Continuità delle funzioniContinuità delle funzioni

Funzione continua in un punto

Sia y=f(x) una funzione definita in un intervallo, aperto o chiuso, e sia x0 un punto interno a questo intervallo; diciamo che la funzione f(x) è continua in x0 se risulta:

lim f(x) = f(x0)

0xx

Deduzioni

• Esiste il valore della funzione nel punto x0

• Esiste ed è finito il limite della funzione per

• Il limite coincide con il valore assunto dalla

funzione nel punto

0xx

Se conveniamo di porre x = x0 +h, con h variabile, la condizione di continuità si può esprimere nella forma:

lim f(x0 +h) = f(x0)0h

Se una funzione f(x) è continua in un punto x0

il calcolo del limite per x tendente a x0

si ottiene ponendo nella funzione x = x0

Esempi di funzioni continue

a) La funzione f(x) = k è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x0

lim k = k0xx

Esempi di funzioni continue

b) La funzione f(x) = x è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x0

lim x = x0

0xx

Esempi di funzioni continue

c) La funzione f(x) = xn con n intero e positivo è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x0

lim xn = 0xx

nx0

Esempi di funzioni continue

d) Se la funzione f(x) è continua in x0 lo è pure la funzione k*f(x) con k costante;

cioè

)(*)(*lim 0xfkxfk 0xx

Esempi di funzioni continue

e) Se le due funzioni f(x) e g(x) sono continue in x0

lo sono pure:

f(x) + g(x) f(x) - g(x) f(x) * g(x)

)(

)(

xg

xf ) 0 ) ( (0 x g con

Esempi di funzioni continue

f) La funzione razionale fratta è continua in ogni x che non annulla il denominatore

Esempi di funzioni continue

f) La funzione f(x) = n x

È continua in ogni x se n è un intero positivo dispari

È continua in ogni x>0 se n è un intero positivo pari

Esempi di funzioni continue

f) La funzione f(x) =

è continua in ogni x

xa (con a>0)

Esempi di funzioni continue

f) La funzione f(x) =

è continua in ogni x>0

)1,0(log aaxa

Esempi di funzioni continue

f) Le funzioni f(x) =senx e g(x)=cosx

sono continue in ogni x

Funzione continua in un intervallo

Una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b] se è continua in ogni punto dell’intervallo.

Proprietà

Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], essa assume nell’intervallo il massimo e il minimo assoluto.Teorema di Weirstrass

Proprietà

Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], essa assume nell’intervallo ogni valore compreso tra il suo minimo e massimoassoluti. Teorema di Bolzano

Proprietà

Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], e se agli estremi dell’intervalloassume valori di segno opposto, essa si annulla inalmeno un punto interno all’intervallo. Teorema

Funzioni monotone

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo (a,b).

Se per ogni coppia di punti x1 e x2 dell’intervallo, con x1 < x2

risulta:

)()( 21 xfxf allora f(x) è crescente

)()( 21 xfxf )()( 21 xfxf

)()( 21 xfxf

non decrescente

decrescente

non crescente

MONOTONA

Funzioni limitate

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo (a,b).

Se esiste un numero reale h tale che per ogni x dell’intervallo è f(x)<h allora f(x) è limitata superiormente

Se esiste un numero reale k tale che per ogni x dell’intervallo è f(x)>k allora f(x) è limitata inferiormente

I valori h e k possono non appartenere al codominioI valori h e k possono non appartenere al codominio.