:, * l (ll,\rluo rrr rrtlurtLLra - t \lr.rau / luLuultlll,v a\rlu-r aProva scritta

t.

Facolt di Ingegneria - A.A. 2010-2011

AnalisiMatematicaI- '

IStudiare la seguente funzione e tracciarne il grafico.

IIVerificare se il seguente integrale esiste finito e in caso affermativocalcolarlo. 74 ^EnI Y* " s*

I, n3 -

Tr2 * l1r -

I2**III

Studiare, al variare del parametro reale r, il carattere della serie:

f(r):"1=,

oo1f (sen2x)" senin:l

schema risolutivo

funzione

La funzione definita nell'insieme ] - oo, -1[U[1, **[;/(1) : 0, f (r) ha segno positivo per u ) 1 e negativo per r,<

-1.Si ha poi:

"Ii- @) : -*, ,If- f @) : **,"I%/(") : --.di trolru subito che lim ry :1 e razion alizzando si trova poic_*oo fr :,ti+ @)-" - -1, da cui segue che"la retta di equazione A: r-7t++oo asintoto obliquo a destra per il grafico della funzione. Con calcoli

analoghi si trova che la stessa retta anche asintoto obliquo a sinis-tra. La posizione dell'asitonto rispetto al grafico si trova risolvendola disequazione elementare (r) > r

-1. Si trova che per r > Iil grafico della funzione sta sopra I'asintoto mentre per r ( -1 sta

sotto.

f'(r) - 12+r_ r(r+I)'\f#da cui si deduce che: f'(r) : 0 per r

--

J# ( notare che ilpunto * : of non rientra nel campo di esistenz a); f' (") > 0 perr

l -

oo, $6[n]1, +oo[; f'(r) < 0 per r ]J#, -1[.Il calcolo della derivata seconda fornisce, dopo alcune semplifi-

cazioni, I'espressione

r-2f" (r) : (r+I)2(r2

-I)il cui segno dipende solo da quello del numeratore.

integrale

Si ha che :

f -----:a=s f -:

-drJrWor:JrO_ry6zper cui dall'applicazone del criterio del confronto con la funzionecampione fr r"gne che I'integrale esiste finito. Effettuando Iasostituzione l

- 3: I'integrale viene trasformato nell' integrale:

^fr 1 r r'Jo G+rrydt:;+ i

serieOsserviamo innanzi tutto che senf (per, -* *) un infinitesimo

dello stesso ordine di f , Ouindi per tutti i numeri r: lktr,k eZ '

n-V;TT

{, -"fl= YY; ' 5i -.-"-"

\-.*ila*

4

la serie data ha lo stesso carattere della serie armonica, quindi di-verge.Per i numeri r :,-+kn,k e Z siha una serie a segni alterniche verifica le ipotesi del teorema di Leibnitz. In particolare, la de-cresceRza segue dal fatto che 0 < : < I < i e la funzione seno crescente in lo, i) quindi senfr < t"n|. zPer tutti gli altri valori di r si ha lsenxl < 1 e la serie data risulta as-solutamente convergente corne si pu verificare applicando il criteriodel rapporto o del confrOnto asintotico alla serie dei valori assoluti.

Facolt di Ingegneria - Anno Accademico f}L}lllProva scritta di Analisi Matematica I

Coisi di Studio in Ing. Industriale e Ing. Elettronica15 febbraio 2011 -

1. Studiare il carattere della serie

S(*,,;.h)"t_lacos-;+ r;ltl=l \ v'-/

al variare del partametro reale r.

2. Si definisca, per ogni r e [],"],f (r) :: arctan(l

- llogrl)1) Dire, motivando la risposta, in quali punti , e]|,e[ la funzione / non derivabile.2) Thovare gli estremi assoluti di /.3) Provare che la restrizione di / all'intervallo [:, 1] invertibiie determinarne la funzioneinversa.

3. Dire se esiste finito ed eventualmente calcolare il seguente integrale generalizzato:

cos rt

.a@1o aq,ui. o"tur.riu.2s

- np- & tr.. drI&L nhdill- r.

\tt,. = (+ eo* ! * frJ_+ g -"

*) *.*'?.n, .oo"%. *, - -Ecerrr$ ** +eoNV, ?ER $ +zk"n< x< .$ +zhn ) Dit- Pos-

+-+hn

t=QqMrtdt-- erna-dx

dt=z$Ag

=zf t .- r H3+r r$='1'[#* -+#14= :[*t'**'r- Jffirdsl=c*)H3+|=(g+|)(.6,.g+t);fu=+"-ffiiA(tLg+t)+(g+l)Csx*C)*!; A+8 =o I B=-A 1 C'= z7:f-A+B+t=o {e=t-A { B=_ttrtA*e=.r l-ro*,=o lo=,,ru(*l=thglg+rl_+J-'ffidg=3bglx+rl-+n'qC5rg+t)+G.*\ffi+*

-

,r 5. (v+r)2 + 4.xd,orr t$;n *.- T --A gz-g +l ' r/T \n

I--..*+'

Prova scritta di Analisi Matematica I

I d,i,cernbre 2010Prof S. Marano

Esercizio 1Determinare I'insieme di tutti gli c e R per cui la serie

+D"^@' - l, -LD"' ! !n:7

convergente e/o assolutamente convergente.

Esercizio 2Studiare Ia funzione

'fl(log lrlJ,,determinand.one dominio, segno, limiti agli estremi del dominio, monotonia,massimi e minimi locali e/o globali e punti di flesso. Yacciarne infine un graficoqualitativo.

Esercizio 3Dire se esiste finito il seguente integrale improprio, ed in caso a,ffermativo cal-colarlo:

f+* 2xlogaJ, @rzYar'

71 _ .-:

Prova scritta di Analisi Matematica I

I dicembrc 2010Prof S. Marano

,:".

Esercizio ISoluzionePosto z : 2

- lr - 11, calcolia,mo il raggio di convergenza di*m

2"""'L'inverso dato dal criterio della radice

lim (e')* : lgo"* = eo : 1.Per quel che riguarda gli estremi, la serie non convergente per z : *.l, inquanto il termine generico non infinitcimo. La serie quindi a,ssolutamenteconvergente solo per lrl

F'r,q-''

-

lhr-rr- /'(o); quindi r - 1 un punto di minimo locale. Per studiaxe i puntidi flesso, calcoliamo la derivata seconda

.I,|@):!(ros"y-'lr1 _2nrrosr)-nrs! _z(tosr)-rts (, _ "h)Studiando il segno della derivata seconda, si ottiene che

' f" < 0

\ ^-{?rFf.

t';-"'

Facolt di Ingegneria - Anno Accademico p010-11Prova scritta in itinere di Analisi Matematica I

Corsi di Studio in Ing. Civile e Ambientale e in Ing. Industriale- 4 febbraio 2011 -

1. Dire se esiste finito f integrale improprio

2. Dire se esiste finito ed eventualmnte calcolare il seguente integrale generalizzato:

l,** g#-a'

[''' Lor.Jo JL-2x3. Calcolare limite

rn:#Y1: Stnai** il carraltere della segue.nte $erie:

f)+e'"\.L-2nzyg'rr,: I

5. Studiare il carattere della serie+09

If t - logr)',n:L

al variare del parametro reale r ) 0. Per i valori di r per cui la serie converge, determinarnela somma. ' ;, ." . l

6. Calcolare la primitiva F(r) della funzionef @),-- sin2rcos3r, r Ft,

tale che F(0) : 1.

o alz x+v;

Fulrn L l

t+3fi' t + r/rJc = ,e,wi

a-D+mV+tft=4uztlT

rt+ze,og( = lwit(-+Do l+zangx/* -4

{= rlz rt= {" J + sonr {i^hrnb&.

ilztl I $J{rtb rd" ,nr,h'oq^m. cos-e. | + a*-o V l-2)r

{_ &?(>o ec

= J *nfru

"s:q, d,rt - J o.*u x can),r- dr = {!L -FCQ= ttnOl::

-

as,vrsz,- c r F(o) =

e =

{--3 ---E_-t- )

Xqfrt" 1" =>bg c={. *tG)=ry_ o*$r*0.

Facolta cli Ingegneria - Anno accademico 2010-11Prova scritta cli Analisi Matematica I

Corsi di Studio in Ing. Eleltronica e Ing. Industriale- 18 luglio 2011 -

1. Stucliare il carattere

-+i-.'r+-'

Facolt di Ingegneria - Anno.Accademico 20t0-ttProva scritta in itinere di Analisi Matematica I

Corso di Studio in Ingegneria Industriale- 17 dicembre 2010 -

1. Risolvere, nell'insieme dei numeri complessi, le seguenti equazioni:

22 -

(2+i,)z+3- 3:0; zz -

z2 +22:4.

2. Studiare la successione definita per ricorrenza

Iat: l,an*L: 2-an

3. Calcolare il seguente limite:

sinr -

cosrlimr-+r /4 sin4r

4. Data la funzione/(r) :- min{r, ,uL/(L-t)Y,

determinarne:a) I'insieme di definizione, classificando gli eventuali punti di discontinuit;b) gli asintoti;c) gli intervalli di crescenza e decrescenza, nonch gli eventuali punti di estremo relativo;d) gli estremi assoluti.Dire infine se la restrizione di / alf intervallo ]1, +oo[ invertibile e, in caso affermativo,trovare D-L(2/e).

4J sz -

(r+{) a + gt'-,3 =e J A =- {z+d )t- t" (+r' .-3}, =- q + + i++';- *:erra z = 4 E -B i- .- -

r (orl { co:9= ts/t+t can9= _t/rr; --

[ -, t5-.31 = /15]- 8' (eer$ + r'4(Mr] ) = r+(eor,9 a rJ cun$-)

wo --Vltiq+-+ r- twr f \ = Vi7 f-tr$. + it ' L

'/t \v\= frf-,... +r/ \{iT

II

F.I

:1

u=, z+t o.-------L_

3 l!_< 8/z 1 n

:-- 2it-h-+t'48--z-\--

tj *Itd+a,a-t- Pavuc,.ur.o 3=G+iro + (cr+r.b)tq-ib)-Cc,.+Cb)2+ z(u*b)=l* )'rl::

"* -F'+- zq.ht rzo. +zbcsh 'i Cta+ rbt) +t-zqb+zb) r =i. i (q + o*) + (*ob+b) t= r

I o+h'=2 i q+ br =a 1 o=2I ^,-.* 1 '7 [b=o L" @[-oh-Fb=c ltrql-c.1=o + eog'; /--7th{+'l'1:{*'o \ I,o={ e

t) L; --P.,'.i".1" ",'

F.

Facolt di Ingegneria - Anno accademico 2010-11Prova scritta di Analisi Matematica I

Corsi di Studio in Ingegneria Civile ed Elettronica- 2? aprile 2011 (appello per Studenti f.c. o rip.) -

1. Studiare il carattere della serie

al variare del parametro reale r.

E ('*' '.*)2. Studiare la funzione

f (n) :: 12 - llogslfre tracciarne il grafico.

3. Calcolare la primitiva F(r) della funzionef@)::r*logiH#

tale che F(0) :112.

r

Y.r'*{1c. ,

I

: -..

:

(b)L'estremo superiore' *m mnf,re quello inferiore

min{/(0-),/(1)} : min{l - #r,r6ir + ilr* r - a

La funzione gron ha guindi nei minimo ne.massimo assoluti, inquanto Ron a"ssume mai il valore 1

- ft nel suo dominio didefinizione.(.)

La derivata seconda

"(r)::

('tr4& + $)(1+ u2) - zr,(*{Tfi - "/2)'| -. |, ' ,{(1 + rr)?

x2 +2r,fZx\flT7 +L+2\n' (I+r2)s/2,,, t:

l

chiaro che f"(n) 2 0 per'r > 0. Si potrebbe, con un calcolomolto lungo, determinare il segno di /" per x < 0. Ttrttaviqpossiamo osserva,re che il numeratore una frrnziohe razionaldi,della r, continua e soddisfacente

n'+2'f2r\TF + 1+ 2fr1*:o: 1* 2{l > o,,IT- 12 + 2t/1r\trT7+ 1 + 2rt : -o..

Quindi per il teorema del valor medio ci sar almeno un puntodi flessa : !

Facolt di Ingegneria - Anno Accademico 2010-ttProva scritta di Analisi Matematica I

Corso di Studio in Ingegneria Civile e Ambientale- 15 febbraio 2011 -

1. Studiare il carattere delle serie

al variare del parametro reale r.

2. Studiare la funzione

e tracciarne il grafico.

{I 1*i"1",r2..)nk@rTarcsin vG

- r'z

3. Dire se esiste finito ed eventualmente calcolare I'integrale improprion*ooLB.L-a2 4*.

Interpretare geometricamente rr rr""lt"*" ottenuto.

Facolt di Ingegneria - Anno Accademico 900$10Prova scritta di Analisi Matematica I

Corso di Studio in Ingegneria Civile (Pi'Z)- 10 settembre 2010 -

1. Studiare il carattere della serie*oo ^2Ft'rt

' l-' Znz* r:n:1.

al va,riare del parametro reale r.

2. Tlovare gli eventuali estremi assoluti della funzione

i 3. Studiare ia funzionev

e tracciarne il grafico.

f (n):- f,'.' ,ftior, r e [-1,1].loslt-lr'- r

--

f-- -I-

,__

l

lirLt j i {ne'l*

rll-i

_-L_

i

ti-l- t-li

i

I

I

i

l

1-fiit- t-L+'-ttl-iil

-.11 _l_

-trLl_llJ i:

-q{ -l--LL-' 1--t--l-*lLrii,+ ]iLii;+l_[II i .]-_.t___L

_l_i _l- t_.-etCt rl I -Lliit'-r l- -T]-t-i-fflIr__1_1 1-l -l-,--L Ililil-. i---i -_t

'i

l

.i,l

4f6,e ,r* 1,

4g

Facolt di Ingegneria - Anno Accademico 2009-2010Prova scritta di Analisi Matematica I

Corso di Studio in Ingegneria Civile (tvI-Z)- 29 febbraio 2010 -

(1) Studiare al variare del parametro reale r il carattere della serie$ (arctanr)2,+r) , ---:-:-;::- .k

" +1"s"

(2) (a) Calcolare f integrale indefinitof r+Jffi ,

J \/I*r- 1(b) Dire se esiste finito, ed in caso affermativo calcolarlo, I'in-

tegrale/t t+ \n+r ,

Jo fr-+*-to'(3) (a) Studiare la funzionef@):1

"2ntoslal..senza sfruttare la derivata seconda e tracciarne un gra,ficoapprossimativo.

(b) Dire se la funzione ha massimo e/o minimo assoluti nel suodominio di definizione ed eventualmente ealcolarli.

(c) Dire quanti punti di flesso ha la funzione.

Facolt di Ingegneria - Anno Accademico 2009-2010Prova scritta di Analisi Matematica I

Corso di Studio in Ingegneria Civile (M-Z)- 29 febbraio 2010 -

(1) Studiare al variare del parametro reale r il carattere della serie{l (arctan r)2n+t2- n +Iogn

Soluzione: Raccogliamo un fattore arctan r e riscriviamo laserte come

{3 (arctan r)zn+rz--t n *los.nn:2

: arctanu $ ((arctanr)2)"4 n *Iognn:2*oo

^,n: -/ I "+Irg"n:2

dove si posto 1 : (arctanr)2. Essendo la serie a terminipositivi, possiamo applicare il criterio del rapporto:

,. 'fn*r nllogn ,. /- 1\ 11lscllim' , " :^.,liml1r_l__________13_-^..u-*oo'y' n-tI-tlog(n*1) "?*;\ n) t+qH!

I

che fornisce convergenza per 0 < 7 < 1 e divergenza dellaserieper 1 > | (siricordichel > 0). Perl:1 laserieasintoticamente equivalente alla serie armonica:

1

limn++oo r n++oon+Iogn z++oo1++i1

"a a quioi divergente. ora0

Calcoliamo qlest,ultimo integrale, ponendo ,fr + r : t, r :t' -

I, d,r :2td,t:

lP*:21fi,.,:zl;*f1a,:2tiIr

-

1 lr-11--' J t-r t+Ldt:2t]-tosifr

ed in definitivaf 1

-t- ^Ft-J ffiar : 2log lzl + r + 4,,nT;* 2log lffi|;l, "b) Dire se esiste finito, ed in caso affermativo calcolarro, l,inte.grale

[,r!rn*,0,Jo t/7+r-1**'soluzione: L'integranda sempre positiva, tuttavia l,in-tegrale non finito, in quanto |integrandu a *irrtoticamente

equivalente, (p", r -

0), ar+ /T4r t+r/Taa 2ffi-:---;-=;

e quindi l,integrale +m.(3) ") Studiare la funzione

f (") - 1- "2,,toslal.

senza sfruttare la derivata second.a e tracciarne un grafico ap-prossimativo.Soluzione: Il dominio della funzione , 10. Il segno

1-"2"tosl'l >0 0,lel 1

e quindi (") >0 se e solo se 0 < r( 1 o r ( _1. I iimiti ailafronitera sonolim L-e2'loe''|

- -oor lim r-.e2atoelrl -

1, lim. r_ezrtoglrl _ 0+,+*OO rr+_& C+0*e quindi a

-oo c' un asintoto orizzontare e in 0 una disconti-nuit eliminabile. La derivata

f,(r) : _"2rtod,t12loS t"t + 2]lil cui segno

f'(r)>0

3Quindi la funzione crescente i" [-],0) U (0, ]] e decrescentealtrimenti, presentando un minimo lcare i" -1 ed un massi-

mo locale in ]. Un grafico approssimativo della funzione ilseguente:

b) Dire se la funzione ha massimo e/o minimo assoruti nelsuo dominio di definizione ed eventualmente carcolarli.

soluzione: La funzione non ha minimo assoluto essendo nonlimitata inferiormente. Essendo prorungabile con continuit atutto lR, il massimo assoluto, se presente, d.eve essere assunto oil " : 0 (unico punto di non diffrenziabilit di y;, o in z-: l.Il punto r : 0 escluso in quanto la funzione "(;";;

" O i,

z : 0) ha un cambio di segno- Si hattll:t-e-?

i' '-c

Effqttuiamo un .confronto grafico fta g(u) =,

2log lrl e h(r) :-Z - *. La prima funzione decrmcente nel semias." ,r"gutirro,mentre la seconda crescente. Entrambe sono crescenti nelsemiasse positivo. Si ottiene ia figura seguente:

C' quindi un unico cambio di segno nel semiasse negativo perIa derivata seconda. Per quel che riguarda il sernia;ss positivooccorre stabilire se vale g(e) < (o) sempre.,Si ha, per r > 0,

g'(r)-h'(r):?-1 -o :r rz- -2e quindig-h ha un unico minimo globale (nel serniasse positivo)per u: j, dove si ha

s) - nt*l :.** * 4 > o

*_ff

-z *f

Facolt di Ingegneria - Anno Accademico g00g_10

Prova scritta di Analisi Matematca ICorso di Studio in Ingegneria Civile (M-Z)

- 28 maggio 2010 _

1. Studiare il carattere delle serie

:*('**)""al variare del parametro reale r

lR+ \ {"}.. 2. Studiare la funzione

ar.tun - l"llr_lr_1lle tracciarne il grafico.

3. Calcolare il seguente integrale

frI1 --:d.r.J -t/z 1/L + nlrl

\

/Facolt di Inlgegneria - Anno Accade,n-ico,200$10Prova scritta di Analisi Matematica I

" ' 'Corsordi Studio in Ingegneria Civile (Pi-Z)' 'r ' ,. , :

- 30 settembre 2010 -

L

I

,ll

1-

l

.-. '"?l\

Facolt di Ingegneria - Anno Accademico ?009-10Prova scritta di Analisi Matematica f

Corso di Studio in Ingegneria Civile (pi-Z)- 25 giugno 2010 -

1.. Studiare iI carattere delle serie*oo ,S n-

-r,7=, (n + 1)r/n5 + 1

al variare del parametro reale non ngativo r.

2. Studiare la funzioneu@a1,y'-3r

e tracciarne il grafico.

3. Dire se esiste finito ed eventualmente calcolare il seguente integrale improprio:

r+- 1 .LI - qnnlo,il,l*r -i arctari -

dr .Jt fr" fr

r) ar=o => Aueo\,^,'. { fto, FLovn4l,F,zcxn- Buhp-0t>o r off. ,8, q.e*U*tb-

lg*r, = folu Jz , rc,au Iey1 Cvr+z) \6-+,FT l-=.('-l.l-t +,E r-+2(. Dwrrrqurr?Lu vz u+z Y(n+l]s+t\ t.lL 1l:7 ,Xxrr d,ttu pca. 1 or,= 4 9 uq1 'tinp

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