Comportamento a regime dei sistemi di controllo...2 Il comportamento a regime dei sistemi di...

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Controlli automatici

Ing. Alessandro Pisano [email protected]

Comportamento a regime dei sistemi di controllo

2

Il comportamento a regime dei sistemi di controllo si riferisce alla analisi degli effetti a regime di ingressi e disturbi polinomiali (segnali costanti, a rampa, a parabola, etc., detti anche “canonici”) oppure ingressi e disturbi avente andamento sinusoidale.

Faremo riferimento a sistemi di controllo a retroazione unitaria

Per quanto concerne il comportamento a regime per ingressi e disturbi canonici risulta di estremo rilievo la presenza di poli nell’origine nel controllore e/o nel processo

E’ importante sia il numero complessivo di poli nell’origine che la loro “ripartizione” tra controllore e processo

Il concetto importante e rilevante in tale contesto è quello di “Tipo del sistema di controllo”, che approfondiremo in seguito.

3

Tutte le considerazioni sviluppate nel presente documento hanno come prerequisito essenziale che il sistema in Figura sia asintoticamente stabile a ciclo chiuso

In altri termini, richiediamo che la FdT a ciclo chiuso tra il set-point e l’uscita:

abbia tutti i poli a parte reale strettamente negativa

Se vale ciò, risulta essere asintoticamente stabile anche la FdT disturbo-uscita

Polinomio caratteristico del sistema a ciclo chiuso

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Definizione 1 - Tipo di un sistema di controllo Con riferimento al sistema di controllo in Figura, si definisce tipo del sistema il numero complessivo di poli nell’origine presenti nel controllore e nel processo

Un sistema di controllo potrà pertanto essere di tipo zero, di tipo uno, di tipo due, etc.

Nella pratica raramente si eccede il tipo due (a causa dei problemi di stabilità a ciclo chiuso conseguenti alla presenza di un elevato numero di poli nell’origine in catena diretta), e i sistemi di tipo uno sono quelli largamente più diffusi.

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Sistemi di controllo di tipo zero

Se il sistema di controllo è di tipo zero è sempre possibile esprimere le FdT di processo e controllore nella forma seguente

Tale decomposizione mette in evidenza i guadagni in bassa frequenza (anche denominati guadagni in continua, o semplicemente guadagni) del regolatore e del processo, rispettivamente.

41

2

ss

ssP

Es.

2

10 Pk p

ss

s

ss

s

k

sPsP

p

4

111

2

11

41

22'

6

Sistemi di controllo di tipo zero

Risposta al set-point costante (con disturbo nullo)

Analizziamo la risposta a regime per un set-point costante (il disturbo d(t) è temporaneamente posto pari a zero).

7

Per determinare il valore di regime della uscita y(t) del sistema a ciclo chiuso applicando il teorema del valore finale si deve determinare la sua TdL Y(s).

Il valore a regime non dipende separatamente dai guadagni Kr e Kp, ma soltanto dal loro prodotto.

Da un sistema di controllo si desidera che l’uscita riproduca il più fedelmente possibile il set-point. Per quanto concerne il comportamento a regime si vorrebbe ottenere la relazione di uguaglianza

Impossibile da ottenere !

8

Tale procedura, che comunque conduce sempre ad un valore inferiore ad uno, deve tener conto del fatto che il sistema a ciclo chiuso può risultare destabilizzato da un valore troppo elevato del guadagno in catena diretta

Una analisi preliminare basata sul luogo delle radici risulta utile a comprendere in quale misura è possibile incrementare il guadagno incatena diretta senza incorrere in fenomeni di instabilità del sistema a ciclo chiuso, eventualità che ovviamente invalida tutte le considerazioni sviluppate in precedenza.

9

Kr=2

Kr=20

Kr=100

Si noti come il valore di regime si avvicina sempre più al set-point.

E’ d’obbligo verificare che in corrispondenza dei valori suggeriti per Kr il sistema a ciclo chiuso si mantiene asintoticamente stabile

10

Il luogo delle radici rivela come il sistema in esame e’ stabile a ciclo chiuso per ogni valore di Kr.

*

rK3* rK

Taratura del punto doppio

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Risposta al disturbo costante (con set-point nullo)

Ora analizziamo l’uscita a regime del sistema sotto l’ipotesi di disturbo costante, considerando temporaneamente il set-point nullo. Si ha per ipotesi

La FdT tra il disturbo e la variabile di uscita è

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Il valore a regime dell’uscita in risposta ad un disturbo costante (e con set-point nullo) dipende separatamente dai guadagni Kr e Kp e non più soltanto dal loro prodotto.

Da un sistema di controllo si desidera che l’uscita riproduca il più fedelmente possibile il set-point operando la compensazione degli effetti del disturbo; quindi per quanto concerne il comportamento a regime a fronte di un disturbo si vorrebbe che

Impossibile da ottenere !

Anche nel contesto della reiezione dei disturbi, l’incremento del guadagno del controllore si rileva lo strumento progettuale utile a garantire determinate specifiche (ad esempio, sulla attenuazione minima richiesta per il disturbo sull’uscita)

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Risposta al set-point e al disturbo costanti agenti simultaneamente

Si ha infatti

da cui si ricava, con procedura analoga a prima, il seguente valore di regime per l’uscita nelle condizioni in esame

all’aumentare di Kr si realizza, con precisione progressivamente crescente, la relazione

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Considerazioni aggiuntive

Le considerazioni sviluppate valgono anche in casi più generali in cui set-point e disturbi siano tempo varianti ma tendano ad un valore costante per t tendente all’infinito

L’evoluzione transitoria dell’uscita può risultare, naturalmente, completamente differente rispetto alla applicazione di set-point e disturbi costanti, ma il valore di regime è comunque lo stesso

Per sistemi di controllo di tipo zero abbiamo visto quindi come le uniche grandezze che intervengono nella determinazione dei valori di regime dell’uscita siano il guadagno del processo ed il guadagno del regolatore

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Sistemi di controllo di tipo uno

Lo schema in retroazione in Figura viene detto di tipo 1 se nel regolatore, oppure nel processo, è presente un polo nell’origine

I due casi sono equivalenti per quanto concerne la risposta al set-point, ma conducono a comportamenti differenti per quanto concerne la risposta al disturbo, pertanto verranno trattati separatamente.

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Sistemi di controllo di tipo uno con polo nel regolatore

Se il sistema è di tipo uno, e se il polo nell’origine è presente nel regolatore, è sempre possibile esprimere le FdT di processo e controllore nella forma seguente

Si deve assumere, al solito, che la funzione di trasferimento a ciclo chiuso sia asintoticamente stabile. Applicando il Teorema del valore finale si ottiene

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E’ stato ricavato un risultato completamente differente rispetto ai sistemi di tipo zero. Tale relazione mostra come il valore di regime dell’uscita coincida esattamente con il valore del set-point indipendentemente dai valori del guadagno del regolatore e del processo.

Un sistema di controllo di tipo 1 con il polo nel regolatore è in grado di operare la reiezione completa a regime di un disturbo costante. Il valore di regime dell’uscita dovuto alla sola presenza del disturbo è pari a zero indipendentemente dall’ampiezza D del disturbo e dai guadagni di regolatore e processo

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Tale relazione stabilisce una importante proprietà di precisione statica robusta

La relazione si conserva difatti indipendentemente dai guadagni, e dalla struttura dinamica (poli e zeri), del regolatore e del processo

Essa è unicamente garantita dalla presenza del polo nell’origine nel regolatore (e dalla stabilità a ciclo chiuso).

E’ uno dei motivi della ampia diffusione dei regolatori PI.

L’intera trattazione perde di validità se il sistema a ciclo chiuso non è asintoticamente stabile.

20

Esempio 6

Riscriviamo le FdT del processo e del regolatore in accordo con la decomposizione

21

La particolare espressione tempovariante del disturbo rende possibile l’applicazione dei risultati conseguiti in precedenza in quanto d(t) tende asintoticamente al valore D=10.

Tale relazione è valida se Kr=1 e se Kr=5, ma non più quando Kr=20, valore del guadagno in corrispondenza del quale il sistema a ciclo chiuso è instabile.

01

2

2

3

3 asasasasP 0321 aaaa stabile se

rrcar KsssKssssP 245241 23

stabile se

rK254

10 cr

rr KK

23

Sistemi di controllo di tipo uno con polo nel processo

Se il sistema è di tipo uno, e se il polo nell’origine è presente nel processo, è sempre possibile esprimere le FdT di processo e controllore nella forma seguente

Quando il disturbo è pari a zero, la risposta al set-point costante del sistema a ciclo chiuso non dipende separatamente dalle FdT di regolatore e processo, ma solo dal loro prodotto, che per le due diverse tipologie di sistemi di controllo di tipo uno è equivalente

Si ha quindi che la relazione vale anche per i sistemi di tipo uno con polo nel processo

Con riferimento invece alla risposta al disturbo, le cose cambiano

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Si può notare come in questa tipologia di sistemi di controllo di tipo uno l’effetto del disturbo a regime è diverso da zero

Cosi come nei sistemi di tipo zero, tale effetto può essere ridotto incrementando il guadagno del regolatore (senza eccedere in valori che destabilizzino il sistema a ciclo chiuso).

Tutti i sistemi fisici, per effetto delle inevitabili dinamiche non modellate, vengono destabilizzati da valori di guadagno troppo elevati.

Una differenza tra i sistemi di tipo uno qui considerati ed i sistemi di tipo zero è che nei primi l’errore a regime dovuto al disturbo dipende solo dal guadagno del regolatore, e non da quello del processo come invece avveniva nella precedente relazione calcolata per i SdC di tipo zero.

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Sistemi di controllo di tipo 1 con set-point a rampa

Consideriamo il comportamento di un sistema di controllo di tipo uno avente la solita struttura e soggetto ad un set-point a rampa

con disturbo posto pari a zero.

L’uscita del sistema a ciclo chiuso tenderà a divergere per t che tende ad infinito, poichè anche il set-point tende a divergere asintoticamente

Si può facilmente verificare come per la TdL Y(s) risultante siano violate le condizioni di applicabilità del teorema del valore finale

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La FdT tra il set-point e l’errore è

Si ha pertanto

27

Esempio 7 Si consideri il sistema di controllo in retroazione in Figura, con un processo del primo ordine asintoticamente stabile e un regolatore da progettare

Le specifiche di controllo sono le seguenti - S1. Un set-point costante deve essere copiato a regime con un errore massimo dell’1% - S2. Un disturbo costante deve essere attenuato a regime in misura pari almeno al 99%

Le specifiche sono compatibili con le prestazioni di un sistema di controllo di tipo zero

Quindi un semplice regolatore proporzionale R(s)= KR potrebbe essere in grado di soddisfare entrambe le specifiche.

Una rapida analisi mediante LdR indica come il sistema a ciclo chiuso resta stabile per qualunque valore, anche arbitrariamente grande, del guadagno kR

Polinomio caratteristico del sistema a ciclo chiuso con il regolatore proporzionale

Il polo a ciclo chiuso assume il seguente valore in dipendenza dal guadagno kR

Abbiamo ora la certezza che un regolatore proporzionale, opportunamente tarato, risolve il problema.

29

Il sistema a ciclo chiuso è di fatto rappresentato dalle FdT set-point uscita

e disturbo-uscita

Siamo in grado di “prevedere” accuratamente le traiettorie della variabile di uscita mettendo a frutto quanto visto a proposito della risposta al gradino dei sistemi elementari

r

y

dk

W21

202

30

- S1. Un set-point costante deve essere copiato a regime con un errore massimo dell’1% - S2. Un disturbo costante deve essere attenuato a regime in misura pari almeno al 99%

E’ consigliabile scegliere un valore incrementato di una certa percentuale per compensare possibili variazioni parametriche sfavorevoli

31

Nota. Se il set-point, o il disturbo, variano in maniera sufficientemente lenta rispetto alle costanti di tempo piu lente delle FdT a ciclo chiuso, le proprietà di precisione statica e reiezione del disturbo continuano a essere qualitativamente soddisfatte.

Per chiarire meglio questo aspetto, una lenta deriva del set-point in un sistema di controllo di tipo uno da luogo ad una corrispondente analoga deriva per l’uscita, con il mantenimento, a regime, della seguente relazione

anche a fronte di ampie, purché lente, escursioni del set-point, con un andamento qualitativo simile a quello seguente

32

Sistemi di controllo di tipo due

Nell’ambito delle diverse possibili casistiche di sistemi di controllo di tipo due, analizziamo quella con maggior rilevanza pratica, che è quella in cui è presente un polo nell’origine nel regolatore, ed un polo nell’origine nel processo

il valore di regime dell’uscita sotto l’azione simultanea di un set-point costante ydes(t)=Yd e di un disturbo costante d(t)=D risulta essere pari al valore del set-point

Si ha in sintesi la proprietà di precisione statica robusta indipendentemente dai guadagni, e dalla struttura dinamica, del regolatore e del processo

Tale proprietà è unicamente garantita dalla presenza del polo nell’origine nel regolatore (e dalla stabilità a ciclo chiuso).

33

Sistemi di controllo di tipo due con set-point e disturbi a rampa

disturbo nullo

L’uscita del sistema a ciclo chiuso tenderà a divergere per t che tende ad infinito

Analizziamo, come fatto in precedenza, il comportamento a regime della variabile di errore e(t)=ydes(t)-y(t).


Set point a rampa (e disturbo nullo). Sistema equivalente.

34


Si ha pertanto

che ha per ipotesi tutti i poli a parte reale strettamente negativa (in conseguenza della stabilità asintotica a ciclo chiuso, prerequisito essenziale)

Quindi la variabile di errore e(t)=ydes(t)-y(t) ammette un limite finito, che vale

35

Evoluzioni qualitative dell’uscita e dell’errore

Set point a rampa e relativa variabile di uscita in un sistema di contollo di tipo 2

Variabile di errore in un sistema di controllo di tipo 2 con set point a rampa

36

Disturbo a rampa (e set point nullo)

Si mostra facilmente che

ydes(t)=0

37

Set point costante e disturbo a rampa

ydes(t)=Yd

Il valore di regime dell’uscita del sistema di tipo due in esame è valutabile con semplicità applicando il principio di sovrapposizione degli effetti

38

Tabelle riassuntive

Nelle seguenti tabelle si riassumono i risultati delle analisi fin qui svolte con riferimento alla risposta al set-point ed al disturbo di sistemi di tipo 0, 1 e 2 (per set-point e disturbi costanti, a rampa, o parabolici).

Risposta al set-point (con disturbo nullo)

Si forniscono, nelle ultime righe e/o colonne delle Tabelle, anche alcune relazioni non precedentemente dimostrate

Risposta al disturbo (con set-point nullo)

39

Principio del modello interno

Un principio di validità generale che caratterizza in maniera semplice e compatta il comportamento a regime dei sistemi di controllo

Tratta in maniera unificata le proprietà di inseguimento del set-point e di reiezione dei disturbi

Introduciamo una terminologia:

diremo che un sistema (o, equivalentemente, una Funzione di Trasferimento) “contiene il modello” di un certo segnale z(t) se tra i poli del sistema (o della FdT) sono contenuti anche i poli della Trasformata di Laplace Z(s) del segnale

Come conseguenza di avrà che: •Un sistema “contiene il modello” di un segnale costante del tipo z(t)=C se possiede almeno un polo nell’origine. •Un sistema “contiene il modello” di un segnale a rampa del tipo z(t)=Ct se possiede almeno due poli nell’origine. •Un sistema “contiene il modello” di un segnale sinusoidale del tipo z(t)=C cos(*t+) se possiede i due poli complessi coniugati p1,2=j*

40

I due seguenti enunciati si applicano al sistema in Figura nell’ipotesi che questo sia asintoticamente stabile a ciclo chiuso

Enunciato 1 (inseguimento del set-point). L’uscita y(t) ottenuta con un set-point ydes(t) qualunque e con disturbo d(t) nullo converge asintoticamente al set-point se, e solo se, la FdT a ciclo aperto F(s)=R(s)P(s) contiene il modello del set-point

Enunciato 2 (reiezione del disturbo). L’uscita y(t) ottenuta con un set-point ydes(t)=0 e con disturbo d(t) qualunque converge asintoticamente a zero se, e solo se, la FdT R(s) del regolatore contiene il modello del disturbo.

I due enunciati possono essere dimostrati impiegando il teorema del valore finale, un esercizio lasciato al lettore

41

I due enunciati implicano, come caso particolare, gran parte delle proprietà dimostrate nelle sezioni precedenti per i sistemi di controllo di tipo 1 e 2 con riferimento a set-point e disturbi costanti e a rampa

Ad esempio, la reiezione di un disturbo costante è garantita se e solo se il regolatore R(s) contiene un polo nell’origine

La capacità di inseguire asintoticamente un set-point a rampa (avere cioè l’uscita che tende asintoticamente a sovrapporsi alla rampa di set-point) è garantita se e solo se nella FdT di catena diretta sono presenti almeno due poli nell’origine.

E’ errore frequente concludere che un certo sistema in retroazione possiede determinate proprietà di precisione a regime basandosi sulla sola presenza del necessario numero di poli nell’origine e trascurando di verificare la stabilità a ciclo chiuso. Tale omissione conduce a conclusioni del tutto errate circa il comportamento del sistema.

42

Esempio

Si consideri il sistema di controllo in retroazione in Figura, con un processo del primo ordine asintoticamente stabile ed un disturbo sinusoidale

Progettare un regolatore in modo da garantire la reiezione asintotica del disturbo.

Applicando il principio del modello intermo concludiamo come i regolatori R(s) che soddisfano la specifica (reiezione asintotica del disturbo) sono tutti e soli i regolatori R(s) aventi una coppia di poli complessi coniugati p1,2=j e tali, nel contempo, da garantire la stabilità a ciclo chiuso del sistema in retroazione

Ricerchiamo pertanto un regolatore nella forma

43

Scelta più semplice

Non va bene !

Sistema in retroazione instabile per qualunque valore di kR.

44

x

x

Re

Im

1

12

s

sksR R

Aggiungiamo uno zero

x

s1

Zero del regolatore sovrapposto al polo del processo

1

1j

1j

45

x

x

Re

Im

1

12

s

sksR R

Aggiungiamo uno zero

s1

Zero del regolatore sovrapposto al polo del processo

Non va bene !

1j

1j

46

x

x

Re

Im

1

12

s

sksR R

Spostiamo lo zero

s10

x sx

02

11

sx

11

Non va bene !

Zero più in alta frequenza rispetto al polo del processo

1

1

47

x

x

Re

Im

1

12

s

sksR R

Spostiamo ancora lo zero

s1

x

02

11

sx

11

Ok !

Zero più in bassa frequenza rispetto al polo del processo

1

1

49

Zero più in alta frequenza rispetto al polo del processo

50

Zero più in bassa frequenza rispetto al polo del processo

51

Disturbo avente forma piu generale

52

clear all

clc

num_P=2;

den_P=[1 1];

P=tf(num_P,den_P)

kR=1;

tau=2;

num_R=kR*[tau 1];

den_R=[1 0 1];

R=tf(num_R,den_R)

W_dy=P/(1+R*P);

t=(0:0.01:30);

d=2*sin(t+pi/3);

Y=lsim(W_dy,d,t);

plot(t,Y),grid

0 5 10 15 20 25 30-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

53

clear all

clc

num_P=2;

den_P=[1 1];

P=tf(num_P,den_P)

kR=1;

tau=2;

num_R=kR*[tau 1];

den_R=[1 0 1];

R=tf(num_R,den_R)

W_dy=P/(1+R*P);

t=(0:0.01:30);

d=2*sin(t+pi/3);

Y1=lsim(W_dy,d,t);

kR=3;

num_R=kR*[tau 1];

R=tf(num_R,den_R)

W_dy=P/(1+R*P);

Y2=lsim(W_dy,d,t);

plot(t,Y1,t,Y2),grid,legend('kR=1','kR=3')

0 5 10 15 20 25 30-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

kR=1

kR=3

54

1

112

21

s

ssksR R

Vediamo se una scelta differente del regolatore consente di prescindere dalla conoscenza della posizione del polo del processo.

10 1 Zeri entrambi più in alta frequenza rispetto al polo del processo 10 2

x

x

Re

Im

x 1

1

1

2

1

Ok

Due zeri e due poli Grado relativo 0 (n=m)

55

1

112

21

s

ssksR R

x

x

Re

Im

x

1

11 Zeri entrambi più in bassa frequenza rispetto al polo del processo

12

1

1

2

1

Ok

56

1

112

21

s

ssksR R

x

x

Re

Im

x

1

11 Uno zero più in bassa frequenza rispetto al polo del processo ed uno zero piu in alta frequenza

12

1

1

2

1

Ok

57

1

112

21

s

ssksR R

x

x

Re

Im

x

1

121

Zeri coincidenti, più in bassa frequenza rispetto al polo del processo

1

1

Ok

Si mostra facilmente come anche la scelta 121 garantisca un

sistema a ciclo chiuso sempre stabile qualunque sia kR

58

clear all

t=(0:0.01:30);

d=2*sin(t+pi/3);

num_P=2; den_P=[1 1];

P=tf(num_P,den_P)

kR=1;

tau1=2; tau2=3;

num_R=kR*[tau1*tau2 tau1+tau2 1];

den_R=[1 0 1];

R=tf(num_R,den_R)

W_dy=P/(1+R*P);

Y1=lsim(W_dy,d,t);

tau1=0.5; tau2=0.8;


den_R=[1 0 1];

R=tf(num_R,den_R)

W_dy=P/(1+R*P);

Y2=lsim(W_dy,d,t);

tau1=0.5; tau2=2;


den_R=[1 0 1];

R=tf(num_R,den_R)

W_dy=P/(1+R*P);

Y3=lsim(W_dy,d,t);

plot(t,Y1,t,Y2,t,Y3),grid,

legend('\tau1=2,\tau_2=3','\tau1=0.5,\tau_2=0.8','\tau1=0.5,\tau_2=2')

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

1=2,2=3

1=0.5,2=0.8

1=0.5,2=2

59

)(ty

t23

s

skR

12 t

Analizzare l’evoluzione a regime al variare di kR

04

3

2

2

12

sx

LdR

x x Re

Im

x

2

2

1

2

2

ss

Esempio

SDC DI TIPO 2 CON UN POLO NEL REGOLATORE E UN POLO NEL PROCESSO. Analizziamo la stabilita a ciclo chiuso

60

Il sistema a ciclo chiuso è sempre stabile per ciascun valore di kR

Con disturbo posto pari a zero , la rampa del set point viene riprodotta esattamente a regime (PMI) -> y(t)=t

Con set-point nullo, la componente costante del disturbo viene asintoticamente compensata (PMI) -> y(t)=0

La componente a rampa del disturbo da luogo ad un errore costante sull’uscita, di ampiezza 2/Kr -> y(t)= /Kr=2/Kr

RK

tty2

Sovrapposizione degli effetti:

=2=pendenza della componente a rampa

61

2RK

12

tK

ttyR

2

62

2RK 12

tK

ttyR

L’analisi armonica di un sistema dinamico consiste nello studio della risposta a transitorio esaurito quando in ingresso al sistema viene applicata un onda sinusoidale

L’analisi della risposta a regime si basa sulla funzione di risposta armonica

La FRA è una funzione a valori complessi che si calcola a partire dalla G(s) operando la sostituzione s=j

jssGjG

)()(

Analisi armonica

jssGjG

)()(

)( jG

)( jG

Si dimostra che la FRA si calcola a partire dalla G(s) operando la sostituzione s=j

67

RISPOSTA ARMONICA

sG tu ty

tXtu cos

thjGtjGXty cos 0lim tht

G(s) asintoticamente stabile

Generalizzabile a somme di sinusoidi in ingresso a diversa frequenza applicando il principio di sovrapposizione degli effetti

68

Esempio

5.215.0

2

sss tu ty

ttu 3cos2

thjGtjGty 33cos32

5.215.0

2

ssssG asintoticamente stabile

2A 03

Leggiamo il modulo |G(j3)| e la fase G(j3) dai diagrammi di Bode

MMdb 10log20

20

log10

10

dbM

M

MdbM

1 0

10 20

100 40

1.0 20

01.0 40

Si presti attenzione al fatto che i diagrammi di Bode dei moduli riportano in ordinata il valore di M() espresso in dB

X

YM

71

numF=2;

denF=poly([-0.5 -1 -2.5]);

bode(numF,denF),grid

10-2

10-1

100

101

102

-270

-180

-90

0

Phase (

deg)

System: sysFrequency (rad/sec): 3Phase (deg): -202

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-150

-100

-50

0

50

Magnitude (

dB

)

System: sysFrequency (rad/sec): 3Magnitude (dB): -25.5

72

Il modulo, espresso in dB nel diagramma, deve essere convertito nel valore naturale

MMdb 10log20 2010dbM

M

dbjGdb

5.253

053.010103 20

5.25

20

3

db

jG

jG

MdbM

100

10

1

1.0

01.0

40

20

0

20

40

73

thtthtty 52.33cos1061.052.33cos053.02

Convertiamo le fasi in radianti

radjG 52.3360

22022023

thjGtjGty 33cos32

053.010103 20

5.25

20

3

db

jG

jG

Espressione dell’uscita

76

)(ty

tsin5.02

s

s 12 5 2

2

ss

Esempio

Il sistema a ciclo chiuso è asintoticamente stabile (mostrato prima)

Analizziamo l’uscita a regime associata al set point: 5ty

Analizziamo l’uscita a regime associata alla componente costante del disturbo

0ty

PMI

PMI

77

)(ty

tsin5.0

s

s 12 0 2

2

ss

Per quanto riguarda la componente sinusoidale del disturbo, facciamo riferimento al sistema semplificato

equivalente a tsin5.0 sW y

d)(ty

242

2

1222

2

2

2121

2

2

1 232

ssssss

sss

s

ss

sPsR

sPsW y

d

thjWtjWty y

d

y

d 1cos15.0 Ci interessa valutare la sola ampiezza

sR sP

78

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Magnitude (

dB

)

System: sysFrequency (rad/sec): 1Magnitude (dB): -3.53

10-2

10-1

100

101

102

-270

-180

-90

0

Phase (

deg)

System: sysFrequency (rad/sec): 1Phase (deg): -90.6

numF=2;

denF=[1 2 4 2];

bode(numF,denF),grid

jW y

d

Valutiamo i diagrammi di Bode alla pulsazione =1 rad/s del disturbo

79

Il modulo, espresso in dB nel diagramma, deve essere convertito nel valore naturale

dbjWdb

y

d 53.31

66.010101 20

53.3

20

1

db

yd jW

y

d jW

thjWtjWty y

d

y

d 1cos15.0

L’ampiezza della componente oscillatoria sul’uscita dovuta al disturbo ha ampiezza

33.015.0 jW y

d

Sommando le varie componenti, l’uscita y tenderà al valore costante 5 più una oscillazione di ampiezza 0.33

80

l’uscita y tenderà al valore costante 5 più una oscillazione di ampiezza 0.33

81

Attenuazione dinamica dei disturbi

Analizziamo da un punto di vista differente la capacita di attenuazione a regime di disturbi sinusoidali, con due o più armoniche distinte

Se, inoltre, non si conoscono a priori le frequenze del disturbo non si è in grado di collocare adeguatamente gli opportuni poli nel regolatore

Aggiungere nel regolatore i relativi poli immaginari puri prescritti dal PMI non è un buon metodo per sopprimere gli effetti del disturbo in quanto conduce rapidamente all’instabilità

Che fare in presenza di disturbi nella forma seguente ?

ii

N

i

i tdtd

cos1

82

sG tu ty

tAtu cos

jGtjGAtyregime cos

0jGSe

jG

allora 0tyregime

0 db

jGjG

83

Su questa proprietà, applicata alla FdT a ciclo chiuso disturbo/uscita, si basa la teoria della attenuazione dinamica dei disturbi

sW y

ydes

)(tydes

)(ty

sW y

d

)(td

sDsWsYsWsY y

d

desy

ydes Pricipio di sovrapposizione degli effetti

01

d

des

y

y sY

sY

sPsR

sPsRsW des

01

desy

y

dsD

sY

sPsR

sPsW

84

Ragioniamo sulla attenuazione del disturbo con set-point nullo (ydes(t)=0)

sW y

d

)(td)(ty

0jW y

d

Se, in un certo range di frequenza [L H],

],[ HL

allora tutte le componenti armoniche del disturbo aventi frequenza nel range [L H], verranno, a regime, attenuate in maniera pressoché perfetta

ii

N

i

i tdtd

cos1

0ty

i ],[ HLi

85

0jW y

d

Attraverso quale strumento sistematico di progetto è possibile garantire che, in un certo range di frequenza [L H] di interesse sia verificata le seguente relazione ?

],[ HL

sPsR

sPsW y

d

1

sRksR R

jPjRk

jPjW

R

y

d

1

0

1

jPjRk

jPjW

R

y

d Rk

Incremento del guadagno del regolatore

se

86

Esempio

Si consideri il sistema di controllo in retroazione in Figura, con un processo del secondo ordine asintoticamente stabile ed un disturbo sinusoidale

Progettare un regolatore in modo da garantire: S1 che il set point costante venga riprodotto a regime con un errore massimo dell’1% S2 che si abbia una attenuazione del disturbo sinusoidale in misura non inferiore al 99%.

)(ty

tAsin

sR5

21

2

ss

sec/20 ; 10 rad

RksR Cerchiamo una soluzione nella forma seguente

Specifiche compatibili con un sistema di controllo di tipo zero.

87

Si dimostra facilmente (LdR) che il sistema a ciclo chiuso è sempre stabile comunque si scelga kR

La specifica S1 è soddisfatta se vale la relazione

99.00 y

ydesW

99.0101

00

R

R

R

Ry

y k

k

Pk

PkW des 99Rk

Ragioniamo sui diagrammi di risposta armonica della FdT disturbo-uscita

Per soddisfare la specifica sulla attenuazione minima del disturbo, si dovrà garantire che

01.0jW y

d]20,10[

dbjWdB

y

d 40 ]20,10[

RR

y

dkss

ss

k

sssW

221

2

21

21

21

2

88

-100

-50

0

Magnitude (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

103

-180

-135

-90

-45

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

kR=1

kR=10

kR=20

kR=40

kR=60

kR=100

kR=1000

kR=2000

jW y

d

Al crescere di kR aumenta l’attenuazione dei moduli e si allarga progressivamente l’intervallo di frequenza in cui tale attenuazione è valida

Rk

89

clear all

P=tf(2,[1 3 2])

kR=1;

Wdy_1=P/(1+kR*P)

kR=10;

Wdy_10=P/(1+kR*P)

kR=20;

Wdy_20=P/(1+kR*P)

kR=40;

Wdy_40=P/(1+kR*P)

kR=60;

Wdy_60=P/(1+kR*P)

kR=100;

Wdy_100=P/(1+kR*P)

kR=1000;

Wdy_1000=P/(1+kR*P)

kR=2000;

Wdy_2000=P/(1+kR*P)

bode(Wdy_1,Wdy_10,Wdy_20,Wdy_40,Wdy_60,Wdy_100,Wdy_1000,Wdy_2000),

legend('k_R=1','k_R=10','k_R=20','k_R=40','k_R=60','k_R=100','k_R=1000','k_R=2000')

Codice Matab per realizzare il grafico della slide precedente

90

P=@(s)(2./((s+1).*(s+2)))

kR=100;

Wdy=@(s)(P(s)./(1+kR*P(s)))

omega=10:0.01:20;

mag100=20*log10(abs(Wdy(i*omega)));

kR=200;

Wdy=@(s)(P(s)./(1+kR*P(s)))

omega=10:0.01:20;


kR=300;

Wdy=@(s)(P(s)./(1+kR*P(s)))

omega=10:0.01:20;


plot(omega,mag100,omega,mag200,omega,mag300),legend('kr=100','kr=200','kr=300'),grid

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20-50

-45

-40

-35

-30

-25

kr=100

kr=200

kr=300

kR=300 OK

Codice Matab ad-hoc per graficare il diagramma dei moduli in dB della FdT disturbo uscita al variare di kR

91

Uscita con set-point nullo

Specifica S2 soddisfatta

92

Uscita complessiva Uscita complessiva (zoom)

93

Uscita con set-point nullo e guadagno del regolatore ridotto (kR=100 anziche 300)

Attenuazione del disturbo fuori specifica

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