Capitolo1

Transitorio di partenza di getti sotto-espansi Viene ora presentato lo studio condotto da sull’evoluzione di getti piani

sottoespansi. In tale studio viene derivata una soluzione analitica simile in forma chiusa dei campi di

temperatura, pressione e densità nella sezione di testa, nel caso di flussi diffusivi.

Tale soluzione verrà ricercata generalizzando un modello precedente di Chekmarev che utilizza il metodo dello

strato limite per flussi ipersonici. Saranno quindi effettuate delle simulazioni per investigare il campo di moto

fino a distanze di circa 1000 volte la lunghezza caratteristica dell’apertura. I parametri usati nella simulazione

corrispondono al rilascio di idrogeno pressurizzato in aria, con rapporti di pressione che variano tra 100 e 1000.

Dai risultati viene confermata la similitudine con le leggi derivate teoricamente, in particolare si nota che la

testa del getto è laminare nelle prime fasi e solo successivamente si sviluppano delle instabilità acustiche

complesse ai lati del getto. Queste coinvolgono interazioni dell’onda d’urto con gli anelli vorticosi, in accordo

con i precedenti risultati sperimentali.

1.1 Introduzione al problema

Ci si riferisce a getti fortemente sotto espansi nel caso generale di un gas ( o di una miscela) ad alta pressione

che propaga in un gas (o in una miscela) a pressione più bassa attraverso un’apertura (piana nel caso

considerato).

Fenomenologia del processo.

Il gas ad alta pressione agisce come un pistone e crea un’onda d’urto di forte intensità che si muove verso il gas a

più bassa pressione. La successiva espansione multidimensionale del gas porta all’indebolimento di questa prima

onda d’urto causando quindi la formazione di un’onda d’urto secondaria che viaggia in direzione opporta Essa

corregge la maggiore diminuzione di pressione subita dal gas a causa dell’espansione multimensionale rispetto

all’aumento subito conseguentemente al passaggio della prima onda d’urto. Quando l’angolo di divergenza

dell’uscita aumenta fino a 90° come in un’espansione aperta, il flusso in uscita non è più laminare e la quantità di

moto predominante (quella lungo l’asse del getto) accresce la formazione di complessi anelli vorticosi che

interagiscono con gli urti.

Il processo transitorio di formazione del getto viene illustrato in una serie di fotografie del tipo Schlieren

eseguite da Naboko, si possono notare un primo urto, l’interfaccia (discontinuità di contatto) che separa il getto

entrante dall’ambiente esterno, l’anello vorticoso e altri urti secondari.

Viene anche riportato uno schema esemplifiativo della struttura del campo di moto.

La struttura più interna, formata da un’onda d’urto chiamata “Barrel Shock” e dall’onda di Mach, ricalca

qualitativamente la struttura di getti sottoespansi stazionari, questo è il campo che si sviluppa asintoticamente

quando il primo urto perde di intesità nel campo lontano.

Le simulazioni numeriche effettuate sono limitate ai getti debolmente sotto-espansi di gas perfetti non viscosi.

La risoluzione limitata non permette né di catturare il campo di moto turbolento associato agli anelli vorticosi

osservati sperimentalmente, né di visualizzare gli effetti diffusivi delle discontinuità di contatto. Il problema

numerico è generalmente complicato anche dalla presenza di reazioni chimiche e dall’aumento dei processi di

trasporto a causa della turbolenza.

Nel problema di getti sotto espansi reagenti, sono necessari calcoli dettagliati (si deve considerare il caso di

miscela diffusiva in non equilibrio su scala molecolare) per approssimare meglio il fenomeno dell’accensione

sullo strato di miscela che separa combustibile e ossidante. A causa della complessità del problema generale

dello scarico del getto, lo studio presentato nell’articolo è una semplificazione e il problema verrà affrontato in

due passi. Si inizia con esperimenti numerici su getti altamente non stazionari, in modo da determinare il campo

di moto e i processi fisici coinvolti durante il rilascio dei gas ad alta pressione. Poiché si è interessati a flussi con

alto numero di Reynolds , i flussi conduttivi dominano su quelli diffusivi, ovunque tranne nelle zone con gradienti

elevati (superfici di contatto e onde d’urto). Lontani da queste discontinuità virtuali , il flusso può essere

considerato non viscoso e in quasi equilibrio ,e verrà modellizzato dalle equazioni di Eulero per un gas perfetto.

Il secondo passo consiste nel modellare analiticamente l’evoluzione gasdinamica dell’interfaccia che separa i due

gas e ottenere l’evoluzione di velocità, pressione, temperatura e densità. Questo risultato analitico fornisce le

condizioni al contorno variabili per un’ analisi degli strati diffusivi più interni che possono essere condotti

separatamente su domini molto più piccoli e possono essere usati per studiare il processo di accensione del

getto reagente.

La soluzione presente è basata sull’ordine superiore della soluzione data da Chekmarev per sorgenti pulsanti,

sferiche ed ipersoniche, e la sua applicazione ai getti sonici, considerata successivamente in Chekmarev &

Stankus è stata modificata partendo dalla formulazione base del modello. Questo metodo è stato poi esteso ad

ordini maggiori utilizzando la teoria di Chernyi per flussi ipersonici in modo da ottenere l’evoluzione di pressione,

densità e temperatura all’interfaccia come funzione del tempo.

Il documento presenta all’inizio la soluzione numerica, in dettaglio, di getti fortemente sottoespansi ed in

seguito sarà derivato il modello analitico per l’evoluzione della superficie di testa del getto, la stima del dominio

di validità del modello ed un confronto con i risultati numerici e i dati sperimentali disponibili .

1.2 Impostazione del problema fisico , equazioni di governo e metodo numerico

Il problema fisico è rappresentato da un gas ad alta pressione A contenuto in un serbatoio, esso è separato con

una parete sottile dall’ambiente esterno in cui è presente il gas B a pressione molto più bassa.

A t=0 l’interfaccia virtuale, che separa i due gas ad ascissa x=0, è rimossa e, il gas ad alta pressione propaga

attraverso un’apertura di raggio R nella parte del serbatoio in cui è presente il gas a più bassa pressione.

Si considera il problema generale in cui l’apertura è piana (problema bidimensionale), i gas sono considerati

perfetti con valori del numero di Reynolds e del numero di Peclet molto elevati in modo tale che gli effetti viscosi

e gli effetti diffusivi siano ristretti alle regioni con elevati gradienti, come ad esempio l’interfaccia tra i due gas A

e B, le onde d’urto e gli strati vorticosi.

Lontani da queste discontinuità si cerca quindi una soluzione gasdinamica dell’evoluzione del campo di moto

governato dalle equazioni di Eulero.

Scegliendo pressione, densità e velocità come variabili dipendenti , le equazioni di conservazione della massa ,

della quantità di moto ed dell’energia possono essere riscritte in forma dimensionale come

con energia totale (interna e cinetica)

in cui il pedice l rappresenta l’ l-esima componente del vettore velocità e l’indice ripetuto segue la regola della

sommatoria su tutti i valori dell’indice; è il rapporto dei calori specifici e la velocità del suono è definita come

Le medesime equazioni sono applicate sia al gas A e sia al gas B, questi sono caratterizzati da diversi valori del

rapporto del calore specifico , A e B. rispettivamente.

Il peso molecolare dei due gas può altresì variare , questo però non incide sulla soluzione gasdinamica del

problema. Il peso molecolare W incide sul campo di temperatura che viene calcolato a partire dalla soluzione

gasdinamica finale, per mezzo dell’equazione di stato dei gas perfetti applicata ad entrambi i gas.

dove Ru è la costante universale dei gas.

Per semplicità , le simulazioni numeriche effettuate sono state ristrette ai gas che hanno pari rapporto del calore

specifico , in modo tale da risolvere un solo set di equazioni per entrambi i gas.

Il caso di gas con pesi molecolari diversi non pone alcuna difficoltà ulteriore e si può effettuare implicitamente

fornendo i valori corretti di densità e pressione iniziale su ogni lato del dominio in esame.

I parametri scelti nella simulazione corrispondono all’espansione di idrogeno in aria con un rapporto pari a 1.4

per semplicità. Fornendo il peso molecolare dell’idrogeno e dell’aria ( ) ed

utilizzando l’equazione di stato dei gas perfetti, le pressioni e le densità sono tali che le temperature dei due gas

siano le stesse.

Le condizioni iniziali utilizzate per la simulazione sono riportate in tabella.

Condizioni Iniziali Soluzione del problema monodimensionale del tubo d’urto Parametri di

similitudine

337 23.2 6.03 42.3 5.27 5.27 4.89 0.260 0.288

Per adimensionalizzare le equazioni del problema si è scelto di prendere come riferimento le condizioni critiche,

che si sviluppano vicino all’apertura (nominalmente nella regione occupata dal gas A). Per un’espansione

stazionaria isentropica, dallo stato di ristagno del gas A, si ottiene

I pedici o e c denotano le condizioni di ristagno e lo stato critico rispettivamente. Si sceglie la lunghezza

dell’apertura come scala di riferimento per la lunghezza, la densità come densità di riferimento e la velocità

del suono come velocità di riferimento.

Le variabili adimensionali diventano quindi

Le equazioni di governo rimangono invariate in termini di variabili adimensionali e la lunghezza dell’apertura

diventa unitaria.

A causa della simmetria del problema, il dominio computazionale consiste solo nella metà superiore del dominio

fisico ed in tutte le simulazioni presentate i contorni esterni del dominio computazionale sono sufficientemente

lontani da non influenzare il campo di moto.

I due compartimenti sono separati da una parete sottile con uno spessore di 0.123 ,l’origine dell’asse orizzontale

è la parte destra della parete divisoria.

Il codice utilizzato è un solutore Godunov del secondo ordine in cui i problemi di Riemann del secondo ordine

sono costruiti a partire dalle variabili primitive utilizzando una funzione di media quadratica.

Il codice usa una serie gerarchica di griglie cartesiane G0,…..,G

M in cui la griglia M-esima ha intervallo

, con h dimensione della cella nella griglia base G0

.

Nello schema numerico è stata aggiunta della diffusione artificiale per sopprimere l’instabilità di Quirk e

rimuovere l’oscillazione di entropia dietro urti molto lenti.

1.3 ll campo di moto

L’evoluzione del campo di moto per una geometria piana è illustrata in figura 3 in termini di gradiente di

pressione. La figura mostra che sull’asse (y=0) si generano un’espansione monodimensionale, un’onda d’urto

con diffrazione attorno all’angolo dell’apertura nella direzione delle x positive e un’altra espansione che viaggia

in verso opposto.

La condizione iniziale scelta per la simulazione è il rapporto per la pressione e

conseguentemente il rapporto per la densità. La soluzione è stata ottenuta su una griglia

uniforme con h=1/256 (256 celle per lunghezza R dell’apertura).

Dopo il rilascio dei gas, si genera un’onda d’ urto con valore del numero di Mach (M=6) ,e questa è guidata dai

gas che si espandono lungo gli assi , in accordo con la soluzione del tubo d’urto. I risultati della soluzione del

tubo d’urto sono listati in tabella 1 per il caso considerato.

Il rapporto delle pressioni dei due gas all’istante iniziale è sufficientemente alto perché il flusso sul fronte

posteriore dell’espansione monodimensionale sull’asse sia supersonico e si muova in direzione delle x positive.

Lo sviluppo laterale invece è ben più complicato del ben noto problema della diffrazione dell’onda d’urto, questo

a causa della presenza di un’espansione monodimensionale e dell’interazione delle due onde centrate associate

ai due spigoli dell’apertura. All’inizio dell’evoluzione del campo di moto la diffrazione dell’onda d’urto non è

influenzata da queste non idealità e la rapida espansione laterale dei gas attorno allo spigolo è qualitativamente

simile al problema multidimensionale del tubo d’urto nel quale i gas si espandono impulsivamente come in una

sfera pressurizzata. L’evidenza di questa espansione multidimensionale è il secondo urto, chiaramente visibile

nel campo del gradiente di pressione come porzione iniziale di quelli che diventeranno l’onda d’urto di Mach e

l’onda d’ urto “Barrel”.

La spiegazione fisica per queste onde d’urto secondarie è la maggiore efficienza (in termini energetici essendo

l’espansione un processo isentropico) dell’espansione nel ridurre la pressione di quanto non sia l’urto curvo nella

compressione, perciò si dovrà sviluppare un’altra onda d’urto (di più bassa intensità) che viaggi in direzione

contraria al flusso per correggere tale differenza di pressione. Essa appare in vicinanza dello spigolo in cui i gas si

stanno espandendo in multiple dimensioni. L’onda di Mach è inclinata verso l’apertura e viene trasportata fuori

dal flusso supersonico, al contrario l’onda d’urto “barrel” rimane attaccata allo spigolo. Nella regione più vicina

all’asse del getto, dove inizialmente il problema è puramente monodimensionale, questo urto secondario è

inizialmente assente.

La presenza di un’espansione non stazionaria monodimensionale centrata nel punto di ascissa x=0 e la sua

diffrazione attorno al secondo angolo nel punto di ascissa x=-0.125 complica il campo di moto nei primi istanti e

lo rende non simile a se stesso a causa della scala di lunghezza dello spessore di parete.

La diffrazione dell’espansione monodimensionale attorno all’angolo sinistro lascia una zona di alta pressione

dietro. Nei tempi successivi questo debole treno di compressioni creatosi si riflette sugli assi e propaga nella

regione a densità decrescente, ritornando al valore dell’onda d’urto diffratta principale.

Questa ultima evoluzione è illustrata in figura 4, in termini di distribuzione di densità e del gradiente di

pressione, per tre tempi successivi.

Per questo calcolo si utilizza una griglia base G0 con un .

Il debole treno di onde di compressione, chiaramente visibile nella seconda immagine si propaga prima verso

monte e viene amplificato nella regione a sinistra dell’onda di Mach, dove la densità sta diminuendo, fino alla

formazione di un’onda d’ urto. Nell’ultima immagine, parte di esso ha superato l’urto principale vicino al fronte

d’onda, e la rimanente parte ha appena superato la superficie di contatto laterale tra i gas espulsi e compressi.

Questa interazione distrugge lo strato di vorticità ai lati del getto. In figura 4 è illustrato come, l’iniziale

transitorio gasdinamico, associato con il “rilassamento” laterale delle onde di espansioni, trasformi il campo di

moto nella tipica struttura del getto. L’influenza del “rilassamento” laterale sul campo di moto lungo l’asse del

jet a y=0 è mostrato in figura 5. I profili di pressione densità e velocità assiale sono mostrati allo stesso tempo

delle sequenze illustrate in figura 4. Il primo profilo, ottenuto prima di risentire degli effetti multidimensionali , si

trova in eccellente accordo con la soluzione ideale del tubo d’urto, ma con l’aumentare del rilassamento

multidimensionale, i parametri vicino all’apertura raggiungono le condizioni soniche. Lontano dall’apertura si

vede lo sviluppo dell’onda di Mach abbastanza chiaramente.

1.3 Regime dinamico simile

La successiva evoluzione delle componenti di pressione, densità, velocità è mostrata in figura 6. A questi istanti

temporali la morfologia globale del campo di moto appare dinamicamente simile, con la crescita dell’urto curvo

iniziale , la superficie di contatto e il secondo urto formato dalle onde d’ urto “barrel” e “Mach”. Il campo però

non è simile strettamente, ad esempio, il rapporto tra i raggi delle onde d’ urto interno ed esterno o tra il raggio

dell’interfaccia e quello dell’urto evolve lentamente, mentre la scala cambia più di un’ordine di grandezza.

L’apparente similitudine (globale) è in buon accordo con il fatto che la scala dell’apertura da cui il getto è espulso

é ora trascurabile comparata alle dimensioni caratteristiche del campo di moto .In questo senso , il campo di

moto trova una simmetria centrata attorno alla misura dell’apertura che va via via sparendo dal campo.

L’interazione degli urti con il flusso che si espande in ricircolo non permette la ricostruzione accurata del campo

di moto. Questi dettagli di piccola scala dentro l’anello vorticoso variano a seconda della griglia scelta per la

simulazione. Per esempio il campo del gradiente della densità ottenuto con differenti risoluzioni è presentato in

figura 7

I risultati illustrano bene il cambio nelle strutture coerenti lungo l’interfaccia che separa i due gas con risoluzioni

crescenti. Sull’interfaccia che separa il gas A ricircolante verso valle con il gas B si formano delle strutture ondose

caratteristiche alla Kelvin-Helmholtz, ad una velocità maggiore se l’incremento della risoluzione è maggiore. Con

il passare del tempo, questi moti ondosi interagiscono in modo non lineare e sono deformati e chiusi dal

passaggio delle onde d’urto. A causa della presenza di elevati gradienti di pressione alle interfacce e delle onde

d’urto, aumenta la produzione di vorticità per interazione baroclinica ( gradienti di pressione e di densità non

allineati). Queste instabilità, che coinvolgono espansioni multidimensionali, onde d’ urto, discontinuità di

contatto e regioni ad alta vorticità, richiederebbero il calcolo delle equazioni complete di non equilibrio

gasdinamico che coinvolgono il meccanismo di trasporto su piccola scala. Poiché si utilizza il sistema di equazioni

di Eulero (e quindi non si tiene conto della viscosità) lo smorzamento delle instabilità del flusso ricade solo sulla

diffusione numerica, funzione del livello di risoluzione. A causa di queste limitazioni la piccola scala della parte

laterale del getto può convergere solo se la dissipazione è modellata correttamente ed è indipendente dalla

risoluzione; questo non è il caso in esame.

Nonostante questo le simulazioni mostrano un ampio range di fenomeni che giocano un ruolo importante

nell’aumento del numero di Reynolds in questo tipo di flussi. Si noti comunque che i valori reali del numero di

Reynolds sono ancora maggiori di quelli trovati con questo approccio numerico al problema e ci si aspettano

fenomeni di maggiore complessità. Pur presentandosi una limitazione dovuta alla non corretta modellizzazione

della viscosità, la dinamica della testa del getto laminare deve convergere alla soluzione corretta. La figura 8

mostra pressione, densità , velocità lungo l’asse per i tre livelli di risoluzione mostrati in figura 7.Il campo di moto

vicino all’asse è ben rappresentato ai diversi livelli di risoluzione , perfino alla risoluzione più bassa. L’evoluzione

completa di pressione densità e velocità lungo l’asse del getto è mostrata in figura 9, I profili della figura 9 sono

altresì mostrati.

Quando il flusso segue l’espansione stazionaria dal punto in cui è posizionata la sorgente all’urto secondario, lo

strato di gas tra l’onda d’urto principale e secondario, contenente la discontinuità di contatto, cambia in modo

continuo.,e mentre l’urto principale diventa progressivamente più debole a causa della divergenza geometrica,

l’urto rivolto verso l’apertura diventa più forte nel suo propagare dentro il gas che si espande (questo sarà

trasportato fuori).

1.5 Ultime fasi della formazione del jet.

Le ultime fasi dell’evoluzione del jet piano sono illustrate in figura 10 in termini di pressione e densità per

quattro tempi diversi.

A causa del dominio molto più grande, il livello di risoluzione utilizzato è quello più basso. La morfologia del jet è

in buon accordo con le fotografie sperimentali della figura 1 e i calcoli eseguiti a tempi successivi riescono a

catturare numerosi fenomeni interessanti.

Gli anelli vorticosi facilmente posizionati nella regione di bassa pressione sembrano essere irradiati da un

complesso sistema di onde d’urto deboli, come chiaramente visibile nelle fotografie Schlieren eseguite da

Lacerda(1986, evoluzione temporale di gas leggeri che propagano in gas pesanti), nei getti ad alta pressione di

Naboko, nei getti con adduzione di calore di Golub (1994).

Il meccanismo per la formazione di questa radiazione acustica è ancora non chiaro , tuttavia sembra essere

associato alle regioni transitorie di rapida espansione del flusso, dove si sono notate delle instabilità negli anelli

vorticosi. Simultaneamente a questi complicati sistemi di urti, la discontinuità di contatto dei due gas diventa

significativamente contorta. Il campo di moto acquisisce tutti gli attributi classici della turbolenza comprimibile,

con interazioni di urto , vorticità e discontinuità di contatto.

Basandosi sui risultati dello studio sulla risoluzione mostrato in figura 7 effettuato nei primi tempi

dell’evoluzione del getto, si può intuire che la morfologia del campo evolverà probabilmente in modo molto più

contorto di quello che si può catturare numericamente con questa risoluzione limitata. Un’ispezione più

accurata della morfologia globale del getto mostra anche che lo strato di gas tra l’onda di Mach e la prima onda

d’urto è significativamente disturbata e mostra variazioni di densità.

Questo non succede nei primi istanti dell’evoluzione del getto in cui la parte frontale del getto è stata ancora

poco disturbata dagli anelli vorticosi laterali. Un’ immagine qualitativa di questo effetto può essere costruita

basandosi sull’evoluzione temporale della morfologia globale del getto, da qui si può evincere che la struttura

della sezione trasversale del getto sembra essere prima divergente poi convergente per poi diventare di nuovo

divergente.

Questo fenomeno è dovuto ad un’eccessiva espansione del getto seguita da una ricompressione e poi da

un’altra espansione tipica dei flussi sottoespansi, ciò risulta visibile nelle fotografie di Naboko presentate in

figura 1.