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Soluzioni di Adriana Lanza QUESITO 6. Si determinino a e b in modo tale che il grafico della funzione passi per i punti del piano xy di coordinate (1,4) e (3,8) . → dividendo membro a membro → = Sostituendo nella prima equazione → → 4=1+b →b=3
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Soluzioni di Adriana Lanza
QUESITO 6. Si determinino a e b in modo tale che il grafico della funzione passi per i punti del piano xy di coordinate (1,4) e (3,8) .
→ dividendo membro a membro → =
Sostituendo nella prima equazione → →
4=1+b →b=3
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y=
QUESITO7. Un tetraedro ed un ottaedro regolari hanno gli spigoli della stessa lunghezza l. Si dimostri che il volume dell’ottaedro è il quadruplo di quello del tetraedro.
Prima dimostrazione :Calcolo dei due volumi, che indicheremo con V1 e V2 rispettivamente, in funzione dello spigolo l
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tetraedro
= l
Volume tetraesdro =
Ottaedro
Il volume è il doppio di quello di una piramide avente
per base un quadrato di lato l e altezza pari a =
Volume ottaedro = =
V2 = 4 V1
Seconda dimostrazione (geometrica)
Le figure seguenti mostrano che:
a) L’ottaedro di spigolo l può essere inscritto in un tetraedro di spigolo 2l, quindi di volume pari a 8 V1
b) Il tetraedro di spigolo 2l può essere decomposto in 5 parti, di cui una è l’ottaedro, le altre quattro consistono in tetraedri di spigolo l, quindi di volume pari a V1
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Pertanto
8V1= V2+4 V1
Da cui
V2= 4 V1
QUESITO8. Si trovi l’equazione della retta tangente alla curva di equazioni parametriche
x = 2t e nel suo punto di coordinate (2,1) .
Primo metodo
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Dalle equazioni parametriche si passa facilmente all’ equazione cartesiana della curva, eliminando il parametro t.
La curva passa effettivamente per il punto (2,1) che corrisponde al valore t=1 del parametro.
Nel suddetto punto la retta tangente ha coefficiente angolare m= y’(2)
→
Equazione della retta tangente x+2y-4=0
Secondo metodo
Le funzioni x(t) e y(t) , che rappresentano le coordinate di un generico punto della curva , sono continue e derivabili e il coefficiente angolare m della retta tangente nel punto (2;1) è
uguale al rapporto
Poiché x’(t) = 2 si trova m= , ovvero lo stesso risultato del primo
metodo
QUESITO9. Si dimostri che se una funzione f(x) è derivabile nel punto , ivi è anche continua; si porti un esempio di funzione continua in un punto e ivi non derivabile.
Ipotesi: f(x) è derivabile in xo →
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Tesi : f(x) è continua in xo.
f(x) è continua in xo se ovvero
Dall’identità
h si deduce
=
quindi
c.v.d.
Il risultato precedente è conseguenza diretta del fatto che, al tendere di h a 0, il limite del rapporto incrementale esiste ed è finito. Se il suddetto limite non esiste o è infinito, nulla si
può dire del limite .
La continuità è pertanto condizione necessaria per la derivabilità, ma non è condizione sufficiente, poiché esistono funzioni continue in un punto ma ivi non derivabili
Esempio 1 : punto angoloso
Sia f(x) un funzione continua e derivabile in x0 e sia
f(x0)=0
f(x)>0 in un intorno destro di x0
f(x) <0 in un intorno sinistro di x0
La funzione non è derivabile in x0
in quanto
=- f’( )
= f’( )
La derivata prima ammette in xo una discontinuità di prima
specie
Esempio 2. Cuspide
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La funzione
è continua in O(0,0) ma non è ivi derivabile
Se proviamo a calcolare il limite del rapporto incrementale, per h tendente a 0, troviamo
= =
La derivata prima
ammette in O una discontinuità di seconda specie
Esempio 3 Flesso a tangente verticale
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La funzione
è continua in O(0,0) ma non è ivi derivabile
Se proviamo a calcolare il limite del rapporto incrementale, per h tendente a 0, troviamo
= =
La derivata
ammette in O un discontinuità di seconda specie
La derivata seconda
è positiva per x<0 e negativa per x>0
Esempio 4 Punto isolato
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Il valore x=-1 appartiene al dominio ed è un punto isolato.
Per definizione la funzione è ivi continua, ma non è possibile definire la derivata
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QUESITO10. Si dimostri che la differenza dei quadrati di due lati di un triangolo è uguale alla differenza dei quadrati delle rispettive proiezioni dei lati stessi sul terzo lato del triangolo.
Con riferimento alla figura :
Si deve dimostrare che
Osserviamo che
c.v.d.
