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ORIENTAMENTI PER LA VALUTAZIONE DEL COEFFICIENTE DI

SOTTOFONDO (K)

Nel modello di Winkler il sottosuolo è caratterizzato da una relazione lineare fra il

cedimento di un punto (s) e la pressione di contatto (p) nello stesso punto:

p = K s

K è detto “costante di sottofondo” o “coefficiente di reazione del terreno” (coefficient of

subgrade reaction).

Dal punto di vista fisico il mezzo alla Winkler può essere assimilato ad un letto di molle

elastiche fra loro indipendenti. Il coefficiente di reazione del terreno è per definizione il

rapporto fra carico e cedimento. In un terreno reale il cedimento dipende, oltre che dal

carico applicato e dalle proprietà del terreno, dalla forma e dimensioni della fondazione

e dalla stratigrafia del terreno. Il coefficiente di reazione non è quindi una proprietà

del terreno e non può essere definito con solo riferimento al terreno, ma deve

anche essere riferito alla dimensione e forma della fondazione.

Il metodo più appropriato per ricavare K è quello di calcolare il cedimento s della

fondazione con il metodo più adeguato, tenendo conto del carico applicato, della

geometria della fondazione, della stratigrafia del terreno e delle caratteristiche dei

singoli strati, e poi ricavare K come rapporto fra la pressione media applicata p ed il

cedimento s.

In alternativa e soprattutto se il terreno è relativamente uniforme si possono fare valuta-

zioni di prima approssimazione secondo le procedure che seguono.

Per un mezzo elastico omogeneo il cedimento di una fondazione di larghezza B che

applica al terreno di appoggio una pressione p è dato da:

p x B p E

s = -------- x (1-ν^2) x I k = ----- = ------- x (1-ν^2) x I

E s B

dove :

E = modulo elastico

ν = coefficiente di Poisson

I = coefficiente d’influenza dipendente dalla forma della fondazione e dallo spessore

dello strato compressibile.

Eed x (1+ν ) x (1-2ν)

Si ha inoltre la relazione : E = --------------------------

(1-ν)

Per ν = 0,20 risulta E = 0,90 Eed, mentre per ν = 0,30 risulta E = 0,74 Eed.

Dato che il modulo edometrico (Eed) è un dato più facilmente valutabile conviene fare

riferimento direttamente ad esso

Il modulo edometrico è dato da:

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∆p x H

Eed = -------------

∆s

dove H è lo spessore dello strato compressibile.

quindi:

Eed

K = ∆p/∆s = --------

H

Se H è inferiore a B per una fondazione quadrata o ad 1,5B per una fondazione

allungata si può ricavare K direttamente da questa espressione.

Se invece lo spessore dello strato compressibile è grande, considerato che la maggior

parte del cedimento è dato dal terreno fino ad una profondità pari circa a B per una

fondazione quadrata ed a 1,5B per una fondazione allungata, come prima approssima-

zione si può assumere :

∆p x B

∆s = --------- per una fondazione quadrata e

Eed

∆p x 1,5B

∆s = ------------- per una fondazione allungata

Eed

Eed

da cui: k = ∆p/∆s = --------- per una fondazione quadrata e

B

Eed

k = ∆p/∆s = --------- per una fondazione allungata

1,5 B

Si può quindi risalire ad un valore orientativo di K disponendo del modulo edometrico

Eed, ricavabile sia da prove di compressione edometrica, ma anche da correlazioni

empiriche, come ad esempio:

Eed = 5 x qc = 50 qu per le argille

Eed = 2,5 qc + 75 kg/cmq per sabbie pulite

Eed = 2,0 qc + 50 kg/cmq per sabbie fini e sabbie limose

qc = resistenza alla punta del penetrometro statico

qu = resistenza a compressione semplice

Vesic (1961) suggerisce la seguente relazione (semplificata):

k = (1/B) x E/(1-ν^2) dove ν è il Coefficiente di Poisson.

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Un diverso modo di pervenire ad un valore orientativo di K è quello di fare riferimento

al valore k1s determinato con una prova di carico su piastra quadrata di lato b=30 cm.

Essendo fissata forma e dimensioni della piastra k1s dipende solo dalle caratteristiche

del terreno. In genere non è conveniente eseguire effettivamente una prova di carico su

piastra, sia per il costo, sia perché con terreno argilloso la prova dovrebbe essere di

lunga durata. Conviene fare riferimento ai valori tipici di k1s per i vari tipi di terreno

forniti in letteratura.

Il Terzaghi fornisce valori di k1s per le sabbie correlati con lo stato di addensamento e

per le argille correlati con la resistenza a compressione semplice qu.

Correlazione k1s-densità relativa per terreno incoerente (sabbia) secondo Terzaghi:

Values of k1s in tons/cu.ft for square plates, 1 ft x 1 ft, or beams 1 ft wide, resting on

sand.

Relative density of sand Lose Medium Dense

Dray or moist sand, limiting values for k1s 20 – 60 60 - 300 300 - 1000

Dray or moist sand, proposed values 40 130 500

Submerged sand, proposed values 25 80 300

1 tons/cu.ft = 0,032 kg/cmc 1 kg/cmc = 31 tons/cu.ft

Sabbia sciolta : qc = 20-40 kg/cmq ; Nspt = 5 – 10

Sabbia media : qc = 40-120 kg/cmq; Nspt = 10 – 30

Sabbia densa : qc > 120 kg/cmq; Nspt > 30

Terzaghi ha anche fornito una correlazione fra k1s ed Nspt: k1s = Nspt/7,8

Correlazione k1s-qu per terreno coesivo sovraconsolidato (argilla sovraconsolidata)

secondo Terzaghi:

Values of k1s, in tns/cu.ft for square plates, 1 ft x 1 ft and k1 for long strips, 1 ft wide,

resting on pre-compressed clay

Consistency of clay Stiff Very stiff Hard

Values of qu, tons/sq.ft (circa kg/cmq) 1 - 2 2 - 4 > 4

Range for k1s, square plates 50 - 100 100 - 200 >200

Proposed values, square plates 75 150 300*

*:Higther values should be used only if were estimated on the basis of adequate test results.

For rectangular plates with width 1 ft ed length L ft :

L + 0,5 1 + 0,5/L

k1 = k1s ---------- = k1-------------

1,5 L 1,5

Per passare dal valore riferito alla piastra campione al valore riferito ad una fondazione

reale bisogna tenere conto di forma e dimensione della fondazione:

Un terreno coesivo sovraconsolidato, per le profondità che interessano una fondazione

diretta, può essere assimilato in prima approssimazione ad un mezzo elastico omogeneo,

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ed il cedimento s è circa proporzionale a B. Essendo K inversamente proporzionale a s è

inversamente proporzionale anche a B, per cui si ha:

K = k1s x b/B per una fondazione quadrata

K = k1s x b/(1,5B) per una fondazione allungata

Nelle sabbie, supponendo che la rigidità aumenti con la profondità, il Terzaghi propone

la relazione:

B + b

K = k1s x (---------)^2

2B

e, all’aumentare di B, K tende ad un valore limite: K = 0,25 k1s

Questo criterio va bene con sabbie normalconsolidate dove la resistenza alla punta (qc)

cresce circa linearmente con la profondità.

In realtà, per piccole profondità, le sabbie mostrano spesso una resistenza alla punta (e

quindi una rigidità) costante con la profondità ed il criterio sopra riportato non sembra

in questo caso applicabile.

Nel valutare il valore di K da attribuire alla fondazione è sempre opportuno considerare

come varia la consistenza del terreno argilloso o la densità del terreno sabbioso con la

profondità e quindi in particolare se la qc aumenta o diminuisce con la profondità

nell’ambito di una profondità significativa.

Nel caso di fondazione estesa (platea) la larghezza B di riferimento va scelta secondo il

criterio illustrato nella figura che segue.

Riferimenti:

1. Terzaghi, K. (1955),<<Evaluation of coefficients of subgrade reaction>>, Géotechnique,

vol.5, pp. 297-326.

2. Viggiani, C.,<<Fondazioni>>, (1993), CUEN, pp. 225-227.

3. Cestelli Guidi C., <<Geotecnica e Tecnica delle Fondazioni>>, (1974), Hoepli, Vol. I.

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