Compendio de Algebra CV

8/3/2019 Compendio de Algebra CV

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,4 12: -24I I j t

,I~ ,,,

Complnd /o A C G d ~ m / c ode Matlmdt/eelALGEBRA

I1 3 0 0:" 75 -92 y.~ 3

I I, ,,~ 2-2 -6 12

:-4896 , " j I , I, I I,,~1

,3 -6 24 3 4 _2 -13-[2 -1 0 1 ,[3 2 X.1

y

x


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,INDCE

Pagina1.,4~iiiJi .ONJUNTOS NUMERICOS Y LEYES DE EXPONENTES 7

CAPiTULO IIPOLINOMIOS 18

~ Hr jW iiiIC .iiliPRODUCTOS NOTABLES 28

"Riijmlt.,.DIVISION POLINOMIAL 37

~H4iiil'.,.NUMEROS REALES 45

_ai.ll.19MFACTORIZACION DE POLINOMIOS 52

~HCiliit.ilJilNUMEROS COMPLEJOS 62~ UiijiIlJifJili

TEO RIA DE ECUACIONES 77

B1W iiiIR. 87CUACIONES POLINOMIALES DE GRADO SUPERIORCAPiTULO XMATRICES Y DETERMINANTES 101


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PaginaCAPiTULO XISISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 117

CAPiTULO XIISISTEMAS DE ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR Y NO liNEALES 123

CAPiTULO XIIIDESIGUALDADES 130

CA PiTULO XIVINECUACIONES 139

CAPiTULO XVVALOR ABSOLUTO 151

CA PiTULO XVIFUNCIONES 157

CA PiTUL O XVIILOGARITMOS 188

CAPiTU LO XVIIILiMITE DE UNA FUNCION REAL EN UNA VARIABLE REAL 200

CA PiTULO XIXDERIVADA DE UNA FUNCION 209

CAPiTULO XXBINOMIO DE NEWTON 221

CA PiTULO XXISUCESIONES Y SERIES 233


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5. Sean {a;b; clcN tales que 9. Si ax *0 simplifique~+__E._+_c_=4 [(3xtl + (6atl] [2a + xrla+b b+c a+c (xatiHalle el reducido de A) (xa)" B) 6-1 C)xaa+~. b+~ Dlx E)a

a+~ 10 . Si an=3 calculeA) 16 B) 128 C)2 a n' ~ 2a,,)n(7-n')n-Dl1 E) 32 3.3.3 ... 3~

6. Simplifique (n+6) veces(100)3 (21)4 (27)2 A) 1.2 (6)5(15)2 (35)4 B)an C) (n+6)7

A) 1. B) 15 C)21 Dl1. E) 1.2 a nD) 27 E)1

1 1 . Si x'=6; x>O x es par7 . Halle el exponente final de Z en reduzcaI~Z I~Z3 IVZ5 1~

k T T t T l 6_ x + (-x)-{-x _ x-Xx-2-


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Lumbreras Editores

9. Halle el valor numerico de la expresionx2 Z2 y2J(xJ!,z)= -+---yz xy xz

1 1 . Sea P(X)=(2x)lO+(2x)9+(2x)8+ ... (2x)+1PH) _ 1 : .3

cuandox=87, y=222 z=135

A)-3D)1

B)6

1 0 . Halle el valor numerico deS(x) =

Si x + 2 = 34 v ' 2 X , x > aA)aD)-6

B)4

halle P(l)+ 1

12 . Sea f


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P!TULO II Compendia Academlco

Halle el valor numerico del polinomio 23 . Sea f(x) = ax + b

( 100 ) 2 (100 )P(x) = ggX - ggX +1cuando

1 1 1 1 1X=-+-+-+-+ ... +--2 6 12 20 9900

B) _ 10099A)-l Cll

D)O E) 10099

i,Cual sera el valor de m en el polinomioP(2x-1) = (5x-1l'" + (2x+1)'n - 2x+1si la suma de coeficientes y el terminoindependiente de P'(z ) suman24+( % r +2mA)30)4

B)l C)5E)2

Dado f(x) = 2x + 1,xhalle

A) 2500)230

B)200 C)40E) 210

Indique el grado del siguiente polinomio:..L

P(x;y) = xn-2+ 3y n-l+5xy5-nA)2 B)3D)Faltan datos

C)4E)8

n veces,----------"--

halle (a-I)f( ... f(f(f(b))) ... ) + 1b

A)IB) (a-I)nC) anD) an+ 'E) (a=L)

24. l.Para cuantos valores de n la expresi6n~P(x,y) = y n X 5-n es racional entero?

A)4D)2

C)6E)3

B)5

25. Halle m y p para que el polinomiosea de grado 14 y la diferencia de susgrados relativos a x e y sea 4.P(x,y )=4x>n+p+3yp-2 +9xm+p+'yP+4-5X"'+P-lyP+'

A)2;7D) 3; 2

C)5;3E) 5; 2

B) 1; 7

26. Clasifique la expresi6n reducida deA(x)= (x+I)P(x)

P(x)+l

si P(x)= V x ' J x V x 'A)ComplejaB) TrascendenteC) Racional enter aD)Racional fraccionariaE) Irracional

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Diferenda de cuadradosEl producto de dos binomios uno que

presenta la suma de 2 expresiones y elotro la diferencia de las mismasexpresiones es el cuadrado de la primera,menos el cuadrado de la segunda.

plTUlO III Compendlo Academ/co- = ~ ~ ~ ~ ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ' "Es el producto que al adoptar cierta formaicular, evita que se efectue la operacion de

';':tiplicacion escribiendo directamente el.ultado.- principales productos notables son:Trinomio cuadrado perfecto:EI desarrollo de un binomio al

cuadrado nos da el cuadrado del primertermino, mas el doble del primer terminopor el segundo termino, mas el cuadradodel segundo termino.

[ (a + b)2 '" a 2+ 2ab + b2)

Consecuencias:

a 2 + 2a + 1 ;;;(a + ll~------~a 2 - 2a + 1 _ (a - 1)2

. . . . . . ,a 2+b2 = (a + b)2- 2ab J

Identidades de Legendre

entidad de Lagrange

Consecuencias:

( x-y = ( IY + I Y ) ( IX - IY ) ; x E R '; yER' )

(a-b)(a +b)(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)... J... (a 2" + b2") =a 2""_ b2""

Desarrollo de un trinomio al cuadradoAIdesarrollar un trinomio al cuadradose obtiene la suma de cuadrados de lostres terminos, mas el doble de la surna delos productos tornados de dos en dos(Productos binarios),( (a+b+C)2;;;a 2+b2+c2+2(ab+ac+bc) )

Consecuencias:

Multiplicadon de binomios con untermlno en comunsAl multiplicar dos binomios con un

termino en comun se obtiene: el comun alcuadrado, mas el producto de la surna deno comunes por el comun, mas el productode no comunes, es decir:(x+a)(X +b) '" X 2 + (a + b)X~

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Consecuencias: Consecuencias:

A continuacion daremos un resumen de los productos notables basicos y otros productos notablesque se deben de conocer.

( (x + aXx - b);;;x2 + (a - b)x - ab )

[(x-a)(x-b);;; x2-(a+b)x + ab)

Desarrollo de un binom io a l cuboAl desarrollar un binomio al cubo seobtiene: el cubo del primer termino, masel producto del triple del primero alcuadrado por el segundo, mas el productodel primero por el segundo al cuadrado,mas el cubo del segundo termino.

[ (a+b)3 '" a3 + b3 + 3ab(a+b) )

((a_b)3 '" a3 - b3 - 3ab(a-b).)

Suma y difer encia de cubos[(a+bHa2-ab+b2) '" a3 + b3 J((a-b)(a2+ab+b2) ;;; a3 _ b3 )

IPrincipales productos notablesT rin om i o cu ad ra do p er fecto D esarrollo de un tr inom io a l cuadrado

Corolario ldentidades de Legendre* (a+b)2+(a-br' "2(a2+b2) ..... (1)** (a+b)"- (a-bf ,,4ab (2)*** (a-b)" - (a_b)4" 8ab(a2+b2)Identidad de Lagrange

* (ax+byf+(ay-bx)2 = (a2+b2)(x2+y2)D ifer en cia d e cu ad ra dos(a+b)(a-b) " a2 _ b2

32

Desarrollo de un binom io a l cubo(a+b)3 "a3+3a2b+3ab2+b3

'" a3 + b3 + Sabta+b)(a-b)" "a3 _ 3a2b +3ab2 _ b3

e a3- b3- 3ab(a-b)

S um a y difer encia de cubos(a-bxa" - ab +b2) ss a3+b3(a-bxa" + ab-b'') e a3 _ b3


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CApiTULO III

Desarrollo;de un trinomio al cubo

Compendio Academlco

(a+b+d ss a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)3 = ' a3+ b3 + c3+ 3(a + b + c)(ab + be+ cal - 3abc

Producto de multiplicar binomios conun te rm fn os c omun(x + alex ~ b) e x2 + (a + b)x + ab

Tambien:* (x+a)(x+b)(x+c)(ab-bc-ca)r + abc** (x-a)(x-b)(x-c) a x3 - (a+b+c)x2 +(ab-be-care - abc

Identidad trin6mica (Argan'd)

(x2 + X + 1)(x2 - X + 1) = ' x' + x2 + 1(x2 + xy + y2)(X2_ xy + y2) = ' x' + x2y2 + y'

En general:(x 2m + xmyl l + y2n)(x2m _ xl l ly l l+y211) = = x4 m +

x2llly2n + y4n

Halle el valor de x3 - 3x2 + 12x - 163M 3cuando x+3 = 1+-

~A)~ B)OD)1

Identidades adidonalesIdentidad de Gauss** a3 + b3 + c3- 3abc = '(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) (a+b)(b+c)(c+a) + abc = ' (a + b + c)(ab +be + cal

x'+4 e (x2+2x+2)(x2-2x+2)

Igualdades condidonales

Si: a + b + c = 0Se verifican:* a2 + b2 + c2= -2(ab + be + ac)* (ab + be + ca)" = (ab)2 + (be)" + (ca)"* a3 + b3 + c3= 3abc (importante)Ademas:* (a2 + b2 + C2)2 = 2(a4 + b" + c')

2 . Sea y = x-I, indique el valor de(x 3 3)4+4'4-y V" tal que [z, yl c R+(1+3xy)4+/2

A) 1//2D) . f 2

B)O C) 1/2E)1

3 3


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Lumbreras Editores

3 . Si f(x)=ax2 + bx + c es un trinomio8b2cuadrado perfecto, calcule --ac

A)2D)8

B) 32 C)64E)4

4. El equivalente reducido de[Ca+b)2-(a-b)2][(a 2+b2)2_(a 2_b2)2]... [Can+b n)2_Ca n_b n)2] es

n(n+1)A) C4ab) 2B) [4(ab) n;1 r

ntn-c I)C) (4ab) 2D) (4ab)nE) [4Cab)n;1 r

s . Si x es un numero, tal que10x4 + 10x2 + 4 = 3x2 - 6halle el valor de ( x+~) 2

A)~7D)~13

B)1 C) ~10E).2._10

6. Respecto a la condiciona3 + b3 + c3 = 3abc ; (a, b, c) c Rindique el valor de verdad en cad aproposicion:I. Se cumple si a=b=c 1\ a+b+c=fII. Se cumple solo si a-b-o-OIII. Siempre se cumple si a+b+c*O

B)VW C)VVFE)VFF

A)FFFD)FVV

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7 . Dadas las condicionesx = ala + 1) + b(b + 1) + aby = ala -1)+bCb - 1)+ ab , a=bal reducir la expresion x2 _ y 24(a 3_ b3)se obtiene

A)4a B)~ C)a-baD) a+b E)~a-b b

8. Siendo c x = a 2-Cb-c)2 p= b2+c2_a2Cb+c)2-a2' 2bchalle el valor de c x + P + c x PA)4 B)3 ci-tD)1 E)O

9. Si S 2=(X 2+ y2+ Z2+ S)2 - (X + y+ Z)2 C X2+y2+Z2) ,Les equivalente aA)xy+xz+yzB)x+y+zC) 2Cxy+xz+yz)D)xyzE) X 2+y2+Z2

10 . Si m2 + _1_ = 2, hallem2

A) 2/3D)1

B)2 C) 2/6E) 3/2

1 1 . Sea M=(I+X)3 + (l-X)3 - 6x2 + 8N = (1+x)3 - (1-x)3 - 2x3

halle MNA) 1D) 60

B) 60x2" C) 60xE) 8


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Compendia Academico

~ +.l+ t: . = 0 , xyz * 0y z x.cule

A 0D 1

B)xyz ci-tE) _1_

xyz

Halle el valor dea+b)3_(a-b)3 si b=W,3, a={Q,23a -2 + b-2

AIO,12D)O,6

B) 1,2 C) 0,06E) 0,02

Siendo a +b = m, ab = n, el equivalentede (a+b)4- (a-b)' esA) 4n(2m2-n)B) Sn(2m2-n)C)Sn(m2-2n)D) n(m2-2n)E) 4n(m2-2n)

s . Simplifique( m+2-~r +( m-2-~r -~

m2[( m+~ l r (m- ~ l r lA)mD) 1/2

6. Halle el equivalente de4(a - b)(a - c) +(b -dsi 2a = b-e-dA)i.:2D) 2d2

B) 2d23

C)2E)l

b217 . Si x=I,5 a + 0,5 -aa2y=I,5 b + 0,5 -b

ab=32calcule el valor de (X+y)213_(x-y )213

A)64 B)2 C)4D) 16 E) 32

18. Si a +..!.= 5ahalle E= (a5+a3){a3+a)4a6

A)2D)5

B)1 C) 5/2E) 2/5

1 9 . Reduzca[(x+2 P+(x-2P-(x+2 )(x-2 )-13]

(x+3 )(x-3 )+SA)-13D)x

B) (x+2) C)3E)1

20 . Si a" + b3 + c3= 3(a+b)(a+c)(b+c) =-1halle el valor de a-2+b-2+c-2(a-1+b-1+c-1}2

A)-2D)1

B)-1 C)3E)2

21 . Sean {x,y} c J R , tales que cumple1 1 4--+---=--3x-2y 2x+3y 5x+y

halle el valor nurnerico de x + 2y2x-y

A) (7/9r1D) 514

B) 5/3 C) 7/6E) (917)-1

35


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Lumbreras Editores

22 . Si i+x =-2 es el valor dex

B) 1+/52A)48 C)8D)54 E) 63

23 . La expresi6nm(m'-n)(m2-mn+n2) n(m'+n ')(m 2+mn+n2)

n(m-n) mtm-en)es equivalente a

24. Simplifique

(3m+_1 )2_(2m __!_)2+_3 +32m m 4m2

A)3 B) 5m2 C)lD)5 E)2m

25. Simplifique[(x2+2{2J2+ (x 2-2{2J2r[(x2+1)(x2+8)-9x 2j2

A)3x B)4 C)3D) (x+3) E) (x+3t'

26. Si se cumple quea+b+c= ~(a2+V+c2)= ~(a3+b3+c3)=47 17halle abc

B)3 C) 16E)8

A)-6D)4

36

27 . Si a=/2+/3--1-/2+/3

b=V3+/8 __ 1_b+/8

halle a2+b2

A) 10 B) {2+/3 C) . f 6D) 14 E)6

28. Halle el valor numerico de(a+b+c)(a+b+c+l)+(a+b-c)(a+b-c+ 1)+(a-b-cua-b-c- l)+(a-b+clCa-b+c+ 1)cuando a2+b2 +c2 = 2

A)6 B)16 C)8D)2 E)4

29. Si x+y = 3r x Y , halle xy ( _ . ! _ + _ . ! _ )x2 y2A)7D) x+y

2

C)3E)l

B)xy

30 . Reduzca(4a-6 )(2-al+2(a-3)( 1-a)-2(2-a)(a-1)

-(2a-3 )2-(a-1 )2_(a_2)2

A)2 B l O C)-2D) 1 E)-1

31 . Calcule el valor dey 6 +z 6 +x 2(X4_~ 2Z 2)

x4(3yz_x2)+y3z3si z-'(x+y) =-1

A) 1/2 B)-2 C)lD)2 ~ E) -112


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vision POi l inom;al"D(x)=d(x).q(x)+R(x)IIdentidad fundamental de la divisi6n

CAP iTULO IV

etivos:1 l izar el presen te cap itu lo . ellec to r esta ra en la capac idad de:~ Iacionar la d iv is ion num erica con la d iv ision po linom ia l.Conocer tecntccs para d iv id ir: M etodo de Horner y regia de Ruff in i .C a lc ula r r es id uo s de las d iv ision es s in n ec esid ad de dividir.

+oduccionEI con jun to numenco mas conoc ido por todos es el de lo s e nte ro s p os itiu os; el cua l se represen ta por Nm e nte c on oc id o es el con jun to Z de todos lo s enteros: lo s positivos. nega tiuos y cero . La m ayoria de su s

_ edades son muy conocidas_E fe ctu ar la o pe ra cio n de d iv ision ha sido una necesidad inevitab le para e i se t h umano . en un p rim e r m om en ta

~ do se d esa rr ollo la a ritm e tic a r ud im e nta ria se e iecuu : la d iv ision en tre numeros en teros para ella se creo e litmo de Euclides y c om o c on se cu en cia de la o pe ra cio n de div is ion nace la teoria de la d ivis ib ilid ad e ntreeros en teros . sin em bargo no so lam en te se pueden d iu id ir numer o s en teros . tam bien podem os d iu id irnomios y en form a ana loga ap licor una teoria de d iv is ib ilid ad e ntre p olin om io s_

ldentidad fundamental de la division (algoritmo de la division)NI06NSean D(x); d(x) dos polinomios no

astantes,Al efectuar D(x) .;- dtx) se obtienen dos

...:llCOS polinomios q(x) y R(x) talesque cumplen

DondeD(x): polinomio dividendod(x)q(x)

polinomio divisorpolinomio cociente

R(x) : polinomio residuo 0 resto .

(D(x) '" d(x) q(x) + R(x) ) ... (*) AdernasR(x) '" 0 v grad [R(x)] < grad [d(x)]


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Lumbreras Editores

Si en ( *l R(xl " se dice que la divisi6n esexacta, luego se tendrfa:

~ -[D(XEd(x) ~ 6 i~(x) e s q(x)~(x) .. J

I i . Si en (*l R(xl"O la divisi6n se dira inexacta,

I.

de aquf:~--~1 D(x)= d(x)q(x) + R(x) 6

Ejemplo:De la siguiente identidad:

x3 + 2 " (x - 1) (x2 + x + 1) + 3Se podria afirmar:Dfz) " x3 + 2d(x) "X -1q(x) " x2 + X + 1R(x) " 3

grad [D] ~ grad [d]- - - - - - - - - - - - - - - -~ 1grad W < grad [d]

o b2A) 2b2D)a+b

B) V a 2_b227 . La diferencia entre la mayor raiz y menor

raiz de la ecuaci6n (2x - 45)2_ (x - 21)2 = 0esA)5D)6

C)3E)4

B)2

28. Halle m+n; si la ecuaci6n cuadratica1024x2 - (rn" - 8)x +n'o = 0; m, n E R +tiene raices simetricas y reciprocasA) 3(/2+1) B) 4(/2-1)D) /2+12

C) 2(/2+1)E) /2-1


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89

"crtaglia ced io . al f in. a t an i ns is te n te s tuegos y tegteso a Venecia . d esde don de se carteo con C ardano sobredesa rro llo s com plem en ta rios . A uxiliado por su d isc ipu io Ferra ri. aqw il con sigu io am pliar las reg las dea. yen 1 545 pub lico su fam osa Ars. M agna . en cuyo prim er cap itu lo d ice 1 0 sig uie nte : "E sc ip io n d el F erro .ia , encontro hace tiem po nuestro cap itu lo verdaderam ente be llo y adm irab le del cuba de la s co sa s igua ies=ao. Ta l a rte . superado a toda hum ana su tile za y a l esp lendor de todo ingen io m orta l. a testigua el va lor

-'en te . yes co sa de tan ta m arav illa que qu ien la ha inven tado puede vanag loria rse de que nad ie Ie supera ra ._ suyo es mi am igo N ico la s Tartag lia . d e B resc ia . qu ien en una dispu ta que so stuvo con Anton io M aria del:isc ip ulo d e E scip ion d el F erro . ta mb ien 10 encontro y m e 10 comumco a m i tuego , s in dern os trc cto n " .,-,.itado por esa s pa labra s sinuo sas. Tartag lia deso iio a C arda no : pero este . deseando quedar a l m argen de=lSpu ta . se en tend io con Ferra ri. el cua l 1 0 envio a aquei desde M ilan . propon iendole una "con trovets iae n lu gar cornodo para los do s y an te ju eces ido neos. so bre G eo me tria . A ritm etic a y to do s la s d is cip lin as

:ependen de estes", declarando esta r d ispuesto a hacer un deposito de dosc ien tos escudos destinados a ltao t y dandole unp la zo de tre in ta d ias para con testarle . L a respuesta no se h izo esperar. N ueve d ias despuesib io Tartag lia acep tando . con la cond ic ion que C ardano tom ara parte de la con tienda .

...fS de u na serie de ca rteo s en tre F erra ri y Tartag lia . este siem pre p id iendo que C ardano fo rm ara parte de estam da : a l fina l acep tando en p tinc ip io e l desa fio mctemdrrco. am bos riua les lIegaron a un acuerdo sobre la s- .c io ne s. e l d ia 24 de ju lio . c itandose para el lO de agosto en la ca ted ra G ia rd ino de lo s reco le to s de M ilan .De esta fam osa po lem ica no conocem os. desgraciadam en te . m as que la s te ie renc ios de uno de lo sm dien tes: Tartag lia . 1 0 que im pide iuzgo rte con im parcia lidad . E s indudab le . pues. que Tartag lia [ue

om reso lv io la ecuccicn de te rcer g rado ta l com o ha lIegado a noso tro s. con abso lu ta independencia del:xIo em p irico que E scip ion de l F erro consigu io en el cuaderno que todavia no se ha encon trado a pesar de:Jacientes y m inucio sa s busquedas de mc t e md t r c o s e h is to riado res : pero com o [ue C ardano qu ien Ie d io a-Dcer y adem as en la tin . que era el id iom a cie tu iiico de la epoca - ha pasado a la n is to tia con el in iu sto_,0 d e F orm ula C arda mic a. neg tu id ose ie a Tartag lia in c lu so la repa rac ion postum a a que tiene indudab le!cho .

E cu acion es P olin om ia les d e gr ado super iorINICI6N

Donde: ao * 0, n E Z 1\ n22

Resoluci6n:Para resolver estas ecuaciones se han

desarrollado una diversidad de tecnicas yartificios, que en su mayoria permiten hallarlos valores aproximados de sus rakes.

En el presente capitulo, bajo ciertascondiciones la resolucion de algunas de estasecuaciones hacen usa de los siguientesteoremas:

Son aquellas ecuaciones polinomiales quereducen a la siguiente forma general:


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TEOREMA IToda ecuaci6n polinomial de coeficientes

reales admite raiz imaginaria (a+br), si y s610si (a-bi) es raiz imaginaria, donde b= o .TEOREMA II

Toda ecuaci6n polinomial de coeficientesracionales tiene rafz (a+/b), si y s610si (a- /b)es rafz, donde a E Q, /b E II

TE OR EM A IIIToda ecuaci6n polinomial de coeficientes

racionales tendra como rakes a: r a +/b,r a - /b, - r a - /b, - r a +/b, si y s610si una deellas esta presente (r a , /b son irracionales).

En seguida analicemos algunasecuaciones polinomiales de grado superior muyimportantes:

E CU AC IO N C UB IC ALlamada tarnbien ecuaci6n polimonial degrado3 cuya forma general es:

Mediante la sustitucion x por ( x - 3 ~ ) sepuede obtener la siguiente ecuaci6n en x

( x 3+px+q=o) ... (a)Para solucionar la ecuaci6n anterior,

90

entonces sus rakes de a seran:

1 /3.W=--+-2 2donde:

EjemploResuelva: x3 - 15 x - 126 = 0Resoluc'ion{ is. = 62x1=5+1=6

x, = 5 ( - ! : . + /3 i ) + 1( - !: . - /3 i )- 2 2 2 2X3 = 5 (-~ - ~ i ) + 1(-~ + ~ i )C.S. = (6 ; - 3 + 2 /3i; - 3 - 2/3i )

E CUAC IO N B IC UADRADADefinicionEs aquella ecuaci6n de cuarto grado qi,

presenta la siguiente forma general:

Ejemplo:a. P(x) = x4-13x2+36 = 0b. [(x) = x4_9x2+8 = 0c. g(x) = 2x4-7x2+7 = 0


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Ejemplo:Forme una ecuaci6n bicuadrada donde dos desus raices son 5 y 2.

-=~~,pi~T~U~L~O~I~X~ ~c~o~lR~p~e~n~d~l=o~A~c~a~d~e

I':"~oremasla bicuadrada en "x":

ax4 + bx2 + c = 0 ; abc * 0"m" Y "n" son dos raices no simetricas,zonces: "


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iTUlO IX

acion 3 ~CQmpendio Ac;adem/c;o

:..orizadala ecuacion, tenemos:(x3 +27) (X3 - 8) =0

x3+27 = 0=> X3 = -27

=>x=-3V !=> Xl = (-3)(1) =-3

X2=(-3 ) (-l.+ .f3 i) = ' i - ' i . f3 i2 2 2 2

=> X = V B . V !=> X = 2. V !=> x, = (2)(1) = 2=>X5= (2) ( -t+~ i)= -1 +.f3 i

=> C.S. = {2; -1+. f3 i ; -1- . f3 i l

Apticacton 4Resuelva: x6-10x3 + 16 = 0

x6-10x3+16=Ox3 -c, i~-8x3~-2

(x3_ 8)(x3-2) = 0X3 = 8 V X3 = 2X = a . ; s V X=~

3Xl = 2 x, = '.j23X 2= 2w Xs = '.j2w

X3 = 2w2 ~2X6= 2wdonde: w= -.!. + .f3 i / i =Fi2 2

PO LIN OM IO R E ciPR OCODefinicion

Dado el polinomio P(x ) no constante y degrado "n" con termino independiente no nulo,diremos que Ptx) es reciproco si y solo si secumple:

P (x) = 2x3 - 7X2 - 7x + 2 P (x) = 6x' + 3 5x3 + 62x2 + 3 5x + 6

Las propiedades que presentan lospolinomios reciprocos nos conducen al estudiode interesantes temas como por ejemplo lasecuaciones reciprocas.

LA E CU AC IO N R EC iPR OC AEs aquella ecuacion cuyos coeficientes de

los terminos equidistantes de los extremos sonde igual valor; presentan la siguiente formageneral:

bxn-1 + cxn-2 + ..... + cx2 + bx + a '" 0donde n E Z /\ n~2

93


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Estas ecuaciones si presentan comosolucion a:m, entonces tambien aceptarancomo soluci6n a: x = _ ! _ , como "m" y " _ ! _ , , sonm mreciprocos y rakes de la ecuaci6n, a estasingularidad se debe el riombre de "Ecuaci6nreciproca".

Para la resoluci6n se debe agrupar losterrninos equidistantes de los extremos,

!:factorizar x 2 (si n es par) para luego realizar elsiguiente cambio de variable:

Para que la resoluci6n sea mas clara, veamoslos dos siguientes casos:

tcuecton reciproca de grado parComo casos particulares podemos indicar

las siguientes ecuacionesax4 +bx3 +ex2 +bx + a = 0ax6 +bx5 +ex4 +dx3 +ex2+bx + a = 0

Aplicacion 5Resolver: 12x4- 4x3_ 4lx2_ 4x +12 = O . .. . (a)

Pix)

= P = x2[12x2 - 4x - 41 - . + ~ ]x} X x2Hacemos :x +.!. =y = x2+ _ . ! . _ =y2_2

X x2En el corchete de (1) :12(y2- 2)-4(y)-41

= 12y2-4y-65= (6y+13)(2y-5)= p(X)=X2[6( x+~) +13)[2(x+~) -5)

94

Luego, en la ecuaci6n (a)

=x2 ( 6x 2 + ~3X + 6 ) ( 2x 2 -:x + 2 ) = 0= (3x+2)(2x+3)(x- 2)(2x-1) = 0= 3x+2=0 v 2x+3=0 v x- 2",,0 v 2x-1=0=X=- ~ v X=- ~ v x=2 v x =.!.322:. C. S. = { - % ; - % ; 2; i }

E cuacion recipro ca d e grado im parComo casos particulares se tienen

ecuaciones de la forma:ax5 +bx4 +ex3+ex2+bx +B = 0ax7 +bx6 +ex5 +dx4+dx3 +ex2 --bx +B = 0

Esta ecuaci6n tiene como soluci6n a:x=l v x=-l, entonces se podra aplicar la regiade Ruffini para tener una ecuaci6n de gradomenor a la propuesta.

Apficaeion 6Resolver 6x5-4lx4+97x3-97x2+4lx-6 = 0

La ecuaci6n se verifica para X=16 -41 97 -97 41 -6

x=l u 6 -35 62 -35 66 -35 62 -35 6 0

=(x-1)(6x4-35x3+62x2-35x+6) = 0[ 35 6](x-1)x2 6x2-35x+62--+- =0x x2

=(X-1)X2 [ s ( x2+ x\) -35( x+';) +62]=0 ...(21Hacemos: x+ - = y =x


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PiTULO IX

-- corchete ~ (2):6(yZ- 2)-35y+62= 6y2-35y+50= (2y-5)(3y-lO)

= (x-l)(2x2-5x+2)(3x2-10x+3) = 0=x-l)(2x-l)(x-2)(3x-l)(x-3) = 0= x-l=O v 2x-l=O v x- 2=0 v 3x-l=0

v x-3=0= x=l v x=.!. v x=2 v x=.!. v x=32 3

Iver:x6 + 28x3 + 27 = 02x4 + 3x3 + 13x2 + 3x + 2 = 02x5 + 3x4 + 5x3 + 5x2 + 3x + 2 = 0

veamos una ecuacion nonomial muy importante.

A CI6N F R AC CIO NA RIAEs aquella que se presenta como la516nde dos polinomios, cuya forma general

e hex)es un polinomios no constante.

Resoluci6n:Para resolver esta ecuacion, se sugiere

seguir, los siguientes pasos:i. Asegurar la existencia de la expresionf(x)--, para 1 0 cual se debe asegurar quehex)

h(x)*O. De aqui se obtiene un conjunto devalores que puede asumir la incognita.

ii. Procurar, en 1 0 posible, transformar lafraccionaria, en una polinomial; cuyaresolucion la conocemos obteniendose unconjunto solucion.

iii. Finalmente el conjunto solucion de laecuacion fraccionaria, es la interseccion delos conjuntos obtenidos en los pasos (i) y(ii).

Observaci6n:La resolucion de las ecuaciones

fraccionarias las realizaremos en el campo delos numros complejos, a menos que se diga 1 0contrario.

Ejemplo:

x2 4Resuelva -- + 5x-2 x-2

Resoluci6n:x2-4 +5 = 0 II x*2x-2

= x+2+5=0 x+7=0= x=-7

c.s. = {-7)95


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I. En la eeuaei6nxS-ax2+bx-e=0

se eumple que una raiz es la opuesta de laotra, lque eondiei6n existe entre a, b yc?

A) e-ab = 0B) a= beC) e2 = abD) c+ab = 0E) b2 = ae

2 . En la eeuaei6n

se tiene que XI.X2.xS=~' donde Xl; X9 ; Xs9 -son raices de la ecuaci6n anterior. Halle n.

A) ..j3iD) 3..j3

B)3 C) 3iE) -3 i

3 . Sea la eeuaei6n polinomial eomplejaP(x) = ixs + 3X2-3ix + 2 = 0indique el valor de verdad;I. Posee s610una raiz real.II. Posee 3 raiees imaginarias.III . Posee 2 raices reales y 1imaginaria.

A)VVFDlVFF

B)VVV C)FFFE)FVF

96

4. Sea la eeuaei6n en Xx2+mx+n=0

donde m ff Q ; nEZ, adernas posee una raiz.f2-1. Halle el minimo valor m2+n2

A)57D)5

B)53 C)9E)8

s . Se tiene la siguiente eeuaei6nX5 - 5X4 + ax2 +bx+e = 0

donde {a;b; c} c Q y .f2+2 es una raiz c.la ecuaei6n. Halle la suma de producbinarios de las 3 raices raeionales.

A)-6Dll

B)-1 C)5E)6

6 . Siendo a, b y c las raices de la ecuaci6nx3-3x+l=0

indique la menor raiz, luego de resolversiguiente eeuaci6n

X2+llabcx +a4+b4+c4=0

A)4D)6

B)5 C)2E)3

7 . Dada la ecuaci6n en X_9_ + x + 3= a (a EZ)x-3

lcu:intos valores posee a para queecuaci6n sea incompatible en lR?

A ) 1 0D) 12

C)11E)9

B)8


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.a ecuacion x" - x +1 = 0-ne raices a, b, crule a" (a+ l ) + b4(b+l) + c4(c+l)

-4-2

B)-6 C)-5E)-3

tennine la condici6n que debe cumplirparametro real A de manera que

x4_2( A-l)x2 + A2_2 A = 0.-.dmita al menos una raiz real y otra.maginaria.

_ ~ O ~ A < 23 -2< A


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Lumbreras Editores

20 . Dadas las ecuaciones en x(x+l)' + m(x+l)2 + nx + 2 = 0(x-I)' + m(x-lj2 + nx - 1= 0; m to Q

los cuales posee una raiz racional encomiin. Halle cuantos posibles valorespuede tomar m.

16. Con respecto a la ecuaci6nx7 - 2x5 + 3x' - 3x2 + 3x - 1= 0Indique el valor de verdad de cadaproposici6nI..La ecuaci6n presenta 3 raices reales y

4 imaginarias.II. Presenta 5 raices reales y 2

imaginarias.I I I . Presenta 1 raiz real y 6 imaginarias.

A)FFVDlFVF

B)FVV C)VFFE)FFF

17 . Resuelvax 7 _ 20x5 - 2x' + 40x2 + 64x3 - 128 = 0de como respuesta la suma de todas lasraices reales

B)2~ C ) 2 / 2) ,f25Dl~ E)20

18. Calcule b en la ecuaci6n bicuadradaax' +48x2+b=0

si las raices de la ecuaci6n cumplen conlas siguientes condiciones

x,=xa ; (x,x.r' + (x,xar' = 12A)8Dl6

B)4 C)5E)2

19. Dada la ecuaci6nx' + 3x3 + Ax2 + 6x + 4 = 0

Halle A , para que tenga 2 raices tal que suproducto es 2 y la suma de las otras 2raices sea 1.

A) 1D)-1

B)2 C)OE)-2

98

A) 12r 13 C) 16E) 18B)24

21 . Dada la ecuaci6n en xx7 + p 2x _ q2 = 0

si una soluci6n es r to R-{Olhalle el producto de las raices imaginarias

p2-q2 B) .z., C) p +qA)--r p-q r2 E) p-qD) .9_r r

22 . Dada la ecuaci6n en xx7 + ax + 2 = 0indique el valor de verdad deI. Si az Opo see una sola raiz realII. Si a


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Lumbreras Editores

[ l+a -1]28. Calcule N si A= l+a 2 I-a

27 . Calcule el siguiente determinante deorden (n-s I) 30 . Dada la matriz A =[4 3 ]1 1 1 1 1 -n 2 -1

1 1 1 1 -n 11 1 1 1 1 calcule las raices de la ecuaci6n en x-n

IxI-(N+A+I)1 =0; XEIR-n 1 1 . . . 1 1 1 indique la menor soluci6n

24. Dado A=[a;jln,n; T=[t;jln,n ; m3al multiplicar T.A. los elementos de lasegunda fila de A quedan aurnentados enel doble de los elementos de la primerafila y la tercera fila de A queda triplicada.Obtenga la matriz T e indique la suma desus elementos.

B)2n+l C)7E)n+4

25. Halle la surna de los elementos de A20+I,[-4 -13]donde A= 1 3

A)-13 B) 11 C)14D) 15 E) 13

26. Dado la matriz sirnetrica

A=(: ~ ~lc 3

A) -1/3D)3

B) 47/6 C) 213E) 1/6

B)O C)nE)n+l

A)1D)-1

114

B) [0 16]16 0

[2aC) 2(I+a2)

E) [1-a l+a2]l+a l-a2

29. Sea A=[a;j1a Ilx I-AI= x3 - 6x2 + 3x +_calcule el termino lineal del polinomicP(}..) = I }..I-A-11

A) 3}"D)-}..

C)-6 }..EJ2A

B)-3 }..

A) 131DJ-9

B)-131 C)OE) 10


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38. Dada la matriz

[1 2 0 1 3]M= -1 1 4 1 0calcule det(M.M') +det(M'.M)

A)-lD)O

B)l C)250E) 281

39. Dada la matriz A =[: :] tal que

A5=.j2A4, calcule el valor de

det[ 1 (A+A ')].jm 2+n2

A)mnD)l

B)4 C)-lEi m-.n

40 . Dado el polinomio P(X)=X1 9 +2x-1

y la matriz A =(~ ~)

halle la traza de peA)

A)-2D) -1

B )O C)4E)1

41 . Calcule13 3 4 1-11 4 1 12 5 0 -13 1 2 2

13 1 5 3-11 1 11 42 -1 15 53 2 1 1

A) 15D) 13

B)l C)OE)-l1

116

42 . Dadas las matrices[ 1 0 2]A= ,-1 1 2

si AA'B = [: :], halle (ab-ed)A) 121D)243

B) 377 C) 181E) 633

43 . Calcule2 0 1 21 0 121234122 0 2 4 25 3 101

A)lD) 15

C)7sE)O

B)-l

44. Obtenga el valor de la siguiente suma3 -1 55 6 -1 55 9 -1 55o 2 15 + 1 2 15 + 2 2 151 1 341 2 1 341 4 1 34:

12 -1 55 30 -1 553 2 15 +... + 9 2 158 1 341 512 1 3L

A)2D) 1024

C)OE)2043

B)l

45. Calcule det (p-' AP +21)1 -2 -6 1 0 1

Si A= -3 3 9 ; P= 0 2 42 0 -3 0 0 -1

A) 15D)8

B )O C)18E) 28


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PiTULO XVI Compendia Academlco

Dada la grafica de la funcion fy

----------- 10

halle el RanfnDomf

A) (-2; 10) B) [-2; -11D) [-2; 11

s . Si la funcion

x

C) [-2; 101E) [-2; 2)

es eonstante V x E [m; n], ealeule m+n

AllD)-I

B)2 C) 0E)-2

: 4 0 . Dada la funei6n g tal queg(x) = Ix+31 - Ix-31 euyo rango es [a; b],ealeule a + b

A)2D)O

B)4 C)3E)l

7 . Si f(x)=/X ; g(x)=x2 ; X > 0(fogoh)(x) = . j 2 x 2 -1, halle h(1)+h(2)

A) 17 B) fi+17 C) 1+17

48. Indique cual de las siguientes graficasrepresenta una funciony

x(1 )

i;.A) IVB) I - IIC) I, II y IVD) II y IVE) III

49. Halle el rango de f (-1; 1 ) ~ R, definida1por flx) e--x+l

C) (1;+00)

s o . Dadas las funcionesf = { (1;2), (2;-3), (-3;1) )g = { (2; b), (1;2), (-3; a) )si gof = f-g, ea1cule a + bA)-l C)OB)-4

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