Comportamento assintótico de sistemas não lineares ...€¦ · Aos amigos Germán Jesus´...

Comportamento assintotico de sistemas naolineares discretos 1

Luıs Roberto Almeida Gabriel Filho

Orientador: Prof. Dr. Hildebrando Munhoz Rodrigues

Dissertacao apresentada ao Instituto de Ciencias Matematicas

e de Computacao - ICMC-USP, como parte dos requisitos para

obtencao do tıtulo de Mestre em Matematica.

USP – Sao Carlos

Marco/2004

1Este trabalho teve suporte financeiro da FAPESP

Ofereco

A minha noiva,

Camila.

Ao meu irmao,

Leonardo.

Aos meus pais,

Gabriel e Delfina.

As minhas avos,

Luzinete e Nadyr.

Agradecimentos

Ao professor Dr. Hildebrando Munhoz Rodrigues pela dedicacao, responsabilidade e

determinacao com que orientou este trabalho. A sua humildade, paciencia, tolerancia e

sabedoria fizeram com que as barreiras quase intransponıveis que enfrentei pudessem ser

superadas.

Ao meu pai Luiz Roberto Almeida Gabriel que nunca desistiu de acreditar em mim na

sua ilimitada sabedoria.

A minha mae Delfina Aparecida Rigo Gabriel e ao meu irmao Leonardo Rigo Almeida

Gabriel pelo carinho e paciencia que sempre tiveram comigo.

Aos professores Dr. Carlos Teobaldo Gutierrez Vidalon e Dr. Jose Gaspar Ruas Filho

pela amizade e apoio nos momentos mais difıceis da realizacao de minha pos-graduacao.

Aos amigos German Jesus Lozada Cruz e Ricardo Parreira da Silva pelas preciosas

contribuicoes dadas neste trabalho.

Aos professores Francisco Regis Zago de Oliveira e Ricardo Toshio Kuniyoshi pela grande

amizade, pelo apoio e por estarem presentes nas horas mais incertas.

Aos professores Antonio Assis de Carvalho Filho, Jose Roberto Nogueira, Luiz Carlos

Benini, Marcio Cardim, Messias Meneguette Junior e Suetonio de Almeida Meira pelo apoio

e incentivo durante toda a minha formacao academica.

A minha querida amiga Celeste Corral Tacaci Neves Baptista por estar presente nos

momentos mais difıceis de minha vida.

A minha futura esposa Camila Pires Cremasco pelo seu amor.

Aos colegas de curso, aos professores e funcionarios do ICMC e, de uma forma geral, a

todos que de alguma maneira contribuıram para a realizacao deste trabalho.

Resumo

Neste trabalho, apresentamos em primeiro lugar um estudo de dois trabalhos de J. P.

LaSalle, abordando o comportamento assintotico de sistemas discretos.

Em segundo lugar, estudamos a dinamica de um sistema discreto que depende de um

parametro λ ∈ Λ, da forma xn+1 = f(xn, λ). Como uma parte deste objetivo geral,

desenvolvemos tecnicas para obter estimativas uniformes (em relacao ao parametro λ ∈ Λ)

do atrator quando o sistema for globalmente dissipativo. Esses metodos sao baseados em

funcoes auxiliares tipo Liapunov. No final deste trabalho, apresentamos algumas simulacoes

envolvendo sistemas discretos caoticos, como os sistemas de Chua, Henon, Ikeda, Lorenz e

Rossler.

Abstract

Firstly, in this work, we present a study of part of two works by J. P. LaSalle, concerning

with asymptotic behavior of discrete systems.

Secondly, we study the dynamics of a discrete system that depends on a parameter λ ∈ Λ,

of the form xn+1 = f(xn, λ). As part of this general purpose, we develop tecniques to obtain

uniform estimates (with respect to the parameter λ ∈ Λ) of the attractor when the system

is globally dissipative. These methods are based on auxiliary functions of Liapunov type. In

the last part of this work we present some simulations envolving chaotic discrete systems,

namely: Chua, Henon, Ikeda, Lorenz and Rossler.

Sumario

Introducao 1

1 Sistemas Semidinamicos Discretos 3

1.1 Equacoes de Diferencas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Sistemas Dinamicos Discretos em Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Conjunto Limite de Orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Invariancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Propriedades Basicas dos Conjuntos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Funcoes de Liapunov. Uma extensao do metodo direto de Liapunov . . . . . 23

1.7 Estabilidade e Instabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Sistemas Semidinamicos Discretos Nao Lineares 37

2.1 Teoremas e Metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Exemplos de Sistemas Nao Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3 Simulacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3.1 Atrator de Chua Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3.2 Atrator de Henon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3.3 Atrator de Ikeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.3.4 Atrator de Lorenz Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3.5 Atrator de Rossler Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.4 Comentarios Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Bibliografia 63

Introducao

Devido a grande variedade de aplicacoes, cientistas de areas aplicadas tem concentrado

esforcos no estudo de sistemas nao lineares. O objetivo deste trabalho e desenvolver metodos

matematicos para estudar o comportamento assintotico de sistemas nao lineares discretos.

Utilizamos alguns resultados de J. P. LaSalle, [17, 18]. Vamos considerar um sistema discreto

do tipo xn+1 = f(xn, λ), λ ∈ Λ, definido em um espaco de Banach.

Dentro de certas condicoes, provamos que existe um conjunto limitado B, independente

de parametros, com a propriedade que toda solucao do sistema entra neste conjunto em um

numero finito de iteracoes, nao saindo mais dele. O conjunto B fornece, entao, uma estimativa

uniforme para o atrator. Para a realizacao desta etapa, utilizamos tecnicas adaptadas a

sistemas discretos de funcoes tipo Liapunov, correspondentes a algumas ja conhecidas para

sistemas contınuos.

Os modelos matematicos envolvendo sistemas nao lineares vem sendo aplicados com

sucesso em problemas de engenharia eletrica nos trabalhos de Rodrigues - Alberto - Bretas

[26, 27] em problemas parabolicos, Carvalho - Dlotko - Rodrigues [4] em problemas de

sistemas de comunicacao, Gameiro - Rodrigues [7] em osciladores gerais, Afraimovich -

Rodrigues [1, 2, 24, 25] estudando dissipatividade uniforme de equacoes diferenciais autonomas

e nao autonomas, e Labouriau - Rodrigues [16] estudando sincronizacao de celulas.

Dada uma funcao contınua T : Rm → Rm, dizemos que x′ = Tx e uma equacao de

diferencas, onde x′(n) = x(n + 1), n ∈ N. Um sistema semidinamico discreto em Rm

e uma funcao π : N × Rm → Rm contınua satisfazendo π(0, x) = x e π(n, π(k, x)) =

π(n + k, x), para todo n, k ∈ N e todo x ∈ Rm. Toda equacao de diferencas define um

2 Introducao

sistema semidinamico π da forma π(n, x) = T n(x), x ∈ R. A orbita T nx de x refere-se a

sequencia T nx, n ∈ N.

Neste trabalho foram desenvolvidos teoremas ineditos e metodos que serao uteis para o

desenvolvimento de aplicacoes e simulacoes. Citamos a seguir, um resultado fundamental

desenvolvido.

Sejam contınuas as funcoes T : Rm × Λ → Rm, V : Rm × Λ → R+; e tambem

contınuas as funcoes a, b, c : Rm → R, satisfazendo 0 ≤ a(x) ≤ V (x, λ) ≤ b(x), a(x) → ∞,

quando, |x| → ∞ e −V (x, λ) := V (x, λ)−V (Tx, λ) ≥ c(x), para todo x ∈ Rm e todo λ ∈ Λ.

Sejam x ∈ Rm : c(x) < 0 6= ∅, C := x ∈ Rm : c(x) ≤ 0 limitado, R e µ tais que

R > supx∈C

b(x) e −µ ≤ minx∈C

c(x), e consideremos os conjuntos BR := x ∈ Rm : b(x) ≤ Re AR+µ := x ∈ Rm : a(x) ≤ R + µ. Seja λ0 ∈ Λ. Entao, (i) se x0 ∈ BR, temos

que T n(x0, λ0) ∈ AR+µ,∀n ∈ N; (ii) se x0 ∈ Rm, existe n0 = n0(x0, λ0) ∈ N tal que

T n(x0, λ0) ∈ AR+µ, ∀n ≥ n0; e (iii) se x0 ∈ Rm, existe subsequencia nj ∈ N, com nj → ∞quando j →∞, tal que T nj(x0, λ0) ∈ BR, ∀j ∈ N.

Por outro lado, considerando T : Rm × Λ → Rm, V : Rm × Λ → R+, a, c : Rm →R funcoes contınuas satisfazendo 0 ≤ a(x) ≤ V (x, λ), a(x) → ∞ quando |x| → ∞ e

−V (x, λ) ≥ c(x) ≥ 0, para todo x ∈ Rm e todo λ ∈ Λ; e, se x0 ∈ Rm e λ0 ∈ Λ, entao

Ec := x ∈ Rm : c(x) = 0 6= ∅ e T n(x0, λ0) tende, quando n → ∞, para o maior conjunto

invariante contido em Ec. Em particular, fizemos um estudo detalhado de sistemas discretos

lineares e sistemas nao lineares perturbados dos mesmos.

Quando X for um espaco de Banach, Γ subconjunto compacto de um espaco de Banach,

se σ(Aγ) contido no interior do disco unitario com centro na origem ∀γ ∈ Γ, e a aplicacao

Γ 3 γ 7→ Aγ ∈ L(X) for contınua, temos que existem M > 0 e θ ∈ (0, 1) tais que |Akγ| ≤ Mθk

e r(Aγ) ≤ θ para quaisquer γ ∈ Γ e k ∈ N, onde denotamos r(Aγ) o raio espectral de Aγ.

No Capıtulo 1, apresentamos alguns resultados sobre sistemas semidinamicos discretos.

Na verdade, este capıtulo descreve nosso estudo e interpretacao dos livros [17, 18] de J.

P. LaSalle. No Capıtulo 2, apresentamos alguns teoremas ineditos, juntamente com suas

demonstracoes, os quais serao muito uteis no estudo de varios exemplos desenvolvidos em

simulacoes.

Capıtulo 1

Sistemas Semidinamicos Discretos

Neste capıtulo, faremos a descricao de sistemas dinamicos discretos, estudando conceitos e

propriedades. Analisaremos invariancia e propriedades de conjuntos limites. Introduziremos

o conceito de estabilidade e, com o auxılio de funcoes de Liapunov, estudaremos o Princıpio

da Invariancia.

1.1 Equacoes de Diferencas

Sejam Z o conjunto de todos inteiros, N o conjunto de todos inteiros nao negativos e Rm o

espaco Euclidiano de dimensao m, munido da norma Euclidiana representada por |x|.Seja x : N→ Rm. Definimos x′ e x funcoes de N em Rm definidas por x′(n) = x(n + 1)

e x = x′ − x. Consideremos a funcao T : Rm → Rm. A equacao de diferencas:

x′ = Tx (1.1)

e dada por x(n + 1) = T (x(n)), ∀n ∈ N.

A solucao do problema de valor inicial

x′ = Tx, x(0) = x0 (1.2)

e x(n) = T n(x0), n ∈ N, onde T n e a n-esima iterada de T , a saber, T n+1 = T (T n) e T 0 = I

4 Sistemas Semidinamicos Discretos

e a funcao identidade. O produto de funcoes utilizado e a composicao. A equacao (1.2) e

simplesmente um algorıtmo definindo a funcao x.

Proposicao 1.1.1. Seja g : Rm → R funcao contınua e

u(n + m) = g (u(n), u(n + 1), ... , u(n + m− 1)) . (1.3)

Chamamos (1.3) de uma equacao de diferencas de ordem m, que e equivalente a um sistema

de m equacoes de diferencas de primeira ordem.

Prova:

De fato, primeiramente notemos que o valor de u em n + 1 depende dos valores de u

em n, n − 1, ... , n − m + 1. A equacao (1.3) pode ser escrita na forma (1.1) definindo

x1(n) = u(n), x2(n) = u(n + 1), ... xm(n) = u(n + m− 1). Notemos que:

x2(n) = u(n + 1) = x1(n + 1) = x′1(n) ⇒ x2 = x′1

x3(n) = u(n + 2) = x2(n + 1) = x′2(n) ⇒ x3 = x′2...

xm−1(n) = u(n + m− 2) = xm−2(n + 1) = x′m−2(n) ⇒ xm−1 = x′m−2

xm(n) = u(n + m− 1) = xm−1(n + 1) = x′m−1(n) ⇒ xm = x′m−1

E tambem, desta forma, temos que:

g (x1(n), x2(n), ... , xm(n)) = g (u(n), u(n + 1), ... , u(n + m− 1))

= u(n + m)

= xm(n + 1)

= x′m(n).

Portanto, g (x1, x2, ... , xm) = x′m. Logo, (1.3) e equivalente a um sistema de m equacoes

1.2 Sistemas Dinamicos Discretos em Rm 5

de diferencas de primeira ordem x′ = Tx, onde

x =

x1

x2

...

xm−1

xm

e Tx =

x2

x3

...

xm

g(x)

.

1.2 Sistemas Dinamicos Discretos em Rm

Assumimos daqui em diante T : Rm → Rm contınua.

Definicao 1.2.1. Um sistema semidinamico discreto em Rm e uma funcao π : N×Rm → Rm

satisfazendo para todo n, k ∈ N e todo x ∈ Rm:

(i) π(0, x) = x;

(ii) π(n, π(k, x)) = π(n + k, x);

(iii) π e contınua.

Observacao 1.2.1. Dizemos que a funcao π e um sistema dinamico quando trocamos N

por Z na Definicao 1.2.1.

Toda equacao de diferencas (1.1) define um sistema semidinamico π da forma π(n, x) :=

T n(x), x ∈ R. De fato, π(0, x) = T 0x = x e, para todo n, k ∈ N, temos:

π(n, π(k, x)) = π(n, T kx) = T n(T kx) = T n+kx = π(n + k, x).

Tambem, todo sistema semidinamico esta associado a uma equacao de diferencas (1.1) da

forma T (x) := π(1, x). Notemos que T 2x = T (Tx) = T (π(1, x)) = π(1, π(1, x)) = π(2, x). E

se T rx = π(r, x), para r ∈ N, temos T r+1x = T r(Tx) = π(r, Tx) = π(r, π(1, x)) = π(r+1, x).

Portanto, T n(x) = π(n, x).


Exemplo 1.2.1. Seja π : N×R→ R, π(n, x) = x.en. Entao π e um sistema semidinamico.

De fato, π e contınua e, para todo x ∈ R e todo n, k ∈ N, temos π(0, x) = x.e0 = x e

π(n, π(k, x)) = π(n + k, x), pois

π(n, π(k, x)) = π(n, x.ek) = (x.ek)en = x.en+k = π(n + k, x).

Definicao 1.2.2. Seja T : Rm → Rm. A orbita T nx de x refere-se a sequencia x, Tx, ... , T nx, ... .

1.3 Conjunto Limite de Orbitas

Definicao 1.3.1. Sejam x ∈ Rm e L, S subconjuntos de Rm. Definimos ρ da seguinte forma:

ρ(x, S) := inf|y − x| : y ∈ S e ρ(S, L) := supy∈S

ρ(y, L) = supy∈S

inf|x− y| : x ∈ L. Notemos

que, em geral, ρ(S, L) 6= ρ(L, S). Consideremos as sequencias xn ∈ Rm e Sn ⊂ Rm, Sn

subconjunto de Rm, n ∈ N. Dizemos que xn aproxima-se de S, ou xn → S, se ρ(xn, S) → 0

quando n → ∞. Dizemos que Sn aproxima-se de S, ou Sn → S, se ρ(Sn, S) → 0 quando

n → ∞. Denotamos por S o fecho de S, S o complementar de S e ∂S a fronteira de S.

Um subconjunto de Rm aberto B e dito vizinhanca de S se S ⊂ B. Sendo r ∈ R+, definimos

Br(S) := x ∈ Rm : ρ(x, S) < r, T (S) := T (x); x ∈ S e T−1(S) := z ∈ Rm : T (z) ∈ Sa imagem inversa de S.

Definicao 1.3.2. Um ponto y e chamado ponto limite de T nx se existir uma sequencia de

inteiros ni tal que T nix → y e ni →∞ quando i →∞. Chamamos de conjunto ω-limite da

orbita T nx de x ao conjunto de todos pontos limites de T nx, e denotamos Ω(x).

Proposicao 1.3.1. Seja x ∈ Rm. Entao

Ω(x) =∞⋂

j=0

∞⋃n=j

T nx. (1.4)

Prova:

Seja y ∈ Ω(x). Entao, existe uma sequencia ni ∈ N tal que T nix → y e ni →∞, quando

i →∞. Logo, dado j ∈ N, existe ni0 ∈ ni, i ∈ N tal que i0 > j. Podemos supor, sem perda

1.3 Conjunto Limite de Orbitas 7

de generalidade, (ni) crescente. Agora, a sequencia T nix, ni ≥ ni0 , converge para y e e uma

subsequencia de T nx, n ≥ j. Logo, y ∈ ⋃∞n=j T nx, ∀j ∈ N, o que implica y ∈ ⋂∞

j=0

⋃∞n=j T nx.

Provemos agora a outra inclusao. Sejam Aj =⋃∞

n=j T nx e y ∈ ⋂∞j=0 Aj. Entao y ∈ A0.

Logo, existe uma sequencia em A0 convergindo para y. Seja y0 = T n0x um termo desta

sequencia, tal que |y − y0| < 1, para algum n0 ≥ 0. Como y ∈ A(n0 + 1), existe uma

sequencia em An0+1 convergindo para y. Seja y1 = T n1x um termo desta sequencia, tal que

|y−y1| < 1/2, para algum n1 ≥ n0 +1. Como y ∈ A(n1 + 1), existe uma sequencia em An1+1

convergindo para y. Seja y2 = T n2x um termo desta sequencia, tal que |y− y2| < 1/22, para

algum n2 ≥ n1 + 1.

Desta maneira, criamos uma sequencia yk ∈ Rm tal que |y − yk| < 1/2k, yk = T nkx e

nk > nk−1, pois nk ≥ nk−1 + 1, ou seja nk e estritamente crescente. Portanto, yk → y ou

T nkx → y e nk →∞, quando k →∞, isto e, y ∈ Ω(x).

Definicao 1.3.3. Dado H ⊂ Rm, definimos:

Ω(H) :=∞⋂

j=0

∞⋃n=j

T n(H). (1.5)

Proposicao 1.3.2. Se H ⊂ Rm, entao y ∈ Ω(H) se, e somente se, existirem sequencias

nj ∈ N e yj ∈ H tais que T njyj → y e nj →∞, quando j →∞.

Prova:

Suponhamos que existam sequencias ni ∈ N e yi ∈ H tais que T niyi → y ∈ Rm e

ni → ∞ quando i → ∞. Podemos supor, sem perda de generalidade (ni) crescente. Logo,

dado j ∈ N, existe i0 ∈ ni tal que i0 > j. Agora, a sequencia T niyi, i ≥ i0, converge para

y e T niyi ∈ T ni(H) ⊂ ∪∞n=jTn(H), para i ≥ i0. Desta forma, y ∈ ∪∞n=jT

n(H),∀j ∈ N, o que

acarreta y ∈ ∩∞j=0∪∞n=jTn(H).

Provemos a outra implicacao. Sejam Aj =⋃∞

n=j T n(H) e y ∈ Ω(H) =⋂∞

j=0 Aj. Como

y ∈ A0, existe uma sequencia em A0 convergindo para y. Seja w0 = T n0y0 um termo desta

sequencia, tal que |y − w0| < 1, para alguns n0 ≥ 0 e y0 ∈ H. Como y ∈ A(n0+1), existe

uma sequencia em An0+1 convergindo para y. Seja w1 = T n1y1 um termo desta sequencia,


tal que |y − w1| < 1/2, para algum n1 ≥ n0 + 1 e algum y1 ∈ H. Como y ∈ An1+1, existe

uma sequencia em An1+1 convergindo para y. Seja w2 = T n2y2 um termo desta sequencia,

tal que |y − w2| < 1/22, para alguns n2 ≥ n1 + 1 e y2 ∈ H.

Desta maneira, criamos uma sequencia yk ∈ H tal que |y − yk| < 1/2k, wk = T nkyk e

nk > nk−1,k ≥ 1, pois nk ≥ nk−1 + 1, ou seja nk e estritamente crescente. Portanto, wk → y

ou T nkyk → y e nk →∞ quando k →∞, o que completa a demonstracao.

Corolario 1.3.3. Dado x ∈ H, temos

Ω(x) ⊂ Ω(H), ∀x ∈ H. (1.6)

Prova:

Seja y ∈ Ω(x). Logo, existe sequencia ni ∈ N tal que T nix → y e ni → ∞ quando

i →∞. Tomando yi = x, concluımos que y ∈ Ω(H).

1.4 Invariancia

Definicao 1.4.1. Relativamente a x(n + 1) = T (x(n)), ou a funcao T , um conjunto H e

chamado positivamente (negativamente) invariante se T (H) ⊂ H (H ⊂ T (H)). Se T (H) =

H, dizemos que H e invariante.

Exemplo 1.4.1. Se T : Rm → Rm e a funcao identidade em Rm (T = I) e H um conjunto

em Rm. Entao H e invariante.

Proposicao 1.4.1. Seja T : Rm → Rm e H um conjunto invariante com um numero finito

de elementos. Entao, T |H e inversıvel.

Prova:

Pela invariancia de H e continuidade de T , segue que T (H) = H e entao T |H e sobrejetora.

Visto tambem que H tem um numero finito de elementos, concluımos que T |H e tambem

injetora.

1.4 Invariancia 9

Proposicao 1.4.2. Seja H um conjunto invariante e T |H inversıvel. Se M 6= ∅ e um

subconjunto invariante de H, entao H −M e invariante.

Prova:

Seja x ∈ H −M . Como H e invariante, entao Tx ∈ H e por T |H ser inversıvel, existe

y ∈ H tal que Ty = x. Mostremos que H−M e positivamente invariante, isto e, T (H−M) ⊂H −M . Suponhamos Tx ∈ M . Visto que M e invariante, existe z ∈ M tal que Tz = Tx.

Como T |H e inversıvel, temos z = x, o que e uma contradicao. Logo, Tx ∈ H − M ,

implicando T (H −M) ⊂ H −M .

Seja x ∈ H −M . Por T |H ser inversıvel, existe y ∈ H tal que Ty = x. Mostremos que

H −M e negativamente invariante, isto e, H −M ⊂ T (H −M). Suponhamos que y ∈ M .

Visto que M e invariante, temos x = Ty ∈ M , o que e uma contradicao. Logo, y ∈ H −M ,

implicando x = Ty ∈ T (H −M). Portanto H −M ⊂ T (H −M).

Definicao 1.4.2. Um conjunto fechado invariante H e chamado invariantemente conexo se

ele nao puder ser escrito como a reuniao disjunta de dois conjuntos fechados nao vazios e

invariantes.

Exemplo 1.4.2. Seja z′ = Tz, z0 = z(0) = (x0, y0) e T : R2 → R2 dada por T (x, y) =

(x,−y). Tomando ni a sequencia dos inteiros pares, temos que T niz0 → (x0, y0). Se

tomarmos ni a sequencia dos inteiros ımpares, temos que T niz0 → (x0,−y0). E qualquer

outra subsequencia convergente de T nz0 converge para (x0, y0) ou (x0,−y0). Logo, Ω(z0) =

(x0, y0), (x0,−y0). Notemos que Ω(z0) e fechado e invariante. A unica reuniao nao vazia

que Ω(z0) poderia ser expressado e Ω(z0) = A ∪ B, onde A = (x0, y0) e B = (x0,−y0).Mas A e B nao sao invariantes. Logo Ω(z0) e invariantemente conexo. Notemos tambem

que Ω(z0) e uma orbita periodica.

Definicao 1.4.3. A orbita T nx e chamada periodica (ou cıclica) se para algum k > 0, T kx =

x. O menor inteiro k tal que isto ocorre e chamado de perıodo da orbita ou ordem do ciclo.

Se k = 1, x e um ponto fixo de T e e chamado estado de equilıbrio de x(n + 1) = T (x(n)).


Proposicao 1.4.3. Um conjunto invariante com numero finito de elementos e invariantemente

conexo se, e somente se, for uma orbita periodica.

Prova:

Mostremos que se H e um conjunto invariantemente conexo com numero finito de elementos,

digamos #H = k, entao H e uma orbita periodica. Seja x ∈ H. Como H e invariante, entao

T nx ∈ H, ∀n ∈ N.

Notemos que T ix 6= T jx, para todo i, j, 0 ≤ i < j < k. De fato, suponhamos T ix = T jx.

Como pela Proposicao 1.4.1 T |H e inversıvel, entao denotando T = T |H , temos T j−ix = x,

implicando x, Tx, ..., T j−ix invariante, a saber 0 ≤ j− i < k. Pela Proposicao 1.4.2, temos

tambem H−x, Tx, ..., T j−ix invariante, o que e uma contradicao, pois H e invariantemente

conexo. Portanto, T ix 6= T jx, para todo i, j, 0 ≤ i < j < k. Assim, x, Tx, ..., T k−1x tem

exatamente k elementos, o que acarreta H = x, Tx, ..., T k−1x.Afirmamos agora que T kx = x. Suponhamos T kx 6= x. Logo, existe i, 0 < i < k, tal

que T kx = T ix. Como T |H e inversıvel, temos T k−ix = x, o que e uma contradicao, pois

0 < k − i < k. Portanto, T kx = x.

E mais, k e o menor inteiro nao nulo tal que T nx = x, pois T ix 6= x, para 0 < i < k − 1.

Portanto, H = x, Tx, ..., T k−1x e uma orbita periodica.

Provemos a outra implicacao. Suponhamos que H seja uma orbita periodica de perıodo

k, digamos H = x, Tx, ..., T k−1x e T ix 6= T jx, para todo i, j, 0 ≤ i < j < k. Seja

M um subconjunto nao vazio invariante de H. Entao, existe n0, 0 ≤ n0 < k tal que

T n0x ∈ M . Como M e invariante, T n0+nx ∈ M, ∀n ∈ N. Assim, visto que T kx = x,

temos M = H, pois T n0x, ..., T k−1x, T kx, T k+1x, ..., T n0+k−1x ⊂ M , o que implica H ⊂T n0x, ..., T k−1x, x, Tx, ..., T n0−1x ⊂ M . Agora, se H nao fosse invariantemente conexo,

entao seria a uniao disjunta nao vazia de dois conjuntos fechados invariantes M1 e M2. Logo,

M1 = M2 = H, o que e uma contradicao, pois M1 ∩M2 = ∅. Portanto, H e invariantemente

conexo.

Proposicao 1.4.4. (i) O fecho de um conjunto positivamente invariante e positivamente

invariante

1.4 Invariancia 11

(ii) O fecho de um conjunto limitado invariante e invariante.

Prova:

(i) Mostremos que se T (H) ⊂ H, entao T (H) ⊂ H. De fato, seja y ∈ T (H). Logo, existe

x ∈ H tal que y = Tx, e desta forma, existe sequencia convergente H 3 xj → x. Visto

que T (xj) ∈ H, devido a T (H) ⊂ H, e pela continuidade de T , temos que

y = Tx = T (lim xj) = lim(Txj) ∈ H ⇒ y ∈ H.

Portanto, T (H) ⊂ H.

(ii) Mostremos que se H e um conjunto limitado invariante, entao H e invariante.

Seja x ∈ H. Entao existe sequencia H 3 xj → x. Da invariancia de H, xj ∈ T (H).

Logo, existe sequencia yj ∈ H tal que xj = T (yj).

Devido a H ser limitado, temos que H e compacto, e podemos supor yj convergente,

pois poderıamos ter uma subsequencia convergente. Daqui para a frente neste trabalho,

este procedimento sera feito sistematicamente sem mais explicacao. Digamos yj → y.

Pela continuidade de T , segue que:

x = lim xj = lim T (yj) = T (lim yj) = Ty ∈ T (H) ⇒ x ∈ T (H).

Portanto, H ⊂ T (H). O resultado segue pelo item (i).

Definicao 1.4.4. Tnx (definida para todo n ∈ Z) e chamada extensao da orbita T nx se

T0x = x e T (Tnx) = Tn+1x para todo n ∈ Z.

Observacao 1.4.5. Notemos que se x ∈ H, entao Tnx = T nx para todo n ∈ N e, se H 6= ∅e invariante, entao a orbita T nx tem sempre uma extensao, que pode nao ser unica e tambem

pode nao estar toda em H. De fato, mostremos primeiramente que Tnx = T nx, para todo

n ∈ N.

T0x = x = T 0x,


T1x = T (T0x) = T 1x,

T2x = T (T1x) = T (T 1x) = T 2x.

Suponhamos que T rx = Trx, com r ∈ N. Entao, Tr+1x = T (Trx) = T (T rx) = T r+1x.

Portanto Tnx = T nx, para todo n ∈ N.

Mostremos que existe pelo menos uma extensao de T nx, quando H 6= ∅ e invariante.

Pela invariancia de H, temos que x ∈ T (H). Logo, existe y1 ∈ H tal que T (y1) = x.

Tomemos T−1x = y1. Entao, T (T−1x) = Ty1 = x = T 0x. Agora, y1 ∈ T (H). Logo, existe

y2 ∈ H tal que T (y2) = y1. Tomemos T−2x = y2. Entao, T (y2) = y1 ⇒ T (T−2x) = T−1x.

Suponhamos que T (T−rx) = T−r+1x, com r ∈ N e T−rx ∈ H. Seja yr = T−rx. Como

yr ∈ T (H), entao existe yr+1 ∈ H tal que T (yr+1) = yr. Tomemos T−r−1x = yr+1. Assim,

T (yr+1) = yr ⇒ T (T−r−1x) = T−rx. Desta forma, esbocamos a sequencia T−nx = yn, para

n ∈ N, em H, que juntamente com a sequencia Tnx = T nx, n ∈ N, formam uma extensao

da orbita T nx. E mais, esta extensao esta toda em H.

Notemos ainda que a sequencia yn = T−nx, para n ∈ N, pode nao ser unica, visto que a

escolha de yn pode tambem nao ser tambem unica. Entretanto, isto ocorre se T for inversıvel,

o que sera mostrado mais para a frente. De fato, mostremos que, se x ∈ H e T inversıvel,

entao T nx tem uma unica extensao, a saber Tnx = T nx, n ∈ Z. E se H for invariante e

apenas T |H inversıvel, entao a extensao permanece em H. De fato,

T (T−1x) = T (T−1x) = x,

T (T−2x) = T (T−2x) = T−1x = T−1x.

1.4 Invariancia 13

Suponhamos T (Trx) = Tr+1x, r ∈ Z−. Entao

T (Tr−1x) = T (T r−1x)

= T (T−1(T rx))

= T−1(T (Trx))

= T−1(Tr+1x)

= T−1(T r+1x)

= T rx

= Trx.

Portanto, Tnx = T nx, n ∈ Z−. Como provado acima, Tnx = T nx, n ∈ N e, portanto,

Tnx = T nx, n ∈ Z. Ainda, se H e invariante, entao Tnx ∈ H,n ∈ Z−, e logo a extensao

de T nx permanece em H. Notemos que, se x ∈ H, nestas condicoes, T nao precisa ser

inversıvel em todo Rm, mas somente em H.

Pode ocorrer tambem que alguma extensao nao esteja toda em H, mesmo se H for

invariante. De fato, seja T : [0, 1] → [0, 1], Tx = 4x(1− x). A funcao T nao e inversıvel e

tem um ponto fixo x0 = 3/4. Se H = x0, entao H e invariante. Uma extensao da orbita

T nx0 = x0 e Tnx0 = x0, n ∈ Z. Por outro lado, se y = 1/4, entao Ty = x0 e Ω(y) = H.

Pode-se mostrar que T ny 6= ∅, para n ∈ Z−. Logo, podemos definir uma outra extensao

de T nx0 que difere da anterior da seguinte forma:

Tnx0 =

x0 se n ∈ Nw ∈ T n+1y, se n ≤ −1

Proposicao 1.4.6. Um conjunto H e invariante se, e somente se, cada orbita comecando

em H tem uma extensao em H para todo n.

Prova:

Suponhamos H invariante. Pela Observacao 1.4.5, cada orbita comecando em H tem

uma extensao em H para todo n.


Supondo que cada orbita comecando em H tenha uma extensao em H, mostremos que

T (H) ⊂ H. De fato, seja w ∈ T (H). Entao existe x ∈ H tal que w = T (x). Seja Tnx

a extensao de x que esta em H por hipotese. Assim, Tn(x) ∈ H, para todo n ∈ Z. Em

particular, para n = 1, temos T1(x) = T (x) = w ∈ H. Portanto, T (H) ⊂ H.

Mostremos agora que H ⊂ T (H). De fato, seja x ∈ H e Tnx a extensao da orbita T nx.

Por hipotese, Tnx ∈ H. Mas x = T0x ∈ T (H). Logo H ⊂ T (H). Portanto, T (H) = H.

Proposicao 1.4.7. Seja E um subconjunto de Rm e seja M o maior subconjunto (por

inclusao) invariante contido em E. Se M 6= ∅, entao:

(i) M e a uniao de todas orbitas estendidas de elementos em E que permanecem em E

para todo n ∈ Z.

(ii) x ∈ M se, e somente se, existir uma orbita estendida Tnx com Tnx ∈ E para todo

n ∈ Z.

(iii) Se E e compacto, temos que M e compacto.

Prova:

(i) Seja L a uniao de todas orbitas estendidas que comecam em E e permanecem em E

para todo n ∈ Z. Entao, L ⊂ E. Provemos que L ⊂ M . Pela Proposicao 1.4.6, L e

invariante. Como M e o maior conjunto invariante em E, entao L ⊂ M .

Mostremos que M ⊂ L. Seja x ∈ M . Devemos provar que x ∈ L, isto e, que existe

alguma orbita estendida que permaneca em E tal que x esteja nesta orbita. Para n ∈ N,

definimos a sequencia Tnx = T nx ∈ M, n ∈ N, pois M e invariante. Pela Observacao

1.4.5, existe uma extensao da orbita T nx dada por T0x = x e T (Tnx) = Tn+1x,∀n ∈ Z.

Logo, Tnx ∈ E e T (T−1x) = T0x = x, o que prova que M ⊂ L. Portanto, L = M .

(ii) Seja x ∈ M . Por (i), existe uma orbita estendida Tnx ∈ E, para todo n ∈ Z, o que

prova uma implicacao.

Provemos a outra implicacao. Como Tnx ∈ E, ∀n ∈ Z, entao por (i) temos que

Tnx ∈ M, ∀n ∈ Z. Logo, x = T0x ∈ M .

1.5 Propriedades Basicas dos Conjuntos Limites 15

(iii) Se E e compacto, entao E e fechado e limitado. Visto que M ⊂ E, temos que M e

limitado. Mas M e tambem invariante. Pela Proposicao 1.4.4-(ii), M e invariante. E

mais, M ⊂ E ⇒ M ⊂ E = E ⇒ M ⊂ E. Como M e o maior conjunto invariante

em E, segue que M ⊂ M . Logo, M = M , isto e, M e fechado. Como M e tambem

limitado, concluımos que M e compacto.

1.5 Propriedades Basicas dos Conjuntos Limites

Teorema 1.5.1. Dado x ∈ Rm e T : Rm → Rm contınua, entao o conjunto ω-limite Ω(x) e

fechado e positivamente invariante.

Prova:

Como Ω(x) =⋂∞

j=0

⋃∞n=j T nx, segue que Ω(x) e fechado. Provemos que T (Ω(H)) ⊂

Ω(H).

T (Ω(x)) = T

( ∞⋂j=0

∞⋃n=j

T n(x)

)

⊂∞⋂

j=0

T

( ∞⋃n=j

T n(x)

)

⊂∞⋂

j=0

T

( ∞⋃n=j

T n(x)

)

=∞⋂

j=0

( ∞⋃n=j

T n+1(x)

)

=∞⋂

j=0

( ∞⋃n=j+1

T n(x)

)

⊂∞⋂

j=0

( ∞⋃n=j

T n(x)

)

= Ω(x).


Teorema 1.5.2. Se T nx for limitada, entao Ω(x) e nao vazio, compacto, invariante, invariantemente

conexo, e e o menor conjunto fechado que T nx aproxima-se quando n →∞.

Prova:

Mostremos que Ω(x) e compacto. Pelo Teorema 1.5.1, Ω(x) e fechado. Como T nx e

limitado entao Ω(x) 6= ∅, pois existe subsequencia convergente de T nx. Notemos tambem

que Ω(x) e limitado. De fato, seja y ∈ Ω(x). Logo, existe sequencia de inteiros ni tal

que T nix → y e ni → ∞ quando i → ∞. Como T nx e limitada, existe r > 0 tal que

|T nx| ≤ r,∀n ∈ N. Concluımos entao que Ω(x) e compacto, pois Ω(x) e limitado devido a

|T nix| ≤ r ⇒ limni→∞

|T nix| ≤ r ⇒∣∣∣∣ limni→∞

T nix

∣∣∣∣ ≤ r ⇒ |y| ≤ r.

Mostremos que Ω(x) e invariante. Provemos que Ω(x) e negativamente invariante , isto

e, Ω(x) ⊂ T (Ω(x)). De fato, seja y ∈ Ω(x) e seja ni ∈ N tal que T nix → y. Como

T n(x) e limitada, podemos assumir que T ni−1x converge, digamos T ni−1x → z ∈ Ω(x). Pela

continuidade de T ,

T nix = limi→∞

T (T ni−1x) = T(

limi→∞

T ni−1x)

= Tz ⇒ y = Tz.

Logo, Ω(x) ⊂ T (Ω(x)). Pelo Teorema 1.5.1, concluımos que Ω(x) e invariante.

Mostremos que T nx aproxima-se de Ω(x), quando n → ∞, se T nx e limitada. De fato,

como Ω(x) e limitado, entao ρ(T nx, Ω(x)) e limitada. Seja rn := ρ(T nx, Ω(x)). Suponhamos

que T n(x) nao se aproxime de Ω(x) quando n → ∞. Entao, existe uma sequencia ni ∈ Ntal que rni

nao converge para 0. Como rn e limitada, podemos assumir que rniconverge,

digamos rni→ r > 0. Agora, como T nix e limitada, existe uma subsequencia convergente

T nij x → y ∈ Ω(x). Logo,

limj→∞

rnij= r ⇒ lim

j→∞ρ(T nij x, Ω(x)) = r ⇒ ρ(y, Ω(x)) = r > 0,

o que e uma contradicao.

Mostremos que Ω(x) e o menor conjunto fechado ao qual T nx aproxima-se quando

n → ∞. De fato, seja E um conjunto fechado em Rm tal que T nx → E. Seja y ∈ Ω(x).


Entao, existe ni → ∞, i → ∞ tal que T nix → y. Logo, ρ(T nix,E) → ρ(y, E). Mas

ρ(T nix,E) → 0, i → ∞, pois T nx → E, quando n → ∞. Logo, ρ(y, E) = 0, o que implica

que y ∈ E, pois E = E e fechado.

Mostremos que Ω(x) e invariantemente conexo. Suponhamos que Ω(x) seja a uniao

disjunta de dois conjuntos nao vazios fechados invariantes Ω1 e Ω2. Como foi provado acima,

Ω(x) e compacto e entao Ω1 e Ω2 sao limitados, o que implica a compacidade destes conjuntos.

Visto que Rm e normal, existem conjuntos abertos disjuntos U1 e U2 tais que Ω1 ⊂ U1 e

Ω2 ⊂ U2.

Devido a continuidade de T , mostraremos que existe um conjunto aberto B1 tal que

Ω1 ⊂ B1 e T (B1) ⊂ U1. De fato, tomando B1 := T−1(U1) que e aberto, temos T (B1) =

T (T−1(U1)) ⊂ U1 e, como Ω1 e invariante, segue que Ω1 ⊂ T−1(T (Ω1)) = T−1(Ω1) ⊂T−1(U1) = B1. Como foi provado acima, T nx → Ω(x) = Ω1 ∪ Ω2, e visto tambem que

Ω1 ⊂ U1 ∩ B1, Ω2 ⊂ U2, entao existe n0 ∈ N tal que T nx ∈ (U1 ∩B1) ∪ U2,∀n ≥ n0.

Como Ω1 6= ∅, podemos supor que existe n0 tal que T n0x ∈ U1 ∩ B1. Suponhamos que

exista n1 ≥ n0 tal que T n1x ∈ U1 ∩ B1 e T n1+1x ∈ U2. Mas, como T (B1) ⊂ U1, entao

T (T n1x) ∈ T (U1 ∩B1) ⊂ U1 ⇒ T n1+1 ∈ U1, o que e uma contradicao, pois U1 ∩ U2 = ∅.Portanto, Ω(x) e invariantemente conexo.

Definicao 1.5.1. Um sistema dinamico discreto em Rm propriamente dito e uma funcao

π : Z×Rm → Rm satisfazendo para todo n, k ∈ Z e todo x ∈ Rm:

(i) π(0, x) = x;

(ii) π(n, π(k, x)) = π(n + k, x);

(iii) π e contınua.

Observacao 1.5.3. Toda equacao de diferencas x(n+1) = T (x(n)) com T inversıvel define

um sistema dinamico da forma π(n, x) = Tnx, com x ∈ Rm, n ∈ Z. Pela Observacao 1.4.5,

temos π(0, x) = T0x = x e

π(n, π(k, x)) = π(n, Tkx) = Tn(Tkx) = T n(T kx) = T n+kx = Tn+kx = π(n + k, x).


Tambem todo sistema dinamico esta associado a uma equacao de diferencas x(n + 1) =

T (x(n)) com T inversıvel da forma Tx = π(1, x) e T−1x = π(−1, x). De fato, se S(x) =

π(−1, x), entao T S = S T = I ⇒ S = T−1, pois

(T S)(x) = T (Sx) = T (π(−1, x)) = π(1, π(−1, x)) = π(1− 1, x) = π(0, x) = x e

(S T )(x) = S(Tx) = S(π(1, x)) = π(−1, π(1, x)) = π(−1 + 1, x) = π(0, x) = x.

Notemos tambem que T2x = T 2x = T (Tx) = T (π(1, x)) = π(1, π(1, x)) = π(2, x). E se

Trx = π(r, x), r ∈ Z, segue que:

Tr+1x = T r+1x = T (T rx) = T (π(r, x)) = π(1, π(r, x)) = π(r + 1, x).

Portanto, Tnx = π(n, x), n ∈ Z.

Teorema 1.5.4. Dado H ⊂ Rm e T : Rm → Rm contınua, entao o conjunto Ω(H) e fechado

e positivamente invariante.

Prova:

Como Ω(H) =⋂∞

j=0

⋃∞n=j T n(H), segue que Ω(H) e fechado. Provemos que T (Ω(H)) ⊂

Ω(H).


T (Ω(H)) = T

( ∞⋂j=0

∞⋃n=j

T n(H)

)

⊂∞⋂

j=0

T

( ∞⋃n=j

T n(H)

)

⊂∞⋂

j=0

T

( ∞⋃n=j

T n(H)

)

=∞⋂

j=0

( ∞⋃n=j

T n+1(H)

)

=∞⋂

j=0

( ∞⋃n=j+1

T n(H)

)

⊂∞⋂

j=0

( ∞⋃n=j

T n(H)

)

= Ω(H).

Teorema 1.5.5. Se H 6= ∅ e T n(H) e limitada uniformemente, ou seja existe subconjunto

limitado W tal que T nH ⊂ W , para todo n ∈ N, entao Ω(H) e nao vazio, compacto,

invariante e e o menor conjunto fechado que T n(H) aproxima-se quando n →∞.

Prova:

Mostremos que Ω(H) e nao vazio. Se x ∈ H, entao T nx e limitada, pois T nx ∈ T n(H),

e esta ultima sequencia e limitada por hipotese. Pelo Teorema 1.5.4 e por (1.6), temos que

∅ 6= Ω(x) ⊂ Ω(H) ⇒ Ω(H) 6= ∅.Mostremos que Ω(H) e compacto. De fato, como T n(H) e limitada, existe r > 0 tal que

|T nx| ≤ r, para todo x ∈ H e todo n ∈ N. Seja y ∈ Ω(H). Logo, existem sequencias nj ∈ Ne yj ∈ H tais que T njyj → y e nj →∞ quando j →∞. Desta forma, r ≥ lim

j→∞|T njyj| = |y|.

Logo, Ω(H) e limitado. Tambem pelo Teorema 1.5.4, Ω(H) e fechado. Assim, Ω(H) e

compacto.


Mostremos que Ω(H) e invariante. Basta mostrar que Ω(H) ⊂ T (Ω(H)). De fato, seja

y ∈ Ω(H). Entao, existem sequencias nj ∈ N e yj ∈ H tais que T njyj → y e nj → ∞quando j →∞. Como T n(H) e limitada, podemos assumir que T nj−1yj converge, digamos

T nj−1yj → z, z ∈ Ω(H). Assim, pela continuidade de T , temos:

y = limj→∞

(T njyj) = limj→∞

T(T nj−1yj

)= T

(limj→∞

T nj−1yj

)= Tz.

Logo, Ω(H) ⊂ T (Ω(H)) e, pelo Teorema 1.5.4, temos Ω(H) = T (Ω(H)), isto e, Ω(H) e

invariante.

Mostremos que T n(H) aproxima-se de Ω(H), para n → ∞. De fato, como Ω(H) e

limitado, entao rn := ρ(T nH, Ω(H)) e limitada, isto e, existe η > 0 tal que rn ≤ η, ∀n ∈ N.

Suponhamos que T n(H) nao se aproxime de Ω(H), quando n → ∞. Entao, existe uma

sequencia ni ∈ N tal que rninao converge para 0. Como rn e limitada, podemos assumir

que rniconverge, digamos rni

→ r > 0. Seja Ani(y) = ρ(T niy, Ω(H)), y ∈ H. Assim,

rni= ρ(T ni(H), Ω(H)) = sup

y∈Hρ(T niy, Ω(H)) = sup

y∈HAni

⇒ rni= sup

y∈HAni

Por conseguinte, dado ε > 0, existe a(ni,ε) ∈ Anital que a(ni,ε) > rni

− ε. Como a(ni,ε) ∈Ani

, entao existe y(ni,ε) ∈ H tal que a(ni,ε) := ρ(T niy(ni,ε), Ω(H)). Agora, visto que T n(H)

e limitada, temos que T niy(ni,ε) tambem e limitada. Logo podemos assumir que converge,

digamos T niy(ni,ε) → z(ni,ε) ∈ Ω(H). Assim,

a(ni,ε) > rni− ε ⇒ lim

i→∞a(ni,ε) ≥ lim

i→∞rni− ε

⇒ limi→∞

ρ(T niy(ni,ε), Ω(H)

) ≥ r − ε

⇒ ρ(

limi→∞

T niy(ni,ε), Ω(H))≥ r − ε

⇒ ρ(z(ni,ε), Ω(H)) ≥ r − ε.

Tomando ε = r/2, temos que ρ(z, Ω(H)) ≥ r/2 > 0, o que e uma contradicao, pois

z ∈ Ω(H). Portanto, T n(H) aproxima-se de Ω(H) quando n →∞.

Mostremos que Ω(H) e o menor conjunto fechado que T n(H) aproxima-se quando n →∞.

Suponhamos que E e um conjunto fechado e T n(H) → E quando n → ∞. Provemos que


Ω(H) ⊂ E. De fato, seja ε > 0 e An = ρ(w, E) : w ∈ T n(H). Entao, existe n0 tal

que sup An < ε, para todo n ≥ n0. Seja y ∈ Ω(H). Logo, existem sequencias yj ∈ H e

nj ≥ n0 tais que T njyj → y e nj → ∞ quando j → ∞. Notemos que T njyj ∈ T nj(H) ⇒ρ (T njyj, E) ∈ Anj

. Como nj ≥ n0, temos:

ρ (T njyj, E) < ε ⇒ ρ (y, E) = ρ

(limj→∞

T njyj, E

)= lim

j→∞ρ (T njyj, E) ≤ ε

⇒ ρ (y, E) ≤ ε, ∀ε > 0,

o que implica y ∈ E = E. Portanto Ω(H) ⊂ E e entao Ω(H) e o menor conjunto fechado

que T nx aproxima-se quando n →∞.

Observacao 1.5.6. (a) Se T n(H) for limitada uniformemente em n ∈ N, entao, para

todo y ∈ H, T ny e limitada e, pelo Teorema 1.5.2, aproxima-se de Ω(y). Assim, como

Ω(y) ⊂ ⋃x∈H Ω(x), temos, ∀x ∈ H,

ρ(T ny, Ω(y)) → 0 ⇒ ρ

(T ny,

⋃x∈H

Ω(x)

)→ 0.

(b) Notemos que, em geral, Ω(H) nao e invariantemente conexo quando T n(H) e limitada.

De fato, seja T : R2 → R2, T (x, y) = (x,−y) e H = (1, 1), (2, 2). Entao, Ω(H) =

(1, 1), (1,−1), (2, 2), (2,−2). Mas Ω(1, 1) = (1, 1), (1,−1) e Ω(2, 2) = (2, 2), (2,−2)sao conjuntos disjuntos fechados invariantes e Ω(H) = Ω(1, 1)∪Ω(2, 2), o que implica

que H = (1, 1), (2, 2) nao e invariantemente conexo.

Corolario 1.5.7. Suponhamos T n(H) limitada uniformemente e seja fn : H → R, fn(y) :=

ρ(T ny,

⋃x∈H Ω(x)

), com y ∈ H. Se fn → 0 uniformemente em H, entao:

Ω(H) =⋃x∈H

Ω(x).

(Notemos que pela Observacao 1.5.6-(a), fn e convergente).

Prova:


Mostremos que⋃

x∈H Ω(x) ⊂ Ω(H). Pelo Teorema 1.5.4, segue que Ω(H) e fechado.

Como Ω(x) ⊂ Ω(H), temos que:

⋃x∈H

Ω(x) ⊂ Ω(H) ⇒⋃x∈H

Ω(x) ⊂ Ω(H) = Ω(H) ⇒⋃x∈H

Ω(x) ⊂ Ω(H).

Mostremos a outra inclusao. Como fn → 0, n → ∞, uniformemente, em H, entao dado

ε > 0, existe n0 = n0(ε) ∈ N tal que, para todo n ≥ n0, temos fn(y) < ε, para todo y ∈ H.

Assim, n ≥ n0 implica

supy∈H

fn(y) ≤ ε ⇒ supy∈H

ρ(T ny,⋃x∈H

Ω(x)) ≤ ε

⇒ supy∈H

ρ(T nH,⋃x∈H

Ω(x)) ≤ ε

⇒ supz∈T n(H)

ρ(z,⋃x∈H

Ω(x)) ≤ ε.

Logo, ρ(T n(H),⋃

x∈H Ω(x)) → 0, quando n → ∞. Portanto, T n(H) aproxima-se de⋃

x∈H Ω(x) quando n →∞. Como Ω(H) e o menor conjunto fechado que T n(H) aproxima-

se quando n →∞ e⋃

x∈H Ω(x) e fechado, entao Ω(H) ⊂ ⋃x∈H Ω(x).

Proposicao 1.5.8. Se K e nao vazio, compacto e positivamente invariante, entao Ω(K) =⋂∞

n=0 T n(K) e nao vazio, compacto, invariante e e o maior conjunto invariante contido em

K.

Prova:

Como K e compacto, logo limitado, e T (K) ⊂ K, entao T n(K) ⊂ K e limitada, para

todo n ∈ N. Pelo Teorema 1.5.5, Ω(K) e nao vazio, compacto e invariante.

Mostremos que Ω(K) =⋂∞

n=0 T n(K). De fato, como Ω(K) =⋂∞

j=0

⋃∞n=j T n(K) e

T (K) ⊂ K, temos que T n(K) ⊂ T j(K), para n ≥ j e daı

∞⋃n=j

T n(K) ⊂ T j(K) = T j(K).

Portanto,

Ω(K) =∞⋂

j=0

∞⋃n=j

T n(K) ⊂∞⋂

j=0

T j(K).

1.6 Funcoes de Liapunov. Uma extensao do metodo direto de Liapunov 23

Portanto, Ω(K) ⊂ ⋂∞j=0 T j(K). A outra inclusao e trivial. Assim, Ω(K) =

⋂∞n=0 T n(K).

Mostremos que Ω(K) e o maior conjunto invariante contido em K. Seja E um conjunto

invariante tal que E ⊂ K. Como E = T n(E) ⊂ T n(K),∀n ∈ N. Assim,

E ⊂∞⋂

n=0

T n(K) = Ω(K).

1.6 Funcoes de Liapunov. Uma extensao do metodo

direto de Liapunov

Seja V : Rm → R. Relativamente ao sistema x(n + 1) = T (x(n)), definimos

V (x) = V (T (x))− V (x). (1.7)

Se x(n) e solucao de x(n + 1) = T (x(n)), entao V (x(n)) = V (x(n + 1)) − V (x(n)).

Notemos que V (x) ≤ 0 significa V nao-crescente ao longo das solucoes. Para o calculo de

V (x) nao e preciso conhecer as solucoes – sua determinacao e feita diretamente conhecendo-

se o lado direito da equacao x(n + 1) = T (x(n)), isto e, conhecendo-se T . Esta e e a razao

do metodo ser denominado “direto”.

Definicao 1.6.1. Seja G um conjunto qualquer em Rm. Dizemos que V e uma funcao de

Liapunov de x(n + 1) = T (x(n)) em G se V e contınua e V (x) ≤ 0 para todo x ∈ G.

Definicao 1.6.2. Se V e uma funcao de Liapunov de x(n+1) = T (x(n)) em G, definimos:

E := x ∈ G : V (x) = 0 (1.8)

Denotemos por M o maior conjunto invariante contido em E e V −1(c) = x ∈ Rm :

V (x) = c.

Exemplo 1.6.1. Consideremos o sistema bidimensional:

x(n + 1) = x(n), y(n + 1) = −y(n)


ou

x′ = x, y′ = −y.

Se, para (x, y) ∈ R2, definimos V (x, y) = x2 + y2, e visto que T (x, y) = (x′, y′) = (x,−y),

entao V (x, y) = 0, pois

V (x, y) = V (T (x, y))− V (x, y)

= V (x,−y)− V (x, y)

= x2 + (−y)2 − (x2 + y2)

= 0.

Como V e contınua, entao e uma funcao de Liapunov em R2. Agora, E = M = R2, pois,

para todo (x, y) ∈ R2, temos V (x, y) = 0, T (x, y) = (x,−y) e (x, y) = T (x,−y). E mais,

pelo Exemplo 1.4.2, temos que se z(n) e solucao de z′ = Tz, z(0) = z0 = (x0, y0), entao

Ω(z0) = (x0, y0), (x0,−y0). Portanto, Ω(z0) ⊂ V −1(V (z0)).

Teorema 1.6.1. (Princıpio da Invariancia)

Sejam G ⊂ Rm e V : Rm → R. Se

(i) V e uma funcao de Liapunov de (1.1)em G; e

(ii) x(n) e solucao de (1.1) limitada e em G, para todo n ≥ 0,

entao ∅ 6= Ω(x(0)) ⊂ E e existe um numero c tal que x(n) → M ∩ V −1(c) quando n →∞.

Prova:

Seja x0 = x(0) tal que x(n) = T nx0. Como V (x(n)) e nao-crescente em n e x(n)

e limitada, entao V (x(n)) e limitada inferiormente em n e, desta forma, existe c tal que

V (x(n)) → c quando n → ∞. Seja y ∈ Ω(x0). Entao, existe uma sequencia ni ∈ N tal que

x(ni) → y e ni → ∞ quando i → ∞. Visto que V e contınua, V (x(ni)) → V (y) = c, o que

implica y ∈ V −1(c). Logo, Ω(x0) ⊂ V −1(c). Como Ω(x0) e invariante, pois x(n) e limitada,

entao Ty ∈ Ω(x0).


Agora, x(ni+1) = T (x(ni)) → Ty, pois T e contınua e, assim, V (x(ni+1)) → V (Ty) = c.

Logo,

V (y) = V (Ty)− V (y) = c− c = 0 ⇒ V (y) = 0 ⇒ y ∈ E,

ou seja, Ω(x0) ⊂ E. Como M e o maior conjunto invariante em E, segue que Ω(x0) ⊂ M .

Portanto, Ω(x0) ⊂ M ∩ V −1(c), ou ainda, x(n) → M ∩ V −1(c).

Exemplo 1.6.2. Consideremos o sistema bidimensional:

x(n + 1) =ay(n)

1 + x2(n), y(n + 1) =

bx(n)

1 + y2(n)

ou

x′ =ay

1 + x2, y′ =

bx

1 + y2. (1.9)

Logo, T (x, y) = (x′, y′) =(

ay1+x2 ,

bx1+y2

). Seja V (x, y) = x2 + y2. Entao V (x, y) =(

b2

(1+y2)2− 1

)x2 +

(a2

(1+x2)2− 1

)y2, pois

V (x, y) = V (T (x, y))− V (x, y) =a2y2

(1 + x2)2+

b2.x2

(1 + y2)2− x2 − y2.

Notemos que, se a2 ≤ 1 e b2 ≤ 1, temos:

|x(n + 1)| =∣∣∣∣

ay(n)

1 + x2(n)

∣∣∣∣ = |a|∣∣∣∣

y(n)

1 + x2(n)

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣

y(n)

1 + x2(n)

∣∣∣∣ ≤ |y(n)| e

|y(n + 1)| =∣∣∣∣

bx(n)

1 + y2(n)

∣∣∣∣ = |b|∣∣∣∣

x(n)

1 + y2(n)

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣

x(n)

1 + y2(n)

∣∣∣∣ ≤ |x(n)|.

Logo, |x(n)| ≤ max|x(0)|, |y(0)| e |y(n)| ≤ max|x(0)|, |y(0)|, ∀n ∈ N, e entao:

|(x(n), y(n))| =√

x2(n) + y2(n)

≤√

2(max|x(0)|, |y(0)|)2

=√

2. max|x(0)|, |y(0)|.

Assim, a solucao (x(n), y(n)) e limitada quando a2 ≤ 1 e b2 ≤ 1. Observamos que V e

definida positiva, isto e V (w) > 0, ∀w 6= 0, e V (0) = 0.


Caso 1: Suponhamos a2 < 1 e b2 < 1. Assim,

V (x, y) ≤ (b2 − 1)x2 + (a2 − 1)y2 ≤ 0

e V e uma funcao de Liapunov de (1.9) em R2. E mais, E = M e a origem, pois T(0,0) =

(0,0) e entao

V (x, y) = 0 ⇔ (x, y) = (0, 0).

Como neste caso toda solucao e limitada, temos, pelo Teorema 1.6.1, que toda solucao

aproxima-se da origem quando n → ∞. Assim, o conjunto ω-limite e a origem. Este e um

caso classico de funcoes de Liapunov, onde V e −V sao definidas positiva.

Caso 2: Suponhamos a2 ≤ 1 e b2 ≤ 1 e a2 + b2 < 2. Como toda solucao (x(n), y(n)) e

limitada, segue do Teorema 1.6.1 que ela tende para M quando n → ∞. Em virtude do

Caso 1, basta analisar apenas os seguintes subcasos abaixo.

(i) Suponhamos a2 < 1 e b2 = 1. Entao, V e ainda uma funcao de Liapunov de (1.9) em

R2, mas −V nao e definida positiva. De fato,

V (x, y) ≤ (a2 − 1)y2 ≤ 0 e V (x, y) = 0 ⇔ y = 0.

Logo, E e o eixo x. Como T (x, 0) = (0, bx), entao M e a origem. Portanto, o conjunto

ω-limite e a origem.

(ii) Supondo b2 < 1 e a2 = 1, temos a2 +b2 < 2. Entao, V e ainda uma funcao de Liapunov

de (1.9) em R2, mas −V nao e definida positiva. De fato,

V (x, y) ≤ (b2 − 1)x2 ≤ 0 e V (x, y) = 0 ⇔ x = 0.

Logo, E e o eixo y. Como T (0, y) = (ay, 0), entao M e a origem. Portanto, o conjunto

ω-limite e a origem.


Caso 3: Suponhamos a2 = b2 = 1. Neste caso, V ainda e uma funcao de Liapunov de (1.9)

em R2, e −V nao e definida positiva, pois

V (x, y) =

(1

(1 + y2)2− 1

)x2 +

(1

(1 + x2)2− 1

)y2 ≤ 0,

V (x, y) = 0 ⇔ x = 0 ou y = 0, e

T (0, 0) = (0, 0).

Logo, como T (x, 0) = (0, bx), T (y, 0) = (ay, 0), (x, 0) = T(0,

x

a

)e (0, y) = T

(y

b, 0

),

entao E = M e a uniao dos eixos coordenados. Como neste caso toda solucao e limitada,

temos, pelo Teorema 1.6.1, que cada solucao aproxima-se de (c, 0), (0, c), (−c, 0), (0,−c),para algum c ∈ R – esta e a intersecao de M com a cırcunferencia x2 + y2 = c2, ou seja, com

V −1(c2). Devemos analisar os seguintes subcasos:

(i) Suponhamos a = b = 1. Entao,

T (c, 0) = (0, c), T 2(c, 0) = (c, 0), T (−c, 0) = (0,−c), T 2(−c, 0) = (−c, 0).

Assim, os conjuntos (c, 0), (0, c) e (−c, 0), (0,−c) sao invariantes. Como, pelo

Teorema 1.5.2, o conjunto ω-limite e invariantemente conexo e nao vazio, entao e dado

pela por uma orbita periodica da forma (r, 0), (0, r), com r ∈ R. Portanto, toda

solucao se aproxima da origem, se r = 0, ou de uma orbita periodica de perıodo 2, se

r 6= 0.

(ii) Suponhamos a = b = −1. Entao,

T (c, 0) = (0,−c), T 2(c, 0) = (c, 0), T (−c, 0) = (0, c), T 2(−c, 0) = (−c, 0).

Assim, os conjuntos (c, 0), (0,−c) e (−c, 0), (0, c) sao invariantes. Como, pelo

Teorema 1.5.2, o conjunto ω-limite e invariantemente conexo e nao vazio, entao e dado

por uma orbita periodica da forma (r, 0), (0,−r), com r ∈ R. Portanto, toda

solucao nestas condicoes se aproxima de uma da origem, se r = 0, ou de uma orbita

periodica de perıodo 2, se r 6= 0.


(iii) Suponhamos ab = −1. Entao,

T (c, 0) = (0, bc), T 2(c, 0) = (−c, 0), T 3(c, 0) = (0,−bc), T 4(c, 0) = (c, 0).

Se c 6= 0, temos T (c, 0) 6= T 3(c, 0). Como o conjunto ω-limite e nao vazio, entao

e dado pela orbita periodica: (c, 0), (0, c), (−c, 0), (0,−c). Portanto, toda solucao

nestas condicoes se aproxima de uma orbita periodica – a origem (se r = 0) ou uma

orbita periodica de perıodo 4.

Caso 4: Suponhamos a2 > 1 e b2 > 1. Seja Bδ := Bδ(x, y). Para (x, y) ∈ Bδ e δ

suficientemente pequeno,

V (x, y) ≥(

b2

(1 + δ2)2− 1

)x2 +

(a2

(1 + δ2)2− 1

)y2 ≥ 0

e −V e uma funcao de Liapunov de (1.9) em Bδ, para δ suficientemente pequeno. Neste

caso, temos que E = M e a origem. Agora, nao existe solucao comecando em Bδ − (0, 0)que se aproxime da origem, pois em virtude de V (x, y) > 0, para (x, y) ∈ Bδ − (0, 0),

temos que a distancia de qualquer solucao comecando em Bδ − (0, 0) e crescente. Mas,

como T (x, y) = (0, 0) ⇔ (x, y) = (0, 0), entao temos que nao existe solucao que salte para

a origem em um numero finito de iteracoes. Notemos que a unica solucao limitada neste

caso e a solucao trivial, ou seja, a origem. Portanto, nao existe solucao nao trivial que se

aproxime da origem quando n →∞.

Proposicao 1.6.2. Se V e uma funcao de Liapunov de (1.1) em G limitado, entao V e

tambem uma funcao de Liapunov de (1.1) em G.

Prova:

De fato, como V e uma funcao de Liapunov de (1.1) em G, entao V e contınua e V (x) ≤ 0,

para todo x ∈ G. Seja y ∈ G. Entao, existe uma sequencia em G convergente tal que yn → y.

Pela continuidade de V , V (y) = V(

limn→∞

yn

)= lim

n→∞V (yn) ≤ 0. Logo, V e tambem e uma

funcao de Liapunov de (1.1) em G.

1.7 Estabilidade e Instabilidade 29

1.7 Estabilidade e Instabilidade

Definicao 1.7.1. Um conjunto H e dito estavel se, dado uma vizinhanca U de H, existir

uma vizinhanca W de H tal que T n(W ) ⊂ U para todo n ∈ N.

Observacao 1.7.1. Se H e estavel, entao H e tambem estavel.

Exemplo 1.7.1. Consideremos a aplicacao T : R2 → R2, T (x, y) = (x,−y). Pelo Exemplo

1.4.2, se (x0, y0) ∈ R2, entao Ω(x0, y0) = (x0, y0), (x0,−y0). Tomemos H := Ω(x0, y0).

Dado uma vizinha U de H, seja r suficientemente pequeno tal que Br(x0, y0) ⊂ U e

Br(x0,−y0) ⊂ U . Tomemos W = Br(x0, y0) ∪ Br(x0,−y0). Notemos que W e invariante,

pois T (Br(x0, y0)) = Br(x0,−y0) e T (Br(x0,−y0)) = Br(x0, y0). Logo, H e estavel, pois

T n(W ) = W ⊂ U .

Proposicao 1.7.2. Se H e estavel, entao H e positivamente invariante. Em particular, se

um ponto e estavel, entao e um ponto de equilıbrio.

Prova:

Mostremos que se H e estavel, entao H e positivamente invariante, ou seja, T (H) ⊂ H.

Consideremos as vizinhancas Ui = B1/i(H), i ∈ N∗. Afirmamos inicialmente que H =⋂∞

i=1 Ui. De fato, seja x ∈ ⋂∞i=1 Ui. Logo, ρ(x,H) < 1/i, para todo i ∈ N∗, o que implica

ρ(x,H) = 0 e entao, x ∈ H. Portanto⋂∞

i=1 Ui ⊂ H. A outra inclusao e trivial. Logo,

H =⋂∞

i=1 Ui.

Pela estabilidade de H, existe vizinhanca Wi de H tais que T n(Wi) ⊂ Ui, para todo

n, i ∈ N, i 6= 0.

Afirmamos agora que H =⋂∞

i=1 Wi. De fato, como Wi ⊂ Ui, entao⋂∞

i=1 Wi ⊂⋂∞

i=1 Ui =

H, o que implica⋂∞

i=1 Wi ⊂ H. A outra inclusao e trivial. Portanto H =⋂∞

i=1 Wi.

Concluımos que H e positivamente invariante da seguinte forma:

T (H) = T

( ∞⋂i=1

Wi

)=

∞⋂i=1

T (Wi) ⊂∞⋂i=1

Ui = H ⇒ T (H) ⊂ H.

Ainda, se H = p e estavel, temos que H = p e positivamente invariante, ou seja,

T (H) ⊂ H implicando Tp = p. Portanto, p e um ponto de equilıbrio.


Definicao 1.7.2. Para H um conjunto em Rm, definimos H da seguinte forma: z ∈ H se

existirem sequencias xi ∈ Rm e ni ∈ N tais que xi → y ∈ H e T ni(xi) → z, quando i →∞.

Em dinamica topologica, H e chamado prolongamento de H. O conjunto de todos z para os

quais ni →∞, quando i →∞, e chamado conjunto prolongamento limite de H, e denotamos

por H∞.

Proposicao 1.7.3. Seja H um conjunto em Rm. As seguintes afirmacoes sao verdadeiras:

(i) H = H, H∞ ⊂ H, e H ⊂ H;

(ii) H ⊂ H∞ ∪⋃∞

n=0 T n(H

)e, se H e positivamente invariante, entao H = H∞ ∪H.

Prova:

(i) Se z ∈ H, tomando xi = z e ni = 0, temos z ∈ H. Logo, H ⊂ H. As demais relacoes

deste item seguem diretamente da definicao.

(ii) Seja z ∈ H. Entao, existem sequencias xi ∈ Rm e ni ∈ N tais que xi → y ∈ H e

T nixi → z, quando i → ∞. Se a sequencia ni e limitada, entao podemos assumir

que converge, digamos ni → k ∈ N. Como ni e uma sequencia de inteiros, entao

existe i0 ∈ N tal que ni = k, para i ≥ i0. Logo, T kxi = T nixi, para i ≥ i0. Visto

que xi → y, pela continuidade de T k, segue que T ky = z. Logo, z ∈ T k(H

). Logo,

H ⊂ ⋃∞i=0 T n

(H

).

Se a sequencia ni nao e limitada, podemos assumir ni → ∞ quando i → ∞. Logo,

z ∈ H∞. Portanto,

H ⊂ H∞ ∪∞⋃i=0

T n(H

).

Ainda, se H e positivamente invariante,⋃∞

i=0 T n(H

) ⊂ H e H ⊂ H∞ ∪H. Mas, por

(i), temos H∞ ∪H ⊂ H. Assim, H = H∞ ∪H.

Proposicao 1.7.4. Seja H um conjunto limitado em Rm. Entao valem as seguintes afirmacoes:

(i) Ω(H) ⊂ H∞ ⊂ Ω(B), onde B e aberto e H ⊂ B;


(ii) H ∪ Ω(H) ⊂ H.

Prova:

(i) Seja z ∈ Ω(H). Entao, existem sequencias ni ∈ N e xi ∈ H tais que T nixi → z e

ni → ∞ quando i → ∞. Como H e limitado, entao H e compacto e, desta forma,

podemos assumir que xi converge, digamos xi → y ∈ H. Assim, z ∈ H∞. Logo,

Ω(H) ⊂ H∞. Ainda, sejam w ∈ H∞ e B um conjunto aberto tal que H ⊂ B. Entao,

existem sequencias xi ∈ B e ni ∈ N tais que xi → y ∈ H e T nix → w e ni → ∞quando i →∞. Portanto, w ∈ Ω(B). Concluımos entao que Ω(H) ⊂ H∞ ⊂ Ω(B).

(ii) Por (i) e pela Proposicao 1.7.3-(i), segue o resultado.

Lema 1.7.5. (i) Se H e um conjunto estavel, entao H = H;

(ii) Se H e um conjunto compacto positivamente invariante, entao H e estavel se, e

somente se, H = H;

(iii) Se H e um conjunto em Rm, entao H e H∞ sao positivamente invariantes;

(iv) Se H e um conjunto fechado invariante contido em um conjunto G aberto limitado

positivamente invariante, entao H e H∞ sao invariantes.

Prova:

(i) Seja H estavel. Suponhamos que exista z ∈ H−H. Logo, existem sequencias xi ∈ Rm

e ni ∈ N tais que xi → y ∈ H e T nixi → z. Tomemos alguma vizinhanca U de H tal

que z /∈ U . Como H e estavel, existe vizinhanca W de H tal que T n(W ) ⊂ U , para

todo n ∈ N. Assim, para i = i0 suficientemente grande, xi ∈ W, i ≥ i0 e, desta forma,

T ni(xi) ∈ U, i ≥ i0. Como T ni(xi) → z, entao z ∈ U , o que e uma contradicao. Logo,

H ⊂ H. A outra inclusao e devido a Proposicao 1.7.3-(i). Portanto H = H.

(ii) Seja H um conjunto compacto positivamente invariante tal que H = H. Suponhamos

que H nao seja estavel. Logo, existe uma vizinhanca U de H, que podemos assumir


limitada, tal que para qualquer vizinhanca W de H, existe n(W ) ∈ N para o qual

T n(W )(W ) * U .

Consideremos as vizinhancas Wi = B1/i(H). Logo, existe n(Wi) ∈ N para o qual

T n(Wi)(Wi) * U , para todo i ∈ N∗. Seja i0 ∈ N tal que Wi ⊂ U , para todo i ≥ i0.

Tomemos Πi = n ∈ N : T n(Wi) * U e ni = min Πi. Notemos que Πi 6= ∅,pois n(Wi) ∈ Πi; e ni ≥ 1, pois T 0(Wi) = Wi ⊂ U . Desta forma, T ni(Wi) * U

e T ni−1(Wi) ⊂ U , o que acarreta T ni(Wi) ⊂ T (U). Como U e limitado, temos que

T ni(Wi) e tambem limitado (uniformemente em i).

Seja xi ∈ Wi, i ≥ i0, tal que T ni(xi) /∈ U . Logo, ρ(xi, H) < 1/i, para todo i ≥ i0.

Assim, ρ(xi, H) → 0, ou seja, xi → H. Agora, xi ∈ Wi ⊂ U , isto e, xi e limitada.

Entao, podemos assumir que xi → y ∈ H = H.

Agora, T ni(xi) /∈ U e T ni(xi) e limitada. Assim, podemos assumir que T ni(xi) → z ∈Rm. Logo, z ∈ H. Visto que T ni(xi) /∈ U , temos que z /∈ U ⊃ H, isto e, z /∈ H.

Portanto, H * H, ou seja H 6= H, o que e uma contradicao. Provamos entao que H e

estavel se H = H. A outra implicacao e devido a (i).

(iii) Seja z ∈ H. Entao, existem sequencias xi ∈ Rm e ni ∈ N tais que xi → y ∈ H e

T nixi → z. Logo, T ni+1(xi) → T (z), e entao T (z) ∈ H. Portanto, T (H) ⊂ H, ou seja,

H e positivamente invariante. Analogamente para ni →∞ quando i →∞, temos que

T (H∞) ⊂ H∞, e logo H∞ e tambem positivamente invariante.

(iv) Seja z ∈ H∞. Entao, podemos assumir que existem sequencias xi ∈ G e ni ∈ N

tais que xi → y ∈ H = H, T nixi → z e ni → ∞ quando i → ∞. Como G e

positivamente invariante, temos que T ni−1xi ∈ G, e esta e uma sequencia limitada.

Consequentemente, podemos assumir que T ni−1xi → w. Logo, w ∈ H∞. E mais,

T nixi → Tw = z, ou seja, H∞ ⊂ T (H∞). Portanto, H∞ e negativamente invariante

e, por (iii), H∞ e invariante. Como H e invariante, entao pela Proposicao 1.7.3-(ii),

concluımos que H = T (H), ou seja H e invariante, pois

H = H∞ ∪H = T (H∞) ∪ T (H) = T (H∞ ∪H) = T (H).


Definicao 1.7.3. Um conjunto H e chamado atrator se existir uma vizinhanca U de H tal

que se x ∈ U , entao T nx → H, quando n → ∞. H e assintoticamente estavel se e um

atrator estavel. Se H e assintoticamente estavel e T nx → H, para qualquer x ∈ Rm, entao

H e dito globalmente assintoticamente estavel. H e instavel se nao e estavel. Se H nao e

estavel e tambem nao e um atrator, dizemos que H e fortemente instavel.

Definicao 1.7.4. Um conjunto H em Rm e dito inversamente invariante se T−1(H) = H.

Proposicao 1.7.6. Seja H um conjunto em Rm. Entao:

(i) H e inversamente invariante se, e somente se, H e positivamente invariante e T−1(H) ⊂H.

(ii) H e negativamente invariante se, e somente se, T−1x intercepta H para cada x ∈ H.

Prova:

(i) Mostremos que H e positivamente invariante e T−1(H) ⊂ H, se H e inversamente

invariante. Como T−1(H) = H, entao T (H) = T (T−1(H)) ⊂ H.

Mostremos que H e inversamente invariante, se T (H) ⊂ H e T−1(H) ⊂ H. De fato,

H ⊂ T−1T (H) ⊂ T−1(H), e daı T−1(H) = H.

(ii) Mostremos que T−1x intercepta H para cada x ∈ H, se H e negativamente invariante.

Seja x ∈ H. Como H ⊂ T (H), entao existe w ∈ H tal que T (w) = x. Logo,

w ∈ T−1x ∩H, ou seja, T−1x ∩H 6= ∅.

Mostremos que H e negativamente invariante, se T−1x intercepta H para cada x ∈H. Seja x ∈ H. Por hipotese, existe w ∈ T−1x ∩ H, e logo Tw = x e w ∈ H.

Portanto H ⊂ T (H).

Definicao 1.7.5. A regiao de atracao <(H) de um conjunto H e o conjunto de todos x ∈ Rm

tais que T n(x) → H quando n →∞.


Proposicao 1.7.7. Se H e assintoticamente estavel, entao:

(i) <(H) e aberto;

(ii) <(H) e <(H) sao inversamente invariantes.

Prova:

(i) Mostremos que <(H) e aberto. Seja x0 ∈ <(H). Logo, T nx0 → H quando n → ∞.

Como H e um atrator, entao existe U vizinhanca de H tal que T nw → H quando

n → ∞, para todo w ∈ U . Como T nx0 → H, temos, para n suficientemente grande,

T nx0 ∈ U , digamos, T nx0 ∈ U , para n ≥ n0, n0 ∈ N. Como U e aberto, existe ε > 0

tal que Vε(Tn0x0) ⊂ U . Mas T n0 e contınua, o que acarreta a existencia de δ > 0 tal

que:

T n0(Vδ(x0)) ⊂ Vε(Tn0x0) ⊂ U ⇒ T n0(Vδ(x0)) ⊂ U.

Seja y ∈ Vδ(x0). Logo, T n0y ∈ U e,

T n+n0y = T n(T n0y) → H ⇒ T ny → H, n →∞.

Assim, y ∈ <(H) e portanto, <(H) e aberto.

(ii) Mostremos que <(H) e <(H) sao inversamente invariantes. De fato,

z ∈ T−1(<(H)) ⇔ Tz ∈ <(H)

⇔ T n+1z = T n(Tz) → H, n →∞⇔ T nz → H,n →∞⇔ z ∈ <(H).

Portanto, T−1(<(H)) = <(H). E tambem (<(H)) e inversamente invariantes, pois

T−1( <(H)) = (T−1(<(H))) = (<(H)) ⇒ T−1( <(H)) = (<(H)).


Observacao 1.7.8. Notemos que se H e globalmente assintoticamente estavel, entao <(H) =

Rm.

Teorema 1.7.9. Seja G um conjunto aberto limitado positivamente invariante. Se

(i) V e uma funcao de Liapunov de T em G; e

(ii) M ⊂ G;

entao M e um atrator e G ⊂ <(M). Se, adicionalmente,

(iii) V e constante em M ,

entao M e assintoticamente estavel (globalmente assintoticamente estavel relativamente

a G).

Prova:

Mostremos inicialmente que M e um atrator e G ⊂ <(M). Como V e T sao funcoes

contınuas, entao V = V (T )− V e contınua e E = (V )−1(0) e fechado. Agora, M e o maior

conjunto invariante em E. Assim, M ⊂ E = E e M ⊂ G e limitado. Pela Proposicao

1.4.4-(ii), M e invariante. Logo, M = M , isto e, M e fechado, e entao M e compacto.

Pela Proposicao 1.6.2, temos que V e tambem uma funcao de Liapunov de (1.1) em G.

Visto que G e limitado, entao G tambem e limitado. Como G e positivamente invariante,

entao pela Proposicao 1.4.4-(i), G e positivamente invariante.

Assim, toda solucao x(n) comecando em G permanece em G e, desta forma, e limitada

para todo n ∈ N. Pelo Teorema 1.6.1, x(n) → M , quando n → ∞. Logo, M e um atrator

sobre G. Daı, segue que G ⊂ <(M).

Suponhamos que V seja constante em M . Mostraremos a seguir que M = M . Mostremos

antes que V (z) = c, ∀z ∈ M . Seja z ∈ M . Entao, podemos assumir que existem sequencias

xi ∈ G e ni ∈ N tais que xi → y ∈ M = M e T ni(xi) → z e ni → ∞ quando i → ∞.

Como G e positivamente invariante, T ni(xi) ∈ G,∀i, e assim z ∈ G. Logo, M ⊂ G. Assim,

T nz → M , pois M ⊂ G ⊂ <(M). Visto que T nz e limitada, existe uma subsequencia


convergente T njz → u ∈ M e T njz ∈ G. Notemos que −V (w) ≥ 0,∀w ∈ G, e T nz ∈ G.

Como −V (z) = −V (Tz) + V (z) ≥ 0, entao V (z) ≥ V (T n(z)),∀n ≥ 1, o que implica

V (z) ≥ V (T njz) → V (u) = c ⇒ V (z) ≥ c.

Tambem pelo fato de −V (w) ≥ 0, ∀w ∈ G, e xi ∈ G e T ni(xi) ∈ G, temos:

V (xi) ≥ V (T ni(xi)) ⇒ c = V (y) ≥ V (z) ⇒ V (z) ≤ c.

Logo, V (z) = c. Provamos entao que V e constante em M .

Ainda, pelo Lema 1.7.5-(iv), M e invariante. Seja w ∈ M . Entao Tw ∈ M e V (w) = 0,

pois

V (w) = V (Tw)− V (w) = c− c = 0.

Assim, M ⊂ E. Mas M e o maior conjunto invariante em E, o que implica M = M .

Pelo Lema 1.7.5-(ii), M e estavel. Como ja vimos que M tambem e um atrator, entao M e

assintoticamente estavel. Pelo fato de G ⊂ <(M), entao podemos dizer que M e globalmente

assintoticamente estavel em relacao a G.

Capıtulo 2

Sistemas Semidinamicos Discretos

Nao Lineares

Neste capıtulo trataremos de sistemas discretos dependentes de um parametro. Em particular,

utilizando funcoes tipo Liapunov, estabelecemos resultados construtivos sobre estimativas

uniformes de atrator. Tambem obtemos funcoes tipo Liapunov para uma classe de sistemas

lineares e de seus perturbados, inclusive com estimativas uniformes sobre as mesmas e sobre

suas derivadas. No final, apresentamos simulacoes de alguns sistemas caoticos discretos

classicos. Alguns resultados apresentados acreditamos serem ineditos, tais como os Teoremas

2.1.1, 2.1.2, 2.1.12, 2.2.1, e as Proposicoes 2.1.3, 2.1.10.

2.1 Teoremas e Metodos

Teorema 2.1.1. Sejam Λ subconjunto compacto de um espaco de Banach e T : Rm × Λ →Rm, V : Rm × Λ → R+; a, b, c : Rm → R funcoes contınuas, satisfazendo:

0 ≤ a(x) ≤ V (x, λ) ≤ b(x), (2.1)

a(x) → ∞, quando |x| → ∞ e −V (x, λ) ≥ c(x), para todo x ∈ Rm e λ ∈ Λ. Suponhamos

x ∈ Rm : c(x) < 0 6= ∅ e C := x ∈ Rm : c(x) ≤ 0 limitado. Sejam R e µ tais que

38 Sistemas Semidinamicos Discretos Nao Lineares

∞ > R > maxx∈C

b(x) e −µ ≤ minx∈C

c(x), e consideremos os conjuntos BR := x ∈ Rm : b(x) ≤R e AR+µ := x ∈ Rm : a(x) ≤ R + µ. Seja λ0 ∈ Λ. Entao,

(i) Se x0 ∈ BR, entao T n(x0, λ0) ∈ AR+µ,∀n ∈ N;

(ii) Se x0 ∈ Rm, existe n0 = n0(x0, λ0) ∈ N tal que T n(x0, λ0) ∈ AR+µ,∀n ≥ n0;

(iii) Se x0 ∈ Rm, existe subsequencia nj ∈ N, com nj → ∞ quando j → ∞, tal que

T nj(x0, λ0) ∈ BR,∀j ∈ N.

Prova:

Denotamos T (·) = T (·, λ0) e V (·) = V (·, λ0). Observamos que se ρ ∈ R, entao Bρ ⊂Vρ ⊂ Aρ, onde Bρ := x ∈ Rm : b(x) ≤ ρ, Vρ = Vρ(λ0) := x ∈ Rm : V (x) ≤ ρ e

Aρ := x ∈ Rm : a(x) ≤ ρ. Este fato decorre de (2.1). Observamos tambem que µ > 0.

Afirmamos que:

ρ ≥ R + µ ⇒ Vρ e positivamente invariante com relacao a T (·). (2.2)

De fato, seja x ∈ Vρ. Se x ∈ BR − C, entao c(x) > 0. Logo, infx∈BR

c(x) = minx∈C

c(x) ≥ −µ.

Desta forma, se x ∈ BR, temos:

c(x) ≥ −µ ⇒ −V (x) ≥ c(x) ≥ −µ

⇒ V (x) ≤ µ

⇒ V (T (x))− V (x) = V (x) ≤ µ

⇒ V (T (x)) ≤ V (x) + µ ≤ b(x) + µ ≤ R + µ ≤ ρ

⇒ V (T (x)) ≤ ρ

⇒ T (x) ∈ Vρ.

Portanto, T (x) ∈ Vρ, se x ∈ BR. Alem disso, se x ∈ Vρ −BR, temos:

−V (x) ≥ c(x) > 0 ⇒ V (x) < 0

⇒ V (T (x))− V (x) = V (x) < 0

⇒ V (T (x)) < V (x) ≤ ρ

⇒ V (T (x)) < ρ.

2.1 Teoremas e Metodos 39

Portanto, T (x) ∈ Vρ, se x ∈ Vρ −BR. Logo, T (x) ∈ Vρ, ∀x ∈ Vρ.

Concluımos que T n(x) ∈ Vρ, ∀x ∈ Vρ, ∀n ∈ N. Em particular, ficou demonstrado que

se x0 ∈ BR, entao T n(x0) ∈ VR+µ ⊂ AR+µ,∀n ∈ N, ficando assim justificado o item (i).

Provaremos a seguir que, dado x0 ∈ Rm, x0 /∈ BR,

existe n0 ≥ 1 tal que T n0(x0) ∈ BR.

(2.3)

Tomemos ρ = ρ(x0, λ0) := maxV (x0), R + µ. Logo, Vρ e positivamente invariante com

relacao a T . Consideremos o conjunto

W = WR,x0,λ0 := x ∈ Rm : V (x) ≤ ρ − BR.

Notemos que se x ∈ W , temos b(x) ≥ R > supy∈C

b(y), o que implica x /∈ C. Como W 6= ∅,pois x0 ∈ W e c(x) > 0 para todo x ∈ W , temos que 0 < m = m(x0, λ0) := minc(x) :

x ∈ W, pois W e compacto e c e contınua. Desta forma, −V (x) ≥ c(x) ≥ m, ∀x ∈ W , ou

ainda, V (x) ≤ −m, ∀x ∈ W . Como x0 ∈ W , temos:

V (x0) ≤ −m ⇒ V (T (x0))−V (x0) = V (x0) ≤ −m ⇒ V (T (x0)) ≤ −m+V (x0) < V (x0) ≤ ρ.

Se T (x0) ∈ BR, a afirmacao acima estaria satisfeita tomando-se n0 = 1. Se T (x0) /∈ BR,

do calculo acima, decorre que T (x0) ∈ W ⊂ W . Logo,

V (T 2(x0))− V (T (x0)) = V (T (x0)) ≤ −m ⇒ V (T 2(x0)) ≤ −m + V (T (x0))

⇒ V (T 2(x0)) ≤ −2m + V (x0) < V (x0) ≤ ρ.

Se T 2(x0) ∈ BR, a afirmacao acima estaria satisfeita tomando-se n0 = 2. Se T 2(x0) /∈ BR,

das ultimas desigualdades decorre que T 2(x0) ∈ W ⊂ W . Por inducao, se T j(x0) /∈ BR e

T j(x0) ∈ W , para j = 1, ..., n, concluımos que 0 ≤ a(T n(x0)) ≤ V (T n(x0)) ≤ −nm + V (x0).

Se T n(x0, λ0) /∈ BR,∀n ∈ N, entao existe np ∈ N tal que V (T n(x0)) ≤ −npm+V (x0) < 0,

o que consiste numa contradicao, pois V ≥ 0. Logo, se x0 /∈ BR, entao existe n0 tal que

BR 3 T n(x0) → T n0(x0). Agora, se x0 ∈ BR, seja y0 = T (x0). Se y0 ∈ BR a afirmacao acima

estaria satisfeita tomando-se n0 = 1. Se y0 /∈ BR, pela demonstracao acima, existe n0 ≥ 1


tal que T n0(y0) = T n0(T (x0)) = T n0+1(x0) ∈ BR. Provamos, entao, que existe n0 ≥ 1 tal

que T n0(x0) ∈ BR, para qualquer x0 ∈ Rm.

Vamos demonstrar (ii) a seguir. Seja x0 ∈ Rm. Se x0 ∈ BR, por (i), a afirmacao esta

satisfeita. Se x0 /∈ BR, pela Afirmacao (2.3), existe n0 ≥ 1 tal que T n0(x0) ∈ BR. E como

BR ⊂ VR ⊂ AR ⊂ AR+µ, pela Afirmacao (2.2), temos que T n(x0) ∈ AR+µ,∀n ≥ n0.

Vamos demonstrar (iii) a seguir. Seja x0 ∈ Rm. Pela Afirmacao (2.3), existe n0 ≥ 1

tal que T n0(x0) ∈ BR. Seja y0 = T n0(x0) ∈ BR. Novamente pela Afirmacao (2.3), existe

p1 ≥ 1 tal que T p1(y0) = T p1(T n0(x0)) = T p1+n0(x0) ∈ BR. Tomemos n1 = p1 + n0 > n0.

Logo, T n1(x0) ∈ BR. E, desta maneira, construımos uma subsequencia nj ∈ N estritamente

crescente tal que T nj(x0) ∈ BR, ∀j ∈ N, com nj →∞ quando j →∞.

Teorema 2.1.2. (Princıpio da Invariancia Uniforme)

Sejam contınuas as funcoes T : Rm × Λ → Rm, V : Rm × Λ → R+, e tambem contınuas

as funcoes a, c : Rm → R, satisfazendo 0 ≤ a(x) ≤ V (x, λ), a(x) → ∞ quando |x| → ∞e −V (x, λ) ≥ c(x) ≥ 0, para todo x ∈ Rm e todo λ ∈ Λ. Sejam x0 ∈ Rm, λ0 ∈ Λ. Entao

Ec := x ∈ Rm : c(x) = 0 6= ∅ e T n(x0, λ0) tende, quando n → ∞, para o maior conjunto

invariante de T (·, λ0) contido em Ec.

Prova:

Denotamos T (·) = T (·, λ0) e V (·) = V (·, λ0). Assim, como c(x) ≥ 0, ∀x ∈ Rm, entao

−V (x) ≥ c(x) ≥ 0 ⇒ −V (x) ≥ 0, ∀x ∈ Rm. E mais,

V (x) ≤ 0 ⇒ V (T (x0))− V (x0) ≤ 0

⇒ V (T (x0)) ≤ V (x0)

⇒ V (T n(x0)) ≤ ... ≤ V (T 2(x0)) ≤ V (T (x0)) ≤ V (x0)

⇒ V (T n(x0)) ≤ V (x0) =: ρ(x0, λ0) = ρ

⇒ T n(x0) ∈ Vρ = Vρ(λ0) := x ∈ Rm : V (x) ≤ ρ.

Logo, T n(x0) e limitada, pois x ∈ Vρ ⇒ V (x, λ) ≤ ρ ⇒ a(x) ≤ V (x, λ) ≤ ρ ⇒ a(x) ≤ ρ.

E, como a(x) → ∞ quando |x| → ∞, entao Aρ := x ∈ Rm : a(x) ≤ ρ e limitado.


Concluımos que V e uma funcao de Liapunov em todo Rm. Como toda solucao x(n) =

x(n, λ0) = T n(x0) e limitada em Rm, ∀n ∈ N, entao, pelo Teorema 1.6.1, x(n) aproxima-se

do maior conjunto invariante contido em E = Eλ0 = x ∈ Rm : V (x) = 0 quando n →∞.

E mais,

x ∈ E ⇒ V (x) = 0 ⇒ 0 = −V (x) ≥ c(x) ≥ 0 ⇒ c(x) = 0 ⇒ x ∈ Ec ⇒ E ⊂ Ec.

Pelo Teorema 1.6.1, ∅ 6= Ω(x(0)) ⊂ E, o que conclui a demonstracao.

Proposicao 2.1.3. Consideremos as funcoes contınuas a, b : Rm → R+ tais que 0 ≤ a(x) ≤b(x) e a(x) →∞ quando |x| → ∞. Sejam A,B : R+ → R+ funcoes definidas por:

A(r) := inf|x|≥r

a(x) e B(r) := sup|x|≤r

b(x).

Entao,

A(r) = min|x|≥r

a(x) e B(r) = max|x|≤r

b(x).

Alem disso, A e B sao nao-decrescentes, contınuas, A(r) →∞ quando r →∞, e

A(|x|) ≤ a(x) e B(|x|) ≥ b(x),∀x ∈ Rm.

Prova:

Dado r > 0, como a(x) → ∞ quando |x| → ∞, existe ρ = ρ(r) > r tal que a(x) > M ,

para |x| ≥ ρ, onde M > A(r). Logo A(r) = inf|x|≥ρ

a(x) = minr≤|x|≤ρ

a(x) = min|x|≥r

a(x). O fato de

que B(r) = sup|x|≤r

b(x) = max|x|≤r

b(x) e trivial.

Mostremos que A e B sao nao-decrescentes. Sejam r1, r2 ∈ R+ tais que r1 ≤ r2. Como

x ∈ Rm : |x| ≥ r1 ⊃ x ∈ Rm : |x| ≥ r2 e x ∈ Rm : |x| ≤ r1 ⊂ x ∈ Rm : |x| ≤ r2,temos:

A(r2) = inf|x|≥r2

a(x) ≥ inf|x|≥r1

a(x) = A(r1) ⇒ A(r2) ≥ A(r1) e

B(r2) = sup|x|≤r2

b(x) ≥ sup|x|≤r1

b(x) = B(r1) ⇒ B(r2) ≥ B(r1).

Afirmamos tambem que A(r) → ∞ quando r → ∞. Seja M > 0. Como a(x) → ∞quando |x| → ∞, x ∈ Rm, entao existe R > 0 tal que a(x) ≥ M , se |x| ≥ R. Tomemos


r > R. Logo, como A(r) = min|x|≥r

a(x), existe y ∈ Rm tal que |y| ≥ r > R e A(r) = a(y) ≥ M .

Assim, A(r) →∞ quando r →∞Garantimos que A(|x|) ≤ a(x) e B(|x|) ≥ b(x), ∀x ∈ Rm. Seja x ∈ Rm. Como A(|x|) =

min|y|≥|x|

a(y), entao A(|x|) ≤ a(y), se |y| ≥ |x| e, desta forma, A(|x|) ≤ a(x). E mais, B(|x|) =

max|y|≤|x|

b(y) ⇒ B(|x|) ≥ b(y), se |y| ≤ |x|. Logo, B(|x|) ≥ b(x).

Provemos a continuidade de A pela direita. Seja rn uma sequencia real positiva convergente

tal que rn → r0, rn > r0, ∀n ∈ N∗. Garantimos que A(rn) → A(r0). Seja ρ0 > r0 tal que

a(x) > A(r0), para |x| ≥ ρ0. Seja x0 ∈ Rm tal que r0 ≤ |x0| ≤ ρ0 e a(x0) = minr0≤|x|≤ρ0

a(x) =

A(r0).

Suponhamos primeiramente que |x0| > r0. Afirmamos que, para n suficientemente

grande, A(rn) = A(r0). De fato, como rn → r0, rn > r0,∀n ∈ N∗, entao existe n0 ∈ N∗

tal que rn < |x0|, para n ≥ n0. Logo, para n ≥ n0 e |x| ≥ rn, temos que |x0| > rn e

a(x) ≥ a(x0). Portanto, A(rn) = min|x|≥rn

a(x) = a(x0) = A(r0), se n ≥ n0.

Agora, consideremos |x0| = r0. Seja ε > 0. Pela continuidade de a, existe δ > 0 tal que

a(x0) − ε < a(x) < a(x0) + ε, se x ∈ Bδ(x0). Como rn → r0, rn > r0, ∀n ∈ N∗, entao existe

n0 ∈ N∗ tal que r0 < rn < r0+δ, para n ≥ n0. Logo, se n ≥ n0, temos 0 ≤ A(rn)−A(r0) ≤ ε,

pois A(rn) = min|x|≥rn

a(x) ≤ mina(x) : |x| ≥ rn e x ∈ Bδ(x0) ≤ a(x0) + ε = A(r0) + ε.

Logo, A e contınua pela direita.

Provemos a continuidade de A pela esquerda. Seja rn uma sequencia real positiva

convergente tal que rn → r0, rn < r0, ∀n ∈ N∗. Garantimos que A(rn) → A(r0). Seja

ρ0 > r0 tal que a(x) > A(r0) ≥ A(rn), para |x| ≥ ρ0. Seja x0 ∈ Rm tal que r0 ≤ |x0| ≤ ρ0

e a(x0) = minr0≤|x|≤ρ0

a(x) = A(r0). Logo, A(rn) = min|x|≥rn

a(x) = minrn≤|x|≤ρ0

a(x). Seja yn ∈ Rm tal

que rn ≤ |yn| ≤ ρ0 e A(rn) = a(yn). Podemos supor que yn → y0, r0 ≤ |y0| ≤ ρ0. Afirmamos

que a(x0) = a(y0). De fato, a(x0) ≥ a(y0), pois a(x0) = A(r0) ≥ A(rn) = a(yn) → a(y0),

e suponhamos a(y0) < a(x0). Porem, isto nao e possıvel, pois a(x0) = min|x|≥r0

a(x). Assim,

A(rn) = a(yn) → a(y0) = a(x0) = A(r0) ⇒ A(rn) → A(r0). Logo, A e contınua pela

esquerda.

Provemos a continuidade de B pela esquerda. Seja rn uma sequencia real positiva


convergente tal que rn → r0, rn < r0,∀n ∈ N∗. Garantimos que B(rn) → B(r0). Seja

x0 ∈ Rm tal que |x0| ≤ r0 e b(x0) = max|x|≤r0

b(x) = B(r0).

Suponhamos primeiramente que |x0| < r0. Afirmamos que, para n suficientemente

grande, B(rn) = B(r0). De fato, como rn → r0, rn < r0,∀n ∈ N∗, entao existe n0 ∈ N∗ tal

que rn > |x0|, para n ≥ n0. Logo, para n ≥ n0 e |x| ≤ rn, temos que |x0| < rn e b(x) ≤ b(x0).

Portanto, B(rn) = max|x|≤rn

b(x) = b(x0) = B(r0), se n ≥ n0.

Agora, consideremos |x0| = r0. Seja ε > 0. Pela continuidade de b, existe δ > 0 tal que

b(x0) − ε < b(x) < b(x0) + ε, se x ∈ Bδ(x0). Como rn → r0, rn < r0,∀n ∈ N∗, entao existe

n0 ∈ N∗ tal que r0−δ < rn < r0, para n ≥ n0. Logo, se n ≥ n0, temos B(rn)−B(r0) ≥ −ε,

pois B(rn) = max|x|≤rn

b(x) ≥ maxb(x) : |x| ≤ rn e x ∈ Bδ(x0) ≥ b(x0) − ε = B(r0) − ε.

Logo, B e contınua pela esquerda.

Provemos a continuidade de B pela direita. Seja rn uma sequencia real positiva convergente

tal que rn → r0, rn > r0,∀n ∈ N∗. Garantimos que B(rn) → B(r0). Sejam x0, yn ∈ Rm,∀n ∈N∗ tais que B(r0) = max

|x|≤r0

b(x) = b(x0) e B(rn) = max|x|≤rn

b(x) = b(yn), onde |x0| ≤ r0 e

|yn| ≤ rn < L, para algum L. Logo, podemos supor que yn → y0, |y0| ≤ r0. Afirmamos

que b(x0) = b(y0). De fato, b(x0) ≤ b(y0), pois b(x0) = B(r0) ≤ B(rn) = b(yn) → b(y0),

e suponhamos b(y0) > b(x0). Porem, isto nao e possıvel, pois b(x0) = max|x|≤r0

b(x). Assim,

B(rn) = b(yn) → b(y0) = b(x0) = B(r0) ⇒ B(rn) → B(r0). Logo, B e contınua pela direita.

Definicao 2.1.1. Sejam X espaco de Banach, L(X) o conjunto dos operadores limitados de

X em X, A ∈ L(X) e λ ∈ C. Se A− λ e inversıvel e Rλ(A) := (A− λ)−1 ∈ L(X), dizemos

que λ pertence ao conjunto resolvente de A e denotamos ρ(A). Chamamos de operador

resolvente de A a funcao Rλ. O conjunto complementar σ(A), em C, de ρ(A) e denominado

espectro de A.

Proposicao 2.1.4. Seja (X, | · |) espaco de Banach e A ∈ L(X). Entao, vale a igualdade

limn→∞

|An|1/n = infn=1,2,...

|An|1/n.

Este resultado pode ser encontrado em [15], pagina 27.


Definicao 2.1.2. Seja (X, | · |) espaco de Banach e A ∈ L(X). Chamamos de raio espectral

de A, e denotamos por r(A), o limite r(A) := limn→∞

|An|1/n. Notemos que pela Proposicao

2.1.4, segue que r(A) = limn→∞

|An|1/n = infn=1,2,...

|An|1/n.

Proposicao 2.1.5. Sejam X espaco de Banach e A ∈ L(X). Entao, r(A) = maxλ∈σ(A)

|λ| e

σ(A) e um conjunto compacto em C.

Estes resultados podem ser encontrados em [22], pagina 151.

Definicao 2.1.3. Seja X espaco de Banach munido da norma | · |. Vamos definir uma norma

no espaco L(X) como sendo

|A| := sup06=x∈X

|Ax||x| = sup

|x|=1

|Ax| = sup|x|≤1

|Ax|, A ∈ L(X). (2.4)

Observacao 2.1.6. Na Definicao 2.1.3, se dim X < ∞, podemos trocar “sup” por “max”

em (2.4) devido a compacidade do conjunto dos x tais que |x| = 1.

Proposicao 2.1.7. Sejam (X, | · |) espaco de Banach e A,B ∈ L(X). Entao r(A) ≤ |A|,|AB| ≤ |A|.|B| e (L(X), | · |) e um espaco de Banach.

Estes resultados podem ser encontrados em [15], paginas 26 e 176.

Lema 2.1.8. A aplicacao L(X) 3 A 7→ σ(A) e semicontınua superiormente, ou seja, dados

A ∈ L(X) e ε > 0, existe δ > 0 tal que σ(B) ⊂ Vε (σ(A)), se |B − A| < δ, para B ∈ L(X).

Este resultado pode ser encontrado em [15], pagina 208.

Proposicao 2.1.9. A aplicacao L(X) 3 A 7→ r(A) e semicontınua superiormente, ou seja,

dados A ∈ L(X) e ε > 0, existe δ > 0 tal que r(B) < r(A) + ε, se |B − A| < δ, para

B ∈ L(X).

Prova:

Sejam A ∈ L(X) e ε > 0. Como a aplicacao L(X) 3 A 7→ σ(A) e semicontınua

superiormente, entao pelo Lema 2.1.8, existe δ > 0 tal que σ(B) ⊂ Vε (σ(A)), se |B−A| < δ,

para B ∈ L(X).


Em virtude da Proposicao 2.1.5, existe λ1 ∈ σ(B) tal que r(B) = |λ1|. Como λ1 ∈Vε(σ(A)), temos que existe λ0 ∈ σ(A) tal que |λ1 − λ0| < ε. Assim, r(B) < r(A) + ε, pois

|λ1| − |λ0| ≤ |λ1 − λ0| < ε ⇒ |λ1| < |λ0|+ ε ≤ r(A) + ε.

Proposicao 2.1.10. Sejam X espaco de Banach, Γ subconjunto compacto de X e f : Γ → R

semicontınua superiormente. Entao, existe γ ∈ Γ tal que f(γ) ≥ f(γ), ∀γ ∈ Γ.

Prova:

Afirmamos que f e limitada superiormente em Γ. De fato, suponhamos que exista

sequencia γn ∈ Γ tal que f(γn) → ∞. Podemos supor f(γn) > 0,∀n ∈ N. Como Γ ⊂ X e

compacto, podemos tambem supor que γn → γ0 ∈ Γ. Seja ε > 0. Como f e semicontınua

superiormente, existe δ > 0 tal que f(γ) < f(γ0) + ε, se γ ∈ Bδ(γ0). Como γn → γ0, existe

n0 ∈ N tal que, para n ≥ n0, temos γn ∈ Bδ(γ0), o que acarreta f(γn) < f(γ0) + ε, o que e

uma contradicao. Logo, f e limitada.

Seja S := supγ∈Γ

f(γ) ∈ R. Logo, S ≥ f(γ),∀γ ∈ Γ. Entao, existe (γn) ⊂ Γ tal que

f(γn) → S. Podemos supor γn → γ ∈ Γ. Mostremos que f(γ) = S. De fato, seja ε > 0

um numero real qualquer. Como f e semicontınua superiormente, existe δ > 0 tal que

f(γ) < f(γ) + ε, se γ ∈ Bδ(γ). Como γn → γ, existe n0 ∈ N tal que, para n ≥ n0, temos

γn ∈ Bδ(γ), o que acarreta f(γn) < f(γ) + ε. Logo, fazendo n → ∞, temos S ≤ f(γ) + ε,

para qualquer ε > 0. Portanto, S ≤ f(γ) e, daı, S = f(γ).

Analogamente, temos a seguinte proposicao:

Proposicao 2.1.11. Sejam X espaco de Banach, Γ subconjunto compacto de X e f : Γ → R

semicontınua inferiormente, ou seja, dados α ∈ X e ε > 0, existe δ > 0 tal que f(β) >

f(α)− ε, se |β − α| < δ, para β ∈ X. Entao, existe γ ∈ Γ tal que f(γ) ≤ f(γ), ∀γ ∈ Γ.

Teorema 2.1.12. Sejam X espaco de Banach, Γ subconjunto compacto de um espaco de

Banach e contınua a aplicacao Γ 3 γ 7→ Aγ ∈ L(X). Suponhamos ainda que |λ| < 1, ∀λ ∈σ(Aγ). Entao, existe θ ∈ (0, 1) tal que r(Aγ) ≤ θ < 1,∀γ ∈ Γ.


Prova:

Como pela Proposicao 2.1.7, a aplicacao L(X) 3 Aγ 7→ r(Aγ) e semicontınua superiormente,

entao tambem a aplicacao γ ∈ Γ 7→ r(Aγ) e semicontınua superiormente. Pela Proposicao

2.1.10, existe γ ∈ Γ tal que r(Aγ) ≥ r(Aγ),∀γ ∈ Γ. Tomando θ := r(Aγ) = supλ∈σ(Aγ) |λ|,temos r(Aγ) ≤ θ < 1,∀γ ∈ Γ.

Observacao 2.1.13. Dado K ⊂ C, K compacto, existe espaco de Hilbert H e operador

A ∈ L(H) tal que σ(A) = K.

Este resultado pode ser encontrado em [28], pagina 263, exercıcio 1.

Teorema 2.1.14. (Holmes) Seja (X, | · |) espaco de Banach. Dados A ∈ L(X) e ε > 0,

existe ‖ · ‖ = ‖ · ‖A,ε norma em X, equivalente a | · |, tal que r(A) ≤ ‖A‖ ≤ r(A) + ε.

Prova:

Pela definicao de raio espectral, existe s(A, ε) = s ∈ N tal que, se n > s, temos |An|1/n <

r(A) + ε := k(A, ε) = k e |An| < kn se n > s. Logo,

|Anx|kn

≤ |An||x|kn

≤ kn|x|kn

= |x| ⇒ |Anx|kn

≤ |x|,∀n > s. (2.5)

Afirmamos que ‖ · ‖ = ‖ · ‖A,ε e uma norma equivalente a | · | em X dada por

‖x‖ := maxp=0,...,s

|Apx|kp

,∀x ∈ X.

De fato, Sejam x, y ∈ X e α ∈ C. Provemos primeiramente que ‖x‖ ≥ 0 e ‖x‖ = 0 ⇔x = 0. De fato, como | · | e uma norma em X, entao ‖x‖ ≥ 0, pois |Apx| ≥ 0, ∀p ∈ N.

Ainda, se x = 0 ⇒ Apx = 0 ⇒ |Apx| = 0, ∀p ∈ N, o que acarreta ‖x‖ = 0. Suponhamos

agora ‖x‖ = 0. Logo |Apx|kp = 0, para p = 0, ..., s, e daı |x| = 0. Assim x = 0.

Provemos agora que ‖x+y‖ ≤ ‖x‖+‖y‖. De fato, visto que |Ap(x+y)| = |Apx+Apy| ≤


|Apx|+ |Apy|, ∀p ∈ N, por | · | ser norma, temos:

‖x + y‖ = maxp=0,...,s

|Ap(x + y)|kp

≤ maxp=0,...,s

|Apx|+ |Apy|)|kp

= maxp=0,...,s

|Apx|)|kp

+ max

p=0,...,s

|Apy|)|kp

= ‖x‖+ ‖y‖.

Provemos que ‖αx‖ = |α|.‖x‖. De fato, visto que |Ap(αx) = |αApx| = |α||Apx|, ∀p ∈ N,

por | · | ser norma, temos:

‖αx‖ = maxp=0,...,s

|Ap(αx)|kp

= max

p=0,...,s

|α||Apx|kp

= |α| max

p=0,...,s

|Apx|kp

= |α|.‖x‖.

E temos tambem que | · | e ‖ · ‖ sao equivalentes, pois:

|x| ≤ maxp=0,...,s

|Apx|kp

≤ max

p=0,...,s

|Ap||x|kp

≤ |x| max

p=0,...,s

|Ap|kp

⇒ |x| ≤ ‖x‖ ≤ |x| maxp=0,...,s

|Ap|kp

Seja 0 6= x ∈ X. Agora, ‖A‖ ≤ r(A) + ε, pois por (2.5), temos:

‖Ax‖ = maxp=0,...,s

|Ap(Ax)|kp

=

= maxp=0,...,s

|Ap+1x|kp

= k max

p=0,...,s

|Ap+1x|kp+1

≤ k max

p=0,...,s−1

|Ap+1x|kp+1

, |x|

= k‖x‖.

Pela Proposicao 2.1.7, segue o resultado.

Observacao 2.1.15. Se X e um espaco de Hilbert na Proposicao 2.1.14, poderıamos utilizar

a norma 9 · 9 = 9 · 9A,ε, dada por

9x9 =

[n∑

p=0

( |Apx|kp

)2]1/2

, x ∈ X,

sendo a demonstracao muito similar a demonstracao do Teorema 2.1.14.


Corolario 2.1.16. Sejam (X, | · |) espaco de Banach e A ∈ L(X), e suponhamos |λ| <

1,∀λ ∈ σ(A). Entao, A e uma contracao em alguma norma equivalente a | · | em X.

Prova:

Seja ε > 0 tal que r(A) + ε < 1. Pelo Teorema 2.1.14, existe ‖ · ‖A,ε norma em X,

equivalente a | · |, tal que ‖A‖A,ε ≤ r(A) + ε < 1. Logo, A e uma contracao em relacao a

norma ‖ · ‖A,ε.

Proposicao 2.1.17. Sejam X espaco de Banach, Γ subconjunto compacto de um espaco de

Banach. Suponhamos contınua a aplicacao Γ 3 γ 7→ Aγ ∈ L(X) e que |λ| < 1,∀λ ∈ σ(Aγ).

Entao, existem M > 0 e θ ∈ (0, 1) tais que |Akγ| ≤ Mθk para quaisquer γ ∈ Γ e k ∈ N.

Prova:

Sejam γ ∈ Γ, k ∈ N, A = Aγ ∈ L(X), M := supλ∈Cθ

∣∣(Aγ − λ)−1∣∣ = max

λ∈Cθ

∣∣(Aγ − λ)−1∣∣, Cθ o

cırculo de centro na origem e raio θ e γ orientada positivamente. Por [28], pagina 287, temos

que

Ak =1

2πi

∮

Cθ

λkRλdλ ⇒ Ak =1

2πi

∮

Cθ

λk(A− λ)−1dλ

⇒ |Ak| ≤ 1

2πsupλ∈Cθ

∣∣λk(Aλ)−1

∣∣2πθ ≤ Mθk+1 ≤ Mθk.

Definicao 2.1.4. Seja H espaco de Hilbert e A um operador em H. Por [12], pagina 39,

existe um unico operador A∗, chamado adjunto de A, tal que (Ax|y) = (x|A∗y), para todo

x, y ∈ H; e |A∗| = |A|

Proposicao 2.1.18. Sejam X espaco de Banach, Γ um subconjunto compacto de um espaco

de Banach e fk : Γ → X funcoes contınuas, com |fk(γ)| ≤ αk, ∀γ ∈ Γ, e∑

αk < ∞. Entao

a aplicacao γ 7→ ∑∞k=0 fk(γ) =: F (γ) e uniformemente contınua em Γ.

Prova:


Dado ε > 0, ∃ k0(ε) tal que n ≥ k0 e∣∣∣∣∣

k0∑

k=0

fk(x)− F (γ)

∣∣∣∣∣ < ε ⇒∣∣∣∣∣

∞∑

k=k0+1

fk(γ)

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

k=k0+1

αk < ε,∀γ ∈ Γ

Assim, temos:

|F (γ1)− F (γ2)| =

∣∣∣∣∣k0∑

k=0

fk(γ1) +∞∑

k=k0+1

fk(γ1)−k0∑

k=0

fk(γ2)−∞∑

k=k0+1

fk(γ2)

∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣k0∑

k=0

|fk(γ1)− fk(γ2)|∣∣∣∣∣ + 2ε.

Tomamos entao fk, k = 0, ..., k0. Assim, ∃ δk = δk(ε) > 0 tal que

|fk(γ1)− fk(γ2)| < ε

k0 + 1, para |γ1 − γ2| < δk.

Tomando δ = minδk, k = 0, .., k0, temos:

|γ1 − γ2| < δ ⇒ |F (γ1)− F (γ2))| < ε

k0 + 1.(k0 + 1) + 2ε = 3ε.

Daqui para a frente assumimos que H = Rm; e fixamos as matrizes, n× n,

Aγ, C e Bγ :=∑∞

k=0(A∗γ)

kCAkγ, com γ ∈ Γ, e

Γ subconjunto compacto de um espaco de Banach.

(2.6)

Seja

x =

x1

...

xm

∈ H

e A = (aij). Denotamos x∗ = [x1 ... xm] e A∗ pela matriz transposta conjugada de A.

Consideraremos os operadores de L(H) definidos da seguinte maneira: dada a matriz A

e x como explicitados acima, Ax e definido por

(aij)

x1

...

xm

.


Neste caso, o operador A∗ estara relacionado com a matriz transposta conjugada de

A = (aij).

Teorema 2.1.19. Se |λ| < 1,∀λ ∈ σ(Aγ), entao a serie∑∞

k=0(A∗γ)

kCAkγ e absolutamente

uniformemente convergente e a aplicacao γ 7→ Bγ =∑∞

k=0(A∗γ)

kCAkγ e contınua.

Prova:

De fato, pela Proposicao 2.1.17, existem M > 0 e θ ∈ (0, 1) tais que |Akγ| ≤ Mθk para

quaisquer γ ∈ Γ, θ ∈ (0, 1) e k ∈ N. Logo,

|Bγ| ≤∞∑

k=0

|(A∗γ)

k||C||Akγ|

=∞∑

k=0

|A∗γ|k|C||Aγ|k

=∞∑

k=0

|Aγ|k|C||Aγ|k

=∞∑

k=0

|C||Aγ|2k

= |C|∞∑

k=0

|Aγ|2k

≤ |C|M2

∞∑

k=0

θ2k.

Assim, Bγ converge absolutamente e pela majoracao da serie numerica |C|M2∑∞

k=0 θ2k,

decorre a convergencia uniforme da serie∑∞

k=0(A∗γ)

kCAkγ. Pela Proposicao 2.1.18, a aplicacao

γ 7→ Bγ e contınua.

Definicao 2.1.5. Seja V : Rm → R. Dizemos que V e definida positiva em relacao a x

se V (x) = 0 e existir uma vizinhanca G de x tal que V (x) > 0,∀x ∈ G, x 6= x. Dizemos

simplesmente que V e definida positiva se V e definida positiva em relacao a origem, isto e,

V (0) = 0 e V (x) > 0 para x em uma vizinhanca de 0 e x 6= 0. Ainda, se D e um operador em

Rm, dizemos que D e definida positiva se a forma quadratica (Dx|x) := x∗Dx for definida

positiva, com x ∈ Rm.


Proposicao 2.1.20. Sao validas as seguintes afirmativas:

(i) A∗γBγAγ −Bγ = −C;

(ii) Se C e definida positiva, entao Bγ tambem e definida positiva;

(iii) Se C e simetrica, entao Bγ tambem e simetrica.

Prova:

Fixemos A := Aγ e B := Bγ. Seja 0 6= x ∈ Rm.

(i)

A∗BA−B = A∗( ∞∑

k=0

(A∗)kCAk

)A−B

=∞∑

k=0

(A∗)k+1CAk+1 −B

=∞∑

k=0

(A∗)k+1CAk+1 + C − C −B

=∞∑

k=0

(A∗)kCAk − C −B

= B − C −B

= −C.

(ii) Notemos que x∗Cx > 0. Assim,

(Bγx|x) = x∗Bγx

= x∗( ∞∑

k=0

(A∗)kCAk

)x

=∞∑

k=0

x∗((A∗)kCAk

)x

=∞∑

k=0

x∗(A∗)kCAkx

=∞∑

k=0

(Akx

)∗CAkx > 0.


(iii)

B∗ =

( ∞∑

k=0

(A∗)kCAk

)∗

=∞∑

k=0

((A∗)kCAk

)∗

=∞∑

k=0

(CAk

)∗ ((A∗)k

)∗

=∞∑

k=0

(Ak

)∗CAk

=∞∑

k=0

(A∗)kCAk

= B.

Teorema 2.1.21. Seja C definida positiva e suponhamos |λ| < 1, ∀λ ∈ σ(Aγ). Seja Tγx :=

Aγx e Vγ(x) = (Bγx|x) = x∗Bγx, ∀x ∈ Rm. Entao, para todo x ∈ Rm e todo γ ∈ Γ, temos

que:

(i) Vγ e definida positiva e existe constante c0 > 0 tal que −Vγ(x) = x∗Cx ≥ c0|x|2,∀x ∈Rm;

(ii) Existem constantes c1, c2 > 0 tais que c1|x|2 ≤ Vγ(x) ≤ c2|x|2,∀x ∈ Rm.

Prova:

(i) Pelo Teorema 2.1.19, Bγ e contınua em γ. Como C e definida positiva, entao B

e definida positiva, devido a Proposicao 2.1.20-(ii). Isto implica que V e definida

positiva. Para simplificar notacoes, coloquemos A := Aγ, B := Bγ, T := Tγ e V := Vγ.

2.2 Exemplos de Sistemas Nao Lineares 53

Assim, como pela Proposicao 2.1.20-(i), ocorre A∗BA−B = −C, temos que:

V (x) = V (Tx)− V (x)

= V (Ax)− V (x)

= (Ax)∗B(Ax)− x∗Bx

= (x∗A∗)B(Ax)− x∗Bx

= x∗A∗BAx− x∗Bx

= x∗(−C + B)x− x∗Bx

= −x∗Cx.

Como C e definida positiva, temos x∗Cx definida positiva. Logo, −V (x) > 0,∀x ∈Rm, x 6= 0 e −V (0) = 0. Portanto, V e uma funcao de Liapunov de T .

E mais, provemos que existe constante c0 > 0 tal que −Vγ = x∗Cx ≥ c0|x|2. De fato,

pela continuidade de x∗Cx e compacidade de S := x ∈ Rm : x = 1, segue que existe

constante c0 > 0 tal que c0 := min(x,γ)∈S×Γ

x∗Cx. Sejam 0 6= x ∈ Rm e y = x|x| ∈ S. Logo,

c0 ≤ y∗Cy ⇒ c0 ≤ x∗

|x∗| Cx

|x| ⇒ c0 ≤ 1

|x|2x∗Cx ⇒ x∗Cx ≥ c0|x|2.

(ii) Pela continuidade de Vγ e compacidade de S := x ∈ Rm : x = 1, segue que existem

constantes c1, c2 > 0 tais que c1 := min(x,γ)∈S×Γ

x∗Bγx e c2 := max(x,γ)∈S×Γ

x∗Bγx. Sejam

0 6= x ∈ Rm e y = x|x| ∈ S. Logo,

c1 ≤ Vγ(y) ≤ c2 ⇒ c1 ≤ y∗Bγy ≤ c2 ⇒ c1 ≤ x∗

|x∗| Bγx

|x| ≤ c2 ⇒ c1 ≤ 1

|x|2x∗Bγx ≤ c2

e, portanto, c1|x|2 ≤ Vγ(x) ≤ c2|x|2, x ∈ Rm.

2.2 Exemplos de Sistemas Nao Lineares

Teorema 2.2.1. Sejam Aγ e Bγ como em (2.6), Vγ(x) = (Bγx|x) = x∗Bγx, x ∈ Rm, C

definida positiva e C simetrica. Suponhamos |λ| < 1,∀λ ∈ σ(Aγ). Sejam fγ : Rm → Rm

contınua com |fγ(x)| ≤ L, ∀x ∈ Rm, e Tγ := Aγ + fγ.


(i) Entao existe funcao c : Rm → R tal que −Vγ(x) ≥ c(x) e existe M > 0 tal que

c(x) > 0, se |x| ≥ M , e c(x) →∞ quando |x| → ∞.

(ii) Existem constantes c1, c2 > 0 tais que c1|x|2 ≤ Vγ(x) ≤ c2|x|2,∀x ∈ Rm, γ ∈ Γ.

Prova:

(i) Pelo Teorema 2.1.19, Bγ e contınua em γ. Para simplificar notacoes, coloquemos

A := Aγ, B := Bγ, f := fγ, T := Tγ e V := Vγ. Pela Proposicao 2.1.20, temos que

A∗BA−B = −C, B e definida positiva e simetrica.

Mostraremos a seguir que existe funcao c : Rm → R tal que −Vγ(x) ≥ c(x). De fato,

V (x) = V (Tx)− V (x)

= V (Ax + f(x))− V (x)

= (Ax + f(x))∗B(Ax + f(x))− x∗Bx

= (x∗A∗ + f ∗(x))B(Ax + f(x))− x∗Bx

= x∗A∗BAx + x∗A∗Bf(x) + f ∗(x)BAx + f ∗(x)Bf(x)− x∗Bx

= x∗A∗BAx + x∗A∗Bf(x) + (x∗A∗Bf(x))∗ + f ∗(x)Bf(x)− x∗Bx

= x∗A∗BAx + 2x∗A∗Bf(x) + f ∗(x)Bf(x)− x∗Bx

= x∗(−C + B)x + (2x∗A∗Bf(x) + f ∗(x)Bf(x))− x∗Bx

= −x∗Cx + (2x∗A∗Bf(x) + f ∗(x)Bf(x)) .

Logo, V (x) = −x∗Cx + (2x∗A∗Bf(x) + f ∗(x)Bf(x)). Como f e limitada, existem

constantes P > 0 e Q > 0 tais que 2x∗A∗Bf(x) + f ∗(x)Bf(x) ≤ P |x|+ Q, pois

2x∗A∗Bf(x) + f ∗(x)Bf(x) ≤ |2x∗A∗Bf(x) + f ∗(x)Bf(x)|≤ |2x∗A∗Bf(x)|+ |f ∗(x)Bf(x)|≤ |2x∗A∗Bf(x)|+ |B|≤ P |x|+ Q.

2.3 Simulacoes 55

Tal como 2.1.21-(i), existe constante c0 > 0 tal que x∗Cx ≥ c0|x|2. Agora,

−V (x) = x∗Cx− (2x∗A∗Bf(x) + f ∗(x)Bf(x)) ≥ x∗Cx− |2x∗A∗Bf(x) + f ∗(x)Bf(x)|≥ c0|x|2 − P |x| −Q =: c(x).

Logo,−Vγ(x) ≥ c(x), para c(x) = c0|x|2−P |x|−Q, com c0, P e Q constantes positivas.

Notemos ainda que c(x) → ∞ quando |x| → ∞. Logo, existe η > 0 tal que c(x) > 0,

para |x| ≥ η.

(ii) Demonstracao analoga a feita no Teorema 2.1.21-(ii).

Observacao 2.2.2. Pelo item (i) acima, temos, −V (x) ≥ c(x), e podemos aplicar o Teorema

2.1.1.

2.3 Simulacoes

Nesta secao apresentamos algumas simulacoes de sistemas discretos classicos. Essas figuras

foram geradas utilizando o software Matlab. Em geral, considera-se uma funcao f : Rm →Rm e o sistema discreto x(n + 1) = f(x(n)).

Em alguns modelos, tais como nos atratores de Chua, Lorenz e Rossler, fizemos adaptacoes

a partir de um modelo contınuo para um modelo discreto, como sera descrito a seguir.

Consideremos a equacao diferencial emRm dada por x′ = f(x) e consideremos a discretizacao

x(n + 1)− x(n) = hf(x(n)). Tomaremos a aplicacao T (x) = x + hf(x).

2.3.1 Atrator de Chua Discreto

Este atrator representa o comportamento de um circuito de fileiras em paralelo (resistencia

e indutancia em uma; condensador na outra) unidas mediante uma resitencia em serie a

outras mais duas fileiras (um condensador em uma fileira e em outra um diodo).

Para simular o Atrator de Chua, utilizamos a seguinte funcao nao linear

T (x, y, z) = (x + h(−αx + αy − αw(x)), y + h(x− y + z), z + h(−β1y − β2z))


onde w : R→ R e dada por:

w(x) = −bx +b− a

2(|x + 1| − |x− 1|) ,

com a > b > 0 e b < 1. Tomemos α = 7, β1 = 100, β2 = 1/2, a = 8/7, b = 5/7 e h = 0, 01.

Fazendo x(1) = 0, 1, y(1) = 0, 1, z(1) = 0, 1 as condicoes iniciais e utilizando o software

Matlab com os comandos:

clear; close all;

x(1)=0.1; y(1)=0.1; z(1)=0.1; h=0.01;

for i=1:50000

x(i+1) = x(i) + h*( - 7*x(i) + 7*y(i) - 7*(-(5/7)*x(i) + (-3/14)*(abs(x(i)+1) - abs(x(i)-1))));

y(i+1) = y(i) + h*( x(i) - y(i) + z(i));

z(i+1) = z(i) + h*(-100*y(i) - (1/2)*z(i));

end

plot3(x,y,z,’.’);xlabel(’x’); ylabel(’y’); zlabel(’z’);

obtemos a figura seguinte.

0

0.5

1

1.5

2

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

xy

z

Figura 2.1: Atrator de Chua.

2.3 Simulacoes 57

2.3.2 Atrator de Henon

O atrator de Henon pertence a classe de sistemas dissipativos e pode ser descrito por uma

aplicacao de tempo discreto: x(n+1) = T (x(n)). Notemos que nao importam quais condicoes

iniciais sao dadas, visto que a curva aparece da mesma forma.

Para simular o Atrator de Henon, utilizamos a seguinte funcao nao linear:

T (x, y) =(1− ax2 + y, bx

).

Tomemos a = 1, 4 e b = 0.3. Fazendo x(1) = 1, y(1) = 1, z(1) = 1 as condicoes iniciais e

utilizando o software Matlab com os comandos:

clear; close all;

x(1)=1; y(1)=1;

for i=1:50000

x(i+1)= 1 - 1.4*(x(i))ˆ 2 + y(i);

y(i+1)= 0.3*x(i);

end

plot(x,y,’.’); xlabel(’x’) ; ylabel(’y’);


−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

Figura 2.2: Atrator de Henon.


2.3.3 Atrator de Ikeda

Outro famoso atrator bidimensional e o atrator de Ikeda. A equacao proposta por Ikeda

tinha como modelo um problema de optica nao linear. Desta vez, trabalhamos no plano

complexo e fizemos as devidas modificacoes para a simulacao em R2.

Para simular o Atrator de Ikeda, faremos uso da seguinte funcao nao linear

f(x, y) = (p + Bx sen(w(x, y))−By cos(w(x, y)), By sen(w(x, y))−Bx cos(w(x, y))) .

onde w : R→ R e dada por

w(x, y) = k − a

1 + x2 + y2

e p = 1, B = 0, 9, k = 0.4 e a = 6.

Seja G : Rm → Rm dada por G(z) = z, se |z| ≤ R, e G(z) = R z|z| , se |z| > R. Notemos

que G e contınua; e consideremos a funcao T := G f .

Fazendo x(1) = 0, 1, y(1) = 0, 1, z(1) = 0, 1 as condicoes iniciais e utilizando o software

Matlab com os comandos:

clear; close all;

x(1)=0.01; y(1)=0.01; R=1.5;

for i=1:50000

if x(i)ˆ2+y(i)ˆ2 <= R

x(i+1)= 1 + 0.9*x(i)*cos(0.4 - 6/(1+(x(i))ˆ2 +(y(i))ˆ2))

- 0.9*y(i)*sin(0.4 - 6/(1+(x(i))ˆ2 +(y(i))ˆ2));

y(i+1)= 0.9*y(i)*cos(0.4 - 6/(1+(x(i))ˆ2 + (y(i))ˆ2))

+ 0.9*x(i)*sin(0.4 - 6/(1+(x(i))ˆ2 + (y(i))ˆ2));

else

x(i+1)= R*x(i)/(x(i)ˆ2 + y(i)ˆ2);

y(i+1)=R*y(i)/(x(i)ˆ2 + y(i)ˆ2);

end

end

plot(x,y,’.’); xlabel(’x’) ; ylabel(’y’);

2.3 Simulacoes 59


−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

x

y

Figura 2.3: Atrator de Ikeda.

2.3.4 Atrator de Lorenz Discreto

O atrator de Lorenz e uma representacao de um sistema de equacoes diferenciais autonomo.

E um sistema dinamico que, em princıpio, foi idealizado para a compreensao de fenomenos

metereologicos. Se determinado o atrator, temos que suas infinitas trajetorias nunca se

cortam, e tambem pode-se provar que apresenta auto-similaridade caracterısticas dos fractais.

O modelo atmosferico que faz uso do sistema de Lorenz consiste em uma atmosfera

bidimensional retangular, cujo extremo inferior esta a uma temperatura maior que a superior.

Desta maneira, o ar quente fara aumentar a variavel y, enquanto o ar frio fara abaixar,

criando correntes que farao uma troca de calor por conveccao.

As equacoes que descrevem este processo sao dadas por:

dxdt

= α1(y − x)

dydt

= α2x− y − xz

dzdt

= xy − βz


onde as variaveis, que dependem unicamente do tempo sao:

- “x”: representa o fluxo convectivo;

- “y”: distribuicao de temperatura horizontal;

- “z”: distribuicao de temperatura vertical.

E mais, temos tres parametros que interferem nas equacoes:

- “α1”: quociente entre a viscosidade e a condutividade termica;

- “α2”: diferenca de temperaturas entre as camadas inferior e superior;

- “β”: quociente entre altura e a largura do retangulo citado.

Para simular o atrator de Lorenz, utilizamos a seguinte funcao nao linear

T (x, y, z) = (x + hα1(y − x), y + h(α2x− y − xz), z + h(−βz + xy)) .

Tomemos α1 = 10, α2 = 28, β = 8/3 e h = 0, 01. Fazendo x(1) = 10, y(1) = 10, z(1) = 10

as condicoes iniciais e utilizando o software Matlab com os comandos:

clear; close all;

x(1)=10; y(1)=10; z(1)=10; h=0.01;

for i=1:50000

x(i+1) = x(i) + h*(- 10*x(i) + 10*y(i));

y(i+1) = y(i) + h*(- y(i) + 28*x(i) - x(i)*z(i));

z(i+1) = z(i) + h*(-(8/3)*z(i) + x(i)*y(i));

end

plot3(x,y,z,’.’); xlabel(’x’); ylabel(’y’); zlabel(’z’);


2.3 Simulacoes 61

−30−20

−100

1020

30

−30

−20

−10

0

10

20

300

10

20

30

40

50

60

xy

z

Figura 2.4: Atrator de Lorenz.

2.3.5 Atrator de Rossler Discreto

Este atrator nao difere muito do atrator de Lorenz, sendo um pouco mais simples (possui

somente um termo nao linear). Foi descoberto por Otto Rossler ao estudar oscilacoes em

reacoes quımicas, chegando a um modelo que tinha um comportamento caotico para certos

valores dos parametros.

As equacoes que descrevem este processo sao dadas por:

dxdt

= −y − z

dydt

= x + ay

dzdt

= b + xz − cz

onde x(t), y(t), z(t) sao as variaveis espaciais, funcoes do tempo (variavel independente);

a, b, c sao parametros da reacao, tais quais para este caso (atrator caotico), devemos ter

c > 5.

Para simular o atrator de Rossler, utilizamos a seguinte funcao nao linear

T (x, y, z) = (x− h(y + z), y + h(x + 0, 2y), z + h(0, 4 + xz − 5, 7z)) .

Tomemos h = 0, 01. Fazendo x(1) = 1, y(1) = 1, z(1) = 1 as condicoes iniciais e


utilizando o software Matlab com os comandos:

clear; close all;

x(1)=1; y(1)=1; z(1)=1; h=0.01;

for i=1:50000

x(i+1) = x(i) + h*(- y(i) - z(i));

y(i+1) = y(i) + h*(x(i) + 0.2*y(i));

z(i+1) = z(i) + h*( 0.4 + x(i)*z(i) - 5.7*z(i));

end

plot3(x,y,z,’.’); xlabel(’x’) ; ylabel(’y’); zlabel(’z’);


−10−5

05

1015

−10

−5

0

5

100

2

4

6

8

10

12

14

16

18

xy

z

Figura 2.5: Atrator de Rossler Discreto.

2.4 Comentarios Finais

Como continuacao deste trabalho, pretendemos encontrar funcoes tipo Liapunov explıcitas

para certos sistemas dinamicos discretos como o de Chua, Henon, Ikeda, Lorenz, Rossler,

etc.

Procuraremos estabelecer estimativas uniformes de atratores de sistemas acoplados e

obter resultados que permitam concluir sobre a sincronizacao dos mesmos.

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