SISTEMI CON VARIAZIONE DELLA FREQUENZA DI CAMPIONAMENTO · Nota: per maggiore chiarezza indicheremo...

S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali

SISTEMI CON VARIAZIONEDELLA

FREQUENZA DI CAMPIONAMENTO

“Multirate systems”


Alcuni esempi di comuni applicazioni• Acquisizione e ricostruzione di segnali (ADC e DAC) campionati a

frequenza maggiore di quella di Nyquist per ridurre la complessità dei filtri analogici di antialiasing e di ricostruzione

• Convertitori ADC/DAC Sigma‐Delta a singolo bit sovracampionati• Codifica e decodifica di voce e audio (es. codec voce telefonia

cellulare e MP3)• Ricostruzione audio hi‐fi da CD• Interfacciamento di sistemi di comunicazione a standard

differenti (es. DM↔PCM, TDM↔FDM)• Ricevitori per comunicazioni numeriche (es. modem,

sincronizzazione)• Filtraggio numerico a banda stretta (es. biomedica, geofisica)

2


Obiettivi

• Teoria della modifica con tecniche numeriche della frequenza di campionamento, singolo stadio e multistadio

• Specifiche e progetto dei sistemi di variazione della frequenza di campionamento

• Realizzazione efficiente dei sistemi di variazione della frequenza di campionamento

• Applicazioni dei sistemi di variazione della frequenza di campionamento

3

Nota: Sono anche detti “Sistemi numerici di decimazione e interpolazione”


VARIAZIONE DELLA FREQUENZA DI CAMPIONAMENTO

( INTERPOLAZIONE E DECIMAZIONE DI SEGNALI NUMERICI )

________________________________________________________

Il problema si presenta ogni volta che si desideravariare la frequenza di campionamento fc = 1/T di un segnale già campionato con passo T :

interontxnTxnTt

4

Nota: per maggiore chiarezza indicheremo esplicitamente il passo e la frequenza di campionamento usati


Indichiamo la nuova frequenza di campionamento''

c /Tf 1

operazione di INTERPOLAZIONE (creazione di nuovi campioni del segnale)

operazione di DECIMAZIONE (riduzione deicampioni del segnale)

TT

ff'

c'

c

TT

ff'

c'

c

5

Si possono avere due casi:

Nota: la frequenza normalizzata F si deve intendere in ogni caso riferita alla frequenza di campionamento del rispettivo segnale numerico.


CONVERSIONE DELLA FREQUENZA DI CAMPIONAMENTO

UN APPROCCIO ANALOGICO__________________________________________________________________

1 ) Soluzione ibrida

fT

fc

21

2

1

tx 'mTy

'mTt

nTx

6

numerica analogica numerica?

D/A A/D


2) Soluzione numerica

la migliore soluzione numerica?

troncamento delle funzioni di ricostruzione(realizzabilità)

n c

c

mTtc

c

n

'

nTmTπfnTmTπfsennTx

nTtπfnTtπfsennTxmTy

''

'

7


Soluzioni numerichepiù efficienti

8


CONVERSIONE DIRETTA DI UN FATTORE INTERO

Consideriamo i due casi:

1° casoDecimazione di un fattore intero M

2° casoInterpolazione di un fattore intero L

)MffMT(T c

c' ',

)LffLT(T cc

' ',

9


DECIMAZIONE

10

S. Morosi – Sistemi di Elaborazione Numerica dei Segnali 11

Il sistema che effettua la diminuzione della frequenza di campionamento di un fattore intero M è il Sottocampionatore:

che ha le seguenti proprietà:• è un sistema lineare• è tempo‐variante (non ha risposta in frequenza e funzione di trasferimento)• esistono le relazioni ingresso‐uscita del sistema nel dominio della trasformata

Z e della trasformata di Fourier

L’operazione di sottocampionamento (diminuzione della frequenza di campionamento) può introdurre aliasing e quindi distorsione del segnale.L’operazione di decimazione deve essere preceduta da un filtro che limiti il segnale nella banda [0 – fc

’/2].

mMTvmTy ' nTv


Decimazione di un fattore intero M

MTT' /Mff c'

c

f

FM

f 'c

21

2

M

1 H( f )

nTx 'mTy

12

Sottocampionamento di un fattore M

nTv


MH(z) nTx 'mTy

Analizziamo il sistema

nTv

1

0

/2/1/2/1

1

0

/2/1

1

0

//2

/1

0

/2

)()(1

]sottocamp. del i/o relaz. [ )(1

)(1

,0,11)(

)()'()(

M

k

MkjMMkjM

M

k

MkjM

M

k n

MnMnkj

Mn

n

M

k

Mnkj

m m

mm

ezXezHM

ezVM

zenTvM

mMnmMn

zeM

nTv

zmMTvzmTyzY


E nel dominio della frequenza, ricordando che:

fTjezzXfX 2)()(

fTjezzVfV 2)()(

'2)()( fTjezzYfY

si ha

)()(1

)(1

)(1)(1)(

''1

0

'1

0

1

0

)(221

0

'2'

cc

M

k

c

M

k

M

k

TkffjMkjM

k

MfTj

kffHkffXM

kffVM

eVM

eeVM

fY c

Nota: per comodità usiamo la stessa lettera per la TF e la TZ, pur essendo funzioni diverse del rispettivo argomento.


Relazioni ingresso-uscitaNella frequenza

1

0

1

0

1

1

M

k

'c

'c

M

k

'c

fkfXfkfHM

fkfVM

fY

Serve a valutare gli effetti di un filtro H(z) non ideale

Mk

MFX

Mk

MFH

MMk

MFV

MFY

M

k

M

k

1

0

1

0

11

ovvero in frequenza normalizzata


'mTy

cf2/cf cf2 f

Mff c

'c

22 f

'cf f

fX

fV

fY

cf cf2

'cf2

nTx

nTv

Es.: M=2

F1

1 F

F1

2/1

2/1

M2/1


Interpretazione

Lo spettro Y( f ) è la somma di M repliche (scalate del fattore1/M ) dello spettro X( f ) filtrato da H( f ), ciascuna traslata diun multiplo di

Δf = fc/M = fc’ ovvero ΔF = 1/M ( relativ. alla frequenza fc )

Conseguenza: tutto il contenuto spettrale non eliminato dallabanda attenuata del filtro H( f ) viene riportato nella bandautile del segnale decimato dall’operazione disottocampionamento, dando luogo ad una distorsionearmonica causata dall’aliasing.


Discende dalla relazione fra Sc( f ) e Sa( f )

(Teorema del campionamento)

cK

ac kffST

fS

1

18

il fattore 1/M è esattamente quello necessario per conservare la corretta relazione fra lo spettro del segnalenumerico decimato e del suo corrispondente analogico.

Osservazione :


0 10 20 30 40 50-1

0

1 x 10-3

Segnale Originale

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

Am

piez

za

F freq. normalizzata

0 10 20 30 40 50-1

0

1 x 10-3 Segnale Decimato

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

Am

piez

za


Effetti sullo spettro dell’operazione di sottocampionamento

Segnale originale e relativo spettro di ampiezza

Segnale sottocampionato di un fattore M=2 e relativo spettro di ampiezza (normalizzata).


0 10 20 30 40 50-1

0

1x 10-3 Segnale Decimato

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

Am

piez

za


0 10 20 30 40 50-1

0

1x 10-3 Segnale Decimato

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

Am

piez

za


Effetti sullo spettro dell’operazione di sottocampionamento (cont.)

Segnale sottocampionato di un fattore M=3 e relativo spettro di ampiezza (normalizzata).

Segnale sottocampionato di un fattore M= 4 e relativo spettro di ampiezza (normalizzata).Notare l’effetto dell’aliasing.


Supponiamo H(z) tipo FIR h[k] , risposta impulsiva di lunghezza N del filtro H(z)

Nel tempo

1

0)(

N

k

' TkMmxkhmTy

21

M=3

N=5h[k]

nTx

'mTy

'mTy 'Tmy )1( 'Tmy )2(


Osservazione

In teoria è possibile usare anche filtri IIR.

Se H(z) fosse un IIR (generico):

devono essere calcolate tutte le uscite a causa della parte ricorsiva (nessun risparmio di operazioni)


Schema finale della decimazione:

23

nTxH(z) M

Passa-basso

'mTy

Tfc

1 M

fMTT

f cc

11'

'Freq. Campion.

Sottocampionatore


Considerazioni energetiche

Occorre distinguere fra segnali deterministici (a energia finita) e segnali aleatori (a potenza finita).Segnali deterministici: la densità spettrale di energia dell’uscita del decimatore è data da:

Nella banda utile del segnale ( | f | < fc’/2 ovvero |F| < 0.5 ) l’energia desiderata è

quella data dal contributo per k=0 mentre la quantità data da tutti gli altri contributi per k≠0 rappresenta la distorsione spettrale totale sovrapposta al segnale utile.La distorsione dipende da tutta l’energia dello spettro del segnale di ingresso x(nT)non eliminata dal filtro H(z).

21

0

21

0

2

21

0

21

0

2

11

11

Mk

MFX

Mk

MFH

MMk

MFV

MFY

fkfXfkfHM

fkfVM

fY

M

k

M

k

M

k

'c

'c

M

k

'c


Segnali aleatori: si dimostra che l’uscita y(mT’) di un sottocampionatore, avente in ingresso un processo aleatorio WSS (stazionario in senso lato), è anch’essa un processo WSS, la cui funzione di autocorrelazione è il sottocampionamento del fattore M della funzione di autocorrelazione dell’ingresso. Quindi per le densità spettrali di potenze dell’ingresso Pvv( f ) [Pvv(F )] e dell’uscita Pyy( f )[Pyy(F)] di un sottocampionatore vale la relazione:

e quindi per le densità spettrali di ingresso Pxx(f) e di uscita Pvv(f) del decimatore si ha:

1

0

1

0

'

1

1

M

kvvyy

M

kcvvyy

Mk

MFP

MFP

kffPM

fP

2'1

0

'1c

M

kcxxyy kffHkffP

MfP

21

0

1

Mk

MFH

Mk

MFP

MFP

M

kxxyy


Anche per segnali aleatori nella banda utile del segnale ( | f | < fc’/2 ovvero |F|<0.5 )

la potenza desiderata è quella data dal contributo per k=0 mentre la quantità data da tutti gli altri contributi per k≠0 rappresenta la distorsione spettrale totale sovrapposta al segnale utile.La distorsione è data da tutta la potenza dello spettro del segnale di ingresso x(nT)non eliminata dal filtro H(z) .

Si può procedere quindi alla valutazione di un indice di qualità (SNR) definito (facendo riferimento ai segnali a potenza finita) come il rapporto fra la potenza desiderata nella banda utile e la potenza della distorsione spettrale.

)()(

filtrodelattenuatabandaresiduaPotenzafiltrodelpassantebandadesiderataPotenzaSNR


Valutazione del rapporto segnale-distorsione

L’analisi fatta consente di valutare il rapporto fra la potenza del segnale desiderato dopo la decimazione e la potenza residua (aliasing) della porzione di spettro non eliminata completamente dallabanda attenuata del filtro H(z). Esso è dato da

221

1δM

SNR

27

dFMk

MFH

Mk

MFP

dFMFH

MFP

dfkffHkffP

dffHfPSNR

M

kxx

xx

f

f c

M

kcxx

f

f xx

c

c

c

c

2/1

2/1

21

1

22/1

2/1

2/

2/

2'1

1

'

22/

2/'

'

'

'

Nel caso di densità spettrale Pxx( f ) costante e di un filtro non ideale con risposta in ampiezza fuori banda non superiore a δ2 , il rapporto segnale-distorsione in uscita dalla operazione di decimazione vale:


Un segnale costituito da tre sinusoidi di uguale ampiezzaalle frequenze di 1000 Hz, 2500 Hz e 5000 Hz, campionatoalla frequenza di 12000 Hz, è decimato di un fattore 3mediante un filtro con attenuazione fuori banda di 40 dB.

Specificare le bande passante e attenuata del filtro Determinare lo spettro del segnale decimato. Calcolare SNR

Come cambia lo spettro se si riduce la frequenza dicampionamento di un fattore 4?

Esempio

28


Esercitazioni di Laboratorio di MATLAB( reperibili a: http://e-l.unifi.it/)

• Decimazione


INTERPOLAZIONE

30


Il sistema che aumenta la frequenza di campionamento di un fattore intero L è il Sovracampionatore (inserimento di L – 1 campioni nulli) :

che ha le seguenti proprietà [Cap. 3.11.2]:• è un sistema lineare• è tempo‐variante (non ha risposta in frequenza e funzione di trasferimento)• esistono le relazioni ingresso‐uscita del sistema nel dominio della trasformata

Z e della trasformata di Fourier

L’operazione di sovracampionamento (aumento della frequenza di campionamento) genera L repliche del segnale originale nella banda utile del segnale sovrampionato.

Sovracampionamentodi un fattore intero L

L nTx

T/LT'

c'

c Lff

intero0

ppLm,

pLm,TLmxmTw '

Interpolazione di un fattore intero L [Cap. 9.3]


Esempio di inserimento di L-1 campioni nulli fra due campioni consecutivi (zero padding)

32

nTx

'mTw

(L=3)

nT zX

zW'mT


Analisi nel dominio delle trasformate

)()(

)()()()(

''

L

p

pL

mpLm

m

pLm

zXzpTx

zpLTwzmTwzW

)()()()(

)()()()(

2

2

2

'

'2

LFXeXzWFWovvero

fXeXzWfW

FLjez

LfTjez

Fj

fTj


LzXzW fXfW

Nel dominio delle frequenze fisiche f non cambia lo spettro, viene solo estesa di un fattore L la banda utile del segnale.Nel dominio delle frequenze normalizzate F sono generate L replichenella banda utile ǀF ǀ < 1/2. .

Esempio (L=3)

ovvero LFXFW

34

2/cf cf

cc ff )2/3(2/'

f

FX

fX

FW

fW

f

F

F

11/2

11/21/2L


Effetti sullo spettro dell’incremento della frequenza di

campionamento mediante inserimento di campioni nulli

Segnale originale e relativo spettro di ampiezza

Segnale ottenuto con inserimento di campioni nulli (L=2) e relativo spettro di ampiezza.

0 10 20 30 40 50-2

0

2x 10-3 Segnale Originale

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

Am

piez

za


0 10 20 30 40 50-2

-1

0

1x 10-3 Segnale Interpolato

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

Am

piez

za



0 10 20 30 40 50-2

-1

0


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

Am

piez

za


0 10 20 30 40 50-2

-1

0


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

Am

piez

za


Effetti sullo spettro dell’incremento della frequenza di

campionamento mediante inserimento di campioni nulli

(cont.)




Osservazione

Quale effetto si avrebbe ripetendo L-1 volte ciascun campione (invece di inserire L-1 campioninulli) ?

Verificare per esercizio

37


Seconda operazione: Filtraggio

f2

cf

L H(z)L

L=3

nTx 'mTw 'mTy

38

FL21


'cf

cf f

f

cf2 cf3 cf4

f

'cf2/'

cf

)( fXnTx

)( fWmTw '

)( fYmTy '

L=3

Lf 'c 2/

F

F

F

1

11/2LLfc 2/'

1/2

1/2

11/2L


Nella frequenza

)()()( ovvero LFXFHFYfXfHfY

Per un filtro ideale

altroveL

FLFH

ovveroaltrove

fL

ffLfHcc

,021,

)(

,022

,'

40

Relazioni ingresso-uscita


E lo spettro del segnale (idealmente):

altroveL

FLFLXFY

ovveroaltrove

fL

fffXLfYcc

,021,)(

)(

,022

,)('


k

'ca

k

'ca fkfX

TLfkfX

TfY 11

'

è necessario il guadagno L nella banda passante del filtro per conservare la corretta relazione fra lo spettro del segnale numerico interpolato e lo spettro del segnaleanalogico corrispondente.

42

Poiché si dovrebbe garantire (teorema del campionamento):


Nel tempo

1

0intero

N

k

'

Lkm,T

LkmxkhmTy

EsempioL=3N=5

H(z) filtro FIR di durata N

nTx

'mTw

1x4x

3x2x

43

Supponiamo H(z) tipo FIR h[k] , risposta impulsiva di lunghezza N del filtro H(z)

Nota: i coefficienti h[k] sono periodicamente tempo varianti (dipendono da m )


fase lineare e sfrutta i campioni nulli in ingresso per ridurre il numero di operazioni.

fase non lineare e in realizzazioni pratiche (es. cascata) impossibilità di sfruttare i campioninulli in ingresso per ridurre il numero di operazioni.

FIR:

IIR:

44

Che tipo di filtri usare?

preferiti i filtri FIR


Schema finale della interpolazione:

45

nTxH(z)L

Passa-basso

'mTy

Tfc

1 cc Lf

TL

Tf '

' 1Freq. Campion.

Sovracampionatore


Osservazione

Con un filtro passa banda (invece che passa-basso) èpossibile effettuare contemporaneamente unaoperazione di interpolazione e di traslazione dellabanda del segnale (modulazione DSB o SSB aseconda del filtro usato)

46


Considerazioni energetiche[Cap. 9.4]

Segnali deterministici: la densità spettrale di energia dell’uscita dell’interpolatore è data da:

Nella banda utile del segnale interpolato ( | f | < fc’/2 ovvero |F| < 0.5 ) l’energia

desiderata è quella nella banda | f | < fc/2 ovvero |F| < 0.5/L, mentre la quantità compresa nella banda fc/2 < | f | < fc

’/2 ovvero 0.5/L < |F| < 0.5 rappresenta la distorsione spettrale totale.La distorsione dipende da tutta l’energia dello spettro del segnale sovracampionatow(mT’) non eliminata dal filtro H(z). Nel caso di filtro H(z) ideale, l’energia del segnale di uscita Ey è L volte quella del

segnale di ingresso Ex (cap 9.4.1): intuitivamente nella sommatoria dell’energia ho un numero di contributi L volte maggiore.

222

222

)()()()()(

ovvero

LFXFHFWFHFY

fXfHfWfHfY


Segnali aleatori: si può dimostrare [Cap. 9.4.2 e A.7] che l’uscita w(mT’) di un sovracampionatore, avente in ingresso un processo aleatorio WSS (stazionario in senso lato), è un processo ciclostazionario di periodo L (CWSS)L, la cui funzione di autocorrelazione media è il sovracampionamento di un fattore L della funzione di autocorrelazione dell’ingresso divisa per L. Quindi per le densità spettrali di potenze dell’ingresso Pxx( f ) [Pxx(F)] e dell’uscita Pww ( f )[Pww(F)] di un sovracampionatore vale la relazione:

e quindi per le densità spettrali di ingresso Pxx( f ) e di uscita Pvv( f ) dell’interpolatore si ha:

)(1

)(1

LFPL

FP

fPL

fP

xxww

xxww

2)(1 fHfPL

fP xxyy

2)(1 FHLFPL

FP xxyy

Con filtro H(z) ideale con guadagno L, la potenza dell’uscita Py è uguale alla potenza dell’ingresso Px (cap 9.4.2): intuitivamente la potenza (grandezza mediata) non cambia. Inoltre dopo il filtro il segnale y(mT’) ritorna ad essere WSS.


Anche per segnali aleatori nella banda utile del segnale interpolato ( | f | < fc’/2

ovvero |F| < 0.5 ) la potenza desiderata è quella nella banda | f | < fc/2 ovvero |F| < 0.5/L, mentre la quantità compresa nella banda fc/2 < | f | < fc

’/2 ovvero 0.5/L < |F| < 0.5 rappresenta la potenza della distorsione spettrale totale. Essa è data dalla potenza delle L-1 repliche della densità spettrale del segnale sovracampionatow(mT’) attenuate dalla banda attenuata del filtro H(z).

Si può procedere quindi alla valutazione di un indice di qualità (SNR) definito (facendo riferimento ai segnali a potenza finita, ma la stessa conclusione vale per le energie dei segnali a energia finita) come il rapporto fra la potenza desiderata nella banda utile e la potenza della distorsione spettrale.

)()(



Valutazione del rapporto segnale-distorsione

Nel caso della interpolazione, a differenza della decimazione, è immediato valutare il rapporto fra la potenza (o energia) del segnaleinterpolato e la potenza (o energia) della distorsione dovuta allerepliche (immagini) dello spettro non eliminate completamente dallabanda attenuata del filtro H(z). Poiché ora tutte le L immagini del segnale dopo l’inserimento degli zeri hanno uguale potenza (o energia), un filtro non ideale con risposta in ampiezza fuori banda non superiore a δ2 , dà luogo a :

50

22)1(

1

L

SNR


Concludendo, confrontiamo i due schemi:

I filtri devono essere sempre progettati alla loro frequenza di campionamento, la maggiore in ciascun schema (ma ciò non implica necessariamente che l’elaborazione deve essere realizzata a questa frequenza).

H(z) M

Passa-basso

'mTy

Tfc

1

nTx

Passa-basso

Mf

MTTf c

c 11

''

Freq. Campion.

nTxH(z)L

Passa-basso

'mTy

Tf c

1 cc Lf

TL

Tf '

' 1Freq. Campion.

Decimazione

Interpolazione

Sottocampionatore

Sovracampionatore


Esempio: che prestazioni ha la classica interpolazionelineare del segnale?

L=2

nT

mT’ 'Tny )12(

TnTx

nTx

52


Il campione interpolato vale

TnTxnTxTny ' 2112

che corrisponde ad un FIR con N = 3 e

21211

210 hhh

Esercizio: Calcolare la risposta in frequenza di questo filtroe valutare il suo effetto sullo spettro del segnale interpolato.

53


Verificare che in questo caso l’operazione di interpolazioneequivale ad un filtro FIR con N = 5 e risposta impulsiva:

123231

3140 hhhhh

Esercizio: Calcolare la sua risposta in frequenza e valutare il suo effetto sullo spettro del segnale interpolato. Confrontare con il caso L = 2.

L=3

nTmT’

TnTx

nTx

54


Un segnale costituito da tre sinusoidi di uguale ampiezzaalle frequenze di 1000 Hz, 2500 Hz e 5000 Hz, campionatoalla frequenza di 12000 Hz, è interpolato di un fattore 3mediante un filtro con attenuazione fuori banda di 40 dB.

Specificare le bande passante e attenuata del filtro Determinare lo spettro del segnale interpolato. Calcolare SNR

Esempio

55


Esercitazioni di Laboratorio di MATLAB( reperibili a: http://e-l.unifi.it/)

• Interpolazione


VARIAZIONE DELLA FREQUENZA DI

CAMPIONAMENTO DI UN FATTORE L/M

[Cap. 9.5]

57


In linea di principio:

HD(z) MPassa-basso

'mTy

cc fML

Tf '

' 1

nTxHI(z)L

Passa-basso

Tfc

1 cc Lf

Tf ''

'' 1Freq. Campion.

Nota: l’operazione di interpolazione deve precedere l’operazione di decimazione per preservare la corretta massima banda di frequenze del segnale y(mT’).

I due filtri HI(z) e HD(z) sono in cascata e operano alla stessa frequenza di campionamento Lfc .


Conversione della frequenza di campionamento di un fattore L/M

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c'

c' f

MLf,T

LMT

M

L L

f1F1

fF

H(z)M

L deve precedere

M,

LF

f,ff'

cc

21

21min

22min

1

1

nTx ''qTv ''qTw 'mTy

59

cc LfT

f '''' 1

cc LfT

f '''' 1


In frequenza

1

0

1

0

1

0

1

1

1

M

k

'c

'c

M

k

'c

'c

M

k

'c

kffXkffHM

kffVkffHM

kffWM

fY

60

Relazioni ingresso-uscita

Serve per valutare gli effetti di un filtro H(z) non ideale


Mk

MLFX

Mk

MFH

M

Mk

MFV

Mk

MFH

M

Mk

MFW

MFY

M

k

M

k

M

k

1

0

1

0

1

0

1

1

1

ovvero in frequenza normalizzata

filtro con guadagno Lnella banda passante

21,

2min0,)()(

LMFF

MLX

MLFYPer un filtro ideale:


Per segnali a potenza finita si ha (utilizzando i risultati per decimatori e interpolatori):

2'1

0

'

2'1

0

'

1

1

c

M

kcxx

c

M

kcvvyy

kffHkffPML

kffHkffPM

fP

21

0

21

0

1

1

Mk

MFH

Mk

MLFP

ML

Mk

MFH

Mk

MFP

MFP

M

kxx

M

kvvyy


Esempio: conversione di un fattore L/M = 3/2(segnali a potenza finita)

63Ff

f2/cf cf

f

Sf

S

)S(Lδ 122

21

)( fPnTx xx

)( fPqTv vv''

)( fPqTw ww''

)( fPmTy yy'

2/''cf

2/'cf

'cf

F11/2

F

F

1/2

1/2

1/2 1

2/''cf

1/2L

M/2L


122 MSδ potenza della distorsione in banda1

2 potenza della distorsione fuoribanda ( L > M )

potenza totale della distorsione (interpolazione) (L/M>1)

MLSδ 22

122 LSδ

64

Con una conversione di un fattore L/M < 1 (decimazione) la potenza totale della distorsione è quella residua dello spettronella banda attenuata del filtro H(z) , tutta riportata nella bandautile del segnale decimato.

In conclusione:


In conclusione per ogni L/M :

)()(


Nel caso L/M > 1 (interpolazione):

)1(1

22

L

SNR


Nel tempo: H(z) tipo FIR di durata N

Considerato che:

intero

)(

)()(

1

0

1

0

1

0

''''

LkMm,T

LkmMxkh

TL

kmMvkh

TkmMvkhmMTwmTy

N

k

N

k

N

k

'

66

1

0

'''''' )()(N

kkTqTvkhqTw

Nota: i coefficienti h[k] sono periodicamente tempo varianti (dipendono da m )


Schema finale della conversione di un fattore razionale L/M:

67

L H(z)Passa-basso M

M,

LF

f,ff'

cc

21

21min

22min

1

1

nTx 'mTy

Freq. campion.T

fc1

cc Lff ''cc f

MLf '

Il filtro H(z) deve essere progettato alla frequenza di campionamento Lfc

Freq. campion.

SottocampionatoreSovracampionatore


Esempio

Nella conversione fra i formati audio CD e DAT la frequenza di campionamento deve essere convertita da 44,1 kHz a 48 kHz.

Determinare il fattore di conversione, disegnare un possibile schema del sistema e definire le specifiche del filtro per mantenere un SNR almeno di 90 dB.


Una interessante estensione


SEGNALI PASSA-BANDA

Bande possibili: intero,2

12

kf)(kffk cc

Interpolazione

70

Nota: k dispari spettro invertito

2cf f

L H(z)passa-banda

nTx 'mTy

cf2

'cf f


Per non averlo invertito, si modifica il segnaledi ingresso (prima della conversione):

f2

cf cf

nTxn1

71


Decimazione

Bande possibili: intero ,2

12

''cc f)(kffk

Per k dispari l’uscita ha lo spettro invertito

722

'cf f

MH(z)passa-banda

f2cf

nTx 'mTy

2

'cf f


Per non averlo invertito, si modifica il segnaledi uscita (dopo la conversione):

'1 mTym

Questa tecnica è alla base della codifica (decimazione) e della decodifica (interpolazione) del segnale audio nello standard MP3 (32 bande di uguale larghezza nella banda audio 0÷20 kHz) e in altre applicazioni che richiedono un banco di filtri (p.e. Cap. 9.9.2).


Esercizio (conversione fra standard TDM e FDM)

Due segnali PCM (voce nella banda 300÷3400 Hz) della stessa potenza campionati a 8 kHz sono convertiti in un aggregato di due canali FDM che occupa la banda 0÷8 kHz (4 kHz di banda per ogni canale)

Disegnare lo schema del sistema Definire le specifiche dei filtri in modo che il rapporto segnale-distorsione per ciascun segnale FDM sia non inferiore a 60 dB.


PROGETTO DI FILTRI PER INTERPOLAZIONE E

DECIMAZIONE

[Cap. 9.6]


PROGETTO DI FILTRI PER INTERPOLAZIONE E DECIMAZIONE

_______________________________________

ii) Minimizzazione quantità di operazioni: FIR

Caratteristiche:

i) Assenza di distorsione di fase: FIR

iii) Vincoli sulla risposta impulsiva per l’interpolazione (desiderabili ma non vincolanti)

76


Per iii) ricordando che

intero1

0 Lkm,T

LkmxkhmTy

N

k

'

e volendo imporre che in corrispondenza degli istantidi campionamento originari l’uscita sia uguale aicampioni originari dell’ingresso, ovvero che

TL

NrTxTNrTxpTrTxrLTy '

21'

21

77


occorre imporre:

e dalla relazione

12

1

Nh

Li,iNh di multiplo 02

1

Notare che con N≠ 2Lp-1 non si possono preservare i valoridei campioni originari (ma questo non è sempre necessario).

78

12 LpN

LipTrTxTL

iNrLxiNhrLTy

LpN

LpNi

' di multiplo,)(21

212

1

21


iv) Possibilità di sfruttare nell’interpolazionel’esistenza di bande dove il segnale è assente (dopo l’inserimento di campioninulli). In queste bande di assenza del segnale si possono imporre specifichemeno stringenti sulla maschera del filtroda progettare.

79


Metodo di progetto

Qualunque di quelli visti. In particolare:

• Metodo delle finestre (rispetta il requisito iii)

• Criterio di Chebychev, sfruttando in particolarele bande di assenza del segnale (iv) per diminuire il numero dei coefficienti. Si devonoimporre vincoli aggiuntivi per rispettare ilrequisito iii.

80


Esempio

Confrontare le risposte in frequenza di un filtro di interpolazione progettato con ilmetodo delle finestre e con il metodo diChebychev (imponendo il vincolo iii), a parità di numero di coefficienti.

81


Un caso particolare:FILTRI FIR “HALF - BAND”

(Cap. 9.6)

1)5.0()( FHFH

1

0.5

F1 F241

21 F

Per definizione:

82


Proprietà utile: risposta impulsiva h(n)

N = dispari

• In corrispondenza di multipli pari dal campione centrale la risposta impulsiva è nulla.

0 N-1 n21N

~ metà coefficienti uguali a zero83

h(n)


Per ogni campione d’uscita: 2P + 1 moltiplicazioni

(senza sfruttare la simmetria) P + 1 moltiplicazioni

(sfruttando la simmetria)Nota: hanno uguali valori di δ1 e δ2

Semplificazione realizzativa:

se N = 4P + 1, solo 2P + 1 coefficienti sono 0

84

Per quale valore del fattore di interpolazione o decimazione possono essere usati i filtri ‘half-band’ ?


STRUTTURE REALIZZATIVE PER DECIMATORI E

INTERPOLATORI

[Cap. 9.7]

85


DECIMATORI

86

nTxH(z) M

'mTy

Tfc

1 M

fMTT

f cc

11'

'Freq. campion.


z-1

z-1

z-1

h[0]

h[1]

h[2]

h[N-1]

M

FIR a struttura diretta

nTx 'mTy

87


z-1

z-1

z-1

h[0]

h[1]

h[2]

h[N-1]

M nTx 'mTy

M

M

M

88

Struttura che corrisponde alla formula della slide 21.Le N moltiplicazioni sono eseguite alla frequenza di uscita (la minore).


Per diminuire la complessità realizzativa si può sfruttare la simmetria della risposta impulsiva di un FIR a fase lineare.

Per esercizio: disegnare la struttura


INTERPOLATORI

90

nTxH(z)L

'mTy

Tfc

1 cc Lf

TL

Tf '

' 1Freq. campion.


z-1

z-1

Lh[0]

h[1]

h[2]

h[N-1]

FIR a strutturatrasposta

nTx 'mTy

z-1

91


z-1

z-1

L nTx 'mTy

z-1

h[0]

h[1]

h[2]

h[N-1]

L

L

L

92

Le N moltiplicazioni sono eseguite alla frequenza di ingresso(la minore).


Per diminuire la complessità realizzativa si può sfruttare la simmetria della risposta impulsiva di un FIR a fase lineare.

Per esercizio: disegnare la struttura


Proprietà generale:

Decimatori e interpolatori sono strutture duali, derivabili reciprocamente mediante operazionedi trasposizione di reti lineari.

94


Regole di trasposizione (complet.)

scambiare ingresso e uscita invertire il senso del flusso dei segnali punti di diramazione diventano punti di somma e

viceversa un’operazione di moltiplicazione per una sequenza

g[n] si trasforma in una moltiplicazione per g[-n] l’operazione di sottocampionamento si trasforma in

operazione di sovracampionamento dello stesso fattore e viceversa

95


Operazioni di trasposizione fra strutture realizzative

INGRESSO USCITA

R R

g[n] g[-n]96


Complessità realizzativa

Mr = numero di moltiplicazioni reali al secondoN = numero di campioni della risposta impulsiva FIR

Interpolatori: c'

c Lff cr fNM

Decimatori:Mff c'

c '

cr fNM

In generale 'ccr f,fNM min

Si può ridurre sfruttando la simmetria dei FIR a fase lineareoppure (se consentito) con i filtri ‘half-band’.

97


Esempio

Quale struttura si deve usare negli interpolatori e neidecimatori per sfruttare la simmetria dei FIR a faselineare?

98


Strutture polifasedi

interpolatori e decimatori

[Cap. 9.7.1]


Strutture polifase di filtri FIRFIR con N = QR ( R= M o L )

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0)(

R

k

Rk

k

R

k

Q

q

qRk

k

k

R

k

Q

q

kqR

N

n

n

zHz

zqhz

kqRhqh

zzkqRh

kqRnznhzH

100


Nota: applicando le regole di trasposizione si ottiene la strutturapolifase trasposta di un filtro FIR (per esercizio)

z-1

z-1

H0(zR)

H1(zR)

HR-1(zR)

Filtri polifase

Non convenienteper sistemi a frequenza dicampionamentocostante

nTx nTy

101

Strutturapolifase diun filtro FIR


Osservazione:Se iI filtro iniziale H(z) è un passa-basso con banda passante |F| ≤ 0.5/R, ciascuno dei filtri

ottenuto da una decimazione del fattore R della sua risposta impulsiva, ha una risposta in frequenza essenzialmente piatta nella sua banda |F| ≤ 0.5 .Sono dei passatutto che differiscono soltanto per la loro risposta in fase. Da questa proprietà discende il nome di filtri polifase.

1

0

)(Q

q

qkk zqhzH


Identità nobili [Cap. 3.11.3]

z-RR ≡ Rz-1

z-1R ≡ Rz-R

Generalizzazione: le identità sono ancora valide sostituendo:

)()(

1 zHzzHz RR


INTERPOLATORI

104

nTxH(z)L

'mTy

Tfc

1 cc Lf

TL

Tf '

' 1Freq. Campion.

Utilizzando per H(z) la sua struttura polifase e sfruttando le identità nobili si ottiene:


L

Filtri a bassafreq. camp.

z-1

z-1

H0(z)

H1(z)

HL-1(z)

nTx 'mTy

L

L


(m)L=0

LTT '

H0(z)

H1(z)

HL-1(z)

nTx

'mTy

106

Struttura polifase di un interpolatore


Osservazione

L’uscita di ciascuno degli L filtri polifase Hk(z) dello schema precedente è una versione del segnale di ingresso x(nT),filtrata passa-tutto e sfasata in modo da corrispondere agli istanti mT’ , con (m)L=k .


DECIMATORI

Utilizzando per H(z) la sua struttura polifase trasposta e sfruttando le identità nobili (oppure applicando direttamentele regole di trasposizione alla struttura degli interpolatori) si ottiene:

108

nTxH(z) M

'mTy

Tfc

1 M

fMTT

f cc

11'

'Freq. Campion.


nTxM

z-1

H0(z)

H1(z)

HM-1(z)z-1

M

M

'mTy

109

Filtri a bassafreq. camp.


(n)M=0

H0(z)

H1(z)

HM-1(z)

'mTy

nTx

TMT '

T

110

Struttura polifase di un decimatore


(mM)L=0LTT ' '

H0(z)

H1(z)

HL-1(z)

nTx

'mTy

111

Struttura polifase per la conversione di un fattore razionale L/M

CONVERSIONE DI UN FATTORE RAZIONALE L/MPrendendo uno ogni M campioni dell’uscita dell’interpolatore, la strutturadiviene ora:

LMTT '


Considerazioni finali

Le strutture polifase sono fra le più efficienti per la realizzazione di decimatori e interpolatori, specialmente per sistemi ad alte prestazioni (filtri con specifiche stringenti)[solo i filtri ‘half‐band’ hanno complessità realizzativa competitiva].

Quando le specifiche dei filtri non sono molto stringenti esiste anche una realizzazione alternativa di decimatori e interpolatori, particolarmente attraente perché non richiede moltiplicazioni ma solo somme.Si basa sui cosiddetti filtri CIC (Cascaded Integrator‐Comb).


Decimatori e Interpolatori con filtri CIC1

Si basano sulla realizzazione in forma ricorsiva di un filtro FIR ‘a finestra mobile’ di lunghezza D :

La sua risposta in frequenza (tipo passa‐basso) è:

1

1

0 11)(

zzzzH

DD

k

k

212

)()()(

DFj

eFsen

FDsenFH

113

1Cascaded Integrator Comb


-0.5 -0.25 0.25 0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

F

|H(F)|

D=4

D=8

Risposta di ampiezza

114

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei Segnali e Applicazioni

Un decimatore CIC ha la struttura:

Solo somme e minimo numero di celle di memoria.

z-1 z-D

D+‐

x(nT) y(mT’)Integratore Comb (pettine)

z-1

Dx(nT) y(mT’)

Integratore

z-1

+‐

Comb (pettine)

115


Se il segnale x(nT) ha un contenuto spettrale limitato ad una banda stretta in bassa frequenza (dove |H(F)| ≈ cost ), il segnale decimato y(mT’) mantiene lo spettro attenuando la distorsione (aliasing) dovuta alle componenti spettrali intorno ai valori multipli di 1/D.Si può diminuire la distorsione, a scapito della risposta in banda, mettendo in cascata N filtri CIC (CIC di ordine N ):

Decimatore CIC del fattore D e di ordine N

che realizza un filtro con una risposta in frequenza (relativa a fc = 1/T )

x(nT)D

y(mT’)

z-1z-1 z-1 z-1

+ +‐ ‐

212

)()()(

DFNjN

N eFsen

FDsenFH

116


Interpolatore CIC Esiste naturalmente anche la struttura CIC per gli interpolatori: essa si ottiene partendo da un blocco di inserimento di D-1 campioni nulli seguito da un comb e da un integratore oppure utilizzando direttamente le regole di trasposizione.

La struttura di un interpolatore CIC di ordine N è:

che realizza un filtro con una risposta in frequenza (relativa a f ’c = 1/T ‘) :

Interpolatore CIC del fattore D e di ordine N

212

)()()(

DFNjN

N eFsen

FDsenFH

117

x(nT)D

y(mT’)

z-1z-1 z-1 z-1

+ +‐ ‐


Se il segnale x(nT) ha un contenuto spettrale limitato ad una banda stretta in bassa frequenza (dove |H(F)| ≈ cost ), il segnale interpolato y(mT’) attenua le repliche (immagini) centrate sui valori multipli di 1/D.

Di conseguenza le strutture CIC (in decimazione e in interpolazione) possono essere vantaggiosamente impiegate solo per un segnale passa‐basso limitato in banda ad una frequenza

e comunque subisce una sagomatura dovuta a |HN(F)|.Per limitare questa distorsione può essere usato un filtro compensatore in cascata (alla minima delle frequenze di campionamento) con una risposta in ampiezza 1/|HN(F)| nella banda del segnale | f |≤ fmax . Naturalmente , per non perdere i vantaggi di una realizzazione CIC, i filtri compensatori devono avere pochi coefficienti (poche moltiplicazioni).

2max

cff

118


Esercizio

Interpolare di un fattore 10 un segnale con banda limitata a fmax=1 kHz, campionato a fc=10 kHz , con una struttura CIC.Determinare l’ordine N della struttura CIC in modo che l’attenuazione delle repliche immagini sia almeno di 40 dB. Determinare la conseguente massima attenuazione nella banda del segnale.

119


REALIZZAZIONE MULTISTADIODI

DECIMATORI E INTERPOLATORI

[Cap. 9.8]


Quando il fattore di conversione ( M o L ) è molto grande gli schemi precedenti possono richiedere filtri H(z) di durata N molto lunga (eccessiva per una realizzazione pratica).

EsempioInterpoliamo un segnale che occupa la banda (0÷31) kHz, campionato a fc = 64 kHz, alla frequenza f ’c = 1920 kHz ( L=30), con un filtro con deviazioni δ1 = δ2 = 0.001.

320010

1log132

2110

12

FF

N

È più efficiente realizzare la conversione della frequenza di campionamento in più stadi.


Si può fare quando il fattore di conversione ( M o L ) è fattorizzabile:

(non necessariamente fattori primi)

Vantaggi- riduzione del tasso di calcolo- riduzione memoria sistema- semplificazione del progetto dei filtri- minore sensibilità nella realizzazione con aritmetica a precisione

finita- migliore reiezione delle componenti spettrali da attenuare

Svantaggi- maggiore complessità della struttura di controllo (clock diversi)- attenta scelta di Q e di Mq o Lq

Conviene quando: L >> 1, M >> 1 ovvero L/M con L >> 1 e M >> 1 e bande di transizioni strette.

Q

qq

Q

qq LLMM

11


Lo schema è il seguente:

nTxH1(z) M1

'mTy

Tff cc

1)1(

1

1

)(Q

qq

cQc

M

ff

Q

qq

cc

M

ff

1

'

Freq. Campion.

HQ(z) MQ

Decimatore multistadio

nTxH1(z)L1

'mTy

cc fLf 1)1( c

Q

qq

Qcc fLff

1

)('Freq. Campion.

HQ(z)LQ

Interpolatore multistadio

Tfc

1


A) Iniziamo dal caso più semplice L=L1L2 (Q=2)

fp fc

)(nTx

Con 1 stadio:

pc

c

pc

c

ffLfC

ffLfN

2101log

232

2110

C dipende solo da δ1 e δ2 : assumiamo che C rimanga invariato negli schemi a singolo stadio e multistadio (valuteremo criticamente questa assunzione successivamente).Il tasso di moltiplicazioni per questa realizzazione è:

molt/s1, cstm NfT

f


Con 2 stadi

1° Stadio ( L1 )

2

11 2 L

Nff

fLCNpc

c

2° Stadio ( L2 )

c

pc

pc

pc

pc

c

pc

c

fff

LN

ffLff

ffLfC

ffLfLLCN

212

222 111

212

E il tasso di moltiplicazioni per questa realizzazione è:

molt/s)2

11(

1

1

21212,

c

pccccstm f

ffL

LL

NffLNfNT

Il risparmio è tanto maggiore quanto più grande è L2 e più stretta la banda di transizione iniziale.


Il risultato recedente suggerisce di scegliere per L1 il fattore minore e per L2 quello maggiore.

Le considerazioni precedenti si possono estendere con qualche cautela anche ad un numero superiore di stadi: la cautela deriva dal fatto che, dopo il primo stadio, la banda di transizione si allarga e il risparmio diminuisce.

In linea di massima conviene ordinare gli stadi diinterpolazione per valori crescenti dei fattori Lq


Nell’esempio precedente si ha:

sMmoltTLLsMmoltTLLsMmoltTLLsMmoltTL

stm

stm

stm

stm

/13,426,5/08,3010,3/45,2615,2/8,20430

2,21

2,21

2,21

1,

Con ogni scelta il risparmio è significativo e la configurazione migliore èL1=2, L2=15

Esercizio: Determinare il risparmio ulteriore effettuando l’interpolazione per 15 in due stadi (sistema a tre stadi)


Considerazioni finali sui valori di δ1 e δ2

1) I filtri Hq(z) sono in cascata e quindi per avere una complessiva deviazione in banda δ1 occorre che ciascuno abbia una

2) Se indichiamo con δ2’ la deviazione fuori banda di ciascuno dei filtri

Hq(z) , ogni stadio attenua del fattore δ2’ le Lq-1 repliche dello spettro

del segnale (tutte con la stessa potenza). Quindi per il rapporto segnale/distorsione:

Confrontandolo con quello a singolo stadio

la realizzazione multistadio è più vantaggiosa: ottiene lo stesso SNRcon una deviazione fuori banda dei filtri maggiore rispetto a quella dell’unico filtro del singolo stadio.

Q/1'

1

Q

qqL

SNR

1

2'2 )1(

1

)1(1

22

L

SNR


Quindi le realizzazioni a singolo stadio e multistadio non hanno le stesse specifiche dei filtri per le deviazioni in banda e fuori banda: i filtri della configurazione multistadio devono essere progettati con le deviazioni derivate in base alle due considerazioni precedenti.

Nota finaleNel confronto sulla complessità realizzativa dei due schemi (tasso di moltiplicazioni) abbiamo assunto costante il valore C, che a rigore non lo è. Tuttavia poiché:

i. le variazioni di δ1’ e δ2

’ rispetto a δ1 e δ2 tendono a compensarsi ii. la sensibilità di C da queste è ridotta dalla funzione logaritmica

l’analisi sviluppata e le sue conclusioni sono comunque da ritenersi sostanzialmente valide.


B) Consideriamo ora il caso della decimazione per il fattore M=M1M2 (Q=2)

Supponiamo che il filtro del singolo stadio abbia le specifiche:

2

1

dev. attenuata banda

trans.dibanda

dev. 0 passantebanda

δff

fff

δff

s

sp

p

1 stadio:

][

101log

32

''1,

2110

MffNfT

Cff

fCN

cccstm

ps

c


2 stadi:Nel primo stadio la banda di transizione possibile del filtro è

)1

1(

)(

11

1

Quindi

12 larghezza di

'2

2

1

''2

'21

'2

112,

112

'2

21

21

21

2

21111

c

pscccc

cstm

ps

c

c

ps

c

c

ccc

pc

pc

p

fff

MM

MNffNfMNfN

MfNT

MN

ffMfCN

fff

MN

MMMf

fCN

MMMf

MMf

Mff

Mff

Mfff

Il risparmio è tanto maggiore quanto più grande è M1 e più stretta la banda di transizione iniziale.


Il risultato precedente suggerisce di scegliere per M1 il fattore maggiore e per M2 quello minore. Ordinamento dei fattori invertito rispetto alla interpolazione multistadio.

Le considerazioni precedenti si estendono anche ad un numero superiore di stadi, con la stessa cautela dell’interpolazione.

In linea di massima conviene ordinare gli stadi di decimazione per valori decrescenti dei fattori Mq

OsservazioneNon è sorprendente l’inverso ordinamento dei fattori nella interpolazione e nella decimazione, ricordando che le relative strutture realizzative sono duali.Applicando le regole di trasposizione, una struttura multistadio di interpolazione si trasforma in una di decimazione e viceversa.


Considerazioni finali sui valori di δ1 e δ2

1) I filtri Hq(z) sono in cascata e quindi per avere una complessiva deviazione in banda δ1 occorre che ciascuno abbia una

2) Se indichiamo con δ2’ la deviazione fuori banda di ciascuno dei filtri Hq(z),

ogni stadio attenua del fattore δ2’ lo spettro da eliminare.

Quindi per il rapporto segnale/distorsione:

Solo nel caso di spettro iniziale con potenza uniforme su tutta la banda

Q/1'

1

Q

q

p

q-simo

ffSNR

1

2'2 ) filtro del attenuata banda nella Potenza(

][ banda nella segnale deldesiderata Potenza

Q

qqM

SNR

1

2'2 )1(

1


Confrontandola con quella a singolo stadio, la realizzazione multistadio è più vantaggiosa: ottiene lo stesso SNR con una deviazione fuori banda dei filtri maggiore rispetto a quella dell’unico filtro del singolo stadio.

Quindi, anche per la decimazione, le realizzazioni a singolo stadio e multistadio non hanno le stesse specifiche dei filtri per le deviazioni in banda e fuori banda: i filtri della configurazione multistadio devono essere progettati con le deviazioni derivate in base alle due considerazioni precedenti.

Vale ancora la stessa nota finaleNel confronto sulla complessità realizzativa dei due schemi (tasso di moltiplicazioni) abbiamo assunto costante il valore C, che a rigore non lo è. Tuttavia poiché:i. le variazioni di δ1

’ e δ2’ rispetto a δ1 e δ2 tendono a compensarsi

ii. la dipendenza di C da queste è ridotta dalla funzione logaritmica

l’analisi sviluppata e le sue conclusioni sono comunque da ritenersi sostanzialmente valide.


Esempio

Progettare un decimatore da una frequenza fc = 10kHz ad unafrequenza fc

’= 100 Hz (M = 100). Il segnale ha una banda passanteda 0 a 45 Hz e una banda di transizione da 45 a 50 Hz. Si richiede δ1 = δ2 = 0.01 (deviazioni complessive) e il segnale di partenza ha una densità spettrale di potenza uniforme.Confrontare la complessità realizzativa (moltiplicazioni/s) neiseguenti casi:

a) un solo stadio con M = 100

b) due stadi con M1 = 50 e M2 = 2

c) due stadi con M1 = 25 e M2 = 4

d) due stadi con M1 = M2 = 10

e) Per la configurazione più conveniente a due stadi, determinarel’ulteriore risparmio con una configurazione a tre stadi.


Ottimizzazione del progetto multistadio

Si devono determinare:Q, numero degli stadiMq (Lq), fattori di conversione

in modo da minimizzare il tasso di moltiplicazioni/s:

simoqfsimoqN

simoqfNT

TT

q

q

qqqm

Q

qqmm

stadio dello campion. difrequenza minore, stadio dello filtro dellunghezza ,

e stadio dello tasso

con

,

1,

Se il q-simo stadio usa filtri half-band il suo tasso si riduce di un fattore ~1/4


Criteri di massima da seguire

In genere il massimo risparmio si ha passando da uno stadio a due stadi; il risparmio ulteriore diminuisce all’aumentare del numero degli stadi.

Aumentando il numero degli stadi aumenta il numero di ‘clock’ presenti nella realizzazione; il risparmio computazionale all’aumentare di Q può non giustificare l’introduzione di nuovi ‘clock’.

Fattori ordinati in senso crescente per l’interpolazione e in senso decrescente per la decimazione

Utilizzare, se le prestazioni lo consentono, i filtri CIC Utilizzare, se possibile, i filtri ‘half-band’ che riducono drasticamente il

numero di moltiplicazioni. In questo caso i fattori di conversione devono essere uguali a 2. Questa scelta dei fattori di conversione è da privilegiare tutte le volte che sia possibile. Esempio: fattore di conversione 25=32 nella co-decodifica audio MP3.


ALCUNE APPLICAZIONI(delle numerose esistenti)


Riproduzione audio hi-fi dei CD

Il segnale audio x(nT) memorizzato sui CD è campionato a 44,1 kHz e quantizzato a 16 bit (SNR ≈ 90 dB). Il suo spettro è nella banda 0÷20 kHz.La ricostruzione diretta richiederebbe un DAC con un filtro analogico a fase lineare e banda passante piatta 0÷20 kHz e banda attenuata almeno di 90 dB a partire da 24,1 kHz. Troppo difficile e costoso da realizzare. Si allontanano le repliche spettrali del segnale con una operazione di interpolazione in modo da poter usare un filtro analogico con banda di transizione più larga, più facile da realizzare con le specifiche richieste (p.e. filtro di Bessel a fase quasi lineare del terzo ordine).La scelta (libera) più conveniente del fattore di interpolazione è una potenza del 2 in modo da realizzare una interpolazione multistadio con fattori 2 e filtri ‘half-band’.Tipicamente i riproduttori di CD usano una fattore di interpolazione L=8.


Lo schema è il seguente:

'mTy

kHzf c 1,44 kHzff cc 8,3528' Freq. Campion.

nTx

HHB(z)2

Riproduzione da CD

HHB(z)2 HHB(z)2 DAC ty

EsercizioProgettare il sistema in modo che il SNR del segnale y(mT’) sia almeno 90 dB. Calcolare la complessità realizzativa (molt/s) del sistema completo.Determinare il numero di bit Bm di una realizzazione in virgola fissa in modo che ogni stadio introduca una degradazione non superiore a 0,1 dB.


Conversione fra standard di memorizzazionedel segnale audio

________________________________________

Esistono due standard per l’audio ad alta fedeltà:

CD (compact Disc): fc =44,1 kHz, 16 bit (commerciale)

DAT (Digital Audio Tape): fc =48 kHz, 16 bit (professionale)

Per convertire fra i due standard occorre un fattore di conversione:

inversol'o160147

ML

Esercizio: Progettare un sistema di conversione da DAT a CD con una distorsione massima di -90 dB (segnale originale nella banda audio 0÷20 kHz). Singolo o multistadio?


Banchi di filtri[Cap. 9.9.2]

Si usano nelle cosidette analisi e sintesi di un segnale

Analisi Sintesi

H1(z)

x(nT)

HK(z)

H2(z)

M1

M2

MK

G1(z)

x’(nT)

L1

L2

LK

G2(z)

GK(z)

Analisi: si estrae e si riporta in bassa frequenza la banda di interesse.Sintesi: si inserisce il segnale nella banda di destinazione.I fattori di decimazione e interpolazione Mi = Li possono essere diversi a seconda della banda del segnale da estrarre (analisi) o da inserire (sintesi).Quali sono i possibili valori?


Caso di due canali: M1=M2=L1=L2=2

Utilizzando le relazioni ingresso-uscita nel dominio z del decimatore e dell’interpolatore per 2 si ottiene:

)()()()()(21

)()()()()(21)('

2211

2211

zXzGzHzGzH

zXzGzHzGzHzX

Condizioni di perfetta ricostruzione:

0)()()()(

0)()()()(

2211

2211nzczGzHzGzH

zGzHzGzH


Due tipiche applicazioni dei banchi di filtri

Codifica (analisi) e decodifica (sintesi) del segnale audio: p. e. nello standard MP3 si usano 32 bande uniformi nello spettro audio 0÷20 kHz : fattori di conversione tutti uguali pari a 32.

Transmultiplexers: conversione numerica diretta fra un aggregato FDM e una trama TDM (analisi) e viceversa tra una trama TDM e un aggregato FDM (sintesi)


Codifica per sottobande(voce e immagini)

Nella voce la maggior parte dell’energia è contenuta alle basse frequenzealle quali inoltre l’apparato uditivo è più sensibile per la comprensione e ilriconoscimento del parlatore. Una semplice suddivisione in sottobande della voce (0÷4 kHz o 0÷7 kHz a seconda della qualità) è la seguente:

e ciascuna banda filtrata e decimata è successivamente codificataseparatamente, in modo da avere minore perdita di informazione allebasse frequenze (più bit di codifica).

1 2 3 4

0 1/16 1/8 1/ 4 1/ 2 F


Lo schema realizzativo del codificatore è il seguente:

Decim. Passa-alto

M=2

Decim. Passa-basso

M=2

x(nT)

voce

Decim. Passa-alto

M=2

Decim. Passa-alto

M=2

Decim. Passa-basso

M=2

Decim. Passa-basso

M=2Banda 1

Banda 2

Banda 3

Banda 4


Lo schema precedente può facilmente estendersi ad un numero di bande maggiore di 4, aumentando la risoluzione spettrale alle basse frequenze.

Questa tecnica è stata applicata con buone prestazioni anche alla codifica di immagini, utilizzando filtri numerici bidimensionali.

EsercizioDisegnare lo schema del decodificatore per sottobande


Filtraggio a banda stretta

Un filtro numerico (singola frequenza) a banda B molto stretta (alto rapportofc/B , p.e. > 100 ) può essere molto costoso da realizzare: filtri FIR molto lunghi e/o IIR di ordine elevato. Può risultare più conveniente questo schema:

Si decima (multistadio) il segnale estraendo la banda di interesse e poi siinterpola (multistadio) dello stesso fattore per ottenere la banda desiderata alla frequenza originaria.Esercizio: Verificare con B=45 Hz e banda attenuata (60dB) da 50Hz e frequenza di campionamento 1/T=fc= 20 kHz.

Un altro approccio: Interpolated FIR (Es. 6.3 Cap. 6)

nTxH1(z) D H2(z)D

nTy


Traslazione frazionaria del passo di campionamento(Ritardo frazionario)

[Cap. 9.9.1]

Si generano i campioni del segnale di uscita con lo stesso pettine di campionamento del segnale di ingresso però traslato (p.e.) a sinistra di una frazione di T .Più precisamente si deve ritardare il segnale di ingresso di [un numerointero di passi di campionamento T più] una frazione di T :

Progettare un filtro passa-tutto che introduca esattamente la traslazione frazionaria τ è molto difficile. Lo schema di un interpolatore di un fattore L seguito da un decimatore dello stesso fattore offre una soluzione semplice e efficiente.

110 L,,,k,TLkτ


Lo schema di principio è il seguente:

Il filtro H(z), a fase lineare e di lunghezza N, introduce un ritardo ( N dispari )

Dopo la traslazione z r il ritardo effettivo è Quindi:

che determina la scelta di r .

z rL H(z) L nTx nTy

Freq. campion.Tfc

1

cc LfTL

Tf '

' 1c

cc f

Lff

'

2

12

1 '

LTNTNd

krN

L

mod21

2

1 ''' TkILTrNd


Lo schema realizzativo è il seguente.Consideriamo la struttura polifase dell’interpolatore: i campioni dell’uscita dell’r-simo filtro polifase sono esattamente quelli con l’anticipo rT’ (Es 3.21)

il segnale y(nT) è l’uscita del r-simo filtro polifase Hr(z)151

H0(z)

Hr(z)

HL-1(z)

nTx

nTy


Per un fissato τ si progetta il filtro interpolatore H(z) e si seleziona la sua r-esima componente polifase. Occorre implementare un solo filtro polifase e di fatto si ha un sistema ad unica frequenza di campionamento.

La struttura si presta naturalmente a realizzare traslazioni frazionarie variabili nel tempo (p.e. sistemi di sincronizzazione nelle comunicazioni numeriche): le uscite dei filtri polifase forniscono le traslazioni a passi di (risoluzione della variazione del pettine di campionamento):

Il segnale traslato ha un rapporto segnale/distorsione (singolo stadio):

dovuto alle L-1 repliche attenuate di δ2 del segnale originale.

LT

)1(1

22

L

SNR


x(nT)

L 3 N 11

h[9] h[6] h[3] h[0]

h[10] h[7] h[4] h[1]

h[8] h[5] h[2]

k 2

k 1

k 0

y(nT)

Esempio


Esercizio

Quale componente polifase usare per avere una traslazione frazionaria 3T/8 a sx con un filtro H(z) con N=95 ? E per 7T/8 ?E per 3T/8 a dx?

Esercizio

Per la traslazione frazionaria potrebbe essere usato un filtro H(z) con lunghezza N pari?Quali conclusioni possiamo trarne?


Σxc(nT) d(nT) x(nT)

+‐

fc =1/TQBQ

155

Sigma‐Delta A/D e D/A

Sono convertitori sovracampionati che impiegano una frequenza di campionamentofc >>2fmax ( fmax banda occupata dal segnale) e una quantizzazione con un numero dibit BQ molto basso (al limite 1). Si basano sul principio che i campioni successivi di un segnale sovracampionato sono altamente correlati e quindi la loro differenza(dinamica limitata) può essere quantizzata con pochi bit. Lo schema di principio è il seguente:

Si quantizza la differenza d(nT) fra il segnale dal campionatore xc(nT) e una sua stima x(nT) all’uscita del blocco integratore Σ delle differenze.Sostituendo al quantizzatore il suo modello linearizzato, invertendo i blocchi Qe Σ e modellando l’integratore con una opportuna G(z), si ottiene:

Sigma‐Delta

E. Del Re – Elaborazione Numerica dei Segnali e Applicazioni 156

Scegliamo per G(z) un integratore numerico ritardato di un campione:

)()()(1

)( 1

1

TnTvTnTwnTvz

zzG

Si ha:

q. di err.dell' f.d.t.1)(1

1)(

segnale del f.d.t.)(1

)()(

con)()()()()(

1

1

zzG

zH

zzG

zGzH

zHzEzHzXzX

q

qqc

G(z)xc(nT) x(nT)+

‐

eq(nT)w(nT) v(nT)

z-1w(nT) v(nT)


In frequenza:

FsenFH

FH

q 2)(

1)(

|H(F)|

|Hq(F)|

Fmax

Il segnale, ritardato di un campione, occupa la banda fino a Fmax = fmax /fc[sovracampionato del fattore M=1/(2 Fmax )], mentre lo spettro di potenza (bianco) dell’errore di quantizzazione è pesato dalla |Hq(F)|2 .Quindi filtrando l’uscita x(nT) nella banda fino a Fmax la varianza dell’errore dovuto alla quantizzazione a BQ bit si riduce a:

max

max

22

2 )(3

2 F

F q

B

q dFFHQ

0.25 0.5

1

2

F


Si ottiene un guadagno del SNRq pari a:

grande) ( 32

1

)(

12

3

2max

max

MM

Msen

MdFFH

G F

F q

158

ovvero: 17,5log30 10 MGdB


Sigma‐Delta

159

Lo schema finale diventa:

dove la parte numerica è solo dopo il quantizzatore; quella che precede è analogica discreta e campionata.D(z) passa‐basso [0÷Fmax] e M = 1/(2Fmax ).

Il guadagno del SNRq porta ad una quantizzazione effettiva in uscita di1:

86,0log23

02,6 2 MBGBB QdB

Qq

xc(nT) x(nT)+‐ z-1

QBQ D(z) My(mT’)

1 BqdBdBq SSNRSBSNR 223,77.402.6)(


Esistono naturalmente anche i Sigma‐Delta D/A

nei quali la ricostruzione di un segnale numerico a Bq bit è effettuata interpolando di una fattore L prima di inviarlo al Sigma‐Delta che lo quantizza in uscita a BQ=1 bit. Il segnale (analogico) a 1 bit è inviato direttamente al filtro di ricostruzione.

I convertitori Sigma‐Delta A/D e D/A sono semplici, efficienti e a basso costo.

x(nT)L D(z)

y(mT’)Sigma‐Delta

160


Esempio

ADC per segnale telefonico con banda fino a fmax= 4 kHzBQ = 1fc = 2,048 MHzf’c = 8 kHzM = 256

Alla fine otteniamo un segnale con una quantizzazione equivalente a:

Bq = 12 bit

SISTEMI CON VARIAZIONE DELLA FREQUENZA DI CAMPIONAMENTO · Nota: per maggiore chiarezza indicheremo...

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