IL NUMERO e

Il numero e . o numero di Nepero, non è molto noto al di fuori dell’ambiente matematico. Eppure è un numero che gioca un ruolo fondamentale in moltissime applicazioni,

Il numero e  può essere introdotto come limite della successione sn=(1+1/n)n quando n tende all’infinito .

In pratica la sua introduzione è conseguenza di un ‘osservazione apparentemente banale , dovuta al matematico inglese John Napier (1550-1617), italianizzato Nepero, considerato l’inventore dei logaritmi, :studiando le progressioni geometriche( in pratica le potenze intere di un dato numero) osservò che i vari termini non si distanziano molto tra di loro se la base è vicina ad 1 (1+1/n)

I suoi valori approssimati possono essere memorizzati utilizzando una filastrocca, tra quelle premiate in un concorso bandito dalla rivista Sapere nel 1935

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ai

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ai

modesti

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ai

modesti

o

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ai

modesti

o

vanitosi

2

 

 

 

 

 

 

 

 

ai

modesti

o

vanitosi

ai

8

 

 

 

 

 

 

 

ai

modesti

o

vanitosi

ai

violenti

1

 

 

 

 

 

 

ai

modesti

o

vanitosi

ai

violenti

o

8

 

 

 

 

 

ai

modesti

o

vanitosi

ai

violenti

o

timorosi

2

 

 

 

 

ai

modesti

o

vanitosi

ai

violenti

o

timorosi

do

7

 

 

 

ai

modesti

o

vanitosi

ai

violenti

o

timorosi

do

cantando

4

 

 

ai

modesti

o

vanitosi

ai

violenti

o

timorosi

do

cantando

gaio

5

 

ai

modesti

o

vanitosi

ai

violenti

o

timorosi

do

cantando

gaio

ritmo

9

ai

modesti

o

vanitosi

ai

violenti

o

timorosi

do

cantando

gaio

ritmo

logaritmo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e=

2,718281827459…………..

 

 

 

 

 

 

 

GENESI DEL NUMERO e ( un esempio)

Immaginiamo che una Banca riesca a convincere Paperon de’ Paperoni ad investire una bella somma , pari ad 1 milione di dollari , promettendogli di raddoppiare ogni anno il suo capitale. Alla fine di ogni anno, quale sarebbe il valore della somma disponibile?

Indichiamo con M, quello che si chiama il montante, cioè il capitale iniziale più gli interessi, maturati in un certo numero a di anni.In tabella:

Anni

Capitale

0

1

1

2

2

4

3

8

4

16

5

32

6

64

Immaginiamo ora che il il fortunato papero ponga un’ulteriore condizione al Direttore di Banca: il calcolo del Montante deve avvenire avvenga non più ogni anno, mese per mese..

Qual è la ragione di una simile richiesta?

Se nella prima ipotesi il tasso annuale era del 100%, ovvero uguale ad 1, il tasso mensile dovrà uguale a 1/12. Pertanto dopo un mese il Montante sarà 1 ( 1 + 1/12), dopo due mesi (1 + 1/12)2. Dopo un anno non avremmo quindi 2 milioni di dollari , come avevamo visto all’inizio, ma1 000 000 x (1 + 1/12)12 = 2 620 000

La determinazione della formula generale, per quella che si chiama capitalizzazione composta e che si trova su qualsiasi libro di Matematica Finanziaria, può aiutarci a capire meglio il problema.Se calcoliamo il montante per un anno, al tasso annuo i (nel nostro esempio 100%) avremo

M = C(1 + i)

Se calcoliamo invece il montante per un anno, ma suddividendo l’anno in due semestri e aggiungiamo l’interesse, calcolato dopo i primi sei mesi, al capitale iniziale, avremo il nuovo montante

M = C(1 + i/2)2

Infatti, per sei mesi, il tasso di interesse è i/2 (nell’esempio precedente sarebbe il 50%). Quindi il montante dopo i primi sei mesi è

M1 = C + C i/2 = C ( 1 + i/2)

Ed è su questo che dobbiamo calcolare il nuovo montante per i successivi sei mesi:

M = M1 + M1 i/2 = M1 (1 + i/2) = C ( 1 + i/2)(1 + i/2) = C(1 + i/2)2

Allo stesso modo, se suddividiamo l’anno in tre parti, e l’interesse maturato nel primo quadrimestre lo aggiungiamo al capitale iniziale per produrre, insieme con esso, il nuovo interesse nel quadrimestre successivo e seguiamo ancora questo procedimento per l’ultimo quadrimestre, arriviamo alla formula

M = C(1 + i/3)3

Se suddividiamo il calcolo, in generale, per un intervallo di tempo n, avremo:

M = C(1 + i/n)n

Nel nostro esempio precedente, che ora riprendiamo, avevamo i = 1.

Calcoliamo, a questo punto, l’interesse composto non mensilmente ma quotidianamente . In un anno avremo il Montante composto

M = 1 000 000 x (1 + 1/365)365 = 2 714 567 dollari

Immaginiamo ancora che l’interesse composto venga calcolato ad ogni istante , il che equivale a dire che suddividiamo l’anno in un numero di intervalli tendente all’infinito.

Contrariamente a quello che si potrebbe ingenuamente pensare, non avremo un montante infinito. Ma il limite di (1 + 1/n)n, con n molto grande, è ancora una somma ragionevole:

lim di (1 + 1/n)n = 2,718281828459045235360287… = e

Nel nostro esempio, avremo quindi, all’incirca, la somma di 2 718 282 dollari Ed ecco comparire il numero e. Con questo nuovo, ideale sistema bancario, la tabella del fortunato Paperone diventa:

Anni

0

1

2

3

4

5

Capitale

1

e

e2

e3

e4

e5

Ovviamente si può calcolare per curiosità, dopo quanto tempo (in anni) il capitale risulta, invece, raddoppiato, risolvendo l’equazione

1000000*et = 2000000 → et = 2→ t = ln 2 = 0,693 … (circa 8 mesi)

Questo intervallo di tempo prende il nome di tempo di raddoppio T2, nel senso che la somma raddoppia ogni volta che sia trascorso un tempo pari a T2

Anni

0

0,693

1,386

2,079

2,773

3,466

Capitale

1

2

4

8

16

32

FUNZIONI ESPONENZIALI

La Capitalizzazione composta è un esempio di crescita esponenziale, caratterizzata dal fatto che ad ogni istante, l’accrescimento ∆Y è direttamente proporzionale al valore istantaneo della variabile Y

∆Y / Y =i ovvero ∆Y =i * Y

Se l’accrescimento avviene ad intervalli fissi ,T, la funzione assume la forma Y = Yo(1+i) n dove

Yo è il valore iniziale

I è il tasso di crescita

n è il numero di intervalli pari a T, che sono trascorsi dall’inizio del fenomeno

Se vogliamo esprimere la variabile Y in funzione della variabile t (tempo) dovremo porre k = t/T

Y = Yo(1+i) t/T

La base della funzione esponenziale è quindi il binomio (1+i)

Abbiamo visto ,invece, che se l’accrescimento avviene con continuità, istante per istante, la base della funzione esponenziale si riduce al numero e.

Questa funzione può essere rappresentata , nel modo più generale, nella forma

Y = Yo e kt o anche Y = Yoe t/τ

Yo , come si è già detto, è il valore iniziale ed ha le stesse dimensioni della grandezza Y

I parametri k e τ dipendono dal tipo di fenomeno. In particolare τ, che ha le dimensioni di un tempo, in quanto l’esponente t/ τ deve essere adimensionale, prende il nome di <> o <>

Il suo valore rappresenta il tempo dopo il quale la grandezza y è diventata “e” volte il valore iniziale, come si può verificare assegnando a t il valore τ , nell’equazione della funzione esponenziale.

Poiché risulta più semplice parlare di tempo di raddoppio, possiamo sempre calcolare T2 risolvendo l’equazione

2= e kt oppure 2= e t/τ

Si trova kt = ln 2→ t = ln2 /k oppure

t/ τ = ln2 → t = τ *ln2

ovvero

TEMPO DI RADDOPPIO

T2 = 0,693/ k oppure T2 =0,693 * τ

Grafico di una grandezza che raddoppia a intervalli fissi

Grafico di una grandezza che cresce esponenzialmente con continuità secondo la legge y =ex

I segmenti contrassegnati rappresentano il tempo di raddoppio ( circa 0,69)

CAMBIAMENTO DI BASE

Riprendiamo le due tabelle che rappresentavano la somma capitalizzata da zio Paperone

Anni

0

1

2

3

4

5

Capitale

1

e

e2

e3

e4

e5

Allo scadere di ogni anno

Anni

0

0,693

1,386

2,079

2,773

3,466

Capitale

1

2

4

8

16

32

allo scadere di un <> T2 = 0,693 anni

Se la variabile tempo viene misurata in <> la seconda tabella diventa

n

0

1

2

3

4

5

Capitale

1

2

4

8

16

32

Se le due tabelle rappresentassero i risultati sperimentali di un’indagine su un fenomeno ancora sconosciuto, quale sarebbe la conclusione dello sperimentatore ?

A) Sicuramente il fenomeno presenta un accrescimento esponenziale in quanto l’incremento ∆Y , calcolato ad intervalli fissi della variabile tempo, è direttamente proporzionale ad Y

B) Il tasso di crescita non è lo stesso nei due casi, in quanto l’intervallo di tempo considerato è diverso

∆Y/Y = ( e -1) ogni anno nella prima tabella

∆Y/Y = (2-1) =1 ogni 0,693 anni nella seconda tabella

C) La legge esponenziale che descrive il fenomeno è…..?

Come si può osservare si può scegliere indifferentemente la funzione

Y = et oppure la funzione

Y = 2 t/T2

(dove il tempo è misurato in anni ,o eventualmente in altra unità di misura)

Come si può verifica dai valori ottenuti con un foglio elettronico

t

y= e^t

y=2^(t/T2)

0

1

1

1

2,718282

2,718282

2

7,389056

7,389056

3

20,08554

20,08554

4

54,59815

54,59815

5

148,4132

148,4132

Se poi lo sperimentatore non si accorgesse che la grandezza varia con continuità, ma si limitasse a rilevarne i valori ad intervalli di tempo fissi, pari a T2, compilerebbe la terza tabella e concluderebbe che la grandezza Y varia secondo la legge 2n

Finora abbiamo confrontato una crescita esponenziale continua con una crescita che consiste nel raddoppiare il valore istantaneo , a intervalli regolari di tempo.

Naturalmente le stesse considerazioni possono essere ripetute se calcolassimo per la grandezza in esame un <> o un tempo di <> e così via.

Un fenomeno esponenziale può essere sempre ricondotto alle potenze intere di una data base, scegliendo opportunamente gli intervalli in cui viene osservato.

CONCLUSIONE

· I fenomeni esponenziali sono caratterizzati dal fatto che l’incremento è sempre proporzionale al valore istantaneo

· Il tasso di crescita dipende dall’intervallo di tempo considerato

· La scelta della base della funzione esponenziale è del tutto arbitraria, ma , nei casi in cui la grandezza varia con continuità,si preferisce la base <> perché lo studio della funzione ex si dimostra più semplice nell’ambito dell’Analisi Matematica.

· Si può sempre effettuare un cambiamento di base confrontando le due equazioni

e kt = a ht→ kt = h t ln a→ k= h ln a → h = k/ln a

Un fenomeno esponenziale espresso in base e y = ekt diventa y = a k t/ ln a espresso in base a

La relazione tra le due costanti di tempo è invece T = τ ln a

Esempi

e0,5 t = 2 0,5 t/ln2 = 3 0,5 /ln 3 ovvero

tempo caratteristico τ=2

tempo di raddoppio T2 = 2 ln2

tempo di triplicazione T3 = 2 ln3

FENOMENI ESPONENZIALI

Finora abbiamo parlato di accrescimento esponenziale, per analogia con l’esempio della capitalizzazione composta, ma si può ipotizzare ce il tasso di variazione sia negativo e in tal caso ottenere una funzione esponenziale decrescente.

Un fenomeno di questo tipo prende il nome di diminuzione o decadimento esponenziale

Y = Yo e –k t = Yo e –t/ τ

Se si passa a base 2

Y = 2 -t/T2

In questo caso T2 prende il nome di tempo di dimezzamento , in quanto rappresenta l’intervallo di tempo, trascorso il quale, il valore della grandezza Y risulta dimezzato

Sono esempi di crescita esponenziale

· La capitalizzazione composta

· la crescita di una popolazione di microrganismi

· la produzione di neutroni in una reazione nucleare a catena

Sono esempi di diminuzione esponenziale

· il raffreddamento di un corpo

· la scarica di un condensatore su una resistenza

· il decadimento radioattivo

GRAFICI DI FUNZIONI ESPONENZIALI CRESCENTI

Le ascisse dei punti A, B, C rappresentano i rispettivi tempi di raddoppio

e t/0,5

tempo di raddoppio 0,5* ln 2 = 0,35

e t

tempo di raddoppio ln 2 = 0,69

e t/5

tempo di raddoppio 5* ln 2 = 3,47

GRAFICI DI FUNZIONI ESPONENZIALI DECRESCENTI

Le ascisse dei punti A, B, C rappresentano i rispettivi tempi di raddoppio

e- t/0,5

tempo di dimezzamento 0,5* ln 2 = 0,35

e- t

tempo di dimezzamento ln 2 = 0,69

e -t/5

tempo di dimezzamento 5* ln 2 = 3,47

ESERCITAZIONE CON EXCEL

IL NUMERO e

Effettuando gli opportuni calcoli con il foglio elettronico si può verificare che

= 2,718…

1) Inserire i valori di nella prima colonna , da n=1 fino a n=500

[ immettere :

in A1 l’etichetta n

in A2 il valore 1

in A3 la formula =A2+1

eseguire poi un copia-incolla]

2) Inserire nella seconda colonna la formula(1+1/n)n

[inserire in B2 =(1+1/A2)^A2 e poi eseguire un copia-incolla]

3) Prendere visione del valore approssimato così trovato

4) Visualizzare un grafico dei valori della successione Sn e indicarne alcune caratteristiche:

Si può affermare che il grafico è crescente?_______________________________________

Si può ipotizzare che cresca tendente ad un limite finito o infinito?____________________

FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA

La funzione esponenziale e la funzione logaritmica sono funzioni predefinite in EXCEL

NOME funzione definizione Sintassi

EXP esponenziale in base e EXP(num)

LN logaritmo naturale LN(num)

LOG logaritmo in una specifica base LOG(num;base)

LOG10 logaritmo in base 10 LOG10(num)

L’esponenziale in base diversa può essere ottenuto mediante l’operatore ^

A) Inserire titoli ed etichette nelle prime due righe

Riempire le celle da A3 a A15 con i valori della variabile x , a partire da -3 con passo =0,5

Inserire nella colonna B i valori di e elevato ai numeri della colonna A

Inserire nella colonna C i valori del logaritmo naturali dei numeri della colonna B

Che cosa osservi?

Come te lo spieghi?

Ripeti la prova scegliendo un’altra base per la funzione esponenziale ( e per il logaritmo)

B) Inserire titoli ed etichette nelle prime due righe

Riempire le celle da A3 a A15 con i valori della variabile x , a partire da 1 con passo =0,5

Inserire nella colonna B i valori del logaritmo naturale dei numeri della colonna A

Inserire nella colonna C i valori di elevato ai numeri della colonna B

Che cosa osservi?

Come te lo spieghi?

Ripeti la prova scegliendo un’altra base per il logaritmo ( e per la funzione esponenziale )

CONCLUSIONE

Possiamo affermare che , se a è un numero positivo , diverso da 1,

=_______________________________________

= _________________________________

In quanto _______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

FENOMENI ESPONENZIALI

La tabella seguente riporta la crescita della popolazione mondiale nell’ultimo mezzo secolo( milioni di abitanti per alcune aree geografiche)

1950

1970

1990

2010

Africa

222

362

662

1148

Asia

1378

2102

3313

4240

Europa

393

460

499

516

Nord America

166

226

276

311

Oceania

13

19

26

34

Riporta i valori nel foglio elettronico, costruisci i grafici relativi a ciascuna area geografica.

Quali grafici si avvicinano di più ad un accrescimento esponenziale?

 

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