Circo Matematico_Martin Gardner

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    Ttulo original: Mathematical Circus

    Traduccin publicada por acuerdo con Alfred A. Knopf, Inc.

    Traductor: Luis Bou

    Primera edicin en El Libro de Bolsillo: 1983

    Segunda edicin en El Libro de Bolsillo: 1985

    1968, 1969, 1970, 1971, 1979 by Martin Gardner

    Ed. cast.: Alianza Editorial, S. A., Madrid, 1983, 1985

    Calle Miln, 38; Telfono 200 00 45

    ISBN. 84-206-1937-X

    Depsito legal: M. 4.344-1985

    Papel fabricado por Sniace, S. A.

    Fotocomposicin: EFCA, S. A.

    Impreso en Closas-Orcoyen, S. L. Polgono IgarsaParacuellos del Jarama (Madrid)

    Printed in Spain

    Escaneado por Dom

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    Para Donald E. Knoth, extraordinario matemtico, cientfico

    de computadores, escritor, msico, humorista, entusiasta delas matemticas recreativas y mucho ms.

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    ndice

    Introduccin 9

    1. Ilusiones pticas 122. Cerillas 27

    3. Esferas e hiperesferas 41

    4. Pautas de induccin 58

    5. Los elegantes tringulos 71

    6. Paseos aleatorios y juegos de apuestas 82

    7. Paseos aleatorios por el plano y el espacio 93

    8. Algebra de Boole 107

    9. Pueden pensar las mquinas? 124

    10. Nmeros cclicos 134

    11. El ajedrez extravagante y otros problemas 148

    12. Domins 163

    13. Nmeros de Fibonacci y de Lucas 179

    14. Simplicidad 198

    15. La mesa giratoria y otros problemas 213

    16. Curiosidades del sistema solar 236

    17. Construcciones de Mascheroni 251

    18. El baco 268

    19. Palndromos numricos y verbales 279

    20. Billetes 290

    Bibliografa 302

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    Circo matemticoMartin Gardner

    IntroduccinA veces estas reflexiones asombran todava la noche

    conturbada o el reposo a medioda. -T. S. Eliot

    Los captulos que componen este libro fueron antes publicados en la seccin mensual,fija, Juegos Matemticos de la revista Scientific American. Los matemticos mepreguntan a veces, qu significa para m semejante titulo. No es fcil de explicar. YaLudwig Wingenstein utiliz la palabra juego para ejemplificar la nocin depalabras-familia, imposibles de definir unvocamente. La idea de juego conllevamuchos significados, enlazados entre s un poco a la manera en que lo estn losmiembros de una familia humana, significados que han ido concatenndose al tiempoque evolucionaba el lenguaje. Podemos decir que los juegos matemticos o lasmatemticas recreativas son matemticas -no importa de qu tipo- cargadas de unfuerte componente ldico: pero poco aclaramos as, porque las ideas de juego,recreacin y ldico son aproximadamente sinnimas. En ltimo extremo nosencontramos con peticiones de principio, como al decir que la poesa es la obra de lospoetas, o que la msica de jazz es lo que los msicos de jazz componen o interpretan.Las matemticas recreativas seran as la clase de matemticas que hace disfrutar alos recreativistas.

    Aunque no puedo definir los juegos matemticos ms rigurosamente que la poesa, smantengo que, sean lo que fueren, las matemticas recreativas proporcionan el mejorcamino para captar el inters de los jvenes durante la enseanza de la matemticaelemental. Un buen rompecabezas matemtico, una paradoja o un truco de aparienciamgica pueden excitar mucho ms la imaginacin de los nios que las aplicacionesprcticas, sobre todo cuando estas aplicaciones se encuentran lejanas de lasexperiencias vividas por ellos. Y si el juego se elige y prepara con cuidado, puedellevarle casi insensiblemente hasta ideas matemticas de importancia.

    No slo los nios, sino tambin los adultos pueden quedar arrobados por uno de estosrompecabezas sin utilidad previsible, y la historia de las matemticas est llena detrabajos sobre tales rompecabezas -tanto de profesionales como de aficionados- que

    han conducido hasta inesperados desarrollos. En su libro Mathematics: Queen andServant of Science, Eric Temple Bell cuenta que los primeros trabajos sobreclasificacin y enumeracin de nudos apenas fueron considerados otra cosa quecuriosidades y rompecabezas. La teora de nudos ha venido, con el tiempo, aconvertirse en rama floreciente de la Topologa:

    As pues, los problemas de nudos resultaron ser mucho ms que meros rompecabezas. Y esfrecuente que esto suceda en matemticas, en parte porque los matemticos replantean -nosin cierta perversidad- difciles problemas que confiaron (mas no supieron) resolver, dndolesla forma de acertijos y charadas de apariencia trivial, pero en el fondo, con idntica estructura

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    que el problema original. Esta jugarreta ha hecho picar e interesarse a personas ajenas a lasmatemticas, quienes, atemorizados ante la dificultad del problema, se haban inhibido oechado atrs. Y as, muchos aficionados han hecho a la matemtica ricas aportaciones sinsospecharlo. Tenemos un ejemplo en el problema de los quince escolares (1850) de T. P.Kirkman, que frecuentemente presentan los libros de matemticas recreativas.

    Tampoco faltan rompecabezas matemticos que -por ser en realidad triviales- noconducen a desarrollos interesantes. Empero, ambos tipos tienen algo en comn, quenadie ha expresado mejor que el distinguido matemtico Stanislaw Ulam en suautobiografa, Adventures of a Mathematician:

    Las matemticas, con sus grandiosas panormicas su apreciacin de la belleza y supercepcin de nuevas realidades, posee una propiedad adictiva que es menos evidentey saludable, afn en cierto modo a los efectos de algunas drogas. El ms nimioproblema, an siendo inmediatamente reconocible como trivial o reiterativo, puedeejercer esta influencia adictiva. Una de las formas en que podemos vernos arrastradoses comenzar a resolverlos. Recuerdo que Mathematical Monthlypublicaba de cuandoen cuando unos problemas enviados por un matemtico francs, relativos a ciertasconfiguraciones banales de circunferencias, rectas y tringulos del plano. Belanglos(sin importancia), como dicen los alemanes; empero, con estas figuritas corrase el

    riesgo de quedar atrapado tan pronto se comenzaba a resolverlas, a pesar de saberperfectamente que no podran conducirnos a campos nuevos, ms generales ni msestimulantes. Mucho contrasta esto con cuanto he dicho acerca de la historia delteorema de Fermat, que ha suscitado la creacin de nuevas y vastas concepcionesalgebraicas. La diferencia tal vez resida en que para resolver un pequeo problemapuede bastar un esfuerzo moderado, mientras que el teorema de Fermat sigue sin estarresuelto, desafiando al mundo matemtico. No obstante, ambos tipos de curiosidadesmatemticas tienen una fuerte componente adictiva para el matemtico en potencia,cualidad que existe a todos los niveles de la matemtica, desde las bagatelas a losaspectos ms inspirados.

    Martin GardnerMarzo de 1979

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    Captulo 1

    Ilusiones pticasLas ilusiones pticas -figuras, objetos o sucesos que no son lo que aparentan al serpercibidos- han tenido y tienen todava importante papel en las bellas artes, en

    matemticas, en psicologa e incluso en filosofa. Los antiguos griegos deformaron lascolumnas del Partenn con el fin de que parecieran perfectamente rectas al ser vistasdesde el suelo por la gente. En sus grandes obras murales, los pintores renacentistassolan distorsionar las figuras con objeto de que, miradas desde abajo, parecieran serde proporciones normales. El inters de los matemticos por las ilusiones pticas sedebe a que muchas de ellas guardan relacin con la perspectiva (una rama de lageometra proyectiva) y con otras cuestiones geomtricas. Los psiclogos estudian lasilusiones para saber cmo interpreta el cerebro los datos que le llegan a travs de lossentidos. Y los filsofos de diversas escuelas de realismo directo, que mantienen quenosotros percibimos objetos reales externos a nuestras mentes, tienen el problema deexplicar cmo pueden entonces presentarse errores de percepcin.

    Consideradas en su aspecto menos serio, las ilusiones visuales son, sencillamente,divertidas. Disfrutamos sabindonos engaados por ellas, por motivos que no sediferencian mucho del placer de ser confundidos por un ilusionista. Las ilusiones nosrecuerdan que el ancho mundo exterior no siempre es lo que parece. Nos fijaremos eneste captulo en unas cuantas ilusiones pticas no demasiado conocidas, que exhalantodas ellas fuerte aroma matemtico.

    Los procesos de que el cerebro se vale para interpretar los datos visuales son tancomplejos y poco conocidos, que no es milagro que en sus explicaciones lospsiclogos mantengan opiniones divergentes, cuando no contradictorias, incluso paralas ilusiones ms sencillas. Entre las ms clsicas estn el aumento aparente del sol, la

    luna y las constelaciones cuando estn cerca del horizonte. El difunto Edwin G. Boring,de la Universidad Harvard escribi numerosos artculos explicando que la flusin de laluna se debe fundamentalmente a la accin de alzar la mirada. Una opinin diferente,que se remonta hasta Ptolomeo, es defendida por Lloyd Kaufman e Irvin Rock en suartculo The Moon Illusion, en Scientific Americande julio de 1962. Su teora, basadaen el efecto de distancia aparente, es a su vez refutada por Frank Restle en untrabajo publicado en Sciencedel 20 de febrero de 1970.

    La opinin actual es que casi todas las ilusiones pticas se originan en el cerebro,cuando ste va explorando su memoria en busca de lo que Richard L. Gregorydenomina la apuesta ptima, es decir, la interpretacin que mejor explique los datosvisuales a partir de las experiencias acumuladas por el cerebro. Tal punto de vista est

    sustentado por el reciente descubrimiento de que muchos animales, entre ellos aves ypeces, sufren ilusiones que podran ser explicadas de esta forma y tambin, portrabajos de antropologa en culturas marcadamente diferentes de la nuestra. Loszules, por ejemplo, viven inmersos en un mundo de formas redondeadas. Lascabaas son redondas, y tambin lo son sus puertas.

    Al arar, sus surcos trazan lneas curvas. Raramente tienen ocasin de ver lneas ongulos rectos, y su idioma no contiene ningn vocablo que signifique cuadrado. Asnos lo dice John Updike en la segunda estrofa de su poema Zulus Live in LandWithout a Square:

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    Las primeras versiones empezaron a circular entre ingenieros y proyectistas hacia1964, y la portada del nmero de marzo de 1965 de la revista Mad mostraba a unAlfred E. Neuman sonriente y haciendo equilibrios con el blivetsobre su dedo ndice.Roger Hayward ha publicado un artculo sobre Blivets: Research and Development[Investigacin y desarrollo de los blivets] en The Worm Runners Digest (diciembre de1968), donde presentaba algunas variantes (vase la Figura l).

    Otra conocida figura indecidible es una escalinata cuadrada por la que se puedeascender o descender indefinidamente sin por ello subir ni bajar. Puede verse en una

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    litografa de Maurits C. Escher titulada Ascendiendo y descendiendo, que data de1960, as como en otra litografa del mismo artista, de 1961, que representa un salto deagua haciendo funcionar una mquina de movimiento perpetuo. Esta desconcertanteilusin, creada por el genetista ingls L. S. Penrose y por su hijo, el fsicomatemticoRoger Penrose, fue inicialmente publicada en un artculo de ambos, ImposibleObjects: A Special Type of Visual Illusion [Un tipo especial de ilusiones visuales: losobjetos imposibles], en The British Journal of Psychology(febrero de 1958, pp. 31-33).

    Estos mismos dos autores se sirvieron otra vez de ella en su coleccin de originalesrompecabezas navideos publicada en The New Scientist(25 de diciembre de 1958,pp. 1580-81). Admitiendo (vase la Figura 2) que hagan falta tres peldaos para irdesde A, en el suelo, hasta lo alto del escaln B, cmo se puede ir desde A hasta Csin subir ms de 10 escalones? La solucin slo es posible porque la propia estructuradibujada no lo es.

    Un tercer objeto imposible tambin muy conocido es la armazn del cubo sostenido porla figura sedente de otra famosa litografa de Escher, que puede verse en la pgina 110de mi Carnaval matemtico. La seccin de Cartas de Scientific Americanreproducauna fotografa de esta Canasta de acceso libre (as fue llamada) en el nmero de

    junio de 1966; en realidad aquella fotografa se obtuvo retocando el negativo. Noobstante, s es posible construir un modelo real que visto desde un ngulo adecuadonos d una autntica fotografa de la canasta. Su construccin ha sido explicada porWilliam G. Hyzer en Photo Methods for Industry, enero de 1970.

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    Vemos en la Figura 3 el modelo de Hyzer. Si lo giramos y ladeamos hasta que,observndolo con un solo ojo, los huecos coincidan con toda exactitud con dostravesaos traseros del armazn, el cerebro se convence de que las aristas traserasestn delante, produciendo la imagen mental de un cubo imposible.

    Muchas otras curiosas ilusiones son debidas a que poseemos dos ojos. Extienda los

    brazos ante s, manteniendo los dedos ndices de ambas manos estiradoshorizontalmente, con las puntas en contacto. Mirando ms all de los dedos, enfoque lamirada sobre una pared distante, y separe los dedos ligeramente. Ver entonces unasalchicha flotante entre los dedos. Como es obvio, la salchicha est formada por lasimgenes superpuestas de las yemas de los dedos, vistas cada una por distinto ojo.Otra antigua ilusin, tambin debida a la visin binocular, se produce acercando untubo (es suficiente una hoja arrollada de papel) a un ojo, como si fuera un telescopio.Supongamos que llevamos el tubo al ojo derecho; la mano izquierda, con la palmavuelta hacia uno mismo, se coloca verticalmente pegada al borde izquierdo del tubo.Deslizando hacia adelante y hacia atrs la mano izquierda a lo largo del tubo, con losdos ojos abiertos y mirando algn objeto distante, se encontrar un punto donde

    parecer que estamos mirando a travs de un agujero recortado en el centro de lamano izquierda.

    En ciertas circunstancias, tambin la visin monocular puede crear una ilusin deprofundidad. Mirando una fotografa con un solo ojo a travs de un tubo se produce unligero efecto de tridimensionalidad. Una de las ms llamativas ilusiones de la visinmonocular puede verse en la Figura 4.

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    Es necesario inclinar el libro hacia atrs, hasta que el plano de la pgina quede casienrasado con la vista. Mirando la figura con un solo ojo desde un punto prximo alborde inferior de la pgina, aproximadamente donde convergeran los clavos si fuesenprolongados hacia abajo, durante un breve instante los clavos parecern ponerse enpie. William James, en el Captulo 19 del Volumen 2 de sus famosos Principles ofPsychology, tras dar una excelente explicacin de esta ilusin, aade esta sucintacoletilla, que resume las ideas actuales sobre la percepcin: Dicho con otras palabras,nosotros vemos, como siempre, el objeto ms verosimil.

    El llamado pndulo de Pulfrich es otra asombrosa ilusin binocular, que recibe sunombre de su descubridor, Carl Pulfrich, quien la dio a conocer en 1922, en una revista

    alemana. El pndulo est formado, sencillamente, por un trozo de hilo, que puede tenerdesde unos 30 cm hasta ms de un metro. De l pende un objeto pequeo. Pdale aotra persona que sostenga la punta libre del cordel, y que mantenga el pndulo enoscilacin en un plano perpendicular al de su lnea de visin. Sitese usted en el otroextremo de la habitacin, frente al pndulo, que se habr de observar con ambos ojos.Con uno se mira directamente; con el otro, a travs de uno de los cristales de unasgafas de sol. Es preciso fijar la mirada en el punto medio de la oscilacin; la vista nodebe ir siguiendo a la plomada en su vaivn. Parecer entonces que el peso describeuna rbita elptica! Trasladando al otro ojo el cristal oscuro, el peso seguirdescribiendo la misma rbita elptica, pero ahora recorrida en sentido contrario. Tanfuerte es la ilusin de profundidad, que colocando por detrs del plano de oscilacin un

    objeto grande parece como si el plomo pasase en realidad a travs del objeto, como unfantasma.

    Gregory explica la ilusin de Pulfrich diciendo que el ojo adaptado a la oscuridad envasus seales al cerebro ms lentamente que el ojo descubierto. Este desfase entre lasseales induce al cerebro a interpretar el movimiento del plomo como sialternativamente fuese pasando por delante y por detrs de su plano de oscilacin.

    Pueden experirnentarse sensaciones de profundidad parecidas al mirar imgenes detelevisin, cubriendo un ojo con un cristal oscuro o mirando con uno de los ojos a

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    travs de un pequeo orificio perforado en cartulina. Cuando en la pantalla aparece unaimagen que se desplaza horizontalmente con cierta velocidad, el observador tendr laimpresin de que lo hace por delante o por detrs de la pantalla. Esta ilusin anim avarias compaas a anunciar, en 1966, unas gafas especiales que, de creer a lapublicidad, permitiran al espectador ver en tres dimensiones las imgenes planas desu televisor. El precio era elevado, pero evidentemente las gafas no eran sino unamontura barata provista de dos lentes de plstico, una transparente y otra oscura.

    Otra conocida categora de figuras ilusorias, muy analizadas por la escuela psicolgicade la Gestalt, est formada por imgenes que pueden ser interpretadas de dosmaneras con probabilidades iguales o casi iguales. La mente flucta entre ambasinterpretaciones, incapaz de decidir cul es la apuesta ptima. Probablemente elejemplo ms conocido sea el apilamiento de cubos que se invierte repentinamente,haciendo cambiar el nmero de cubos que parecen formarlo. En estos ltimos aostodos hemos tenido dificultades de interpretacin al contemplar fotografas de crtereslunares y no poderlos ver como montaas, sobre todo si invertimos la fotografa, con loque los crteres se ven iluminados desde abajo por la luz solar, ngulo de iluminacinque raramente habremos tenido ocasin de experimentar.

    Hay una figura de un jarrn oscuro cuya silueta puede ser imaginada como los perfilesde dos caras. Una ilusin parecida salt inesperadamente a la palestra en la nuevabandera canadiense, adoptada oficialmente en 1965 tras varios meses de disputasparlamentarias. Fije usted la atencin en el fondo blanco, por encima de la hoja de arce(vase la Figura 5).

    Se vern entonces los perfiles de dos hombres malhumorados (quizs un liberal y unconservador?) con las frentes en contacto, zahirindose (uno en francs y otro en

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    ingls?). En cuanto haya usted localizado estas dos caras, ya no tendr dificultad endescifrar el significado de los polgonos de formas irregulares que en bloques negrospodemos ver en la Figura 6.

    Otra figura muy estudiada es el cubo de Necker, as llamado en honor del suizo L. A.Necker, quien escribi acerca de l all por 1830. El cubo tiene la propiedad deinvertirse al observarlo. Los Penrose, en los acertijos navideos ya mencionados,tuvieron la feliz idea de aadir un escarabajo al cubo, en este caso una cajarectangular. (Vase la Figura 7.) El insecto parece encontrarse en la pared exterior.Pero si fijamos la mirada en el ngulo inferior izquierdo de la caja, y con la imaginacinnos esforzamos en pensar que esa es la esquina ms cercana, de repente, flip, flop!,el insecto queda encerrado en su jaula, transportado por la accin del pensamiento.

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    Con tres monedas podemos poner de manifiesto otra sorprendente ilusin,seguramente relacionada con la ilusin de Mller-Lyer (dos segmentos de longitudesiguales que parecen ser de tamaos distintos a causa de las puntas de flecha trazadasen sus extremos: en una de las figuras apuntan hacia afuera y en la otra hacia

    adentro). Se colocan las monedas en fila (vase la Figura 8) y se le pide a otra personaque haga deslizar hacia abajo la moneda central hasta que la distancia AB sea igual ala distancia CD. Casi nadie separa la moneda lo suficiente; en realidad, cuesta creerque la solucin correcta sea la dada en la ilustracin. El truco puede repetirse conmonedas mayores, mesitas circulares, vasos de agua y objetos parecidos.

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    La ilusin de la moneda fantasma, que vemos en la Figura 9, es ms conocida porlos ilusionistas que por los psiclogos. Sostenga una contra otra dos monedas entre lasyemas de los dedos ndices y frtelas rpidamente una contra otra. Aparecerentonces una tercera moneda, la moneda fantasma. Pero por qu solamente por unextremo y no por el otro?

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    SolucionesPara subir hasta lo alto de la escalera de Penrose en slo 10 pasos, se suben cuatropeldaos, se gira a la derecha, se suben otros tres escalones ms, se recorre la rondade forma de U, se bajan tres peldaos, y se suben otros tres, llegando as a lo alto.

    Aunque nunca he visto impresa ninguna explicacin del efecto de la moneda fantasma,

    he recibido de muchos lectores una tan convincente que no dudo tiene que sercorrecta. Al frotar las monedas, adelante y atrs, como se ha explicado, el ngulo queforman los dedos hace que las monedas tiendan a diverger en la posicin adelantada,creando all dos imgenes claramente distintas. Por el contrario, en la parte trasera,donde los dedos forman una V, el ligero movimiento lateral provoca que en la posicinretrasada las monedas tiendan a converger, y que sus imgenes se superpongan. Laconsecuencia es que las imgenes delanteras, individuales, son dbiles, mientras quelas traseras se refuerzan la una a la otra, creando una imagen nica, ms intensa.

    Los propios lectores describieron diversas formas sencillas de comprobar esta teora.Por ejemplo, Marjorie Lundquist y S. H. Norris propusieron el siguiente experimento.Vuelva las palmas hacia afuera, con los pulgares sealando hacia usted, sosteniendo

    dos monedas entre las puntas de los dedos y frotndolas, la imagen fantasma se formaen la V de los pulgares, en el sentido de alejarse del experimentador. Y as es comodeberamos esperar que sucediese, pues a causa de los ligeros movimientos laterales,la superposicin tiende a producirse en el lado ms alejado. Si los dedos se colocan noformando una V, sino directamente opuestos uno a otro, en lnea recta, losdesplazamientos laterales son iguales en ambos lados, y se ven dos monedasfantasmas. La misma imagen fantasma, simtrica y doble, se producir cuando lasmonedas se sujeten con los ndices, pero en lugar de frotarlas adelante y atrs lohagamos de arriba a abajo, verticalmente.

    Otra llamativa confirmacin de la teora, que descubr por m mismo, se obtienefrotando rpidamente las yemas de los dedos, adelante y atrs, sin moneda ningunaentre ellos. La divergencia por la parte delantera y la superposicin por la trasera sonevidentes. Se ver un dedo fantasma dentro de la V, con el filo de una ua justo en sucentro!

    La ilusin de la moneda fantasma puede convertirse fcilmente en un truco deprestidigitacin. Se comienza ocultando una moneda no muy grande en los pliegues dela palma de la mano derecha. Se le pide a un espectador que nos preste dos monedas,que sujetaremos entre las yemas de los dedos pulgar e ndice de la mano derecha. Sefrotan las monedas rpidamente, para crear la imagen fantasma, al tiempo que con lamano se mantiene oculta la moneda escondida en la palma. Cuando ya se aprecie laimagen fantasma, se hace gesto de atraparla, cerrando rpidamente el puo, para

    despus abrir la mano y demostrar que el fantasma se ha materializado, convirtindoseen una moneda contante y sonante.

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    quedar todava una cerilla suelta. Un poco de palique en tono convincente bastarpara dejar perplejo a casi todo el mundo. El truco funciona por s solo, sin especialhabilidad del mago, y el lector que lo ensaye un poco comprender inmediatamente porqu.

    En la primera recopilacin conocida de cuestiones y problemas de matemticarecreativa, Problmes plaisans et dlectables, de Claude Gaspar Bachet, publicado en

    Francia en 1612, podemos ver un truco que se remonta a tiempos medievales. Laversin clsica es como sigue.

    Se disponen sobre la mesa 24 cerillas y tres objetos pequeos, una moneda, un anillo yuna llave, por ejemplo. Se pide colaboracin a tres espectadores. Designmoslos 1 2y 3. Para estar seguro de recordar el orden en que han sido llamados (les dice usted)le da una cerilla a su primer ayudante, dos al segundo, y tres al tercero. Estas cerillasse toman de las 24 que hay en la mesa, con lo cual queda un montoncito de 18fsforos. Se dice a los ayudantes que se guarden en un bolsillo las cerillas que hanrecibido.

    Vulvase de espaldas para no ver lo que sucede, y pdale al espectador nmero 1 que

    coja uno de los tres objetos y se lo guarde en el bolsillo. El segundo espectador tomauno de los dos objetos restantes, y el tercer espectador, el nico que todava queda.Pdale ahora a la persona que tom la moneda que retire de la mesa tantas cerillascomo inicialmente recibi, y que las guarde en el puo. (Usted no tiene forma de saberquin es, pues est vuelto de espaldas.) Dgale a la persona que haya cogido el anilloque recoja de la mesa doble nmero de cerillas de las que recibi, y que las guarde enel puo. Pdale al que cogi la llave que tome cudruple de su nmero de cerillas, yque las guarde tambin.

    Entonces se vuelve usted hacia sus ayudantes, y tras fingir durante unos instantesconcentrarse para lograr percepcin extrasensorial, le dice a cada uno el objeto que haelegido. La clave reside en el nmero de cerillas que an quedan en la mesa. Hay seis

    permutaciones posibles de los tres objetos tomados por los espectadores; cada una deellas deja en la mesa distinto nmero de cerillas sobrantes.

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    Denotemos los objetos P, M y G (pequeo, mediano, y grande); la tabla de la Figura 11muestra la permutacin correspondiente a cada posible coleccin de cerillas residuales.(Es imposible que sobren cuatro cerillas. Si viera usted que sobre la mesa quedancuatro cerillas, alguien se ha equivocado o ha hecho trampa, y es preciso repetir eltruco). Se han construido docenas de frases mnemotcnicas para facilitar al mago latarea de averiguar cmo estn distribuidos los objetos. Bachet marc los objetos conlas letras a, e, i, las tres primeras vocales, y construy la siguiente frase, en francs: (1)Par fer (2) Csar (3) jadis (5) devint (6) si grand (7) prince. Las dos vocales de cadapalabra o frase bastan para dar la informacin necesaria. Por ejemplo, si el mago vecinco cerillas sobre la mesa, la quinta palabra, devint, le dice que el objeto e fuetomado por el primer espectador (quien recibi una cerilla) y el objeto i por el segundo(quien tena dos cerillas). El objeto restante a debe encontrarse en el bolsillo del tercerespectador, a quien se le dieron tres cerillas al comienzo del truco.

    Otros ilusionistas del siglo XVII, recurriendo tambin a las tres vocales para designar losobjetos, prefirieron recordar las seis permutaciones ayudndose de las dos primerasvocales de cada palabra de la siguiente frase latina: Salve certa animae semita vitaquies.

    En la versin presentada aqu, donde los objetos han sido designados P, M y G,podemos usar la siguiente frase mnemotcnica: (1) Pimpantes(2) mapas(3) plegaba[(4) con] (5) magnficas (6) grapas(7) gemelas. Las dos primeras apariciones de lasletras clave, que estn en negrita, nos dicen los dos objetos tomados por el primer ysegundo espectadores, respectivamente; el tercer objeto corresponde necesariamenteal tercer espectador. El lector puede pasar un rato entretenido componiendo otrasfrases de su invencin. Para designar los objetos pueden usarse otras letras, como A,B y C o L, M, P (ligero mediano, pesado), las iniciales de los objetos utilizados, etc.Conviene introducir en la frase una cuarta palabra, de relleno, como hicimos antes, noobstante ser imposible que sobren cuatro cerillas, pues ello permite al ilusionista contarrpidamente las cerillas sealando cada una con una palabra de la frase, sin tener que

    preocuparse de saltar el nmero cuatro cuando hayan quedado ms de tres. El trucoadmite una interesante generalizacin, que data de 1893, para n objetos y nespectadores, fundado en el sistema de numeracin de base n. Puede verse enMathematical Recreations and Essays, de W. W. Rouse Bail (pgina 30 de la edicinrevisada, 1960).

    Un truco teleptico ms reciente se sirve de un poco de teora elemental de nmeros(que todava algunos llaman aritmtica) y de una carterita pequea de 20 cerillas depapel. Vueltos de espaldas, le pedimos a un espectador que arranque del sobre unnmero cualquiera de cerillas, de 1 a 10, y que se las guarde en un bolsillo. Dgaleentonces que cuente para s el nmero de las restantes, y que sumando las dos cifras

    de ese nmero, arranque de la carterita otras tantas cerillas. (Por ejemplo, si hubiesenquedado 16 cerillas, tendra que sumar 1 y 6, y arrancar 7 fsforos ms.) Estas cerillasdebe tambin guardarlas en el bolsillo. Finalmente, el espectador arranca unas cuantascerillas ms, a su capricho, y las guarda en el puo. Entonces se vuelve usted y recogela carterita, contando de una ojeada el nmero de cerillas sobrantes al tiempo deguardrsela en el bolsillo. Y ahora podemos decir el nmero de cerillas que elespectador oculta en su puo. En efecto, tras las dos primeras operaciones siempresobran en el sobre nueve cerillas. (Sabra usted decir por qu?) Bastar por tantorestar de 9 el nmero de cerillas restantes en el sobrecito para saber el nmero de lasocultas en la mano.

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    Las cerillas pueden ser tiles en diversidad de juegos que, como el nim, se desarrollanretirando fichas o cuentas, o en ciertos juegos de apuestas, como el de los chinos.Pero resultan particularmente adecuadas para el que ahora explicaremos, tanto por suforma como por la facilidad de tenerlas de varios colores. El juego fue inventado porJurg Nievergelt, matemtico especialista en clculo automtico, quien lo ha bautizadoHit-and-Run. Por lo general la partida se desarrolla sobre una matriz cuadrada deorden 4 (vase la Figura 12).

    Los jugadores disponen inicialmente de unas carteritas de 20 cerillas, cuyas cabezashan de ser de distintos colores, gris y negro, por ejemplo. No deja de ser gratacoincidencia que las 40 cerillas de que disponen sean precisamente el mximonecesario. Los jugadores van por turno colocando cada uno una cerilla en unocualquiera de los segmentos de la matriz. Las negras se proponen construir un caminoque conecte los dos lados negros del tablero; las grises lo mismo con los otros dos

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    lados. (Los caminos contrarios pueden cortarse en ngulos rectos). El primer jugadorque consiga construir un camino gana la partida. El juego se llama Hit-and-Run,porque cada jugada puede servir tanto para bloquear un camino del adversario (unhit en bisbol) como para, al mismo tiempo, prolongar un camino (run).

    El juego tiene superficialmente cierto parecido con el Hexde Piet Hein y con variantesposteriores, como el Bridg-ity el Twixt(puede verse el Bridg-iten Nuevos pasatiempos

    matemticos, de Martin Gardner, Alianza Editorial, Madrid), pero la estructuramatemtica subyacente a l es profundamente diferente. Al igual que para el tres enraya, puede demostrarse fcilmente que si el primero en jugar acta racionalmente,toda partida de Hit-and-Run acabar ya en victoria de ste, ya en tablas.Supongamos que existiera alguna estrategia que diera siempre la victoria al segundoen jugar. El primer jugador podra entonces apropirsela haciendo un primermovimiento intrascendente, y siguiendo en lo sucesivo la estrategia de victoria. La

    jugada de espera es en todo caso una ventaja, nunca un inconveniente. Si la estrategiaganadora exigiese ms tarde realizar una jugada de espera, como la jugada ha sidorealizada ya se efecta una segunda jugada intrascendente. De esta forma el primer

    jugador puede ganar. Pero as contradecimos la hiptesis inicial. Por tanto, para el

    segundo jugador no puede existir una estrategia capaz de garantizarle la victoria. Enconsecuencia, el primer jugador puede siempre vencer o empatar, si bien lademostracin no da informacin ninguna sobre la tctica a seguir para lograrlo.

    En un cuadrado de orden 2 se ve fcilmente que el primer jugador tiene siempreasegurada la victoria (parte izquierda de la Figura 13). El primer movimiento de lasnegras N1 obliga a las grises a replicar G1. Haciendo N2, las negras se encuentran en

    situacin de completar su camino en una jugada ms, y esto de dos formas posibles(marcadas N3); las grises no tienen ahora manera de impedir la victoria negra en la

    jugada siguiente. Las negras pueden ganar de forma parecida saliendo en cualquierade los seis tramos verticales.

    Los lectores podran entretenerse en demostrar que en el cuadrado de orden 3 tambinel primer jugador (negras) puede ganar siempre la partida ocupando en la salidacualquiera de los segmentos marcados N1 (parte derecha de la Figura 13). Nievergeltlleg a esta conclusin estudiando exhaustivamente todas las posibilidades. Como esteanlisis es largo y tedioso, no lo expondremos aqu. Por lo que yo s, se ignora todava

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    si en tableros de orden 4, y no digamos ms alto, el primer jugador dispone deestrategia de victoria.

    Tambin pueden usarse cerillas de dos colores para jugar a Connecto, descrito porDavid L. Silverman en su libro Your Move (McGraw-Hill, 1971). Tambin aqu dos

    jugadores van por turnos colocando cerillas en una matriz cuadrada de tamaoarbitrario, pero el objetivo es ahora ser el primero en delimitar una regin cerrada de

    forma cualquiera cuya frontera est formada por cerillas del color propio.

    En la Figura 14 las negras han ganado la partida. Sabr usted descubrir una sencillaestrategia -dada ya por Silverman- mediante la cual el segundo jugador puede siempre

    impedir la victoria del primero, incluso sobre matrices infinitas?Para terminar, he aqu seis entretenidos pasatiempos con cerillas (vase la Figura 15):

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    1. Retirando once cerillas, dejar seis.

    2. La disposicin de seis cerillas que vemos define un mapa planar que requiere trescolores si se exige que ningn par de regiones con una cerilla frontera comn estncoloreadas del mismo tono. El problema consiste en redisponer las seis y formar unnuevo mapa planar que precise de cuatro colores. Al estar el mapa confinado al planohay que descartar la sencilla solucin tridimensional consistente en el esqueleto de untetraedro.

    3. Cambiando de posicin dos cerillas hay que reducir de 5 a 4 el nmero decuadrculas unitarias de la figura. No es lcito dejar cabos sueltos -es decir, cerillasno utilizadas como lados de un cuadrado. Una notable caracterstica de este clsicoproblemita es que, incluso una vez resuelto, podemos volverlo del revs, volverlocabeza abajo, o ambas cosas, y seguir siendo casi tan difcil de resolver como lo erainicialmente.

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    4. En la disposicin de la figura es cosa fcil dejar slo dos tringulos equilterosretirando cuatro cerillas. Tampoco es dificil lograr lo mismo eliminando tres. Perosabr el lector suprimir slo dos cerillas y dejar dos tringulos equilteros? Como antes,tampoco deben quedar cabos sueltos.

    5. Moviendo solamente una cerilla debemos lograr una igualdad verdadera. No esvlido tachar el signo igual con una cerilla y obtener una desigualdad verdadera; la

    expresin final debe ser una autntica igualdad.6. Moviendo solamente una cerilla hay que formar un cuadrado. (La vieja broma dedeslizar uno o dos milmetros hacia arriba la cerilla central superior, y dejar en el centrode la cruz un minsculo hueco cuadrado no es vlida. La solucin tambin eshumorstica, pero la broma va ahora por muy distinto camino.)

    ApndiceEn el texto, al describir los dos juegos con cerillas hemos supuesto que sus cabezasson de distinto color; pero si encontrsemos carteritas donde las cerillas -y no slo suscabezas- fueran de colores diferentes, seria todava mejor. Y como es natural, ambospueden jugarse sobre papel, dibujando una matriz de puntos a conectar con trazos

    rectos de dos colores.Nievergelt ha hecho notar que la demostracin de Silverman acerca de estrategiasvencedoras para el segundo jugador en las partidas de Connecto deja de ser vlidaen otras disposiciones regulares de puntos. Por ejemplo, sobre una red triangular, elprimer jugador puede vencer siempre, completando un tringulo unitario a lo ms tardaren su sptima jugada.

    Nievergelt opina que el Connecto es an ms interesante sobre otras retculas de tipodiferente, y en concreto se pregunta de quin puede ser la victoria sobre una mallacbica. Sera interesante, dice, que alguien lograse dar condiciones definibles entrminos de teora de grafos que permitieran clasificar los grafos regulares infinitos

    segn que el primer jugador consiga o no imponer un circuito cerrado.Soluciones

    El rompecabezas de David Silverman se resuelve observando que todo jugador quegane una partida de Connecto ha de tener forzosamente dos cerillas que formen laletra L en la frontera de su regin. El segundo jugador puede impedir que venza elprimero -cualquiera que sea el tamao del tablero- sin ms que impedir que sucontrario forme una L. Si el primer jugador ocupase la barra vertical de una posible L, elsegundo respondera trazando la correspondiente barra horizontal; y si el primerodibujase la barra horizontal, el segundo formara la vertical. Con esta estrategia elsegundo jugador tiene garantizado, como mnimo, un empate.

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    En la Figura 16 pueden verse las soluciones de los seis pasatiempos con cerillas;algunos lectores descubrieron una segunda solucin para el quinto: el VI del primermiembro se transforma en un XI, que es equivalente, en cifras romanas, al 11 arbigoque figura en el segundo.

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    Captulo 3Esferas e hiperesferasMam, mam! Por qu al andar no hago ms que dar vueltas?Nio, s no te callas te clavo al suelo el otro pie. Chiste negro, hacia 1955

    Una circunferencia es el lugar geomtrico de todos los puntos del plano que seencuentran a distancia dada de un punto fijo. Generalizando esta definicin a losespacios eucldeos de dimensin cualquiera, llamaramos esfera general en dimensinn (o ms brevemente, n-esfera) al conjunto de todos los puntos del espacion-dimensional que se encuentran a distancia dada de un punto fijo del espacio. En losespacios de dimensin uno (las rectas) la 1-esfera est formada por dos puntossituados a una distancia dada, uno a cada lado de un punto central. La 2-esfera no essino la circunferencia, y la 3-esfera, la figura que ordinariamente llamamos esfera.Conforme aumenta la dimensin tenemos las hiperesferas correspondientes adimensin 4, 5, 6, ...

    Imaginemos una varilla de longitud unidad con un extremo ligado a un punto fijo. Si slopermitimos que la varilla gire sobre un plano, su extremo libre trazar unacircunferencia de radio unidad. Dejando en libertad la varilla para voltear en el espaciotridimensional, su extremo describir una superficie esfrica. Supongamos ahora que elespacio tuviese un cuarto eje de coordenadas que cortase en ngulo recto a los otrostres, y que la varilla tuviera libertad para girar en el espacio tetradimensional. Suextremo libre engendrara entonces una 4-esfera unitaria. Es imposible visualizarhiperesferas; empero, sus propiedades pueden estudiarse mediante una sencillageneralizacin de la geometra analtica, extendindola al caso de ms de trescoordenadas.

    La ecuacin cannica de una circunferencia es a2

    + b

    2

    = r

    2

    , donde r representa el radio.La ecuacin de la esfera es a2 + b2 + c2 = r2. Para la 4-esfera la ecuacin sera a2 + b2+ c2 + d2 = r2, y as sucesivamente al ir ascendiendo la escala de los hiperespacioseuclideos.

    La superficie de una n-esfera tiene dimensionalidad n-1. La superficie de uncrculo es una lnea de una dimensin, la superficie esfrica es bidimensional, y lasuperficie de una 4-esfera es tridimensional. Sera posible que el espaciotridimensional fuese en realidad la hipersuperficie de una gigantesca 4-esfera?Podran transmitirse mediante vibraciones de semejante hiperesfera fuerzas talescomo la gravedad y el electromagnetismo? Muchos matemticos y fsicos de finales delsiglo pasado, tanto ortodoxos como iconoclastas se tomaron en serio esta conjetura. El

    propio Einstein sugiri la superficie de una 4-esfera como modelo del universo, quesera de esta forma ilimitado y al mismo tiempo, finito. Imaginemos que la superficie deuna esfera est habitada por planilandeses bidimensionales. Al viajar stos por laesfera, siguiendo la lnea ms recta posible en una direccin cualquiera, acabaranretornando al punto de partida. Anlogamente (sugera Einstein), si una nave espacialpartiese de la Tierra y viajase durante suficiente tiempo, siempre en la misma direccin,al cabo retornara a la Tierra. Un planilands que fuese pintando la superficie de laesfera que habita, trazando crculos concntricos cada vez ms amplios, alcanzara unpunto medio a partir del cual los crculos comenzaran a decrecer, encontrndose l

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    hacia el interior, y finalmente, el pintor tendra que pintarse a s mismo, encerrado en unpunto. Anlogamente, en el cosmos de Einstein, si los astronautas terrestresempezasen a cartografiar el universo, proyectndolo sobre esferas concntricassiempre en aumento, acabaran en ltimo extremo encerrados en un pequeo espacioglobular, en el polo de la hiperesfera diametralmente opuesto a la Tierra.

    Muchas otras propiedades de la hiperesfera son justamente las que podramos esperar

    por analoga con esferas de orden inferior. Una circunferencia puede girar alrededor deun punto, el centro; una esfera, alrededor de una recta (un eje), y una 4-esfera puedegirar alrededor de un plano que contenga a su centro. En general, el eje de unan-esfera giratoria es un espacio de dimensin n-2. (No obstante, la 4-esfera puedeefectuar una doble rotacin muy peculiar, que no tiene analoga en los espacios dedimensiones 2 3; puede girar simultneamente sobre s misma alrededor de dosplanos fijos mutuamente perpendiculares.) La proyeccin de una circunferencia sobreuna recta de su mismo plano es un segmento, si bien todo punto del segmento,exceptuados los extremos, se corresponde con dos puntos de la circunferencia.Proyectando una esfera sobre un plano resulta un disco, siendo cada punto interior deldisco proyeccin de dos puntos de la esfera. Al proyectar una 4-esfera sobre nuestro

    3-espacio se obtiene una bola maciza, y cada uno de sus puntos interiores esproyeccin de dos puntos de la superficie de la hiperesfera. Este resultado segeneraliza a todos los espacios de dimensin superior.

    Otro tanto puede decirse para las secciones transversales. Al cortar una circunferenciacon una recta, la interseccin es una 1-esfera, esto es, un par de puntos. Al cortar unaesfera con un plano la seccin producida es una circunferencia. Cortando una 4-esferacon un hiperplano (de dimensin 3) la seccin resultante es una 3-esfera. (Es imposibledividir en dos una hiperesfera cortndola con un 2-plano. Una hipermanzana, pasadade parte a parte por un plano bidmensional, permanece de una pieza.) Imaginemosuna 4-esfera que fuera atravesando lentamente nuestro espacio. La veramos aparecercomo un punto y en seguida transformarse en una bolita que progresivamente ira

    engordando hasta su mxima seccin, para ir luego adelgazando hasta esfumarse.Una esfera de dimensin cualquiera, construida con material lo suficientemente flexible,puede ser siempre vuelta del revs, de adentro a afuera, sumergindola en el espaciode dimensin inmediatamente superior. De igual forma que nosotros podemos retorcerun delgado aro de goma hasta que su cara interior pase a ser exterior, yrecprocamente, tambin una hipercriatura podra asir una de nuestras pelotas de tenisy volverla, como un guante, del revs, manipulndola a travs del hiperespacio. Ypodra hacerlo de una sola maniobra o tambin comenzando por un punto de la pelota,irla volviendo del revs a partir de l, hasta dejar toda la bola con el interior expuesto alexterior.

    Entre las frmulas que es posible generalizar fcilmente a esferas de dimensinarbitraria, una de las ms elegantes es la que relaciona los radios del nmero mximode esferas n-dimensionales mtuamente tangentes. En el plano es imposible situarms de cuatro circunferencias de forma que cada una toque a las dems, sienotangente cada par en un punto diferente. Hay dos situaciones posibles (dejando apartecasos degenerados, donde una de las circunferencias es de radio infinito,convirtindose as en una lnea recta): o bien tres circunferencias rodean a una cuarta,menor, (Figura 17, izquierda), o bien tres estn contenidas en la cuarta (Figura 17,derecha).

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    Frederick Soddy, qumico ingls descubridor de los elementos istopos (lo que le valiel premio Nobel), expres este hecho como sigue, en la primera estrofa de su poemaThe Kiss Precisepublicado en la revista Nature (el 20 de junio de 1936, p. 1.021), yaqu traducido con alguna impertinencia:

    Pueden besarse los labios, dos a dos,sin mucho calcular, sin trigonometra;mas ay! no sucede igual en la Geometra,pues si cuatro crculos tangentes quieren sery besar cada uno a los otros tres,para lograrlo habrn de estar los cuatroo tres dentro de uno, o algunopor otros tres a coro rodeado.De estar uno entre tres, el caso es evidentepues tres veces son todos besados desde afuera.Y el caso tres en uno no es quimera,

    al ser este uno por tres veces besado internamente.

    En la siguiente estrofa de su poema, Soddy da la sencilla frmula que relaciona losradios de los crculos. La curvatura es la inversa del radio; as, un crculo de radio 4tiene curvatura 1/4. Cuando un crculo es contactado desde su interior, como le sucedeal crculo grande que contiene a los otros tres, se dice que su curvatura es cncava, y atal curvatura se le atribuye signo negativo. As dice Soddy en su segunda estrofa:

    Cuatro crculos llegaron a besarse,

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    cuanto menores tanto ms curvados,y es su curvatura tan slo la inversade la distancia desde el centro.Aunque este enigma a Euclides asombrara,ninguna regla emprica es necesaria:al ser las rectas de nula curvaturay ser las curvas cncavas tomadas negativas,

    la suma de cuadrados de las cuatro curvaturases igual a un medio del cuadrado de su suma.

    Denotando a, b, cy dlos recprocos de los cuatro radios, la frmula de Soddy es 2(a2+b2 + c2 + d2) = (a + b + c + d)2. El lector no deberia ya tener dificultad en calcular elradio del cuarto circulo osculatriz de cada ilustracin. En la tercera y ltima estrofa delpoema de Soddy, la frmula es generalizada a cinco esferas mutuamente osculatrices:

    Espiar de las esferaslos enredos amorosospudirale al inquisidor

    requerir clculos tediosos,pues siendo las esferas ms corridasa ms de un par de paresuna quinta entra en la movida.Empero, siendo signos y ceros como antespara besar cada una a las otras cuatro.El cuadrado de la suma de las cinco curvaturasha de ser triple de la suma de sus cuadrados.

    En el nmero del 9 de enero de 1937 (Vol. 139, pg. 62), la redaccin de Natureacusaba recibo de varias cuartas estrofas que generalizaban la frmula de Soddy a

    espacios n-dimensionales, aunque public solamente la que sigue, debida a ThoroldGosset, abogado ingls aficionado a las matemticas.

    No debemos empero confinar nuestros cuidadosa los simples crculos, esferas y planos,sino elevarnos a n-espacios e hipercurvaturasdonde tambin las mltiples tangenciasson seguras.En n-espacios, los pares de tangentesson hiperesferas, y es verdad-mas no evidente-cuando n + 2 de tales se osculean

    cada una con n + 1 compaerasque el cuadrado de la suma de todas las curvaturases n veces la suma de sus cuadrados.

    Dicho en prosa simple y llana, en el espacio n-dimensional el mximo nmero dehiperesferas mutuamente tangentes es n + 2, y al multiplicar por n la suma de loscuadrados de todas sus curvaturas resulta el cuadrado de la suma de las curvaturas.Ms tarde se ha sabido que la frmula correspondiente a cuatro circunferencias era yaconocida por Descartes, pero Soddy la redescubri y, segn parece, fue el primero engeneralizarla para esferas.

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    Vale la pena notar que la frmula general es aplicable incluso a tres esferasbipuntuales del espacio unidimensional que sean mutuamente tangentes: dossegmentos de recta que se tocan, dentro de un tercero que es la suma de ambos.Para los aficionados a las matemticas recreativas, la frmula de Descartes-Soddy esun autntico don del cielo. Casi todos los problemas sobre crculos o esferasmutuamente tangentes ceden pronto frente a ella. He aqu uno muy bonito. Trespomelos perfectamente esfricos, todos de 3 cm de radio, descansan sobre unmostrador plano. Tambin sobre el mostrador, pero debajo de los pomelos y tangente aellos, se tiene una pequea naranja perfectamente esfrica. Qu radio tendr lanaranja?

    En cambio, los problemas sobre empaquetamiento de esferas unitarias no admitengeneralizaciones sencillas al ir ascendiendo por el escalafn de espacios de dimensincada vez mayor; en realidad, se tornan cada vez ms dificiles. Tomemos por ejemplo elproblema de hallar el nmero mximo de esferas unitarias que pueden ser tangentes aotra esfera unitaria tambin. Para circunferencias tal nmero es seis (vase la Figura18).

    Para esferas ordinarias es 12, pero no pudo probarse que as fuera hasta 1874. Ladificultad se debe a que al colocar 12 esferas en torno a una decimotercera, con suscentros en los vrtces de un icosaedro imaginario (Figura 19), entre cada par deesferas queda espacio vaco.

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    El espacio vaco es ligeramente superior al necesario para alojar una dcimoterceraadmitiendo que fuera posible desplazar adecuadamente las 12 primeras, manteniendoel contacto y el empaquetamiento. S el lector se toma la molestia de baar de gomaarbiga 14 pelotas de pin-pong, ver que puede fcilmente adherir a una de ellas otras12, no estando claro si se podr o no incluir una ms sin forzarlas ni deformarlasindebidamente. He aqu una cuestin equivalente (sabr el lector explicar por qu?):podremos pegar sobre una esfera 13 discos de papel, que cubra cada uno un arco de

    60 grados de un crculo mximo, sin que se traslapen unos con otros?H. S. M. Coxeter, al escribir sobre The Problem of Packing a Number of EqualNonoverlapping Circles on a Sphere (en Transactions of the New York Academy ofSciences. Vol. 24, enero de 1962, pp. 320-31), cuenta la historia de la que podra ser laprimera discusin documentada sobre el problema de las 13 esferas. David Gregory,astrnomo en Oxford y amigo de Isaac Newton, anot en su diario, en 1694, queNewton y l haban estado discutiendo sobre la cuestin. Haban empezado estudiandocmo estn distribuidas por el firmamento las estrellas de distintas magnitudes, y deah haban pasado a preguntarse si una esfera de radio unitario podra o no estar en

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    contacto con otras 13 iguales a ella. Gregory opinaba que s; Newton disenta. Comoescribe Coxeter, tuvieron que transcurrir 180 aos hasta que R. Hoppe logrdemostrar que Newton tena razn. Desde entonces han sido publicadas otrasdemostraciones ms sencillas, la ms reciente, en 1956, la del matemtico britnicoJohn Leech.

    Cuntas hiperesferas unitarias del espacio tetradimensional pueden ser tangentes a

    otra de su mismo tamao? Se desconoce todava si la solucin ser 24, 25 26.Tampoco se conoce la respuesta en ninguno de los espacios de dimensin superior. Lonico que se sabe es cules son los empaquetamientos ms densos para espacios dedimensiones de 4 a 8, suponiendo que los vrtices de las hiperesferas definan retculasregulares. De tales empaquetamientos resultan las cotas inferiores 24, 40, 72, 126 y240 para los nmeros de esferas en contacto con otra dada. De no estar sujetos aempaquetamientos regulares, se ha conjeturado que las cotas superiorescorrespondientes son 26, 48, 85, 146 y 244. En los espacios de dimensin mayor que8, ni siquiera se conocen los empaquetamentos regulares de densidad mxima.Admitiendo que los centros no formen retculos regulares, Leech y N. J. A. Sloaneinformaron en 1970 de que s es posible hacer que 306 esferas iguales contacten con

    otra idntica en dimensin 9, y de que 500 lo hagan en dimensin 10. (Las cotassuperiores correspondientes son 401 y 648.)

    Por qu esa dificultad en el espacio de dimensin 9? Tal vez podamos arrojar un pocode luz -plida luz- sobre los curiosos giros y recovecos que presenta el espacio dedimensin 9 examinando ciertas paradojas relativas a hpercubos e hiperesferas. En uncuadrado de lado unidad podemos alojar, yendo desde un vrtice hasta eldiagonalmente opuesto, un segmento de longitud 2 . Anlogamente, en un cubo delado unidad podemos encajar un segmento de longitud 3 . La distancia mxima entre

    dos vrtices de un n-cubo unitario es de n y como las races cuadradas crecen sinlmite, resultar que una varilla de longitud dada, por grande que sea, cabr en el seno

    de un n-cubo unitario, con tal de tomar nsuficientemente grande. Una caa de pescarde 5 metros de larga cabe, sin plegarla, en el hipercubo unitario del espacio dedimensin 25. Y otro tanto puede decirse para objetos de ms de una dimensin. As,un cubo es capaz de alojar cuadrados ms grandes que su cara. Un 4-cubo puedeacomodar en su interior cubos tridimensionales mayores que su hipercara cbica. Uncubo del espacio de dimensin 5 dar cabida en su seno a cuadrados y cubos mayoresde los que cabran en otros cubos de igual arista pero menor dimensionalidad. Unelefante -o si se quiere, una catedral- cabe con holgura en un cubo n-dirnensionalcuyas aristas no sean mayores que las de un terrn de azcar... con tal de que nseasuficientemente grande.

    Mas la situacin cambia de raz para las n-esferas. Por muy grande que sea n, jamspodrn las n-esferas acomodar varillas de longitud mayor que el doble de su radio. Y almismo tiempo sucede algo muy curioso con su volumen (o hablando propiamente, consu contenido n-dimensonal) al ir creciendo la dimensin n. La superficie del crculo deradio 1 es, evidentemente, . En el espacio tridimensional, el volumen de la esfera deradio 1 es 4,1 + . El hipervolumen de la 4-esfera es 4,9 +. En el espacio de dirnensin 5el volumen es an mayor, 5,2 +. Pero en el espacio de dimensin 6 el hipervolumen esde slo 5,1 + , y a partir de ah, contina decreciendo sistemticamente, tanto as, quecuando n tiende a infinito, el hipervolumen, de la n-esfera unitaria tiende a cero. Sesiguen de aqu resultados que podramos calificar de extraterrestres. David

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    Singmaster, escribiendo sobre Piezas redondas en agujeros cuadrados, y piezascuadradas en agujeros redondos (On Round Pegs in Square Holes and Square Pegsin Round Holes, Mathematics Magazine, (vol. 37, noviembre de 1964, pp. 335-37)lleg a la conclusin de que las piezas redondas encajan mejor en agujeros cuadradosque a la inversa, porque la razn de la superficie del crculo a la de su cuadradocircunscrito (/4) es mayor que la razn del cuadrado inscrito al crculo que lo contiene(2/). Anlogamente, podemos demostrar que una bola encaja mejor en una cajacbica que un cubo en un envase esfrico, si bien la diferencia de los cocientes es algomenor. Singmaster descubri que la diferencia sigue decreciendo hasta los espacios dedimensin 8; a partir de ah se cambian las tornas, y en el espacio de dimensin 9 larazn de la n-bola al n-cubo es menor que la relacin del n-cubo a la n-bola. Dicho deotra forma, la condicin necesaria y suficiente para que una n-bola est mejorenvasada en un n-cubo que un n-cubo en una n-bola es que nsea menor o igual que 8.

    La misma curiosa extravagancia del espacio de dimensin 9 se manifiesta en unaparadoja descubierta por Leo Moser y no publicada hasta ahora. En un cuadrado delado 4 podemos alojar cuatro discos unitarios (vase laFigura 20); en el centro entra

    todava un circulo de radio 2 - 1. Anlogamente, podernos encajar ocho esferasunitarias contra los rincones de una caja cbica de arista 4 (vase la Figura 21).

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    La mxima esfera que podr alojarse en el espacio central comprendido entre las ochotiene radio 3 - 1. La situacin se generaliza de forma evidente: en un 4-cubo de arista4 podemos acomodar 16 esferas unitarias de dimensin 4, ms una esfera central deradio 4 - 1, o sea 1, con lo que la esfera central tiene ahora el mismo tamao que lasotras. En general, en los vrtices de un n-cubo de arista 4 pueden alojarse 2n esferasunitarias y adems, presurniblemente, otra esfera central de radio n - 1. Veamos, sinembargo, qu sucede al llegar al espacio de dimensin 9. La hiperesfera central tieneradio 9 - 1 = 2, que es igual a la semiarista del hipercubo. La esfera central llenaahora el hipercubo, siendo tangente a cada una de las hipercaras en su centro, pero detodas formas, deja suficiente espacio en cada uno de los 29 = 512 vrtices corno paraalojar 512 esferas unitarias de dimensin 9!Otra paradoja relacionada con sta, descubierta tambin por Leo Moser, se refiere atableros de ajedrez n-dimensionales. Imaginemos todos los cuadros negros de undamero encerrados en crculos circunscritos (vase la Figura 22). Supongamos quecada casilla tenga lado 2 y rea 4. Cada crculo tendr entonces radio 2 , y rea 2 .En cada casilla, el rea de la regin que permanece blanca (que no forma parte de uncrculo) es 8 - 2 = 1,71 +. En la generalizacin a tres dimensiones, cada celdilla negrade un damero cubiculado est englobada en una esfera circunscrita. Cada cubculo

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    tiene volumen 8, y el volumen de cada esfera, cuyo radio es 3 , es 4 3 -, aunque elvolumen de la regin libre de las cuadrculas blancas no es tan fcil de calcular, porquelas seis esferas adyacentes a ellas se interceptan entre s.

    Fijmonos ahora en un retculo tetradimensional de hipercubos de arista 2, cuyoscubculos supondremos alternativamente coloreados de blanco y negro, de forma quecada uno de ellos estar rodeado por ocho hipercubculos de color contrario. En torno acada hipercubculo negro est circunscrita una hiperesfera. Qu volumen tiene laregin libre de cada cubiculo blanco? La respuesta, sorprendentemente sencilla, puedeaveriguarse rpidamente sin conocer siquiera el volumen de la hiperesfera.

    SolucionesEl primer problema consista en hallar los radios de dos crculos, cada uno de loscuales es tangente a tres circunferencias, mutuamente tangentes, de radios 1, 2 y 3unidades. Valindose de la frmula explicada en el capitulo,

    2(1 +4

    1 +9

    1 +2

    1

    x) = (1 +

    2

    1 +3

    1 +x

    1 )2

    siendo x el radio del cuarto crculo, se obtienen las soluciones 6/23 (radio del circulopequeo) y 6 (para el crculo grande).

    El segundo problema se refera a tres pomelos y una naranja; todas descansan sobreun mostrador plano y son mutuamente tangenges. Los pomelos son de igual tamao, yde 3 cm de radio. Qu tamao tiene la naranja? El plano sobre el que descansan lascuatro esferas puede considerarse como una quinta esfera de radio infinito, tangente a

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    las otras cuatro. Por tener curvatura nula, el trmino correspondiente a ella desaparecede la frmula que relaciona los recprocos de los radios de cinco esferas mutuamentetangentes. Sea xel radio de la naranja. Tendremos la ecuacin:

    3(2

    3

    1+

    23

    1+

    23

    1+

    2

    1

    x) = (

    3

    1+

    3

    1+

    3

    1+

    x

    1)2

    de donde resulta que xtiene el valor de 1 cm.

    Evidentemente, el problema puede resolverse por otros procedimientos. Cuando fuepropuesto (Problema 46, en el Pi Mu Epsilon Journal, noviembre de 1952) LeonBankoff lo resolvi como sigue, siendo Rel radio de las esferas grandes y rel de laesfera ms pequea:La esfera pequea, de radio r, descansa sobre un punto de la mesa situado a igualdistancia de los puntos de contacto de cada una de las esferas grandes con el planodel tablero. Se encuentra por tanto en el circuncentro de un tringulo equiltero de lado2R. Por consiguiente (R+ r) es la hipotenusa de un tringulo rectngulo, cuya alturamide (R- r) y cuya base es de 2R 3/3. Por ello,(R+ r)2 = (R r)2 + 4R2/3,es decir,

    La solucin de la paradoja de Leo Moser sobre el hiperdamero cbico del espaciotetradimensional es que las hiperesferas que engloban los cubculos negros no dejanlibre ninguna porcin de los cubculos blancos. El radio de cada hiperesfera es 4 osea, 2. Como las aristas de las hipercasillas miden 2 unidades, vernos enseguida quecada una de las ocho hiperesferas que cercan la celdilla blanca llegan a pasar por elcentro de la casilla. Las ocho hiperesferas se traslapan entre s, sin dejar ningunaporcin del cubculo blanco fuera de todas ellas.

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    Captulo 4Pautas de induccin

    Entre los juegos y pasatiempos son muchos los que muestran atisbos del proceso

    mental llamado induccin, que es el curioso procedimiento por el cual los cientficos,tras observar que algunas avestruces lucen largos cuellos, concluyen que todas lasavestruces tendrn asimismo cuellos largos. En el pker y en el bridge, por ejemplo, los

    jugadores van observando el juego en busca de pistas e indicios que les permitanformarse conjeturas probables acerca de las manos de sus contrarios. Si uncriptgrafo, al descifrar un mensaje, llegase a sospechar que BCTVSEP esABSURDO, reconociendo en ella una pauta o regla de formacin, lo que hace esponer a prueba esta hiptesis, tanteando con estas letras en algn otro prrafo delmensaje. Hay un viejo juego de saln que consiste en ir pasando de mano en manounas tijeras por un corro de jugadores. Al entregrselas al vecino, cada jugador dicecruzadas o juntas; los ya familiarizados con el truco aaden entonces cierto ofalso, y la broma contina hasta que todos han descubierto la regla, por induccin.Las tijeras no son ms que para despistar: los jugadores tienen que decir cruzadas siy solamente si ellos tienen las piernas cruzadas.

    Otros conocidos juegos, como la clsica batalla de barcos de los escolares,presentan mayores analogas con el mtodo cientfico. De todas formas, el primer

    juego de induccin deliberadamente ideado para ello fue el de Eleusis, juego denaipes inventado por Robert Abbott y que expliqu por vez primera en mi seccin deScientific Americande junio de 1959. (Hay una exposicin ms amplia en Abbotts NewCard Games, publicado por Stein and Day en 1963, y en edicin de bolsillo, por Funk &Wagnalls, en 1969). El juego Eleusis interes a muchos matemticos, yprincipalmente a Martin D. Kruskal, de la Princeton University, quien prepar una

    excelente variante, Delphi - a Game of Inductive Reasoning, que explic en un folletoeditado a expensas propias.

    En Eletisis y Delphi hay una regla secreta que estipula el orden en que debe jugarse cada naipe. La regla hace las veces de una ley natural; los jugadores debenconjeturar la ley, por induccin, y despus, lo mismo que los cientficos someter aprueba su conjetura. En este captulo expondr un juego de induccin de nuevo cuo,llamado Pautas (Patterns), creado por Sidney Sackson, que ste explica en sudelicioso libro A Gamut of Games.

    Se juega a pautas con lpiz y papel. El nmero de participantes puede sercualquiera, pero no es conveniente que exceda de seis. Aunque es notablemente

    distinto de Eleusis y Delphi, comparte con aqullos la misma llamativa semejanzacon el mtodo cientfico; tanto, que muchos de los espinosos problemas que desde losdas en que David Hume dej claro que la induccin no tiene fundamento en la lgicahan venido aguijando a los filsofos de la ciencia tienen en el juego interesantesparalelos.

    Cada jugador dibuja un casillero cuadrado, de seis por seis. Uno de los jugadores,llamado diseador (el papel de diseador cambia de manos tras cada partida) rellenaen secreto sus 36 casillas trazando en cada una un smbolo, que puede ser de cuatro

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    clases. Sackson propone los cuatro modelos que vemos en la Figura 23, pero puedenservir otros cuatro de formas cualesquiera.

    El diseador, que asume el papel de la Naturaleza, el Universo o la Divinidad, tienecompleta libertad para rellenar las casillas como guste; puede trazar motivosfuertemente o dbilmente organizados; motivos slo parcialmente ordenados, omotivos enteramente caticos. No obstante (y en este aspecto Sackson retorna lalcida y original idea de Abbott) el sistema de puntuacin est pensado de forma queimpela al diseador a crear patrones -regularidades de, la naturaleza- lo

    suficientemente sencillos como para ser descubiertos por al menos un jugador, y losuficientemente difciles como para impedir que al menos otro sea incapaz deconseguirlo.

    Cuatro motivos tpicos, tomados del libro de Sackson, han sido reproducidos en laFigura 23, colocados ms o menos por orden de dificultad. Todos muestran algunaforma de simetra o regularidad visual. Cuando los jugadores sean muy avezados, otengan buena preparacin matemtica, pueden usarse tambin motivos asimtricos.Por ejemplo, el diseador podra ir rellenando las casillas, de izquierda a derecha, y dearriba a abajo, poniendo un signo ms en todas las cuadrculas de lugares primos, y

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    estrellas en las restantes. El sistema para confeccionar el diseo patrn estntimamente relacionado con la capacidad del diseador para estimar la habilidad delos otros jugadores, porque, como veremos, la puntuacin del diseador es mximacuando uno de los jugadores logra lucirse, y otro, en cambia fracasa estrepitosamente.Por cierto, sabr el lector discernir la idea que ha servido para confeccionar el motivoasimtrico de la Figura 24?

    El diseador pone su hoja boca abajo, sobre la mesa. Cualquiera de los jugadorespuede irle haciendo preguntas; para ello dibuja en su casillero un trazo oblcuo en elngulo inferior izquierdo de las casillas cuyo contenido desee conocer. Esta hoja se lepasa boca abajo al diseador, quien debe rellenar con el smbolo correcto todas lascasillas solicitadas. No hay turnos. Cada jugador puede pedir tanta informacin comodesee, sin limitacin del nmero de casillas. Cada peticin representa una observacinde la naturaleza o si se quiere, un experimento, que no es sino una forma de realizarobservaciones en condiciones controladas; las respuestas del diseador equivalen a

    los resultados de tales observaciones. Los jugadores podran pedir informacin sobre elcontenido de las 36 casillas y disponer inmediatamente de la configuracin completa,pero eso nada les reportara, pues su puntuacin sera entonces cero.

    Cuando un jugador cree haber adivinado el patrn maestro, dibuja smbolos en todaslas casillas que quedan todava en blanco. Para facilitar la localizacin de estossmbolos conjeturados se los encierra entre parntesis. Si el jugador se ve incapaz deadivinar el motivo, puede salirse de la partida, con puntuacin cero. En ocasiones esrecomendable hacerlo as, porque puede ahorrarle una puntuacin negativa, y adems,inflinge al diseador una penalizacin.

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    Una vez que todos los jugadores, bien han rellenado la totalidad de sus 36 casillas,bien han abandonado la partida, el diseador vuelve boca arriba su motivo patrn.Cada jugador contrasta sus propias marcas con las del modelo, anotndose un puntopositivo por cada acierto y uno negativo por cada error. La suma algebraica de unos yotros da su puntuacin en la prtida. Si hizo pocas preguntas al diseador y supo atinaren todo o casi todo el modelo, su puntuacin ser elevada. Si el nmero de fallos esmayor que el de aciertos, su puntuacin ser negativa. Las altas puntuacionescorresponderan a cientficos brillantes (o simplemente, afortunados). Las bajas, a losmediocres o los impulsivos (y a veces, a los simplemente desafortunados), que selanzan a publicar teoras sin suficiente fundamento. Los abandonos corresponden acientficos mediocres y excesivamente cautelosos, que prefieren no aventurarse aformar hiptesis ninguna.

    La puntuacin del dseador es el doble de la diferencia entre la mejor y la peor de laslogradas por los jugadores. Cuando hay abandonos su puntuacin sufre merma: si slohay un abandono se le restan cinco puntos; cada abandono ms le cuesta otros diezpuntos. Sackson da los siguientes ejemplos, donde D es el diseador, y A, B, C son los

    jugadores:

    Si A punta 18, B 15, y C 14, la puntuacin de D sera 8, doble de la diferencia entre 18y 14.

    Si A punta 18, B 15, y C - 2, la puntuacin de D sera 40, doble de la diferencia entre18 y - 2.

    Si A punta 12, B 7 y C se sale de la partida (puntuacin 0), la puntuacin de D sera19, que es el doble de la diferencia entre 12 y 0, con deduccin de 5 puntos, debidos alnico abandono.

    Si A logra 12 puntos, y B y C abandonan, D conseguira 9 puntos, que es el doble de ladiferencia entre 12 y 0, con deduccin de cinco puntos por el abandono del primer

    jugador y de diez por el del segundo.

    Si los tres jugadores abandonan, D recibe la puntuacin - 25. Su puntuacin bsica es0, a la que debemos descontar 25 puntos, en vista de los tres abandonos.

    Para hacernos una idea de cmo razona un jugador experimentado, echaremos unvistazo a una partida autntica, jugada por Sackson (vase la Figura 25). Sus cincopreguntas iniciales tienen la finalidad de sondear el motivo, en busca de elementos desimetra (izquierda). Vemos luego la hoja, con los smbolos pedidos (centro). Una seriede nuevas preguntas recaban ms informacin (derecha). Da la impresin de que elmodelo fuese simtrico con respecto al eje diagonal que va desde el ngulo superiorizquierdo al inferior derecho. Como todava no ha salido ninguna estrella, Sacksoninduce que el modelo no las contiene.

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    Viene ahora ese instante crucial, del que tan poco sabemos, que se produce lacorazonada, el golpe de vista, el chispazo de intuicin, que simboliza la formulacin deuna hiptesis por el cientfico imaginativo e impuesto en su materia. Sackson conjetura

    que la casilla del ngulo superior izquierdo contiene un crculo, que las tres casillas quelo flanquean tienen todas signos ms y que al ir descendiendo por la diagonal lossignos ms estn escoltados por signos triple punto, repitindose la pauta cadavez con bordes ms anchos, compuestos por estos tres smbolos, en el mismo orden.Para contrastar su teora haciendo tan pocas preguntas nuevas como sea posible,Sackson decide pedir informacin tan slo acerca de otras dos casillas ms, las dosque vemos vacas, marcadas con lneas oblicuas en el estadillo de la derecha en laFigura 25. Si estas dos casillas del modelo no contuvieran crculos, la conjetura deSackson sera errnea.

    Como dice el filsofo Karl Popper, la conjetura ms fuerte es la que ms fcilmentepuede ser invalidada; Popper opina que esta nocin es equivalente a la de conjetura

    ms sencilla. En el juego de Sackson, la conjetura ms fuerte (y la ms sencilla) esque todas las casillas contienen un mismo smbolo, una estrella, pongamos por caso.Es una hiptesis muy fuerte, pues para invalidarla es suficiente con que al tomar unasola muestra en un lugar cualquiera se obtenga un smbolo distinto del esperado. Laconjetura ms dbil es que dentro de cada casilla haya uno de los cuatro smbolos.Semejante hiptesis puede ser plenamente confirmada. Empero, puesto que ningnexperimento puede falsearla, es una hiptesis verdadera, aunque intil, desprovista,por completo de contenido empirico, porque nada puede decirnos acerca del modelopatrn.

    Los dos crculos resultan encontrarse donde Sackson esperaba; ello refuerza lo que elfilsofo Rudolf Carnap llama grado de confirmacin de la hiptesis de Sackson enrelacin con la evidencia total de que dispone. Sackson decide entonces dar el pasodefinitivo y publicar la conjetura que ha inducido. Rellena las casillas an vacas desu estadillo. Al comparar su modelo con el patrn (vase la Figura 26) el recuento desmbolos muestra que tiene 20 aciertos y un fallo, lo que le da puntuacin 19.

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    La estrella, el nico fallo de Sackson, es totalmente inesperada, pero tpica de lassorpresas que suele depararnos la Naturaleza. La ciencia es un juego complejo y eluniverso parece estar provisto de un orden misterioso, un orden que los humanos slopodemos descubrir en parte y no sin gran esfuerzo. Cuanto ms estudiamos la historiade este juego trascendental, tanto mayor es la angustiosa sensacin de que el universoest buscando lograr mxima puntuacin. Un ejemplo excelente y actual es eldescubrimiento de la organizacin octal, realizado independientemente por MurrayGell-Mann y Yuval Ne'eman. Se trata de una pauta de simetra, definida por unaestructura de grupo continuo, a la que parecen acoplarse todas las partculaselementales. En cuanto se logr acumular informacin suficiente, la pauta result lobastante sencilla como para que dos fsicos, cada uno por su cuenta, lograsen

    detectarla; empero, sigui siendo lo suficientemente compleja como para que losdems jugadores no se percataran de ella.

    Sackson, el inventor de Pautas, es ingeniero en ejercicio, que ha trabajado sobrepuentes y edificios de estructura metlica. A lo largo de su vida, su entretenimientofavorito ha sido coleccionar, estudiar e inventar juegos. Sin duda posee la mayor de lascolecciones particulares de juegos de especulacin, de libros sobre juegos, y denotas logradas a costa de concienzuda investigacin en grandes bibliotecas y museosde todo el mundo. l mismo ha inventado centenares de juegos. El primero, nos revelaen su libro, lo ide cuando estaba en primer curso de escuela primaria. Se basaba enencerrar palabras dentro de un crculo, y luego concatenarlas. El primero de los juegosde tablero que invent fue Uncle Wiggily, que todava sigue a la venta.

    Inmediatamente lo modific, alterando las reglas y cambiando los conejitos de laprimera versin por soldaditos de juguete, transformndolo as en juego guerrero.

    Casi todos los juegos comercializados por Sackson tienden a primar la habilidadintelectual sobre la pura suerte. Desde el punto de vista de ventas, el de ms xito hasido el llamado Acquire, cuyo tema es la inversin en cadenas hoteleras. Entre losotros juegos suyos disponibles en el mercado se cuentan El caso del asesinoescurridizo (juego lgico basado en los diagramas de Venn), Focus, Bazaar, Tam-Bit,Take Five, Odd or Even, Tempo, Interplay, y dos juegos de naipes, Venture y Monad.

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    A Gamut of Gameses un libro de juegos muy singular, pues prcticamente la totalidadde los 38 juegos que contiene les sern desconocidos a los lectores. En todos ellos, elmaterial necesario es fcil de adquirir o construir: naipes, dados, domins, tableros deajedrez... De los 38, 22 son originales de Sackson, y los restantes, o bien son invencinde otros aficionados amigos de Sackson, o bien son juegos antiguos, hoy olvidados,pero que merece la pena resucitar. Como es obvio, no habr dos lectores que frente aun mismo juego muestren reacciones idnticas. A mi me resulta particularmente gratoel llamado Knight Chase, que se desarrolla sobre un tablero de ajedrez, con un caballoblanco y otro negro, y 30 fichas menudas. Este juego ha sido inventado por AlexanderRandolph, un checo de nacimiento que hoy reside en Venecia, y que tiene a la venta enlos EE.UU. varios otros juegos excelentes. Otro juego al que no falta intersmatemtico, es Plank, una variante del tatet (tres en raya), que se vale de 12 tirastricolores de cartulina. La seccin final del libro es un valioso obsequio que Sacksonhace al lector: se dan all recensiones sucintas de ms de 200 juegos para adultos,seleccionados entre los mejores que hay en venta en los EE.UU.

    El texto de Sackson, nada engolado, est salpicado de ancdotas personales y debreves referencias histricas, tan curiosas como sorprendentes. Antes de leer el libro,

    por ejemplo, yo ignoraba que el cribbage (juego de naipes ingls, para dos o trespersonas) hubiera sido ideado por Sir John Suckling (poeta del siglo XVII), ni sabatampoco que el Monopoly, sin duda el ms difundido de los juegos de especulacin ycompra-venta, se derivase de The Landlords Game, patentado en 1904 por una talLizzie J. Magie, juego cuya finalidad era ensear la teora del impuesto simple de HenryGeorge. En su libro, Sackson reproduce el tablero patentado por Magie; la semejanzacon el Monopoly salta a la vista.

    Los juegos de tablero comerciales, nos recuerda Sackson, tienden a reflejar losacontecimientos y los temas que interesan a las gentes de su tiempo. Aunque l no lomenciona, tenemos un irnico ejemplo de su afirmacin en The Money Game (el

    juego del diriero), juego de naipes inventado por Sir Norman Angell, premio Nobel de

    la Paz en 1933. La baraja, especial, y el dinero en miniatura precisos para este juegode especulacin burstil venan empaquetados junto a un libro explicativo de 204pginas. Publicado por E. P. Dutton, en la sobrecubierta hacan de l exageradoselogios Walter Lippmann, John Dewey y destacados economistas. CuI es la gracia-gracia macabra- del juego del dinero de Angell? Su fecha de publicacin: 1929.

    ApndiceRobert Abbott ha modificado considerablemente su juego Eleusis, logrando as quelas partidas sean mucho ms entretenidas. Las reglas de la Nueva Eleusis puedenverse en la seccin Juegos Matemticos de Investigacin y Ciencia de diciembre de1977.

    Sidney Sackson se retir en 1970 de sus tareas ingenieriles, dedicndose desdeentonces enteramente a inventar nuevos juegos y escribir. Su Gamut of Gamessigueen prensa, en edicin encuadernada (Castle Books); hay en la actualidad cuatro librossuyos ms, que ha preparado para Pantheon, una divisin de Random House.

    Los cuatro, en rstica, son Beyond Tic Tac Toe (1975), Beyond Solitaire (1976),Beyond Words (1977) y Beyond Competition (1977). Todos ellos contienen hojasdesprendibles donde jugar a estos novedosos pasatiempos. Sackson continahaciendo la recensin de nuevos juegos en su seccin habitual de Strategy and

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    Tactics, revista bimensual dedicada a juegos blicos, y colabora en la revista inglesaGames and Puzzlesy en la nueva publicacin americana Games.

    En los EE.UU. estn a la venta ms de dos docenas de juegos de tablero originales deSackson, de los cuales, los ms conocidos son los de marca 3M: Acquire, Bazaar,Executive Decision, Venture, Monad, y Sleuth. Otro juego suyo, Focus, se comenta enmi libro Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American, capitulo 5.

    Se estn haciendo decididos esfuerzos para lograr programas de ordenador capacesde ejecutar automticamente procesos de induccin y cada vez es mayor la bibliografasobre el tema. Varios especialistas e investigadores en ciencias de computadores hanexperimentado diversos programas para el juego de Pautas creado por Sackson.Uno de tales programas es analizado con detalle en A Game Playing Procedure for aGame of Induction, trabajo de Edward Thomas Purcell, con l logr el grado demaster en ciencias de computadores en la Universidad de California, en LosAngeles.

    SolucionesEl problema consista en determinar el criterio de organizacin de cierto modelo para el

    juego de induccin de Sackson. He aqu la solucin: partiendo del ngulo superiorizquierdo, y movindose en espiral hacia el centro, en el sentido de las agujas del reloj,vemos primero un smbolo, luego dos smbolos, luego tres, despus cuatro, y acontinuacin, los smbolos anteriores se repiten, en el mismo orden, en grupos decinco, seis, siete y ocho.

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    Captulo 5

    Los elegantes tringulos

    Cabra suponer que el humilde tringulo fue ya tan exhaustivamente estudiado por losgemetras de la Grecia clsica, que mal podran los siglos posteriores tener ocasin deaportar sobre ellos nuevos conocimientos de inters. Sin embargo, no es cierto.Evidentemente, el nmero de teoremas sobre tringulos es infinito, si bien, a partir decierto punto, se complican tanto y se hacen tan estriles que nadie puede calificarlos deelegantes. George Polya defini en cierta ocasin la elegancia de los teoremasgeomtricos como directarnente proporcional al nmero de ideas que en ellos vemos,e inversamente proporcional al esfuerzo requerido para comprenderlas. Durante losltimos siglos se han descubierto muchos elegantes resultados sobre tringulos, tanbellos como importantes, pero con los que no es probable que se haya tropezado ellector durante su formacin en geometra plana elemental. En este captulo

    examinaremos solamente una porcin mnima de estos teoremas, detenindonos unpoco en aquellos que han suscitado problemas con matiz recreativo.

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    Comencemos por un tringulo ABC de forma arbitraria (vase la Figura 27). Sobrecada uno de sus lados se construye un tringulo equiltero, bien hacia el exterior(arriba, a la izquierda), bien hacia el interior (arriba, derecha). En ambos casos sedescubre que al unir por lneas rectas (de trazos en la figura) los centros de los nuevostringulos (estos centros pueden determinarse por interseccin de dos alturas) quedaconstruido un cuarto tringulo equiltero. (A veces, el teorema se enuncia construyendosobre cada lado un tringulo issceles, con ngulos de 30 grados en la base. El cuartotringulo resulta de unir los vrtices de los tringulos issceles as construidos. Estosvrtices son los centros de nuestros tringulos equilteros, as que ambos teoremasson idnticos.) Si el tringulo ABC de partida fuese ya equiltero, los tringulos

    trazados hacia el interior definen un tringulo equiltero degenerado, reducido a unpunto. El teorema, que es precioso, sigue siendo vlido cuando el tringulo inicialqueda degenerado en un segmento rectilineo, como vemos en la parte inferior derechade la ilustracin. Ignoro quin fue el primero en descubrirlo -ha sido atribuido aNapolen-, pero de l se han publicado en estos ltimos aos muchas demostraciones.Una muy poco comn, basada exclusivamente en teora de grupos y transformacionesde simetria, puede verse en Geometric Transformations, del matemtico ruso IsaacMoisevitch Yaglom.

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    Otro teorema muy elegante es el famoso de los nueve puntos, en el cual parecesurgir de la nada una circunferencia, lo mismo que antes se materializabainsospechadamente un tringulo equiltero. Fue descubierto por dos matemticosfranceses, quienes lo publicaron en 1821. Dado un tringulo cualquiera, situemos en ltres ternas de puntos (vase la Figura 28).

    1. Los puntos medios (a, b, c) de los tres lados.2. Los pies (p, q, r) de las tres alturas.

    3. Los puntos medios (x, y, z) de los segmentos rectilneos que unen cada vrtice conel ortocentro (punto de interseccin de las tres alturas).

    Como muestra la ilustracin, estos nueve puntos yacen sobre una mismacircunferencia, resultado sorprendente que abre paso a otra multitud de teoremas. Porejemplo, no es difcil demostrar que el radio de la circunferencia trazada por estosnueve puntos es precisamente la mitad del radio de la circunferencia circunscrita altringulo de partida. La propiedad de las alturas de cortarse en un solo punto(ortocentro) es de por s interesante; Euclides no la menciona, y aunque Arqumedes la

    da a entender, parece ser que no fue enunciada explcitamente hasta Procio, filsofo ygemetra del siglo V.

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    En un tringulo, se llaman medianas a las rectas que unen cada vrtice con el puntomedio del lado opuesto (vase la Figura 29). Tambin las medianas concurren en unpunto, que se denomina baricentro (y tambin centroide, centro de gravedad, y centrode masas). El baricentro dista de cada lado un tercio de la longitud de lacorrespondiente mediana; las medianas dividen al tringulo en seis porcionestriangulares de iguales reas. Adems, el baricentro o centroide es el centro degravedad del tringulo, hecho que ya conoca Arqumedes. Es posible que el lectorhaya visto demostrada esta propiedad recortando en cartulina un tringulo escaleno,trazando las medianas para hallar su baricentro y sostenindolo en equilibrio sobre lapunta del lpiz en ese punto.

    Las medianas son casos particulares de rectas ms generales, llamadas cevianas(en honor de un matemtico italiano del siglo XVII, Giovanni Ceva). Las cevianas sonrectas trazadas desde un vrtice del tringulo a un punto del lado opuesto. Si en lugarde los puntos medios tomsemos en los lados los puntos de triseccin, las trescevianas que vemos en la Figura 30 dividiran al tringulo en siete regiones cuyassuperficies seran todas mltiplos enteros de 1/21 del rea del tringulo de partida. Eltringulo central, sombreado, tiene rea 3/21, o sea, 1/7. Existen muchas ingeniosas

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    demostraciones de esta propiedad, as como de los resultados de un caso msgeneral, donde cada lado del tringulo es dividido en npartes iguales. Si las cevianasse trazan como antes, hasta el prirnero de los puntos de divisin de cada lado,recorriendo el tringulo en sentido horario (o antihorario, si se prefiere), el tringulocentral tendr un rea de (n- 2)2 / (n2 - n+ 1). En su Introduction to Geometry (de laque existe versin castellana, del mismo titulo) H. S. M. Coxeter estudia unageneralizacin an ms amplia, donde cada lado del tringulo puede ser descompuestoen nmeros arbitrarios de partes iguales. All se da una frmula que se remonta a 1896,y Coxeter muestra cun sencillamente puede ser deducida sin ms que alojar eltringulo en una reticulacin regular de puntos del plano.

    Todo tringulo tiene tres lados y tres ngulos. Euclides estudi tres casos decongruencia de tringulos en los que sta queda asegurada por la igualdad de ciertasternas de elementos, por ejemplo, dos lados y el ngulo comprendido entre ambos.Pero, es posible que dos tringulos tengan idnticos cinco de sus seis elementos, sinser, pese a ello, congruentes? Puede parecer imposible a primera vista, mas resultaque hay una infinidad de pares de estos tringulos congruentes a 5, como han sidobautizados por Richard A. Pawley. Si en un par de tringulos congruentes a 5 fuesen

    iguales los tres lados, los tringulos seran totalmente congruentes; por lo tanto, lanica situacin en que puede darse la no-congruencia es la igualdad de los tresngulos y de dos lados. Cuando se exige, adems, que los lados de los tringulosvengan todos dados por nmeros enteros, el ejemplo mnimo ser el que vemos en laFigura 31.

    Observemos que los lados de 12 y 18 unidades, aunque de longitud igual, no son ladoshomlogos. Los tringulos son forzosamente semejantes, porque los nguloshomlogos s son respectivamente iguales; pero no son congruentes. El problema dehallar todos los pares de tringulos como stos guarda ntima relacin con el problemade la razn urea.

    Existen muchas frmulas -conocidas desde antiguo- para hallar los lados, ngulos, el

    rea, etc., de un tringulo, conocidos ciertos datos sobre sus alturas, medianas, etc. Laexpresin ))()(( csbsass , donde a, b y c son las longitudes de los lados deltringulo y ses el serniperrnetro, es decir, la mitad de la suma de longitudes de loslados, da el rea del tringulo. Esta frmula, tan sorprendente como sencilla, fuedemostrada por vez primera en la Mtrica de Hern de Alejandra, quien vivi en lossiglos I o II despus de Cristo. La frmula, que constituye el principal mrito matemt