Coni, cilindri,

superfici di rotazione

R. Notari

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1. Richiami di teoria.

Per la definizione e la descrizione di tali su-

perfici come superfici parametrizzate si veda

il materiale su Curve e Superfici parametriz-

zate. In questo paragrafo, vogliamo solo ri-

cordare alcune costruzioni utili.

2. Cilindro.

Sia dato il vettore→v = (a, b, c) non nullo, e la

curva

C :

{f(x, y, z) = 0g(x, y, z) = 0.

Il cilindro avente direttrice C e generatrici

parallele a→v ha equazione cartesiana che si

ottiene eliminando le variabili t, x0, y0, z0 dal

sistema

x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ctf(x0, y0, z0) = 0g(x0, y0, z0) = 0.

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3. Cono.

Sia dato il punto V (xV , yV , zV ) e la curva

C :

{f(x, y, z) = 0g(x, y, z) = 0.

Il cono di vertice V e direttrice C ha equazione

parametrica che si ottiene eliminando le varia-

bili t, x0, y0, z0 dal sistema

x = xV + (x0 − xV )ty = yV + (y0 − yV )tz = zV + (z0 − zV )tf(x0, y0, z0) = 0g(x0, y0, z0) = 0.

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4. Superfici di rotazione.

Siano date la retta

r :

x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct

e la curva

C :

{f(x, y, z) = 0g(x, y, z) = 0.

La superficie descritta dalla rotazione di C

attorno ad r ha equazione cartesiana che si

ottiene eliminando le variabili α, β, γ dal si-

stema

a(x− α) + b(y − β) + c(z − γ) = 0(x− x0)

2 + (y − y0)2 + (z − z0)

2 == (α− x0)

2 + (β − y0)2 + (γ − z0)

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f(α, β, γ) = 0g(α, β, γ) = 0.

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