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Casse di Previdenza e rischio di longevità: la copertura tramite longevity derivatives Roma, 21 marzo 2011 Prof. Massimiliano Menzietti Università della Calabria Seminari del Centro Studi AdEPP
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Casse di Previdenza e rischio di longevità:
la copertura tramite longevity derivatives
Roma, 21 marzo 2011
Prof. Massimiliano Menzietti
Università della Calabria
Seminari del Centro Studi AdEPP
Agenda
Enti di previdenza e longevity risk
● Definizione e caratteristiche
● I trend demografici e il rischio di longevità
● I modelli per rappresentarlo
La gestione del longevity risk tramite i longevity derivatives:
● Gli strumenti di gestione del longevity risk
● Il panorama dei prodotti derivati sulla longevità
● Modelli di pricing
● Un focus sui survivor swap
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Il longevity risk
Il longevity risk è un rischio caratteristico di enti (compagnie di assicurazione / enti
di previdenza) che erogano prestazioni in caso di vita (ed in particolare rendite) ad
un soggetto assicurato / iscritto
Può essere definito a livello individuale o aggregato (cf. Stallard 2006).
● In particolare a livello aggregato esso si sostanzia nel rischio che l’insieme dei percettori
di rendita vivano in media di più di quanto assunto nelle basi tecniche
Si manifesta laddove la mortalità osservata è sistematicamente inferiore a quella
osservata
E’ la conseguenza dell’incertezza insita nel fenomeno della mortalità e della sua
rappresentazione tramite un modello di proiezione
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Il longevity risk
“Non pooling” risk (non diversificabile) opera nella stessa direzione per tutti gli
assicurati
E’ un rischio sistematico, non-hedgeable
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I trend demografici e il longevity risk
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Vita più
lunga
Bassa fertilitàTrend
demografici
• Cambiamento nella struttura per età della popolazione
Invecchiamento della popolazione
• Incremento del peso percentuale degli anziani
Longevity risk
• Incremento progressivo nell’aspettativa di vita e quindi potenziale incremento del longevity risk
IncertezzaIncremento nel numero
degli esposti al rischio di
sopravvivenza
Invecchia-mento
Crescente longevity risk
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I trend demografici e il longevity risk
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L’impatto del longevity risk
Le principali conseguenze per i fondi pensione e gli erogatori di rendite sono:
● Estensione del periodo di pagamento della rendita e quindi del valore attuale della stessa
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Elaborazione dell’autore su dati ISTAT
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L’impatto del longevity risk
Le principali conseguenze per i fondi pensione e gli erogatori di rendite sono:
● Incremento della passività attuariali
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Elaborazione dell’autore su dati ISTAT
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Il processo di risk management
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Identificazione
• Individuazione e classificazione del rischio
Valutazione
• Misurazione tramite modelli deterministici o stocastici
Gestione
• Individuazione delle strategie di gestione del rischio: o tramite tecniche di controllo delle perdite o tramite tecniche di finanziamento delle stesse. Si può operare a livello di disegno del prodotto o con strategie di protezione del portafoglio
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Il management del longevity risk
Un management responsabile del longevity risk implica che le compagnie di
assicurazione e gli enti previdenziali devono misuralo e gestirlo
Per modellizzare e misurare il longevity risk è necessario sviluppare un modello
stocastico di proiezione della mortalità
In effetti i trend decrescenti della mortalità impongono l’adozione di tavole proiettate di
mortalità per calcolare i valori attuariali delle rendite
Qualsiasi modello di proiezione sia stato adottato, il trend futuro della mortalità trend è
random possono verificarsi deviazioni sistematiche della mortalità
Si richiedono proiezioni stocastiche per quantificare esplicitamente l’incertezza della
mortalità proiettata
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I modelli di proiezione della mortalità
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Fonte: Olivieri - Pitacco “Life annuities and longevity dynamics” WP n. 36,
CERAP 2006
• Interpolazione dei trend di mortalità osservati in passato
• Ipotesi: I trend osservati si ripeteranno in futuro estrapolazione dei trend
• La natura stocastica della mortalità non viene considerata
Metodi estrapolativi
• I tassi di mortalità osservati sono estrazioni di variabili casuali che rappresentano la mortalità passata
• I tassi di mortalità proiettati sono stime di variabili casuali che rappresentano la mortalità futura
• Si definiscono un insieme di ipotesi circa la mortalità e un legame tra osservazioni e proiezioni
Modelli stocastici
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I modelli stocastici di proiezione della mortalità
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Source: Olivieri - Pitacco “Life annuities and longevity dynamics”
WP n. 36, CERAP 2006
In un modello stocastico i
risultati delle proiezioni
forniscono sia stime puntuali
che intervalli di confidenza dei
futuri tassi di mortalità
• Le principali caratteristiche di uno scenario di mortalità possono essere ben rappresentate
• Esempi di leggi di mortalità: Gompertz, Makeham, Weibull, Heligman-Pollard
Modelli basati su leggi di mortalità
• Modello Lee-Carter e sue estensioni E’ un esempio significativo di approccio stocastico nella proiezione della mortalità
• Il tasso centrale di mortalità è modellizzato come un processo stocastico
Modelli distribution-free
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La gestione del longevity risk
Il longevity risk può essere gestito da
una compagnia di assicurazione o da
un ente di previdenza trattenendolo o
trasferendolo ad altre controparti
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Uso e limiti del mercato delle longevity-linked securities
Blake e Burrows (2001) sono stati i primi a sostenere l'uso di mortality /(longevity)-
linked securities per il trasferimento del rischio di longevità al mercato dei capitali
Difficoltà di affermazione del nuovo mercato:
● squilibrio di scala tra le esposizioni esistenti e la volontà dei fornitori di copertura
● mortality-linked securities devono soddisfare le diverse esigenze degli hedgers e degli
investitori (difficili da conciliare - i primi richiedono l’efficacia della copertura, mentre gli
ultimi domandano liquidità)
● assenza di un prezzo di mercato per il rischio di longevità
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La nascita del mercato delle longevity-linked securities
Loeys et al. (2007) spiegano che per istituire un nuovo mercato del capitale di
successo, esso deve:
● fornire un'esposizione o copertura efficace (minore il numero di contratti scambiati,
maggiore la liquidità in ogni contratto, ma più bassa l’efficacia della copertura, indici
nazionali e rischio base)…
● ad un rischio del mondo che è economicamente importante (buon equilibrio tra domanda e
offerta di longevità: questo influenzerà la dimensione complessiva del mercato, nonché il
prezzo del rischio di longevità - Il coinvolgimento dei mercati del capitale ridurrà i costi di
gestione del rischio di longevità: aumento di capacità, insieme a una maggiore trasparenza
dei prezzi (arbitraggisti) e maggiore liquidità (speculatori))…
● che non può essere coperto attraverso gli strumenti del mercato esistente …
● e deve utilizzare un contratto omogeneo e trasparente per consentire gli scambi tra gli agenti
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Le soluzioni di prima generazione del mercato dei
capitali : prodotti Bond-based
Mortality bonds
● Breve scadenza, rappresentano titoli negoziabili a livello di mercato i cui pagamenti sono
legati a un indice di mortalità. Sono simili ai catastrophe bond. Es. Swiss Re mortality bond
Longevity bonds (o survivor bonds)
● Principal-at-risk longevity bonds o coupon based longevity bonds
● Scadenza fissa o scadenza stocastica
● Es EIB – BNP Paribas 2004 (se la mortalità fosse stata inferiore a quanto previsto, le cedole
previste sul bond sarebbero diminuite e viceversa). Carenze di progettazione (Il rischio di
base troppo grande). Premio per il rischio di longevità. Carenze istituzionali (dimensione
dell'emissione troppo piccola per creare un mercato liquido) (favore per la copertura della
longevità, sfavore per la copertura legata al bond).
● Lezioni: necessità di una buona serie di indici di mortalità (LifeMetrics) oggettivamente
calcolati, trasparenti e rilevanti; modelli di previsione stocastici della mortalità più
trasparenti.
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Esempio di longevity bond
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Obblighi dell’erogatore della rendita:
● Rendita immediata ad una coorte di percettori di rendita di età al tempo 0
● R è l’importo annuo della rendita individuale
● in t the l’erogatore della rendita pagherà l’ammontare aleatorio
● esposizione al rischio di deviazioni sistematiche tra e
Straight coupon bond:
● Flusso di cassa aggregato ad ogni scadenza t
● Rimborso pari a RF alla scadenza finale T
● Lin and Cox (2005) ipotizzano cedole costanti di importo RC
0xl 0x
txRl 0
txl 0 txl 0
ˆ
tRC
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Esempio di un coupon-based longevity bond con coupons a rischio e principal
garantito
Esempio di longevity bond
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Esempio di longevity bond
tt BCD
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Tramite la SPC il flusso di cedole C è ripartito tra erogatore della rendita e
investitori
• Flussi ricevuti dall’erogatore della rendita
• Flussi ricevuti dagli investitori
0ˆ0
ˆ0ˆ
ˆ
00
0000
00
txtx
txtxtxtx
txtx
t
ll
Cllll
CllC
B
0ˆ
ˆ0ˆ
ˆ0
00
0000
00
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txtx
t
llC
CllllC
Cll
D
tt DBRCR
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Il pricing del longevity bond
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Prezzo valore atteso scontato dei payoff futuri sotto una misura di probabilità
aggiustata per il rischio
(Hp: rischio demografico e finanziario sono indipendenti)
• W : Bond Price pagato dalla SPC per acquistare lo bond
• P : Premium pagato dall’erogatore della rendita per gestire il suo LR
• V: Price pagato dagli investitori per acquistare il LB
d(0,t) : fattore di sconto risk-free
T
t
tdRCTRFdW1
,0,0
T
t
t tdBERP1
,0~
T
t
t tdDERTRFdW1
,0~
,0
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Le soluzioni di seconda generazione del mercato dei
capitali: prodotti derivatives-based
I longevity derivatives sono strumenti del mercato dei capitali che hanno payoffs
legati al livello di un indice di mortalità
I soggetti interessati alla creazione di un mercato per i longevity derivatives sono
hedgers, investitori istituzionali, speculatori, arbitraggisti, Governo, regolatori
q-Forwards
● E’ il più semplice longevity derivative. Un q-forward è un accordo tra due parti per lo
scambio a una data futura di un importo proporzionale al tasso di mortalità realizzato di una
determinata popolazione contro un importo proporzionale a un tasso di mortalità fisso
reciprocamente concordato all’ inizio. E’ un zero-coupon swap che scambia mortalità fissa e
mortalità realizzata alla scadenza. Copertura value hedge vs cash flow hedge.
Survivor swaps
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I survivor swaps
Survivor swap (basic): accordo tra due controparti per scambiare in futuro un flusso di cassa
fisso in cambio di un singolo flusso di cassa casuale dipendente dalla mortalità (Dowd et al.
2006)
● I cash-flows sono collegati al numero di sopravviventi di una data coorte
● Confrontato con altre mortality-linked securities – p.e. longevity bonds – i survivor swaps :
o Comportano costi di transazione più bassi
o Sono più flessibili e tagliati su misura per venire incontro alle varie esigenze
o Non richiedono l’esistenza di un mercato liquido
Vanilla survivor swaps (insieme di basic survivor swaps): le controparti si accordano per
scambiarsi una serie di pagamenti periodici (per ogni t = 1, 2, . . . , S ) fino alla scadenza dello
swap S
● Fixed leg dipende dai sopravviventi attesi di una data coorte
● Floating leg dipende dai sopravviventi effettivi alle scadenze future
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I survivor swaps emessi tra il 2008-2009
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Date Hedger Term (years) Intermediary
Jan-08 Lucida 10 JPMorgan
Jul-08 Canada Life 40 JPMorgan
Feb-09 Abbey Life Run-off Deutsche Bank
Mar-09 Aviva 10 RBS
Jun-09 Babcock 50 Credit Suisse
Jul-09Royal & Sun
AllianceRun-off Goldman Sachs
Source: Biffis & Blake (2009),“Mortality-Linked Securities and Derivatives”
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La struttura di un vanilla survivor swap
L’erogatore di rendita deve pagare rendite immediate ad una coorte di percettori
di età al tempo zero
● Rendita fissa di importo1€
● : numero atteso di sopravviventi all’età al tempo t
● : numero effettivo di sopravviventi all’età al tempo t
Esposizione al rischio sistematico di deviazioni tra e
: perdite subite dall’erogatore della rendita ad ogni scadenza t
p : aliquota di premio fisso dello swap fissat in modo che il valore dello
swap in sia zero all’emissione valore di mercato del fixed leg = valore di mercato
del floating leg
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xl
x
txl txl ˆ
txl ˆ tx
Flussi di cassa
del survivor
swap
txtx ll ˆ
txl ˆ1 p
txl
tx txl
<p 0
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Il pricing del vanilla survivor swap
Il valore del vanilla survivor swap al tempo zero per il fixed-rate payer è:
Ipotizzando l’indipendenza tra tassi d’interesse e mortalità:
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txtx lVlV ˆ1swap dello valore p
Prezzo di mercato
del fixed leg in t=0
Prezzo di mercato del
floating leg in t=0
T
t
txtx tdllV1
),0(ˆ1ˆ1 ppValore attuale atteso del fixed leg sotto la
misura di probabilità del mondo reale
T
t
txtx tdlElV1
),0(Valore attuale atteso del floating leg sotto la
misura di probabilità risk-adjusted
),0( td : fattore di sconto risk-free
1
),0(ˆ
),0(
1
1
T
t
tx
T
t
tx
tdl
tdlE
p
Premio del vanilla
survivor
Swap
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Rappresentazione del flusso di pagamenti
di un vanilla survivor swap
26Menzietti Seminari AdEPP, Roma 21 marzo 2011
Longevity futures. Ad oggi non ci sono mercati di futures su strumenti longevity-linked.
Fattori chiave per il successo di contratti futures sono :
● Esistenza di un mercato spot del sottostante grande, liquido e attivo, con una buona
trasparenza dei prezzi.
● i prezzi spot devono essere sufficientemente volatili per rendere attraenti sia le attività di
copertura che la speculazione.
● il sottostante deve essere omogeneo.
● il mercato del sottostante e dei contratti futures non deve essere fortemente concentrato né
sul lato dell’acquisto né su quello della vendita, per non incorrere nella manipolazione dei
prezzi.
● deve esserci attiva partecipazione di hedgers e speculatori.
● In Blake e al. (2006) si suggerisce l’uso dei prezzi dei longevity bonds, o di indici di
sopravvivenza come sottostante.
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Le soluzioni di seconda generazione del mercato dei
capitali: prodotti derivatives-based
Menzietti Seminari AdEPP, Roma 21 marzo 2011
Longevity options. Ad oggi non ci sono mercati di opzioni su strumenti longevity-
linked. Le longevity options producono dei payoff che non sono funzioni lineari di
variabili sottostanti.
Nel caso di longevity (o survivor) caps e floors, il sottostante è un indice di
sopravvivenza S(t,x). Sia sc(t) un cap rate per la data d’esercizio t e sf(t) il
corrispondente floor rate. Un caplet pagherà max{S(t,x) - sc(t), 0} al tempo t mentre un
floorlet pagherà max{sf(t) - S(t,x), 0}. I survivor caplets e floorlets possono essere
inglobati in longevity caps e floors.
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Le soluzioni di seconda generazione del mercato dei
capitali: prodotti derivatives-based
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Survivor caps and floors
Survivor caps e floor = serie di survivor caplets and floorlets
Payoff di un survivor caplet :
Payoff del Survivor floorlet:
Ipotizzando l’indipendenza tra tassi d’interesse e mortalità :
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Valore attuale atteso dei payoff dei caplets/floorlets
payoff sotto la misura di rischio risk-adjusted),0( td : fattore di sconto risk-free
Prezzo del
survivor cap
0;max cttx
ct klx
con cap rate per la scadenza t: txct
ct lk ˆ1 p
0;max txf
tf
t lkx con floor rate per la scadenza t: txf
tf
t lk ˆ1 p
T
t
ct
cT tdxEP
1
* ),0(][ Prezzo del
survivor floor
T
t
ft
fT tdxEP
1
* ),0(][
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Coperture Standardizzate vs Personalizzate
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Il pricing delle longevity-linked securities
Incompletezza del mercato delle longevity-linked securities i pagamenti connessi
con la mortalità non possono essere replicati
Esistono principalmente due approcci di pricing
● Approccio risk-neutral
o Si applicano alle longevity-linked securities gli stessi principi di pricing usati per il
pricing dei derivati finanziari,
● Trasformata di Wang (Wang (2002))
o Le probabilità risk adjusted sono ottenute tramite un operatore di distorsione
Scarsità di longevity-linked securities trattate sul mercato
● Problemi ad impiegare metodi arbitrage-free
● Impossibilità di stimare un’unica misura di probabilità risk adjusted.
● Se il mercato globale è arbitrage-free, esiste almeno una misura di tipo neutrale verso il
rischio Q utilizzabile per calcolare il prezzo equo
31Menzietti Seminari AdEPP, Roma 21 marzo 2011
La trasformata di Wang
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Wang definisce il seguente operatore di distorsione
dove 0<u<1 e λ è un parametro che riflette il rischio insito nei data (il prezzo di
mercato del rischio)
La distribuzione di probabilità del mondo reale è distorta per produrre valori
attesi risk-adjusted che possono essere scontati con fattori di sconto risk-free .
Approccio usato da:
● Lin and Cox (2005)
● Cox-Lin-Wang (2006)
● Denuit-Devolder-Goderniaux (2007)
)()( 1 uug
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Il prezzo di mercato del rischio
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Possiamo usare il prezzo di mercato delle rendite per stimare :
● Mancanza di un mercato secondario delle rendite in Italia
● HP: il valore di mercato delle rendite supposto uguale al valore di mercato
calcolato impiegando le basi tecniche di maggiore diffusione (IPS55)
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Alcuni approfondimenti
LEVANTESI S., MENZIETTI M., TORRI T. (2010). Longevity Bond Pricing
Models: an Application to the Italian Annuity Market and Pension Schemes. XVIII
International AFIR Colloquium. Rome, September 30th - October 3rd 2008. p. 1-17 In
stampa sul Giornale dell’Istituto Italiano degli Attuari vol. 72 n. 1 (2009); p. 119-
141. ISSN: 0390-5780.
LEVANTESI S., MENZIETTI M., TORRI T. (2010). The securitization of longevity
risk in pension schemes: the case of Italy. In: GREGORIOU G. et al. “Pension Fund
Risk Management: Financial and Actuarial Modeling”. P. 331-362. Chapman & Hall,
CRC Finance Series, New York. ISBN/ISSN: 978-14-398-1752-0.
LEVANTESI S., MENZIETTI M., TORRI T. (2010). On longevity risk securitization
and solvency requirements in life annuities. International Conference MAF 2010,
Ravello (SA), April 7-9 2010.
34Menzietti Seminari AdEPP, Roma 21 marzo 2011
Bibliografia essenziale
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Bauer, D., Börger, M. and Russ, J. 2010. On the pricing of longevity-linked securities. Insurance: Mathematics and Economics
46: 139-149
Biffis, E. and Blake, D. 2009. Mortality-Linked Securities and Derivatives. Discussion Paper PI-0901, Publisher: Pensions
Institute, London
Blake, D., and Burrows W. 2001. Survivor bonds: helping to hedge mortality risk. Journal of Risk and Insurance 68: 339-348.
Blake, D., Cairns, A. J. G. and Dowd, K. 2006. Living with Mortality: Longevity Bonds and Other Mortality-Linked Securities.
British Actuarial Journal 12: 153-228
Coughlan, G., Epstein, D., Sinha, A., Honig, P. 2007. q-forwards: Derivatives for transferring longevity and mortality risks. J.P.
Morgan’s Pension Advisory Group
Dowd, K., Blake, D., Cairns, A. J. G. and Dawson, P. 2006. Survivor Swaps. The Journal of Risk & Insurance 73: 1-17
Lee, R.D. and Carter, L.R. 1992. Modeling and forecasting U.S. mortality. Journal of the American Statistical Association 87:
659-675
Lin, Y. and Cox, S.H. 2005. Securitization of Mortality Risks in Life Annuities. The Journal of Risk and Insurance 72(2): 227-252
Loeys, J., Panigirtzoglou, N., Ribeiro, R. 2007. Longevity: A market in the making. J.P. Morgan’s Global Market Strategy
Milevsky, M.A., Promislow, S.D., Young, V.R., 2005. Financial valuation of mortality risk via the instantaneous Sharpe ratio. WP
York University and University of Michigan
Olivieri A., Pitacco E. 2006. Life annuities and longevity dynamics, WP n. 36. CERAP – Università Bocconi . Milano
Stallard, E., 2006, Demographic Issues in Longevity Risk Analysis, Journal of Risk and Insurance, 73(4): 575-609
Wang, S. 2002. A universal framework for pricing financial and insurance risks. ASTIN Bulletin 32(2)
Menzietti Seminari AdEPP, Roma 21 marzo 2011
Massimiliano MenziettiDipartimento di Scienze aziendali, Università della Calabria
Dipartimento di Statistica, Sapienza - Università di Roma
Cell.: +39-3288829068
Contatti
Seminario AdEPP Roma 21 marzo 2011
