Capitolo 10

Rotazione in idrodinamica

10.1 Sistemi astrofisici rotantiNegli oggetti astrofisici, pianeti, stelle e galassie, si possono individuare due tipidi rotazione globale:

• la rotazione rigida, tipica dei solidi, e quindi di stelle compatte, in cuitutti i punti del fluido possiedono la stessa velocità angolare; si realizza inqualche caso anche nei gas ad opera della viscosità;

• la rotazione differenziale, il caso più frequente, in cui parti del fluido adiversa distanza dall’asse di rotazione si muovono a velocità angolare dif-ferenti; si associano in tal caso instabilità alle interfacce di diversi stratifluidi.

Consideriamo il bilancio di forze in un corpo in rotazione stazionaria e insimmetria assiale, per cui si possa porre ∂/∂t = 0, ∂/∂θ = 0, ur = 0; utilizziamola componente r dell’equazione di Navier-Stokes in coordinate cilindriche (5.67):

−u2θ

r= gr −

1

ρ

∂p

∂r(10.1)

dove gr è la componente r della forza gravitazionale. In certi sistemi, come idischi di accrescimento o i dischi delle galassie spirali, la forza dovuta al gradientedi pressione è trascurabile, per cui la forza centrifuga è compensata dalla solaforza di gravità. In tal caso normalmente la velocità angolare varia con il raggio:

ω(r) =uθr=

rgrr

. (10.2)

Come abbiamo visto per i dischi di accrescimento, in tali sistemi la viscositàha la funzione di trasportare momento angolare in modo da favorire un flussoradiale di materia verso il centro. La situazione è invece differente all’internodi una stella che ruoti lentamente, per cui la forza centrifuga è in realtà poco

139

140 CAPITOLO 10. ROTAZIONE IN IDRODINAMICA

importante, e l’equilibrio è stabilito essenzialmente tra forza di pressione e grav-ità; naturalmente il gradiente di pressione si adatta in modo da lasciare spazioalla forza centrifuga a dare il suo contributo contro la gravità. Poichè non es-iste un’ovvia sorgente di rotazione differenziale, ci si può aspettare che l’effettodella viscosità sia in questo caso quello di mantenere una rotazione rigida con iltermine ν∇2u nell’equazione di Navier-Stokes. Tuttavia la viscosità molecolareè in genere poco efficiente in sistemi a grande scala spaziale. Va però tenutopresente che in un oggetto che abbia moti convettivi, il trasporto di momentoangolare può essere dominato dalla turbolenza con caratteristiche eventualmentedi anisotropia. Come mostrato da Kippenhahn nel 1963, lo stato finale di unastella rotante con viscosità anisotropa è uno stato con rotazione differenziale. IlSole, l’unica stella studiata da questo punto di vista, ha rotazione differenziale,con variazione di oltre il 10% tra il polo (sull’asse) e l’equatore.Nel 1917 Rayleigh dimostrò che non tutti i sistemi in rotazione differenziale

sono stabili. La dimostrazione può essere fatta in modo euristico con il principiodello scambio di elementi fluidi. Si consideri un fluido di densità uniforme inrotazione differenziale intorno ad un asse di simmetria; sia u(r) il profilo divelocità stabilito dall’equilibrio tra forze di gravità e di pressione. Si consideriin particolare un elemento fluido che ha velocità di rotazione u0 al raggio r0 elo si allontani, ad esempio, dall’asse di rotazione portandolo al raggio r1 > r0.Per la conservazione del momento angolare la sua velocità di rotazione diverrà(r0/r1)u0 cui corrisponderà una forza centrifuga

¡r20/r

31

¢u20. L’elemento rimarrà

in equilibrio nella posizione raggiunta solo se la sua nuova velocità sarà eguale aquella prevista dalla configurazione di equilibrio iniziale, cioè u1 cui corrispondeuna forza centrifuga u21/r1; se

¡r20/r

31

¢u20 > u21/r1 l’elemento verrà spinto a raggi

ancora maggiori (instabilità), nel caso contrario verrà spinto verso la posizioneoriginaria r0 (stabilità). Pertanto la condizione di stabilità della configurazionea rotazione differenziale è:

r20u20

r31<

u21r1

(10.3)

ossia, usando la velocità angolare Ω = ur:¡r20Ω

20

¢2<¡r21Ω

21

¢2. (10.4)

Il calcolo perturbativo secondo quanto visto nel Capitolo 8 porta alla condizionedi stabilità perfettamente equivalente:

d

dr

h¡r2Ω2

¢2i> 0 (10.5)

che è nota come criterio di Rayleigh. Il criterio è verificato sperimentalmentenegli esperimenti sui flussi rotanti di Couette che vedremo nell’ultimo paragrafodi questo Capitolo.Nel seguito del Capitolo vedremo alcuni esempi della problematica della

rotazione in sistemi astrofisici per la ricerca delle configurazioni di equilibrioautogravitante.

10.2. EQUAZIONI IDRODINAMICHE IN SISTEMI ROTANTI 141

10.2 Equazioni idrodinamiche in sistemi rotanti

È conveniente trattare i problemi dei fluidi rotanti in sistemi di riferimento cheruotino con la loro velocità angolare; in realtà già la discussione del criterio diRayleigh si è basato in certo qual modo su tale metodo.Consideriamo dunque un sistema di riferimento rotante con velocità angolare

costante Ω. In tale sistema non-inerziale l’accelerazione andrà scritta tenendoconto dei termini centrifughi e di Coriolis:µ

du

dt

¶inerz

→µdu

dt

¶non−inerz

+ 2Ω× u+Ω× (Ω× r) . (10.6)

Corrispondentemente l’equazione di Navier-Stokes scritta per le grandezze fisichenel riferimento rotante diventa:

∂u

∂t+ (u ·∇)u = −1

ρ∇p+ f + ν∇2u−2Ω× u−Ω× (Ω× r) . (10.7)

La forza centrifuga può essere riscritta tramite un potenziale e quindi, se la forzaesterna è di tipo conservativo, come la forza gravitazionale, l’equazione assumela forma classica:

∂u

∂t+ (u ·∇)u = −1

ρ∇p−∇

µΦ− 1

2|Ω× r|2

¶+ ν∇2u−2Ω× u . (10.8)

In esperimenti di laboratorio fatti sulla Terra i termini non-inerziali non sonorilevanti, mentre diventano essenziali negli studi di oceanografia sulle correntie di fisica dell’atmosfera sui venti. La forza centrifuga dovuta alla rotazioneterrestre può essere vista come una correzione al potenziale gravitazionale; imoti avverranno sotto l’azione di un potenziale effettivo:

Φeff = Φ−1

2|Ω× r|2 . (10.9)

Per comprendere in quali condizioni le forze di Coriolis siano importantipossiamo paragonare i loro ordini di grandezza con quelli del termine inerziale(u ·∇)u; ambedue sono differenti da zero solo quando esista un moto relativoalla rotazione. Il rapporto dimensionale delle due accelerazioni (inerziale suCoriolis) scritto tramite le scale di lunghezza e velocità tipiche è:

=V 2/L

ΩV=

V

ΩL(10.10)

che è chiamato numero di Rossby. Le forze di Coriolis sono dunque importantiquando il numero di Rossby sia eguale o minore dell’unità, e pertanto ciò richiedemoti a basse velocità e su grandi scale, che è appunto il caso dei fenomenigeofisici.

142 CAPITOLO 10. ROTAZIONE IN IDRODINAMICA

10.2.1 Approssimazione geostrofica

Nello studio di circolazioni atmosferiche e oceaniche si adotta un’approssimazionesemplificativa che si basa sul fatto che i flussi sono praticamente orizzontali per-ché lo spessore degli strati è molto piccolo rispetto alle dimensioni globali dellaTerra. Se inoltre i flussi sono relativamente lenti e il numero di Rossby è piccolo,i termini del primo membro della (10.8) sono trascurabili rispetto a quelli delsecondo membro; e anche tra questi ultimi la forza centrifuga e quella viscosasono di piccola entità. Pertanto, scrivendo -∇Φ = −ger, si ottiene:

1

ρ∇p+ ger+2Ω× u = 0 . (10.11)

Consideriamo ora le componenti "verticale" ed "orizzontale" dell’equazionerispetto al piano tangente alla superficie terrestre. Poichè la forza di Coriolisrisulta piccola rispetto alla gravità, essa potrà essere trascurata nell’equazioneverticale:

1

ρ

∂p

∂r= −g . (10.12)

Al contrario diventa importante nell’equilibrio orizzontale dove la gravità nonagisce:

∂p

∂n= −2 ρ (Ω× u)n (10.13)

dove n è la direzione del gradiente di pressione nel piano orizzontale. Ovvia-mente tale gradiente è molto più piccolo di quello nella direzione verticale dovedeve bilanciare la gravità.Le due precedenti equazioni scalari (10.12-10.13)sono appunto note come

approssimazione geostrofica. Nel presente contesto citiamo solo un importanterisultato. Dalla (10.13) si ricava che la velocità u del flusso consistente con undato gradiente di pressione deve essere perpendicolare alla direzione del gradi-ente stesso. Ciò significa che quando in atmosfera si crea una regione di bassapressione, i venti non si sviluppano verso tale regione, ma nella direzione per-pendicolare, aggirandola con la formazione di vortici ciclonici.

10.2.2 Vorticità in sistemi rotanti

Consideriamo un fluido ideale incompressibile per il quale la (10.8) con ω =∇× u diventa:

∂u

∂t− u× ω = −∇

µp

ρ+1

2u2 +Φ− 1

2|Ω× r|2

¶−2Ω× u . (10.14)

Prendendone il rotore si ottiene:

∂ω

∂t=∇× (u× ω) +∇× (u× 2Ω) (10.15)

e, per Ω costante nel tempo,

∂ω

∂t(ω+2Ω) =∇× [u× (ω+2Ω)] (10.16)

10.2. EQUAZIONI IDRODINAMICHE IN SISTEMI ROTANTI 143

Fig. 10.1: Allargamento di un volumetto di fluido in un sistema rotante

che ha la forma del teorema della vorticità di Kelvin nella quantità (ω+2Ω).Pertanto in analogia alla (4.53) possiamo scrivere:

d

dt

ZS

(ω+2Ω) · dS = 0 (10.17)

La (10.16) è quindi la generalizzazione di quel teorema al caso di sistemi rotanti,che va sotto il nome di teorema di Bjerken (1937).Si può comprendere come si formino naturalmente vortici in sistemi rotanti

con riferimento alla Fig. 10.1. Si consideri un volumetto di fluido nel sistemarotante (a) e si supponga che nel moto venga strizzato ed allargato in uno stratopiù sottile (b): pertanto il flusso

RSΩ · dS crescerà. Anche nel caso che non ci

sia inizialmente vorticità nel sistema, la (10.17) indica che si deve creare unavorticità ω di segno opposto a quella di Ω.

10.2.3 Teorema di Taylor-Proudman

Nel caso di flusso stazionario osservato nel sistema rotante la (10.16) comporta:

∇× [u× (ω+2Ω)] = 0 (10.18)

e in assenza di vorticità nel sistema si ha:

∇× (u×Ω) = 0

ossia(Ω ·∇)u = 0 (10.19)

che indica come la velocità del flusso non cambi lungo la direzione del vettorevelocità angolare. Ciò significa che flussi stazionari lenti in sistemi rotanti ten-dono ad essere invarianti parallelamente all’asse di rotazione; questo risultato èchiamato teorema di Taylor-Proudman (1916). Un’applicazione di tale princi-pio si ha nello studio di un fluido a bassa viscosità come l’acqua contenuto in

144 CAPITOLO 10. ROTAZIONE IN IDRODINAMICA

Fig. 10.2: Colonna di Taylor-Proudman generata in un fluido rotante da unostacolo sferico al fondo del recipiente

un recipiente rotante intorno al proprio asse di simmetria con un oggetto solidofissato al fondo. In condizioni stazionarie l’acqua ruota come un corpo rigidosolidale con il recipiente; qualora si aumenti la velocità angolare del recipientein modo discontinuo, l’acqua impiegherà un certo tempo prima di adattarsi allanuova velocità a causa della bassa viscosità. In particolare si creerà una per-turbazione del flusso intorno all’ostacolo fissato al fondo del recipiente. Comeprevisto dal teorema ora dimostrato, la perturbazione del flusso sarà visibile sututto il corpo del fluido anche a quote diverse (Fig. 10.2).

10.3 Masse rotanti autogravitanti

Consideriamo un fluido incompressibile autogravitante di densità costante ρ;in assenza di rotazione la configurazione di equilibrio sarà, per questioni disimmetria, sferica. Quando il sistema venga dotato di momento angolare cisi aspetta che la struttura sferica si schiacci ai poli dell’asse di rotazione. Ilcalcolo dello schiacciamento può essere effettuato con una certa facilità se siassume che la viscosità permetta una rotazione praticamente rigida in modo dapoter individuare il sistema rotante in cui tutto il fluido sia a riposo:

∇µp

ρ+1

2u2 +Φ− 1

2|Ω× r|2

¶= 0

per cui:p

ρ+1

2u2 +Φ− 1

2|Ω× r|2 = costante . (10.20)

10.3. MASSE ROTANTI AUTOGRAVITANTI 145

Sulla superficie esterna la pressione può essere considerata nulla. Identificandol’asse di rotazione con l’asse z, si ha dunque sulla superficie esterna:

Φ− 12Ω2¡x2 + y2

¢= costante . (10.21)

Calcoliamo quale debba essere il campo gravitazionale di una struttura el-lissoidale, forma a cui mostreremo poi si adatta il nostro sistema fisico. Unellissoide di densità costante ha una superficie di contorno data dall’equazione:

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1 (10.22)

e il suo potenziale interno è (vedasi ad esempio Chandrasekhar, Ellipsoid Figuresof Equilibrium,1969)

Φ = πGρ¡α0x

2 + β0y2 + γ0z

2 − χ0¢

(10.23)

dove

α0 = abc

Z ∞0

dλ

(a2 + λ)∆β0 = abc

Z ∞0

dλ

(b2 + λ)∆(10.24)

γ0 = abc

Z ∞0

dλ

(c2 + λ)∆χ0 = abc

Z ∞0

dλ

∆(10.25)

∆ =£¡a2 + λ

¢ ¡b2 + λ

¢ ¡c2 + λ

¢¤1/2. (10.26)

Sostituiamo la forma del potenziale nella (10.21) e verifichiamo in qualecondizione possa soddisfarla alla superficie dell’ellissoide (10.22):µ

α0 −Ω2

2πGρ

¶x2 +

µβ0 −

Ω2

2πGρ

¶y2 + γ0z

2 = costante . (10.27)

La condizione è ovviamente che i coefficienti della (10.22) e (10.27) siano pro-porzionali: µ

α0 −Ω2

2πGρ

¶a2 =

µβ0 −

Ω2

2πGρ

¶b2 = γ0c

2 . (10.28)

10.3.1 Sferoidi di Maclaurin

Cerchiamo una soluzione del tipo ellissoide di rotazione schiacciato, general-mente chiamato sferoide:

a = b > c (10.29)

con eccentricità

e2 = 1− c2

a2. (10.30)

146 CAPITOLO 10. ROTAZIONE IN IDRODINAMICA

Maclaurin calcolò nel 1740 le espressioni per il potenziale gravitazionale:

α0 = β0 =

¡1− e2

¢1/2e3

arcsin e− 1− e2

e2(10.31)

γ0 =2

e2

∙1−

¡1− e2

¢1/2 arcsin ee2

¸(10.32)

Ω2

πGρ=

2¡1− e2

¢1/2e3

¡3− 2e2

¢arcsin e− 6

e2¡1− e2

¢. (10.33)

Quando un fluido di densità ρ è posto in rotazione a velocità angolare Ω assumeuna struttura sferoidale con l’eccentricità e data dalla (10.33), che è graficamenterappresentata in Fig. 10.3. Naturalmente la struttura è sferica (e = 0) perΩ = 0, e poi la sua eccentricità cresce al crescere di Ω. Tuttavia raggiunge unmassimo a e = 0.930 per poi riprendere a decrescere. Per chiarire questo fattooccorre passare ad una discussione del momento angolare, la cui espressione è:

J =2

5Ma2Ω (10.34)

conM =

4

3πρa2c =

4

3πρa3

¡1− e2

¢1/2. (10.35)

La forma adimensionale del momento angolare

J =Jh

GM3 (a2c)1/3i1/2 =

√3

5

³ac

´2/3µ Ω2πGρ

¶1/2(10.36)

può essere scritta in funzione della sola eccentricità: ne mostriamo l’andamentoin Fig. 10.4. Si deriva quindi che l’eccenrticità cresce sempre con il momento an-golare. Il fatto che l’andamento sia invece diverso rispetto alla velocità angolaredipende dal gioco tra eccentricità e momento d’inerzia.

10.3.2 Ellissoidi di Jacobi

Nel 1834 Jabobi dimostrò la possibilità, in certe condizioni, dell’esistenza disoluzioni delle (10.28) per ellissoidi a tre assi diseguali. Eliminando il terminein Ω, si ottiene:

(α0 − β0) a2b2 − γ0c

2¡a2 − b2

¢= 0 (10.37)

e, sostituendo le espressioni per gli integrali α0, β0, γ0:¡a2 − b2

¢ Z ∞0

∙a2b2

(a2 + λ) (b2 + λ)− c2

c2 + λ

¸dλ

∆= 0 . (10.38)

Il calcolo per individuare soluzioni con a, b, c reali è piuttosto complicato. Ilpunto importante da menzionare è che solo per J > 0.304 sono possibili soluzioniper ellissoidi di Jacobi, in aggiunta agli sferoidi di Maclaurin. Per momenti

10.3. MASSE ROTANTI AUTOGRAVITANTI 147

Fig. 10.3: Relazione tra velocità angolare ed eccentricità negli sferodi di Maclau-rin

Fig. 10.4: Relazione tra momento angolare ed eccentricità epr gli sferoidi diMaclaurin

148 CAPITOLO 10. ROTAZIONE IN IDRODINAMICA

angolari più bassi solo sferoidi di Maclaurin sono possibili. Va infine dettoche, nell’intervallo di momento angolare in cui coesistono le due soluzioni, aparità di momento angolare gli ellissoidi di Jacobi posseggono una minor energiarotazionale degli sferoidi di Maclaurin. Si può quindi pensare che per grandivelocità angolari strutture a simmetria rotazionale possano trasformarsi, condissipazione di energia per viscosità o altra perdita, in ellissoidi triassiali in unasorta di rottura di simmetria. Il problema è peraltro piuttosto complesso inquanto lo studio della stabilità delle soluzioni non è di facile trattazione.Dal punto di vista astrofisico un’applicazione della teoria ora sviluppata è

legata alle stelle di neutroni, che sono strutture autogravitanti di gas degenerea densità costante. Esse si formano nell’esplosione di supernova e sono caratter-izzate da grandi velocità angolari acquisite durante la fase di collasso in cui aduna contrazione del raggio di un fattore ∼ 10−5 corrisponde, per conservazionedel momento angolare, un aumento della velocità angolare di ∼ 1010. Le pulsar,stelle di neutroni radioemettenti, mostrano velocità angolari fino ∼ 103 rad s−1.Questi valori della velocità angolare rappresentano in effetti un limite superioreal di sopra del quale le forze centrifughe distruggerebbero il sistema:

Ω < 0.670pπGρ . (10.39)

È peraltro realistico pensare che le stelle di neutroni nelle prime fasi si com-portino come ellissoidi triassiali di Jacobi. Ciò ha come conseguenza la possibil-ità di emissione di onde gravitazionali, per la quale è richiesto un momento diquadrupolo delle masse rotanti. Col rallentamento della rotazione a seguito diquesta e altre perdite di energia, si giungerebbe a velocità angolari che non con-sentono più soluzioni di Jacobi, e quindi la stella di neutroni transiterebbe versola struttura sferoidale di Mcalurin, con cessazione di emissione di radiazionegravitazionale. Nell’evoluzione delle pulsar le perdite di onde gravitazionali ap-paiono dunque limitate ad una fase iniziale.Non realistico appare invece il collegamento della teoria degli sferoidi ed

ellissoidi di rotazione con l’apparente triassialità dei nuclei di galassie ellittiche,che sono strutture a basso momento angolare. Con ogni verosimiglianza inquesto caso intervengono effetti di anisotropie nella distribuzione di velocitàdelle stelle componenti.

10.4 La rotazione delle stelle e delle galassieLe stelle sono masse gassose e quindi l’ipotesi di incompressibilità è in generenon applicabile, a parte il caso delle stelle degeneri, nane bianche e stelle dineutroni, cui già abbiamo fatto riferimento. Ad esempio la trattazione di dischidi accrescimento e in genere di sistemi con rotazione differenziale sono statitrattati precedentemente senza poter fare la trasformazione ad un riferimentorotante privilegiato.Tuttavia nelle stelle di sequenza principale e nelle giganti la velocità ango-

lare non è particolarmente elevata, e pertanto la correzione centrifuga al poten-ziale gravitazionale e la rotazione differenziale sono relativamente poco impor-

10.5. INSTABILITÀ ROTAZIONALE 149

tanti sulla struttura generale della stella. Si può quindi scrivere l’equazionedell’equilibrio idrostatico in un sistema rotante in cui la stella sia localmente ariposo, aggiungendo quindi soltanto la forza centrifuga:

∇pρ= −∇Φeff (10.40)

il cui rotore porta alla:∇p×∇ρ = 0 . (10.41)

Questa relazione permette di concludere che le linee di equidensità coincidonocon quelle di equipressione, e infine con quelle equipotenziali; se si adotta poil’equazione di gas perfetto, anche le linee di equitemperatura sono parallele alleprecedenti. Essendo queste linee ellissoidali, ne risulta che i gradienti sono piùripidi nella direzione dell’asse di rotazione che nel piano equatoriale. Questofatto ha risvolti immediati anche in relazione alla produzione dell’energia ter-monucleare all’interno della stella, che deve adattarsi al trasporto del caloredefinito dalle caratteristiche idrodinamiche della massa gassosa.Von Zeipel nel 1924 discusse questo punto, senza peraltro fare riferimento alla

specifica fonte di energia (d’altra parte a quel tempo la teoria delle reazioni ter-monucleari non era ancora stata sviluppata), e mostrò che in effetti l’idrostaticae la produzione di energia hanno difficoltà a rendersi compatibili. Eddingtonnel 1925 mostrò quindi la necessità di correnti nei piani meridiani delle stelleche permettono di rendere compatibile il trasporto e la produzione di energia.L’insieme delle correnti meridiane prende il nome di circolazione di Eddington-Sweet (Sweet negli anni 1950 diede una formulazione completa al problema).La rotazione è certamente un fattore importante anche nelle prime fasi di

vita delle stelle, in quanto può modificare sostanzialmente il limite di Jeansrallentando il processo di collasso. In effetti il momento angolare di una stellacome il Sole è molto inferiore a quello contenuto nelle nuvole di gas interstellareda cui le stelle derivano e che è oggetto di misura osservativa. Sono perciò statidiscussi meccanismi per l’estrazione di momento angolare, il più ragionevole deiquali sembra essere legato all’intervento di sforzi magnetici.Per quanto riguarda le galassie, esse sono sostanzialmente insiemi di stelle

con una dinamica che dipende non dalle collisioni, ma dalle forze a lungo raggiogravitazionali. In tal senso l’idrodinamica macroscopica non è applicabile diret-tamente, ma occorre riprendere la discussione a partire dall’equazione di Boltz-mann con le appropriate approssimazioni. Sarà questo oggetto del prossimoCapitolo.

10.5 Instabilità rotazionale

Per concludere questa breve presentazione dei fenomeni idrodinamici nei sis-temi rotanti riprendiamo la discussione sulle instabilità rotazionali con specificoriferimento al caso del flusso rotante di Couette, basato su uno specifico es-perimento di laboratorio che tuttavia ha importanti risvolti per comprendere

150 CAPITOLO 10. ROTAZIONE IN IDRODINAMICA

Fig. 10.5: Geometria dell’esperimento del flusso rotante di Couette

il comportamento dei sistemi in rotazione differenziale, ad esempio i dischi diaccrescimento.Si consideri un fluido viscoso contenuto in un anello tra due cilindri concen-

trici di raggi a1 e a2 che ruotano intorno all’asse comune con velocità angolariΩ1 e Ω2 (Fig. 10.5). Si ricavino la distribuzione di velocità e il momento tor-cente agente sui cilindri. La soluzione del moto può essere ottenuta assumendoche la velocità sia ovunque solo nella direzione azimutale (φ) e che velocità epressione siano indipendenti da φ e da z (coordinate cilindriche).L’equazione di continuità è automaticamente soddisfatta nelle nostre ipotesi:

∂uφ∂φ

= 0 (10.42)

mentre le componenti radiale e azimutale dell’equazione di Navier-Stokes sono:

−ρu2φr= −dp

dr(10.43)

0 = η

µd2uφdr2

+1

r

duφdr− uφ

r2

¶(10.44)

con le condizioni al contorno

uφ = Ω1a1 a r = a1 ; uφ = Ω2a2 a r = a2 . (10.45)

La (10.44) può essere integrata per ottenere uφ e questo usato nella (10.43) perottenere p. La distribuzione della velocità azimutale dipende dunque dagli sforziviscosi, mentre la distribuzione di pressione dipende dalle forze centrifughe. Siha:

uφ = Ar +B

r(10.46)

10.5. INSTABILITÀ ROTAZIONALE 151

con

A =Ω2a

22 − Ω1a21a22 − a21

B =(Ω2 − Ω1) a21a22

a22 − a21. (10.47)

Il momento torcente Σ1 agente sul disco interno (per unità di lunghezza nelladirezione z) è dato dagli sforzi viscosi η [∂ (uφ/r) ∂r]r=a1 , moltiplicati per l’area2πa1 · 1 e per il braccio a1:

Σ1 = 4πηa21a22

(Ω2 − Ω1)a22 − a21

. (10.48)

Analogamente il momento torcente sul cilindro esterno sarà:

Σ2 = −4πηa21a22(Ω2 − Ω1)a22 − a21

. (10.49)

I due momenti sono eguali ed opposti, in accordo con il fatto che il momentoangolare totale del fluido non deve cambiare.La realtà sperimentale contraddice l’ipotesi che il moto sia puramente azimu-

tale; una qualche forma di instabilità crea un complicato schema di moti, alcunidei quali illustrati in Fig. 10.6, con evidenza di formazione di strutture nelladirezione z. Tali strutture sono vortici, le cosiddette celle di Taylor generateda un’instabilità eccitata secondo il criterio di Rayleigh sui sistemi in rotazionedifferenziale. Nelle nostre condizioni, per cilindri che ruotino concordemente, ilcriterio di Rayleigh (10.5) dice che il sistema è instabile per:

Ω1a21 > Ω2a

22 (10.50)

e si può vedere che l’instabilità nasce soprattutto nelle vicinanze del cilindro piùesterno.Studiamo in dettaglio l’instabilità attraverso il metodo perturbativo. Trat-

tiamo il caso in cui il cilindro esterno è fermo Ω2 = 0. Si perturbino in modi diFourier le equazioni idrodinamiche di Navier-Stokes linearizzate:

u0 = U(r) exp [i (mφ+ kz) + σt] (10.51)

p0 = P (r) exp [i (mφ+ kz) + σt] . (10.52)

Studiamo i modi a simmetria assiale, m = 0. Il calcolo è piuttosto lungo; quiriportiamo solo il risultati che σ è sempre reale per cui il modo si amplifica(σ > 0) o decade (σ < 0) esponenzialmente. Esistono vari regimi che sonoidentificati in Fig. 10.7 rappresentando la quantità ξ = k (a2 − a1) in funzionedel numero di Reynolds. Si nota la presenza di un numero di Reynolds criticoRcrit al di sotto del quale il sistema è sempre stabile. Un risultato simile sipresenta anche per i casi m 6= 0. I dati sperimentali sono in ottimo accordo conquesti risultati teorici.Pertanto nel caso dei dischi di accrescimento appare importante non solo

studiare la componente azimutale e radiale del moto. Un forte effetto di insta-bilità che potrebbe sottrarre momento angolare al sistema sono proprio le celleconvettive di Taylor nella direzione dell’asse z.

152 CAPITOLO 10. ROTAZIONE IN IDRODINAMICA

Fig. 10.6: Esperimenti sullo sviluppo di instabilità nel flusso rotante di Couette

Fig. 10.7: Linee di instabilità marginale nei flussi rotanti di Couette