compito svolto analisi 1

7/21/2019 compito svolto analisi 1

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Esame di Analisi Matematica II del

19 gennaio 2009 ore 11

Versione A

Esercizio 1. (10 punti)

Dato il sistema di equazioni differenzialix= ey 1y = 2x2y+ 9x2 1,

a) determinare i punti critici (o punti di equilibrio) del sistema;

b) studiare la stabilita dei punti critici del sistema.

Svolgimento

a) Il sistema e autonomo non lineare. Posto X = (x, y) e F(x, y) =

ey 1, 2x2y+ 9x2 1,i punti critici (o di equilibrio) del sistema X = F(X) sono tutti i punti X R2 tali cheF(X) = 0.

Si ha che

F(X) = 0

ey 1 = 0

2x2

y+ 9x2

1 = 0 x= 13y = 0.

Quindi i punti critici del sistema X=F(X) sono X1=13 , 0

e X2=

13 , 0

.

b) La matrice Jacobiana di F inX= (x, y) R2 e

JF(x, y) =

0 ey

4xy+ 18x 2x2

.

Consideriamo inizialmente il punto X1=13 , 0

. Si ha che

JF1

3, 0= 0 1

6 29 .

1


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2 Esame scritto di Analisi Matematica II del 19 gennaio 2009

Determiniamo gli autovalori di JF13 , 0

. Si ha che

det

JF1

3 , 0 I= 16 29 =2

2

9 6.

Ne segue che

det

JF

1

3, 0

I

= 0 2 2

9 6 = 0 1,2 = 1

91

9

487.

Poiche1= 19+

19

487> 0, per il Teorema di linearizzazione si ha che il punto X1=

13 , 0

e instabile per il sistema X=F(X).

Consideriamo ora il punto X2= 1

3

, 0. Si ha cheJF

1

3, 0

=

0 16 29

.


. Si ha che

det

JF

1

3, 0

I

=

16 29 =2 29 + 6.

Ne segue che

det

JF1

3, 0 I= 0 2 2

9+ 6 = 0 1,2 = 1

9 i 1

9485.

Poiche Re (1,2) > 0, per il Teorema di linearizzazione si ha che il punto X2 =13 , 0

e

instabile per il sistema X=F(X).


Dato il campo vettoriale

G(x, y) = 12x(x2 +y2 3)2 , 12y(x2 +y2 3)2 ,

i) dire se esiste una regione del pianoR2 in cui G e conservativo e indicarla;

ii) in caso affermativo al punto i), calcolare i potenziali di G;

iii) dire se G e conservativo fuori dal cerchio di centro lorigine e raggio

3.

Svolgimento


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Versione A 3

i) Il campo G e definito su

dom( G) = (x, y) R2 : x2 +y2

=

3 .Inoltre G e di classe C su dom( G).

Posto G= (g1, g2), si ha che

g1

y(x, y) =

48xy

(x2 +y2 3)3 , g2

x(x, y) =

48xy

(x2 +y2 3)3 .

Poiche linsieme

A=

(x, y) R2 : x2 +y2 0, per il Teorema di linearizzazione si ha che il punto X1=

0, 13



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Consideriamo ora il punto X2=

0,13

. Si ha che

JF

0,1

3

= 29 61 0 .

Determiniamo gli autovalori di JF

0,13

. Si ha che

det

JF

0,1

3

I

=

29 61 =2 29 + 6.

Ne segue che

det

JF

0,1

3

I

= 0 2 2

9+ 6 = 0 1,2 = 1

9 i 1

9

485.

Poiche Re (1,2) > 0, per il Teorema di linearizzazione si ha che il punto X2 =

0,13

einstabile per il sistema X=F(X).



G(x, y) =

10x(x2 +y2 5)2 ,

10y(x2 +y2 5)2

,




5.

Svolgimento


dom(G) =

(x, y) R

2

: x2

+y2

= 5 .Inoltre G e di classe C su dom( G).


g1

y(x, y) =

40xy

(x2 +y2 5)3 , g2

x(x, y) =

40xy

(x2 +y2 5)3 .

Poiche linsieme

A=


14 , 0



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Consideriamo ora il punto X2=14 , 0

. Si ha che

JF

1

4 , 0

= 0 28 14 .


. Si ha che

det

JF

1

4, 0

I

=

28 14 =2 14 + 16.

Ne segue che

det

JF

1

4, 0

I

= 0 2 1

4+ 16 = 0 1,2 = 1

8 i 1

8

1023.

Poiche Re (1,2) > 0, per il Teorema di linearizzazione si ha che il punto X2 =14 , 0 e




G(x, y) =

8x(x2 +y2 7)2 ,

8y(x2 +y2 7)2

,




7.

Svolgimento


dom(G) =

(x, y) R

2

: x2

+y2

= 7 .Inoltre G e di classe C su dom( G).


g1

y(x, y) =

32xy

(x2 +y2 7)3 , g2

x(x, y) =

32xy

(x2 +y2 7)3 .

Poiche linsieme

A=


0, 14



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Consideriamo ora il punto X2=

0,14

. Si ha che

det

JF

0,1

4 I=

1

4

162

=2 14 + 16.Ne segue che

det

JF

0,1

4

I

= 0 2 1

4+ 16 = 0 1,2 = 1

8 i 1

8

1023.

Poiche Re (1,2) > 0, per il Teorema di linearizzazione si ha che il punto X2 =

0,14

e




G(x, y) =

6x(x2 +y2 9)2 ,

6y(x2 +y2 9)2

,



iii) dire se G e conservativo fuori dal cerchio di centro lorigine e raggio 3.

Svolgimento


dom( G) = (x, y) R2 : x2 +y2 = 9 .

Inoltre G e di classe C su dom( G).


g1

y(x, y) =

24xy

(x2 +y2 9)3 , g2

x(x, y) =

24xy

(x2 +y2 9)3 .

Poiche linsieme

A=

(x, y) R2 : x2 +y2


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Versione D 21

O x

y

A

Fig. 4: Linsieme A (in azzurro).

ii) Sia g: A R un potenziale di G ristretto a A. Allora deve essereg

x(x, y) = 6x

(x2 +y2 9)2 , g

y(x, y) = 6y

(x2 +y2 9)2 .

Integrando la prima uguaglianza rispetto a x si ottiene

g(x, y) =

6x

(x2 +y2 9)2 dx= 3

x2 +y2 9+ c(y).

Derivando rispetto a y e imponendo che sussista luguaglianza con il secondo membro di

gy

(x, y) = 6y(x2+y29)2 si ottiene

g

y(x, y) = 6y

(x2 +y2 9)2 +c(y) = 6y

(x2 +y2 9)2 = c(y) = 0 = c(y) =c R.

Quindi tutti i potenziali di Gsu A sono

g(x, y) = 3

x2 +y2 9+ c, c R.

iii) Osserviamo che le funzionig(x, y) = 3x2+y29

+ csono definite e differenziabili su dom( G) con

g(x, y) = G(x, y), per ogni (x, y) dom( G). Quindi queste funzioni sono potenziali di Gsututto dom( G), e quindi anche al di fuori della circonferenza di centro lorigine e raggio 3 nel

piano Oxy.



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a) Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie

n=1

cos n

6 +n4 .

b) Determinare il raggio di convergenza e linsieme di convergenza puntuale della serie

n=1

1

1 +n

sin

1

4n

x

3

n.

c) Dire se esiste un intervallo aperto in cui converge uniformemente la serie

n=1

1

1 +n sin 1

4nx

3n

+ cos n

6 +n4 .

Svolgimento

a) La serien=1

cos n

6 +n4 e a termini di segno variabile. Studiamo inizialmente la convergenza

assoluta. Consideriamo quindi la serie

n=1

cos n

6 +n4

=

n=1| cos n|6 +n4

.

Poiche per ogni n 1 si ha che| cos n| 1, ne segue che per ogni n 1 si ha che| cos n|6 +n4

16 +n4

.

Essendo 16+n4

1n4

per n + ed essendo convergente la serien=1

1

n4, per il criterio

del confronto asintotico la serien=1

1

6 +n4 converge; per il criterio del confronto la serie

n=1

| cos n|6 +n4

converge e quindi la serie di partenza

n=1

cos n

6 +n4 converge assolutamente e di

conseguenza converge semplicemente.

b) Consideriamo la serie di potenze

n=1

1

1 +n

sin

1

4n

x

3

n.

Postot= x3 otteniamo la serie di potenze centrata in 0

n=1

1

1 +nsin 1

4n tn.


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Versione D 23

Determiniamo il raggio di convergenza di questa serie di potenze. Si ha che

limnn 11 +n sin

1

4n = limn n

1

1 +n

sin

1

4n

=

= limn

1

1 +n

sin

1

4n

1n

= limn

e1

nlog [ 1

1+n(sin 1

4n)].

Poiche sin 14n = 14n+ o

1n

per n +, si ha che

limn

1

nlog

1

1 +n

sin

1

4n

= lim

n

1

nlog

1

1 +n

1

4n+ o

1

n

=

= limn

1

nlog

1

4n(1 +n)+ o

1

n2

= lim

n

1

nlog [4n(1 +n)] = 0.

Quindi

limn

n

11 +n

sin 1

4n

= limn e 1n log [ 11+n(sin 14n)] = 1.Ne segue che il raggio di convergenza della serie di potenze

n=1

1

1 +n

sin

1

4n

tn e R =

1. Quindi questa serie di potenze converge assolutamente se t (1, 1). Controlliamo seconverge anche negli estremi di questo intervallo.

Se t= 1 abbiamo la serie a termini positivi

n=1

11 +n

sin 1

4n

.

Poiche sin 14n 14n per n +, si ha che1

4 +n

sin

1

4n

1

4n(1 +n) 1

4n2, n +.

Poiche la serien=1

1

n2 converge, per il criterio del confronto asintotico anche la serie

n=1

1

1 +n sin 1

4n converge.Se t= 1 abbiamo la serie a termini di segno alterno

n=1

(1)n 11 +n

sin

1

4n

.

Per quanto appena visto questa serie converge assoltamente e quindi converge. Ne segue che

la serien=1

1

1 +n

sin

1

4n

tn converge puntualmente se t [1, 1].

Ne segue che il raggio di convergenza della serie di potenzen=1

1

1 +n

sin

1

4n

x

3

neR = 3

e questa serie converge puntualmente in [3, 3].


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c) Consideriamo la serie di funzioni

n=1

11 +n

sin

1

4nx

3n

+

cos n

6 +n4

.

Poiche la serie di potenzen=1

1

1 +n

sin

1

4n

x

3

nconverge puntualmente in [3, 3], allora

converge uniformemente in [3, 3]. Inoltre per il punto a) la serie numerican=1

cos n

6 +n4 converge e quindi converge uniformemente su R.

Ne segue che la serien=1

1

1 +n

sin

1

4n

x

3

n+

cos n

6 +n4

converge uniformemente nellin-

tersezione di [

3, 3] e R, cioe in [

3, 3]. Quindi un intervallo aperto in cui questa serie

converge uniformemente e per esempio (3, 3).

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