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D. Kreps, Microeconomia per manager 1©2005 EGEA e Mario Gilli

CAPITOLO 5Un modello di comportamento dei

consumatori

Parte seconda

Grafici: curve di indifferenza e insiemi di bilancio


RIASSUNTO DELLA PUNTATA PRECEDENTENel modello economico del consumatore che massimizza l’utilità, la funzione di utilità del consumatore associa un valore numerico a ogni scelta concepibile. Dato un qualsiasi possibile insieme di scelte, il consumatore sceglie da tale insieme l’opzione che massimizza la sua utilità.

La funzione di utilità stabilisce un ordine tra le possibili opzioni del consumatore. Due funzioni di utilità che definiscono lo stesso ordine sono equivalenti nel senso che determinano lo stesso comportamento di scelta da parte dei consumatori. In questo senso il modello economico di massimizzazione dell’utilità ipotizza funzioni di utilità ordinali.


Nel modello di scelta del consumatore, il denaro non speso può essere incluso quale argomento della funzione di utilità.Alcuni specifici casi di funzioni di utilità sono la Cobb-Douglas, i sostituti perfetti e i complementi perfetti.

Il problema del consumatore consiste nello scegliere il paniere migliore (che massimizza l’utilità) tra tutti quelli che può permettersi, dati i prezzi e le sue risorse monetarie.

Nella soluzione del problema del consumatore, i valori soggettivi dei beni scelti in quantità strettamente positiva devono essere uguali tra loro e maggiori o uguali ai valori soggettivi dei beni che non vengono consumati.La regola è in genere molto semplice da applicare ai modelli nei quali il denaro non speso entra nella funzione di utilità in modo lineare.


Gli economisti giustificano l’utilizzo del modello del consumatore che massimizza l’utilità in termini della sua verosimiglianza. Se il comportamento di scelta del consumatore è conforme a due regole relativamente semplici, il consumatore agisce come se massimizzasse l’utilità.

Nella vita reale è possibile osservare violazioni sistematiche a una di queste semplici regole. I consumer marketer e i dirigenti pubblicitari sono ben ricompensati per la loro abilitàa manipolare lo schema usato dai consumatori per inquadrare le loro scelte.Gli economisti continuano a utilizzare il modello del consumatore che massimizza l’utilità nella convinzione che le violazioni siano insignificanti o nella speranza che esse non influenzino considerevolmente le conclusioni raggiunte utilizzando i modelli costruiti in questo modo.


ARGOMENTI DI QUESTA LEZIONEQuesta lezione presenta il modello geometrico del consumatore che massimizza l’utilità.In particolare presentiamo la rappresentazione geometrica:

1. della funzione di utilità tramite mappa delle curve di indifferenza

2. del vincolo di bilancio come rettaObiettivo: sviluppare la comprensione intuitiva del funzionamento del modello di massimizzazione dell’utilità


Le curve di indifferenza (1)I grafici seguenti si limitano a rappresentare esempi con due beni, pane e formaggioDue panieri si trovano sulla stessa curva di indifferenza se e solo se hanno la stessa utilità: i panieri di beni posti lungo una curva di indifferenza rappresentano tutti i panieri indifferenti secondo le preferenze del consumatore.


Le curve di indifferenza (2)

Panieri menoappetibili A

Panieripreferibili ad A

CURVA D’INDIFFERENZA: La curva di indifferenza passante per A rappresenta l’insieme di tutte le combinazioni considerate equivalenti ad A

1x

2x

A Curva diIndifferenza

1x

2x

A?

?


Mappa di curve d’indifferenza (1)

A

BC

AC

B

2x

1x

1x

2x Le curve d’indifferenza possono intersecarsi?

NO! Altrimenti le preferenze sono contradditorie

Mappa di curve d’indifferenza: serie completa di curve di indifferenza. Spostandosi verso l’alto e verso destra ci si posiziona su curve di indifferenza con maggior utilità


Mappa di curve di indifferenza (2)Le funzioni tracciate nel disegno della mappa di curve di indifferenza non sono la funzione di utilità u. Rappresentano gli insiemi dei punti (p, f) tali che, lungo ogni curva, u(p, f) è pari a una costante, la costante è diversa in ogni curva, aumentando di valore mano a mano che si procede verso nord-est.


Mappa di curve di indifferenza (3)Esempio:

se u(p, f) = 3 ln(p) + ln(f), allora una curva di indifferenza può essere l’insieme dei punti (p, f) tale che 3 ln(p) + ln(f) = 5. Una seconda curva, situata più a nord e a est, potrebbe essere costituta da tutti i punti (p, f) che soddisfano 3 ln(p) + ln(f) = 6,

e così via.


RELAZIONE TRA MAPPA DI CURVE DI INDIFFERENZA E

FUNZIONE DI UTILITA’

Possiamo rappresentare le preferenze equivalentementecon funzioni di utilità o con mappe di curve di indifferenza.


In una funzione di utilità

u

0

u(x1,x2)

x2

x1

Prendiamo un piano ad un livello di utilità dato

curva di indifferenza


Sulla stessa funzione di utilitàu

0

U*(x1,x2)

x2

x1

Ripetiamo l’operazione per un altro livello di utilità dato

Un’altracurva di

indifferenza


La forma delle curve di indifferenza e il saggio marginale di sostituzione (1)Il disegno usuale con le curve di indifferenza che procedono più o meno da nord-ovest a sud-est e sono convesse rispetto all’origine, sono standard. La direzione nord-ovest/sud-est è una conseguenza dell’ipotesi che l’utilità è strettamente crescente per i due beni. Se invece di considerare due beni avessimo un bene e un male, per esempio denaro e studio, allora le curve di indifferenza avrebbero un’inclinazione positiva.


La forma delle curve di indifferenza e il saggio marginale di sostituzione (2)L’inclinazione delle curve di indifferenza si chiama saggio marginale di sostituzione (SMS).Il SMS indica di quanto un individuo deve sostituire un bene a un altro per restare indifferente. La convessità delle curve di indifferenza indica che diminuendo la quantità di pane di un dato ammontare fisso, aumenta gradualmente la quantità di cui dovete aumentare il formaggio per rimanere sulla stessa curva di indifferenza. Sebbene il grafico con curve di indifferenze convesse sia tipico, nessuna legge naturale afferma che le preferenze debbano conformarsi a tale proprietà. Per esempio, nel caso di beni come le torte molto dolci l’utilità alla fine diminuirà all’aumentare della quantità del bene.


La forma delle curve di indifferenza e il saggio marginale di sostituzione (3)

Pendenza della curva d’indifferenza

1x

2x

1

2

xx

∆∆

=Pendenza

2x∆

1x∆

A

B


Saggio marginale di sostituzionePendenza della curva di indifferenza:

1

2

xx

∆∆

NB: la pendenza di solito è negativa!

Saggio marginale di sostituzione (SMS):

1

221 x

xSMS∆∆

−=

SMS21 : indica il rapporto al quale il consumatore è disposto a scambiare un bene con l’altro (x2 con x1) mantenendo lo stesso livello di soddisfazione.


Saggio marginale di sostituzione

NB: per questa curva di indifferenza il SMS è decrescentespostandoci verso li basso lungo la curva di indifferenza

↓∆ 2x

↑∆ 1x

A

B1

221 x

xSMS∆∆

−=

2x

1x

In termini matematici, una curva con pendenza crescente, e quindi SMS decrescente, si dice convessa rispetto all’origine.


Significato del SMS decrescenteSe stessimo consumando 100 mele (M) e 1

arancia (A), potremmo voler rinunciare a 10 mele per 1 arancia mantenendo la stessa utilità.

In questo caso: SMS = -∆M/∆A =-(-10/1)= 10Se invece avessimo 1 mela e 100 arance,

potremmo essere disposti a rinunciare a 1 mela per 10 arance

In questo caso: SMS = -∆M/∆A =-(-1/10)= 0.1Il rapporto al quale il consumatore è disposto a

scambiare mele per arance diminuisce all’aumentare del numero di arance consumate.


Preferenze particolariCurve di indifferenzainclinatepositivamente, cioèSMS negativo

Curve di indifferenzaconcave, cioè SMS crescente

U1

Uo

Per restare indifferentese aumenta un benedeve aumentare anchel’altro bene, cioè uno deidue è un “male”

essenzialmente l'individuo preferisce consumare o un bene oppure l'altro - consumare entrambi non aumenta il suo benessere


UTILITA’ E SMSData una funzione di utilità possiamo derivare matematicamente l'inclinazione delle corrispondenti curve di indifferenza, cioè l'espressione matematica dell’opposto del saggio marginale di sostituzionedata la curva di indifferenza possiamo differenziarla totalmente per derivarne come varia al variare di

Possiamo quindi mostrare che il SMS è connesso alla funzione di utilità tramite la formula

costante),( 21 =xxu

1x2x

0),(),(2

2

211

1

21 =∂

∂+

∂∂ dx

xxxudx

xxxu

2

21

1

21

1

2

),(

),(

xxxu

xxxu

dxdxSMS

∂∂

∂∂

=−=


Il problema di scelta del consumatore graficamente

1x

2x

Consideriamo un consumatore che deve scegliere tra i cinque punti indicati in figura


La soluzione grafica al problema di sceltaSe abbiamo a disposizione la mappa delle curve di indifferenza è

facile prevedere la sua scelta

1x

2x

Sovrapponiamo le curve di indifferenza al grafico

il paniere che si trova sulla curva di indifferenza più alta è quello che il consumatore dovrebbe scegliere


ESEMPIO: un problema di scelta per un consumatore risolto graficamenteSupponiamo che

1. il prezzo del pane sia pari a € 1,60 per pagnotta,

2. il prezzo del formaggio ammonti a € 5 al chilogrammo e

3. il consumatore abbia € 160 da spendere. Che cosa sceglierà il consumatore?


l’equazione del vincolo di bilancio 1,60p + 5f = 160 definisce una linea retta.

La costruzione geometrica dell’insieme di bilancio

Il triangolo formato da questo segmento lineare e dal punto (0; 0) è l’insieme di bilancio del consumatore, che rappresenta tutti i panieri di consumo (p; f) che egli può permettersi: tale triangolo soddisfa la disuguaglianza 1,60p + 5f ≤ 160.

Insieme di bilancio

56,1

−

f

325/160 =

p1006,1/160 =


L’analisi geometrica del comportamento del consumatore Per derivare il comportamento del consumatore si combinano la mappa di curve di indifferenza con l’insieme di bilancioQuesta figura è esattamente la rappresentazione grafica, tramite la mappa di curve di indifferenza e la retta di bilancio, del problema dimassimizzazione dell’utilità dato un vincolo di bilancio

Livelli di utilità più alti

1x

2x

.


La soluzione al problema di scelta del consumatore

Qual è per l'individuo il punto migliore dato il vincolo di bilancio?

E’ un punto sulla curva di indifferenza più alta ottenibile, dato il vincolo di bilancio

1x

2x*x x*: equilibrio del

consumatore


Il paniere A può essere acquistatoC

1x

2x

*x

Spiegazione della soluzione al problema di scelta del consumatore

E’ possibile aumentare l’utilità con altri panieri fattibili?

C ha maggiore utilità ma non è fattibile

x* ha la massima utilità compatibilmente con il vincolo di essere fattibile

A

B

Qual è l’utilità di A?

Si, ad es. in BEsiste un paniere preferibile a B?

x* è l’equilibrio del consumatore


ANALISI GRAFICA DELLA SOLUZIONE AL PROBLEMA DI SCELTA DEL CONSUMATORE (1)Sono possibili due tipi diversi di soluzione:

1. Soluzioni interne: per raggiungere la curva di indifferenza più alta dato il vincolo di bilancio, la soluzione ottima si trova nel punto di tangenza tra vincolo di bilancio e mappa di curve di indifferenza

C

1x

2x

*x

A

B


ANALISI GRAFICA DELLA SOLUZIONE AL PROBLEMA DI SCELTA DEL CONSUMATORE (2)Secondo possibile tipo di soluzione:

2. Soluzioni d'angolo: la soluzione ottima si trovi lungo l'asse verticale (si consuma solo il bene 2 e niente del bene 1) oppure lungo l'asse orizzontale (si consuma solo il bene 1 e niente del bene 2)

1x

2x *x

A

B


Una soluzione interna può essere trovata analiticamente risolvendo il seguente sistema:

yxpxp =+ 2211

2

121 p

pSMS =

NOTA BENE: se p1 , p2 e y aumentano proporzionalmente la soluzione non cambia


SOLUZIONI D’ANGOLOSe l’ottimo vincolato è lungo l’asse verticale, la condizione d'equilibrio del consumatore è:

Se l’ottimo vincolato è lungo l'asse orizzontale, la condizione d'equilibrio del consumatore è

yxpxp =+ 2211

2

121 p

pSMS >

yxpxp =+ 2211

2

121 p

pSMS <


MA QUAL E’ LA RELAZIONE TRA LA SOLUZIONE GEOMETRICA AL PROBLEMA DI SCELTA DEL

CONSUMATORE E

LA SOLUZIONE ALGEBRICA TROVATA NELLA SCORSA

LEZIONE?


Possiamo riscrivere la condizione di equilibrio così:

2

2

1

1

pUM

pUM

=

Valore soggettivo del bene 2

Valore soggettivo del bene 1

Che è esattamente la condizione di equilibrio trovata analiticamente

nella lezione scorsa


RIEPILOGOIl vincolo di bilancio rappresenta ciò che è possibile per il consumatore dato il suo reddito e i prezzi dei beni.Il comportamento del consumatore viene modellato geometricamente come ricerca della curva di indifferenza più alta dato il vincolo di bilancioIl paniere di beni scelto da consumatore è identificato con il punto di equilibrio del consumatore.Il punto di equilibrio del consumatore è individuato o

come soluzione interna con il SMS uguale ai prezzi relativicome soluzione d'angolo con il SMS minore o uguale ai prezzi, in relazione al fatto che si consumi solo il bene 2 o il bene 1.


Preferenze particolari

Uo

U1

Perfetti Sostituti

• SMS costante

Perfetti Complementi

• proporzioni fisse

“Mali”

• funzione crescente

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