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Capitolo 3

Introduzione all’ottica nonlineare

Nel corso di questo capitolo arriveremo alla definizione di ottica nonlineare del secondo e del terzo ordine ed alla descrizione dei processi ottici ai quali esse danno origine. In alcuni casi si daranno degli esempi applicativi più specifici.

I risultati riportati nel capitolo 1 per l’ottica classica prevedono che la radiazione elettromagnetica, per basse intensità, si propaghi nei materiali in modo indipendente dalla propria intensità. Infatti, come previsto dalla teoria dell’elettromagnetismo basata sulle equazioni di Maxwell, la propagazione dipende solo dalla lunghezza d’onda e dalla velocità della luce nel materiale. Inoltre campi elettromagnetici diversi che attraversino un mezzo non interagiscono tra loro.

L’invenzione dei laser capaci di generare fasci di luce monocromatica e coerente di altissima intensità (>1012 Wcm2), ha permesso l’osservazione di nuovi effetti fisici che dipendono strettamente dall’intensità della luce e che vengono descritti nell’ambito della teoria dell’ottica nonlineare. Le proprietà ottiche dei materiali dipendono in modo nonlineare dall’intensità del fascio e dalle sue caratteristiche da cui il termine “ottica nonlineare”.

L’effetto provocato da un’onda su un materiale è descritto dalla

polarizzazione P

indotta nel materiale stesso dal campo elettrico ad essa associato. Per campi elettrici intensi la polarizzazione indotta non può essere espressa tramite la relazione semplificata (1.1.13). Essa sarà descritta invece da una funzione complicata, e non necessariamente lineare, del campo elettrico:

)(EfP

F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica

96

Per dare un prima descrizione della risposta nonlineare utilizziamo il modello intuitivo classico molto semplificato dell’oscillatore anarmonico. 3.1 Modello microscopico generico dell’origine della nonlinearità ottica

Quando un’onda luminosa attraversa un mezzo materiale, il campo elettrico ad essa associato agisce sulle nuvole elettroniche, o più schematicamente sugli elettroni degli atomi (o delle molecole), spostando il baricentro dai rispettivi nuclei e inducendo perciò momento di dipolo elettrico, come mostrato in figura 3.1.

Nei conduttori le cariche sono libere di muoversi attraverso il materiale dando origine ad una debole corrente elettrica. Nei materiali dielettrici invece le cariche sono localizzate e possono essere schematizzate come oscillatori legati con una certa elasticità, come schematizzato in figura 3.2.

In regime di bassa intensità, il campo elettrico associato all’onda provoca un lieve spostamento delle particelle dalla loro posizione di riposo e queste generano una polarizzazione indotta oscillante. Poiché le cariche nucleari hanno massa molto più grande degli elettroni ne segue che, alle frequenze ottiche, solo la carica negativa subisce uno spostamento rilevante e dà contributo. La polarizzazione indotta che ne risulta si propaga con il campo alla stessa frequenza ottica, vedi figura 1.6c, ed irraggia campo nel mezzo, secondo le modalità introdotte nel paragrafo 2.1. Possiamo utilizzare il modello di figura 2.7 per studiare la risposta del mezzo all’azione del campo elettrico associato ad

Figura 3.1

Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare 97

un’onda in regime lineare ed estendere poi la trattazione al caso in cui l’intensità sia tale da non poter più considerare il regime lineare.

Trascurando lo spostamento dello ione positivo e limitandoci al caso unidimensionale, la posizione del singolo elettrone varia secondo la seguente equazione del moto:

teE...xxxdt

dx2

dt

xdm 33222

2

2

, (3.1.1)

dove x è lo spostamento dalla posizione di equilibrio, è la frequenza di

risonanza dell’oscillatore, e la carica dell’elettrone e tiene conto della dissipazione. Il termine a destra dell’equazione rappresenta la forza applicata all’elettrone dal campo dell’onda che genera le oscillazioni. Si trascurino in un

primo momento i termini anarmonici ...xx 3322 e si consideri solo la

risposta armonica generata da un campo elettrico della forma:

.c.ctiexpoE2

1tiexptiexpoE

2

1tcosoEtE ,

(3.1.2) dove è la pulsazione ottica e c.c. indica l’ operazione di coniugazione complessa. La soluzione della (3.1.1) va quindi cercata nella forma

Figura 3.2


98

.c.ctiexpx~2

1tx 0 , dove 0x~ è una quantità complessa che include sia la

risposta in ampiezza che in quella in fase. Sostituendo tale espressione e la (3.1.2) nella (3.1.1) otteniamo una equazione lineare che risolta dà lo spostamento dell’elettrone in funzione del tempo:

.c.c

i2

tiexp

m

eE

2

1tx

22

o

. (3.1.3)

Si ha quindi un momento di dipolo indotto pari a )t(xe)t(p e, se N è il

numero di oscillatori per unità di volume, la polarizzazione indotta nel mezzo è pari a:

)t(Nex)t(P . (3.1.4)

Si ottiene che la dipendenza della polarizzazione rispetto dal campo è

quindi lineare tramite la suscettività complessa )(~ secondo la:

.c.ctiexpE)(~)t(P oo21 , (3.1.5)

dove:

i2

1

m

Ne~22

o

2

. (3.1.6)


L’andamento delle parti reale ed immaginaria di )(~ è mostrato in

figura 3.3. La polarizzazione indotta nel mezzo oscilla alla stessa frequenza del campo ottico incidente, irradia nel mezzo e modifica la propagazione dell’onda.

Le perdite del mezzo sono rappresentate dalla parte immaginaria di )(~ che

tiene conto della componente di P

in quadratura con il campo E

. Come anticipato nel capitolo 1, la costante dielettrica, data dall’equazione 2.1.16, è anch’essa complessa:

i2

1

m

Ne1~

22o

2

(3.1.7)

con dipendenza dalla pulsazione simile a quella di )(~ . Potremo scrivere:

)(j)()(~IR (3.1.8)

Ricordiamo che l’indice di rifrazione complesso di un materiale è definito come:

jnn~ (3.1.9)

dove n e , detti indice di rifrazione e coefficiente di estinzione, determinano le proprietà rifrattive ed assorbenti del materiale. Si ha che valgono le:

22R n (3.1.10)

n2I (3.1.11)

Figura 3.3


100

dalle quali è possibile ricavare l’andamento, o dispersione, di n e in funzione della pulsazione dell’onda elettromagnetica.

Come detto, l’approssimazione lineare è una semplificazione di una dipendenza più complicata ed è in generale valida per bassi valori di campo elettrico. Per spostamenti più ampi la forza di richiamo è significativamente nonlineare. L’anarmonicità è tenuta in conto nella (3.1.1) mediante i termini

...xxm 3322 dove 2 e 3 sono delle costanti.

Nei mezzi simmetrici, in cui cioè è possibile determinare un centro di simmetria nella struttura, l’energia potenziale di un elettrone deve riflettere la simmetria del mezzo; ne consegue che il potenziale di attrazione è dato da [2.1]:

...x4

mx

2

m)x(V 4)3(22 . (3.1.12)

A causa della simmetria del materiale, V(x) contiene solo potenze pari di x, in modo tale che risulti V(x)=V(-x). La forza di richiamo esercitata sull’elettrone e’ quindi pari a:

3)3(2 xmxmx

V)x(F

. (3.1.13)

In mezzi particolari, nei quali la condizione V(x)=V(-x) non è più verificata,

detti non-centrosimmetrici, la funzione potenziale può contenere anche potenze dispari di x:

...x3

mx

2

m)x(V 3)2(22 . (3.1.14)

cui corrisponde la forza di richiamo:

...)xmxm(x

VF 2)2(2

. (3.1.15)

Ne consegue che, volendo tenere conto della risposta anarmonica degli oscillatori microscopici, nel caso di mezzi centrosimmetrici il primo termine nonlineare del potenziale è quartico mentre nei mezzi non-centrosimmetrici il primo termine è cubico.

Limitiamoci al caso di un mezzo non-centrosimmetrico in cui il primo termine nonlineare nella forza di richiamo dell’oscillatore sia dato dalla (3.1.15). Nel caso di mezzi centrosimmetrici, la risposta nonlineare sarà indotta da termini di grado superiore nell’anarmonicità; ne consegue che in tal caso sarebbe necessario operare con valori di intensità ancora più elevati per mettere in evidenza i fenomeni nonlineari.


Allo scopo di ricavare l’espressione formale della polarizzazione nonlineare, si consideri il caso in cui il campo elettrico forzante sia costituito dalla somma di due campi a pulsazioni diverse:

)tcos(E)tcos(E)t(E 2211 . (3.1.16)

L’equazione dell’oscillatore armonico nonlineare si riduce in questo caso alla:

tEm/exxdt

dx2

dt

xd 2222

2

. (3.1.17)

In generale, nelle applicazioni di ottica nonlineare si è interessati a valori

piccoli del termine nonlineare. Si è generalmente nella condizione in cui il termine forzante è tale da non generare la ionizzazione della particella sottoposta al campo (il campo di ionizzazione e’ dell’ordine di circa 3108 V/m), provocando la rottura del materiale. Per la risoluzione della (3.1.17) è quindi giustificato un approccio di tipo perturbativo. Secondo tale approccio la soluzione della (3.1.17) può esprimersi nella somma di due termini [2.1]:

)t(x)t(x)t(x )2()1( , (3.1.18)

in cui x(1)(t) è soluzione della (3.1.17) senza considerare in essa il termine anarmonico, mentre x(2)(t) e’ considerata come piccola correzione alla x(1)(t). Sostituendo la (3.1.18) nella (3.1.17), sviluppando tutti i termini ed eliminando quelli che soddisfano l’equazione dell’oscillatore armonico, si ha:

)t(x)t(x)t(x2)t(x2)1()2()2(2)2()2( , (3.1.19)

da cui si vede che la correzione x(2)(t) soddisfa un’equazione differenziale non omogenea in cui il termine di sorgente è il quadrato della soluzione lineare.

Analogamente al caso lineare trattato precedentemente la soluzione del 1° ordine che compare nella (3.1.18) può essere espressa come:

.c.ce)(x~e)(x~2

1)t(x ti

2)1(

2ti

1)1(

1)1( 21 , (3.1.20)

in cui si e’ considerato il caso generale di campo forzante, espresso dalla (3.1.16). Si noti come i due addendi della (3.1.20) abbiano evidentemente l’espressione calcolata nel caso lineare:

2,1k,Ei2

m/e)(x~ k

k2

k2k

)1(k

. (3.1.21)


102

La soluzione della (3.1.19) va cercata nella forma:

.]c.ce)2(x~e)2(x~

e)(x~e)(x~[2

1)t(x

t2i2

)2(t2i1

)2(

t)(i21

)2(t)(i21

)2()2(

21

2121

(3.1.22)

Sostituendo le (3.1.16), (3.1.20) e (3.1.22) nella (3.1.19) d uguagliando i termini che oscillano alla stessa pulsazione si ottengono le seguenti espressioni per le ampiezze complesse:

)](i4)([

EE

)i2)(i2(

)m/e(

2

1)(x

212

212

21

222

21

21

2

2)2(

21)2(

(3.1.23)

e

2,1k

E)i44()i2(

)m/e(

2

1)2(x 2

k

k2k

22k

2k

2

2)2(

k)2(

. (3.1.24)

E’ importante osservare che la soluzione al 2° ordine porta alla generazione di pulsazioni differenti da quelle del campo forzante. In particolare si nota la presenza della pulsazione somma e differenza (12) e delle pulsazioni a seconda armonica (2k). E’ utile inoltre sottolineare che le formule precedenti restano valide anche se e’ presente un solo campo forzante a pulsazione 1; in tal caso x(2)(t) sarà dato dalla somma di un termine a seconda armonica e di un termine a pulsazione nulla (termine di rettificazione ottica). Infine va fatto notare che l’approccio appena descritto è molto semplificato. Il campo complessivo dato nella (3.1.16) dovrebbe contenere tutti i termini di campo effettivamente presenti nel mezzo, anche quelli eventualmente generati nel processo nonlineare. Nel presente approccio ci siamo limitati a studiare la generazione di nuovi campi a differenti pulsazioni trascurando il fatto che questi possano contemporaneamente interagire tra loro o con i campi originali.

Ricordando l’espressione (3.1.4) e supponendo di essere in presenza di N dipoli per unità di volume, si può scrivere per la polarizzazione indotta la relazione:


)]t(x)t(x[Ne)t(Nex)t(P )2()1( , (3.1.25)

che può essere schematicamente riscritta come:

)t(P)t(P)t(P NLL . (3.1.26)

dove compare il termine lineare classico PL(t) ed un nuovo termine PNL(t).

Il semplice modello proposto riesce quindi a prevedere che la polarizzazione indotta in un mezzo dielettrico per alte intensità del campo debba contenere dei termini nonlineari che oscillano a nuove pulsazioni ottiche. Nella visione pittorica mostrata in figura 3.4, si evidenzia come una dipendenza nonlineare della polarizzazione dal campo elettrico possa dare origine ad una polarizzazione indotta che in presenza di debole campo elettrico può essere considerata lineare, figura 3.4(a), mentre per valori grandi del campo, figura 3.4(b), è decisamente nonlineare dipendendo dall’ampiezza del campo applicato. Nel caso di figura 3.4(b) l’analisi spettrale mostra che la polarizzazione contiene oltre alla frequenza di ingresso anche componenti a frequenze 2 , 3 , ..., e componente continua a frequenza zero.

Finora si e’ tacitamente tralasciato il fatto che in realtà il modello dovrebbe essere tridimensionale e che le suscettività sono grandezze tensoriali, legate alle componenti del campo lungo degli assi cartesiani di riferimento. Nello studio di tale fenomeno si dovrebbe quindi considerare il problema vettorialmente. Si può dimostrare che si perviene comunque allo stesso risultato ricavato in precedenza e relativo ad una trattazione scalare, per cui si avrà:

)t(P)t(P)t(P NLL

. (3.1.27)

dove )t(PL

è il termine lineare che già abbiamo trattato nel caso classico e

Figura 3.4


104

)t(PNL

è il contributo correttivo dovuto alla nonlinearità.

La presenza di un termine supplementare nella polarizzazione modifica l’equazione d’onda (1.1.11) che diviene:

2

NLL2

02

2

002

t

)PP(

t

EE

. (3.1.28)

Dal momento che la parte lineare della polarizzazione si potrà ancora scrivere per mezzo della (1.1.13) si ha:

2

NL2

02

2

02

t

P

t

EE

, (3.1.29)

che mostra che la parte nonlineare della polarizzazione agisce come termine di sorgente. Essa darà luogo quindi ad irraggiamento di campo elettromagnetico a tute le frequenze a cui oscilla.

Dalle espressioni (3.1.23) e (3.1.24) si vede che quando le frequenze

forzanti k (k=1,2) o una loro combinazione lineare jk (k,j=1,2)

coincidono con la frequenza propria di risonanza dell’oscillatore la suscettività

nonlineare 2 diventa molto grande. Confrontando 2 1 si nota che per

avere alti valori della suscettività non lineare, si devono avere alti valori di quella lineare. Ciò significa che le nonlinearità ottiche sono elevate in prossimità delle risonanze proprie di un sistema, dove il coefficiente di estinzione è elevato. Tale caratteristica è a volte utilizzata per distinguere il tipo di nonlinearità di un mezzo in risonanti e non risonanti e ha una grande rilevanza per le applicazioni fotoniche. Volendo costruire un dispositivo fotonico è evidente che si cercherà di massimizzare la risposta nonlineare; tuttavia operare in regime di risonanza corrisponde ad aumentare l’assorbimento ottico, limitando la trasmittanza del dispositivo e la capacità di porne un grande numero in cascata. Fissata quindi la lunghezza d’onda , ovvero la pulsazione , a cui il dispositivo deve operare, si dovrà quindi scegliere un materiale nonlineare le cui frequenze di risonanza caratteristiche siano tali da rendere la risposta nonlineare sufficientemente elevata e che l’assorbimento sia trascurabile.

I risultati ottenuti fermandoci al primo ordine nello sviluppo in serie del potenziale possono essere estesi prendendo in considerazione elementi successivi dello sviluppo. Ovviamente questi inizieranno ad aver peso per valori di campo elettrico ancora più elevati. Le espressioni per la polarizzazione indotta divengono più complicate senza aggiungere tuttavia nuovi concetti, per cui non le riportiamo.

3.2 Trattazione macroscopica della nonlinearità ottica


Abbiamo visto che la polarizzazione )t(P

di un mezzo sotto l'influenza di

un campo elettrico applicato )t(E

, nel regime di alta intensità, è nonlineare.

Essa può essere quindi espressa in termini di una serie di potenze del campo stesso:

...)()....()()()( )()3()2()1()0( tPtPtPtPPtP n

(3.2.1)

dove )t(P )1(

è lineare nel campo, )t(P )2(

è quadratica e così via. )0(P

,

indipendente dal campo, rappresenta la polarizzazione statica presente in alcuni materiali.

Ci limitiamo a considerare il caso in cui la risposta del materiale sia locale, per cui la polarizzazione in un punto del mezzo dipende solo dal campo in quel punto.

Considerando il principio di invarianza temporale secondo il quale le proprietà dinamiche di un sistema non cambiano al traslare dell’origine temporale del sistema di riferimento, ovvero uno spostamento temporale del campo elettrico risulta semplicemente in uno spostamento temporale della polarizzazione, possiamo scrivere il termine lineare nella forma:

dtE|RtP 1o

1

. (3.2.2)

nella quale 1R è un tensore di rango due che descrive la risposta lineare del

mezzo e la cui forma è soggetta a due limitazioni. Per prima cosa deve annullarsi per negativi, per assicurare che la polarizzazione dipenda solo dai valori del campo prima di ; questa condizione è detta di causalità. Il secondo requisito è la condizione di appartenenza alla classe delle funzioni reali; dal momento che sia

)t(P

che )(tE

sono reali, anche la funzione risposta deve esserlo.

Il ragionamento può essere facilmente esteso alla polarizzazione di ordine

n-esimo )t(P )n(

, proporzionale alla n-esima potenza del campo )t(E

:

nn1n1n

1on dtE...tE|,...R...dtP

, (3.2.3)

dove il tensore n1n ,...R è di ordine n+1, è una funzione reale delle n

variabili temporali e si annulla nel caso in cui almeno una di tali variabili diventi negativa. Con la barra verticale indichiamo l’operazione di prodotto tensoriale di ordine generico n.


106

Esprimendo il campo elettrico )t(E

in termini della sua trasformata di

Fourier )(E

, attraverso le identità integrali di Fourier:

dtiexpEtE

,

dttiexptE21E

, (3.2.4)

otteniamo:

tiexpE...E|,...,;d...dtP n1n1n

n1on

,

(3.2.5) in cui è implicita la definizione del tensore di suscettività di ordine n-simo:

n

1j

jjn1n

n1n1n iexp,...,Rd...d,...,; (3.2.6)

dove

n...1j

j .

Il principio di causalità implica che la n1n ,...,; sia analitica per

frequenze complesse giacenti nel semipiano superiore, mentre la condizione di realtà si riflette nella:

n1

nn1

n ,...,;,...,; (3.2.7)

L’utilità della rappresentazione tramite i tensori di suscettività diventa

evidente se consideriamo che in molti casi pratici i campi coinvolti sono monocromatici, come avviene per esempio nel caso di emissione di sistemi laser in continua. La trasformata di Fourier del campo includerà di conseguenza funzioni di Dirac e la polarizzazione sarà completamente determinata dal valore dei tensori di suscettività alle frequenza ottiche coinvolte, combinazioni lineari delle fondamentali. Anche nel caso di campi non monocromatici, ad esempio nel caso in cui vengano utilizzati impulsi corti, si può usare tale rappresentazione, a patto di essere in presenza di una risposta istantanea, ovvero molto più rapida della durata degli impulsi luminosi.

La rappresentazione in termini di componenti di Fourier perde invece senso nel caso in cui la risposta nonlineare abbia tempi di rilassamento comparabili o


maggiori della durata degli impulsi. In tal caso è preferibile trattare l’interazione tramite espressioni del tipo della (3.2.3).

Tenendo conto della simmetria di permutazione relativa ai tensori di suscettività, i fattori numerici che emergono dalla definizione di polarizzazione potrebbero divenire causa di confusione o di errore. Adottiamo la seguente convenzione per esprimere la polarizzazione di ordine n-esimo:

n1n

on E.....E|,...,;),...,;(KP

.

(3.2.8) dove la somma su ricorda di sommare su tutti i possibili set di frequenze che danno come somma. A causa della simmetria intrinseca di permutazione le frequenze ,…, possono essere scritte in qualunque sequenza arbitraria. K è il fattore numerico sopra citato e può essere formalmente definito come:

p2K),...,;(K nml)n( , (3.2.9)

in cui p è il numero delle permutazioni distinte delle n-frequenze, m il numero di

frequenze uguali a zero e 1l se 0 altrimenti 1l .

A volte in letteratura si trova direttamente indicato in forma generica che in ottica nonlineare la polarizzazione del mezzo può essere espressa in termini dello sviluppo in serie come:

.....EEEEEEP lkj)3(

ijklkj)2(

ijkj)1(

ij0i , (3.2.10)

dove ora risulta chiaro che l’espressione contiene una quantità maggiore di informazioni e che vale solamente sotto le ipotesi che abbiamo fatto. I termini nonlineari legati al tensore vengono detti del secondo ordine o quadratici. I termini legati al tensore vengono detti del terzo ordine o cubici.

Abbiamo visto, nel caso del semplice modello dell’oscillatore anarmonico, che se il mezzo ha una simmetria di inversione rispetto ad un punto (centro-simmetria) ci dobbiamo aspettare che la prima correzione al potenziale armonico sia quartica e che sia descritta da un coefficiente . Dal punto di vista macroscopico tale fenomeno si riflette nel fatto che per un mezzo centro-simmetrico tutte le componenti dei tensori di ordine pari sono identicamente nulle (simmetria di Kleinmann [2.1]). In questo caso il primo termine non lineare che compare nello sviluppo in serie dato dalla (3.2.10) è quello proporzionale al tensore .

Nel caso in cui il materiale non presenti una simmetria di inversione rispetto ad un punto (mezzo non-centro-simmetrico), il primo termine non lineare nello sviluppo dato dalla (3.2.10) è proporzionale al tensore . Esso è un tensore di rango tre ed è in generale caratterizzato da 27 componenti di cui si


108

può ottenere una riduzione a 18 componenti necessarie se il materiale è privo di perdite: In questo ultimo caso infatti vale l’uguaglianza di Kleinman [2.1]:

jikijk (3.2.11)

che equivale a dire che il tensore è simmetrico. Altre semplificazioni si possono avere considerando altre simmetrie caso per caso a seconda dei materiali considerati. Nel caso di materiali non-centro-simmetrici generalmente i termini successivi nello sviluppo in serie vengono trascurati perché di entità più piccola.

Generalmente i materiali impiegati in ottica nonlineare vengono classificati come materiali o a seconda che siano non-centro-simmetrici o meno. Nei paragrafi che seguono descriviamo quali sono gli effetti fisici che hanno luogo nel caso in cui abbia a che fare con un tipo o l’altro di materiale.

3.3 Effetti ottici nonlineari del secondo ordine

Il termine quadratico nello sviluppo in serie della polarizzazione:

kj)2(

ijk0)2(

i EEP (3.3.1)

dà origine ad effetti molto significativi che sono applicati continuamente in dispositivi optoelettronici e fotonici commerciali. Basti pensare ai generatori di seconda armonica nei sistemi laser ad impulsi corti o ai modulatori elettro-ottici impiegati come interruttori ottici.

Se si considerano due campi forzanti a pulsazioni diverse ed , la polarizzazione del mezzo avrà componenti alle pulsazioni , , e . Questi fenomeni vengono chiamati generazione di seconda armonica, miscelamento ottico e generazione parametrica. Essi sono rappresentati graficamente in figura 3.5, nella quale invece delle onde a pulsazione sono indicati i fotoni ad energia corrispondenti.

Nel caso in cui le frequenze siano degeneri, , gli unici due

Figura 3.5


processi possibili sono la generazione di seconda armonica a e la così detta rettificazione ottica, per la quale un campo elettrico statico viene indotto nel materiale.

Se una delle due pulsazioni è nulla, cioè qualora un fascio luminoso si propaghi in un materiale al quale è applicato un campo elettrico statico, la formula (3.3.1) dà per la polarizzazione una oscillazione alla stessa frequenza del campo elettrico incidente. Il risultato finale consiste nel modificare il valore di

)1( per una quantità proporzionale al campo statico. Si ottiene, quindi, che

l’indice di rifrazione alle frequenze ottiche dipende dal campo statico applicato. Tale effetto è detto elettro-ottico lineare, o Pockels, ed è largamente utilizzato per costruire modulatori elettro-ottici. Questo fenomeno nonlineare, in certe condizioni, si può rilevare anche senza forti intensità di radiazione ed in effetti era già conosciuto prima della introduzione dei laser.

E’ importante notare che i fenomeni citati si verificano nel rispetto della conservazione sia dell’energia che della quantità di moto dei fotoni. Nel caso, ad esempio, della generazione parametrica, se sono fissate le frequenze delle onde generatrici, si ha una sola direzione per l’onda generata che verifica la conservazione dei momenti; ne segue che un cambiamento di direzione del fascio di pompa implica una variazione della frequenza dell’onda generata, potendo così realizzare un dispositivo che generi con facilità una frequenza variabile.

Dal momento che l’effetto Pockels e la generazione di seconda armonica vengono impiegati correntemente in applicazioni optoelettroniche o fotoniche li descriviamo in modo più approfondito. I risultati ci serviranno per descrivere il funzionamento dei dispositivi nonlineari organici presentati nei capitoli che seguono. Inoltre ciò permetterà di prendere maggiore confidenza con i concetti e le tecniche utilizzate in ottica nonlineare.

E’ importante notare che i fenomeni citati si verificano nel rispetto della conservazione sia dell’energia che della quantità di moto dei fotoni. Nel caso, ad esempio, della generazione parametrica, se sono fissate le frequenze delle onde generatrici, si ha una sola direzione per l’onda generata che verifica la conservazione dei momenti; ne segue che un cambiamento di direzione del fascio di pompa implica una variazione della frequenza dell’onda generata, potendo così realizzare un dispositivo che generi con facilità una frequenza variabile.

La trattazione fin ora fatta è stata di tipo scalare; con una trattazione più generale si arriverebbe alle stesse conclusioni.

Dal momento che l’effetto Pockels e la generazione di seconda armonica vengono impiegati correntemente in applicazioni optoelettroniche o fotoniche li descriviamo in modo più approfondito. I risultati ci serviranno per descrivere il funzionamento dei dispositivi nonlineari organici presentati nel capitolo 3. Inoltre ciò permetterà di prendere maggiore confidenza con i concetti e le tecniche utilizzate in ottica nonlineare.


110

3.3.1 Effetto elettro-ottico lineare o di Pockels

Questo fenomeno si presenta quando uno dei due campi che contribuiscono al termine del secondo ordine della polarizzazione ha frequenza nulla o comunque molto piccola rispetto alle frequenze ottiche (campo quasi statico). In questo caso si ha un effetto di modulazione della polarizzazione e non di variazione della sua frequenza di oscillazione rispetto a quella del campo elettrico oscillante. Non si genera, quindi, alcun campo a frequenza diversa da quella di partenza.

Studiamo prima un caso molto semplice per mostrare come si usa il formalismo nonlineare e poi diamo la descrizione classica dell’effetto, introducendo il tensore elettro-ottico. Consideriamo il caso mostrato in figura

3.6. Un’onda elettromagnetica, alla quale è associato un campo )(E

, si propaga

in un mezzo nel quale è presente anche un campo statico )0(E

, ottenuto ad esempio applicando una differenza di potenziale V tramite due elettrodi piani. Nel mezzo si induce una polarizzazione totale data dalla:

kj)2(

ijkj)1(

ij0i EEEP (3.3.1.1)

nella quale il campo elettrico è il campo totale presente nel mezzo. Consideriamo per il momento che il campo totale nella (3.3.1.1) sia dovuto alle sole due componenti dette:

.c.cEeE2

1E )0(

j)xkt(j)(

jj

)(

. (3.3.1.2)

Possiamo fare delle ipotesi semplificative per rendere il problema più semplice.

Consideriamo che entrambi i campi )(E

ed )0(E

siano diretti lungo la direzione

z, che )2(zzz sia l’unico elemento del tensore di suscettività del secondo ordine

diverso da zero e che il tensore )1( sia diagonale (materiale tagliato lungo gli

assi principali).


Sostituendo l’espressione (3.3.1.2) in quella per la polarizzazione (3.3.1.1) e sviluppandola in tutti i suoi termini, si ottengono varie componenti che oscillano a pulsazioni diverse:

)xk2t2cos(E,;22

1

)xktcos(EE,0;2

)xktcos(E;

E,;02

1E0,0;0E0;0P

)(2)()2(zzz0

)()()0()2(zzz0

)()()1(zz0

2)()2(zzz0

2)0()2(zzz0

)0()1(zz0z

.

(3.3.1.3)

Nell’espressione dei tensori si sono indicate tra parentesi le pulsazioni dei campi che contribuiscono ad ogni termine per ricordare che i tensori di suscettività hanno una dispersione in frequenza, come mostrato nel paragrafo 3.2.

I primi tre termini sono a frequenza nulla e corrispondono ad una polarizzazione statica P(0) del mezzo. In particolare il terzo corrisponde al fenomeno della rettificazione ottica. Il quarto termine è presente anche nel caso lineare e corrisponde alla normale risposta dielettrica del mezzo. Il quinto termine oscilla a pulsazione come il precedente e corrisponde all’effetto Pockels. L’ultimo termine oscilla alla pulsazione 2 e corrisponde alla generazione di seconda armonica.

Si ha quindi:

)0(E

)(E

z

y x

+ V


112

)xk2t2cos(E,;2

2

1

)xktcos(EE,0;2;PP

)(2)()2(zzz0

)()()0()2(zzz

)1(zz0

)0(zz

(3.3.1.4)

Possiamo fare l’ulteriore ipotesi di considerare proprietà del mezzo e valori di campo per i quali:

2)()2(zzz

)0()2(zzz E,;2E,0; (3.3.1.5)

per cui la componente a seconda armonica sia trascurabile. Si ha quindi:

)xktcos(EPP )()()1(eff0

)0(zz

(3.3.1.6)

dove si è definita una suscettività efficace:

)0()2(zzz

)1(zz

)1(eff E,0;2; (3.3.1.7)

che dipende dal campo elettrico statico E(0). Ne segue che anche la costante dielettrica dipende dal campo E(0) secondo l’espressione:

)0()2(zzz

LINr

)0()2(zzz

)1(zz

)1(effr E2E211 (3.3.1.8)

e che l’indice di rifrazione, definito tramite la (1.1.18), possa essere espresso come:

)0()2(zzz

0

0)0()2(

zzzLINr

LINrr E

n

1nE

21n

(3.3.1.9)

dove lo sviluppo in serie della radice al primo ordine è giustificato dal fatto che il

termine proporzionale ad )0(E è una piccola perturbazione ed n0 e’ l’indice di rifrazione in regime lineare.

L’equazione (3.3.1.9) mostra che l’indice di rifrazione del mezzo viene modificato proporzionalmente al campo statico applicato. Se il campo, invece di essere statico, è variabile con frequenza sia avrà modulazione dell’indice di rifrazione a frequenza . Ciò implica che la fase del campo in uscita dal mezzo possa essere controllata elettricamente, dal momento che il campo, attraversando il mezzo, percorre un cammino ottico che dipende dal suo indice di rifrazione.


Se non si è nelle condizioni di poter trascurare il fenomeno di generazione di seconda armonica non si può trascurare il terzo termine nell’equazione (3.3.1.4). Generalmente ciò accade se l’intensità dell’onda incidente sul mezzo è particolarmente elevata. In questo caso non è lecito neanche scrivere l’espressione (3.3.1.2) ma bisogna considerare l’eventuale campo a pulsazione 2. Si avrebbe:

.c.ceEEeE2

1E )xkt2(j)2(

j)0(

j)xkt(j)(

jj

)2()(

(3.3.1.10)

in cui si è considerata la possibilità che il vettore di propagazione k a pulsazione sia diverso da quello a pulsazione , dal momento che k=20n0 e che l’indice di rifrazione lineare n0=n0(). Introducendo la nuova espressione per il campo si ottengono dei termini supplementari nell’espressione (3.3.1.4) che descrivono, questa volta in maniera appropriata, anche la generazione di seconda armonica.

E’ evidente che un mezzo che presenti l’effetto Pockels può trovare applicazione per costruire dispositivi optoelettronici. E’ sufficiente ad esempio introdurlo in uno dei due bracci di un interferometro di Michelson per controllare il cammino ottico in esso elettricamente e per ottenere all’uscita dell’inteferometro un massimo od un minimo di intensità luminosa, a seconda del campo elettrico statico applicato. Il passo per arrivare alla costruzione di un modulatore elettro-ottico di intensità non è poi molto lungo; ne vedremo in seguito un esempio.

L’esempio che abbiamo trattato ci ha aiutato ad introdurre l’effetto Pockels ed ad applicare in un caso semplice l’equazione (3.3.1). Tuttavia gli studi sull’effetto Pockels sono stati condotti prima dell’introduzione dei laser e quindi prima che si sviluppasse una trattazione teorica degli effetti ottici nonlineari completa. Ciò ha fatto si che il formalismo con il quale viene normalmente trattato, e che continua ad essere applicato, sia differente. Ne diamo nel seguito una descrizione, dal momento che tutta la letteratura scientifico/tecnica fa riferimento ad esso. Ciò permetterà inoltre di sviluppare una trattazione più generale, non limitata al caso semplice che abbiamo affrontato in precedenza.

L’effetto Pockels consiste in pratica in un’alterazione delle proprietà di anisotropia di un generico materiale. Come già accennato in precedenza nel paragrafo 1.3, un modo semplice per studiare la propagazione in mezzi anisotropi è quello di utilizzare l’ellissoide degli indici. L’effetto del campo elettrico sulla propagazione di un onda sarà quello di variare le costanti

dell’ellissoide, del tipo 2n/1 legate agli indici di rifrazione del mezzo. L’ellissoide degli indici ha, nel caso generico in cui x,y,z non coincidano

con gli assi principali, la forma [2.2]:

1xyn

12xz

n

12yz

n

12z

n

1y

n

1x

n

1

62

52

42

2

32

2

22

2

12

.


114

(3.3.1.10)

L’applicazione di un campo elettrico arbitrario zyx E,E,EE dà luogo ad una

variazione lineare dei coefficienti i

2n

1

, i=1,2,...,6, definita come:

3

1j

jij

i2

Ern

1 6,...,1i (3.3.1.11)

dove per j si usa la convenzione x1 , y2 , z3 . Gli elementi rij, con

dimensione fisica [m/V], fanno parte di un tensore del secondo ordine r detto

tensore elettro-ottico. La (3.3.1.11) in forma matriciale diventa:

3

2

1

636261

535251

434241

333231

232221

131211

62

52

42

32

22

12

E

E

E

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

n

1n

1n

1n

1n

1n

1

(3.3.1.12)

Considerando mezzi privi di perdite, la forma del tensore r può essere

ricavata da considerazioni di simmetria dalle quali si può vedere quali dei 18 coefficienti rij siano nulli e quali relazioni ci siano tra i rimanenti. Riportiamo in tabella 3.1 i valori delle componenti dei tensori elettro-ottici più grandi e gli indici di rifrazione per i più importanti cristalli non centrosimmetrici noti e per confronto quelli riferiti al polimero DR1-PMMA.

La presenza dei termini misti nella formula (3.3.1.10) implica una rotazione rispetto agli assi dielettrici principali, oltre ad una variazione dell’ampiezza degli stessi. Per diagonalizzare il tensore bisogna trovare i nuovi assi e i relativi indici di rifrazione. Anche se tale procedimento può essere fatto, in generale è preferibile affrontarlo caso per caso, in quanto le simmetrie dei materiali garantiscono una riduzione del numero delle componenti dei tensori elettro-ottici rispetto al caso generale.


Materiale m Coefficiente Elettro-ottico (10-12 m/V)

Indice di rifrazione

Classe di simmetria

KD*P[5] 0.633 r41=8.80 r63=24.1

no=1.50 ne=1.46 m24

AD*P[5] 0.633 r41=40.0 r63=10.0

no=1.51 ne=1.48 m24

GaAs[5] 1.150 r41=1.43 n=3.43 m34

DR1 MMA[10]

0.830

r33=12

33133

1rr

n=1,65 m

Tabella 3.1

Se si considera il caso semplificato che abbiamo trattato precedentemente,

si ha che solamente il coefficiente r33 è diverso da zero. Supponendo di applicare il campo elettrico statico lungo la direzione z:

)E,0,0(E )0( , (3.3.1.13)

l’equazione dell’ellissoide dell’equazione (3.3.1.10) diviene:

1Ezr2n

z

n

y

n

x )0(2332

e

2

2o

2

2o

2

(3.3.1.14)

dove scompaiono i termini misti e si può definire il nuovo indice di rifrazione lungo la direzione z:

z332e

2

z

Ern

1

n

1

'

. (3.3.1.15)

Sotto la condizione:

2e

z33n

1Er (3.3.1.16)

si può semplificare la formula (3.3.1.15) ed invertirla per ottenere gli indici di rifrazione rispetto ai nuovi assi:


116

o'x

'y nnn (3.3.1.17)

)0(33

3ee

'z Ern

2

1nn (3.3.1.18)

L’espressione (3.3.1.18) di nuovo mostra che l’indice di rifrazione lungo z

dipende linearmente dal campo )0(E ed è equivalente alla relazione (3.3.1.9 Tramite il confronto delle (3.3.1.18) e (3.3.1.9) possiamo stabilire il legame tra

r33 e )2(zzz . La relazione che si ottiene conferma quella più generale, che si può

ricavare con la trattazione completa, secondo la quale [2.3]:

)0,;(n

2)0,;(r )2(

iij4ij (3.3.1.19)

Esempio – Utilizzo di un mezzo (2) per realizzare un modulatore elettro-ottico (cella di Pockels)

Si consideri, come esempio, il caso del cristallo KD*P [2.2] che appartiene

alla classe di simmetria m24 ed ha non nulli solo i termini 5241 rr e 63r .

L’equazione dell’ellissoide dell’equazione (3.3.1.10) diviene:

1xyEr2xzEr2yzEr2n

z

n

y

n

xz63y52x412

e

2

2o

2

2o

2

. (3.3.1.20)

Con riferimento alla figura 3.7, supponiamo di applicare un campo elettrico

statico lungo la direzione z:

)E,0,0(E z . (3.3.1.21)

La formula (3.3.1.20) si semplifica nella:

1xyEr2n

z

n

y

n

xz632

e

2

2o

2

2o

2

. (3.3.1.22)


Per arrivare a riscrivere l’ellissoide in forma canonica, si effettua una rotazione degli assi di 45° per individuare i nuovi assi principali rispetto ai quali la (3.3.1.22) diventa:

1n

zyEr

n

1xEr

n

12e

2'

z632o

'z632

o

22

, (3.3.1.23)

dove scompare il termine misto e si possono definire le nuove costanti:

z632o

2

x

Ern

1

n

1

'

e z632o

2

y

Ern

1

n

1

'

. (3.3.1.24)

Sotto la condizione:

2o

z63n

1Er (3.3.1.25)

si può semplificare le formule (3.3.1.24) ed invertirle per ottenere gli indici di rifrazione rispetto ai nuovi assi:

z63

3o

opo'x Er

2

nnnnn

z63

3o

ono'y Er

2

nnnnn (3.3.1.26)

ez'z nnn

y

V

Ey

Ex

h

x

Ex

Ey

z

Figura 3.7


118

Il termine z63

3o Er2

n dà la misura della variazione dell’indice per effetto

dell’applicazione del campo elettrico. Si osservi che il cristallo da uniassico diventa biassico, in quanto ora i tre indici di rifrazione sono differenti tra di loro.

Si consideri la propagazione di un’onda piana monocromatica lungo la direzione z e polarizzata lungo l’asse x. Si ottiene che rispetto ai nuovi assi principali, che sono ruotati di 45°, il campo elettrico dell’onda viene ad avere componenti uguali lungo x’ ed y’, che sperimentano i nuovi indici di rifrazione tra loro differenti. Il caso è simile a quello della lamina vista nel paragrafo 1.3 con la differenza che in quel caso gli indici di rifrazione sono fissi mentre ora variano con l’intensità del campo statico Ez secondo la formula (3.3.1.26). Lo sfasamento tra le due componenti del campo diviene [2.2]:

V

VErn

d2z63

3o , (3.3.1.27)

dove, essendo il campo modulante applicato lungo la direzione z, si è posto

d/VE z in cui V è la tensione applicata alle facce del materiale. Si è

introdotto anche il termine V noto come tensione a /2; quando si ha VV

l’onda uscente è polarizzata linearmente ma in direzione perpendicolare a quella di ingresso; se il ritardo è di /2 allora l’onda uscente sarà polarizzata circolarmente, etc. A seconda dello spessore del cristallo o della tensione applicata si può quindi variare lo stato di polarizzazione della radiazione trasmessa. Se all’uscita del cristallo si pone un polarizzatore incrociato rispetto alla polarizzazione d’ingresso, l’intensità luminosa trasmessa potrà passare tra valori massimi e nulli a seconda del campo applicato. 3.2.2 Generazione di seconda armonica

Il processo di generazione di seconda armonica trova larghissima applicazione nei campi dell’elettronica quantistica. Esso è stato il primo effetto ottico nonlineare, a parte gli effetti elettro-ottici, ad essere osservato dopo l’invenzione del laser ( Bloembergen – 1964). Quasi tutti i sistemi laser a stato solido possono generare impulsi di radiazione ad una frequenza fondamentale, fissata dal materiale attivo, o alla frequenza doppia, tramite un generatore di seconda armonica. I sistemi laser a stato solido di ultima generazione, che utilizzano il processo affine della generazione parametrica per produrre impulsi laser ultracorti in un ampio spettro di lunghezze d’onda, hanno soppiantato i sistemi laser che utilizzano coloranti organici in soluzione come mezzo attivo, a causa della loro elevata stabilità ed efficienza. Nel campo della fotonica trova un gran numero di applicazioni. Citiamo ad esempio i generatori di seconda armonica integrati realizzati in fosfato di potassio (KTP) che vengono utilizzati


per duplicare la frequenza dei laser a semiconduttore nel vicino infrarosso (=800nm) ed ottenere quindi sorgenti laser integrate a lunghezza d’onda corta (=400nm) da impiegare nel campo della memorizzazione ottica (compact disks). Il fatto che la capacità di memorizzazione cresca come 1/2 ne rende evidente l’utilità.

Descriviamo qui il processo nel quadro delle più semplici approssimazioni

che possiamo fare, lasciando a testi specialistici il compito di discutere effetti più complicati ad esso associati, come ad esempio i fenomeni del cascading delle nonlinearità quadratiche [2.4].

Facendo riferimento alla figura 3.8, studiamo il processo di generazione di seconda armonica in un mezzo di lunghezza L che abbia solamente la

componente ),;2()2(xxx del tensore suscettività del secondo ordine non

nulla, che indicheremo con )2( . Assumiamo che sul mezzo incida un’onda

elettromagnetica a pulsazione diretta lungo la direzione z e polarizzata lungo la direzione x.

Il fenomeno di generazione è descritto dall’equazione (3.1.29) che può essere riscritta in forma scalare per il nostro caso particolare:

2NL

2

02

2

22

2

t

P

t

E

v

1

z

E

(3.2.2.1)

Figura 3.8

x

z

y

L

, , ,


120

dove v è la velocità di propagazione ed E è la componente di campo lungo la direzione x. I campi elettrici associati alle due onde elettromagnetiche, in prima e seconda armonica, saranno dati da:

.c.ce)z(E

2

1)t,z(E )zkt(j)()( )( (3.2.2.2)

..)(2

1),( )2()2()2( )2(

ccezEtzE zktj (3.2.2.3)

in cui le ampiezze dipendono da z e si tiene conto che, ricordando che

c)(nk )( , in generale le velocità di propagazione dei campi sono

differenti a causa della dispersione dell’indice di rifrazione per cui )()2( k2k . Ne consegue che il campo totale nel mezzo vale:

)t,z(E)t,z(E)t,z(E )2()( (3.2.2.4)

e che la polarizzazione nonlineare assume l’espressione:

)t,z(E)t,z(E)t,z(P )2(0NL . (3.2.2.5)

Sostituendo le espressione (3.2.2.4) e (3.2.2.5) nella equazione di propagazione nonlineare, ricordando che ogni campo è somma di due termini complessi coniugati, e sviluppando tutti i possibili prodotti si ottengono una serie di equazioni differenziali accoppiate, che non riportiamo qui. Per semplificare la

trattazione assumiamo che le ampiezze dei campi )z(E )2,( siano delle

funzioni lentamente variabili di z (slowly varying envelope approximation – SVEA), per cui si possa effettuare l’approssimazione:

z

Ek

z

E )2,()2,(

2

)2,(2

. (3.2.2.6)

Sotto questa ipotesi il sistema di equazioni differenziali si semplifica notevolmente e si riduce alle due equazioni accoppiate:

z)kk2(j*)()2()2(0)2(

0*)( )2()(

eEE2

j

dz

dE

, (3.2.2.7)

z)kk2(j)()()2(0)(

0)2( )2()(

eEEjdz

dE

. (3.2.2.8)


che descrivono l’evoluzione lungo la direzione z delle ampiezze dei campi. Si definisce il fattore:

)()2( k2kk (3.2.2.9)

che viene chiamato fattore di mismatch o direttamente mismatch. Possiamo fare l’ulteriore ipotesi semplificativa di considerare il processo di

generazione poco efficiente per cui si possa considerare che l’ampiezza del campo a pulsazione non diminuisca molto nel passare attraverso il mezzo (approssimazione di pompa non svuotata). In tal caso la (3.2.2.7) perde senso e la (3.2.2.8) si integra direttamente. Assumendo che all’ingresso del mezzo non vi sia campo a 2, si ottiene all’uscita (z=L):

kj

1eEj)L(E

kLj2)()2(

0)(

0)2(

(3.2.2.10)

L’intensità dell’onda armonica sarà quindi data da:

2)(

2

22

3

2)2(2/10

22/3

0

*)2()2(

0

)(2

)2()2(

I2/kL

)2/kL(sinL

n2

)L(E)L(E2

1)L(E

Z2

1)L(I

(3.2.2.11)

avendo fatto l’ipotesi, nel solo prefattore e non in k, che =n2. A volte, in luogo della notazione che utilizza il tensore si trova la notazione, sviluppata all’inizio degli studi di ottica nonlineare, secondo cui:

kjijkNL

i EEdP (3.2.2.12)

avendo introdotto il tensore di generazione di seconda armonica d . Tale

notazione è generalmente utilizzata per definire l’efficienza di generazione:

)(

2

2

3

2222/3

0

0

)(

)2(

SHG I2/kL

)2/kL(sin

n

Ld

P

P

. (3.2.2.13)

La (3.2.2.13) mostra che se si è nella condizione k=0 (phase matching),

quindi se le due onde viaggiano alla stesa velocità nel mezzo, l’efficienza cresce quadraticamente con la lunghezza L del mezzo stesso. Si potrebbe quindi


122

aumentare indefinitamente l’efficienza aumentando lo spessore, ovviamente tenendo in conto che per grandi valori dell’efficienza non sarà più valida l’approssimazione di pompa svuotata ed occorrerà modificare la descrizione teorica. Nel caso i cui k0, l’efficienza risulta essere una funzione periodica di L. L’andamento è descritto in figura 3.9 dove si è introdotta la definizione di lunghezza di coerenza LC=k. In questo caso aumentare L non aumenta necessariamente l’efficienza. Sarà sufficiente limitare lo spessore del mezzo a

multipli dispari di Lc per massimizzare SHG. Generalmente, se non si adottano accorgimenti particolari, la dispersione

dell’indice del mezzo fa sì che si sia nella condizione in cui k0. Si ha infatti:

)()2()()2()()2( nnc

2n

c2n

c

2k2kk

(3.2.2.14)

da cui segue che:

)()2()()2(cnn2nn

cL

(3.2.2.15)

Ciò mostra che, ad esempio, se vogliamo generare seconda armonica da un

campo a lunghezza d’onda m, in un mezzo in cui 2)()2( 10nn , la

lunghezza di coerenza risulta essere LC=50m.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 2 4 6 8 10

Divisa per 100

k=0

k0

L/LC

S

HG

u.a

.


Figura 3.10

Nei casi reali, ad esempio quello dei cristalli nonlineari, si cerca di operare nella condizione k=0, sfruttando la birifrangenza naturale. Si opera in modo che i campi a pulsazione e siano polarizzati lungo due direzioni ortogonali


124

e che lungo tali direzioni si abbia )()2( nn . Utilizzando diverse polarizzazioni dei campi fondamentale ed armonico e diverse direzioni di propagazione si può avere una caratterizzazione completa del tensore in tutte le sue componenti. Nel caso in cui si utilizzi la generazione per caratterizzare le proprietà ottiche nonlineari di film sottili (L<1m) si ha L<<LC e non si notano gli effetti dovuti all’interferenza nonlineare nel mezzo.

L’espressione (3.2.2.13) per SHG giustifica l’uso comune della figura di merito:

3

2

mnn

dM (3.2.2.16)

per caratterizzare la bontà di un materiale per applicazioni ottiche nonlineari quadratiche. Nella figura 3.10 riportiamo la classificazione di molti materiali quadratici in ordine del valore di d oppure di Mmn [2.5]. Si nota come al vertice della scala in ordine della figura di merito Mnm vi sia il cristallo organico 2-methyl-4-nitroanilina (MNA) e che molti altri cristalli organici presentano valori elevati. Tale risultato, insieme al valore elevato della nonlinearità, è dovuto principalmente al fatto che i cristalli organici hanno valori dell’indice di rifrazione notevolmente inferiori a quelli dei cristalli inorganici. 3.3 Effetti ottici nonlineari del terzo ordine

Come abbiamo visto nel paragrafo 3.1, mezzi materiali che presentino centrosimmetria non hanno proprietà ottiche nonlineari quadratiche, quartiche e così via. Tale condizione può realizzarsi perché microscopicamente la struttura delle singole unità che costituiscono il mezzo è centrosimmetrica, come nel caso del silicio cristallino. Ovvero può verificarsi che le singole unità siano non-centrosimmetriche ma che abbiano una distribuzione orientazionale centrosimmetrica, come nel caso di un mezzo costituito da una dispersione fisica di molecole organiche con nonlinearità quadratica in una matrice di supporto polimerica con orientazione delle molecole casuale. Vedremo nel capitolo seguente come è possibile ottenere una nonlinearità quadratica in tali mezzi, operando sulla funzione di distribuzione orientazionale.

La nonlinearità di ordine dispari sono invece sempre presenti, anche se di entità più piccola. Tuttavia, anche se tutti i materiali hanno una componente cubica nella polarizzazione nonlineare, gli effetti sono sfruttabili per applicazioni in fotonica solo in una classe ristretta di questi che coniughi le prestazioni richieste dalla specifica applicazione, la processabilità meccanica, la compatibilità con la esistente tecnologia, la competitività dal punto di vista economico. Ad esempio i polimeri coniugati, dopo la deposizione in forma di film sottile e senza che siano stati effettuati dei trattamenti particolari, sono in fase amorfa e quindi intrinsecamente centrosimmetrici; pertanto tutti i tensori di


ordine pari sono ugualmente nulli. Essi presentano forti nonlinearità cubiche e godono della proprietà di essere facilmente processabili ed ingegnerizzabili.

Nel caso dei fenomeni cubici si avrà interazione di quattro campi all’interno del materiale descritta dalla suscettività cubica ijkl-;1,2,3 e la polarizzazione nonlineare potrà essere espressa come sviluppo in serie:

lkj3214)3(

ijkl03214)3(

ijkl EEE),,;(),,;(P . (3.3.1)

Ovviamente, dal momento che il rango del tensore è superiore, vi sono

molti più processi che hanno luogo attraverso la suscettività cubica. Una lista significativa di questi, accompagnata dalle pulsazioni ottiche coinvolte e dal valore del parametro K ad essi relativo è data in tabella 3.2.

Processo -; 1, 2 , 3 K

Effetto Kerr in continua -; 0, 0 , 3

Generazione di seconda armonica indotta da campo statico

-2; 0, , 3/2

Generazione di terza armonica -3; , , 1/4

Mixing di frequenze somma e differenza -3; 1, 2 , 2 3/4

Effetto Kerr ottico, autocollimazione, auto- e cross-modulazione di fase, four-wave-mixing degenere.

-; , - , 3/4

Assorbimento/ionizzazione/emissione a due fotoni. -; -, , 3/4

Tabella 3.2

L’effetto Kerr in continua è l’analogo cubito dell’effetto Pockels ed è

conosciuto da lungo tempo; esso porta alla modifica dell’indice di rifrazione del mezzo nonlineare sotto l’applicazione di un campo statico, in ragione del quadrato del campo. La generazione di seconda armonica indotta da campo statico è utilizzata correntemente per caratterizzare le proprietà ottiche nonlineari di molecole organiche in soluzione ed è altrimenti conosciuta con l’acronimo EFISH (electric field induced second harmonic generation). La generazione di terza armonica viene utilizzata per determinare la nonlinearità in strati sottili di polimeri organici coniugati. Il mixing di frequenze somma e differenza viene impiegato per realizzare demultiplexer completamente ottici a semiconduttore nel campo delle comunicazioni ottiche. L’effetto Kerr ottico causa la dipendenza dell’indice di rifrazione del mezzo dall’intensità del campo che lo attraversa.

La parte reale e immaginaria della suscettività cubica possono descrivere fenomeni fisicamente distinti, come è il caso, ad esempio, dell'indice di rifrazione non lineare e dell'assorbimento a due fotoni rispettivamente.


126

Di tutti i processi citati in tabella, nel caso in cui si abbia un solo campo elettromagnetico ad alta intensità incidente sul mezzo, rimangono attivi solamente la generazione di terza armonica, l’effetto Kerr ottico e l’assorbimento a due fotoni. Dal momento che nel corso dei capitoli che seguono avremo a che fare solamente con questi effetti ci limitiamo alla loro descrizione.

3.3.1 Effetto Kerr ottico

Prendiamo in considerazione un materiale isotropo con nonlinearità cubica che sia investito da un fascio luminoso di elevata intensità a pulsazione .

Una volta sviluppata l’espressione (3.3.1) in tutti i suoi termini, la componente i-esima della polarizzazione del terzo ordine sarà costituita da due componenti: una che oscilla a pulsazione , che dà luogo a generazione di terza armonica, ed una che oscilla a pulsazione . Trascuriamo il termine a e concentriamoci solo sull’ultimo che è dato dalla:

)(E)(E)(E),,;(~4

3),,;(P *

lkjjkl

)3(ijkl0

)3(i

(3.3.1.1)

ricavata seguendo l’espressione (3.2.8). Tale scelta corrisponde nella maggior parte dei casi alla realtà osservata. Si ricorda infatti che nei processi nonlineari, oltre alla conservazione dell’energia, si deve avere conservazione della quantità di moto. Nel caso della generazione di terza armonica, analogamente al caso di quella di seconda armonica, ciò rende il processo fortemente dipendente dal mismatch di propagazione delle onde in prima e terza armonica, dato da

)()3( k3kk . Dal momento che la distanza in pulsazione tra e e anche maggiore che nel caso di generazione di seconda armonica, il peso della dispersione dell’indice di rifrazione è ancora più forte e porta a lunghezze di coerenza ancora più corte. Viceversa nel caso del processo Kerr descritto dalla (3.3.1.1), la disposizione dei campi che partecipano al processo è tale che il mismatch sia automaticamente nullo (k=0). Volendo trattare l’effetto Kerr in mezzi massivi, in cui in genera le dimensioni sono dell’ordine del centimetro, si capisce come in media si possa trascurare la generazione di terza armonica.

Consideriamo il caso di una singola onda polarizzata linearmente, lungo la direzione x per esempio. Dalle proprietà di simmetria di un mezzo isotropo, si deduce che le uniche componenti indipendenti della suscettività cubica sono

)3(iijj

~ , )3(ijij

~ , )3(ijji

~ , con )3(ijji

)3(ijij

)3(iijj

)3(iiii

~~~~ , per tutti gli i e j. La relazione

fra polarizzazione totale, includendo anche il termine lineare classico, e campo elettrico diviene scalare e si scrive:


)(E)(E),,;(~4

3);(~),,;(P

2)3(xxxx

)1(0

(3.3.1.2)

Nel seguito, per semplicità di notazione, indicheremo le suscettività solo con l’indice indicante l'ordine, omettendo le dipendenze dalla frequenza. Dal momento che campo ed intensità di un’onda sono nel seguente rapporto:

2

00 Ecn2

1I (3.3.1.3)

la suscettività efficace 2)3()1()1(

eff E~43~~ si può esprimere come segue in

termini di intensità:

Inc

~

2

3~~

00

)3()1()1(

eff

(3.3.1.4)

Consideriamo il caso semplificato per cui la pulsazione sia tale che la

suscettività lineare )1(~ sia reale, ovvero che non vi sia assorbimento lineare nel

mezzo. La suscettività dielettrica efficace concorre alla definizione dell’indice di rifrazione secondo la:

Icn

~231~1n~

00

3)1()1(

eff

(3.3.1.5)

Ricordando poi che l’indice lineare è definito come 10 1n e dato

l'ordine di grandezza del contributo non lineare, la (3.3.1.5) si può approssimare come segue:

I

cn

~

4

31nI

cn

~231nn~

300

3

0300

3

0

(3.3.1.6)

La (3.3.1.6) mostra che l’indice di rifrazione complesso del mezzo dipende dall’intensità del fascio luminoso che si propaga nel mezzo. La sua parte reale, che determina le proprietà rifrattive, vale:

InnIcn4

3nn 20

3

200

0

(3.3.1.7)


128

dove si è definito il coefficiente n2, che è detto indice di rifrazione nonlineare, ed è legato alla suscettività nonlineare tramite la relazione:

),,;(cn4

3n 3

200

2

(3.3.1.8)

e ha unità di misura [m2/W], molto spesso sostituite dalle sottounità [cm2/W]. Ci disinteressiamo momentaneamente della parte immaginaria della risposta nonlineare che sarà ripresa nel paragrafo successivo, relativo all’assorbimento nonlineare.

In alcuni testi si trova definito anche l’indice di rifrazione non lineare E2n

relativo al modulo quadro del campo elettrico, definito da:

2

E20 Ennn , (3.3.1.9)

che vale:

),,;(n8

3n 3

0

2 (3.3.1.10)

In questo caso le unità di misura per n2E sono generalmente quelle elettrostatiche, indicate con la sigla e.s.u..

La dipendenza lineare dell’indice di rifrazione dall’intensità data dalla (3.3.1.7) è un caso particolare del caso più generale in cui:

)]t,r(I[n)r(n)t,r(n 0

(3.3.1.11)

Si usa definire mezzi di tipo Kerr (Kerr-like) tutti quei mezzi che sottoposti a campi intensi si comportano seguendo la relazione (3.3.1.7).

La dipendenza dell’indice di rifrazione del mezzo dall’intensità del campo che lo attraversa dà luogo ad una serie di effetti molto importanti per le applicazioni in fotonica. Tra essi citiamo l’automodulazione di fase per cui un fascio di luce modifica l’indice del mezzo in cui si propaga, ovvero il cammino ottico percorso, e quindi la propria fase ottica. Tale meccanismo viene sfruttato per generare un particolare regime di propagazione degli impulsi ottici in fibra, detto solitonico, in cui lo sfasamento nonlineare compensa la dispersione naturale della fibra e permette agli impulsi di propagarsi senza allargarsi temporalmente. L’analogo spaziale della automodulazione di fase è l’effetto dell’autofocalizzazione di un fascio di luce laser in un mezzo (3). In questo caso un fascio di luce può modulare spazialmente l’indice di rifrazione del mezzo in cui si propaga e causare la distorsione dei propri fronti d’onda.


Esempio – Autofocalizzazione di un fascio laser con profilo trasversale

gaussiano e tecnica dello Z-Scan

Il fenomeno dell’autofocalizzazione ha luogo quando un fascio con distribuzione trasversale di intensità non uniforme attraversa un mezzo che ha indice di rifrazione nonlineare. Dal momento che l’indice nonlineare segue il profilo del fascio (per effetti locali in assenza di saturazione), viene indotto un gradiente di indice di rifrazione all’interno del mezzo. Se ad esempio la nonlinearità è di tipo positivo (n2>0), sull’asse della distribuzione trasversale d’intensità si ha un indice maggiore, con un relativo ritardo di fase, rispetto alle code laterali. Ciò risulta nella creazione di una lente positiva che tende a focalizzare il fascio.

Consideriamo un fascio gaussiano che sia focalizzato su un mezzo nonlineare mediante un sistema di lenti. Limitiamoci al caso in cui lo spessore del mezzo sia molto minore della lunghezza di Rayleigh del fascio gaussiano, ovvero della distanza lungo la quale il fascio rimane focalizzato. Sotto tale ipotesi possiamo considerare che la larghezza del fascio rimanga costante all’interno del mezzo. L’onda, che ha un fronte di fase piano ed una distribuzione di ampiezza gaussiana, indurrà una modulazione di indice di rifrazione data da:

2

2

020

2exp

w

rInnrn (3.3.1.12)

dove I0 è l’intensità sull’asse e w lo spot-size del fascio nel mezzo.

In approssimazione parassiale, l’esponenziale può essere approssimato con il suo sviluppo di Taylor arrestato al primo ordine, per cui:

20

202

0

21

wn

rInnrn (3.3.1.13)

Si può tuttavia dimostrare che un mezzo con un profilo d’indice parabolico come quello descritto nella relazione (3.3.1.13) ha la caratteristica di focalizzare un’onda piana che lo attraversa. Nell’approssimazione di lente sottile, giustificata dall’assunzione di un mezzo sottile, la lunghezza focale della lente indotta non linearmente ha l’espressione:

LIn

wnf

02

20

4 (3.3.1.14)


130

dove si può notare che la lunghezza focale decresce al crescere dell’intensità sull’asse e che la lente è convergente per n2>0 e divergente per n2<0, come ci si aspettava. Nel caso in cui la nonlinearità sia debole il suo effetto sulla propagazione corrisponde ad una piccola perturbazione del fronte d’onda. Tuttavia nel caso di nonlinearità grandi e positive l’effetto può essere catastrofico. Si innesca infatti un meccanismo di reazione positiva; sotto l’azione della nonlinearità il fascio viene focalizzato e la sua intensità aumenta, causando una variazione ancora maggiore dell’indice di rifrazione con conseguente

ulteriore focalizzazione. In questo caso si può raggiungere la soglia di danneggiamento ottico del materiale, con instabilità di propagazione dei fronti d’onda ed eventualmente con loro rottura in fasci secondari meno intensi. Nel caso di nonlinearità negative il meccanismo di reazione è sempre negativo con assenza di effetti catastrofici.

La distorsione del raggio causata dalla focalizzazione non lineare può essere misurata ed utilizzata per estrarre il coefficiente n2 del mezzo. Nel 1989, Sheikh-Bahae et al. [2.6] hanno sviluppato una tecnica di misura piuttosto sensibile che consiste in focalizzare un raggio laser attraverso un mezzo sottile e nel rilevare la luce trasmessa attraverso una piccola apertura nel campo lontano. Questo semplice metodo è illustrato in figura 3.11.

Si misura la trasmittanza attraverso un’apertura posta nel campo lontano, mantenendo la potenza del fascio laser costante e muovendo (scanning) il campione lungo la direzione z di propagazione del fascio attraverso la posizione del fuoco della lente. Il mezzo si comporta come una lente dipendente dall’intensità. Nel suo percorso lungo la traccia del fascio la sua lunghezza focale efficace cambierà, dal momento che starà cambiando l’intensità che su di esso incide. Questo cambiamento si rifletterà sulla distribuzione di intensità sull’apertura nel campo lontano. La quantità di energia trasmessa dall’apertura dipenderà dalla posizione del campione lungo l’asse z e dal segno di n2.

z 0

Campione Apertura

Lente

Rivelatore

Figura 3.11


Consideriamo, ad esempio, un materiale con un n2 positivo. Quando il campione è lontano dal fuoco, l’intensità nel campione stesso è bassa e, dal momento che è sottile, l’energia rivelata oltre l’apertura rimarrà approssimativamente invariata. Quando il campione si avvicina al fuoco, l’intensità diventa abbastanza elevata da generare un effetto-lente positivo. Per z<0, questo effetto fa sì che il fascio si concentri prima, divergendo più rapidamente nel campo lontano: la conseguenza è che la trasmittanza all’apertura diminuisce. D’altra parte, per z>0, l’effetto lente fa sì che la divergenza del campo diminuisca, risultando in una maggiore trasmittanza dell’apertura. Un comportamento complementare si ha nel caso di n2<0. L’andamento di una tipica curva di trasmittanza al variare della distanza z è data in figura 3.12.

La trasmittanza dell’apertura in funzione della posizione del campione può essere calcolata teoricamente dando luogo ad alcune formule che possono essere utilizzate per ricavare segno e modulo di n2 dalle misure sperimentali.

Lo Z-scan ha diversi vantaggi rispetto ad altre tecniche di misura. Fra questi c’è la sua semplicità, essendo una tecnica ad un solo fascio che non

Figura 3.12


132

presenta difficoltà di allineamento dell’esperimento particolari. Può essere usata per ricavare tanto l’ampiezza che il segno del coefficiente non lineare. Il segno é ovvio dalla forma della curva di trasmittanza. Sotto certe condizioni è possibile isolare i contributi non lineari di rifrazione e di assorbimento così da permettere la determinazione tanto della parte reale quanto di quella immaginaria della suscettività cubica. Fra gli svantaggi di questa tecnica c’è che in caso di misure assolute è necessario un fascio gaussiano TEM00 di elevata qualità. Inoltre, in generale questa tecnica non permette di misurare gli elementi fuori diagonale del tensore.

Assumiamo che un fascio gaussiano TEM00 incida su un mezzo sottile (cioè di spessore L<<zR, distanza di Rayleigh del raggio in aria). In questo modo l’ampiezza del fascio non viene alterata da fenomeni di diffrazione o di focalizzazione all’interno del campione. L’ampiezza può essere d’altro canto alterata per assorbimento lineare e non.

La fase dell’onda trasmessa dal campione è distorta e la parte di sfasamento nonlineare r,z,t segue il profilo del raggio incidente:

zw

r2expt,zt,z,r

2

2

(3.3.1.15)

dove

2

R

0z

z1wzw

, (3.3.1.16)

2

R

0

z/z1

tt,z

, (3.3.1.17)

eff020 LtIn2

t

, (3.3.1.18)

Lexp1Leff

, (3.3.1.19)

20

R

wz , (3.3.1.20)

dove I0(t)=I(0,0,t) è l’intensità sull’asse nel fuoco, w0 è lo spot-size del fascio nel fuoco, w(z) quello nella generica posizione z, z è la posizione del campione rispetto al fuoco e è il coefficiente di assorbimento lineare del mezzo.


Utilizzando la relazione (3.3.1.15) per interpretare i dati sperimentali di trasmittanza in funzione della posizione del campione, si può determinare il parametro 0, che è collegato all’indice di rifrazione non lineare come segue:

0

i

FWHM

eff

20

2L

wan

(3.3.1.21)

dove FWHM è l’ampiezza a mezza altezza misurata dell’impulso, Hi è l’energia misurata dell’impulso corretta della riflessioni alle interfaccie ed a è una costante dell’ordine dell’unità che dipende dal profilo dell’impulso utilizzato. Un metodo approssimato proposto da Sheik-Bahae evidenzia una relazione di proporzionalità diretta tra la differenza fra trasmittanza massima e minima all’apertura e la variazione di fase 0=0. Per i dettagli relativi a tale derivazione rimandiamo alla bibliografia [2.6].

La (3.3.1.18) mostra che il metodo non è indicato per la caratterizzazione di film sottili, in quanto lo sfasamento diviene difficilmente rilevabile per lunghezze efficaci dell’ordine del m. Ciò costituisce il maggiore svantaggio del metodo per la caratterizzazione di materiali organici che sono ottenuti per la maggior parte dei casi in forma di film sottile.

La forma delle curve mostrate in figura 3.12 può essere modificata in modo sostanziale se si è in presenza di assorbimento nonlineare.

3.3.2 Assorbimento fotoindotto

Con l’espressione assorbimento fotoindotto ci si riferisce alla variazione di coefficiente di assorbimento di un mezzo causata dall’intensità stessa della radiazione che lo attraversa. In generale si avrà che:

)]t,r(I[)r()t,r( 0

(3.3.2.1)

in cui è il coefficiente di assorbimento in regime lineare e può essere una funzione complicata dell’intensità luminosa, la cui forma dipende dal particolare meccanismo di interazione tra campo e mezzo nonlineare.

Già nel 1931 Maria Göppert-Mayer aveva derivato la probabilità di assorbimento a due fotoni in un sistema, utilizzando teorie perturbative quantistiche del secondo ordine, ottenendo una dipendenza lineare del coefficiente di assorbimento dall’intensità. Dall’invenzione del laser, non solo si è osservato il fenomeno di assorbimento simultaneo di due fotoni in vari materiali ma si è studiato ampiamente il caso generale dell’assorbimento a più fotoni (2). Inoltre la ridistribuzione di popolazione dei livelli energetici indotta da un campo laser intenso porta a fenomeni interessanti di emissione ed assorbimento stimolati, a complicate transizioni energetiche in sistemi molecolari complessi e alla generazione di portatori liberi nei solidi. Questi


134

fenomeni possono manifestarsi otticamente sotto forma di un assorbimento ridotto (saturabile) o esaltato (inversamente saturabile).

Ci limitiamo qui a descrivere due degli effetti più importanti in relazione alla costruzione di dispositivi ottici nonlineari integrati: l’assorbimento a due fotoni e l’assorbimento da stati eccitati. Entrambi i fenomeni possono condurre ad un aumento del coefficiente di assorbimento di un mezzo in regime di alta intensità ed a diminuire quindi la trasmittanza di un dispositivo attivo che ne sfrutti la nonlinearità. Si tratta quindi di effetti che si vogliono evitare nella costruzione di dispositivi, poiché ne limitano le prestazioni.

L’assorbimento a più fotoni consiste nella transizione dallo stato fondamentale di un sistema ad uno stato eccitato (ad energia superiore) attraverso l´assorbimento simultaneo di un numero di fotoni superiore ad uno, appartenenti a uno o più campi di radiazione incidenti.

Ci occuperemo dapprima dell’assorbimento a due fotoni (TPA), per poi brevemente generalizzare al caso in cui i fotoni coinvolti siano in numero superiore. Facciamo riferimento alla figura 3.13, nella quale viene riportato lo schema dei livelli energetici di un ipotetico sistema atomico o molecolare. Nella

trattazione quantistica del processo di interazione della radiazione elettro-magnetica con un sistema dotato di livelli energetici quantizzati, nel quadro della teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo del primo ordine, la probabilità di assorbimento viene riassunta dalla così detta regola d’oro di Fermi. Essa stabilisce che se un fotone di energia pari alla differenza di energia tra due livelli energetici incide sul sistema questo può essere assorbito causando l’eccitazione di un elettrone da un livello inferiore ad uno superiore (caso (a) di figura 3.13). Nel quadro dell’approccio perturbativo al primo ordine, la probabilità di

h3

h2

h1

E2

E1

E3

(b) (a)

h5

h4

(c)


assorbimento è proporzionale alla media dell’operatore momento di dipolo tra le funzioni d’onda dei due stati coinvolti nel processo (momento di dipolo di transizione). Tale probabilità e’ nulla se i due livelli energetici hanno la stessa parità. Ne consegue che in condizioni normali, ed al primo ordine, si potranno causare otticamente transizioni elettroniche solo tra livelli energetici di parità opposta. Analogamente se in un sistema un elettrone si trova in uno stato eccitato, esso può decadere emettendo radiazione per transizione a livelli energetici con parità opposta. Il valore dei momenti di dipolo di tali transizioni determina il tempo caratteristico di vita del livello eccitato, che è tanto più corto quanto maggiore è il loro valore.

Sviluppando la teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo al secondo ordine si trova che sono possibili processi di assorbimento in cui una coppia di fotoni, anche ad energia diversa, viene assorbita dal sistema promuovendo un elettrone in uno stato eccitato (caso (b) di figura 3.13). L’espressione per la probabilità di transizione in questo caso è molto più complessa della regola di Fermi. Il processo di assorbimento a due fotoni implica regole di selezione opposte rispetto a quelle relative all’assorbimento ad un fotone, per cui dà luogo a transizioni tra livelli energetici di uguale parità. Per questa ultima caratteristica la spettroscopia a due fotoni è complementare alla spettroscopia lineare nello studio degli stati eccitati dei sistemi atomici e molecolari. Essa permette infatti di studiare transizioni proibite in regime lineare.

Si può distinguere tra fenomeni in cui è coinvolto un solo campo ottico, con due fotoni della stessa frequenza che concorrono alla transizione, eventualmente appartenenti allo stesso fascio ottico, e fenomeni in cui sono contemporaneamente presenti due fotoni appartenenti a fasci ottici distinti, eventualmente di frequenze distinte. Esamineremo più in dettaglio il primo tipo di fenomeni in quanto rilevante ai fini delle applicazioni in fotonica. In questo caso l’assorbimento macroscopico di un mezzo nonlineare e´ proporzionale all’intensità istantanea e si può scrivere come:

)t,r(I)r()t,r( 20

(3.3.2.2)

In cui 2 viene detto coefficiente di assorbimento a due fotoni e si misura in [cm/W] o nella sua sotto unità [cm/GW]. In tal caso, considerando per semplicità che 0 ed 2 siano costanti (mezzo omogeneo), l’equazione differenziale che descrive l’intensità media di un fascio luminoso che attraversi il mezzo lungo la direzione z diviene:

220 )z(I)z(I

dz

)z(dI (3.3.2.3)

Integrando la (3.3.2.3) possiamo ricavare la legge di Beer-Lambert nonlineare che è data da:


136

)e1(I1

eI)z(I

z002

z0

2

0

, (3.3.2.4)

dove I0 è l’intensità del fascio luminoso nella posizione z=0. Si vede facilmente che la (3.3.2.4) restituisce il risultato classico di Beer-Lambert per 2=0.

Riprendendo la relazione (3.3.1.4) per la suscettività efficace complessa di un mezzo investito da radiazione di forte intensità, si può mostrare con argomentazioni simili a quelle del paragrafo precedente, assumendo cioè che la luce incidente sia polarizzata linearmente e che il mezzo sia centrosimmetrico in modo che solo la componente xxxx della suscettività cubica sia rilevante, che il coefficiente di assorbimento a due fotoni è legato alla parte immaginaria della suscettività nonlineare del terzo ordine attraverso la relazione:

,,;~Im

cn

3 3xxxx2

00

2 ; (3.3.2.5)

In alcuni testi, analogamente al caso dell’effetto Kerr, si trova definito anche il

coefficiente di assorbimento a due fotoni E2 , relativo al modulo quadro del

campo elettrico, definito come:

,,;~Imcn4

3 3xxxx

0

02 . (3.3.2.6)

E´ importante notare che è la parte immaginaria di )3(~ che determina l’entità

dell’assorbimento nonlineare, come nel caso lineare in cui la parte immaginaria

di )1(~ dà luogo al coefficiente di estinzione .

Nel caso di assorbimento a più fotoni, generalizzazione del TPA, si ha assorbimento simultaneo di n fotoni appartenenti ad uno o più raggi luminosi. L’analogo della (3.3.2.3) per l’assorbimento di n+1 fotoni da un campo ottico è:

IIdz

dI n1n (3.3.2.7)

dove 1n é il coefficiente di assorbimento a (n+1) fotoni, con unità di misura

m2n-1/Wn ed è proporzionale alla parte immaginaria della suscettività dielettrica di ordine (2n+1). In ogni caso l’assorbimento a più fotoni non risonante è in genere molto debole per n3.

Quando l’intensità della radiazione che investe un sistema atomico o molecolare a più livelli è tale da popolare significativamente il primo stato eccitato, la probabilità che il sistema ha di transire da questo ad uno stato ad energia ancora superiore, prima di decadere nello stato fondamentale, può


divenire non trascurabile. Dal momento che vi possono essere un certo numero di stati ad energia superiore che possono essere accoppiati otticamente con questi stati intermedi e per cui le differenze energetiche sono prossime alla risonanza col fotone incidente, prima che l’eccitazione rilassi completamente nello stato fondamentale, essa può sperimentare un assorbimento che la promuove ad uno stato ad energia più elevata. Questo processo è noto come assorbimento da stato eccitato (ESA) ed é osservabile quando l’intensità incidente é sufficientemente elevata da spopolare in modo significativo lo stato fondamentale. Esso è rappresentato in figura 3.13, caso (c). Quando la sezione d’urto d’assorbimento dello stato eccitato é minore rispetto a quella dello stato fondamentale, la trasmissività del sistema crescerà quando il sistema é altamente eccitato. Questo processo è noto come assorbimento saturabile. Quando d’altra parte la sezione d’urto d’assorbimento dello stato eccitato é maggiore rispetto a quella dello stato fondamentale, allora il sistema sarà meno trasmissivo quando eccitato. Questo dà un effetto opposto a quello dell’assorbimento saturabile ed è pertanto chiamato assorbimento saturabile inverso. Esempio – Microscopia mediante fluorescenza a due fotoni

Descriviamo un’applicazione dell’assorbimento a due fotoni che non ha diretta conseguenza nel campo della fotonica ma che ne mette in evidenza le caratteristiche essenziali. Al termine dell’esempio daremo un breve cenno ad un’applicazione diretta in fotonica.

Nel corso degli ultimi decenni si è sviluppata notevolmente la tecnica della microscopia confocale di fluorescenza, che opera secondo il principio descritto in figura 3.14. Un campione viene illuminato con luce, ad esempio monocromatica proveniente da un sistema laser in modo uniforme. Il materiale sotto studio, o per sua costituzione o perché drogato con coloranti artificiali, assorbe la radiazione laser nel volume illuminato e ne emette a sua volta altra in tutte le direzioni, ad esempio a lunghezza d’onda differente. La radiazione emessa viene raccolta da un obiettivo da microscopio per poi essere riflessa da uno specchio dicroico verso un sistema di rivelazione. Rispetto alla microscopia convenzionale di fluorescenza, lungo il cammino del fascio verso il detector, la luce raccolta viene opportunamente focalizzata su un diaframma (pin-hole) provvisto di un foro di piccole dimensioni (10m). Tale accorgimento fa sì che, fissata la posizione verticale dell’obiettivo, solo la radiazione che proviene da un volume ad una certa profondità all’interno del campione riesca a passare attraverso il pin-hole. Tale meccanismo permette di analizzare un campione in profondità aumentando la risoluzione verticale, operazione non possibile in microscopia convenzionale.

Vi sono tuttavia sono degli inconvenienti. La risoluzione orizzontale rimane essenzialmente limitata dalla minima dimensione del fascio di eccitazione ottenibile sul campione; a causa del diaframma la luce raccolta è poco intensa e l’osservazione è lunga e tediosa; larga parte del volume del campione rimane


138

sempre illuminato con luce assorbita, condizione che può portare al danneggiamento del materiale se questo è biologico.

Una soluzione che permette di evitare questi problemi consiste nell’usare un fascio di illuminazione focalizzato ad una lunghezza d’onda che non sia assorbita dal campione ma tale che, ad intensità elevate, dia luogo ad assorbimento a due fotoni. La situazione è mostrata in figura 3.14. In questo caso la radiazione emessa dal campione viene raccolta con un sistema ottico convenzionale, senza pin-hole. Si ha che, se la potenza del fascio di luce è scelta in modo opportuno, alle profondità in cui il fascio non è al massimo della focalizzazione l’intensità sarà bassa e l’assorbimento a due fotoni sarà inibito; il materiale non assorbirà e di conseguenza non vi sarà emissione dalle zone corrispondenti. Nel piano di focalizzazione l’intensità potrà essere tale che il sistema assorba e riemetta radiazione sotto forma di fluorescenza.

Tale sistema ha quindi dei vantaggi notevoli. Esso permette di eccitare selettivamente punti del campione a profondità differente semplicemente cambiando il punto di fuoco del fascio di eccitazione e la radiazione può essere collezionata in modo convenzionale con un aumento di luminosità. Il campione è illuminato continuamente ma da radiazione non assorbita, eccetto che nel punto di focalizzazione, con un effetto di danneggiamento ridotto. La risoluzione orizzontale aumenta. Per giustificare l’ultima affermazione consideriamo il caso semplificato in cui il fascio di illuminazione sia gaussiano, la cui intensità nel piano focale sia data da:

Diaframma confocale

Obiettivo

Detector

Oggetto Nel piano focale Fuori piano focale


2

22

0w

r

eIrI

, (3.3.2.8)

e che lo spessore del campione h, posto nel fuoco, sia molto minore della lunghezza di Rayleigh del fascio. Se si usa radiazione a lunghezza d’onda tale che sia abbia assorbimento lineare, tutta la zona illuminata assorbe radiazione in quanto la legge di Beer-Lambert, data dalla (3.3.2.3) con 2=0, ci dice che l’intensità assorbita, e quindi riconvertita in fluorescenza nell’attraversare il campione è proporzionale all’intensità:

2

2

w

r2

h0

h

0

hass e1eI1e)r(Idz

dz

)z(dI)r(I

(3.3.2.9)

La varianza della (3.3.2.9), 2/w definisce quindi la risoluzione del microscopio. Tuttavia se la fluorescenza viene eccitata tramite assorbimento a due fotoni, l’intensità assorbita segue la (3.3.2.3) dove =0 e quindi l’intensità assorbita sarà data da:

)r(hI)r(hI1

)r(hIdz

dz

)z(dI)r(I 2

2

2

22

h

0

ass

, (3.3.2.10)

dove si è fatta l’approssimazione che comunque il processo di

assorbimento sia debole. Si osserva che la zona di emissione è definita da una curva gaussiana data dal quadrato dell’intensità di illuminazione, che ha quindi

varianza 2/w , ovvero 2 volte più piccola del caso lineare. Ciò comporta un aumento della risoluzione orizzontale del microscopio pari a radice di 2.

Risulta quindi evidente che lo sfruttamento del meccanismo di assorbimento a due fotoni migliora la risoluzione dei microscopi a fluorescenza. Normalmente la tecnica comporta l’uso di coloranti organici nei quali, fissata la lunghezza d’onda di eccitazione, l’assorbimento lineare sia minimo e quello a due fotoni sia massimo. Di qui il grande sforzo che molti gruppi di ricerca nel campo della chimica organica pongono nello studio dei coloranti organici sintetici per applicazioni biologiche.

Come applicazione che segue gli stessi principi nel campo della fotonica, possiamo citare la tecnica di fotopolimerizzazione tridimensionale, che viene utilizzata per costruire da una soluzione di unità monomeriche un modello solido polimerico. In questo caso il fascio di eccitazione, opportunamente focalizzato in una soluzione in cui vi siano dei componenti di partenza, può causarne localmente la polimerizzazione tramite attivazione della reazione mediante assorbimento. E’ chiaro che la dimensione delle strutture che si riesce a definire è dell’ordine dell’area illuminata nel caso di assorbimento lineare, mentre è inferiore se l’assorbimento è nonlineare. Ciò permette di costruire strutture


140

trimensionali su scala micrometrica che possono essere utili come parte di dispositivi ottici integrati. Riferimenti bibliografici 2 P. N. Butcher and D. Cotter, The Elements of Nonlinear Optics, Cambridge

Studies in Modern Optics - Cambridge University Press, Cambridge, 1990. 3 A.Yariv, Optical Electronics, IVth Edition, International Edition, 1991 4 H. S. Lackritz and J. M. Torkelson, in Molecular Nonlinear Optics:

Materials, Physics, Devices, edited by J. Zyss ~Academic, New York, 1994 5 R.DeSalvo, D.J.Hagan, M.Sheik-Bahae, G.Stegeman, E.W.Van Stryland,

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Capitolo 3 Introduzione all’ottica nonlineare - Ottica... · I risultati riportati nel capitolo 1...

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