Figura 4.5, obtenemos

hh

h

- -

�

6

�

? - ---

-

6�

-- - - -

H2G4

G2G1+ − G3G4

1−G3G4 H1

+−

R(s) Y(s)

H3

G1

H3

+−

R(s) Y(s)G2G3G41−G3G4 H1+G2G3 H2

R(s) G1G2G3G41−G3G4 H1+G2G3 H2+G1G2G3G4 H3

Y(s)


4.4. Graficas de flujo de senal

Una regla extendida para la reduccion de cualquier diagrama de bloques fue dada porS.J. Mason (1953-1956), quien relaciono el grafico al algebra matricial de las ecuaciones querepresentan. Mason definio una trayectoria a traves de un diagrama de bloques como unasecuencia de componentes conectados, pasando la trayectoria desde una variable a otra sinpasar a traves de ningun componente mas de una vez. Definio una ganancia de trayectoriacomo el producto de las ganancias que componen la trayectoria. Una trayectoria que sale deuna variable y regresa a la misma variable se define como trayectoria de lazo, y la ganancia dela trayectoria asociada se llama ganancia de lazo.

Ejemplo 4.5. Consideremos el siguiente conjunto de ecuaciones algebraicas y la grafica deflujo correspondiente como se ve en la Figura 4.6.

y2 = a12y1 + a32y3

y3 = a23y2 + a43y4

y4 = a24y2 + a34y3 + a44y4

y5 = a25y2 + a45y4

a44

y1 y2 y3 y4 y5

a12 a23

a32a43

a34

a24

a25

a45

Figura 4.6: Grafica de flujo se senal

En el grafico de flujo y1 es el nodo de entrada y consideremos a y5 como el nodo desaldida. Las trayectorias directas son tres y la gananca de cada trayectoria dirtecta es: para y1 −y2 − y3 − y4 − y5 es a12a23a34a45, para y1 − y2 − y4 − y5 es a12a24a45 y para y1 − y2 − y5la ganancia es a12a25. Las trayectorias de lazo son cuatro, con ganancia de trayectoria de lazoa23a32, a34a43, a44 y a24a43a32. Las trayectorias de la lazo que no se tocan son aquellas que nocomparten un nodo comun, en este caso el unico par es a23a32 y a44.

La formula que permite obtener la relacion entre la entrada y la salida de un dia-grama de flujo de senal con N trayectorias directas y L trayectorias de lazo es, Kuo[1996]

YU

=N

∑k=1

Mk∆k∆

(4.8)

en donde

Mk = ganancia directa k-esima entre u e y.

∆ = 1-(suma de las ganancias de todas las ganancias de lazo individuales )+ (suma de los productos de las ganancias de lazo combinadas de a dos queno se tocan) - (suma de los productos de las ganancias dee lazo combinadasde a tres que no se tocan) + · · · .

∆k la ∆ pero que no toca la trayectoria directa k-esima.


Ejemplo 4.6. Consideremos nuevamente la Figura 4.6 y utilizando (4.8) calcularemos la re-lacion entre y1 e y5. Para ello tenemos,

M1 = a12a23a34a45 ∆1 = 1M2 = a12a24a45 ∆2 = 1M3 = a12a25 ∆3 = 1− a34a43 − a44

y ∆ = 1− (a23a32 + a34a43 + a44 + a24a43a32) + a23a32a44. Ahora la relacion resulta

y5

y1=

M1∆1 + M2∆2 + M3∆3

∆=

a12a23a34a45 + a12a24a45 + (a12a25)(1− a34a43 − a44)1− (a23a32 + a34a43 + a44 + a24a43a32) + a23a32a44

La regla de Mason para el caso especial donde todas las trayectorias directas y trayecto-rias de lazo se tocan pueden definirse como sigue Franklin et˜al. [1991] :

La ganancia de un sistema realimentado esta dada por la suma de las gananciasde las trayectorias directas dividida por 1 menos la suma de las ganancias de lazo.

Ejemplo 4.7. Una aplicacion de esta regla se puede ilustrar con el diagrama de bloques dela Figura 4.7. En este caso, las trayectorias directas y sus ganancias estan dadas por

G1i i- - - - -

-

?-

�6

�

��>

G3

G4

G2

G6

G5yu 1 2 3 4 5

6

7

8

9

Figura 4.7: Diagrama de bloques

Trayectorias Ganancia123459 G1G2G512369 G1G6

Trayectorias de lazo Ganancia2382 G1G3

23472 G1G2G4

y la ganancia total, o la funcion transferencia total, esta dada por la regla en la forma

YU

=G1G2G5 + G1G6

1− G1G3 − G1G2G4

Ejemplo 4.8. Consideremos el lazo del Ejemplo 4.4. El grafico de flujo de senal equivalentea la es el que se muestra en la Figura 4.8.

R(s) 1 G2 G3 G4 1G1

−H2G4

H1

−H3

Figura 4.8: Grafica de flujo de senal


Ahora, calculanso la ganancia la trayectoria directa y las de lazo tenemos

M1 = G1G2G3G4 ∆1 = 1

y ∆ = 1− (G3G4H1 − G1G2G3G4H3 − G2G3H2), resultado ası

Y(s)R(s)

=M1∆1

∆=

G1G2G3G4

1− G3G4H1 + G1G2G3G4H3 + G2G3H2

4.5. Estabilidad de funciones transferencia

Estabilidad entrada-salida. 1 Decimos que un sistema es estable entrada-salida, o BIBOestable, si toda entrada acotada produce una salida acotada.

Teorema 4.1 (Estabilidad entrada-salida). Un sistema lineal, estacionario y de tiempo conti-nuo es estable entrada-salida si todos los polos de su funcion transferencia tienen parte realnegativa.

Estabilidad Inestabilidad

0 σ

jω

Region de estabilidad entrada-salida para lospolos de G(s).

Desafıo: Asumiendo una funcion transferencia racional y propia, demostrar el Teorema.Ayuda:

1. Mostrar que si todos los polos de G(s) tienen parte real negativa, entonces la antitrans-formada g(t) (respuesta al impulso del sistema) es absolutamente integrable, es decir,∫ ∞

0|g(τ)| dτ < M; para alguna M > 0.

2. Mostrar que si g(t) es absolutamente integrable, entonces para toda entrada acotadau(t) la salida

y(t) = L−1{G(s)U(s)}

=∫ t

0g(t− τ)u(τ)dτ =

∫ t

0g(τ)u(t− τ)dτ

es acotada — o sea, el sistema es estable entrada-salida.

4.6. Respuesta dinamca de sistemas LTI

El estudio de la respuesta al impulso (Delta de Dirac) se debe a que la funcion de trans-ferencia de un sistema continuo en el tiempo es la transformada de Laplace de su respuesta

1Tambien Estabilidad BIBO, del ingles Bounded-Input Bounded-Output, (entrada acotada/salida acotada).


al impulso con condiciones iniciales nulas. Es muy comun estudiar el comportamientos dela dinamica de los sistemas usando la respuesta al escalon, es decir U(s) = 1/s, por lo que

Y(s) = G(s)1s

Es muy util definir una serie de parametros que describen algunas propiedades rele-vantes de la dinamica de los sistemas. Para estas definiciones, consideraremos funciones detransferencia estables teniendo como respuesta al escalon la Figura 4.9:

Tiempo

y∞ + Mp

y∞ + δ

y∞ − δkr y∞

ts

y∞

tr tp

−Mu

Figura 4.9: Indicadores de la respuesta escalon

valor en el regimen estacionario, y∞: el valor final de la respuesta al escalon (esto notiene sentido si el sistema tiene polos en el semiplano derecho (SPD).

Tiempo de crecimiento, tr o tc: el tiempo que transcurre hasta el instante en el cual larespuesta al escalon alcanza, la primer vez, el valor kr y∞. La constante kr varıa segunel autor, comunmente se toma tanto 0,9 o 1.

Sobre error, Mp: el maximo valor por el que la respuesta el escalon excede su valorfinal. Generalmente se expresa como un porcentaje de y∞.

subvalor, Mu: el maximo (valor absoluto) por el que la respuesta al escalon pasa pordebajo del cero.

Tiempo de establecimiento, ts o te: el tiempo transcurrido hasta que la respuesta alescalon ingresa (sin dejarlo en tiempo subsiguiente) a una banda ±δ, alrededor delvalor final. Esta banda de amplitud δ, generalmente se define como un porcentaje dey∞, variando 2 % a 5 %


4.6.1. Polos, Ceros y Respuesta Temporal

Consideremos una funcion de transferencia general

G(s) = K∏

mi=1(s−βi)

∏nj=1(s−α j)

donde α j ∈ C y βi ∈ C. Supongamos que no existe i y j tales que α j = βi, los valoresβ1, β2, · · · ,βm son los ceros yα1, α2, · · · ,αn son los polos de la funcion transferencia.

Nos centraremos principalmente en l los ceros que se encuentran cerca del eje imaginarioy en los polos del SPD, ya que juegan un papel importante en el comportamiento dinamicode los sistemas.

Las Funciones de transferencia que poseen todos sus ceros y polos en el semiplano iz-quierdo se las llama Funciones de Transferencia de Mınima Fase.

Veamos el comportamiento transitorio debido a polos. Cualquier funcion de transferen-cia escalar racional, puede desarrollarse en fracciones simples, donde cada termino tendra unpolo simple real, un par complejo conjugado o multiple combinaciones con polos repetidos.Es por eso para entender el efecto de los polos en el desempeno del transitorio se reduce aentender el transitorio debido a polos de primer orden y segundo orden y sus interacciones.

4.7. Polos

Una funcion de transferencia puede ser expandida en fracciones simples, cada terminotendra un polo real, o un par de complejos conjugados, o multiple combinaciones con po-los repetidos. Ası, el estudio del desempeno de los polos en el estado transitorio se reducea comprender el transitorio debido a un polo simple y polos de segundo orden, y comointeractuan.

4.7.1. Sistema de Primer Orden

La respuesta a un escalon unitario de un sistemas de primer orden

G(s) =K

τ s + 1

viene dada por

y(t) = L−1U(S) G(s) = L−1{

Ks(τ s + 1)

}= L−1

{Ks− K ττ s + 1

}= K(1− e−

tτ ).

La Figura 4.10 muestra la senal y(t). Notar que el valor en regimen permanente de y(t), y∞,en el caso de existir, esta dado por el teorema del valor final

y∞ = lımt→∞ y(t) = lım

s→0s G(s) U(s)︸︷︷︸

1s

= G(0) = K

.

Ejemplo 4.9. Consideremos una funcion transferencia del tipo

H(s) =p

s + p

La Figura 4.11 muestra la respuesta temporal de dos sistemas de primer orden cunado elpolo −p se acerca al eje jω. Se puede apreciar que la respuesta es cada vez mas lenta.


Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

y∞

τ

0.632 y∞

0

Figura 4.10: Respuesta al escalon de un s sistema de primer orden

H1(s)

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

H2(s)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Pole−Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Pole−Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figura 4.11: Respuesta al escalon de dos sistemas de primer orden

4.7.2. Sistemas de segundo orden

Dada la funcion de transferencia

G(s) =ω2

ns2 + 2ξ ωn s +ω2

n(4.9)

El comportamiento dinamico del sistema de segundo orden se describe en funcion de dosparametros ξyω.

Sistemas sobreamortiguados ξ > 1 En este caso los polos son reales y diferentes. Elcomportamiento dinamico respondera a la suma del comportamiento de dos sitemas


de primer orden. Mas aun, cuando ξ � 1, una de las dos exponenciales decae masrapido que la otra, por lo que podrıa despreciarse la exponencial que decae mas rapidoy el comportamiento entonces se aproximara a un sistema de primer orden. Es decir,si |p2| � |p1| 2, para una solucion aproximada se puede despreciar el polo en p1

Sistemas crıticamente amortiguados ξ = 1 Los dos polos de este sistema son iguales.Para una entrada escalon, la salida se escribe como

Y(s) =ω2

n(s +ωn)2s

=1s− 1

s +ωn− ωn

(s +ωn)2

lo que implica quey(t) = 1− e−ωnt(1 +ωnt) para t ≥ 0

Sistemas subamortiguados 0 < ξ < 1 El parametro ξ es conocido como el factor deamortiguamiento yωn, como la frecuencia natural. Definimos tambien la frecuencia natu-ral de amortiguamiento,ωd como

ωd =ωn√

1−ξ2

Los polos polos complejos conjugados de este sistema, s1 y s2, pueden expresarse la laforma

s1,2 = −ξωn ± jωd =ωne± j(π−β)

donde β es el angulo tal que cosβ = ξ , Figura 4.12.

− jωd

jωd

−ξωn

β

ωn

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Td

tp t

r

y∞

y∞+Mp

Figura 4.12: Ubicacion de polos y respuesta al escalon de un sistema de segundo orden

Para este sistema, la transformada de Laplace de su respuesta al escalon viene dadapor

Y(s) =ω2

n(s2 + 2ξ ωn s +ω2

n)s=

ω2n

[(s +ξ ωn)2 +ω2d]s

.

Desarrollando en fracciones simples obtenemos

Y(s) =1s− s +ξ ωn

(s +ξ ωn)2 +ω2d− ξ ωn

(s +ξ ωn)2 +ω2d

=1s− 1√

1−ξ2

[√1−ξ2 s +ξ ωn

(s +ξ ωn)2 +ω2d−ξ ωd

(s +ξ ωn)2 +ω2d

]2Si tomaramos en cuenta la constante de tiempo τi = 1

pise dice que p1 es mas rapido que p2


Que si aplicamos la transformada de Laplace inversa, obtenemos

y(t) = L−1{Y(s)} = 1− e−ξωn t√

1−ξ2sen(ωd t +β)

Las caracterısticas de la respuesta al escalon unitario de este sistema son las mostra-das en la Figura 4.12, donde y∞ = 1 y Td = 2π/ωd. Tambien podemos calcular losindicadores descriptos en la Figura 4.9:

Tiempo de crecimiento

Para este caso tomaremos kr = 1, entonces hacemos y(t) = y∞e−ξωn t√

1−ξ2sen(ωd t +β) = 0

y obtenemos

tr =π −βωd

≈ 1,8ωn

Sobre valor

El maximo valor de la salida, Mp ocurre en el tiempo tp, que se puede calcular deri-vando e igualando a cero y(t), entonces

dy(t)dt

= − e−ξωn t√

1−ξ2[−ξωn sen(ωd t +β) +ωd cos(ωd t +β)] = 0

Notar que ωdξωn

= tanβ, Figura 4.12, ası se obtieneωd tp = π , resultando el tiempo depico

tp =π

ωd=

Td2

El sobrevalor se calcula como Mp = y(tp)− 1, y como sen(π +β) = sen(β) = −ωdωn

,de Figura 4.12, se obtiene

Mp = e− πξ√

1−ξ2

La Figura 4.13 muestra los valores de sobreerror que toma el sistema para distintos ξ ,por ejemplo un ξ = 0,6 produce un sobreerror del 10 %.

Tiempo de establecimiento

Para un error en el regimen estacionario de 1 %, necesitamos conocer el mınimo ts talque |e(t)| ≤ 0,01 ∀t ≤ ts. Una aproximacion valida resulta

e−ξωnts = 0,01, por lo que ts =4,6ξωn


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

10 %

20 %

30 %

40 %

50 %

60 %

70 %

80 %

90 %

100 %

ξ

Mp

Figura 4.13: Sobreerror en funcion de ξ para un sistema dado por (4.9)

De aquı en mas, nos referiremos a polos rapidos que se encuentran mas lejos del eje jω queel resto de los polos del sistema. Que es equivalente a decir que los transitorios asociados alos polos rapidos se extinguen mas rapido que los asociados al resto de los polos. Por otrolado, llamaremos polos dominantes o lentos a aquellos que estan mas cerca del eje jω que elresto.

Si, por ejemplo, los polos del sistema son {−1;−2 ± j6;−4;−5 ± j3}, diremos que elpolo dominante es -1 y los mas rapidos son−5± j3.

Ejemplo 4.10. Consideremos funciones de transferencia del tipo

H(s) =ω2

ns2 + 2ξωn s +ω2

n.

Primero fijamos el valor deωn = 2 y variamos ξ , de las expresiones de sobrevalor y tiempode establecimiento, se desprende que para valores de ξ cercanos a 1 el sobrevalor tiendea cero y el tiempo de establecimiento, cuando ξ → 0 toma valores cada vez mas grandes,Figura 4.14.

Si ahora fijamos ξ = 0,5 y variamos solo ωn, notamos que en el sobrevalor no tieneincidencia, ya que solo depende de ξ , pero el tiempo de establecimiento se hace cada vezmas pequeno para valores deωn cada vez mas grandes, Figura 4.15.

4.7.3. Ceros

El efecto debido a los ceros de la funcion transferencia es mas sutil que el efecto de lospolos. En una forma paralela a la definicion de los polos, definimos ceros rapidos y lentos.Para ilustrar el comportamiento de los ceros, consideremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.11. Consideremos un sistema con funcion transferencia dada por

H(s) =−s + c

c(s + 1)(0,5s + 1)(4.10)

Esta estructura nos permite estudiar el efecto de un cero, sin modificar la ubicacion de lospolos ni la ganancia estatica. En este sistema observamos que tiene dos modos naturales: e−t


0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

−1 −0.5 0 0.5−3

−2

−1

0

1

2

3

2

1

3

0.4

1

3

0.2

0.8

20.2

0.4

0.8

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

−1 −0.5 0 0.5−3

−2

−1

0

1

2

3

2

1

3

0.4

1

3

0.2

0.8

20.2

0.4

0.8

Pole−Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Step Response

Time (sec)A

mpl

itude

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Pole−Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figura 4.14: Respuesta a escalon variando ξ y mismoωn

−1.5 −1 −0.5 0 0.5−3

−2

−1

0

1

2

3

2

1

3

0.5

1

3

0.25

0.75

20.250.5

0.75

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

−1.5 −1 −0.5 0 0.5−3

−2

−1

0

1

2

3

2

1

3

0.5

1

3

0.25

0.75

20.250.5

0.75

Pole−Zero Map

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y A

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Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Pole−Zero Map

Real Axis

Imag

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y A

xis

Figura 4.15: Respuesta a escalon variandoωn y mismo ξ

y e−2t que viene de los polos -1 y -2 respectivamente. El primero de estos modos estara au-sente en la respuesta cuando c se acerque a -1. Lo mismo con el segundo modo cuando c seacerque a -2, Figura 4.16.

Para una representar una situacion mas general, veamos la Figura 4.16, Figura 4.17 yFigura 4.18. Podemos ver que un cero rapido, |c| � 1, no tiene un impacto significativoen la respuesta transitoria. Cuando el cero es lento y estable, se obtiene un significativosobreerror, que se torna dramatico cuanto mas cerca de origen se encuentra. Por ultimo caberemarcar la existencia de subvalor cuando el cero es lento e inestable.

Para comprender mejor el por que de la existencia de subvalor para ceros lentos e inesta-bles veremos algunos lemas que nos mostraran, al menos matematicamente, como aparece.


0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−4 −3 −2 −1 0 1 2−3

−2

−1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−4 −3 −2 −1 0 1 2−3

−2

−1

0

1

2

3

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Pole−Zero Map

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Imag

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y A

xis

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

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Pole−Zero Map

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inar

y A

xis

Figura 4.16: Dinamica de un cero mas rapido que el polo mas lento

0 1 2 3 4 5 6−1

−0.5

0

0.5

1

−4 −3 −2 −1 0 1 2−2

−1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

−4 −3 −2 −1 0 1 2−2

−1

0

1

2

Step Response

Time (sec)

Am

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Imag

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y A

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Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Pole−Zero Map

Real Axis

Imag

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y A

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Figura 4.17: Dinamica de un cero mas lento que el polos lento y de un cero NMF

Lema 4.1. Sea H(s) una funcion estrictamente propia en variable de Laplace s, con regionde convergencia <{s} > −α con h(t) su correspondiente funcion temporal, es decir

H(s) = L{h(t)}

Luego, para cualquier z0 tal que <{z0} > −α, tenemos∫ ∞0

h(t)e−z0tdt = lıms→z0

H(s) (4.11)

Demostracion. De la definicion de transformada de Laplace tenemos que, para todo s de la


0 1 2 3 4 5 6−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

−3 −2 −1 0 1 2 3 4−2

−1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 6−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

−3 −2 −1 0 1 2 3 4−2

−1

0

1

2

Step Response

Time (sec)A

mpl

itude

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y A

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Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Pole−Zero Map

Real Axis

Imag

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y A

xis

Figura 4.18: Dinamica de un cero mas lento que el polos lento y de un cero NMF

region de convergencia de la transformada, es decir <{s} > −α,

H(s) =∫ ∞

0h(t)e−stdt

El resultado (4.11) surge ya que z0 pertenece a la region de convergencia.

Ilustraremos el lema con un ejemplo

Ejemplo 4.12. Consideremos la senal y(t) = e2t t ≤ 0, la transformada de Laplace es

Y(s) =1

s− 2para <{s} > 2

Consideremos ahora

I(z0) =∫ ∞

0e−z0ty(t) z0 = 3 ⇒ I(3) =

∫ ∞0

e−3te2t =∫ ∞

0e−t = 1

Notemos que segun el lema es Y(3) = 13−2 = 1.

Pero, si tomamos z0 = 1, luego Y(1) = −1 y I(1) es ∞. Esto tambien esta de acuerdo allema ya que z0 = 1 no pertenece a la region de convergencia.

El siguiente Lema nos aporta la relacion entre ceros y ciertos indicadores de la dinamicadel sistema, como es el subvalor.

Lema 4.2 (Ceros de No mınima fase y subvalor). . Supongamos un sistema lineal, establecon funcion transferencia H(s) con ganancia estatica 1 y un cero en s = c, donde c ∈ R+.Supongamos tambien que la respuesta al escalon, y(t), tiene un tiempo de establecimientots (verFigura 4.9), es decir 1 + δ ≥ |y(t)| ≥ 1 − δ (δ � 1), ∀t ≥ ts. Luego y(t) presentasubvalor Mu que verifica

Mu ≥1− δ

ects − 1(4.12)


Demostracion. Definamos v(t) = 1− y(t), Figura 4.19, luego V(s) = (1− H(S)) 1s . La region

de convergencia de V(s) esta dada por <{s} > 0. Ası c esta dentro de esa region y podemosaplicar el Lema anterior

V(c) =1− H(c)

c=

1c

=∫ ∞

0v(t)e−ct dt

Separando el intervalo de integracion en [0, ts] ∪ (ts, ∞) tenemos

0 5 10 15 20

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 5 10 15 20

−0.5

0

0.5

1

y(t) v(t)=1−y(t)

Mu

Mu

ts

ts

Figura 4.19: Graficos de y(t) y v(t) para ver las cotas usadas en la demostracion.

∫ ts

0|v(t)|e−ctdt +

∫ ∞ts|v(t)|e−ctdt ≥ 1

c

De la definicion de ts, tenemos que |v(t)| ≤ δ � 1, ∀t ≥ ts. Ademas

maxt≥0{v(t)} = Vmax = 1 + Mu > 0

entonces obtenemos

1c≥∫ ts

0Vmaxe−ctdt +

∫ ∞tsδe−ctdt = Vmax

1− e−cts

c+δe−cts

c

y reemplazando Vmax se obtiene la Ec. 4.12.

Observar que si cts � 1 y δ � 1, la Ec. 4.12 se simplifica a

Mu >1

cts

El lema anterior establece que, cuando un sistema tiene ceros de fase no mınima, existe uncompromiso entre tener un a respuesta rapida y tener subvalor.

Un resultado similar puede obtenerse en el caso de existir ceros reales en el semiplano iz-quierdo con magnitud menor que la parte real de los polos dominantes del sistema. Veamosel siguiente Lema.

Lema 4.3 (Ceros lentos y sobrevalor). Supongamos un sistema lineal, estable con funciontransferencia H(s) con ganancia estatica 1 y un cero en s = c, con c < 0. Definamos v(t) =1− y(t) donde y(t) es la respuesta al escalon unitario. Supongamos tambien:


1. El sistema tiene polo(s) dominante(s) con parte real −p, con p > 0.

2. El cero y el polo dominante estan relacionados por

η :=∣∣∣∣ c

p

∣∣∣∣� 1

3. El valor de δ de la definicion del tiempo de establecimiento ts es elegido tal que existaK > 0 que verifique

|v(t)| < Ke−pt ∀t ≥ ts

Luego la respuesta al escalon tendra sobrevalor que esta acotado inferiormente por

Mp ≥1

e−cts − 1

(1− Kη

1− η

)(4.13)

Demostracion. Tenemos que

V(s) = L[v(t)] = (1− H(s))1s

=∫ ∞

0v(t)e−stdt

Notemos que la region de convergencia de V(s) esta dada por <{s} > −p. Ası c se encuen-tra dentro de dicha region y por lo tanto aplicar el Lema.

1c

=∫ ∞

0v(t)e−ctdt =

∫ ts

0v(t)e−ctdt +

∫ ∞ts

v(t)e−ctdt.

El mınimo valor que toma v(t) en el intervalo [0, ts] es −Mp y ademas v(t) > Ke−pt, ∀t > ts.Por lo que ambas integrales de la derecha pueden ser reemplazadas por sus mınimos valores

1c≥ −Mp

∫ ts

0e−ctdt− K

∫ ∞ts

e−(p+c)tdt⇔ −1c≤ Mp

∫ ts

0e−ctdt + K

∫ ∞ts

e−(p+c)tdt

Resolviendo las integrales se obtiene Ec. 4.13.

Notemos que si cts � 1 y Kη� 1, luego la cota vendra dada por

Mp ≥1−cts

El Lema anterior establece que, cuando un sistema estable tiene ceros lentos, existe uncompromiso entre obtener un respuesta rapida y tener sobrevalor.

4.7.4. Obtencion experimental de modelos

Muchos sistemas en la practica pueden describirse aproximadamente con un modelomuy simple, de primer o segundo orden. A menudo estos modelos simples son suficientespara realizar un primer diseno de control.

Estos modelos simples pueden obtenerse mediante ensayos experimentales sobre el sis-tema. La idea es proponer la estructura apropiada, por ejemplo un primer orden con retardo

G(s) =Ke−sT

τs + 1,

y luego inferir los valores de los parametros K, T, τ de la respuesta del sistema a lazo abiertodel sistema. Es comun emplear la respuesta al escalon.


Existen tecnicas mas advanzadas de estimacion de modelo mediante ensayos experimen-tales, conocidas como tecnicas de identificacion de sistemas.

Estas tecnicas permiten estimar en forma optimizada tanto los parametros como la es-tructura mas apropiada para un modelo del sistema, inclusive para sistemas inestables a lazoabierto.

Para un tratamiento actualizado de identificacion de sistemas ver por ejemplo

Lennart Ljung, System Identification, 2nd edn. Prentice Hall, 1999.

Veremos ahora como identificar en forma elemental sistemas de primer y segundo ordena partir de la respuesta al escalon.

Primer orden con retardo

0 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

T63TδT0

y0

u0

u f

y f

Medir:

u0 nivel inicial de entrada.

u f nivel final de entrada.

y0 nivel inicial de salida.

y f nivel final de salida.

T0 tiempo de cambio de la entrada.

Tδ tiempo en que la salida comienza aresponder.

T63 tiempo en que la salida alcanza el63,2 % de y f − y0.

Calcular:

K =y f − y0

u f − u0; τ = T63 − Tδ;

Tr = Tδ − T0

Transferencia estimada:

G(s) =Ke−sTr

τs + 1

Segundo orden subamortiguado

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

y0

u0

u f

y f

A1

An

Tω

Medir:





A1 amplitud de un pico arbitrario.

An amplitud del pico No. n contandodesde el pico 1.

Tω tiempo entre dos picos sucesivos.


Calcular:

ζ =1

n−1 log (A1/An)√4π2 +

[ 1n−1 log (A1/An)

]2;

Tn =Tω2π

√1− ζ2; K =

y f − y0

u f − u0.


G(s) =K

T2n s2 + 2ζ Tns + 1

Segundo orden sobreamortiguado(Metodo de Harriott)

0 1.6 2.0 2.4 2.8 3.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

y′

y73

T73T′T0

y f

u f

y0

u0

Medir:





T0 tiempo de escalon de entrada.

T73 tiempo en que la salida alcanza73 % de y f − y0.

y′ nivel de salida en el tiempo T′ =T0 + T73−T0

2,6 .Calcular:

K =y f − y0

u f − u0; τtot =

T73 − T0

1,3; y f r =

y′ − y0

y f − y0

Obtener τrat de y f r del grafico

Nota: si y f r resulta mayor a 0,39o menor a 0,26, la respuesta esprobablemente de segundo ordensubamortiguada, o de orden mayor.

Calcular

τ1 = τratτtot y τ2 = τtot − τ1.


G(s) =K

(τ1s + 1)(τ2s + 1)


4.8. Respuesta en Frecuencia

La respuesta en regimen permanente de un sistema a senales sinusoidales en un rangode frecuencia es lo que se conoce como la respuesta en frecuencia del sistema.

Estudiaremos la respuesta de un sistema cuando la entrada es una sinusoidal. La razonde estudiar dicha respuesta es que contiene informacion de otras senales. Esto se puedeapreciar desde el analisis de Fourier, que dice que cualquier senal periodica definida en unintervalo [t0, t f ] pude representarse como una combinacion lineal de ondas sinusoidales defrecuencia 0,ω0 f , 2ω0 f , 3ω0 f , · · · donde ω0 f = 2π/(t f − t0) es conocida como la frecuen-cia fundamental. El Principio de Superposicion nos permite combinar la respuesta a ondassinusoidales individuales para determinar la respuesta de la onda compuesta.

4.8.1. Respuesta en Regimen Permanente a una Entrada Sinusoidal

Consideremos un sistema con funcion de transferencia estable G(S) de orden n ( es decir,con nn polos con parte real negativa). Entonces la respuesta en regimen permanente a unasenal

u(t) = A sen(ω t) es yrp(t) = A|G( jω)| sen(ω t +φ(ω))

donde G( jω) = |G( jω)|e jφ(ω), es decir |G( jω)|es la magnitud yφ(ω) la fase de G( jω).

Demostracion. La entrada sinusoidal puede escribirse como

sen(ω t) =e jωt − e− jωt

2 j

Entonces podemos obtener la respuesta a las entradas u(t) = e jωt y u(t) = e− jωt, y aplicandosuperposicion obtendremos la respuesta a la entrada sinusoidal.

La transformada de Laplace de e jωt es L{e jωt} = 1s− jω . Ası

Y(s) = G(s)1

s− jω︸︷︷︸L{u(t)}

desarrollado en fracciones simples Y(s) =G( jωs− jω

+n

∑i=1

ri

s− pi

donde pi, i = 1, · · · n son los polos de G(s) y ri los correspondientes residuos

ri = lims→piY(s)(s− pi)

Entonces

y(t) = L−1{

G( jω)s− jω

}+

n

∑i=1L−1

{ri

s− pi

}= G( jω)e j[ωt +

n

∑i=1

riepit

De igual manera calculamos la respuesta para la entrada u(t) = e− jωt. Luego superponiendoambas y calculando la respuesta en regimen permanente (yrp(t) = lım→∞ y(t)), resulta

y(t) =12 j

[G( jω)e jωt − G(− jω)e− jωt

]=

12 j

[|G( jω)|e j(ωt+φ(ω)) − |G( jω)|e− j(ωt+φ(ω))

]=|G( jω)| sen(ωt +φ(ω))


La respuesta en regimen permanente de un sistema G(s) a una senoide defrecuenciaω es una senoide de igual frecuencia, con amplitud multiplicadapor la magnitud de G( jω) y desfasaje igual a la fase de G( jω).

Ejemplo 4.13. Dado un sistema con funcion transferencia

G(s) =1

0,5 s2 + 1,5 s + 1,

la respuesta en regimen permanente dada una entrada u(t) = sen(t) viene dada por

yrp(t) = |G( j)| sen(t +φ),

con

|G( j)| =∣∣∣∣ 10,5 j2 + 1,5 j + 1

∣∣∣∣ =1

|1,5 j + 0,5| =1√

1,52 + 0,52≈ 0,63

φ =∠G( j) = arctan(

=(G( j))<(G( j))

)= − arctan(3) ≈ −71,5o(≈ −1,25rad)

La Figura 4.20 muestra la senal de entrada y salida. Notar que existe un transitorio quenno calculamos.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Linear Simulation Results

Time (sec)

Am

plitu

de

Figura 4.20: Comparacion entre la entrada y la salida

4.8.2. Diagrama de Bode

Los diagramas de Bode consisten de un par de graficas:

1. La magnitud |G( jω)| versus la frecuencia angularω.

2. La faseφ(ω), tambien como funcion deω.


Los diagramas de Bode se suelen graficar en ejes especiales.

El eje de abscisas es logarıtmico en ω, es decir, lineal en log(ω), donde el logaritmoes de base 10. Ası se consigue una representacion compacta sobre un rango amplio defrecuencias. La unidad del eje es la decada, es decir, la distancia entre ω y 10ω paracualquier valor deω.

La magnitud de la respuesta en frecuencia se mide en decibeles [dB], es decir, unidadesde 20 log |G( jω)|.

La fase se mide en escala lineal en radianes o grados.

Los programas como MATLAB y SCILAB poseen comandos especiales 3 para calcular ygraficar diagramas de Bode. Sin embargo, existen reglas muy simples que permiten esbozarestos diagramas practicamente sin hacer calculos.

Dada la funcion transferencia

G(s) = KΠm

i=1(βis + 1)skΠn

i=1(αis + 1), entonces

20 log |G( jω)| = 20 log |K| − 20k log |ω|+m

∑i=1

20 log |βi jω+ 1| −n

∑i=1

20 log |αi jω+ 1|

(4.14)Por otro lado, la fase de G( jω) resulta

^G( jω) = ^K− kπ

2+

m

∑i=1

^(βi jω+ 1)−n

∑i=1

^(αis + 1) (4.15)

Ası vemos de (4.4) y (4.5) que el diagrama de Bode de cualquier funcion transferenciapuede obtenerse sumando y restando magnitudes (en dB) y fases de factores simples.

Una ganancia simple K tiene magnitud y fase constantes. El diagrama de magnitudes una lınea horizontal en 20 log |K| dB y la fase es una lınea horizontal en 0 rad (siK > 0).

El factor sk tiene un diagrama de magnitud que es una lınea recta con pendiente iguala 20k dB/decada, y fase constante igual a kπ/2. Esta lınea cruza el eje horizontal de 0dB enω = 1.

El factor αis + 1 tiene un diagrama de magnitud que puede aproximarse asintotica-mente de la siguiente manera:

• para |αiω| � 1, 20 log |αi jω+ 1| ≈ 20 log(1) = 0 dB, es decir, para bajas frecuen-cias la magnitud es una lınea horizontal (la asıntota de baja frecuencia).

• para |αiω| � 1, 20 log |αi jω+ 1| ≈ 20 log |αiω| dB, es decir, para altas frecuen-cias la magnitud es una lınea recta de pendiente 20 dB/decada que corta el eje de0 dB enω = |αi|−1 (la asıntota de alta frecuencia).

• el diagrama de fase es mas complicado. Aproximadamente cambia a lo largo dedos decadas. Una decada por debajo de |αi|−1 la fase es ≈ 0 rad. Una decada porarriba de |αi|−1 la fase es ≈ signo(αi)π/2 rad. Uniendo ambos puntos por unalınea recta da ≈ signo(αi)π/4 para la fase en ω = |αi|−1. Es una aproximacionbasta.

3Por ejemplo: bode, ltiview.


Paraαi complejo, ai = <(αi) + j=(αi), la fase del diagrama de Bode del factor (αis + 1)corresponde a la fase del numero complejo [1−ω=(αi)] + jω<(ai)

Ejemplo 4.14. Consideremos la funcion transferencia

G(s) = 640(s + 1)

(s + 4)(s + 8)(s + 10).

Para dibujar la aproximacion asintotica del diagrama de Bode primero llevamos a G(s) auna forma en que los polos y los ceros no aporten ganancia estatica,

G(s) = 2(s + 1)

(0,25s + 1)(0,125s + 1)(0,1s + 1).

Usando las reglas aproximadas obtenemos el diagrama siguiente.

Diagrama de Bode exacto (lınea gruesa) y aproximado (lınea fina).

4.8.3. Filtrado

En un amplificador ideal la respuesta en frecuencia deberıa ser constante, G( jω) =K, ∀ω, es decir, toda componente de frecuencia deberıa pasar sin cambio de fase ni distor-sion de amplitud.

Definimos:

La banda de paso es el rango de frecuencias sobre el cual la amplificacion (o atenua-cion) es aproximadamente constante, con un corrimiento de fase aproximadamenteproporcional aω.

la banda de corte es el rango de frecuencias que son filtradas. En este rango de fre-cuencias |G( jω)| tiene un valor pequeno comparado con el valor sobre la banda depaso.

la(s) banda(s) de transicion son los rangos de frecuencias intermedias entre una bandade paso y una de corte.

la frecuencia de corteωc es el valor de frecuencia tal que |G( jω)| = G/√

2, donde Ges respectivamente


• |G(0)| para filtros pasa-bajos y corta-bandas,

• |G(∞)| para filtros pasa-altos,

• el maximo valor de |G( jω)| en la banda de paso, para filtros pasa-bandas.

el ancho de banda Bω es una medida del rango de frecuencias en la banda de paso (ode corte). Se define como Bω = ωc2 −ωc1, donde ωc2 > ωc1 ≥ 0. En esta definicionωc1 yωc2 son las frecuencias de corte a cada lado de la banda de paso o de corte. Parafiltros pasa-bajosωc1 = 0.

Respuesta en frecuencia de un filtro pasa-bandas.

Bibliografıa

Sistemas de Control Autmatico. Pearson Prentice Hall, 1996.

Gene F. Franklin, J.David Powel, and Abbas Emami-Naeini. Control de Sistemas Dinamicoscon Retroalimentacion. Addison-Wesley Iberoamericana, 1991.

Gene H. Golub and Charles F. Van Loan. Matrix Computations. Johns Hopkins, 1996.

G. Goodwin, S. Graebe, and M. Salgado. Control System Design. Prentice Hall, 2001.

Katsuhiko Ogata. Ingenierıa en Control Moderno. Pentice Hall, 1997.

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