Note sulla risoluzione degli esercizi con le

coniche

Carlo Maria Scandolo

22/1/2014

Nota Nella parte sulla parabola ci sono alcune sottigliezze che non ho evi-

denziato e quindi ci costituisce un limite nella presentazione che do dell'argo-

mento. Allo stadio attuale di queste note, tale parte va pertanto considerata

pi che altro come un riferimento, non essendo la trattazione esaustiva.

1 Introduzione

All'equazione di secondo grado in due variabili

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx+ 2ey + f = 0 (1)

associamo la matrice

A =

f d ed a be b c

.Come trucco mnemonico si pu usare il fatto che gli elementi nella diagonale

principale sono quelli che non hanno il fattore 2. Poi bisogna ricordare che

la matrice dei termini di secondo grado in basso a destra. Gli altri termini

si costruiscono per simmetria e nella prima riga, dopo la f , la d e la e sonoin ordine alfabetico. In questo modo non troppo dicile ricordare dove

mettere i vari coecienti della conica nella matrice associata.

1

2 Metodo generale di procedere

Partiamo dalla matrice associata A. La prima cosa da fare calcolare ildeterminante di A. Se il determinante di A nullo, la conica degenere,altrimenti non degenere.

2.1 detA = 0: la conica degenere

A questo punto bisogna determinare il rango di A.Se il rango di A 2, allora la conica in realt l'unione di due rettedistinte. In questo caso, per capire quali sono le rette, piuttosto che lavorare

con la matrice A, conviene fare un raccoglimento parziale nella (1) e scrivereil primo membro come un prodotto di due polinomi di primo grado in x e y(le due rette).

Se il rango di A 1, allora la conica in realt una retta contata due volte.Anche in questo caso, per capire che retta , conviene lavorare direttamente

con la (1). Questa volta Scriviamo la (1) come il quadrato di un polinomio

di primo grado in x e y (la retta contata due volte).

2.2 detA 6= 0: la conica non degenereSe la conica non degenere, si considera la matrice A dei termini di secondogrado.

A =(a bb c

)Adesso si calcola il determinante di A.

se detA < 0, la conica un'iperbole se detA = 0, la conica una parabola se detA > 0, la conica un'ellisseNel caso la conica sia un'ellisse, bisogna fare un ulteriore controllo. Se anche

detA > 0, allora l'ellisse non ha punti reali e ci si ferma qui.Se, invece, detA < 0, la conica un'ellisse con punti reali.

2

2.2.1 Iperbole ed ellisse

Iperbole ed ellisse possono essere trattate insieme perch hanno delle pro-

priet comuni.

La prima propriet che esse hanno un centro C =

(pq

)e sono infatti

dette coniche a centro. Per determinarlo, bisogna risolvere il sistema(a bb c

)(pq

)+

(de

)= 0.

Trovato il centro, si diagonalizza A: gli autospazi1 W1 e W2 relativi aidue autovalori di A sono gli spazi direttori degli assi. A questo punto gli assidella conica sono C +W1 e C +W2.Ora possiamo calcolare i semiassi della conica. Essi sono legati agli auto-

valori di A tramite un coeciente moltiplicativo . Nel caso delle coniche acentro, dato da

= detA

detA.

Nel caso dell'ellisse, detA < 0 e detA > 0; nel caso dell'iperbole, detA > 0e detA < 0, per cui sempre positivo.La matrice di cambio di sistema di riferimento da R in cui la conica informa normale a quello canonico data da

X =

1 0 0p Rq

,dove R una matrice ortogonale le cui colonne sono una base ortonormaledi autovettori di A.

Iperbole Ricordiamo che la forma canonica dell'iperbole ha matrice asso-

ciata

A =

1 0 00 12

00 0 1

2

.1

Nel caso la conica sia un'ellisse, c' la possibilit che ci sia un solo autovalore con

molteplicit 2 e quindi un solo autospazio. In questo caso la conica una circonferenza,

per la quale non ha senso il calcolo degli assi.

3

Ora, sia

12che 1

2sono gli autovalori di A moltiplicati per .Vediamo che l'autospazio relativo all'autovalore positivo individua l'asse

trasverso dell'iperbole (detto anche asse focale), l'autospazio relativo all'au-

tovalore negativo negativo individua l'asse non trasverso.

A questo punto, noti e , si possono determinare tutte le caratteristichedell'iperbole.

I vertici dell'iperbole si trovano a distanza dal centro lungo l'assetrasverso. Per trovarli si pu anche intersecare l'asse trasverso con l'iperbole.

I fuochi sono quei punti sull'asse trasverso a distanza =2 + 2 dalcentro C dell'iperbole.In particolare, gli asintoti sono le rette passanti per il centro e hanno spazi

direttori

(

)e

(

)scritti come coordinate rispetto alla base

degli autovettori, prendendo come primo vettore della base quello associato

all'asse trasverso.

Ellisse Ricordiamo che la forma canonica dell'ellisse ha matrice associata

A =

1 0 00 12

00 0 1

2

, .in cui si assume

2 > . Anche in questo caso 12e

12sono gli autovalori di

A moltiplicati per .I fuochi stanno sull'asse associato ad , altrimenti stanno sull'asse as-sociato a . In ogni caso si trovano ad una distanza dal centro C, dove =

2 2. Ancora una volta gli assi sono le rette passanti per il centroe parallele agli autospazi di A.

2.2.2 Parabola

Per prima cosa dobbiamo determinare gli autovettori di A. Sicuramenteabbiamo un autovalore nullo.

L'autospazio relativo a 0 d lo spazio direttore dell'asse della parabola.

Per determinare un punto dell'asse, la procedura un po' macchinosa:

2

Si noti che questo sempre lecito, a meno di scambiare di posto e .

4

1. Sia v1 autovettore relativo all'autovalore non nullo e v2 autovettorerelativo a 0. Determiniamo il punto S denito come l'intersezione tra

la retta

(00

)+ v1 e la retta

(de

)+ v2.

2. L'asse della parabola si ottiene dalla soluzione del sistema

A(xy

)= S

Per trovare il vertice della parabola V =

(pq

), si interseca l'asse della

parabola con la parabola.

L'apertura della parabola legata all'autovalore non nullo della matriceA. C' per sempre di mezzo il coeciente moltiplicativo , che questa volta denito come

=

tr A

detASi pu dimostrare che il radicando sempre positivo e l'espressione ha sempre

senso.

La matrice associata a una parabola in forma normale y = x2 0 0 10 2 01 0 0

.In particolare 2 l'autovalore non nullo di A moltiplicato per .Noto , il fuoco si trova sull'asse della parabola ad una distanza 1

4|| dalvertice nella regione interna alla parabola.

La direttrice, invece, si trova nella regione esterna, ad una distanza di

14|| dal vertice ed parallela all'autovettore di autovalore non nullo.La matrice di cambio di sistema di riferimento da quello in cui la parabola

in forma normale (R) a quello canonico C

X =

1 0 0p Rq

,dove

(pq

)sono le coordinate del vertice e R una matrice ortogonale che

ha per colonne una base ortonormale di autovettori di A, a partire da quellodi autovalore non nullo.

5

3 Esempi

3.1 Iperbole

Analizziamo la conica di equazione

10x2 20xy 5y2 12x+ 6y 6 = 0.

La matrice associata

A =

6 6 36 10 103 10 5

.Calcoliamo il determinante di A: esso 2 33 52 6= 0, la conica nondegenere. Calcoliamo ora il determinante di A: esso 2 3 52 < 0. Laconica un'iperbole.

Determiniamone subito il centro. Dobbiamo risolvere il sistema(10 1010 5

)(pq

)+

( 63

)=

(00

)che ha come soluzione

C =

(2515

).

Prima di diagonalizzare A, calcoliamo .

= 2 3 52

2 33 52 =1

9.

Ora diagonalizziamo A. Il polinomio caratteristico

PA (x) = (x 15) (x+ 10)

Gli autovalori sono 15 e -10. Ricaviamo allora che

1

2=

1

9 15 = 5

3

12

=1

9 (10) = 10

9.

6

Quindi in forma normale l'iperbole ha equazione

53x2 10

9y2 = 1. Oracalcoliamo gli autospazi, che ci daranno gli assi dell'iperbole.

L'asse trasverso ha come spazio direttore l'autospazio relativo a 15. Esso

W (15) =

(21

)Quindi l'asse trasverso C +W (15) ed ha equazione cartesiana x+ 2y = 0.L'asse non trasverso ha come spazio direttore l'autospazio relativo a -10,

che il sottospazio ortogonale a W (15).

W (10) =

(12

)L'asse non trasverso C+W (10) ed ha equazione cartesiana 2xy1 = 0.L'iperbole ha semiasse trasverso =

35e semiasse non trasverso =

310. Allora =

35+ 9

10=

32e quindi i fuochi sono i punti F1 ed F2 a

distanza da C lungo l'asse trasverso.

F1 =

(25+ 1

5

30

15 1

10

30

)F2 =

(25 1

5

30

15+ 1

10

30

)

I generatori degli spazi direttori degli asintoti hanno coordinate

( 63

)e(

63

)rispetto alla base degli autovettori

{(21

),

(12

)}di A. Si

noti che abbiamo preso come primo vettore di base quello relativo all'asse

trasverso. Essi sono allora le rette(2515

)+

6

(21

)+ 3

(12

)=

(2515

)+

(26 + 3

6 + 6)

(2515

)+

6

(21

) 3

(12

)=

(2515

)+

(26 3

6 6)

.

Inne, nel nostro caso

X =

1 0 025

25

15

15 1

525

,7

dove abbiamo fatto attenzione a mettere prima l'autovettore relativo al se-

miasse trasverso.

3.2 Ellisse

Analizziamo la conica di equazione

11x2 4xy + 14y2 + 22x 4y + 5 = 0.

La matrice associata

A =

5 11 211 11 22 2 14

.Calcoliamo il determinante di A: esso 6150 < 0, la conica non degenere.Calcoliamo ora il determinante di A: esso 150 > 0. La conica un'ellissereale.

Determiniamone subito il centro. Dobbiamo risolvere il sistema(11 22 14

)(pq

)+

(112

)=

(00

)che ha come soluzione

C =

( 10

).

8

Prima di diagonalizzare A, calcoliamo .

= 1506 150 =1

6.

Diagonalizziamo A. Il polinomio caratteristico PA (x) = (x 15) (x 10).Gli autovalori sono 15 e 10. Ricaviamo allora che

1

2=

1

6 15 = 5

2

1

2=

1

6 10 = 5

3.

deve essere infatti maggiore di . Quindi in forma normale l'ellisse haequazione

53x2 + 5

2y2 = 1. Ora calcoliamo gli autospazi, che ci daranno gliassi dell'ellisse.

L'asse focale ha come spazio direttore l'autospazio relativo a 10, perch

nella nostra denizione di , 10 associato ad . Esso

W (10) =

(21

)Quindi l'asse focale C +W (10) ed ha equazione cartesiana x 2y+1 = 0.L'altro asse ha come spazio direttore l'autospazio relativo a 15, che il

sottospazio ortogonale a W (10).

W (15) =

(12

)Esso ha equazione cartesiana 2x+ y + 2 = 0.

Nel nostro caso =

35, =

25e quindi =

35 2

5= 1

5. I fuochi si

trovano nell'asse focale ad una distanza pari a da C. Essi sono

F1 =

( 35

15

)F2 =

( 7515

).

Inne, in questo caso

X =

1 0 01 25 1

5

0 15

25

,9

dove abbiamo fatto attenzione a mettere per primo l'autovettore relativo ad

e abbiamo considerato

( 1

525

)anzich

(15

25

)per avere una matrice

R di determinante 1 (in questo modo R rappresenta una rotazione e non unariessione).

3.3 Parabola

Analizziamo la conica

4x2 4xy + y2 6x 12y + 30 = 0

La matrice associata

A =

30 3 63 4 26 2 1

.Calcoliamo il determinante di A: esso 225 6= 0, la conica non degenere.Calcoliamo ora il determinante di A: esso 0. La conica una parabola.

10

Diagonalizziamo A. Il polinomio caratteristico PA (x) = x (x 5). Gliautovalori sono quindi 0 e 5. Determiniamo gli autospazi.

W (0) =

(12

)

(spazio direttore dell'asse, qui v2 =

(12

))

W (5) =

(21

)

(spazio direttore della direttrice, qui v1 =

(21

)).

Per determinare l'asse della parabola, dobbiamo prima determinare l'in-

tersezione tra le rette

(00

)+

(21

)e

( 36

)+

(12

), ossia

dobbiamo risolvere il sistema {x+ 2y = 02x y = 0

che ha per soluzione S =

(00

). A questo punto, l'asse si ottiene risolvendo

(4 22 1

)(xy

)=

(00

)che non altro che l'autospazio di A relativo all'autovalore 0. Allora l'asse la retta (

00

)+

(12

)che ha equazione cartesiana 2x y = 0.Intersecando la parabola con l'asse si trova che il vertice il punto V =(12

).

Per determinare l'apertura della parabola dobbiamo prima determinare

.

=

5225 =

1

45=

1

35

11

L'apertura data dal prodotto dell'autovalore non nullo per .

2 =1

35 5 =

5

3

L'equazione della parabola in forma normale allora y =56x2.La distanza del fuoco dal vertice

325. Allora F sar dato dal vertice pi

325volte il versore associato alla direzione positiva dell'asse della parabola,

ovvero quella che punta verso la regione interna della parabola. Aiuta molto

l'intuizione graca per capire come fare.

F =

(12

)+

3

25 1

5

(12

)=

(1310135

).

La direttrice la retta parallela a

(21

), passante per il punto dell'asse a

distanza

325dal fuoco, ma nella parte esterna della parabola.

Nel nostro caso la retta di equazione cartesiana 2x+ 4y 7 = 0.La matrice di cambio di sistema di riferimento

X =

1 0 01 25

15

2 15

25

12