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CAPITOLO 4 –SEMICONDUTTORI

4.1

CAPITOLO 4 – SEMICONDUTTORI

4.1 INTRODUZIONE

1782 Alessandro Volta introduce la parola “semiconduttori” osservando la

velocità con la quale un elettrometro si scarica se uno dei suoi terminali viene

toccato con materiali diversi. I metalli scaricano l’elettrometro istantaneamente,

gli isolanti non lo scaricano e i semiconduttori lo scaricano molto lentamente.

Faraday (1834) e Hittorf (1851) osservarono che certi materiali, debolmente conduttori (quelli che attualmente chiamiamo semiconduttori), hanno una conducibilità più elevata al crescere della temperatura. Intorno al 1930 Gudden mostrò che la conducibilità di questi materiali segue la legge exp / Bk T ;

con α dipende dal materiale (vale qualche decimo di eV; 1 eV = 1.6·10-19 J), kB costante di Boltzmann (kB = 8.314 472 J·mol-1·K-1), T la temperatura misurata in kelvin. Inoltre, venne dimostrato che σ era sensibile al contenuto di certe impurezze (proprietà già osservata nel 1908 da Badäcker). Tuttavia nei primi anni trenta la situazione era ancora così confusa che uno dei maggiori fisici di allora, W. Pauli scriveva “Uno non deve lavorare sui semiconduttori, sono un pasticcio,

chi sa se addirittura esistono i semiconduttori” 4.1.

L’evoluzione travolgente dell’elettronica moderna è dovuta in larghissima parte alla scoperta, allo studio approfondito e all’utilizzo dei materiali semiconduttori. Essi hanno consentito la realizzazione di “dispositivi allo stato solido” in grado di sostituire i vecchi, costosi, energy consumig e ingombranti, tubi a vuoto che funzionavano grazie allo sfruttamento dell’effetto termoionico.

Figura 4.1 – Tubi a vuoto (valvole) vs. moderni circuiti integrati.

4.1 "Ueber Halbleiter sollte man nicht arbeiten, das ist eine Schweinerei, wer weiss, ob es

uberhaupt Halbleiter gibt"


4.2

I materiali per applicazioni elettriche sono, generalmente, classificati rispetto al valore della loro resistività. Quelli con valori di resistività (a temperatura ambiente) inferiore a 10-3 Ω·cm sono chiamati conduttori, quelli con valore di

resistività superiori a 108 Ω·cm sono chiamati isolanti. Nella regione intermedia

si trova la classe di materiali, chiamati semiconduttori. Questi ultimi rivestono

una notevole importanza dal punto di vista elettronico; la quasi totalità dei dispositivi elettronici è realizzata utilizzando materiali semiconduttori.

MATERIALI Resistività (Ω·m)

Isolanti ρ > 108

Semiconduttori 10-3 < ρ < 108

Conduttori ρ < 10-3

La caratteristica principale dei semiconduttori non è il valore della resistività ma la possibilità di essere modificata in modo controllato e con grande precisione, introducendo, all’interno dei materiali, ”opportune” impurezze. Inoltre, nei semiconduttori, la conduzione elettrica avviene attraverso due tipi di portatori di carica (elettroni e lacune).

Figura 4.2 – Esempi di materiali isolanti, semiconduttori e conduttori.4.2

Questa suddivisione storica dei materiali è stata integrata dalla constatazione che un solido semiconduttore si differenzia da un conduttore metallico poiché la sua conducibilità elettrica aumenta con la temperatura; nei conduttori metallici

4.2 Da notare che il diamante, se ci limitiamo a classificarlo tramite la resistività, appare come un

ottimo isolante. Come vedremo meglio in seguito, per la fisica dello stato solido il diamante è un semiconduttore.


4.3

diminuisce. Lo stesso comportamento si riscontra nei materiali isolanti;. Gli isolanti si distinguono dai semiconduttori poiché hanno una conducibilità elettrica molto più bassa; nella quasi totalità la resistività degli isolanti assume valori “bassissimi”. In realtà, come vedremo meglio in seguito, la fisica dello stato solido effettua la suddivisione tra isolanti semiconduttori e conduttori prendendo in esame, anche, il tipo di legame chimico presente tra i vari atomi; nei semiconduttori, legame covalente.

4.2 CENNI DI FISICA DEI MATERIALI SEMICONDUTTORI

Le sostanze solide possono essere suddivise in due grandi famiglie. Da un lato, vi sono i solidi cristallini: materiali per i quali è possibile considerare una

struttura regolare, ordinata, basata su un “reticolo” di particelle (atomi, ioni, molecole) che presentano una caratteristica di “sistematica prevedibilità” nella collocazione spaziale; una sorta di costruzione di “mattoni” disposti secondo una sequenza ordinata ripetuta in tutto lo spazio occupato. Dall’altro lato, esistono sostanze amorfe, nelle quali i “mattoni” non sono più collocati in modo ordinato

ma “ammucchiati” senza regole di ordine spaziale. La descrizione delle sostanze amorfe è molto complessa, benché molti sistemi solidi d’interesse applicativo ricadano in questa categoria; basti pensare ai vetri. Esistono anche materiali policristallini costituiti da un insieme di “grani” cristallini.

Figura 4.3 – (a) Struttura cristallina: i materiali cristallini sono caratterizzati da una distribuzione regolare e “spazialmente” ripetitiva degli atomi/molecole. (b) Struttura policristallina: i materiali policristallini sono formati da un insieme di regioni cristalline a diversa orientazione; un cristallo possiede ordine a lungo range, un policristallo ha struttura ordinata a piccolo range. (c) Struttura amorfa: nei materiali amorfi gli atomi/molecole sono distribuiti nello spazio in modo completamente “disordinato”.


4.4

Tuttavia, per la realizzazione dei dispositivi elettronici è necessario utilizzare materiali in forma cristallina; in realtà vi sono applicazioni di dispositivi che hanno al loro interno, anche, strutture policristalline o amorfe.

Figura 4.4 – Struttura del reticolo cristallino del silicio; passo reticolare a = 5.43 Å

(vi è un “impacchettamento” di ≈ 5·1022 atomi/cm3)

4.2.1 Dualismo onda particella: densità di probabilità

Quando si considerano particelle microscopiche, bisogna abbandonare molti dei concetti che sono famigliari nella nostra esperienza sensoriale4.3.

Per esempio, non si può stabilire con certezza la traiettoria di un elettrone; per il principio d’indeterminazione Heisenberg4.4 è impossibile misurare contemporaneamente, con precisione arbitraria, posizione e velocità dell’elettrone. Per questa ragione, l’elettrone viene descritto da una funzione chiamata orbitale atomico; l’orbitale fornisce la probabilità che la posizione e la velocità dell’elettrone abbiano determinati valori. La nube elettronica complessiva dell’atomo è formata dalla sovrapposizione degli orbitali di tutti gli elettroni. Poiché l’elettrone è una particella carica, la nube elettronica corrisponde alla densità di carica elettrica negativa presente intorno al nucleo.

4.3 Per spiegare i fatti sperimentali, nei primi anni del Novecento, fu necessario ipotizzare che

l’energia fosse quantizzata (Planck) e che la luce manifestasse, anche, natura corpuscolare (Einstein); ipotesi che in seguito trovarono conferma sperimentale.

4.4 In termini matematici, il principio d’indeterminazione di Heisenberg afferma che il prodotto dell'incertezza sulla posizione e sulla quantità di moto deve essere maggiore o uguale alla costante di Planck divisa per 4π; lo stesso vale per altre coppie di grandezze fisiche, come per esempio tempo ed energia.


4.5

Se gli elettroni si muovessero in orbite semplici, allora il momento e la posizione dell’elettrone potrebbero essere determinati esattamente in ogni istante nel tempo. Questo fatto non corrisponde alla realtà sperimentale; come già detto, il principio d’indeterminazione impedisce di misurare contemporaneamente (con precisione arbitraria) posizione e velocità dell’elettrone. Pertanto, nello studio del moto di un elettrone con assegnata energia, la posizione è determinabile solo in termini probabilistici; si può soltanto determinare la probabilità di trovare quell’elettrone in una posizione particolare. Inoltre, le esperienze sperimentali hanno reso evidente che l’elettrone presenta un comportamento sia di tipo corpuscolare sia di natura ondulatoria (ipotesi di de Broglie4.5).

L’ipotesi di de Broglie suscitò un grandissimo interesse da parte dei più vivaci fisici teorici del tempo, fra cui Erwin Schrödinger. Questi si pose al lavoro nella ricerca sia dell’inquadramento matematico formale della nuova teoria sia di un’efficace interpretazione del significato fisico delle onde associate alle particelle materiali.

Partendo dall’ipotesi di de Broglie, Schrödinger ha sviluppato l’implicazione della natura ondulatoria delle particelle microscopiche dando origine a un ramo della fisica chiamato meccanica quantistica. In meccanica quantistica, il moto delle particelle è descritto attraverso una funzione d’onda (funzione soluzione dell’equazione di Schrödinger) alla quale vengono associate caratteristiche della meccanica classica quali quantità di moto ed energia. Per una particella che

possiede energia totale (energia cinetica più energia potenziale) ( )TE r , in una

regione dello spazio ove è presente un potenziale ( )V r

, l’equazione di

Schrödinger si scrive come: 2

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Tr V r r E r rm

. (4.1)

4.5 Se un fotone possiede sia proprietà corpuscolari sia ondulatorie, perché le stesse

caratteristiche non dovrebbe possederle anche una particella materiale? La risposta affermativa al quesito, e le conclusioni che ne seguono, rappresentano l’essenza della tesi di dottorato scritta nel 1924 dal francese Louis de Broglie (1892-1987), che nel 1931 gli valse il premio Nobel. L’idea alla base è che la dualità onda-particella costituisce una proprietà generale della natura. Per quanto riguarda l'elettrone in movimento, de Broglie ipotizzò che, in quanto particella, anche esso possedesse proprietà ondulatorie, con lunghezza d'onda λ = h/(m·v) = h/p; h costante di Planck, m massa dell’elettrone, v velocità dell’elettrone e p quantità di moto. Il comportamento ondulatorio non è osservabile in oggetti macroscopici poiché il valore della lunghezza d'onda di De Broglie risulta infinitesimo.


4.6

Nell’equazione (4.1), r

è la posizione della particella, 2h , l’operatore

nabla-quadro è definito come 2 2 2

22 2 2x y z

e ( )x è la funzione d’onda

associata alla particella.

La funzione d’onda di una particella indica, mediante la sua ampiezza 2

( )( )r

, la probabilità di trovare la particella in una data posizione r

. In altre parole, la funzione d’onda rappresenta una descrizione probabilistica dello “stato” della particella.

Per chiarire il concetto di “stato” probabilistico di una particella, consideriamo un elettrone che si “muove”, con una certa energia, intorno al nucleo di un atomo. Facciamo un ipotetico esperimento nel quale prendiamo una serie di fotografie istantanee della posizione dell’elettrone. Se tutte queste ipotetiche fotografie successive, con l’elettrone che appare come un piccolo puntino, fossero sovrapposte ne risulterebbe una “nuvola” simile a quella mostrata in Figura 4.5.

Figura 4.5 – Raffigurazione della densità elettronica (nuvola elettronica); la figura è una rappresentazione del moto di un elettrone intorno al nucleo.

La Figura 4.5 rappresenta la densità di probabilità dell’elettrone; in genere, chiamata nuvola elettronica. La densità dei puntini in una data regione dello spazio è un’ipotetica rappresentazione fotografica della densità di probabilità in quella regione; si può osservare che la densità di probabilità è maggiore in vicinanza del nucleo e diminuisce man mano che aumenta la distanza dal nucleo. Di conseguenza, non si può definire un raggio finito dell’atomo; quest’ultimo è caratterizzato da una nuvola elettronica diffusa senza limiti ben definiti.

Il moto e la posizione degli elettroni non possono essere rappresentati efficacemente in un disegno. Per questo motivo, quale limite arbitrario alla “posizione” dell’elettrone, è conveniente prendere un volume con una superficie


4.7

lungo la quale la densità di probabilità abbia un certo valore costante; essa è detta superficie limite di densità di probabilità costante. Questo ci assicura che la forma spaziale della densità elettronica sia accuratamente rappresentata. In più è uso comune definire tale superficie come quella che racchiude all’incirca il 90% della densità elettronica. Noi assoceremo il nome di orbitale elettronico a questo tipo di modello del moto elettronico. Un orbitale può essere rappresentato da una funzione matematica così come può essere rappresentato graficamente per mezzo della densità di probabilità.

Figura 4.6 – Struttura atomica. Orbite semplici → Probabilità elettronica.

A questo punto, per definire la densità di probabilità, vediamo come si costruisce l’equazione di Schrödinger per una generica particella microscopica.

In fisica si definisce osservabile una qualsiasi grandezza che in qualche modo

è misurabile direttamente oppure indirettamente. Nell’approccio matematico della meccanica quantistica un’osservabile viene rappresentato da un operatore

lineare in generale complesso.

All’osservabile quantità di moto p

si associa l’operatore impulso:

operatoreosservabile

ˆp j p con 1j e ˆ ˆ ˆi j k

x y z

. (4.2)

Conseguentemente, all’osservabile energia cinetica si può associare l’operatore energia cinetica, definito come:

2 22

operatoreosservabile

ˆ ˆˆ2 2 2

pT

m m m

p pT

. (4.3)


4.8

Infine, se l’energia totale della particella viene espressa in modo classico (energia cinetica più energia potenziale), possiamo ad essa associare l’operatore hamiltoniano, cioè:

2 22

OperatoreEnergia Energia haniltoniano cinetica potenziale

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

pH r T r V r V r V r V r

m m H T

.

(4.4)

A questo punto, si può scrivere la forma compatta dell’equazione di Schrödinger, cioè:

ˆ ( ) ( ) ( )Tr E r r H

. (4.5)

La funzione ( )r

rappresenta uno stato della particella nel quale l’energia si

conserva e ha il valore ( )TE r

. Solo le funzioni d’onda tali che l’operatore

hamiltoniano, agendo su di esse, dà la funzione immutata moltiplicata per una costante, rappresentano stati della particella nei quali l’energia si conserva.

Una descrizione fisica del comportamento degli elettroni nei solidi si può ottenere a partire dalle proprietà del sistema di elettroni in un atomo isolato. Inducendo opportune perturbazioni nel sistema elettronico considerato, si possono dedurre numerose proprietà elettroniche dei solidi.

Pertanto, prima si esamineranno i livelli di energia permessi di un elettrone nel campo prodotto da un unico nucleo atomico, successivamente studieremo l’effetto che si produce quando sono presenti altri atomi in prossimità di quello già considerato. Questo ci consente di esaminare gli effetti dei nuclei atomici di un cristallo sul comportamento degli elettroni a essi associati.

Facciamo osservare che gli elettroni più interni, quelli più vicini al nucleo, sono troppo vincolati a esso per interagire “con l’esterno”. La struttura degli elettroni interni e del nucleo non è influenzata dalle interazioni della nube elettronica con l’esterno; in un atomo il nucleo e gli elettroni più interni, quelli che non interagiscono con l’esterno, vengono definiti nocciolo ionico (si veda vedi Figura 4.6). Gli elettroni più esterni, la causa di tutti i processi caratteristici dell’atomo stesso (legame chimico, interazione fotoelettrica, spettri di assorbimento/emissione), sono chiamati elettroni di valenza. Il numero degli elettroni di valenza definisce la capacità di un elemento di combinarsi con uno o più atomi (numero di legami).


4.9

Nella discussione della fisica dei semiconduttori si fa ricorso a due modelli complementari: quello a bande di energia e quello a legame cristallino. Anzitutto si procederà alla descrizione del primo modello; il secondo verrà impiegato nel seguito per introdurre altri concetti.

4.2.2 Modello a bande dei solidi

È noto che l'energia di un elettrone interagente con il potenziale coulombiano di un nucleo atomico è caratterizzata da un particolare insieme di valori consentiti (Figura 4.7). In particolare, l’energia dell’elettrone può assumere solo uno dei valori forniti dalla seguente successione:

2 40

2 2 20

per 1,2,3,8n

Z m eE n

h n . (4.6)

Si sceglie come energia di riferimento il valore zero (n = ∞ → E∞ = 0). Tale valore dell’energia compete all’elettrone libero; elettrone che non risente l’influenza del nucleo.

Figura 4.7 – Livelli di energia permessi di un elettrone interagente con il potenziale coulombiano del nucleo atomico.

La carica elettrica di un elettrone è –e (e = 1.602·10-19 C). Pertanto nell’equazione (4.6) e è un numero positivo. Gli altri simboli sono: Z, che indica la carica netta del nucleo (numero atomico); m0 la massa a riposo dell’elettrone; ε0 permittività elettrica del vuoto (chiamata anche la costante dielettrica del vuoto); h la costante di Planck; n un intero positivo (prende il nome di numero quantico principale dell’atomo). A temperature estremamente basse (T → 0 K), quando tutti gli elettroni dell’atomo sono legati al nucleo, essi occupano i livelli


4.10

disponibili a partire da quello di minore energia. In accordo con il principio di esclusione di Pauli, al più due elettroni di spin antiparallelo possono occupare ciascun livello energetico.

Immaginiamo di formare un solido avvicinando gradualmente gli atomi. Fintanto che le densità elettroniche degli elettroni più esterni non si sovrappongono, gli elettroni hanno la stessa l’energia che avrebbero se tutti gli atomi fossero isolati. In Figura 4.8(a) si vede la densità elettronica per i vari atomi per i due orbitali più esterni.

Figura 4.8 – Costruzione di un solido realizzato avvicinando gli atomi. (a) Atomi a grande distanza: densità elettroniche separate. (b) Funzioni d’onda degli elettroni esterni che si sovrappongono.

Quando la distanza interatomica è sufficientemente “piccola” gli elettroni più esterni sovrapporranno le loro funzioni d’onda; gli elettroni più esterni hanno una probabilità diversa da zero di stare su un atomo o sull’altro. In altre parole, gli elettroni perdono memoria dei singoli atomi di origine e appartengono ora a tutto il solido. La densità elettronica dei singoli elettroni si estende su tutto il solido e i corrispondenti livelli energetici, perturbati dall’interazione tra i vari atomi, si separano in livelli distinti ma molto vicini tra loro e in numero uguale all’enorme numero di atomi nel solido. Si dice quindi che i livelli si allargano in bande di energia. Se i livelli atomici di partenza sono vuoti anche le bande che da essi hanno origine sono vuote, se sono pieni o parzialmente pieni, le bande corrispondenti sono piene o parzialmente piene.

Cerchiamo di spiegare meglio il concetto sopra esposto. Iniziamo con l’analizzare cosa succede quando avviciniamo due atomi. Per semplicità, consideriamo soltanto l’elettrone più esterno, cioè quello che occupa il livello di energia più elevato (sia Ei l’energia associata a tale livello), e trascuriamo gli elettroni che occupano i livelli di energia inferiore. Quando due atomi sono separati da una distanza così grande da poterli considerare isolati, l’elettrone


4.11

esterno di ciascun atomo possiede un’energia Ei data dall’equazione (4.6). Se la distanza di separazione è ridotta, l’elettrone sarà soggetto a una forza dovuta alla presenza del secondo nucleo. Il potenziale che determina i livelli di energia dell’elettrone risulta quindi modificato e così pure i possibili valori di energia.

La descrizione di un sistema biatomico richiede peraltro l’introduzione del principio di esclusione di Pauli. Per ciascun atomo isolato, un generico livello di energia En compete (al più) a due elettroni di spin opposto, cosicché il sistema biatomico può contenere (al più) quattro elettroni. Tuttavia, quando i due atomi vengono avvicinati così da formare un solo sistema di due atomi interagenti, il livello di energia consentita, Ei, può competere a due soli elettroni. Quindi il livello permesso di energia Ei, relativo a ciascun atomo isolato, si sdoppierà in due livelli di energia leggermente differente; in questo modo si garantisce la coesistenza di quattro elettroni. L’effetto dell’interazione tra i due atomi è dunque quello di perturbare il valore di energia relativo al livello considerato dell’atomo isolato, ma anche di indurre uno sdoppiamento dei livelli di energia perturbati. Avvicinando ulteriormente i due atomi, la perturbazione dovuta all’interazione è maggiore, come pure la differenza di energia tra i livelli energetici sdoppiati.

Figura 4.9 – Sdoppiamento dei livelli energetici in due atomi “interagenti”.

Raggruppando più atomi in una struttura cristallina, le forze cui sono soggetti gli elettroni sono ulteriormente modificate e così pure i valori di energia permessi. Anche qui, il principio di esclusione di Pauli richiede che ciascun livello permesso abbia un’energia di valore leggermente diverso, cosicché il cristallo è


4.12

caratterizzato da numerosi livelli, tutti distinti in energia, ma molto prossimi tra di loro. Ogni livello quantizzato corrispondente all’atomo isolato si scinde in più livelli; se il sistema è composto da N atomi, l’originario livello di energia Ei si scinde in N livelli permessi, costituenti una banda di energia che contiene al più 2N elettroni (il coefficiente 2 deriva della degenerazione associata allo spin – in ogni livello energetico possono coesistere due elettroni con spin opposto). Poiché il numero di atomi in un cristallo è generalmente molto grande (dell’ordine di 1022 atomi per cm3) e l’estensione delle bande di energia è dell’ordine di pochi elettronvolt, gli N livelli distinti componenti le bande sono separati da intervalli di energia assai più piccoli della energia termica posseduta dall’elettrone a temperatura ambiente. In queste condizioni, l’elettrone può agevolmente compiere transizioni tra i livelli. Si può quindi parlare di una banda continua di valori d’energia permessi; banda occupabile al più da 2N elettroni.

Figura 4.10 – Livelli energetici degli elettroni che degenerano in bande di stati permessi.

La banda permessa è delimitata da un valore massimo e minimo di energia e può essere separata, dalle bande permesse adiacenti, da intervalli di energia proibiti o può sovrapporsi ad altre bande. Le proprietà elettroniche di un materiale sono determinate, essenzialmente, dalla particolare struttura a bande; ovvero dal fatto che vi siano o non vi siano bande energetiche proibite e da quanto queste siano energeticamente estese.

Sebbene ciascun livello di energia dell’atomo isolato dia luogo a una banda composta da 2N livelli, l’estensione energetica di ciascuna di esse può essere differente. Le bande di energia originate dai livelli di maggiore energia sono generalmente più estese di quelle relative a livelli di energia inferiore.


4.13

Nei livelli cui compete agli elettroni energia di legame più bassa (corrispondenti a livelli energetici più distanti dal nucleo) l’elettrone è meno legato; può facilmente “vagare” lontano dal nucleo atomico. Esso può dunque avvicinarsi maggiormente agli atomi adiacenti, dai quali risulta più “fortemente” perturbato. La maggiore intensità dell’interazione produce una più ampia separazione tra i livelli che costituiscono la banda. In conclusione, i livelli con n maggiore degenerano, per l'’interazione tra atomi adiacenti, in bande di energia più estese.

Prendiamo adesso in esame un atomo di silicio. La meccanica quantistica definisce quattro specie di orbitali s, p, d e f. L’orbitale s può contenere 2 elettroni, l’orbitale p può contenere 6 elettroni, l’orbitale d può contenere 10 elettroni e l’orbitale f può contenere 14 elettroni.

Le specie degli orbitali sono dette sottolivelli del numero quantico principale. Nello stato fondamentale, in un atomo plurielettronico i vari orbitali sono riempiti secondo energie crescenti finché non siano stati sistemati tutti gli elettroni. Da osservazioni sperimentali è stato ricavato che l’ordine di energia crescente dei vari orbitali, in atomi neutri plurielettronici, è: 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s, 5f, 6d. Un diagramma che mostra l’energia degli orbitali in atomi neutri è mostrato in Figura 4.11

Figura 4.11 – Energie relative agli orbitali presenti in atomi neutri. Il diagramma fornisce l’ordine di riempimento degli orbitali. Gli elettroni occupano prima l’orbitale disponibile di più bassa energia. Perciò, per esempio, l’orbitale 4s si riempie prima dell’orbitale 3d, l’orbitale 6s si riempie prima dell’orbitale 4f, e così via.


4.14

Il carbonio, il silicio, il germanio e lo stagno hanno le configurazioni elettroniche indicate in Figura 4.12. Da quanto riportato in Figura, si nota che ognuno di questi elementi ha gli orbitali completamente occupati eccettuato l’orbitale p più esterno; esso contiene solo due dei sei elettroni possibili. A prima vista sembrerebbe essere presente una contraddizione. Questi materiali hanno una struttura elettronica molto simile, al contrario, nella forma cristallina, il carbonio è un ottimo isolante, il silicio e il germanio semiconduttori, lo stagno un conduttore.

Elemento Numero atomico Configurazione C 6 1s2+2s2+2p2

Si 14 1s2+2s2+2p6+3s2+3p2 Ge 32 1s2+2s2+2p6+3s2+3p6+3d10+4s2+4p2 Sn 50 1s2+2s2+2p6+3s2+3p6+3d10+4s2+4p6+4d10+5s2+5p2

Figura 4.12 – Disposizione degli elettroni negli elementi del gruppo IV A della tavola periodica.

Consideriamo che il cristallo di nostro interesse sia costituito da N atomi di uno degli elementi indicati nella Figura 4.12. Inoltre, immaginiamo che sia possibile variare la distanza fra gli atomi senza alterare la struttura cristallina. Se gli atomi sono molto lontani, gli uni dagli altri, la loro interazione è trascurabile e i livelli energetici, praticamente, coincideranno con quelli degli atomi isolati. Per ciascun elemento della Figura 4.12, i due orbitali più esterni contengono due elettroni nell’orbitale s e due elettroni nell’orbitale p; trascurando i livelli energetici corrispondenti agli strati elettronici più interni, vi sono 2N elettroni tutti alla stessa energia che riempiono completamente i 2N livelli s permessi. L’orbitale p ha sei stati possibili ma solo due di questi stati sono occupati; perciò nel nostro immaginario cristallo costituito da atomi molto distanti solo 2N dei possibili 6N stati sono occupati da elettroni aventi tutti lo stesso livello energetico. Questa situazione è schematizzata nella parte destra della Figura 4.13. Se si diminuisce la distanza fra gli atomi del cristallo immaginario, ogni atomo eserciterà una forza elettrica sugli atomi vicini. A causa di questo accoppiamento fra gli atomi, le funzioni d’onda degli elettroni si sovrappongono e il cristallo diventa un sistema di elettroni per il quale è valido il principio di esclusione di Pauli. Di conseguenza i 2N strati s degenerano disperdendo la loro energia in una fascia. La separazione fra i singoli livelli energetici è piccola, ma, poiché N è molto grande, si ha che la differenza di energia fra il livello più alto della fascia e quello più basso può essere di parecchi elettronvolt. La riunione di questo grande numero di livelli energetici discreti, ma molto prossimi, è detta banda di


4.15

energia. I 2N stati s sono completamente occupati da 2N elettroni la cui energia è distribuita in una banda che si allarga sempre più al diminuire della distanza interatomica. In maniera analoga si vede che i 2N elettroni dell’orbitale p, occuperanno 2N stati energetici p distribuiti in una banda4.6.

Figura 4.13 – Livelli energetici degli elettroni di valenza del silicio.

Tra le bande relative agli elettroni degli orbitali s e p esiste un salto di energia detto banda proibita o gap d’energia. Questo salto diminuisce man mano che diminuisce la distanza interatomica; quando gli atomi sono abbastanza vicini, queste bande si sovrappongono e formano una banda di 6N + 2N = 8N stati permessi dei quali 2N + 2N = 4N sono occupati. In queste condizioni 4 elettroni di ciascun atomo occupano altrettanti livelli della banda, cioè non occupano più le orbite corrispondenti agli stati s o p dell’atomo isolato; essi appartengono all’intero cristallo. La banda occupata dagli elettroni non strettamente legati all’atomo è detta banda di valenza.

Se la distanza fra gli atomi diminuisce sotto il valore per il quale le bande si sovrappongono, l’interazione fra gli atomi è molto grande e la struttura delle

4.6 La banda di energia degli elettroni dell’orbitale p può contenere 6N elettroni, ma soltanto 2N

stati di questa banda sono occupati.


4.16

bande di energia dipende dalla disposizione degli atomi nello spazio (cioè dalla struttura del cristallo) e dal numero atomico di ciascun atomo.

Il livello di energia più elevato in ciascuna banda è separato dal livello di energia più basso della banda successiva da un intervallo (gap) di energia EG. È utile comunque fornire una rappresentazione “differente” della struttura a bande (Figura 4.14).

Figura 4.14 – Diagrammi a bande di energia .

Come già detto, la formazione di bande di energia, a partire dai livelli discreti, avviene ogni qualvolta atomi di un qualunque elemento si raggruppano per formare un solido. Peraltro, essendo diverso il numero di elettroni che occupano le bande di energia per i diversi solidi, si hanno forti differenze nelle proprietà elettriche. Si consideri, ad esempio, un metallo alcalino composto da N atomi aventi ciascuno un solo elettrone di valenza nell’orbita più esterna. Avvicinando sensibilmente gli atomi, il livello di energia relativo all’orbita più esterna degenera in una banda di energia. Nel caso più semplice questa banda può ospitare 2N elettroni. Gli N elettroni disponibili riempiono quindi la metà inferiore della banda, e appena sopra gli stati energetici occupati si hanno livelli energetici liberi. Gli elettroni con energia prossima all’estremo superiore della porzione di banda occupata possono facilmente aumentare la propria energia, per effetto di un campo elettrico applicato, di una quantità sufficiente a effettuare una transizione verso gli stati non occupati. Essi si comportano come elettroni “quasi”


4.17

liberi e possono essere “trasportati” attraverso il cristallo sotto l’azione di un campo elettrico esterno. In generale, i metalli sono caratterizzati da bande di energia parzialmente occupate, come nel caso appena descritto, e sono pertanto buoni conduttori elettrici.

Presentano viceversa un comportamento elettrico assai diverso i materiali in cui gli elettroni di valenza (quelli presenti nell’orbita più esterna) occupano completamente una banda di energia permessa, separata dalla banda immediatamente superiore da un intervallo proibito (energy gap – EG). In questo caso, tipico degli isolanti, la banda energetica permessa è completamente vuota di portatori di carica. Gli stati vuoti di energia minore sono cioè separati, da quelli occupati di maggiore energia, dall’intervallo EG. Nei materiali isolanti EG è di norma superiore a 5 eV (per il silicio, che è un semiconduttore, vale circa 1.12 eV), estensione considerevolmente maggiore delle tipiche energie termiche o delle energie somministrabili con un campo elettrico (decimi di elettronvolt o meno). Nel modello idealizzato che stiamo esaminando non vi sono elettroni “vicini” a stati energetici permessi non occupati, e dunque non si ha alcun elettrone in grado di ricevere piccole energie da campi elettrici applicati dall’esterno; nessun elettrone può contribuire alla corrente elettrica, il materiale è un isolante.

Analizziamo un’analogia idraulica. Un tubo orizzontale, chiuso alle estremità, rappresenterà gli stati permessi di energia, e il fluido in esso contenuto può essere associato agli elettroni in un solido. Nell’analogia corrispondente al caso di un metallo, il tubo è parzialmente riempito (Figura 4.15). L’applicazione di una forza (in questo caso forza di gravità) mediante inclinazione del tubo fa sì che il fluido scorra agevolmente lungo il tubo.

Figura 4.15 – Il moto degli elettroni in un metallo: analogia idraulica con il moto di un fluido contenuto in un tubo chiuso alle estremità. Il fluido può muoversi in un tubo parzialmente riempito così come un elettrone può muoversi in un conduttore.


4.18

Nell’analogia corrispondente al caso di un isolante, il tubo è completamente riempito di fluido (Figura 4.16). Inclinando il tubo, il fluido non può scorrere; non vi è volume vuoto verso cui spostarsi; cioè non vi sono stati permessi vuoti.

Figura 4.16 – Il moto degli elettroni in un isolante: analogia idraulica con il moto di un fluido contenuto in un tubo chiuso alle estremità. Nessun movimento di fluido può aver luogo in un tubo completamente riempito e chiuso alle estremità.

I semiconduttori hanno strutture a bande simili a quelle degli isolanti. La differenza tra le due classificazioni risiede nella diversa estensione dell’intervallo proibito e nella possibilità di popolare la banda vuota aggiungendo al semiconduttore opportune impurità; questo consente, come vedremo meglio in seguito, di realizzare materiali con conducibilità “controllata”. In un semiconduttore, l’intervallo di energia che separa la banda di energia più elevata, tra quelle che allo zero assoluto sono completamente occupate, dalla banda vuota con energia più bassa, è normalmente dell’ordine di un elettronvolt (silicio 1.12 eV; germanio 0.66 eV). In un semiconduttore intrinseco, privo cioè d’impurità, la banda occupata di maggiore energia è popolata dagli elettroni che erano gli elettroni di valenza degli atomi isolati; essa è conosciuta come banda di valenza.

Quando la temperatura del cristallo e maggiore dello zero assoluto, la banda di valenza non risulterà completamente occupata; un “piccolo” numero di elettroni possiede energia termica sufficiente per essere eccitato oltre l’intervallo proibito; il numero di elettroni che può effettuare transizioni tra le bande è tanto più elevato quanto più alta è la temperatura e quanto più piccolo l’intervallo proibito (energy gap). Gli elettroni eccitati che si trovano nella banda vuota, quando sono sottoposti a un campo elettrico, possono acquistare l’energia fornita da campo elettrico esterno e dare così origine a una corrente elettrica. Questa banda è perciò detta banda di conduzione; il nome deriva dal fatto che gli elettroni che la popolano sono responsabili della conduzione elettrica nel semiconduttore.


4.19

4.2.3 Cenni sulla conduzione elettrica nei solidi

Nei solidi conduttori (in particolar modo nei metalli), gli atomi si legano gli uni agli altri in modo tale che vi è una sorta di grande nube elettronica comune a tutti gli atomi del reticolo cristallino. In questo caso, ciascun atomo mette in compartecipazione uno o due elettroni che diventano “liberi” di muoversi all’interno del reticolo. Questo tipo di legame è possibile quando l’energia di ionizzazione degli elettroni è sufficientemente bassa; cioè quando la temperatura del cristallo e tale che agitazione termica è in grado di liberare gli elettroni più esterni dell’atomo. In altre parole, nei solidi conduttori, la struttura microscopica è costituita da un reticolo cristallino di ioni positivi avvolto da una nuvola di elettroni (gas di elettroni – elettroni liberi), che sono gli elettroni più esterni di ciascun atomo.

In un conduttore gli atomi, divenuti ioni positivi, sono disposti regolarmente nel reticolo cristallino. Al contrario, gli elettroni più esterni, liberi di spostarsi nel reticolo, sono gli elettroni di conduzione. Sia gli ioni che gli elettroni di conduzione sono soggetti al moto di agitazione termica. A causa dell’agitazione termica, gli ioni vibrano attorno alla loro posizione di equilibrio, mentre gli elettroni si muovono, su piccole distanze, in modo casuale ad alta velocità (circa 106 m/s). Quando il metallo è sottoposto a una differenza di potenziale, gli elettroni “liberi” sperimentano una forza che provoca un loro “drift”, lento e ordinato verso i punti a potenziale maggiore. A causa degli urti con gli atomi del reticolo cristallino non si ha un moto uniformemente accelerato, ma una velocità di deriva (drift) degli elettroni, che si sovrappone alla velocità caotica dovuta all’agitazione termica. La velocità di deriva, chiamata anche velocità di trascinamento, è dell’ordine di 104 m/s.

Figura 4.17 – (a) Il moto di agitazione termica porta gli elettroni a muoversi in tutte le direzioni. Gli urti con il reticolo portano a uno spostamento medio nullo; non vi è corrente elettrica (spostamento di carica nullo). (b) Quando di collega il metallo (ad esempio un filo) ad un generatore di f.e.m., all’interno si genera un campo elettrico che “trascina” gli elettroni nel verso opposto a quello del campo elettrico; si genera una corrente elettrica.


4.20

Avendo a che fare con un numero “grande” di portatori di carica, il moto degli elettroni di conduzione si può descrive con un modello semplificato. In particolare, s’ipotizza che tutti gli elettroni che contribuiscono alla corrente elettrica si muovano verso i punti a potenziale maggiore con la stessa velocità di deriva dv

. Questa velocità di deriva fa nascere una densità di corrente:

en q dJ v

. (4.7)

Nell’equazione (4.7) ne rappresenta il numero di elettroni liberi per unità di volume e q la carica dell’elettrone.

Considerando la quantità di moto media degli elettroni, questa dipende, in prima analisi, dal campo elettrico applicato:

dq

dt

pF E

. (4.8)

Come già detto, è necessario tenere conto delle collisioni che le cariche elettriche mobili sperimentano nel reticolo:

campo collisioni reticolari p

d d dq

dt dt dt

p p p p

E

. (4.9)

In condizioni stazionarie, cioè con l’ipotesi che le particelle abbiano raggiunto

velocità dv costante, si ha:

0 pp

p

m qdq q

dt m

d

d

p vp pE p E v E

. (4.10)

Con l’equazione (4.10), abbiamo descritto il moto di un elettrone nel solido in termini classici; abbiamo ipotizzato valida la seconda legge della dinamica. Questo modo di procedere non è corretto; gli effetti del potenziale reticolare non sono trascurabili. Gli elettroni liberi sperimentano, oltre al campo elettrico “esterno”, anche il potenziale periodico del reticolo. Un modello, sufficiente a spiegare molti dei fenomeni d’interesse, prevede che gli effetti del potenziale reticolare sul moto dell’elettrone si manifestino attraverso una modificazione della massa inerziale dell’elettrone. In altri termini, consideriamo il moto di un elettrone libero soggetto a una forza qE

, ma con una massa efficace *m dove

vengono inglobate tutte le complessità del reticolo. Con questo modello, l’equazione (4.10) si riscrive come:

*

pd

q

m

v E E

. (4.11)


4.21

Nell’equazione (4.11) è stata introdotta la mobilità dei portatori di carica (μ) che dipende dalla massa efficace m*. In un reticolo cristallino, il valore della massa efficacie dell’elettrone dipende dal particolare livello di banda4.7.

Nei materiali semiconduttori, la densità di corrente dipende sia dagli elettroni liberi che si trovano in banda di conduzione sia da eventuali livelli energetici “vuoti” che si trovano in banda di valenza.

Come visto in precedenza, la densità di corrente J legata agli elettroni presenti

in banda di conduzione si determina sommando i contributi (-qvk) relativi a

ciascun elettrone presente in banda di conduzione; indicando con vk la velocità di deriva dell’elettrone k-esimo ed effettuando una sommatoria estesa a tutti gli elettroni presenti per unità di volume che si trovano in banda di conduzione (NBC).

Per la densità di corrente dovuta agli elettroni che si trovano in banda di conduzione si ha:

1

( )BCN

BC kk

q

J v

. (4.12)

La densità di corrente che scorre nei semiconduttori, in generale, è considerevolmente più piccola di quella presente in un metallo; in un semiconduttore il numero di elettroni presenti in banda di conduzione (quelli liberi) è “modesto”.

Quando vi sono elettroni eccitati nella banda di conduzione, rimangono stati energetici vuoti in banda di valenza. Applicando un campo elettrico si osserva, anche in banda di valenza, un movimento di elettroni. L’espressione della densità di corrente, legata agli elettroni che si trovano in banda di valenza è data, considerando gli elettroni presenti per unità di volume (NBV), da:

1

( )BVN

BV ki

q

J v . (4.13)

Molti degli elettroni che si trovano in banda di valenza hanno velocità di trascinamento nulla; sono pochi gli stati energetici non occupati, il numero di elettroni che acquista velocità di deriva è pari al numero di stati energetici “vuoti”. Per questo motivo è più agevole descrivere la conduzione in termini di elettroni interagenti con gli stati non occupati, anziché esaminare il movimento di tutti gli elettroni della banda di valenza. Matematicamente, la corrente nella

4.7 Vedremo in seguito che per l’elettrone si può definire una massa efficace negava o,

alternativamente, assegnare all’elettrone una carica elettrica positiva.


4.22

banda di valenza si può descrivere come la corrente che scorrerebbe se la banda fosse completamente occupata, diminuita della corrente associata agli elettroni mancanti. Sommando i due contributi, si ha:

stati energetici stati energetici vuoti presenti in presenti in

Banda di Vanenza Banda di Vanenza

1 1 1

( ) ( ) ( )BV

N M

N

BV k k ki k k

q q q

J v v v . (4.14)

Poiché il contributo alla corrente elettrica dovuta a una banda energetica completamente occupata è rigorosamente nullo, la corrente dovuta agli elettroni che si trovano in banda di valenza può essere espressa come:

stati energetici vuoti stati energetici vuoti presenti in presenti in

Banda di Vanenza Banda di Vanenza

1 1 1

( ) 0 ( ) ( )BV

M M

N

BV k k ki k k

q q q

J v v v .

(4.15)

Nell’equazione (4.15) la sommatoria è estesa agli stati non occupati per unità di volume. Dall’espressione (4.15) segue che si può esprimere il movimento delle cariche nella banda di valenza come moto di stati non occupati, trattandoli come particelle di carica positiva. Queste particelle sono dette lacune (in inglese hole – buca); la loro esistenza, ovviamente, è rivelabile solo in un solido con struttura a bande. Il concetto di lacuna può essere illustrato ricorrendo ancora alla nostra analogia dei fluidi nei tubi di vetro (si veda Figura 4.18).

Consideriamo due tubi chiusi alle estremità, uno completamente pieno, l’altro completamente vuoto [Figura 4.18(a)]. Applicando a essi una forza mediante inclinazione dei tubi, non si osserva alcun movimento di fluido [Figura 4.18(b)]. Se viceversa si trasferisce una piccola quantità di fluido dal tubo completamente pieno a quello completamente vuoto [Figura 4.18(c)], l’inclinazione del tubo con poco fluido (quello che inizialmente era completamente vuoto) originerà un movimento di fluido [Figura 4.18(d)]. Questo movimento corrisponde alla conduzione di corrente elettrica nella banda di conduzione del solido. Nel tubo quasi pieno è presente una “bolla”, a causa del fluido rimosso. Questa bolla è analoga alle lacune nella banda di valenza; non può esistere se non in un tubo quasi completamente pieno, il concetto di lacuna è utile solo in connessione con una banda di valenza quasi completamente occupata. Quando s’inclina il tubo, il movimento del fluido e quello della bolla hanno versi opposti, la bolla (mancanza di fluido) può essere vista come una massa negativa sovrapposta al tubo completamente pieno. Analogamente, le lacune nella banda di valenza si muovono con verso opposto a quello degli elettroni, come se la loro carica fosse


4.23

di segno opposto a quella degli elettroni. Risulta più agevole descrivere il movimento di una piccola bolla anziché quello di una grande quantità di fluido. Allo stesso modo, è più semplice descrivere il moto di poche lacune, anziché quello degli elettroni che occupano quasi completamente la banda di valenza.

Figura 4.18 – Analogia idrodinamica per la conduzione elettrica in un semiconduttore: nel tubo completamente pieno, così come in quello completamente vuoto, situazione (a) e (b), vi è assenza di flusso; se il tubo è parzialmente pieno o parzialmente vuoto, situazione (c) e (d), il fluido può muoversi, nel caso di tubo parzialmente vuoto, si può studiare il movimento del fluido analizzando lo spostamento della “bolla” .

Il moto delle lacune può anche “immaginato” anche con un altro esempio. Il verso di spostamento di una lacuna lungo una direzione arbitraria (ad esempio verso destra) equivale al moto di un elettrone verso sinistra. Tuttavia, mentre il movimento “formale” della lacuna si può descrivere in modo abbastanza facile, i moti complessivi degli elettroni di valenza durante lo spostamento della lacuna risultano piuttosto complessi da descrivere; un modello intuitivo può essere quello “dell’autorimessa”4.8.

Consideriamo un’autorimessa a due piani dove il piano inferiore è completamente pieno di automobili (banda di valenza completamente piena di elettroni), mentre quello superiore è completamente vuoto (banda di conduzione

4.8 Il modello dell’autorimessa viene attribuito a Shockley. J. Bardeen, W. H. Brattain e W.

Shockley sono gli inventori, nel 1947, del Transistor Bipolare a Giunzione.


4.24

priva di elettroni, si veda Figura 4.19(a). In queste condizioni non si può avere movimento di automobili (elettroni) in nessuno dei due piani. Mancano sia elettroni (auto al piano superiore – banda di conduzione) che lacune (spazi vuoti al piano inferiore – banda di valenza). Se si porta un’auto dal piano inferiore a quello superiore, si veda Figura 4.19(b), in ciascun piano può esserci movimento di automobili. L’auto che si trova nel piano superiore può muoversi liberamente (elettrone libero in banda di conduzione), mentre nel piano inferiore è possibile soltanto spostare, nello spazio vuoto, un’auto alla volta (moto di lacune in banda di valenza). Ipotizzando che le auto siano tutte uguali, guardando il piano inferiore, un osservatore vede muoversi non una determinata automobile (elettrone), ma lo spazio vuoto (lacuna).

Figura 4.19 – Modello dell’autorimessa per “visualizzare” la conduzione per elettroni in banda di conduzione e delle lacune in banda di valenza.

4.2.4 Modello a legame covalente

La discussione su elettroni e lacune può anche essere svolta considerando il comportamento dei legami elettronici in un cristallo semiconduttore; questi legami possono essere completi o parzialmente “rotti”. Questo punto di vista, che è spesso detto modello a legame covalente, non tiene conto d’importanti vincoli quantistici del comportamento degli elettroni nei cristalli, ma illustra efficacemente numerosi concetti qualitativi.

Al fine di discutere il modello a legame covalente, consideriamo la struttura cristallografica del diamante, comune anche al silicio e al germanio (Figura 4.20).


4.25

In questo tipo di struttura, ogni atomo è interessato da quattro legami covalenti con i primi vicini; si realizza una configurazione di tipo tetraedrico. A ciascun legame covalente corrisponde una coppia di elettroni strettamente vincolati. Alla temperatura dello zero assoluto, in un cristallo “perfetto”, tutti gli elettroni risultano vincolati alla formazione dei legami e pertanto, qualora venga applicato un campo elettrico esterno, nessuno di essi è disponibile per la conduzione.

Figura 4.20 – Modello a legame covalente. Allo zero assoluto tutti i legami sono integri. La banda di valenza è completamente piena, quella di conduzione è completamente vuota.

Se si aumenta la temperatura del cristallo, T > 0 K , l’energia termica rompe alcuni legami e crea così elettroni “liberi”; alcuni elettroni “saltano” dalla banda di valenza alla banda di conduzione (formazione della coppia elettrone-lacuna). Se viene applicato un campo elettrico, gli elettroni e le lacune possono contribuire alla corrente.


4.26

Figura 4.21 – Modello a legame covalente, cristallo di silicio a temperatura T > 0 K; rottura del legame e relativa formazione della coppia elettrone/lacuna. Per rompere il legame covalente serve energia “termica” maggiore di EG.

Una volta rotto un legame covalente, lo spostamento dell’elettrone liberato lascia indietro un legame vacante. In seguito, un elettrone di un legame adiacente può saltare nel legame non completato, lasciandosi dietro un altro legame vacante. Il legame vacante si sposta dunque in direzione opposta a quella degli elettroni. Imponendo agli elettroni un movimento di trascinamento mediante un campo esterno, il legame vacante si muove sempre in direzione opposta a quella degli elettroni, come se fosse dotato di carica positiva. Questo legame vacante corrisponde alla lacuna di cui si è discusso nel modello a bande.

4.2.5 I materiali semiconduttori

I semiconduttori elementari sono solidi cristallini formati da atomi di un solo elemento; atomi appartenenti al gruppo IV A della tavola periodica degli elementi - si veda la Figura 4.22). Al contrario, i semiconduttori composti sono solidi cristallini con molecole formate da elementi appartenenti al gruppo III A e al gruppo V A oppure al gruppo II A e al gruppo VI A della tavola periodica degli elementi.

Figura 4.22 – Selezione della tavola periodica degli elementi in cui vengono mostrati semiconduttori elementari più importanti (riquadri grigi).


4.27

La Tabella 4.2 mostra i materiali semiconduttori più utilizzati in elettronica.

Semiconduttore Banda proibita EG (eV)

Carbonio 5.47 Silicio 1.12

Germanio 0.66

Stagno 0.082 Nitruro di Gallio 3.49

Arseniuro di Gallio 1.42 Fosfuro di Indio 1.35 Nitruro di Boro 7.50

Carburo di Silicio 3.26 Seleniuro di Cadmio 1.70

Tabella 4.2 – Principali materiali semiconduttori utilizzati dall’industria elettronica.

Oltre ai materiali semiconduttori riportati in Tabella 4.2, in elettronica si usano anche altri materiali; l’industria dei semiconduttori sperimenta e realizza in continuazione componenti elettronici con materiali alternativi ai “classici” semiconduttori. In ogni caso, attualmente il materiale semiconduttore più utilizzato è il silicio.

4.2.6 Donatori e accettori.

Finora abbiamo trattato il caso di un semiconduttore puro, in cui ogni elettrone eccitato nella banda di conduzione lascia uno stato vuoto nella banda di valenza. Conseguentemente, la densità ne di elettroni nella banda di conduzione è eguale alla densità nh di lacune (hole) nella banda di valenza. Un materiale siffatto è chiamato semiconduttore intrinseco; le concentrazioni delle lacune in banda di valenza e degli elettroni in banda di conduzione coincidono:

2i e h e h in n n n n n . (4.16)

Nell’equazione (4.16) ni rappresenta la concentrazione dei portatori di carica in un semiconduttore intrinseco. A temperatura ambiente (circa 300 K), si ha:

10 -3

10 -3

germanio 2.40 10 cariche libere cm

silicio 1.45 10 cariche libere cmi e hn n n

4.9 . (4.17)

4.9 A temperatura ambiente, in un semiconduttore intrinseco, la concentrazione di cariche libere

è dell’ordine di 1010 cariche per cm3, in un metallo questa concentrazione è dell’ordine di 1022, mentre in un isolante e dell’ordine di qualche carica per cm3.


4.28

La concentrazione di portatori liberi presenti in un semiconduttore intrinseco è quindi molto minore rispetto al numero di atomi totali, che, come detto in precedenza, è all’incirca di 5·1022 atomi/cm3. In altre parole il numero di legami spezzati è trascurabile rispetto al numero di legami covalenti totali. Ovviamente la concentrazione di portatori liberi nel silicio intrinseco ni varia con la temperatura T; se T aumenta, il numero di legami covalenti spezzati aumenta e quindi ni aumenta.

Per la realizzazione di dispositivi elettronici allo stato solido (come vedremo meglio in seguito) sono utilissimi materiali semiconduttori con concentrazione

“controllata” delle cariche libere e con e hn n (concentrazione “sbilanciata” dei

due tipi di portatori). Un metodo estremamente efficiente per controllare il numero e il tipo di portatori in un semiconduttore è costituito dall’introduzione d’impurità di tipo sostituzionale; impurità che occupano posizioni reticolari normalmente occupate dagli atomi del semiconduttore intrinseco. L’introduzione, in un semiconduttore, d’impurezze di tipo sostituzionale prende il nome di drogaggio.

Se si sostituisce un atomo di silicio (quattro elettroni di valenza) con un atomo di un elemento del quinto gruppo della tavola periodica degli elementi (ad esempio con il fosforo - cinque elettroni di valenza), quattro elettroni di valenza dell’atomo d’impurità saranno impegnati in legami covalenti mentre il quinto non è utilizzato; esso, elettrostaticamente, è debolmente legato al nucleo ionico dell’atomo d’impurità.

Figura 4.23 – Silicio con impurità sostituzionale pentavalenti (N, P, As, Sb, – atomi appartenenti al gruppo V A della tavola periodica degli elementi – semiconduttore tipo n).

L’aggiunta d’impurità introduce elettroni liberi che non partecipano ai legami covalenti; questi elettroni liberi aumentano la conduttività del semiconduttore.


4.29

Cerchiamo adesso di valutare l’energia richiesta per spezzare il debole legame che lega l’elettrone in eccesso al nocciolo ionico.

Consideriamo il potenziale coulombiano effettivo, originato dal nucleo dell’atomo del quinto gruppo, con cui l’elettrone considerato interagisce. Si suppone che l’elettrone sia attratto dalla singola carica netta positiva del nucleo dell’atomo, schermata dagli effetti di polarizzazione del mezzo circostante composto d’atomi di silicio. L’energia di legame del quinto elettrone è:

* 4 *

2 2 2 20 0

13.6eV

8e e

rs rs

m e mE

h m . (4.18)

Nell’equazione (4.18) e = 1.602·10-19 C è il modulo della carica dell’elettrone, m0 è la massa inerziale dell’elettrone, ε0 è la permittività elettrica del vuoto, h è la costante di Planck, εrs è la permittività elettrica relativa del semiconduttore e

*em è la massa efficace dell’elettrone quando si trova in banda di conduzione.

Come già detto, l’uso della massa efficace tiene conto delle interazioni quantistiche tra il reticolo cristallino e l’elettrone. L’introduzione del concetto di massa efficace consente lo studio del moto dell’elettrone come se fosse una particella libera soggetta alle “leggi” della meccanica classica. Nel caso del silicio, dove εrs = 11.7 e *

01.1em m (m0 massa inerziale dell’elettrone), si trova E = – 0.1 eV, che è circa il 10% dell’intervallo proibito del silicio (energy gap del silicio 1.1 eV)4.10.

A causa della piccola energia che lega il quinto elettrone al nocciolo ionico, per “liberarlo” è richiesta solo una piccola quantità di energia mentre per eccitare un elettrone della banda di valenza nella banda di conduzione è necessaria una quantità ben maggiore di energia. Tutto ciò ci consente di rappresentare lo stato energetico corrispondente all’elettrone legato all’atomo pentavalente con un livello energetico ED posto appena sotto l’estremo inferiore EC, della banda di conduzione (Figura 4.23). Inoltre, è da osservare che a temperatura ambiente ciascun atomo d’impurità appartenente al gruppo V A della tavola periodica degli elementi fornisce un elettrone libero.

Poiché gli atomi d’impurità di tipo sostituzionale del quinto gruppo “donano” elettroni, essi sono chiamati atomi donatori.

4.10 Calcoli più accurati e verifiche sperimentali indicano che l’energia di legame per tipici atomi

del quinto gruppo è ancora più ridotta: 0.044 eV per il fosforo, 0.049 eV per l’arsenico, 0.0039 eV per l’antimonio.


4.30

In generale, la densità volumica degli atomi donatori, cioè il numero di atomi d’impurezze pentavalenti per unità di volume, è indicata con ND.

Figura 4.24 – Silicio drogato con atomi donatori. Presenza di un livello di energia ED in prossimità della banda di conduzione. A temperatura ambiente (T ≈ 300 K ) tutti gli atomi donatori sono ionizzati.

Se la concentrazione ND [atomi per cm-3] d’atomi donatori è tale che ND ni (ricordiamo che ni rappresenta la concentrazione dei portatori di carica in un semiconduttore intrinseco), si avrà che la concentrazione di elettroni liberi (ne), di fatto, coincide con ND. In questa situazione, il numero di elettroni che si trovano in banda di conduzione è molto maggiore del numero di lacune presenti in banda di valenza. Quando ciò si verifica, gli elettroni sono chiamati portatori maggioritari, e le lacune portatori minoritari. Poiché in tale materiale la maggior parte della corrente è dovuta agli elettroni (cariche negative), esso è chiamato semiconduttore di tipo n.

Ovviamente, anche un atomo con tre elettroni di valenza, atomo appartenente al gruppo III A della tavolo periodica degli elementi, può essere utilizzato come impurità di tipo sostituzionale. In questo caso i tre elettroni dell’atomo riempiono tre dei quattro legami covalenti di silicio, lasciandone uno non completo (si veda Figura 4.25). Se un altro elettrone proveniente da un legame vicino si sposta per occupare il legame vuoto, si può dire che l’assenza di legame si è spostata, portando con sé una carica positiva e contribuendo alla conduzione per lacune.

Poiché gli atomi d’impurità di tipo sostituzionale del terzo gruppo “accettano” elettroni, essi sono chiamati atomi accettori.


4.31

Figura 4.25 – Silicio drogato con atomi donatori (semiconduttore tipo p). L’aggiunta di

impurità trivalenti (B, Al, Ga, In) crea “assenze” di elettroni nei legami covalenti (lacune) che aumentano la conduttività del semiconduttore. Gli atomi del gruppo III A della tavola periodica degli elementi “accettano” un elettrone, per questo sono chiamati “accettori”.

Così com’era necessaria solo una piccola quantità di energia per ionizzare un atomo donatore, è sufficiente una piccola quantità di energia per catturare un elettrone così da completare i quattro legami covalenti. Questa energia è rappresentata con un livello EA posto appena sopra l’estremo superiore EV della banda di valenza (Figura 4.26).

Figura 4.26 – Silicio drogato con atomi accettori. Presenza di un livello di energia EA in prossimità della banda di valenza. A temperatura ambiente (T ≈ 300 K ) tutti gli atomi donatori sono ionizzati.

Se la concentrazione NA [atomi · cm-3] di atomi accettori è tale che NA ni (ricordiamo che ni rappresenta la concentrazione dei portatori di carica in un semiconduttore intrinseco), si avrà che la concentrazione di lacune (nh), di fatto, coincide con NA. In questa situazione, il numero di lacune che si trovano in banda


4.32

di valenza è molto maggiore del numero di elettroni presenti in banda di conduzione. Quando ciò si verifica, le lacune sono portatori maggioritari, e gli elettroni portatori minoritari. Poiché in tale materiale la maggior parte della corrente è dovuta alle lacune (cariche “virtualmente” positive), esso è chiamato semiconduttore di tipo p.

I semiconduttori si dicono intrinseci, quando sono puri; drogati, quando vengono modificati introducendo impurezze sostituzionali all’interno della loro struttura cristallina.

Otre ai semiconduttori intrinseci e ai semiconduttori drogati, esistono i semiconduttori “compensati”; un semiconduttore compensato contiene sia atomi accettori sia atomi donatori.

Nell’esempio mostrato in Figura 4.27 la concentrazione di atomi donatori è maggiore di quella relativa agli atomi accettori. Gli elettroni degli atomi donatori passano dal livello ED, a energia maggiore, al livello EA, a energia minore, riempiendo tutti gli NA stati disponibili. La parte restante degli atomi donatori passa dal livello ED in banda di conduzione, sicché la concentrazione degli elettroni liberi è pari a ne = ND – NA.

Figura 4.27 – Semiconduttore compensato. Livelli donatori in numero maggiore di quelli accettori (ND > NA).

4.3 CONDUZIONE NEI SEMICONDUTTORI

Sia nei semiconduttori intrinseci sia in quelli estrinseci (drogati) la densità elettronica nella banda di valenza, nella banda di conduzione, e per quelli estrinseci nella banda delle impurezze (atomi accettori o donatori), può essere descritta in base alla statistica di Fermi-Dirac. All’equilibrio termodinamico, la probabilità di occupazione di uno stato di energia E, ovvero la probabilità di un


4.33

elettrone di possedere energia “E ”, è dato dalla funzione di distribuzione di Fermi-Dirac che ha la forma seguente:

1

1 exp F

B

f EE E

k T

. (4.19)

Nell’equazione (4.19) kB è la costante di Boltzmann, T la temperatura assoluta ed EF è un livello energetico di riferimento, chiamato livello di Fermi. La funzione di distribuzione di Fermi-Dirac (spesso chiamata semplicemente “funzione di Fermi”) descrive la probabilità che un livello energetico (E) sia occupato da un elettrone.

L’equazione (4.19) è rappresentata graficamente in Figura (4.28).

Figura 4.28 – Rappresentazione grafica della funzione di distribuzione di Fermi-Dirac.

Come si può osservare, la funzione di distribuzione è simmetrica intorno al valore 0.5 di probabilità. Inoltre, dall’espressione (4.9) si ricava che per E = EF si ha f(EF) = 0.5; al livello di Fermi compete il 50% di probabilità di essere occupato. Per T = 0 e E > EF si ha f(E) = 0, questo mostra che allo zero assoluto non vi è alcuna probabilità di trovare occupato un livello con energia maggiore di EF. In altri termini alla temperatura dello zero assoluto risultano vuoti tutti i livelli superiori al livello di Fermi. Viceversa per T = 0 e E < EF si ha f(E) = 1 ; allo zero assoluto tutti i livelli energetici con energia minore del livello di Fermi sono occupati. A temperature T > 0 l’occupazione degli stati energetici non varia bruscamente ma vi è una certa probabilità che alcuni livelli sopra quello di Fermi risultino occupati mentre altri, sotto questo livello, risultino vuoti.


4.34

L’espressione (4.9) non dipende dalla struttura a bande; essa non tiene in considerazione che determinati intervalli di energie sono proibiti e quindi non occupabili dagli elettroni. Per ottenere l'effettiva distribuzione delle energie degli elettroni si sovrappone la funzione di Fermi-Dirac con la struttura a bande.

Figura 4.29 – Diverse rappresentazioni della distribuzione degli elettroni e delle lacune in un semiconduttore intrinseco (non drogato).

La funzione di Fermi rappresenta unicamente una probabilità di occupazione. Non contiene informazione alcuna circa gli stati disponibili per l'occupazione e quindi non può, essa sola, definire la popolazione di elettroni a una certa energia. La fisica quantistica consente di ottenere informazioni sulla densità di stati disponibili in funzione dell'energia. Indichiamo questa funzione densità degli

stati permessi g(E ).

In generale la funzione g(E ) è espressa da una relazione del tipo:

g E E [ g(E ) proporzionale alla radice di E ].

Nella Figura 4.30(b) è riportato un grafico di g(E ) per un semiconduttore intrinseco.


4.35

Figura 4.30 – (a) Funzione di distribuzione di Fermi-Dirac, probabilità che uno stato permesso di energia E sia occupato da un elettrone. (b) Densità di stati permessi per un semiconduttore in funzione dell’energia; si osserva che g(E) è nulla nell’intervallo proibito compreso tra EV e EC. (c) Funzione prodotto della funzione di distribuzione e della funzione densità di stati.

In questa figura si osserva che la funzione si annulla nell'intervallo proibito EV < E < EC, ma cresce rapidamente all'interno della banda di valenza (E < EV) e della banda di conduzione (E > EC). La distribuzione degli elettroni in funzione dell'energia si ottiene quindi dal prodotto della densità di stati permessi g(E ) in un piccolo intervallo di energia dE per la probabilità f(E ) che questi stati siano occupati. La densità totale di elettroni nella banda di conduzione si ottiene moltiplicando la funzione “densità di stati” g(E ), nella banda di conduzione, per la funzione di Fermi e integrando rispetto all'energia. L’integrale, esteso alla banda di conduzione, risulta essere:

( ) ( ) de

BC

n g E f E E dove

1

1 exp F B

f EE E k T

. (4.20)

Nell’equazione (4.20), g(E) indica la densità degli stati al variare di E. Supponendo che l’occupazione degli elettroni sia concentrata sul fondo della banda e l’occupazione delle lacune alla sommità, si può considerare g(E) costante.

Analogamente, la densità di lacune nella banda di valenza si ottiene moltiplicando la funzione densità degli stati permessi della banda di valenza per la probabilità che questi stati siano vuoti, ovvero [1 - f(E )], ed estendendo l’integrale alla banda di valenza, si ha:

( ) 1 ( ) dh

BV

n g E f E E . (4.21)


4.36

4.3.1 Semiconduttori intrinseci

In un semiconduttore intrinseco (E–EF) risulta sempre molto maggiore di kBT (a temperatura ambiente kBT ≈ 0.025 eV - non esistono livelli occupati in vicinanza del livello di Fermi). Pertanto possiamo assumere di trascurare 1 al denominatore della funzione di Fermi4.11. Questa situazione è accettabile perché è rarissimo che nella banda di conduzione ci siano livelli occupati da più di un elettrone (in un semiconduttore pochi dei livelli energetici disponibili nella banda di conduzione sono occupati – in banda di conduzione la maggior parte dei livelli energetici sono vuoti). Si ha quindi:

1

( ) exp

1 exp

F

BF

B

F BE E k T E Ef E f E

k TE E

k T

. (4.22)

Con questa ipotesi, e altre approssimazioni, la concentrazione degli elettroni in banda di conduzione può essere espressa come:

exp C Fe C

B

E En N

k T

. (4.23)

Analogamente, per le lacune in banda di valenza possiamo scrivere

exp F Vh V

B

E En N

k T

. (4.24)

Il livello di Fermi di un semiconduttore intrinseco si trova all’incirca al centro della banda proibita (quindi non è mai occupato):

2

C VF

E EE

. (4.25)

Inoltre, per un semiconduttore intrinseco vale la relazione ne = nh (tutti gli elettroni che si trovano in banda di conduzione provengono dalla banda di valenza). Pertanto, dall’equazioni (4.23), (4.24) e (4.25) si ricava che NC ≈ NV .

Da misure sperimentali, risulta NC ≈ NV 1025/m3. Quindi:

25 2510 exp 10 exp2

C F Ge h

B B

E E En n

k T k T

. (4.26)

4.11 In termini fisici significa “trascurare” il principio di esclusione di Pauli; la statistica di Fermi-

Dirac viene sostituita con la statistica di Maxwell-Boltzmann.


4.37

La resistività ρ, oppure la conducibilità σ (definita come il reciproco della resistività σ = 1/ ρ) è un parametro, specifico del materiale, che caratterizza il flusso di corrente che si verifica nel materiale stesso in seguito all’applicazione del campo elettrico, dando origine a una corrente detta di deriva o di trascinamento (drift). La densità di corrente di deriva J, è definita da:

Q J v J E . (4.27)

Nell’equazione (4.27), Q è la densità di carica e v è la velocità delle cariche dovuta all’applicazione del campo elettrico.

La densità di corrente J viene definita come la quantità di carica che passa nell’unità di tempo attraverso l’unità di superficie.

Un elettrone in movimento viene costantemente accelerato finché non incontra sul suo cammino un difetto reticolare, un impurezza od un fonone (“quanto” di vibrazione reticolare), fattori che provocano tutti una deviazione dalla perfetta periodicità del reticolo metallico. Si genera in questo caso un’interferenza tra il moto ondulatorio dell'elettrone e il difetto reticolare che provoca un trasferimento di quantità di moto dall’elettrone al reticolo, con l'effetto complessivo di diminuire la velocità dell’elettrone, di deviarlo dalla sua traiettoria e di aumentare l'energia cinetica degli atomi (con conseguente aumento di temperatura del solido).

Consideriamo il movimento di un singolo elettrone e di estenderlo poi al movimento complessivo degli elettroni collettivi sotto l'influsso del campo elettrico esterno. Supponiamo che l'elettrone possa muoversi e accelerare liberamente fino all'istante dell’interazione con un difetto reticolare, un impurezza o un fonone, quando cede tutta la sua energia cinetica al reticolo. L’accelerazione dell’elettrone è data da a = q·E/me , se il tempo medio tra due urti è 2τ (τ è detto tempo di rilassamento, per il Cu è stimato 2·10-14 s) , la velocità dell’elettrone dopo 2τ, supposto che sia partito con viniziale = 0, risulta: 2τ a = 2τ q·E/me.

L’elettrone parte da fermo, cioè con viniziale = 0, e raggiunge la velocità finale vfinale = 2τ·q·E/me . Pertanto, la velocità media sarà:

mediae

q

m

Ev . (4.28)

Se la densità degli elettroni liberi è ne, la densità di corrente sarà data da:

2 2e e

ee e

n q n qn q

m m

EJ vmedia . (4.29)


4.38

Occorre a questo punto introdurre il concetto, abbastanza intuitivo, di mobilità dell’elettrone, o in generale di un portatore di carica (nei semiconduttori i portatori di carica possono essere lacune ed elettroni). Questa mobilità degli elettroni liberi (così come anche quella delle lacune) viene definita come il rapporto tra la velocità media (o di deriva) del portatore e l’intensità del campo elettrico:

mediae

e

q

m

v

E. (4.30)

Ne deriva che la conducibilità σ sarà anche data da:

2e

e ee

n qn q

m

. (4.31)

La relazione (4.21) è valida anche per le lacune. Cioè:

2h

h he

n qn q

m

. (4.32)

Per il silicio: 2

2

mobilità degli elettroni, 1350 cm V s

mobilità delle lacune, 500 cm V s

e

h

.

Ragionando in modo intuitivo, possiamo aspettarci che la mobilità delle lacune sia inferiore, in quanto queste sono vincolate a muoversi tra i legami covalenti, mentre gli elettroni sono liberi di muoversi attraverso il cristallo.

Possiamo adesso determinare le densità di corrente di elettroni driftej e di

lacune drifthj . Per semplicità si farà riferimento al caso di flusso diretto lungo una

sola direzione, quindi trascurando la notazione vettoriale possiamo scrivere:

( )( )

( )( )

drifte e e e e e e

drifth h h h h h h

j Q v qn E qn E

j Q v qn E qn E

. (4.33)

( )e eQ qn e ( )h hQ qn rappresentano la densità di carica rispettivamente

per elettroni e lacune. La corrente di deriva complessiva è quindi data da:

( )drift drift driftTotale e h e e h h e e h hj j j q n n E E n n . (4.34)

In questo modello di prima approssimazione abbiamo fatto diverse assunzioni, molte delle quali accettabili. In particolare abbiamo considerato le mobilità


4.39

dell’elettrone e della lacuna costanti con la temperatura. In effetti, questo non è rigorosamente vero, ma si può dimostrare che la loro variazione è proporzionale con un valore compreso tra T –1.5 e T –2.5.

I materiali isolanti possono condurre l’elettricità in maniera analoga, con la differenza che l’intervallo di energia proibito, energy gap, risulta maggiore

di 2 eV (per convenzione) e quindi la conducibilità diminuisce enormemente.

Bisogna tenere presente che le impurezze e i difetti reticolari (come quelli mostrati in Figura 4.31), sempre presenti anche in un semiconduttore intrinseco, possono alterare la situazione creando nuovi livelli energetici che aumentano la possibilità di transizione tra le bande. Inoltre, vicino alla superficie si trovano diversi difetti; spesso anche la semplice abrasione aumenta in modo apprezzabile la densità dei livelli vicino alla superficie.

Figura 4.31 – Esempi di alcuni possibili difetti reticolari.

4.3.2 Semiconduttori estrinseci

Abbiamo già visto che nel reticolo del materiale semiconduttore possono essere introdotti atomi estranei, che, avendo dimensioni simili a quelle dell'elemento che costituisce il materiale, si sostituiscono in piccola parte a questi. Ad esempio nel reticolo del silicio possono essere sostituiti ad atomi di silicio atomi di fosforo, arsenico, boro, etc. Se questi atomi sostituzionali possiedono un numero diverso di elettroni esterni (elettroni di valenza inferiore o superiore a quelli dell'atomo ospitante, nel caso del silicio 4) essi possono fornire elettroni alla banda di conduzione o lacune a quella di valenza. In questo caso la conducibilità, prevalentemente, è dovuta o alle lacune (semiconduttore tipo p) a agli elettroni (semiconduttore tipo n) ed il semiconduttore si chiama estrinseco.

In generale, nei semiconduttori intrinseci la concentrazione delle impurezze “residue” è minore di una parte per milione (impurezze < 1 ppm), mentre i


4.40

materiali estrinseci contengono concentrazione d’impurezze da 100 a 1000 ppm. Gli elementi donatori o accettori sono quelli del III e V gruppo in quanto questi elementi sono gli unici che stabiliscono livelli sufficientemente vicini alla banda di conduzione o a quella di valenza per dare, a temperatura ambiente, significative concentrazioni di cariche libere.

Gli atomi che costituiscono le impurezze sono introdotti nel reticolo mediante un processo diffusivo allo stato solido che parte dalla superficie verso l’interno. Il materiale drogante è depositato sulla superficie del semiconduttore. In atmosfera inerte si fa “lambire” la superficie del semiconduttore da un gas, in genere un idruro dell’elemento drogante come PH3, AsH3, B2H6, che per effetto termico si decompone liberando idrogeno e l’elemento drogante. In altri casi si effettua un bombardamento (“sputtering”) con ioni dell’elemento drogante.

Le caratteristiche elettriche di un materiale semiconduttore dipendono dalla concentrazione degli elettroni che si trovano in banda di conduzione e delle lacune presenti in banda di valenza. Abbiamo visto che tali concentrazioni possono essere determinate tramite la funzione di Fermi. In tale funzione, l’unico parametro che dipende dalle impurezze presenti nel semiconduttore è il livello di Fermi EF. Per stabilire come EF dipende dalla temperatura e dalla concentrazione delle impurità, ricordiamo che, nel caso in cui non vi sono impurità (semiconduttore intrinseco), EF è situato al centro della banda proibita. Se al cristallo viene aggiunta una concentrazione ND di atomi donatori, all’interno della banda di energia proibita in prossimità della banda di conduzione, si formano dei livelli permessi. Supponendo ionizzati tutti gli atomi donatori, una concentrazione ND di elettroni occupa i livelli energetici più bassi della banda di conduzione; le bande si riempiono sempre partendo da valori di energia più bassi. In questa situazione, è più difficile per un elettrone della banda di valenza superare, per agitazione termica, la banda proibita4.12 (vedi Figura 4.32). Questo processo fa sì che si riduca la concentrazione di coppie elettrone-lacuna generate per effetto termico.

4.12 In banda di conduzione i livelli energetici più bassi sono occupati dagli elettroni provenienti

dagli atomi donatori. Un elettrone che proviene dalla banda di valenza, per raggiungere la banda di conduzione, deve fare un salto energetico maggiore di quello che avrebbe dovuto fare se il semiconduttore fosse stato intrinseco.


4.41

Figura 4.32 – Salti energetici necessari, agli elettroni della banda di valenza, per raggiungere la banda di conduzione.

Poiché il livello di Fermi esprime la probabilità che gli stati energetici siano occupati, è chiaro che il livello di Fermi dovrà spostarsi più vicino alla banda di conduzione, indicando che alcuni degli stati energetici in questa banda sono occupati dagli elettroni dei donatori. La situazione è rappresentata nella Figura 4.33(b) per un materiale di tipo n. Un analogo ragionamento porta alla

conclusione che, per un materiale p, EF si sposta dal centro della banda proibita

avvicinandosi alla banda di valenza, come indica la Figura 4.33(c). Se per una data concentrazione d’impurità aumenta la temperatura di un materiale, per esempio di tipo n, si formano più coppie elettrone-lacuna, e poiché tutti gli atomi

donatori sono, ionizzati, è possibile che la concentrazione degli elettroni generati per effetto termico nella banda di valenza diventi più grande della concentrazione degli elettroni donatori. In questa situazione le concentrazioni delle lacune e degli elettroni sono pressappoco uguali, e il cristallo diventa essenzialmente intrinseco; quando la temperatura di un materiale n o p aumenta, il livello di Fermi si sposta

verso il centro della banda proibita.


4.42

Figura 4.33 – (a) Probabilità di occupazione dei livelli in un semiconduttore intrinseco. (b) Probabilità di occupazione dei livelli in un semiconduttore estrinseco con drogaggio tipo p. (c) Probabilità di occupazione dei livelli in un semiconduttore estrinseco con drogaggio tipo n.

4.3.3 Concentrazioni di elettroni e lacune nei semiconduttori estrinseci.

A differenza di quanto accade in un semiconduttore intrinseco, in un semiconduttore drogato la concentrazione di elettroni assume un valore diverso rispetto alla concentrazione di lacune. In ogni caso, la densità di carica nel


4.43

semiconduttore deve essere nulla, ovvero la somma delle cariche positive deve uguagliare la somma delle cariche negative4.13.

In un semiconduttore drogato dove tutti gli atomi d’impurezze sono tutti ionizzati. La neutralità della carica si esprime con la relazione:

( ) 0D h A eq N n N n . (4.35)

Abbiamo osservato in precedenza che in un semiconduttore intrinseco

all’equilibrio termodinamico vale la relazione 2e h in n n [Equazione (4.16)]. Si

può dimostrare che questa relazione rimane valida anche per un semiconduttore drogato all’equilibrio termodinamico.

Per poter distinguere gli elettroni e le lacune che si trovano in un semiconduttore di tipo p o di tipo n usiamo la seguente simbologia:

( )nhn = concentrazioni di lacune in banda di valenza in un semiconduttore tipo n;

( )nen = concentrazioni di elettroni in banda di conduzione in un semiconduttore tipo n;

( )phn = concentrazioni di lacune in banda di valenza in un semiconduttore tipo p;

( )pen = concentrazioni di elettroni in banda di conduzione in un semiconduttore tipo n.

Consideriamo un semiconduttore di tipo n (ND > NA)

Se dall’espressione (4.16) ricaviamo ( )nhn , e il risultato lo sostituiamo

nell’equazione (4.35) si ottiene un’equazione quadratica nell'incognita ( )nen :

2( ) ( ) 2 ( )

( )

2( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) 0 0

n n n ie h i h n

e

n n n nD h A e e D A e i

nn n n n

n

q N n N n n N N n n

(4.36)

4.13 Un semiconduttore deve essere “complessivamente” neutro. Pertanto, in un semiconduttore

intrinseco la concentrazione di lacune deve essere uguale alla concentrazione degli elettroni in banda di conduzione. In un semiconduttore estrinseco, oltre alle cariche mobili (elettroni in banda di conduzione e lacune in banda di valenza) sono presenti delle cariche “fisse”. Se consideriamo che tutti gli atomi donatori e accettori sono ionizzati (in generale questo si verifica già a – 50 °C), per il calcolo della neutralità del semiconduttore dobbiamo prendere in considerazione anche questo tipo di cariche.


4.44

Risolvendo l’equazione (4.36) rispetto a ( )nen si ottiene:

2 2

( )4

2D A D A in

e

N N N N nn

. (4.37)

Se D A iN N n (come avviene nella maggior) si ha4.14:

2 2

( ) ( )( )

;n n i ie D A h n

e D A

n nn N N n

n N N

. (4.38)

In un semiconduttore di tipo n, ( )nen sono le cariche maggioritarie e ( )n

hn sono

le cariche minoritarie.

Consideriamo un semiconduttore di tipo p (NA > ND)

Se dall’espressione (4.16) ricaviamo ( )pen e il risultato viene sostituito

nell’equazione (4.35), Così si ottiene un’espressione quadratica nell’incognita ( )phn . Cioè:

2( ) ( ) 2 ( )

( )

2( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) 0 0

p p p ie h i e p

h

p p p pD h A e h A D h i

nn n n n

n

q N n N n n N N n n

. (4.39)

Risolvendo l’equazione (4.39) rispetto a ( )phn si ha:

2 2

( )4

2A D A D ip

h

N N N N nn

. (4.40)

Se A D iN N n (come avviene nella maggior parte dei casi pratici) si

ottiene4.15:

2 2

( ) ( )( )

;p p i ih A D e p

h A D

n nn N N n

n N N

. (4.41)

4.14 La soluzione negativa dell’equazione (4.37) è stata scartata in quanto “fisicamente

inaccettabile”.

4.15 La soluzione negativa dell’equazione (4.30) è stata scartata in quanto “fisicamente inaccettabile”.


4.45

In un semiconduttore di tipo p, ( )phn sono le cariche maggioritarie e ( )p

en sono

le cariche minoritarie.

4.3.4 Calcolo del livello di Fermi nei semiconduttori estrinseci

Si può calcolare l’esatta posizione del livello di Fermi in un materiale di tipo

n sostituendo ( )ne D An N N nell’eq. (4.13). Con questa sostituzione si ha:

exp lnC F CD A C F C B

B D A

E E NN N N E E k T

k T N N

. (4.42)

Analogamente, per un materiale di tipo p, sostituendo ( )ph A Dn N N

nell’equazione (4.14) si ottiene:

exp lnF V VA D V F V B

B A D

E E NN N N E E k T

k T N N

. (4.43)

Nelle espressioni 4.42 e 4.43, si ha che 3

* 2

2

22 e B

Cm k T

Nh

( *

em massa efficace dell’elettrone in banda di conduzione)

3* 2

2

22 h B

Vm k T

Nh

( *

hm massa efficace dell’elettrone in banda di valenza)

rappresentano, rispettivamente, la densità del numero di stati effettivi permessi in banda di conduzione e in banda di valenza.

La presenza di atomi d’impurità in un semiconduttore provoca la riduzione della mobilità dei portatori rispetto ai valori che avrebbero in un semiconduttore intrinseco. Gli atomi delle impurità hanno dimensioni diverse da quelle degli atomi del semiconduttore intrinseco; pertanto, quando atomi di silicio sono sostituiti da atomi d’impurità, la perfetta periodicità del reticolo cristallino viene alterata. Gli atomi delle impurità, inoltre, sono ionizzati, e interagiscono con i portatori di carica (elettroni e lacune) modificandone la traiettoria. Entrambi i fenomeni determinano una riduzione della mobilità dei portatori.

La Figura 4.34 mostra la dipendenza della mobilità dalla concentrazione totale delle impurità NT = (NA + ND) nel silicio. Si vede come la mobilità diminuisca rapidamente all’aumentare della concentrazione d’impurità. La mobilità in un semiconduttore molto drogato può risultare anche dieci volte inferiore al valore assunto a basse concentrazioni di drogaggio. D’altra parte, l’incremento del


4.46

drogaggio determina un aumento della concentrazione di portatori. Nella maggior parte dei casi questo secondo effetto prevale sulla riduzione della mobilità, la conducibilità del semiconduttore aumenta all’aumentare del drogaggio.

Figura 4.34 – Dipendenza della mobilità di elettroni e lacune dalla concentrazione totale d’impurità nel silicio a 300 K.

Ricordiamo, inoltre, che le impurità (quelle presenti con concentrazione maggiore) determinano se il semiconduttore è di tipo p oppure di tipo n.

Nei semiconduttori drogati, inoltre, è possibile esprimere la conducibilità attraverso una semplice relazione. In corrispondenza dei valori usuali di

drogaggio, in un semiconduttore estrinseco di tipo n risulta ( ) ( ) n ne e h hµ n µ n ,

mentre in un semiconduttore di tipo p si ha ( ) ( ) p ph h e eµ n µ n . Pertanto, la

conducibilità dipende dalla concentrazione dei portatori maggioritari e quindi dal drogaggio. In particolare:

( )

( )

( ) per semiconduttore di tipo n

( ) per semiconduttore di tipo p

ne e e D A

ph h h A D

q n q N N

q n q N N

. (4.44)


4.47

4.3.5 Corrente di diffusione

Come abbiamo visto le concentrazioni di elettroni e lacune sono definite dalle concentrazioni di atomi di drogaggio NA e ND. Abbiamo finora tacitamente assunto che il drogaggio sia costante, mentre in generale ciò non si verifica: nei dispositivi a stato solido le concentrazioni di impurità sono spesso caratterizzate da una distribuzione non uniforme, determinando una variazione spaziale delle concentrazioni dei portatori liberi. La variazione della concentrazione di portatori è responsabile di un altro fenomeno di conduzione detto diffusione. I portatori liberi tendono, infatti, a muoversi da regioni a elevata concentrazione verso regioni a bassa concentrazione.

In un semiconduttore si può avere una concentrazione non uniforme di portatori di carica. In Figura 4.35 è illustrato un esempio di concentrazione nh delle lacune che varia lungo x; siamo in presenza di un gradiente di

concentrazione della densità dei portatori hdn dx .

Figura 4.35 – Rappresentazione di lacune con concentrazione non uniforme e della densità di corrente di diffusione risultante.

La densità di corrente per le lacune Jh è proporzionale al gradiente di concentrazione ed è data da:

diff h hh h h

dn dnJ q D qD

dx dx

. (4.45)

Nell’equazione (4.45) Dh (espressa in metri quadrati per secondo) è chiamata costante di diffusione per le lacune (o diffusività). Poiché nella Figura 4.33 la

concentrazione nh decresce al crescere di x, hdn dx è negativa e il segno meno

che compare nell’espressione (4.45) è necessario affinché diffhJ risulti positiva

nella direzione delle x positive.


4.48

La densità di corrente di diffusione diffej per gli elettroni è esprimibile con

un’espressione analoga alla precedente:

diff e ee e e

dn dnj q D qD

dx dx

. (4.46)

4.3.6 Relazione di Einstein

Poiché sia la diffusione sia la mobilità sono fenomeni termodinamici statistici, D e µ non sono indipendenti. La relazione che li lega è chiamata l’equazione di Einstein:

h eT

h e

D DV

. (4.47)

Nell’equazione (4.47) VT è :

300 K

0.0259 VT

BT T

k TV V

q

(equivalente in volt della temperatura) . (4.48)

Nell’equazione (4.38) kB è la costante di Boltzmann in joule per kelvin, q la carica elementare in coulomb e T la temperatura in kelvin.

A temperatura ambiente la diffusività è tipicamente compresa tra 2 e 35 cm2/s per gli elettroni e tra 1 e 15 cm2/s per le lacune.

4.3.7 Corrente totale

La corrente in un semiconduttore comprende sia la componente di deriva che

quella di diffusione. Le densità di corrente complessive e T Th eJ J relative alle

lacune e agli elettroni sono date dalla somma delle densità di corrente di deriva e di diffusione. Cioè:

utlilizzando la relazione di

Eistein

1

1

T hT h h h h Th h h h

h

T e T ee e e e e e e T

e

nn J q n E VJ q n E qD n xxn nJ q n E qD J q n E Vx n x

. (4.49)


4.49

Occorre anche osservare che la distribuzione del campo elettrico nel semiconduttore deve soddisfare la legge di Gauss:

Q E . (4.50)

Nell’equazione (4.50) si ha: ε = permittività del mezzo; E campo elettrico; Q densità di carica.


4.50

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