Componenti reattivi

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Contenuti

Fondamenti su condensatori e induttanze, circuiti RC, RL, RLC, serie eparallelo, circuiti magnetici

Indice1 Condensatore 2

1.1 Rigidità dielettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Capacità parassita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Legge ai morsetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Tasso di autoscarica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Potenza ed energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6.1 Tensione nel tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6.2 Corrente nel tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6.3 Scarica del condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Condensatori in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.8 Condensatori in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Induttanza 102.1 Permeabilità magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Legge di Faraday-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Circuiti magnetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Induttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Transitorio di carica della induttanza . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6 Induttanze in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.7 Induttanze in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.8 Scarica di una induttanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1

1 CONDENSATORE

1 Condensatore

I condensatori sono componenti che hanno caratteristiche più utili per quando silavora in corrente alternata piuttosto che in corrente continua. Fondamentalmen-te si può vedere un condensatore come un accumulatore, ma in realtà ha altreproprietà che dipendono da fenomeni elettrostatici.

Si può schematizzare un condensatore come una coppia di lamine di materialeconduttore separate da un sottile strato di materiale dielettrico.

+

+ ++ +

++

− − −

d

Figura 1: Condensatore

Una delle due lamine può essere caricata aggiungendo o togliendo elettroni. Que-sto induce una carica uguale e opposta sull’altra lamina; le cariche non si muovo-no da una lamina all’altra, quindi non si forma una corrente costante tra i poli,ma solo quella necessaria per arrivare alla saturazione rispetto alla tensione inentrata.

Da Fisica si ha la formula che descrive il campo elettrico, dove ε rappresenta lacostante del dielettrico e S la superficie:

|E|[V/m] = Q

εS(1.1)

La costante ε è una caratteristica dal materiale presente fra le lamine, e si ottienemoltiplicando quella del vuoto con la capacità dielettrica relativa del materiale:

ε = ε0 · εr (1.2)

La tensione fra i poli e la capacità elettrica si ottengono con le formule:

VAB = −E · d (1.3)

C = Q

VAB(1.4)

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1.1 Rigidità dielettrica 1 CONDENSATORE

Dove la capacità elettrica rappresenta quanta carica serve per raggiungere unacerta differenza di potenziale tra i morsetti. Si misura in Farad, ma essendo unaunità di misura molto grande, si utilizzano sottomultipli, come µF .

C[F ] = Q

|VAB|= Q

|E| · d= ε

S

d(1.5)

1.1 Rigidità dielettrica

È il massimo valore del campo elettrico prima che il materiale si danneggi a causadi una scarica fra le lamine, causata da uno svincolamento degli elettroni. Ilcondensatore viene definitivamente distrutto una volta passata la scarica.

Per esempio la costante dielettrica dell’aria secca è di 3MV/m, quindi ci vogliono3 MegaVolt per generare una scarica tra due lamine a distanza di un metro. Sel’aria viene inumidita la costante cala, e questo permette la generazione di fulminidurante un temporale.

La capacità di un condensatore può quindi essere aumentata in diversi modi:

• Diminuire la distanza (limitato da ε)

• Aumentare la superficie

• Costante dielettrica maggiore

Nei condensatori reali viene indicata la capacità in sottomultipli del Farad e latensione massima operativa.

1.2 Capacità parassita

Un parametro parassita è una caratteristica che un componente non dovrebbeavere; per esempio un filo elettrico ha una resistenza interna, anche se vieneconsiderato equipotenziale, oppure un elemento di quarzo funziona anche comecondensatore, avendo lamine a poca distanza fra loro.

In particolare i fili elettrici, se posti a breve distanza, possono presentare fenomenidi capacità parassita. I cavi coassiali fanno in modo di ridurre il fenomeno ponendoil conduttore all’interno di una schermatura metallica, che effettivamente forma uncondensatore con quello interno, ma viene scaricato poi a massa.

Il cavo coassiale possiede una caratteristica capacitiva per ogni metro, quindi F/m,misurata allo stesso modo della resistenza parassita Ω/m.

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1.3 Legge ai morsetti 1 CONDENSATORE

1.3 Legge ai morsetti

Si vuole avere una legge ai morsetti del condensatore che possa mettere in relazionela tensione con la corrente. In altre parole si vuole avere una coppia di funzionitali che:

VAB = f(I) (1.6)I = f ′(VAB) (1.7)

A

B

I

VAB

Figura 2: Bipolo

In un condensatore, la tensione ai capi e la corrente per accumulare energia nonsono fissi, ma variano con il tempo. In questo caso si indicano con lettere minuscolein quanto tali (fig.3) e con Tx il punto in cui viene accumulata la carica massima.

i(t)

vAB(t)

t

QTxi(t)

i(t)

T0

Figura 3: Corrente in funzione del tempo

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1.4 Tasso di autoscarica 1 CONDENSATORE

Come si può osservare anche dal grafico la carica è data dall’integrale nel tempo del-la corrente in entrata (l’area sottesa) più la capacità già presente nel condensatore(VC0).

vAB(t) = Q

C= 1C·∫ t

0i(τ)dτ + VC0 (1.8)

Per non eseguire l’integrale si può cercare la corrente in funzione del tempo inveceche la tensione:

i(t) = C · ddtVAB (1.9)

1.4 Tasso di autoscarica

Essendoci un integrale (o derivata), per calcolare il valore futuro della correntein entrata (e uscita) bisogna avere i valori passati, per questo si dice che è uncomponente con memoria.

I condensatori però non mantengono la carica in eterno, ma tendono a perder-la lentamente, dato che ogni isolante possiede comunque un valore di resistenzaseppur alto.

Si può immaginare l’esistenza di una resistenza che congiunge i piatti del conden-satore, di valore molto alto. In molti casi questo fenomeno non influisce circuitireali, ma per esempio le DRAM dei computer sono influenzate dal tasso di au-toscarica, essendo composte da miliardi di microscopici condensatori con laminemolto vicine; in questo caso è presente un circuito di refresh che rigenera la cari-ca all’interno ogni pochi millisecondi. La energia persa dovuta all’autoscarica sitrasforma in calore.

1.5 Potenza ed energia

Supponiamo di avere un condensatore con qualche carica presente su una dellelamine. Se si continua a fornire corrente si aumenta la carica presente all’interno;la carica in più è naturalmente data dalla corrente in entrata, ma dato che essaprovoca una corrente in uscita presso l’altro polo, si può concettualizzare chele cariche "vanno da una lamina all’altra", senza passare per il dielettrico, maattraverso il filo, anche se non si tratta delle stesse cariche.

Da Fisica si sa che quando si sposta una carica attraverso una differenza di poten-ziale, si compie un lavoro; indicando la tensione ai capi del condensatore con vc(t)

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1.6 Circuito RC 1 CONDENSATORE

si ha la formula del lavoro infinitesimo, quindi per carica:

dL = vc(t) · dq (1.10)

Il lavoro totale per immagazzinare una carica Q in un condensatore inizialmentescarico si ottiene facendo la somma di tutte le cariche che si spostano da unalamina all’altra:

L =∫ Q

0vc(t)dq =

∫ Q

0

q(t)c

= 12Q2

c= 1

2CV2c (1.11)

Il condensatore, durante la fase di carica, si comporta come un utilizzatore, edurante la fase di scarica come un generatore. Non potendo comunque generarepiù energia di quella introdotta, si considera sempre come un utilizzatore.

La potenza spesa mentre si carica il condensatore si ottiene:

P = dL

dt= 1

2Cd(v2

c (t))dt

= Cdvc(t)dt

(1.12)

Dove la derivata rimane perché vc è una funzione sconosciuta. La potenza assorbitao generata è proporzionale alla derivata della tensione, che dovrà quindi essere unafunzione continua che non varia istantaneamente.

Se così non fosse, e si avesse un gradino nell’andamento della tensione, la po-tenza risulterebbe un delta di Dirac, quindi una potenza istantanea infinita, maquesto sarebbe assurdo da produrre realmente (a detta del prof, neanche ChuckNorris riesce a farlo). Di conseguenza è impossibile caricare istantaneamente uncondensatore.

1.6 Circuito RC

1.6.1 Tensione nel tempo

All’inizio il condensatore ha una carica interna C0 che produce una tensione ai capiuguale a VC0, sicuramente deve essere maggiore di zero ma minore della tensionein entrata: VC0 > 0

VC0 < E(1.13)

Quando si chiude l’interruttore viene innescata una corrente che impone una ten-sione uguale a quella del generatore ai capi del condensatore. Man mano che il

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+- E

vR

vC(t)

Ri(t)

Figura 4: Circuito di riferimento

condensatore si carica, il potenziale ai capi di esso aumenta e per la seconda leggedi Kirchhoff il potenziale ai capi del resistore diminuisce.

Se la tensione ai capi del condensatore dovesse mai arrivare a E (e non lo farà maiperchè ci arriva asintoticamente) questo implicherebbe una corrente uguale a zeroe una differenza di potenziale ai capi della resistenza nullo.

Il grafico dell’andamento della tensione rispetto alla corrente si può quindi costruirecon i regimi trovati:

t

vC0

vC(t)

E

Figura 5: Regime iniziale e finale

Si ipotizza che possa esistere un momento Tf per cui la tensione finale ai capi delcondensatore sia uguale a E. La funzione deve essere evidentemente monotonacrescente, ma ancora non si conosce lo stato di transitorio. Sempre con la seconda

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legge di K. si costruisce la uguaglianza:

E = vR(t) + vC(t) = Ri(t) + vC(t) = RC · dvc(t)dt

+ vc(t) (1.14)

La equazione ottenuta è differenziale di primo grado, avendo la incognita den-tro una derivata. Ciò che si ottiene è l’andamento nel tempo della incognitavC(t).

E.C. : RCα + 1 = 0 (1.15)

α = − 1RC

(1.16)

vSOA(t) = K1 · e−1

RCt (1.17)

vIP (t) = E (1.18)vC(t) = K1 · e−

1RC

t + E (1.19)vC(0) = VC0 ⇒ K1 · e−

1RC

t + E = VC0 → K1 = VC0 − E (1.20)vC(0) = (VC0 − E) · e− 1

RCt + E (1.21)

L’andamento del grafico durante il transitorio è quindi asintotico, e si avvicinasempre di più al valore E senza mai arrivarci.

A livello pratico si considera un tempo ragionevole per cui il condensatore si puòconsiderare carico vicino al 99% della carica completa. Definendo una costantedi tempo del transitorio come τ = RC (più è piccola più arriva velocemente allacarica totale), si può dire che per convenzione quando t = 5τ (99% della carica)esso si può considerare completamente carico.

Quando t = τ la carica accumulata è circa del 63%. Le percentuali si riferisconosempre all’escursione prevista, quindi se il condensatore ha già al suo internouna carica residua, il 99% si riferisce alla differenza tra il potenziale corrente equello a cui deve arrivare, non come se partisse da 0V .

1.6.2 Corrente nel tempo

Per studiare il transitorio della corrente si applica la seconda legge di Kirchhoff:

E = vC(t) +Ri(t) = 1C

∫ t

−∞i(t)dt+Ri(t) (1.22)

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t

i(t)

5τ

Figura 6: Andamento della corrente

La equazione trovata risulta essere differenziale di primo grado. Si calcola da −∞per indicare (a livello matematico) la condizione di quando era scarico "all’iniziodel tempo", quindi VC0 non si conta. Riordinando i termini:

RCdi(t)dt

+ i(t) = 0 (1.23)

Risolvendo la equazione differenziale:

i(t) = E − VC0

R· e−

1RC

t (1.24)

1.6.3 Scarica del condensatore

Prendendo un condensatore carico, si mettono in cortocircuito i poli del circuito(non del condensatore ideale dato che farebbe esplodere l’universo con una correnteinfinita). Sempre con la seconda legge di Kirchhoff si costruisce una equazionedifferenziale:

0 = vC(t) +Ri(t) = vC(t) +RCdvC(t)dt

(1.25)

vC(t) = Ee−1

RCt (1.26)

i(t) = CdvC(t)dt

= −ERe−

1RC

t (1.27)

Osservando i grafici si nota che la corrente presenta una discontinuità (da zero vaistantaneamente a −E

R, mentre la tensione non può farlo.

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1.7 Condensatori in parallelo 2 INDUTTANZA

1.7 Condensatori in parallelo

Quando due o più condensatori sono in parallelo, le capacità si sommano.

Ceq = C1 + C2 (1.28)

Questo vale anche per le tensioni, mentre la corrente varia a seconda delle capacità:

i = C1dvC1

dt= C2

dvC2

dt(1.29)

1.8 Condensatori in serie

Il duale dei condensatori in parallelo, in questo caso si fa la somma inversa:

1Ceq

= 1C1

+ 1C2

(1.30)

Come per le resistenze, per due soli condensatori si può semplificare il calcolo:

Ceq = 11C1

+ 1C2

= C1C2

C1 + C2(1.31)

2 Induttanza

Un filo percorso da una corrente produce sempre un campo magnetico.

I

R

l

Figura 7: Campo magnetico di un filo

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2.1 Permeabilità magnetica 2 INDUTTANZA

La legge di circuitazione di Ampére afferma che una corrente genera un campo ma-gnetico, quindi la corrente è data dalla somma dei contributi di campo magnetico(vettore) nella circonferenza posta a distanza R dal centro.

H ·∮ldl = I (2.1)

|H| · 2πR = I (2.2)

Se ci si mette a distanza R dal filo percorso da corrente I si viene sottopo-sti ad un campo magnetico di intensità I

2πR = |H| con direzione tangente allacirconferenza.

Volendo accumulare campo magnetico si può avvolgere il filo in un elemento to-roidale, indicando con N il numero di avvolgimenti; il campo ottenuto sarà datodalla somma di tutti i contributi, quindi N volte quello del singolo avvolgimento.∮

lHdl = NI := IC (2.3)

Se si prende una linea chiusa all’esterno dell’avvolgimento (l′ in fig.8b) si notache il campo magnetico risulta nullo, stessa cosa per quello che riguarda una lineapresa vicino al centro. La lunghezza che effettivamente serve è quella del toroidecontenuto dalle spire: ∮

Hdl = H · L (2.4)

Ottenendo quindi:H[A/m] = I · N

L(2.5)

Questo vale anche per un "toroide con raggio infinito", quindi un solenoide, quelloche conta è la densità di spire.

L’intensità del campo dipende quindi dalla densità di spire e dalla corrente inentrata. Le linee del campo magnetico sono sempre chiuse, quindi nel caso dell’in-duttore toroidale sono interamente contenute nel nucleo, e per il solenoide esconoed entrano dai capi. La formula che si applica per questo oggetto è la 2.5.

2.1 Permeabilità magnetica

Esiste un campo B detto di induzione magnetica (o densità di flusso magnetico),misurato in Tesla, dato dal campo magnetico moltiplicato per una costante µ che

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A Bi(t)

vAB(t)

(a) Solenoide

I

l′

(b) Induttore toroidale

Figura 8: Induttori

dipende dal materiale usato come nucleo, detta permeabilità magnetica.

B[T ] = µH (2.6)

Questo implica che H non dipende dal materiale, anzi, viene alterato a secondadella costante µ applicata. La permeabilità magnetica, come la costante dielettrica,si scompone in due parti, µ0 che è la permeabilità magnetica nel vuoto e µR, quellarelativa del mezzo:

µ[N/A2] = µ0 · µR (2.7)

Esistono diversi tipi di materiali che variano a seconda della permeabilità magne-tica:

• Materiali diamagnetici, µR < 1, oppongono un debole campo magnetico aquello esterno

• Materiali paramagnetici, µR > 1, forniscono un piccolo contributo al campomagnetico

• Materiali ferromagnetici, µ 1, si polarizzano a seconda del campo magne-tico e possono "memorizzare" una direzione.

I materiali ferromagnetici sono a livello microscopico divisi in partizioni dette"domini di Weiss", ognuna con una polarità casuale rispetto alle altre. In presenzadi un campo magnetico, i domini si orientano (non completamente) favorevolmentead esso, con l’effetto che tutti i domini contribuiscono all’intensità del campomagnetico.

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Non si può mai arrivare alla situazione in cui ogni singolo dominio è perfettamenteallineato al campo, essendo un andamento asintotico, ma si può determinare dopouna certa intensità del campo magnetico che il materiale sia "saturato".

B

H

Figura 9: Saturazione di un materiale

Se dopo viene spenta la sorgente di campo magnetico, i domini di Weiss nontornano esattamente al loro posto, ma tendono a mantenere una leggera polarizza-zione in direzione del campo passato, quindi in presenza di campo 0 la induzionemagnetica B non è nulla.

H

B

BR

Figura 10: Curva di isteresi

Questo fenomeno viene rappresentato dalla cosiddetta curva di isteresi magne-tica in fig.10. Si parte dalla curva di prima magnetizzazione (Quella tratteggiata),aumentando il campo H si arriva alla saturazione, quando si torna indietro si in-contra il punto BR a campo zero, ogni materiale ha un valore massimo; se poiil campo diventa negativo viene percorsa la seconda curva (quella in basso), cheeventualmente arriverà a −BR.

La smagnetizzazione di un materiale avviene percorrendo diverse volte la curva diisteresi per fare in modo di ridurre in modo incrementale il valoreBR; la oscillazione

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2.2 Legge di Faraday-Lenz 2 INDUTTANZA

si può notare per esempio nei vecchi schermi CRT quando venivano "smagnetizzati"all’avvio.

2.2 Legge di Faraday-Lenz

Un campo magnetico, oltre ad essere generato da una corrente, può a sua voltagenerarne una. La corrente (quindi la differenza di potenziale) viene formalizzatadalla legge di Faraday-Lenz, si ha quindi tutto il passaggio dalla legge di Ampére,attraverso la permeabilità magnetica a questo caso:

IAmpere−−−−→ H

µ−→ BF−Lenz−−−−−→ E (2.8)

La legge indica che la tensione indotta e da un campo magnetico è data da:

e2 = −dφCdt

(2.9)

Il flusso magnetico, misurato in Weber, è dato dal prodotto del campo di in-duzione magnetica B e la sezione del nucleo S, e il flusso concatenato è dato dalprodotto del flusso per il numero di spire:

φ[Wb = T ·m2] = B · S (2.10)φC = φ ·N (2.11)

Quindi la tensione in uscita risulterà:

e2 = −µ2 · S ·dB

dt(2.12)

Essendo una derivata nel tempo, per produrre una tensione non si può avere uncampo "fermo", ma deve variare in continuazione.

Per quello che riguarda il segno negativo, il contributo di Lenz, bisogna notare cheil campo induce una tensione e1 anche sull’avvolgimento che lo ha generato, ma sequesto non si opponesse, allora si formerebbe una induzione infinita fra tensione ecampo, e l’universo esploderebbe. Grazie, Lenz, per averci illuminato.

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2.3 Circuiti magnetici 2 INDUTTANZA

2.3 Circuiti magnetici

Le linee di forza del campo magnetico si possono vedere come contenute in un "tubodi flusso" di sezione S. Le linee possono allargarsi o restringersi, ma rimangonosempre le stesse, non se ne creano nè distruggono altre.

Si può quindi dichiarare il prodotto della densità di flusso per la sezione costante:

B · S = φ = cost (2.13)

Per lavorare in modo più semplice con circuiti magnetici si possono identificaresimilitudini con le leggi studiate finora, in particolare quella di Ohm, in questomodo si possono anche applicare tutti i metodi di risoluzione. Bisogna identificaregrandezze analoghe di V , I, R, per esempio il flusso costante può essere paragonatoalla corrente. Studiando un toroide aperto come in fig.11 con una apertura l0 si

Figura 11: Toroide aperto

osserva che le linee di forza sono concentrate all’interno del materiale, mentreall’apertura tendono ad "allargarsi" distanziandosi tra di loro, per poi rientrare neltoroide.

Supponendo che lfe (la lunghezza del toroide) sia molto minore di l0 si può con-siderare il tubo di flusso come di sezione costante, dato che l’allargamento è pocosignificativo.

La densità di flusso è quindi considerabile come costante, quindi c’è la stessainduzione magnetica lungo tutto il percorso:

φ = B · S = cost · cost =⇒ B = cost (2.14)

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2.4 Induttore 2 INDUTTANZA

Essendo i materiali diversi (ferro e aria) risulta cheH0 Hfe dato che la densità diflusso è stata dichiarata come costante. Per il teorema di circuitazione di Ampérevale che: ∮

lHdl = N · I =⇒ Hfe · lfe +H0 · l0 = N · I (2.15)

Ipotizzando di avere diversi materiali oppure diverse aree si ha che:∑i

Hili = N · I (2.16)

Eseguendo operazioni algebriche e ipotizzando φ come costante si ottiene unaforma simile alla legge di Ohm:

φ∑i

liSiµi

= N · I (2.17)

La parte interna alla sommatoria viene chiamata riluttanza, e da ciò si ottienela legge di Hopkinson, dove N indica il numero di spire, I la corrente e R lariluttanza:

N · I = Rφ (2.18)

Le similitudini rispetto alla legge di ohm si notano osservando che NI si puòparagonare alla tensione (detta qui forza magnetomotrice), R si vede come laresistenza e φ la corrente.

La stessa riluttanza si può vedere come somma di tutti i singoli contributi nelcircuito:

R =∑I

liSiµi

=∑

Ri (2.19)

Indica di fatto quanto il materiale si oppone al flusso magnetico generatodalla induttanza, a differenza della permeabilità magnetica che indica quanto ilmateriale tende a magnetizzarsi.

Così facendo si possono estendere tutti i concetti e metodi risolutivi già affrontatiai circuiti magnetici.

2.4 Induttore

È il componente effettivamente utilizzato nei circuiti elettronici.

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2.5 Transitorio di carica della induttanza 2 INDUTTANZA

vAB(t)

i(t)

Nl

Figura 12: Induttore

Il flusso è proporzionale alla corrente e all’induttanza definita come segue:

φC = Nϕ = NBS = NµHS = NSµNI

l= LI (2.20)

Per avere risultati esatti bisogna fare in modo di mantenere una certa linearità,quindi non bisogna andare troppo avanti nella curva di isteresi del materiale masi devono mantenere i componenti in punti dove la pendenza della curva si puòpensare come costante.

2.5 Transitorio di carica della induttanza

+

-E

R

LvL(t)

i(t)

0

0

0

0E

E

R

t <0

t =0+

t→+∞

iL

vL

Figura 13: Transitorio di una induttanza

Una induttanza sottoposta a corrente continua si comporta come un conduttore,tranne per un primo momento di carica. Con t < 0 si indica lo stato della tensionee della corrente prima della chiusura dell’interruttore, con t = 0+ il momentoappena dopo la chiusura.

Appena viene chiuso il circuito, la corrente sulla induttanza non può variare istan-taneamente, dato che deve generare il suo campo magnetico. In questo momento

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quindi si comporterà come un generatore di corrente che tenderà a tenere la stessaa 0A. Si avrà quindi una corrente che genera una caduta di tensione:

vL(0+) = E −Ri(0+) = E (2.21)

Man mano che il tempo avanza si ha una situazione descrivibile con una equazionedifferenziale:

E −Ri(t)− vL(t) = 0 (2.22)

E = Ri(t) + Ldi(t)dt

(2.23)

L’integrale particolare risulta ERe la corrente rispetto al tempo varia:

i(t) = E

R(1− eR

L·t) (2.24)

La crescita della corrente è quindi asintotica, e come con il condensatore si puòconsiderare il transitorio come completato al punto 5τ , dove τ = L

R.

Ovviamente questo vale per una sola induttanza per volta, non nel caso in cui cene siano diverse.Esempio 2.1.Si ha un circuito RLC come in figura 14 e bisogna determinare la corrente i(t).

+

-i(t)

R L C

vC

E

Figura 14: Circuito RLC

Studiando la maglia si nota che la corrente è 0 sia per t = 0− che per t = 0+

e t → +∞. Questo succede perché è presente il condensatore, quindi ci si puòaspettare un transitorio impulsivo che inizia e finisce con 0.

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La tensione vL invece è uguale VC0 (la tensione residua iniziale all’interno delcondensatore) per t = 0− e per t = 0+, mentre diventa uguale a E per t→ +∞.

La induttanza, in altre parole, tende a dare una "inerzia" al circuito, opponendosiai cambiamenti.

Applicando la seconda legge di K. alla maglia si ottiene la equazione:

E = Ldi

dt+Ri + 1

C

∫i(t)dt

Per rimuovere l’integrale si può derivare membro a membro, ottenendo una equa-zione differenziale omogenea a coefficienti costanti di secondo grado:

0 = Ld2i

dt2+R

di

dt+ 1Ci(t)

La equazione caratteristica si ottiene:

Lα2 +Rα + 1C

= 0

α = − R

2L =√(

R

2L

)2− 1LC

= −α±√kr

Si distinguono quindi tre casi:

• kr > 0, α1,2 R.D., i(t) = k1e[−αn+

√kr]t + k2e

[−αn−√kr]t

• kr = 0, α1,2 R.C., si trovano k1, k2 con condizioni iniziali

• kr < 0, α1,2 C.C., t = 0, E = Ldi(0)dt

+ VC0 → di(t)dt

= E−VC0L

, i(0) = k1 · e0 +k2 · e0 = k1 + k2 = 0

R.D. (reali distinte):

k1 + k2 = 0C − αr +

√kr + [−αr −

√kr]k2 = E−VC0

Lk1 = 12L(E − VC0) 1√

kr

k2 = − 12L(E − VC0) 1√

kr

i(t) = E − VC0

2L · 1√kr

[e(−αr+√kr)t − e(−αr−

√kr)t]

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2.6 Induttanze in serie 2 INDUTTANZA

R.C. (reali coincidenti):

i(t) = (k1 + k2)te−αrti(0) = k1 = 0di(0)dt

= −αr(k1 + k2) = E−VC0Lk1 = 0

k2 = E−VC0L

C.C. (complesse coniugate):

i(t) = ke−αrt sin(√−krt+ γ)i(0) = 0 = k sin γ

di(0)dt

= E−VC0L

= − R2Lk sin γ + k

√−kr cos γγ = 0

k = E−VC0L√−kr

i(t) = E − VC0

L√−kr

e−αrt sin(√−krt)

i(t) = −E − VC0

L√−k

e−αrt sin(√−krt+ 1800)

2.6 Induttanze in serie

Leq = L1 + L2 (2.25)

vL = vL1 + vL2 = L1di

dt+ L2

di

dt= (L1 + L2)di

dt(2.26)

2.7 Induttanze in parallelo

Sono sottoposte alla stessa tensione, ma sviluppano due correnti diverse.

Leq = 11L1

+ 1L2

= L1L2

L1 + L2(2.27)

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2.8 Scarica di una induttanza 2 INDUTTANZA

2.8 Scarica di una induttanza

Si procede ad aprire un circuito con una induttanza a regime e ci si chiede comeprocederà la corrente.

La condizione iniziale è quindi data da:

i(0) = E

R(2.28)

i(0+) = i(0−) (2.29)

Che però risulta in conflitto con il fatto che in un circuito aperto non circolacorrente! La induttanza tende a far rimanere la corrente costante, ma essa nonpuò circolare se il circuito è aperto.

L’interruttore impiega un certo tempo per spegnersi, e se per ipotesi la correntefosse discontinua la induttanza (facendo la derivata) produce un delta di Dirac,che ha potenza infinita. In realtà produce una tensione molto elevata che crea unascarica (scintilla) all’interno dell’interruttore quando si apre, che provvede quindia scaricare la energia residua.

Per ovviare al problema (ed evitare la progressiva distruzione dell’interruttore) siprocede ad aggiungere un diodo in parallelo alla resistenza che scarica la correnteinversa prodotta.

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Componenti reattivi

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