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D. Kreps, Microeconomia per manager 1©2005 EGEA e Mario Gilli

CAPITOLO 20

L’utilità attesa come strumento decisionale normativo

Una giustificazione della procedura del modello dell’utilità attesaIl calcolo della vostra funzione di utilitàQuale tipo di comportamento è ragionevole?I motivi per essere sospettosi


RIASSUNTO DELLA PUNTATA PRECEDENTEA partire da questa lezione prendiamo in considerazione anche l’incertezza. Il primo passo in questa direzione consiste nel presentare il modello dell’utilità attesa, il modello principale utilizzato in economia per rappresentare la scelta degli individui in condizioni di incertezza.Iniziamo catalogando gli schemi comportamentali che vorremmo considerare in un buon modello descrittivo:

1. gli effetti di inquadramento, 2. l’avversione all’incertezza soggettiva e all’ambiguità, 3. l’avversione al rischio e (spesso) l’avversione al rischio

decrescente all’aumentare della ricchezza, 4. l’effetto certezza e il peso eccessivo delle basse

probabilità.


Nel modello dell’utilità attesa1. una funzione di utilità (U maiuscola) assegna un

dato valore di utilità a ogni premio possibile; 2. per ogni scommessa si calcola l’utilità attesa (si

moltiplica l’utilità di ogni premio possibile per la probabilità di occorrenza e successivamente si sommano i prodotti) e

3. la scommessa scelta sarà quella caratterizzata dall’utilità attesa maggiore.

Non si ammette ambiguità e si ipotizza che l’individuo calcoli le probabilità soggettive dove necessario per utilizzarle esattamente come probabilità oggettive.


Quando i premi sono monetari, la funzione di utilità può essere rappresentata graficamente. La funzione di utilità (in tali grafici) è quasi sempre crescente e continua. Nella maggior parte dei modelli economici è anche concava, riflettendo l’avversione al rischio (le funzioni lineari corrispondono alla neutralità al rischio e quelle convesse alla preferenza per il rischio). Il valore delle unità della funzione di utilità non ha alcun significato particolare, e la scala su cui vengono misurate può essere spostata, allungata o compressa in modo uniforme senza modificare il comportamento di scelta dell’individuo.


Il modello dell’utilità attesa1. non ci offre esplicitamente la possibilità

di considerare gli effetti di percezione;2. ignora completamente l’avversione

all’incertezza soggettiva e all’ambiguità;3. ignora l’effetto certezza e il peso

eccessivo delle basse probabilità 4. per una funzione di utilità concava,

considera l’avversione al rischio


Se U è concava e se λ(x) = −U′′(x)/U′(x) è decrescente, il livello di avversione al rischio diminuisce all’aumentare della ricchezza. Se −U′′(x)/U′(x) è la costante λ, allora la funzione di utilità ha un’avversione al rischio costante, ossia la scelta dell’individuo tra le scommesse non è influenzata dal suo livello di ricchezza; le funzioni di utilità che possiedono questa proprietà sono del tipo

per le costanti A > 0 e B. BAexU x +−= −λ)(


L’utilità (u minuscola) costituisce il modello di base della scelta del consumatore, indicizzando ogni oggetto di base con una misura ordinale della sua desiderabilità. La funzione di utilità (U maiuscola) di questa lezione indicizza i premi, ma tale indicizzazione costituisce solamente una fase del calcolo dell’utilità attesa delle scommesse, che in questo caso costituiscono gli oggetti di base della scelta.


ARGOMENTI DI QUESTA LEZIONE (1)Questa lezione analizza il modello dell’utilità attesa dal punto di vista normativo ossia di strumento decisionale. Il protagonista non è un decisore astratto, ma siete voi.Giustifichiamo l’utilizzo del modello dell’utilità attesa presentando cinque assiomi qualitativi relativi al comportamento che, se verranno da voi accettati, implicano che dovreste prendere decisioni in condizioni di incertezza massimizzando la vostra utilità attesa.


ARGOMENTI DI QUESTA LEZIONE (2)Studiamo come calcolare la vostra funzione di utilità Analizziamo alcuni dei procedimenti che potete utilizzare per ottenere un calcolo più preciso della vostra funzione di utilità.Concludiamo discutendo tre motivi per cui potreste non voler utilizzare il modello dell’utilità attesa


Giustificazione della procedura del modello dell’utilità attesa (1)Negli esempi che presentiamo i premi sono sempre monetari, ma ciò che dimostriamo vale in generale per le scommesse caratterizzate da probabilità oggettive e qualsiasi tipo di premi.Nell’insieme dei possibili oggetti di scelta introduciamo anche le lotterie composte, sequenza di eventi casuali prima di giungere al premio


Esempio di lotteria composta (1)Lanciamo un dado non truccato: • se esce 1 o 2 (prob 1/3), vincete € 500• se esce il 3 (prob 1/6), lanciamo in aria una moneta:

• se esce testa vincete € 400, • se esce croce rilanciamo la moneta;

• se questa volta esce testa ottenete € 500,• se esce croce non vincete nulla

• se nel primo lancio del dado fate 4, 5 o 6 (1/6 di probabilità per ogni esito), pagate € 10 per ogni unità del numero che esce


1/3

€ 400

€ 500

€ 0

- € 50

- € 60

0,51/6

1/6

€ 500

Esempio di lotteria composta (2)Se esce 1 o 2, vincete € 500, se esce il 3, lanciamo in aria una moneta: se esce testa vincete € 400, se esce croce rilanciamo la moneta; se esce testa ottenete € 500, se esce croce non vincete nulla. Se nel primo lancio del dado fate 4, 5 o 6, pagate € 10 per ogni unità del numero che esce.

0,5

0,50,5

- € 40

1/6

1/6


Giustificazione della procedura del modello dell’utilità attesa (2)Vi chiediamo di confrontare le scommesse a due a due e di indicare se considerate la prima altrettanto vantaggiosa della seconda e se ritenete che la seconda sia altrettanto vantaggiosa della prima:

1. non precludiamo la possibilità che formuliate lo stesso giudizio per entrambe le scommesse, nel qual caso siete indifferenti tra le due;

2. non precludiamo la possibilità, per ora, che non siate disposti a esprimere un giudizio né in un senso né nell’altro;

3. quando affermate che la scommessa A è altrettanto vantaggiosa di B, ma non affermate che B è altrettanto vantaggiosa di A preferite strettamente A a B.

4. Ipotizziamo che vogliate correlare le vostre preferenze con le vostre scelte nel seguente modo: se dovete scegliere una scommessa all’interno di un insieme, ne scegliete una che giudicate altrettanto vantaggiosa di tutte le altre


Giustificazione della procedura del modello dell’utilità attesa (3)Che cosa possiamo aggiungere a proposito delle vostre preferenze? Vi presentiamo un elenco di cinque proprietà che potrebbero avere: domandatevi se volete che le vostre preferenze le soddisfino.

1. riduzione delle scommesse composte. Siete indifferenti nella scelta tra qualsiasi scommessa composta e la scommessa semplice (a una fase) cui quella composta si riduce applicando le regole della teoria delle probabilità


Riduzione delle scommesse composte9/24

1/3

€ 400

€ 500

€ 0

- € 50

- € 60

0,5(A)

1/6

1/6

0,5

0,5

0,5

1/6

1/6

- € 40

€ 500€ 400

€ 0

- € 50

- € 60

(B)

1/12

1/24

1/6

1/6

1/6

Se le vostre preferenze soddisfano questa proprietà, siete indifferenti tra le scommesse della seguente figura

€ 500

- € 40


Giustificazione della procedura del modello dell’utilità attesa (4)

2. Completezza: per qualsiasi coppia di scommesse A e B, siete disposti a ritenere che A sia altrettanto vantaggiosa di B oppure che B sia altrettanto vantaggiosa di A.

Per la maggior parte delle persone è difficile esprimere preferenze, ma vogliamo solamente sapere se desiderateessere in grado di esprimere un giudizio per ogni coppia di scommesse e non se effettivamente siete in grado di farlo.

3. Transitività: Se ritenete che la scommessa A sia altrettanto vantaggiosa della scommessa B, e che B sia altrettanto vantaggiosa di C, allora ritenete che A sia per voi altrettanto vantaggiosa di C.

La transitività non dovrebbe crearvi problemi



4. Continuità:Supponiamo che riteniate 1. A strettamente meglio di B, e 2. B strettamente meglio di C. Costruiamo due scommesse composte:

con D ottenete A se lanciando una moneta 10.000 volte esce sempre testa, mentre ottenete C in caso contrario; con E ottenete C se lanciando una moneta 10.000 volte esce sempre croce, mentre ottenete la scommessa A in caso contrario.

Allora E è strettamente meglio di B, che a sua volta è strettamente meglio di D. Se tali relazioni non sono valide, lo saranno sicuramente per qualche numero finito maggiore di 10.000.D è “quasi” identica a C: è uguale a C con probabilità piccolissimaPoiché ritenete B strettamente meglio di C, B dovrebbe essere strettamente meglio di D, che è “quasi” identica a C. Se queste relazioni non sono vere, possiamo trovare un numero maggiore di 10.000 che le renderà vere.



5. Sostituzione:Supponiamo A sia strettamente meglio di B. Considerate qualsiasi altra scommessa C e qualsiasi probabilità p > 0 e costruite le due seguenti scommesse composte:

D porta alla scommessa A con probabilità p e alla scommessa C con probabilità 1 − p; E porta alla scommessa B con probabilità p e alla scommessa C con probabilità 1 − p.

Secondo questa proprietà poiché preferite strettamente A a B e poiché p > 0, dovete preferire D a E.


Giustificazione della procedura del modello dell’utilità attesa (7)Se decidete che queste cinque proprietà sono desiderabili, possiamo offrirvi una sorprendente conclusione:Qualsiasi insieme di preferenze tra scommesse conforme alle cinque proprietà precedenti è coerente con il modello dell’utilità attesa nel senso che una scommessa viene preferita a un’altra se e solo se la prima fornisce un’utilità attesa maggiore, data la funzione di utilità U definita per la gamma dei premi. Inoltre, qualsiasi insieme di preferenze conforme alla massimizzazione dell’utilità attesa per una data funzione di utilità U deve rispettare le cinque suddette proprietà.


Giustificazione della procedura del modello dell’utilità attesa (8)Quindi, se ritenete che queste cinque proprietà siano desiderabili in termini normativi, volete scegliere massimizzando l’utilità attesa sulla base di una determinata funzione di utilità U. Nella lezione precedente la teoria dell’utilità attesa era statapresentata come un modello ipotetico, che ha validità descrittiva a condizione che le persone scelgano come sestessero svolgendo tali calcoli. Ora invece, in prospettiva normativa, l’aspetto ipotetico viene a cadere. Vi proponiamo (e voi accettate, se ritenete che le cinque proprietà siano desiderabili ai fini di un valido processo decisionale) di utilizzare esplicitamente i calcoli dell’utilità attesa per migliorare il vostro processo decisionale, altrimenti fallibile, in condizioni di incertezza.Rimane da calcolare la vostra personale funzione di utilità U


Il calcolo della vostra funzione di utilità (1)Se una macchina potesse calcolare la vostra funzione di utilità U, la scelta tra scommesse non costituirebbe mai un problema per voi, fintanto che rispettate le cinque proprietà. Il procedimento di calcolo può essere relativamente semplificato seguendo alcune indicazioni


1 € 6.000(A) (B)0,8 € 10.000

0,5 € 10.0000,5

€ 3.800(C) (D)

0,5

€ 13.0000,3

€ 4.000

0,2 - € 5.000

€ 6.0000,32 € 15.000

(E)

0,07 - € 7.500

0,32

0,2

0,23 € 1.000

€ 2.000

Supponiamo che dobbiate scegliere tra le scommesse della figura seguente

Il calcolo della vostra funzione di utilità (2)


Ricaviamo la vostra funzione di utilità per tale gamma di premi (1)Innanzitutto, poniamo arbitrariamente l’utilità di - € 7.500 pari a zero e l’utilità di € 15.000 pari a uno. Infatti, le funzioni di utilità possono essere traslate e allungate o compresse per adattarsi a qualsiasi scala desideriate: in termini pratici significa che potete fissare a piacimento l’utilità di qualsiasi coppia di valori monetari.


Ricaviamo la vostra funzione di utilità per tale gamma di premi (2)Ponetevi le tre domande seguenti:

1. Quale somma di denaro certa sarebbe per voi altrettanto vantaggiosa di una scommessa in cui ricevete € 15.000 con ½ di probabilità o perdete € 7.500 con ½ di probabilità?è molto più facile rispondere a questa domanda che scegliere tra le suddette cinque scommesse. Supponete che la risposta sia € 2.000.


Ricaviamo la vostra funzione di utilità per tale gamma di premi (3)

2. Quale somma di denaro certa sarebbe per voi altrettanto vantaggiosa di una scommessa in cui ricevete € 15.000 con probabilità ½ oppure ricevete € 2.000 con probabilità ½?Supponete che questo valore sia € 7.500.

3. Quale somma di denaro ricevuta per certo sarebbe per voi altrettanto vantaggiosa di una scommessa in cui perdete € 7.500 con probabilità pari a ½ o ricevete € 2.000 con probabilità pari a ½? Supponiamo che la risposta sia - € 3.000.Il neretto indica che dovete sostituire la somma evidenziata con la risposta che avete dato alla domanda precedente.


Ricaviamo la vostra funzione di utilità per tale gamma di premi (4)Ottenute le risposte a queste tre domande, possiamo iniziare a costruire la vostra personale funzione di utilità. Determiniamo la scala in modo tale che

U(15.000) = 1 U(−7.500) = 0.

La prima risposta che avete dato stabilisce che, su tale scala U(2.000) = 0,5.

Per quale motivo? Perché una scommessa in cui ottenete i premi € 15.000 o -€ 7.500, ciascuno con probabilità ½, corrisponde all’utilità attesa 0,5 sulla scala che abbiamo fissato e questa scommessa è per voi indifferente rispetto alla somma sicura di € 2.000.


Ricaviamo la vostra funzione di utilità per tale gamma di premi (5)La vostra seconda risposta stabilisce che su questa scala

U(7.500) = 0,75 e la vostra terza risposta stabilisce che

U(−3.000) = 0,25. Per quale motivo? Perché, se U(2.000) = 0,5, allora una scommessa con i premi ugualmente probabili € 15.000 e € 2000 corrisponde all’utilità attesa (0,5)[1] + (0,5)[0,5] = [0,75] e voi siete indifferenti tra questa scommessa e la somma certa di € 7.500. La scommessa con premi - € 7.500 o € 2.000, ciascuno con probabilità ½, corrisponde all’utilità attesa 0,25 e voi siete indifferenti tra questa scommessa e la perdita sicura di € 3.000.


0,25

0,5

0,75

1

-€5.000 €0 €5.000 €10.000 €15.000

Possiamo indicare in un grafico i cinque punti della vostra funzione di utilità e a partire da questi punti possiamo tracciare un’approssimazione della vostra funzione di utilità


Ricaviamo la vostra funzione di utilità per tale gamma di premi (6)Qual è il vantaggio di questo procedimento?Le valutazioni che vi chiediamo di formulare sono le più semplici che si potrebbero chiedere: dovete confrontare una scommessa che prevede due premi ugualmente probabili con una somma certa. Se ritenete che le cinque proprietà prima menzionate siano ragionevoli in termini normativi, allora potete partire dalle valutazioni che formulate in situazioni relativamente semplici per costruire la vostra funzione di utilità U, che poi potete utilizzare per valutare scelte più complesse.Seguendo alcune indicazioni potete calcolare una funzione di utilità più affidabile. Proponiamo di seguito i tre metodi più diffusi e più efficaci.


Un controllo della coerenzaSupponiamo che alle domande poste forniate le risposte menzionate in precedenza:

U(−7.500) = 0 U(15.000) = 1, U(2.000) = 0,5, U(7.500) = 0,75U (−3.000) = 0,25.

Ora domandatevi: qual è per voi il certo equivalente di una scommessa con premi € 7.500 e - € 3000 ciascuno con probabilità pari a ½?Poiché l’utilità attesa di questa scommessa è (0,5)[0,75] + (0,5)[0,25] = 0,5, una risposta coerente con gli altri giudizi che avete fornito dovrebbe essere € 2.000


Gli effetti di inquadramento: eliminare l’illusione del nullaLe unità sull’asse orizzontale rappresentavano le vincite o le perdite nette che ottenevate dalla scommessa in questione. Dinnanzi alle scommesse formulate in questo modo le persone sono inclini a subire l’effetto dell’illusione del nulla.Calcolando la vostra funzione di utilità dovreste tentare di non soccombere all’illusione del nulla.Spesso potete eliminare completamente l’illusione formulando tutte le scommesse in termini di saldo netto che risulterebbe al termine della scommessa.


Quale tipo di comportamento è ragionevole? (1)L’avversione all’incertezza soggettivaGli economisti utilizzano il modello dell’utilità attesa ipotizzando che il decisore valuti le probabilità soggettive e le consideri alla pari delle probabilità oggettive. Quindi l’avversione all’incertezza soggettiva è ignorata da un punto di vista descrittivoL’avversione all’incertezza non è ammissibile da un punto di vista normativo


Quale tipo di comportamento è ragionevole? (2)Gli effetti di inquadramentoSe è vero che le persone possono essere indotte a prendere decisioni diverse presentando le varie opzioni in modo diverso, ci aspettiamo tuttavia che concordiate sulla non desiderabilità di essere raggirati in questo modo.


Quale tipo di comportamento è ragionevole? (3)L’effetto certezza e il peso eccessivo delle basse probabilitàSe sosteniamo la desiderabilità normativa dell’utilizzo del modello dell’utilità attesa, allora poiché l’effetto certezza e l’effetto delle basse probabilità non sono coerenti con la massimizzazione dell’utilità attesa, ne consegue che tali schemi comportamentali sono normativamente non desiderabili.


I motivi per essere sospettosi (1)Esistono comunque alcuni buoni motivi per essere sospettosi nei confronti della desiderabilità normativa dell’adozione del modello dell’utilità attesa. Vogliamo menzionarne i due più importanti.

1. Gli effetti di portafoglio2. La dissoluzione temporale dell’incertezza


I motivi per essere sospettosi (2)Gli effetti di portafoglioSupponiamo che possediate un portafoglio di azioni comprendente un dato numero di azioni della FordIl vostro intermediario di borsa vi consiglia di speculare sulle opzioni di acquisto della suddetta società. Acquistando le opzioni, otterrete un guadagno quando le azioni della Ford andranno bene e perderete quando il loro prezzo scenderà.Potreste considerare le conseguenze della speculazione che vi è stata proposta come una scommessa, quindi confrontarne l’utilità attesa con l’utilità attesa di investire il vostro denaro in altro modo.


I motivi per essere sospettosi (3)Questa tuttavia non è la procedura corretta da seguire, in quanto il guadagno derivante da tale scommessa è direttamente correlato al valore del vostro portafoglio di azioni:

nei periodi in cui siete relativamente più ricchi, questa scommessa vi offre un buon rendimento; nei periodi in cui siete relativamente più poveri, vi fornisce rendimenti scarsi. In altri termini, questo rischio incrementa il rischio che state già affrontando. In tali casi non potete valutare il rischio isolatamente, ma dovete considerarlo in combinazione con il vostro intero portafoglio di attività.


I motivi per essere sospettosi (4)Questo tipo di problema non è limitato agli investimenti finanziari. In molti casi il valore che attribuite ai premi dipende dallo “stato” in cui ricevete il premio:Se confrontate due iniziative imprenditoriali che hanno esattamente la stessa distribuzione di probabilità dei premi, ma differiscono perché

il guadagno di una è maggiore nei periodi migliori e il guadagno dell’altra è maggiore nei periodi peggiori,

forse attribuite un valore maggiore alla seconda.


I motivi per essere sospettosi (5)Che cosa è accaduto alle cinque proprietà in questi esempi? Perché non sono più valide?Nessuna delle cinque proprietà è errata, ma è l’intero approccio al problema ad essere sbagliato. Il punto di partenza di questo approccio consiste nell’affermare che, dinnanzi a una scommessa, tutto ciò che importa sono i premi e le probabilitàIn questi esempi non è corretto adottare tale atteggiamento, in quanto lo “stato di natura” influisce sul valore che voi attribuite ai premiDue scommesse con premi e probabilità identici potrebbero apparirvi piuttosto diverse se vi offrissero i premi in circostanze molto diverse


I motivi per essere sospettosi (6)Il problema può essere affrontato in due modi:

1. Potete calcolare il valore dei premi nelle diverse circostanze possibili in cui potreste riceverli: tale approccio funziona perfettamente in teoria, ma complica enormemente il calcolo della vostra funzione di utilità.

2. Potete inquadrare il problema decisionale su una scala sufficientemente ampia da consentire il funzionamento del modello di base.


I motivi per essere sospettosi (7)La dissoluzione temporale dell’incertezzaSupponiamo di offrirvi tre scommesse:

1. ottenete € 500.000 con probabilità ½ e € 0 con probabilità ½;

2. ottenete € 500.000 con probabilità ½ e € 0 con probabilità ½;

3. ottenete € 500.000 con probabilità ½ e € 0 con probabilità ½.


I motivi per essere sospettosi (8)Non abbiamo avuto problemi con il computerqueste scommesse sono esattamente identiche in termini dei prezzi e delle probabilità, ma sono diverse per un altro aspetto. In ciascun caso, se vincete € 500.000 otterrete il denaro esattamente fra 9 mesi.

1. Nella prima scommessa tuttavia lanceremo in aria una monetina tra nove mesi e vi informeremo solo allora dell’esito.

2. Nella seconda scommessa lanciamo in aria una monetina oggi in presenza di un testimone affidabile e vi informiamo dell’esito fra nove mesi.

3. Nella terza scommessa lanciamo in aria la monetina oggi e vi informiamo dell’esito oggi, sebbene riceverete il denaro tra 9 mesi.


I motivi per essere sospettosi (9)La maggior parte delle persone preferisce la terza di queste “scommesse”. La dissoluzione dell’incertezza in tempi più brevi è sicuramente un fattore vantaggioso, in quanto consente di pianificare altre attività.Il punto è che se queste tre “scommesse” prevedono gli stessi premi con le stesse probabilità, allora il metodo dell’utilità attesa le valuterebbe necessariamente in modo identico, in quanto considera solamente i premi e le relative probabilità di occorrenza. In generale, tuttavia, le scommesse che rivelano prima il loro risultato sono più vantaggiose in virtù delle informazioni che forniscono. In tali casi occorre assumere una prospettiva più ampia, inserendo in un unico modello l’insieme completo delle decisioni da prendere, tra loro correlate.


RiepilogoIl modello dell’utilità attesa, presentato nella scorsa lezione in termini descrittivi, ora viene riformulato e presentato come ausilio decisionale di carattere normativo, utile a prendere decisioni migliori dinnanzi ai problemi che prevedono conseguenze incerte.Per utilizzarlo è fondamentale riflettere sulla desiderabilità della validità delle proprietà elencate a proposito delle vostre preferenze. Se concordate sulla desiderabilità normativa di tali proprietà, ne consegue logicamente che volete prendere decisioni conformi al modello dell’utilità attesa, data una particolare funzione di utilità.


Il problema si trasferisce quindi al calcolo della vostra personale funzione di utilità. Utilizzando i più semplici giudizi possibili di questo tipo potete tracciare approssimativamente la vostra funzione di utilità. Esistono inoltre varie tecniche per definire con maggior precisione la funzione di utilità determinata in questo modo.


In alcuni casi le cinque proprietà non sono attraenti da un punto di vista normativo, perlomeno per applicazioni semplicistiche. Tali casi comprendono

1. le situazioni in cui si riscontrano problemi notevoli di rischi correlati (come i problemi di portafoglio) oppure

2. le situazioni nelle quali la dissoluzione temporale dell’incertezza riveste una certa importanza.

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