CAPITOLO 1 - Zanichelli

TEORIA

T

1

CAPITOLO 1DIVISIONE FRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORILa piazza dei Romani

Le antiche città romane potevano avere una forma rettangolare

oppure irregolare, e una loro caratteristica ricorrente era la presenza

del foro (in latino forum), la piazza su cui si affacciavano i principali

edifici pubblici e in cui si svolgevano gli affari.

Luogo cardine della vita pubblica, il foro sorgeva in corrispondenza

dell’intersezione tra due strade principali, il cardo maximus e il

decumanus maximus, perpendicolari tra loro.

A Brescia, un tempo Brixia, possiamo ammirare ancora oggi un foro

romano del I secolo d.C. (nella foto a fianco, un particolare).

Possiamo determinare le dimensioni del foro in un modello

di città a pianta rettangolare utilizzando le scomposizioni di

polinomi?

Divisione fra polinomiL’operazione di divisione fra polinomi presenta molte analogie con la divisione fra numeri naturali. Nell’insieme dei numeri naturali la divisione è possibile se il dividendo è un multiplo del divisore; si dice allora che il dividendo è divisibile per il divisore.6 è divisibile per 3 perché 3 $ 2 dà come prodotto 6. Come procediamo per i polinomi?

DEFINIZIONE

Un polinomio A è divisibile per un polinomio B non nullo se esiste un poli-nomio Q che, moltiplicato per B, dà come prodotto A.

A : B = Q " B $ Q = A.

A è il dividendo, B il divisore, Q il quoziente.

Ý ESEMPIO

A = x4 - 9x2 è divisibile per B = x + 3.

Infatti, esiste il polinomio Q = x3 - 3x2 tale che

( ) ( )x x x xx3 3 9 243 2$ =+ - - .

B Q A

1

Listen to it

A polynomial A is divisible

by a polynomial B, that is

different from zero, if there

exists a polynomial Q such

that A equals B times Q.

→ La risposta a pag. 9

Scarica la app

GUARDA!e inquadrami

5 Video

1 Listen to it

1 Pdf di approfondimento

TEORIA

T

Divisione fra polinomi e scomposizione in fattoriCAPITOLO 1

2

Il grado del polinomio quoziente

Sappiamo che il grado di B $ Q è la somma del grado di B e del grado di Q: dunque, poiché B $ Q = A, se A è di grado n e B è di grado p, il grado di Q deve essere n - p, con n $ p.

Nell’esempio precedente, A è di grado 4, B di grado 1, Q di grado 4 - 1 = 3.

Se il divisore è un monomio

DEFINIZIONE

Un polinomio è divisibile per un monomio non nullo se ogni suo termine è divisibile per tale monomio.

Quando un polinomio è divisibile per un monomio, il quoziente è il polinomio che otteniamo applicando la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizio-ne: dividiamo ciascun termine del polinomio per il monomio.

› ESEMPIO

( ) : ( ) : :a a a a a a a a a5 6 2 5 2 6 2 25

36 4 2 6 2 4 2 4 2- = - = -

Se il divisore è un polinomio

Nell’insieme dei numeri naturali, possiamo sempre eseguire la divisione con resto fra due numeri anche se uno non è divisibile per l’altro.

14

2 3

4 a

r q

bdivisoredividendo

resto quoziente

214 34 $= + q ra b $= +

Succede la stessa cosa nei polinomi, dove si può dimostrare il seguente teorema.

TEOREMA

Dati i polinomi A e B in una sola variabile, con B non nullo e grado di B # grado di A, esistono sempre e soltanto due polinomi Q e R tali che:

A B Q R$= + ,

con grado di R 1 grado di B e grado di Q = grado di A - grado di B.Q è il polinomio quoziente e R il polinomio resto.

Il grado di Q è la differenza fra il grado di A e il grado di B; il grado di R è minore del grado di B.

Nel caso particolare in cui R = 0, si ha

A = B $ Q ,

ossia A è divisibile per B. In questo caso diciamo che A è scomposto nei fattori B e Q.

Vediamo con un esempio la tecnica per eseguire la divisione tra due polinomi.

PROVA SUBITO

› Spiega perché a a 12+ +

non è divisibile per a3.

→ Esercizi a p. 16

PROVA SUBITO

› Dividi, quando è possibile,

il polinomio xy x y5 25 3 7- per

ciascuno dei seguenti

monomi:

; ;x xy y6- . → Esercizi a p. 17

TEORIA

T

Divisione fra polinomi PARAGRAFO 1

3

Ý ESEMPIO

Dividiamo A = 13x 2 + 6x 3 + 6 + 5x per B = 2 - x + 3x 2.Per eseguire la divisione, ordiniamo A e B secondo le potenze decrescenti della variabile: (6x 3 + 13x 2 + 5x + 6) : (3x 2 - x + 2).

6x3 + 13x2 + 5x + 6

2x

primo termine

del quoziente

3x2 – x + 2

dividendo

divisore

1. Dividiamo il primo termine del dividendo per il primo del divisore:

( ) : ( ) .xx x6 3 23 2=

Scriviamo il risultato nella riga del quoziente.

6x3 + 13x2 + 5x + 6

–6x3 + 2x2 – 4x 2x

3x2 – x + 22. Moltiplichiamo il primo termine del quoziente per il divisore,

cambiando di segno:

( ) .x x xx x x2 3 2 6 2 42 3 2$- - + =- + -

Scriviamo il risultato sotto al dividendo, incolonnando i termini di grado uguale.

6x3 + 13x2 + 5x + 6

–6x3 + 2x2 – 4x

+ 15x2 + x + 6

2x

resto parziale

3x2 – x + 23. Sommiamo algebricamente:

( ) ( ) .xxx x xx x x 46 13 5 6 6 2 15 63 23 2 2+ + + + - + - =+ + +

Il risultato è il resto parziale.

6x3 + 13x2 + 5x + 6

–6x3 + 2x2 – 4x

+ 15x2 + x + 6

2x + 5

secondo termine

del quoziente

3x2 – x + 24. Ripetiamo la procedura del punto 1:

( ) : ( ) .x x15 3 52 2=

Il risultato è il secondo termine del quoziente.

6x3 + 13x2 + 5x + 6

–6x3 + 2x2 – 4x

+ 15x2 + x + 6

– 15x2 + 5x – 10

2x + 5

3x2 – x + 25. Ripetiamo la procedura del punto 2:

( ) .xxx x5 3 2 15 5 102 2$- - + =- + -

6x3 + 13x2 + 5x + 6

–6x3 + 2x2 – 4x

+ 15x2 + x + 6

– 15x2 + 5x – 10

+6x – 4

2x + 5

3x2 – x + 2

resto

quoziente

6. Sommiamo algebricamente:

( ) ( ) .xx x x x15 6 15 5 10 6 42 2+ + + + - + - =+ -

Il grado di x6 4- è minore di quello del divisore x x3 22- + , quin-

di abbiamo terminato (se il grado fosse stato maggiore o uguale, avremmo ripetuto ancora le procedure dei punti 1, 2 e 3). Il quoziente è .xQ 2 5= + Il resto è .R x6 4= -

Per la verifica del risultato, utilizziamo: B Q R A$ + = .

TEORIA

T


4

( ) ( ) ( )x x x x x x x x x x3 2 2 5 6 4 6 15 2 5 4 10 6 42 3 2 2$- + + + - = + - - + + + - =

x x x56 13 63 2+ + + .

L’uguaglianza è verificata, quindi i polinomi Q e R trovati sono giusti.

Come abbiamo visto, se il dividendo o il divisore non sono polinomi ordinati, prima di costruire lo schema dobbiamo ordinarli secondo le potenze decrescenti della variabile. Quando poi il dividendo non è un polinomio completo, lasciamo uno spazio vuoto per i termini mancanti.

› ESEMPIO

Eseguiamo la divisione

( ) : ( )x x4 9 22- + ,

dove:

• il dividendo è ordinato ma non è completo;

• il divisore non è ordinato.

Regola di Ruffini

Se nella divisione A : B di due polinomi il divisore B è un binomio del tipo x - a, dove a è un numero qualunque, si possono calcolare più velocemente il quoziente Q e il resto R con una regola che usa soltanto i coefficienti numerici, detta regola di Ruffini.

› ESEMPIO

Eseguiamo la divisione (1 - 5x2 - 4x + 2x3) : (x - 3).

La regola di Ruffini

Scriviamo i polinomi in ordine decrescente rispetto alle potenze della x:

(2x3 - 5x2 - 4x + 1) : (x - 3).

Applichiamo la regola di Ruffini.

1. Costruiamo lo schema.

2

3

5 4 1

coefficienti del dividendo

opposto del termine

noto del divisore

spazio per i coefficienti

del quoziente

spazioper

il resto

2. Abbassiamo il 2.

2

2

5 4 1

3

3. Calcoliamo il prodotto 2 . 3 e lo incolonniamo con -5.

2

2

3 6

5 4 1

B Q R

A

PROVA SUBITO

› Determina quoziente e

resto di

:a a a2 23+ +^ ^h h

tenendo conto che il divi-

dendo non è un polinomio

completo: nello schema devi

scriverlo con spazi vuoti per

le potenze mancanti.

Esegui poi la verifica.

Animazione

nell’ebook

– 94x2

–4x2 – 8x

– 8x – 9

8x + 16

7

4x – 8

x + 2

R

Q

divisoreordinato

spazio per i termini con x

2 → Esercizi a p. 20

PROVA SUBITO

› Stabilisci quali, fra le

seguenti divisioni, possono

essere eseguite con la

regola di Ruffini.

a. ( ) : ( )x x x3 1 12 2- + -

b. ( ) :x xx 2212 3

- + - +b lc. ( ) : ( )x x x34 2

- -

d. ( ) : ( )x x x2 3 32+ - -

TEORIA

T

Teorema del resto e teorema di Ruffini PARAGRAFO 3

5

4. Sommiamo: 5 6 1- + = .

2

2 1

+

3 6

5 4 1

5. Ripetiamo il procedimento: ( )14 3 1$- + =- .

2

2 1

+

3 6 3

4

1

15

6. Ripetiamo ancora il procedi-mento: ( )1 1 3 2$+ + - =- .

2

2 1

+

3 6 3 3

5 4

1 2

1

I coefficienti del quoziente sono 2, 1, 1- . Il dividendo ha grado 3 e il divisore ha grado 1, quindi il quoziente ha grado 3 1 2- = .

Il quoziente è Q x x2 12= + - e il resto è R 2=- .

Se il polinomio dividendo è incompleto, è necessario inserire uno zero al posto di ciascuno dei coefficienti dei termini mancanti. Per esempio, per il polinomio dividendo x x3 64 2

- + , i coefficienti da disporre in riga sono 3, 0, 1- , 0, 6.

Se il divisore è del tipo x a+ , scriviamo ( )x a x a+ = - - , in modo da poter co-munque applicare la regola di Ruffini.Negli esercizi troverai anche casi in cui il divisore è del tipo ( )ax b- .

La regola di Ruffini e il procedimento visto della divisione in colonna hanno gli stessi passaggi chiave, tuttavia la regola di Ruffini evita di riportare lettere e numeri che non sono necessari al calcolo, ottimizzando così lo schema.

› ESEMPIO

Eseguiamo la divisione ( ) : ( )x x x10 24 92- - - con i due metodi.

x x 104 92- - x 2-

x x4 82- + x 14 -

x 10- -

x 2-

12-

4 9- 10-

2 8 2-

4 1- 12-

Teorema del resto e teorema di Ruffini

Teorema del resto

Consideriamo ancora la divisione (4x 2 - 9x - 10) : (x - 2), il cui resto è - 12.

Verifichiamo che - 12 si ottiene anche mettendo 2, cioè l’opposto del termine noto del divisore, al posto di x nel polinomio dividendo:

4(2)2 - 9(2) - 10 = - 12.

PROVA SUBITO

› Esegui con la regola di

Ruffini

.:x x x x31

2 6 35 3 2- - - -b ^l h

Animazionenell’ebook

PROVA SUBITO

› Esegui la divisione

( ) : ( )x x x5 3 2 12 3- + -

con i due metodi.

Video

L’economia della regola

di Ruffini

La regola di Ruffini sintetizza

il procedimento visto nel

paragrafo precedente.

Esegui la divisione

:x x x x3 9 2 10 34 3 2- + - -^ ^h h

con i due metodi che

conosci.

Confrontali e, in particolare,

individua nei due schemi gli

stessi coefficienti.

3→ Esercizi a p. 25

TEORIA

T


6

In generale, vale il seguente teorema.

TEOREMA

Teorema del resto

Nella divisione tra polinomi A(x) : (x - a), il resto è dato dal valore che assume A(x) quando alla variabile x si sostituisce il valore a:

R = A(a).

› DIMOSTRAZIONE

Se la divisione A(x) : (x - a), ha quoziente Q(x) e resto R, possiamo scrivere:

A(x) = (x - a)Q(x) + R.

Sostituendo a x il valore a sia nel primo membro sia nel secondo, otteniamo:

A(a) = (a - a)Q(a) + R.

Essendo a - a = 0, il prodotto (a - a)Q(a) si annulla, quindi:

A(a) = R.

Il teorema è utile perché permette di calcolare il resto senza eseguire la divisione.Osserviamo inoltre che, nel teorema, se il divisore è x - a, nel polinomio A(x) sostituiamo a x il valore di a, cioè l’opposto del termine noto di x - a.Per esempio, se il divisore è x - 3, il valore di a da sostituire con x è 3; se il divisore è x + 2, allora a = - 2.

› ESEMPIO

Calcoliamo il resto della divisione (- x 4 + 3x 2 - 5) : (x + 2).

Poiché x + 2 = x - (- 2), abbiamo che R = A(- 2):

R = - (- 2) 4 + 3(- 2) 2 - 5 = - 9.

Teorema di Ruffini

Come possiamo utilizzare il teorema del resto per stabilire se un polinomio è divi-sibile per un binomio del tipo x a- , senza eseguire la divisione?

Esaminiamo il seguente ragionamento.

Se il polinomio A(x) = x 3 + 2x 2 - 13x + 10 è divisibile per x + 5, allora la divi-sione (x 3 + 2x 2 - 13x + 10) : (x + 5) dà resto 0; quindi, per il teorema del resto, A(- 5) = 0.

Il ragionamento è invertibile.

Dato il polinomio A(x) = x 3 + 2x 2 - 13x + 10, se A(- 5) = 0, allora la divisione (x 3 + 2x 2 - 13x + 10) : (x + 5) dà resto 0, per il teorema del resto; quindi il poli-nomio x 3 + 2x 2 - 13x + 10 è divisibile per x + 5.

In generale, vale il seguente teorema.

TEOREMA

Teorema di Ruffini

Un polinomio A(x) è divisibile per un binomio x - a se e soltanto se A(a) è uguale a 0.

A(x)è divisibileper x – a

A(a) = 0se e solo se

PROVA SUBITO

› Calcola il resto senza ese-

guire le divisioni:

:b b b3 6 16 3+ - -^ ^h h;

:x x x4 9 32- + +^ ^h h.

TEORIA

T

PARAGRAFO 4

7

Scomposizione in fattori

Il teorema serve dunque per stabilire se c’è la divisibilità senza eseguire la divisione.

› ESEMPIO

Il polinomio A(x) = 2x3 + x2 - 5x + 2 è divisibile sia per x - 1 sia per x + 2. Infatti:

A(1) = 2 + 1 - 5 + 2 = 0;

A(- 2) = 2(- 8) + 4 - 5(- 2) + 2 = - 16 + 4 + 10 + 2 = 0.


Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo come prodotto di altri poli-nomi di grado inferiore.

› ESEMPIO

x 4 - 1 = (x2 - 1)(x2 + 1).

(x2 - 1) può essere ancora scomposto in (x + 1)(x - 1). Quindi:

x 4 - 1 = (x + 1)(x - 1)(x2 + 1).

DEFINIZIONE

Un polinomio è riducibile quando può essere scomposto nel prodotto di po-linomi, tutti di grado minore.Un polinomio non riducibile si chiama irriducibile.

› ESEMPIO

x2 - 2x + 1 è riducibile. Infatti:

x2 - 2x + 1 = (x - 1)(x - 1) = (x - 1)2.

In generale, non è semplice stabilire quando un polinomio è irriducibile. Per il momento osserviamo solo che tutti i binomi di primo grado sono irriducibili. Per esempio, x 8- è irriducibile.

Possiamo fare un’analogia fra i polinomi irriducibili e i numeri primi: come la scomposizione di un numero naturale in fattori primi è unica (a meno dell’ordine), così anche la scomposizione di un polinomio in polinomi irriducibili è unica (a meno dell’ordine).

Raccoglimento totale

Esaminiamo un metodo di scomposizione basato sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione:

( )A B A C A B C$ $+ = + .

Se in tutti i termini di un polinomio è contenuto uno stesso fattore, lo mettiamo in evidenza con un raccoglimento totale a fattore comune.

› ESEMPIO

Scomponiamo a a a4 8 66 5 4- + .

Il fattore comune a tutti i termini è a2 4 , che è il MCD dei tre monomi.

( )a a a a a a a a a a a4 8 2 2 4 2 2 2 2 46 3 36 5 4 2 4 4 4 4 2$ $ $- + = - + = - +

mettiamo in evidenza 2a4⤻

raccogliamo 2a4

⤻

PROVA SUBITO

› Stabilisci se il polinomio

x x5 44 2- + è divisibile per

x 2- , x 1+ , x 3- .

4


TEORIA

T


8

Scomponiamo x x x5 2 22+ - +^ ^h h.

( ) ( ) ( )( )x x x x x5 2 2 2 52 2+ - + = + - .

raccogliamo x + 2⤻

Raccoglimento parziale

Il raccoglimento parziale avviene in due fasi: prima si raccolgono fattori comuni soltanto a parti del polinomio, poi si raccoglie un fattore comune alle diverse parti.

› ESEMPIO

x2 + 3xy + 2x + 6y = x(x + 3y) + 2(x + 3y) = (x + 3y) (x + 2).

Il metodo che abbiamo applicato percorre in verso contrario i passaggi che utiliz-ziamo nella moltiplicazione di due polinomi.

Osserviamo che si può effettuare il raccoglimento in un altro modo, ottenendo lo stesso risultato.

› ESEMPIO

x2 + 3xy + 2x + 6y = x(x + 2) + 3y (x + 2) = (x + 2) (x + 3y)

Trinomio speciale

› ESEMPIO

Scomponiamo in fattori x x7 122+ + , osservando che 7 4 3= + e 12 4 3$= .

x x x x x 3312 47 42 2$+ + = + + + = raccogliamo parzialmente x nei primi

due termini e 3 negli altri due

⤻

( ) ( )x x x4 3 4+ + + = raccogliamo x + 4 ⤻

( ) ( )x x 34+ +

In generale, è vero che un trinomio di secondo grado del tipo x 2 + sx + p è scom-ponibile nel prodotto (x + a)(x + b) se s = a + b e p = ab:

x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b).

Per la ricerca di a e b ci limitiamo ai numeri interi.

› ESEMPIO

Scomponiamo in fattori y y2 152+ - .

Cerchiamo due numeri che abbiano prodotto 15- e somma 2+ .

Tutte le coppie di numeri interi che hanno prodotto 15- sono:

- 5, + 3; + 5, - 3; - 15, + 1; + 15, - 1.

L’unica coppia che ha somma 2+ è 5+^ h e 3-^ h. Quindi:

( ) ( )y y y y y y y y y y2 15 5 3 5 3 5 3 5 5 32 2$+ - = + - - = + - + = + -^ ^h h.

Vediamo ora come la tecnica di scomposizione del trinomio speciale può aiutarci in un problema che si risolve con un’equazione di grado superiore al primo.

PROVA SUBITO

› Scomponi in fattori

mediante raccoglimento

totale.

• x y xy2 42 2 3- ;

• x x y x y3 6 2+ - +^ ^h h .


PROVA SUBITO

› Scomponi in fattori

tramite raccoglimento par-

ziale.

• a x a x8 82 2+ + + ;

• ;xy x bx y y by3 32+ + + + +

• ( )a b a b3 2 22- + - .


Video


del trinomio speciale

Guarda nel video come

scomporre in fattori i

seguenti polinomi:

x x 122+ - ;

x x2 102- - .

PROVA SUBITO

› Scomponi in fattori:

x x 562- - ;

a a9 202+ + .

TEORIA

T

PARAGRAFO 4

9


PROBLEMI E SPUNTI DI RICERCA

Il foro al centro

8

x + 2

forox7Un modello ricorrente per le piante di diverse città romane è quello in figu-ra, riconoscibile ancora oggi in alcuni centri storici. Lo schema prevede una pianta rettangolare con il foro, anch’esso di forma rettangolare, in posizione centrale.

Se nello schema le misure sono in ettometri (hm), quali devono essere le dimensioni del foro affinché l’area rimanente della città sia di 53 hm2?

L’area totale della città è 7 8 56 hm2$ = .

L’area del foro si ottiene sottraendo :53 56 53 3- = .Esprimiamo l’area del foro in funzione di x:

( )x x x x2 22+ = + .

Uguagliamo le due espressioni e otteniamo l’equazione risolvente:

x x x x2 3 2 3 02 2"+ = + - = .

L’equazione è di grado superiore al primo. Per risoverla, scomponiamo il trinomio in fattori di primo grado con la tecnica del trinomio speciale.

( ) ( ) ( )( )x x x x x x x x x x2 3 3 3 1 3 1 1 32 2+ - = - + - = - + - = - +

s = - 1 + 3;

p = (-1) $ 3

⤻raccogliamo x - 1

⤻

Risolviamo l’equazione con la legge di annullamento del prodotto:

( )( )x x x x x x1 3 0 1 0 3 0 1 3" "0 0- + = - = + = = =- .

legge di annullamento del prodotto⤻

La soluzione x 3=- non è accettabile perché x è una misura di lunghezza.Le dimensioni del foro sono quindi 1 hm e 3 hm.

Da Ariminum ad Augusta Praetoria ▶ STORIA

Nella foto a lato, puoi osservare l’iscrizione che si trova in piazza Tre Martiri, a Rimini (in latino Ariminum), che recita:

«C(aius) Caesar / dict(ator) / Rubicone / superato / civili bel(lo) /commilit(ones) / suos hic / in foro Ar(imini) / adlocut(us est)».

La potremmo tradurre liberamente con:

«Il dittatore Cesare, attraversato il Rubicone, tenne qui, nel foro di Rimi-ni, un discorso ai suoi commilitoni durante la guerra civile».

Il cippo che reca l’iscrizione è noto come Suggestum Caesaris e, pur essendo successivo all’epoca romana, testimonia l’importanza che aveva il foro in quel tempo.

Ariminum era caratterizzata da una pianta di forma irregolare, con il foro in posizione quasi centrale, all’incrocio tra cardo e decumanus maximi. Analizza altri esempi di città romane, come Luca (Lucca), Julia Augusta Taurinorum (Torino) e Augusta Praetoria (Aosta).

raccoglimento parziale

⤺

p

s

Suggestum Caesaris, particolare, Rimini.

TEORIA

T


10

Scomposizioni con prodotti notevoli

Ognuna delle seguenti uguaglianze si verifica calcolando il prodotto notevole che si trova nel secondo membro e fornisce una regola di scomposizione in fattori.

A2 - B2 = (A + B)(A - B);

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2;

A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC = (A + B + C)2;

A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3.

› ESEMPIO

25a 2 - b6 = (5a)2 - (b3)2 = (5a + b3)(5a - b3)

riconosciamo

A2 - B2

⤻scomponiamo con

(A + B) (A - B)

⤻

9x 4 - 6x 2y + y 2 = (3x 2)2 - 2 $ 3x 2 $ y + y 2 = (3x 2 - y)2

riconosciamo

A2 + 2AB + B2

⤻scriviamo il quadrato del binomio

⤻

› ESEMPIO

Scomposizione in legno

Giacomo ha tagliato dei blocchetti di legno colo‑ rati, quadrati o rettango‑lari, per realizzare un gio‑co didattico sulle scom‑posizioni in fattori, basa‑to su modelli geometrici. Con i blocchetti della figura a si può ottenere la scomposizione in fattori re‑lativa al quadrato di un binomio.

Se disponiamo i blocchetti come nella figura b, ot‑teniamo un quadrato di lato ( )x 1+ . La sua area è

( )( ) ( )x x x1 1 1 2+ + = + ,

mentre le aree dei blocchetti sono:

blocchetto azzurro blocchetto verde

x2, xx 1$ = ,

1 1 1$ = .

blocchetto rosso

Quindi l’area del quadrato è anche:

( )x x x2 11 22+ + = + .

Allora è vero che ( )x x x2 1 12 2+ + = + .

Scomposizione con il metodo di Ruffini

Il teorema di Ruffini permette spesso di scomporre in fattori un polinomio. Con‑sideriamo un polinomio A x^ h. Sappiamo che, se A a 0=^ h , allora il polinomio è divisibile per x a- .


PROVA SUBITO


a. x xy y425

10 42 2- + ;

b. a a b b41

4 164 2 2 4+ + ;

c. x x9 162- + - ;

d. .a b x x a b4 42 2- + + -^ ^h h


x

1

1 1

x

a

x

x 1

x

1

x

1

x 1

x 1

b

Video

Scomposizione con

prodotti notevoli

Scomponi in fattori.

a. a y ay y36 48 162 4 3 2- +

b. x z81 4 4-

PROVA SUBITO

› Scomponi in fattori.

a. a a a8 12 6 19 6 3+ + + ;

b. x x x9 27 273 2- + - .



TEORIA

T

Scomposizione in fattori PARAGRAFO 4

11

Eseguendo la divisione A(x) : (x - a), otteniamo il polinomio quoziente Q(x) e, poiché il resto è 0, scriviamo A(x) come prodotto di due fattori:

A(x) = (x - a) Q(x).

› ESEMPIO

A x x x x2 5 5 63 2= - + -^ h ha valore 0 per x = 2, cioè 2 è uno zero di A perché

A 2 2 8 5 4 5 2 6 0$ $ $= - + - =^ h ,

quindi A x^ h è divisibile per x - 2.

Calcoliamo il quoziente con la regola di Ruffini.

2 - 5 5 - 6

2 4 - 2 6

2 - 1 3 0

Q(x) = 2x2 - x + 3

(2x 3 - 5x 2 + 5x - 6) : (x - 2) = 2x 2 - x + 3

Quindi:

2x 3 - 5x 2 + 5x - 6 = (x - 2)(2x 2 - x + 3).

Dunque, se troviamo uno zero a di un polinomio A(x), cioè un valore a tale che A(a) = 0, sappiamo anche scomporre il polinomio di partenza nel prodotto di due fattori.Ma come trovare gli zeri di un polinomio? Per farlo può essere utile considerare la seguente regola.

Zeri interi di un polinomio

Se un numero intero annulla un polinomio a coefficienti interi, allora esso è divisore del termine noto.

Dalla regola possiamo dedurre un metodo per la ricerca degli zeri interi di un polinomio: se esistono, essi sono fra i divisori del termine noto.

› ESEMPIO

Consideriamo il polinomio ( )P x x x x 24 5 73 2= - - + .

I suoi zeri interi sono da cercare fra i divisori del termine noto 2: 1! , 2! . Calcoliamo:

( )P 1 6=- ; ( )P 1 0- = ; ( )P 2 0= ; ( )P 2 36- =- .

Gli zeri interi di P(x) sono 1- e 2.

È possibile anche cercare gli zeri tra i numeri razionali.

Zeri razionali di un polinomio

Tutti gli zeri razionali di un polinomio a coefficienti interi sono tra le frazio-

ni nm! , dove m è divisore del termine noto e n è divisore del coefficiente

del termine di grado massimo.

Video

Scomposizione mediante

il teorema di Ruffini

Guarda nel video come

scomporre in fattori con il

metodo di Ruffini il polino-

mio

x x x6 3 103 2- ++ .

PROVA SUBITO

› Scomponi in fattori con il

metodo di Ruffini.

x x x3 4 5 23 2- - +


TEORIA

T


12

Nel polinomio ( )A x x x5 42= - - le frazioni da considerare sono:

, , , , ,51

52

54

11

12

14

! ! ! ! ! ! . divisori di -4 ; ;1 2 4|! ! !

divisori di 5 ;1 5|! !

Somma o differenza di cubi

Applichiamo il metodo di Ruffini per scomporre dei binomi che sono somme o differenze di due cubi.

› ESEMPIO

Scomponiamo in fattori P x x 83= +^ h .

I divisori di 8 sono: 1! , 2! , 4! , 8! .Calcoliamo: P 1 9 0!=^ h , P 1 07 !- =^ h , P 02 16 !=^ h , P 02 =-^ h . Quindi 2- è uno zero di P x^ h, perciò possiamo dividere P x^ h per x 2+ .

1 0 0 8

- 2 - 2 4 - 8

" Q(x) = x2 - 2x + 41 - 2 4 0

Abbiamo la scomposizione:

x x x x8 2 2 43 2+ = + - +^ ^h h.

Procedendo in modo analogo, si scompone:

x x x x8 2 2 43 2- = - + +^ ^h h.

In generale valgono le seguenti uguaglianze, verificabili calcolando il prodotto che si trova nel secondo membro.

A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2);

A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2).

Trinomi del tipo AB BA 22- + e A AB B2 2

+ + vengono anche chiamati falsi qua-

drati perché assomigliano a dei quadrati di binomi, ma non lo sono, per la man-canza del doppio prodotto. Si può dimostrare che i trinomi di secondo grado che sono falsi quadrati sono irriducibili.

› ESEMPIO

1. a a a aa a a a1 1 11 1 1 13 3 3 2 2 2$- = - = - + + = - + +^ ^ ^ ^ ^ ^h h h h h h

2. x x x xx8 27 3 3 3 32 2 2 26 3 3 2 22 2 2 2$+ = + = + - + =^ ^ ^ ^h h h h8 B

x x x2 3 4 6 92 4 2+ - +^ ^h h

MCD e mcm di polinomi→ Esercizi a p. 43

DEFINIZIONE

Il massimo comune divisore (MCD) di due o più polinomi è il polinomio di grado massimo che è divisore di tutti i polinomi dati.Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più polinomi è il polinomio di grado minimo che è divisibile per tutti i polinomi dati.

PROVA SUBITO


a. x 164 3+ ;

b. .y125 3-

5

MATEMATICA

E STORIA

› 1729 Salire su un taxi

numero 1729 lascerebbe

indifferenti la maggior

parte delle persone. Ma

per il matematico indiano

Srinivasa Ramanujan un

episodio apparentemente

banale fu l’occasione di

una celebre scoperta…

• Che cosa ha di spe‑

ciale un numero così?

Risposta

TEORIA

T

MCD e mcm di polinomi PARAGRAFO 5

13

Per calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo fra polino-mi, utilizziamo il procedimento già illustrato per i numeri naturali e per i monomi. Come prima cosa bisogna scomporre i polinomi in fattori irriducibili, raccoglien-do anche gli eventuali coefficienti numerici in comune.

Calcolo del MCD

Il MCD fra due o più polinomi è il prodotto dei loro fattori irriducibili comuni, presi una sola volta, con l’esponente minore.

› ESEMPIO

Determiniamo il MCD di

x 2y - xy, x 2y - y, x 3y - 3x 2y + 3xy - y.

Scomponiamo in fattori:

x 2y - xy = xy(x - 1);x 2y - y = y(x 2 - 1) = y(x + 1)(x - 1);x 3y - 3x 2y + 3xy - y = y(x 3 - 3x 2 + 3x - 1) = y(x - 1)3.

Mettiamo in colonna.

x y x - 1

y x - 1 x + 1

y (x - 1)3

I fattori comuni sono y e (x - 1).

Prendiamo (x - 1) con l’esponente minore:

MCD = y(x - 1).

Calcolo del mcm

Il mcm fra due o più polinomi è il prodotto dei loro fattori irriducibili comuni e

non comuni, presi una sola volta, con l’esponente maggiore.

› ESEMPIO

Determiniamo il mcm dei polinomi dell’esempio precedente.

x y x - 1

y x - 1 x + 1

y (x - 1)3

Dopo avere incolonnato i fattori, scegliamo quelli comuni e non comuni, ciascuno preso con l’esponente maggiore.

mcm = xy(x - 1)3(x + 1).

Prima di procedere al calcolo di MCD e mcm, è importante scomporre tutti i po-linomi in fattori irriducibili.

Infatti, se nel primo esempio ci fossimo fermati a ( )x y y y x 12 2- = - , senza scom-

porre la differenza di quadrati, avremmo ottenuto:

• y, che è divisore comune ma non MCD;

• ( ) ( )( )xy x x x1 1 13 2- - + , che è multiplo comune ma non mcm.

PROVA SUBITO

› Calcola MCD e mcm di

x x2 32+ - ,

x x x2 12 183 2+ + ,

x x x3 33 2+ - - .


Video

MCD e mcm di polinomi

Determina MCD e mcm dei

seguenti polinomi:

x x4 45 3- ;

x x x6 12 63 2+ + ;

x x8 83 2+ .

14

TEORIA

T

MAPPA DEI FONDAMENTALI

Divisione polinomio per monomioUn polinomio è divisibile per un monomio se lo sono tutti i suoi termini. In tal caso il

quoziente si ottiene dividendo ogni termine per il monomio.

› (6x4 + 3x3 - 4x2) : 2x2 = 6x4 : 2x2 + 3x3 : 2x2 - 4x2 : 2x2 = 3x2 + x

2

3 - 2

Un polinomio A è divisibile per un polinomio B se e solo se il resto R è uguale a 0,

ovvero: A : B = Q.

Divisione fra polinomiNella divisione fra due polinomi, A : B, se Q è il polinomio quoziente e R il polinomio resto,

allora A = B $ Q + R.

› (3x2 - x - 1) : (x + 2) " 3x2 - x - 1 = (x + 2) (3x - 7) + 13

A B Q R

Regola di RuffiniSe il divisore di un polinomio è un binomio

del tipo x - a, possiamo utilizzare la regola

di Ruffini.

Se il divisore è del tipo x + a, possiamo

scriverlo nella forma x - (-a) e applicare la

stessa regola.

› (3x2- 10x - 9) : (x - 4)

termine noto

del dividendo

+3 -10 -9

coefficienti

del dividendo

+12

+2+3

-10 + 12 = +2

opposto del

termine noto

del divisore

+4

-10 -9

+12

+2+3-9 + 8 = -1

-1

+8+4

coefficienti

del quoziente: 3x + 2

resto

+3

Teorema del restoIl resto della divisione di un polinomio A(x)

per un binomio x - a è A(a).

› (x3 + 7x2 + x - 2) : (x + 3), a = -3

A(-3) = -33+ 7 $ (-3)2 + (-3) - 2 =

- 27 + 63 - 3 - 2 = 31

A(x) (x - a)

resto di A(x) : (x - a)

Teorema di RuffiniUn polinomio A(x) è divisibile per un

binomio x - a se e solo se A(a) = 0.

›x2

- 3x - 10

è divisibile

per x - 5

se e solo se 52 - 3

. 5 - 10 = 0

15

TEORIA

T

Mappa dei fondamentali

Scomposizione in fattoriScomporre un polinomio in fattori significa scriverlo come prodotto di polinomi.

Se un polinomio si può scomporre, diciamo che è riducibile. Altrimenti è irriducibile.

Esistono diversi metodi di scomposizione.

MCD e mcm di polinomiScomponiamo due o più polinomi in fattori irriducibili.

Il MCD è il prodotto di tutti i fattori irriducibili comuni, presi una sola volta, ciascuno con

l’esponente minore.

Il mcm è il prodotto di tutti i fattori irriducibili, comuni e non comuni, presi una sola volta,

ciascuno con l’esponente maggiore.

Ý 2x2 + 4x - 6 = 2(x - 1)(x + 3); 4x2 - 8x + 4 = 22(x - 1)2.

MCD = 2(x - 1);

mcm = 22(x - 1)2(x + 3).

Metodo di RuffiniP(x) = 1x3 - 1x2 - 5x - 3

P(-1) = - 1 - 1 + 5 - 3 =0

P(x) è divisibile per (x + 1)

P(x) = (x + 1)(x2 - 2x - 3)

è uno zero di (x)P

Trinomio specialex2 + 3 x - 10 = (x + 5)(x - 2)

)( ( )25 + -+ ) )( ( 25 $ -+

Raccoglimento

Totale

2x2- 4xy + 6xz =

2 x (x - 2y + 3z)

Parziale

6x - 3 - 2x2 + x =

2x (3 - x) - (3 - x) =

(2x - 1) (3 - x)

Prodotti notevoli

Quadrato di un binomio

( )4 912a bab a b2 3 22 2+ = ++

Differenza di quadrati

( )( )x y x y x y9 4 3 2 3 22 2=- + -

Cubo di un binomio

( )8 2736 54x yx y xy x y2 3 33 32 2+ = ++ +

Quadrato di un trinomio

4 9 16 12 16 24x y z xy xz yz2 2 2=+ + + - -

( )x y z2 3 4 3+ -

Somma o differenza di cubi

( )( ) ( )( )x x x x x x x1 1 1 1 1 13 2 2 2$= + = + - ++ + -

( ) ( )( )( )a a a a a a a1 1 1 1 1 13 2 2 2$= + = - + +- - +

doppio prodotto

quadrati

tripli prodotti

cubi

doppi prodottiquadrati

FAI IL PUNTO SUI FONDAMENTALI → p. 45

ESERCIZI

E

16

ESERCIZI

Divisione fra polinomi Attività interattiva

Se il divisore è un monomio

TEST Il polinomio a x ax a x2 2 4 3 4 2- + non è divi-

sibile per uno solo dei seguenti monomi. Quale?

A x2 2

B -

C a x2 2

D 5

TEST Quale delle seguenti divisioni non è possi-bile?

A :x x x2 32+^ ^h h

B : aa a 66 12 1 34 3- +^ ^h h

C :x x x2213 2 2

- -^ ah kD :a a 32

-^ h

SPIEGA PERCHÉ Giulio: «Aiutami a eseguire questa divisione di un polinomio per un monomio:

:x y x y x y x y2 23 4 2 3 2 2 2+ + -^ ^h h». Teresa «Guarda che non è possibile». Cosa ne pensi?

ESERCIZIO GUIDA Eseguiamo, se è possibile, le seguenti divisioni:

a. (12x4y3 - 3x3y4 + 2x2y) : (2x2y); b. (5ab2 + 3a3b3 - 3a4) : (2a2b2).

a. La divisione (12x4y3 - 3x3y4 + 2x2y) : (2x2y) è possibile, perché ogni termine del dividendo contiene le variabili del divisore, con esponente maggiore o uguale.Dividiamo per 2x2y ogni termine del polinomio dividendo:

( ) : ( )x y x y x y x y x y xy12 3 2 2 6 23

14 3 3 4 2 2 2 2 3- + = - + .

Verifica: x y xy x y x y x y x y6 23

1 2 12 3 2

quoziente divisore dividendo

2 2 3 2 4 3 3 4 2$ =- + - +a ^k h

1 2 344444 44444 1 2 344444 44444= .

b. La divisione (5ab2 + 3a3b3 - 3a4) : (2a2b2) non è possibile per due motivi:

• 5ab2 ha grado rispetto ad a minore di 2a2b2;

• - 3a4 ha grado rispetto a b minore di 2a2b2 (il grado rispetto a b di - 3a4 è 0).

Esegui, se è possibile, le seguenti divisioni di un polinomio per un monomio e fai la verifica.

( ) :x x x x2 85 4- + [ ]x x2 84 3

- +

( ) : ( )x x x x3 10 44 3+ - - [ ]x x3 10 43 2

- - +

(20a4 - 12a3 + 6a2) : (2a2) [10a2 - 6a + 3]

:x x x x x4 3 28 5 4 3 3- + + -^ ^h h x x x

21

223

215 2

- + - -: D

( ) :x x x x213 2

- + -b l [- 2x2 + 2x - 2]

51

:a a b ab a b a514 3 3 2 2

+ - + -b bl l [- 5a3 - 5a2b + b3 - 5ab2]

GUARDA!

14 Attività interattive

1

→ Teoria a p. 2

1■ ■ ■

2■ ■ ■

3■ ■ ■

4

: (2x2y): (2x2y)

: (2x2y)

5■ ■ ■

6■ ■ ■

7■ ■ ■

8■ ■ ■

9■ ■ ■

10■ ■ ■

ESERCIZI

E


17

(7x4 - 3x2y3 + 5x3y2) : (- 3x2) x y xy37

352 3 2

- + -: D

:x y x y x x y6 12 3 34 3 2 2 3 2+ -^ ^h h impossibile6 @

:a b a b b b21

25 2 4 3 8 2+ +a ^k h a a b b

21

21

415 4 6

+ +: D

:a a a a32

31

154

926 4 3 3

- + + -b bl l a a323

563

- -: D

COMPLETA le seguenti uguaglianze.

(-2x6 ) : x x x x2 21

25 4=- + +^ h .

:a a a a8 2 4 28 6 5 4- + =- +^ ^h h .

:m m m5 2 526 4 2

+ = + -^ ^h h .

:x y x y x y16 34

46 4 4 3 2 2+ = -^ ^h h .

Semplifica le seguenti espressioni.

[(3x3 + 6x2) : (2x) - x ] : x x23

2+: D

[ ( ) ( ) ] : ( )x x x x x1 2 2 32 2- + - + x x3

132

12+ +: D

( ) : ( ) : ( )a a a a a a2 4 8 23 2 2 4+ - - - [ ]a a a4 2 33 2

- + +

[ ( ) ( )] : ( )x x x x x2 3 3 22- - + - [ ]x x3 8 62

+ -

[(2x + 1)(2x - 1)(4x2 +1) + 1] : (- 2x)3 + 3x + y [x + y ]

: :y y y y y y3 1 13 1 9 1 81 32 3- ++ + -^ ^ ^ ^h h h h6 @" , 06 @

: :x x x x x1 1 13 2

314 2 4 2 8 3 3- + - -^ ^ a ah h k k6 @& 0 x x2 6 210

-6 @

[(3x - y)3 + y3] : (3x) - (3x - y)2 [2y2 - 3xy]

(- 2x2y + 4x4y2 - x4y) : [(x + y)2 - (x + y)(x - y) - 2y2] 2x x y x213 3

- + -: D

{[ ( )( ) ( )] : ( ) ( )} :b a b a b b b ab ab a b b2 2 4 2 2 212 2

- + + + - + + ` j [0]

Se il divisore è un polinomio

Polinomi a coefficienti numerici

In una divisione tra polinomi il divisore è x - 4, il quoziente è x2 - 6x + 2 e il resto è - 1. Qual è il dividendo? [x3 - 10x2 + 26x - 9]

Trova il polinomio dividendo di una divisione in cui il divisore è x2 - 1, il quoziente è 2x2 - x + 1 e il resto è x + 2. [2x4 - x3 - x2 + 2x + 1]

Determina il polinomio dividendo di una divisione in cui il divisore è x2 5+ , il quoziente x x 12- + - e il

resto 3- . x x x2 3 3 83 2- - + -6 @

Esegui la divisione :x x x x x3 4 6 3 23 2 4 2+ + + +^ ^h h.

COMPLETA LO SVOLGIMENTO

Ordiniamo il polinomio dividendo secondo le potenze decrescenti di x: 6x4 + + 4x2 + .

11■ ■ ■

12■ ■ ■

13■ ■ ■

14■ ■ ■

15■ ■ ■

16■ ■ ■

17■ ■ ■

18■ ■ ■

19■ ■ ■

20■ ■ ■

21■ ■ ■

22■ ■ ■

23■ ■ ■

24■ ■ ■

25■ ■ ■

26■ ■ ■

27■ ■ ■

28■ ■ ■

→ Teoria a p. 2

29■ ■ ■

30■ ■ ■

31■ ■ ■

32■ ■ ■

6x4

6x4 +

+ 3 3 + x

ESERCIZI

E

DIVISIONE FRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE IN FATTORICAPITOLO 1

18

Costruiamo lo schema della divisione e risolviamo:

• dividiamo 6x4 (termine di grado più alto del divisore) per 3x2

(termine di grado più alto del dividendo) e otteniamo 2 , primo termine del quoziente;

• moltiplichiamo 2x2 per , cambiamo di segno e scri-viamo il risultato, x x6 44 2

- - , in colonna con il dividendo;

• sommiamo ottenendo il resto parziale x x3 3+ ;

• ripetiamo il procedimento, ottenendo come secondo termine del quoziente, che è anche l’ultimo perché il resto x- ha grado del grado del divisore.

Il quoziente è x x2 2+ ; il resto è x- .

6x4 + 3x3 + 4x2 + x + 0

– x

– 3x3 – 2x

3x3 + x

–6x4 – 4x2

3x2 + 2

2x2 + x

scriviamo 0 nei termini mancanti

Esegui, quando è possibile, le seguenti divisioni fra polinomi.

( ) : ( )x x x x3 5 4 2 33 2- + + - [ ; ]Q x x R3 4 16 502

= + + =

(5a6 + 15a5 + 20 + 5a) : (a + 3) [Q = 5a5 + 5; R = 5]

(15a3 - 8a2 - 9a + 2) : (3a + 2) [Q = 5a2 - 6a + 1; R = 0]

(x4 + 3x2 - 4) : (x2 - 4) [Q = x2 + 7; R = 24]

(7a - a3 + 2 + a2) : (a2 + 2) [Q = - a + 1; R = 9a]

(8 ) :x x x4 1213

- + -b l [Q = 8x2 + 4x - 2; R = 0]

( ) : ( )x x x2 1 43 2+ - - [ ; ]Q x R x6 1= = -

:x x x x x21

41

3414 3 2

- + - - +a ak k ;Q x x R x2 9 36 35 32=- + - = -6 @

( ) : ( )x x x4 4 44 2 2- + + [ ; ]Q x R8 362

= - =

( ) : ( )x x x2 3 6 16 3 3+ + + [ ; ]Q x R2 1 53

= + =

(x2 - 6x + 3) : (1 - x3) [impossibile]

(16x5 - 8x3 + 2x - 1) : (x3 - 1) [Q = 16x2 - 8; R = 16x2 + 2x - 9]

(2a3 - 4a2 + a + 2) : (2a2 + a - 1) ;Q a R a25

29

21

= - = -: D

(x5 - x3 + 1) : (x2 + 1) [Q = x3- 2x ; R = 2x + 1]

(x5 - 3x4 + 5x3 - 2x2 + 6x - 10) : (x3 - 2) [Q = x2 - 3x + 5; R = 0]

(4a2 - 3a + 6a3 - 2) : (1 + 2a) ;Q a a R321

47

412

= + - =-: D

( ) : ( )x x x x x x3 2 5 1 3 2 54 3 3 5- + - - - + impossibile6 @

( ) : ( )y y y y y4 3 3 1 13 5 2+ + - + + [ ; ]Q y y y R3 3 4 1 03 2

= - + - =

( ) : ( )x x x3 1 34 2 3- - - [ ; ]Q x R x x3 3 3 9 102

=- - = - -

33■ ■ ■

34■ ■ ■

35■ ■ ■

36■ ■ ■

37■ ■ ■

38■ ■ ■

39■ ■ ■

40■ ■ ■

41■ ■ ■

42■ ■ ■

43■ ■ ■

44■ ■ ■

45■ ■ ■

46■ ■ ■

47■ ■ ■

48■ ■ ■

49■ ■ ■

50■ ■ ■

51■ ■ ■

ESERCIZI

E


19

( ) : ( )t t t4 5 14 3 3+ - - [ ; ]Q t R t4 1=- - = -

( ) : ( )a a a a2 3 12 23 2 2- - - [ ; ]Q a R a2 1 2 12=- - = -

( ) : ( )x x1 15- - [ ; ]Q x x x x R1 04 3 2

= + + + + =

(y 3 - 5y 2 + 3y - 6) : (y 2 + 1 - 2y ) [Q = y - 3; R = - 4y - 3]

(- 3y 3 + 11y 2 - 9y - 2) : (3y 2 - 5y - 1) [Q = 2 - y; R = 0]

(24y 5 - 4y 4 - 18y 2 + 15y - 2) : (6y - 1) [Q = 4y 4 - 3y + 2; R = 0]

(4 ) :x x x18 3213

+ - - +b l [Q = - 4x2 - 2x + 2; R = 17]

YOU & MATHS Dividing polynomials Use ( )q x x2 3= + and ( )p x x x2 3 52= + - . Find s(x) and r(x) such

that ( ) ( ) ( ) ( )p x s x q x r x$= + .

TEST È data la divisione: (5a3 - 6a2 - 3a + 4) : (ka + 4).Per quale valore di k il quoziente è a2 - 2a + 1?

A 2 B - 3 C 5 D - 5

FAI UN ESEMPIO

Scrivi un polinomio divisibile sia per a 12- che

per a 3+ .Scrivi un polinomio di quarto grado divisibile per x2 12

+ .

SPIEGA PERCHÉ Il grado del resto di una divisione fra polinomi può essere uguale o maggiore del grado del divisore? Fornisci un esempio.

L’area del triangolo è a a a4 4 13 2+ + + . Quale

polinomio esprime la sua base? [ ]a 12+

8a + 2

Trova il polinomio che esprime la base maggiore del trapezio, sapendo che la sua area è .b b2 8 62

+ +

[ ]b3 10+

b + 1

b + 2

REALTÀ E MODELLI A croce latina Una chiesa ha la pianta schematizzata in figura. Il transetto (rettangolo in arancione) ha la superficie che misura (x x x6 54 3 2

+ + )x12 6+ + m2 e il lato maggiore di ( )x x6 32+ + m.

a. Quale polinomio esprime il lato minore del transetto, in metri?

b. Se la navata centrale (in verde) ha il lato minore congruente al lato minore del transetto e l’area di ( x x14 23 2

+ )x28 4+ + m2, qual è la sua lunghezza, in metri?

c. Determina AB quando x 3= .[ ( ; ; ]) ( )x x14 552 2a) b) c)m m2

+ +

52■ ■ ■

53■ ■ ■

54■ ■ ■

55■ ■ ■

56■ ■ ■

57■ ■ ■

58■ ■ ■

59■ ■ ■

60■ ■ ■

61■ ■ ■

62■ ■ ■

63■ ■ ■

64■ ■ ■

65■ ■ ■

66■ ■ ■

A B

ESERCIZI

E


20

Polinomi a coefficienti letterali

ESERCIZIO GUIDA Eseguiamo la divisione ( ) : ( )x ax a x a x ax a3 5 23 2 2 3 2 2- + - - + , considerando come

variabile la lettera x.

Osserviamo che i polinomi dividendo e divisore sono entrambi già ordinati rispetto a x. Mettiamo in co-lonna e risolviamo.

x3 – 3ax2 + 5a2x – a3

–x3 + 2ax2 – a2x

– ax2 + 4a2x – a3

x – a

x2 – 2ax + a2

(–ax2) : x2

x3 – 3ax2 + 5a2x – a3

x

x2 – 2ax + a2

primo terminedel quoziente

secondoterminedel quoziente

x3 – 3ax2 + 5a2x – a3

–x3 + 2ax2 – a2x

– ax2 + 4a2x – a3

+ ax2 – 2a2x + a3

2a2x

x – a

x2 – 2ax + a2

Il quoziente è x a- ; il resto è a x2 2 .

Esegui le seguenti divisioni fra polinomi, considerando come variabile quella indicata a fianco.

( ) : ( )a b a b b a b2 13 3 2 4 6+ - + + , a. [ ; ]Q b a b a b R 13 2 4 5

= + - =

(a2 - 3b2 - 2ab) : (b + a), a. [Q = a - 3b; R = 0]

(x6 - y 4) : (3x 3 + 3y 2), x. ( );Q x y R31

03 2= - =: D

(36x2y + 12xy 2 + y 3) : (6x + y), x. [Q = 6xy + y 2; R = 0]

(x3 - 2x2y + xy 2) : (x2 - 2xy + y 2), x. [Q = x; R = 0]

( ) : ( )x xy y x y15 4 4 5 22 2+ - - , x. [ ; ]Q x y R3 2 0= + =

( ) : ( )a a a b ab b b a2 4 6 3 3 24 3 2 2 2- + + - + - , a. [ ; ]Q a a b R2 02

= - + =

( ) : ( )x xy y x y2 13 6 2 33 2 3+ - - , y. ;Q y xy x R x2 3 2 62 2 3

= - - =6 @IN 3 PASSI

Ordina i polinomi dividendo e divisore secondo le potenze decrescenti di y.

Scrivi la divisione in colonna, lasciando uno spazio vuoto per la potenza di y mancante.

Esegui la divisione.

( ) : ( )a b ab a b b b ab11 2 3 22 2 3 3 4 2- + - + , b. [ ; ]Q b ab a R3 5 02 2

= - + + =

(6a4 - 2a3b - 24a2b + 20ab2 - 4b3) : (3a - b), a. [Q = 2a3 - 8ab + 4b2; R = 0]

(a6 - b6 + a4b2 - a2b4) : (a4 + 2a2b2 + b4), a. [Q = a2 - b2; R = 0]

(2x3y - 9x2y + 8y + 2xy) : (xy - 4y), x. [Q = 2x2 - x - 2; R = 0]

Regola di Ruffini Attività interattiva

Divisore del tipo ( x - a)

TEST In quale delle seguenti divisioni non si può applicare la regola di Ruffini?

A : ( )x x 23- B ( ) : ( )x x1 24

- + C ( ) : ( )x x x 13+ - - D ( ) : ( )x x x 15 3 2

- +

67

68■ ■ ■

69■ ■ ■

70■ ■ ■

71■ ■ ■

72■ ■ ■

73■ ■ ■

74■ ■ ■

75■ ■ ■

1

2

3

76■ ■ ■

77■ ■ ■

78■ ■ ■

79■ ■ ■

2 → Teoria a p. 4

80■ ■ ■

ESERCIZI

E

Regola di Ruffini PARAGRAFO 2

21

I FONDAMENTALI

Regola di Ruffini

Eseguiamo la divisione ( ) : ( )x x x2 8 353- + + .

Controlliamo se è possibile applicare la regola di Ruffini.

Il divisore è del tipo x a+ , quindi possiamo applicare la regola.

Costruiamo lo schema.

2 0 -8 5

-3

Applichiamo il procedimento.

1. Abbassiamo il primo termine sotto la linea orizzontale.

2 0 -8 5

-3 -6

2

2 0 -8 5

-3

2

2 0 -8 5

-3 -6

2 -6

(-3) $ 2 = -6

0 + (-6) = -6

2 0 -8 5

-3 -6 18 -30

2 -6 10 -25

2. Moltiplichiamo il numero «abbassato» per l’opposto del termine noto e incolonniamo il risultato con il secondo termine.

3. Sommiamo i termini della seconda colonna.

4. Ripetiamo il procedimento fino a esaurire le colonne.

Nell’ultima riga, partendo da sinistra, troviamo i coefficienti del quoziente.

L’ultimo numero a destra è il resto della divisione.

Scriviamo il quoziente e il resto.

Il quoziente è ( )Q x x x2 6 102= - + e il resto è R 25=- .

Il grado del polinomio quoziente è il grado del dividendo diminuito

di 1, e il resto è sempre un numero.

!1

Possiamo applicare la regola solo se nel divisore la variabile compare solo al primo grado.

coefficienti del dividendo

termine noto del dividendo

opposto del termine noto del divisore

Se il dividendo non è un polinomio completo, inseriamo il coefficiente

0 per i termini mancanti.

ESERCIZI

E


22

COMPLETA le seguenti divisioni.

( ) : ( )x x x4 6 4 23 2+ + +

4 6 4

-2 4 -8

4

Q = 4x2 - +

R =

( ) : ( )x x5 33+ +

0

-3 -27

1

Q = - 3x +

R =

( ) : ( )a a a5 1 43- + -

-5

16

4

Q = + 4x +

R =

Esegui le seguenti divisioni, applicando la regola di Ruffini.

(3x3 + x2 - 8x + 4) : (x + 2) [Q = 3x2 - 5x + 2 ; R = 0]

(2x3 - 9x + 1) : (x - 3) [Q = 2x2 + 6x + 9; R = 28]

(b3 + b 2 - b + 15) : (b + 3) [Q = b2 - 2b + 5 ; R = 0]

( ) : ( )y y y y6 4 15 2- + - + [ ; ]Q y y y y R2 8 124 3 2

= - + - + = -

( ) : ( )x x6 2 33+ - [ ; ]Q x x R6 18 54 1642

= + + =

( ) : ( )x x x x17 7 18 43 2+ - - - ;Q x x R3 5 22

= - + =6 @( ) : ( )a a a a2 3 10 1 33 2

- - - - [ ; ]Q a a R2 3 1 42= + - = -

( ) : ( )x x x x5 1 14 2- + - + - + [ ; ]Q x x x R4 3 43 2

= - - + + =

(- 3x2 + 2x3 - x + 2) : (x - 1) [Q = 2x2 - x - 2 ; R = 0]

(x5 + x2 - x4 - x) : (x - 1) [Q = x4 + x ; R = 0]

(a5 - 10a - 12) : (a - 2) [Q = a4 + 2a3 + 4a2 + 8a + 6 ; R = 0]

(2a3 - 3a2 - 1) : (a + 3) [Q = 2a2 - 9a + 27; R = - 82]

: ( )b b b b23

9 17 20 43 2- + - + -b l ;Q b b R

23

3 5 02= - + - =: D

2 4 :x x x x85

43

235 3

- - + +b bl l ;Q x x x x R2 321

43

21

04 3 2= - + - + =: D

REALTÀ E MODELLI Calcetto! In un centro estivo viene propo-sta una partita a calcetto, in un campo rettangolare di area ( )x x3 25 102

- + m2.

a. Se un lato misura ( )x 5+ m, qual è la misura del secondo lato, in metri?

b. I bambini fanno riscaldamento percorrendo due giri a bordo campo. Quanti metri percorrono, se x 10= ?

[ ( ) ; ]x3 5 160a) m b) m-

La figura, di area x x2 13 202+ + , è formata da un quadrato di lato x 4+ e da un

triangolo. Trova l’altezza CH del tri ango lo. [ ]x2 2+

H

x + 4

E D

B

C

A

81■ ■ ■

82■ ■ ■

83■ ■ ■

84■ ■ ■

85■ ■ ■

86■ ■ ■

87■ ■ ■

88■ ■ ■

89■ ■ ■

90■ ■ ■

91■ ■ ■

92■ ■ ■

93■ ■ ■

94■ ■ ■

95■ ■ ■

96■ ■ ■

97■ ■ ■

98■ ■ ■

99■ ■ ■

ESERCIZI

E

Regola di Ruffini PARAGRAFO 2

23

Divisore del tipo (ax - b)

ESERCIZIO GUIDA Eseguiamo la divisione ( ) : ( )x x x3 2 2 3 13 2- + + applicando la regola di Ruffini.

Dividiamo tutti i coefficienti del dividendo e del divisore per 3, coeffi-ciente di x in 3x + 1.

:x x x32

32

313 2

- + +a ak k1

32

- 032

31

-31

-31

91

-

1 1-31

95

Ora il divisore è del tipo x a+ , quindi possiamo applicare la regola di Ruffini.

Dallo schema a fianco otteniamo Q x x 31

12

= - + ; R 95

1 = .

Qual è il risultato della divisione iniziale?Sappiamo che, se eseguiamo la divisione tra A e B, possiamo scrivere A B Q R$= + . Dividendo i due mem-bri per 3, otteniamo:

A B Q R A BQ

R3 3 3 3 3 3"

$

$= + = + .

Concludiamo che, se dividiamo dividendo e divisore per 3, il quoziente rimane lo stesso, mentre il resto

diventa 31

del resto iniziale. La divisione iniziale ha quindi Q Q1= e R R 31 $= :

Q x x312

= - + ; R95

335

$= = .

Esegui le seguenti divisioni applicando la regola di Ruffini.

(12x3 - 54x2 + 21x - 3) : (3x - 12) [Q = 4x2 - 2x - 1; R = - 15]

(12y 3 + 36y 2 - 38y + 42) : (2y + 8) [Q = 6y 2 - 6y + 5; R = 2]

( ) : ( )a a a a3 2 1 3 13 2+ - - + ;Q a a R

32

352

= - + =-: D( ) : ( )y y y y8 17 10 1 8 13 2- + - - [ ; ]Q y y R2 1 02

= - + =

( ) : ( )b b b b6 34 52 18 3 53 2- + - - ;Q b b R2 8 4 22

= - + =6 @( ) : ( )x x x x x12 15 20 13 5 4 54 3 2

+ + + - + [ ; ]Q x x R3 5 3 103= + - =

( ) : ( )x x x x x5 2 5 7 2 5 26 5 2- - + - - [ ; ]Q x x R1 05

= - + =

Divisione fra polinomi a coefficienti letterali

Esegui la divisione ( ) : ( )a x a x a x x a8 3 3 32 2 3 2 4- + - + + considerando come variabi le la lettera x.


Ordiniamo i polinomi rispetto alla x: (x4 + 3a3x ) : (x + 3a).

Applichiamo la regola di Ruffini.

1 −8a2 +3a3

−3a −3a +9a2 0

1 a2

" Q x ax a x33 2 2= - + ; R a3 2

=- .

Esegui le seguenti divisioni, applicando la regola di Ruffini e considerando come variabile la prima lettera che

compare al dividendo.

(a3 + 2a2b - 4ab2 - 8b3) : (a + 2b) [Q = a2 - 4b2; R = 0]

100

101■ ■ ■

102■ ■ ■

103■ ■ ■

104■ ■ ■

105■ ■ ■

106■ ■ ■

107■ ■ ■

108■ ■ ■

109■ ■ ■

ESERCIZI

E


24

(y 4 + x3y - 9x2y 2 + 3x4) : (y + 3x) [Q = y 3 - 3xy 2 + x3; R = 0]

(2x4 + 5x3y + 2x2y 2 + x + 2y) : (x + 2y) [Q = 2x3 + x2y + 1; R = 0]

(y 3 - 8x3 - y 2 + 2xy) : (y - 2x) [Q = y 2 + 2xy - y + 4x2; R = 0]

( ) : ( )x x y xy y x y4 5 9 123 2 2 3+ - - - [ ; ]Q x xy R y4 9 122 3

= + =-

( ) : ( )a a b ab b a b12 10 33 2 2 3- + - - [ ; ]Q a ab b R b11 42 2 3

= - - =-

( ) : ( )x y x y xy y x y9 4 5 33 2 2 3 4+ - + + [ ; ]Q x y xy y R y9 23 64 1912 2 3 4

= - + =-

(a6 - 3a2b4 - 4a 4b2 + 12b6) : (a + 2b) [Q = a5 - 2a4b - 3ab4 + 6b5; R = 0]

110■ ■ ■

111■ ■ ■

112■ ■ ■

113■ ■ ■

114■ ■ ■

115■ ■ ■

116■ ■ ■

Riepilogo: Divisione fra polinomi

VERO O FALSO?

a. Il polinomio x4 + x2 non è divisibile per x x8

+ . V F

b. x 14- è divisibile per x 12

- . V F

c. Il quoziente di

( ) : ( )a a a a2 3 2 25 3 2+ - +

è a a2 3- . V F

d. Dividendo due polinomi si può ottenere come risultato 1. V F

e. Il quoziente di una divisione di polinomi può essere il polinomio nullo. V F

FAI UN ESEMPIO

Scrivi un polinomio in a di quinto grado divisi-bile per a 1+ .

Scrivi un polinomio in x di quarto grado divisibile

contemporaneamente per x 1+ e per .x21

22+

Scrivi il dividendo della divisione per il binomio x2 1- il cui quoziente è x5 22

- e il cui resto è

31

. x x x10 5 4373 2

- - +: D

______117■ ■ ■

118■ ■ ■

119■ ■ ■

120■ ■ ■

Esegui le seguenti divisioni applicando, quando è possibile, la regola di Ruffini.

( ) : ( )t t t t3 1 24 2- + - + [ ; ]Q t t t R2 1 13 2

= - + - =

( ) : ( )x x x x x x4 6 2 16 4 3 3+ + + - + - [ ; ]Q x x R x6 123 2

=- - =

(b4 - 2b2 + 3) : (b - 2) [Q = b3 + 2b2 + 2b + 4; R = 11]

(5x3 - 3x2 + 4x - 2) : (x - 1) [Q = 5x2+ 2x + 6; R = 4]

(x3 - 3x + 2) : (x + 2) [Q = x2 - 2x + 1; R = 0]

: ( )a a a3 24 2- + [ ; ]Q a a R a3 7 15 142

= + + = -

( ) : ( )y y y y5 23 2- + + [ ; ]Q y R y5 5 4 2=- + =- +

(2x3 - 13x2 + 4 + 19x) : (x - 4) [Q = 2x2 - 5x - 1; R = 0]

(12a2 + 5a - 2) : (4a - 1) [Q = 3a + 2; R = 0]

( ) : ( )x x x x x4 2 3 1 3 13 2 2- - + - + [ ; ]Q x R x4 10 23 9= + = -

( ) : ( )a a a a a3 5 2 13 2 2+ + + - + [ ; ]Q a R a4 8 2= + = -

121■ ■ ■

122■ ■ ■

123■ ■ ■

124■ ■ ■

125■ ■ ■

126■ ■ ■

127■ ■ ■

128■ ■ ■

129■ ■ ■

130■ ■ ■

131■ ■ ■

ESERCIZI

E

Teorema del resto e teorema di Ruffini PARAGRAFO 3

25

4 : ( )x x x x41

8 2 25 3- + + -b l 3 ;Q x x x x R

41

21

6 4 64 3 2= + - - - =-: D

:a a a a a4 2 441

214 2 3

+ + + + +b bl l ;Q a a a R4 221

03 2= + + + =: D

(9x5 - 21x3 - 27x + 24) : (3x + 6) [Q = 3x4 - 6x3 + 5x2 - 10x + 11; R = - 42]

: ( )a a a a31

32

21

1 14 2 3 2+ + - -a k ;Q a a R a

31

21

1212

= + + =: D

( ) : ( )k k k k k2 5 4 2 14 3 2- - + + + [ ; ]Q k k k R3 43 2

= - + =

( ) :x x x x5 3 2215 4 3

- + - -a k ;Q x x R x x521

21

22 2= - = + -: D

(4y 4 - 6y 3 - 18y 2 - 10) : (2y - 6) [Q = 2y 3 + 3y 2; R = - 10]

132■ ■ ■

133■ ■ ■

134■ ■ ■

135■ ■ ■

136■ ■ ■

137■ ■ ■

138■ ■ ■

Problemi

Trova l’altezza del trapezio ABCD, sapendo che la sua area misura

a a a2 6 21

233 2

+ + + ,

con a 12 . [ ]a 3+

IN 3 PASSI

Somma le misure delle basi.

Raddoppia l’area.

Dividi il doppio dell’area per la somma del-le misure delle basi.

In un triangolo ABC l’area e l’altezza BH rela-tiva al lato AC misurano rispettivamente a a a4 4 33 2+ + + e a 3+ , con a 02 . Trova la

misura di AC. [ ]a a2 2 22+ +

G F

EA

3x

C

D

4x – 7

B

L’area del rettangolo AEFG è x x4 19 212

- + . Determina il perimetro di ABCDEFG, sapendo che il triangolo BCD è equila-tero. [ ]x13 20-

139■ ■ ■

A B

CD 4a + 1

4a2 – 4a

1

2

3

140■ ■ ■

141■ ■ ■

REALTÀ E MODELLI Biscotti a Natale Giada vuole cucinare dei biscotti e con-fezionarli in sacchetti da regalare a n parenti presenti al pranzo di Natale. Infor-na n teglie, ciascuna delle quali con 4 file da n biscotti. Assaggia un biscotto per teglia, per verificarne la cottura, e ne tiene da parte complessivamente 2 per suo fratello.

a. Quanti biscotti ha a disposizione da regalare?

b. Sta per preparare i sacchetti, quando scopre che al pranzo ci sarà un parente in meno. Quanti biscotti potrà mettere in ogni sacchetto? Quanti ne avanzeranno? [a) 4n2 - n - 2; b) 4n + 3, 1 biscotto avanzato]

Teorema del resto e teorema di Ruffini Attività interattiva

→ Teoria a p. 5

Teorema del resto

VERO O FALSO? Dato il polinomio ( )P x x x2 3 83 2= - + , allora:

a. ( )P 2 12= . V F

b. ( )P 2- è il resto della divisione di P(x) per ( )x 2- . V F

c. il resto della divisione di P(x) per ( )x 1+ è 3. V F

d. 8 è il resto della divisione di P(x) per x. V F

142■ ■ ■

3

143■ ■ ■

ESERCIZI

E


26

Trova il resto della divisione : ( )x x x x221

3 1 23 2- - + - +a k .


Consideriamo x x2+ = - ( ). Il resto della divisione di un polinomio A(x) per un binomio x – a è A(a).

Se chiamiamo P(x) il dividendo, il resto R è:

R = P ( ) = -2 ( )3 - 21

( )2 + 3 (-2) - 1 =

+16 - 2 - 6 - 1 = 7.

Calcola il resto delle seguenti divisioni senza eseguirle.

(2x3 - 9x + 1) : (x - 3)

(a2 - a + 3 - 2a3) : (a - 1)

( ) : ( )a a a a2 3 3 33 2+ - - +

( ) : ( )k k k k3 5 1 23 2- + - -

( ) : ( )x x x2 3 1 14+ + +

: ( )y y y y21

2 4 25 3- + - +a k

(2x3 - 5x + 4) : (x + 1)

(2x4 + x3 - 6x + 1) : (x - 1)

(- x3 + 2x2 - 2) : (x + 2)

(2y 5 + y 2 - y - 26) : (y - 2)

: ( )a a a a a21

21

47

2 24 3 2+ - + - +b l

:x x x x23

112

31

313 2

- + - -b bl l

YOU & MATHS Which are divisors? Consider the polynomial ( )P x x x4 5 62= + - . Which of the following

polynomials are divisors of P(x)?

a. x + 1 b. 4x − 3 c. x + 2 d. x − 2

Determina il valore di a in modo che la divisione abbia il resto indicato a fianco.

( ) : ( )x ax x1 22- - - , R 1= . [ ]a 1=

( ) : ( )x ax x x4 1 13 2+ + - - , R 0= . [ ]a 4=-

( ) : ( )x x x a x2 8 1 33 2+ - + + + , R 2= . [ ]a 22=

YOU & MATHS Invent a quadratic Find possible values for a, b, and c in the polynomial ax bx c2+ + such

that the remainder of ( ) : ( )ax bx c x 12+ + - is 0.

TEST La divisione (x 2 + x - a2 - 1) : (x - a) ha resto 0 se a è uguale a:

A 1. B -1. C 0. D 2.

Teorema di Ruffini

TEST Per quale dei seguenti binomi è divisibile il polinomio 2x 3 + x 2 - 5x + 2?

A 2x + 1 B x + 2 C x + 1 D x - 2

Determina, senza eseguire la divisione, se i seguenti polinomi sono divisibili per i binomi scritti a fianco.

x3 + 6x2 + 11x + 6; x + 1, x + 2, x - 3.

IN 3 PASSI

Considera il primo binomio ( )x 1+ . Trova il resto della divisione del polinomio per ( )x 1+ con il teore-ma del resto.

Se il resto trovato nel passo 1 è 0, per il teorema di Ruffini il polinomio dato è divisibile per ( )x 1+ . In caso contrario, non lo è.

Ripeti il procedimento per gli altri binomi divisori.

144■ ■ ■

145■ ■ ■

146■ ■ ■

147■ ■ ■

148■ ■ ■

149■ ■ ■

150■ ■ ■

151■ ■ ■

152■ ■ ■

153■ ■ ■

154■ ■ ■

155■ ■ ■

156■ ■ ■

157■ ■ ■

158■ ■ ■

159■ ■ ■

160■ ■ ■

161■ ■ ■

162■ ■ ■

163■ ■ ■

164■ ■ ■

1

2

3

ESERCIZI

E


27

x x x9 19 63 2- + - ; x 2- , x 1+ , x 1- .

x x x x6 6 3 104 3 2- + - - ; x 5- , x 1+ , x 2- .

2a2 + 7a - 4; a + 2, a - 1, a21

- .

2a4 - 3a2 + 2a - 1; a + 1, a32

+ , a - 1.

1x x x271

31

43 2- - + x + 3, x 3- , x + 1.

Stabilisci se il polinomio è divisibile per il binomio scritto a fianco e, in caso affermativo, calcola il quoziente.

a a a2 3 63 2- + - ; a - 2. a a a5 8 2084 2

- + - ; a - 4.

EUREKA! Senza eseguire la divisione, verifica che il polinomio x x x2 3 5 63 2+ - - è divisibile per

( )( )x x2 1+ + , ma non per ( )( )x x2 3+ + .

Determina per quale valore di k il polinomio ( )A x x kx k 24 2= - + + è divisibile per x 2+ . [6]

IN 3 PASSI

Calcola il resto ( )A 2- della divisione ( ) : ( )A x x 2+ .

Imponi che il resto sia 0: ( )A 2 0- = .

Risolvi l’equazione nell’incognita k.

Trova il valore di k affinché i polinomi indicati siano divisibili per il binomio a fianco.

a a ka2 14 3- + - ; a 2- . 2

18 B

kx kx3 5 242+ - ; x 3+ . [2]

a a a k8 4 123 2+ - + ; a 1+ . [ ]8-

x ka x a x a54 2 2 3 4+ - + ; x a- . [3]

EUREKA! Per quali, tra le seguenti coppie di valori di a e b, il binomio ( )P x ax b2= + risulta divisibile per il

binomio x 2- ?

a. a 1= , b 4= . b. a 2=- , b 8= . c. a21

= , b 2=- .

Quale relazione deve esserci tra a e b affinché si realizzi la divisibilità richiesta? ; b a4b e c =-h h6 @

SPIEGA PERCHÉ Dimostra che a b44+ non è divisibile per a b+ , mentre a b44

- è divisibile sia per a b+ sia per a b- , con a, b 0! .

https://su.zanichelli.it/tutor

allenati con 15 esercizi interattivi con feedback “hai sbagliato perché…”(risorsa riservata a chi ha acquistato l’edizione con Tutor)


VERO O FALSO?

a. Il polinomio x x4 1+ +^ h è scomposto in fattori. V F

b. x x3 1 12+ -^ ^h h è la scomposizione in fattori di x x x3 3 12 3

- + - . V F

c. Il binomio x x52+ è irriducibile. V F

d. Tutti i binomi sono irriducibili. V F

165■ ■ ■

A(x) è divisibile per x – a se e solo se A(a) = 0.

binomiopolinomio

166■ ■ ■

167■ ■ ■

168■ ■ ■

169■ ■ ■

170■ ■ ■

171■ ■ ■

172■ ■ ■

173■ ■ ■

1

2

3

174■ ■ ■

175■ ■ ■

176■ ■ ■

177■ ■ ■

178■ ■ ■

179■ ■ ■

4

180■ ■ ■

ESERCIZI

E


28

Raccoglimento totale Attività interattiva

TEST Nel polinomio x x x3 6 153 2+ - possiamo raccogliere il MCD di tutti i termini, che è:

A x15 . B x . C x3 . D x3 3.

TEST In quale polinomio possiamo raccogliere il fattore comune b4 ?

A b5 42+ B b b16 8 2

- C b20 8- D b4 204-

Scomponi in fattori:

a. y y y3 15 92 3- + ; b. y x y25

8524 2 3

- .


a. y y y y3 15 9 32 3- + = (y - + )

b. y x y y258

52

524 2 3 3

- = c y - mraccogliamo 2

5 y3

COMPLETA le seguenti scomposizioni.

-15x + 20 = - 5 ( - )

10a2 + 16ay = (5a + )

9y3 - 27y2 = y2 ( + 3)

x y xy41

21

412

+ = (x + )

Scomponi in fattori raccogliendo a fattore comune.

a a7 14 2+ ; a x a y4 4 4 4

- .

x x4 8 2+ ; y y

21

214 2

+ .

a a a5 6 9+ + ; b bb 2 42 2 3 2

+ - .

5x - 10xy + 15y ; - 27a2 - 18a.

- 2a2 + 4ab - 2a3; cx 2 - 4cx + c2x 2.

3a + 9a3 - 15; 4a4 - 2a3 - 2a6.

6ax + 2a - 4a2x 2; 125x 2 - 25x + 25xy .

a y ay32

312 3 2

+ ; 4x - 2x 2 - 2.

18a3y - 4a4y 3 + 10a5y 2; 4x 3 + 3x 2y .

a b ab ab5 15 32 2- + ; x x x4 2 6 39

- + .

15a4 + 6a2b + 3a; 2ac + 14ab .

3z 2 - 27y 3z + 12y 2z 2; 12x 3y 2 + 3x 2y 2.

y y42+ ; a a b65 4

- .

ay a a2 4 22- + ; x y x4

412 3 3

- .

a b a41

813 2

- ; z y y14 77 4 6- .

- 6a3 + 9a2b + 3a2; b y b72 648 9+ .

6xy 2 - 4x 2 + 10xy; x x y7

15313 2

+ .

- 3a5 + 12a3b - 6a2; xyz x y8 12 2 2- .

12a2b3 + 30a3b + 6ab; z y z28 164 2 2- .

ax a52

542

+ ; - 2a9 + 8a4 + 2a3.

a3 - a2 - a + 2a2; b b b7 6 57 6 5+ + .

2x3 - 8x2 - 4x; a y ay23

412

- + .

→ Teoria a p. 7

181■ ■ ■

182■ ■ ■

183■ ■ ■

raccogliamo il MCD

tra tutti i termini: 3y risultato di (3y2 - 15y + 9y3) : (3y)

184■ ■ ■

185■ ■ ■

186■ ■ ■

187■ ■ ■

188■ ■ ■

189■ ■ ■

190■ ■ ■

191■ ■ ■

192■ ■ ■

193■ ■ ■

194■ ■ ■

195■ ■ ■

196■ ■ ■

197■ ■ ■

198■ ■ ■

199■ ■ ■

200■ ■ ■

201■ ■ ■

202■ ■ ■

203■ ■ ■

204■ ■ ■

205■ ■ ■

206■ ■ ■

207■ ■ ■

208■ ■ ■

209■ ■ ■

A

ESERCIZI

E


29

Scomponi in fattori:

a. ( ) ( )x a a2 3 22- - - ; b. ( ) ( )y y y5 4 2 4- + - .


a. ( ) ( ) ( )x a a a2 3 2 22- - - = - [ $ (a - 2) - ] = (a - 2)(ax - - 3)

raccogliamo (a - 2) svolgiamo i calcoli

b. ( ) ( ) ( )y y y y y5 4 2 4 5 4 2- + - = - - ( ) = (y - 4)(5 - )

cambiamo segno al fattore (4 - y) raccogliamo ( y - 4)

Scomponi in fattori raccogliendo a fattore comune.

( ) ( )a a a2 1 2 2 1+ - + ; ( ) ( )x x x2 1 3 1+ + + .

( ) ( )x x y y x22+ + + ; ( ) ( )y a a a y4 2+ - + .

( ) ( )x x x5 3 3 3- - - ; ( ) ( )x y y y3 11 11- - - .

( )b c a b c+ - + ; x x x1 2 21

1 22 2 2+ + +^ ^h h.

( ) ( )x y x y3 2 2 3+ + + ; ( ) ( )a a3 2 3 2 2

+ - + .

( ) ( )x a b a bx3+ + + ; ( ) ( )a b a b

a b2 22 4+ - + .

CACCIA ALL’ERRORE

a. x x x x x x2 3 2+ + = +^ h

b. b b b b15 10 5 3 26 3 3 2- = -^ h

c. x y x y x x y x6 4 6 4+ - + + = + - +^ ^ ^ ^ ^h h h h h

d. x y x y x y x y8 10 2 4 52 3 2 2 23+ = +^ h

YOU & MATHS Prove it! Use algebra to prove that x x x 12+ -^ ^h h divided by x 1+ gives x x2

- , as long as x 1!- , x 0! .

REALTÀ E MODELLI Dettaglio in Fiore Nella foto puoi osserva-re la facciata della cattedrale di S. Maria del Fiore di Firenze. Con-sidera la parte evidenziata in giallo e supponi che il cerchio del rosone abbia diametro 6x, pari all’altezza relativa al lato AB del triangolo sottostante.

a. Esprimi l’area gialla in funzione di x.

b. Scrivi il risultato come prodotto di fattori irriducibili.

[ ; ( )]x x x54 9 9 6a) b)2 2 2r r- -

Dimostra, utilizzando le scomposizioni in fattori, che, se due polinomi A x^ h e B x^ h, entrambi di grado mag-giore o uguale a 1, danno lo stesso resto R se divisi per il binomio x 1- , allora il polinomio A x B x-^ ^h h è divisibile per x 1- .

IN 3 PASSI

Indica con Q xB^ h e Q xA^ h i quozienti delle due divisioni e scrivi la relazione che lega dividendo, divisore, quoziente e resto per ciascuno dei due polinomi A x^ h e B x^ h.

Scrivi la differenza ( ) ( )A x B x- e semplifica l’espressione ottenuta.

Raccogli il fattore comune x 1- deducendo che ( ) ( )A x B x- è divisibile per x 1- .

210■ ■ ■

211■ ■ ■

212■ ■ ■

213■ ■ ■

214■ ■ ■

215■ ■ ■

216■ ■ ■

217■ ■ ■

218■ ■ ■

219■ ■ ■

BA B

220■ ■ ■

1

2

3

ESERCIZI

E


30

Due polinomi A(x) e B(x), di grado maggiore o uguale a 1, danno resto opposto quando divisi per x 7+ . Dimostra che la loro somma è divisibi-le per x 7+ .

A(x) e B(x) sono due polinomi di grado maggiore o uguale a 1. Nella divisione per x3 5- , A(x) dà resto doppio rispetto a B(x). Dimostra che

( ) ( )A x B x2- è divisibile per x3 5- .

Raccoglimento parziale Attività interattiva

Scomponi in fattori: a. a a a2 4 3 62 3+ + + ; b. y x x xy12 15 5 42

+ + + .


a. Raccogliamo il fattore comune 2 tra i primi due termini e il fattore comune 3a2 tra gli ultimi due.

a a a2 4 3 6 22 3+ + + = (1 + ) a3 2

+ ( + 2a) = a a1 2 2 3 2+ +^ ^h h

b. y x x xy12 15 5 42+ + + = x x3 5+ +^ h ( ) = x y x3 4 5+ +^ ^h h

Scomponi in fattori mediante il metodo del raccoglimento parziale.

y 4 - y 3 - 2y + 2

bx x b10 30 3+ - -

b b b5 2 105 3 2+ + +

a a a3 2 18 122 3- + -

x x x2 3 63 2- - +

a ab ab b2 2 3+ + +

a b b a2 2 42 2 2 2+ + +

4xy y xy3 20 152- + -

12a 2 - 4a - 3a + 1

bx by ax ay3 4 3 4+ + +

by b ay a15 10 21 14- + -

ax + 6x + ay + 6y

x xy a ay23

21

3- - +

x 2 + xy + x + y

ay - 4a - 3y + 12

2ax + 4x - 3a - 6

x 4 + 4x 2 - x 3y - 4xy

xy x y5 3 15- - +

b ab a8 82 2- + -

mn n m3 8 24+ - -

x y x y xy y3 6 23 2 2 2- + -

by by x y x7 14 22 2 2- + -

a a2 1 4 22+ + +^ h

IN 2 PASSI

Raccogli il fattore 2 negli ultimi due termini.

Raccogli il fattore (2a + 1).

( )x x1 4 43- + -

( )a a3 12 4 2+ - +

(2a + x)2 - 4x 3 - 8ax 2

(5 - x)(5 + x) + (x - 5)2

TEST Usando il raccoglimento parziale, è possibile scomporre il polinomio 2x + 6y - 5ax - 15ay in uno solo dei seguenti modi. Quale?

A (x + 3y)(2 + 5a) B (x + 3y)(2 - 5a) C (x - 3y)(2 - 5a) D (x + 3y)(5a - 2)

Le misure dei lati di un rettangolo possono essere espresse con polinomi a coefficienti interi. Se l’area del rettangolo è a b ab a14 5 2 352

+ + + , con a 02 e b 02 , quanto misura il suo semiperimetro? [ ]a b9 5+ +

221■ ■ ■

222■ ■ ■

→ Teoria a p. 8

223■ ■ ■

raccogliamo

parzialmente

raccogliamo (1 + 2a)

raccogliamo

parzialmente

raccogliamo (3 + x)

224■ ■ ■

225■ ■ ■

226■ ■ ■

227■ ■ ■

228■ ■ ■

229■ ■ ■

230■ ■ ■

231■ ■ ■

232■ ■ ■

233■ ■ ■

234■ ■ ■

235■ ■ ■

236■ ■ ■

237■ ■ ■

238■ ■ ■

239■ ■ ■

240■ ■ ■

241■ ■ ■

242■ ■ ■

243■ ■ ■

244■ ■ ■

245■ ■ ■

246■ ■ ■

1

2

247■ ■ ■

248■ ■ ■

249■ ■ ■

250■ ■ ■

251■ ■ ■

252■ ■ ■

ESERCIZI

E


31

REALTÀ E MODELLI Schema di base La base del vaso greco nella foto, vista in sezione verticale, può essere schematizzata con due rettangoli di altezza a, in mezzo ai quali rico-nosciamo un trapezio isoscele con l’altezza congruente alla base minore. Il trapezio ha le basi maggiore e minore che misurano rispettivamente 3x e 2y. Determina l’area della figura costituita dai due rettangoli e dal trapezio, esprimendola come prodotto di fattori.

[( )( )]x y a y3 2+ +

Trinomio speciale Attività interattiva

Il trinomio x2 + sx + p

ASSOCIA a ciascun polinomio la sua scomposizione in fattori, senza eseguire la moltiplicazione.

a. x x3 22+ +

b. x x4 32- +

c. x x10 242- +

d. x x3 102+ -

1. x x1 3- -^ ^h h

2. x x5 2+ -^ ^h h

3. x x2 1+ +^ ^h h

4. x x4 6- -^ ^h h

Determina due numeri x1 e x2 tali che s e p siano rispettivamente la loro somma e il loro prodotto.

s 7= ; p 10= .

s 9=- ; p 14= .

s 5=- ; p 50=- .

s 4= ; p 12=- .

s 12=- ; p 11= .

s 8=- ; p 16= .

253■ ■ ■

→ Teoria a p. 8

Se x1 + x2 = s e x1 · x2 = p:x2 + sx + p = ( x + x1) · ( x + x2).

254■ ■ ■

255■ ■ ■

256■ ■ ■

257■ ■ ■

258■ ■ ■

259■ ■ ■

260■ ■ ■

I FONDAMENTALI

Scomporre il trinomio speciale x2 + sx + pScomponiamo in fattori x x4 212

+ - .

Cerchiamo due numeri interi di cui conosciamo, dal trinomio, la loro somma s e il loro prodotto p.

Le coppie di numeri interi x1 e x2 tali che x1 + x2 = s sono infinite. Infatti, assegnando a x1 un valore qualsiasi, ottieniamo x2 = s – x1. Conviene iniziare la ricerca dal prodotto, che limita le possibilità.

x x4 212+ -

Le coppie di numeri interi con p 21=- sono:

+1, -21; -1, +21; +3, -7; -3, +7.

Tra queste, l’unica con s 4=+ è:

x 31 =- , x 72 =+ .

Scomponiamo il trinomio.

( ) ( ) ( )( )x x x x x x x x x x4 21 21 3 7 3 3 73 72 2+ - = - = - + - = - +- +

!2

somma: s = +4prodotto: p = -21

Se il prodotto è positivo, x1 e x2

sono concordi; se è negativo, x1 e x2 sono discordi.

Nel caso x2 + sx + p, se

trovi x1 e x2, puoi scrivere subito(x + x1)(x + x2)

senza passaggi intermedi.

raccoglimento parzialex1 x2

raccogliamo x tra i primi due addendi

raccogliamo 7 tra gli ultimi due addendi

ESERCIZI

E


32

Scomponi in fattori i seguenti trinomi.

x x 202+ - ; x x10 212

+ + .

x x 62- - ; y y 1072

+- .

a a 302- - ; x x7 182

+ - .

x x 22- + + ; m m6 162

+ - .

x x 122- - ; x x3 42

+ - .

b b 1032+ - ; x x5 62

+ + .

b b6 72+ - ; x x12 322

+ + .

x x7 302+ - ; a a15 162

- - .

x x18 802+ + ; y y13 422

- + .

a a2 482+ - ; b b12 352

- + .

COMPLETA le scomposizioni.

a. x x x x7 62- + = ^ ^h h

b. x x x10 12+ + = + +^ ^h h

c. x x x x11 22- + = - -^ ^h h

d. x x x4 52+ - = - +^ ^h h

Scomponi in fattori il trinomio x ax a2 32 2+ - .

REALTÀ E MODELLI Intorno al moulin de la Galette L’a-rea del dipinto Bal au moulin de la Galette, di Pierre-Auguste Renoir, può essere espressa dal polinomio

( )x x8 24 92+ + cm2, con x 02 .

Se le misure dei lati della tela sono espresse da polinomi a coefficienti interi, qual è il polinomio che esprime il suo perimetro, in centimetri? Determina poi le misure effettive dell’opera, che si ottengono per x 129= .

[( ) ; ]x4 96 131 175cm cm cm#+

Il trinomio ax2 + bx + c

Scomponi in fattori: a a2 3 22+ - .


Moltiplichiamo tra loro il coefficiente di secondo grado e il termine noto: 2 $ ( ) = .

Cerchiamo due numeri che abbiano come somma 3+ e come prodotto il numero appena ottenuto, cioè 4- ; sono 4 e ; nel polinomio dato scriviamo 3a come 4a - a e raccogliamo parzialmente:

a a a a2 3 2 2 42 2+ - = + a2 2- = ( ) - ( ) = a a2 2 1+ -^ ^h h.

Scomponi i seguenti trinomi.

a a3 8 32+ - [( ) ( )]a a3 3 1+ -

y y4 3 102- - [( ) ( )]y y2 4 5- +

b b4 15 42+ - [( ) ( )]b b4 4 1+ -

c c2 13 152+ + [( ) ( )]c c5 2 3+ +

x x3 4 42- - [( ) ( )]x x2 3 2- +

x x7 19 62- - [( ) ( )]x x3 7 2- +

b b2 15 282- + [( ) ( )]b b4 2 7- -

x x8 1 632+ - [( ) ( )]x x2 8 3+ -

261■ ■ ■

262■ ■ ■

263■ ■ ■

264■ ■ ■

265■ ■ ■

266■ ■ ■

267■ ■ ■

268■ ■ ■

269■ ■ ■

270■ ■ ■

271■ ■ ■

272■ ■ ■

273■ ■ ■

274■ ■ ■

raccogliamo parzialmente3a = 4a - a

275■ ■ ■

276■ ■ ■

277■ ■ ■

278■ ■ ■

279■ ■ ■

280■ ■ ■

281■ ■ ■

282■ ■ ■

ESERCIZI

E


33

Scomposizioni con prodotti notevoli Attività interattiva

Differenza di due quadrati A2 – B2 = (A + B)(A – B)

ESERCIZIO GUIDA Scomponiamo in fattori: a. a81 162- ; b. a625 14

- .

a. ( )( )a a a a81 16 9 9 4 9 442 2 2- = + -- =^ ^h h

b. ( )( ) ( )( )( )a a a a a a625 1 25 1 25 1 25 1 5 1 5 14 2 2 2- = + - = + + -

→ Teoria a p. 10

283

A = 9a; B = 4

scomponiamo 25a2- 1

Scomponi in fattori, riconoscendo la differenza di due quadrati.

49 x2- ; b81 2

- .

a 42- ; x y

161 2 2- .

y 816- ; a b64 2 2

- .

xy25 2 2- ; a b9 254 4

- .

k100 9 2- ; x1 64 2

- .

a b49 2 2- ; x100 12

- .

x25 42- ; x y a9 2 2 2

- .

x41 2- ; a16 81 2

- .

36x y 812 2- ; x1

641 4

- .

a x100 2 2- ; m49

412- .

16x y 252 2- ; x9

1252- .

a100 92- + ; a b 1442 4

- + .

x x4 4 2- ; y y25 642 4

- .

x a b91 2 2 2- ; a36 494

- .

x9 121 4- ; a16 94

- .

x y251

3612 2

- ; a b4914 4

- .

a b648 8- ; 9 81x y2 2

- .

y x49 254 4- ; 64x y 12 2

- .

b y1 8 10- ; x y z 12 4 6

- .

x y256 14 4- ;

x ya49

2 22

- + .

COMPLETA le scomposizioni.

y25 4 2- = (5 - )(5 + )

x91

812- = ( + 9)( - )

b16 2- = ( 3+ )( 3- )

(a144 3- = + )(a3

- )

y4 6- (2= ) (1 2+ - )

a4- (x2

= ) (x6+ - )

Scomponi in fattori ( )x a1 42 2+ - .


( ) ( )x a x1 4 12 2 2+ - = + - ( )2 = [(x + 1) + ] $ [(x + 1) ] = ( ) ( )x a x a1 2 1 2+ + + -

Scomponi in fattori, riconoscendo la differenza di due quadrati.

( )x b3 162 2- - ; ( )a 4 252

+ - .

( )x x y2 1 2 2 2+ - ; ( )y x2 42 4

+ - .

( ) ( )a b a b2 2+ - - ; ( )x y1 2

- + .

( )a b91

3 2- - ; ( ) ( )x x9 5 32 2

+ - - .

284■ ■ ■

285■ ■ ■

286■ ■ ■

287■ ■ ■

288■ ■ ■

289■ ■ ■

290■ ■ ■

291■ ■ ■

292■ ■ ■

293■ ■ ■

294■ ■ ■

295■ ■ ■

296■ ■ ■

297■ ■ ■

298■ ■ ■

299■ ■ ■

300■ ■ ■

301■ ■ ■

302■ ■ ■

303■ ■ ■

304■ ■ ■

305■ ■ ■

306■ ■ ■

307■ ■ ■

308■ ■ ■

309■ ■ ■

310■ ■ ■

riconosciamo A2- B2 scomponiamo A2

- B2= (A + B)(A - B)

311■ ■ ■

312■ ■ ■

313■ ■ ■

314■ ■ ■

ESERCIZI

E


34

Quadrato di un binomio A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 Attività interattiva

ESERCIZIO GUIDA Scomponiamo in fattori x x4 20 252+ + .

x x4 20 252+ +

Controlliamo che x20 sia il doppio prodotto di x2 e : x x5 2 2 5 20" $ =^ h .

x x x4 20 25 2 52 2+ + = +^ h

315

quadrato di 2xquadrato di 5

Scomponi in fattori, riconoscendo il quadrato di un binomio.

y y2 12- + ; a a4 42

+ + .

x x12 362+ + ; x x6 92

- + .

y y16 642- + ; x x4 20 252

+ + .

b b49 142+ + ; a a4 49 282

+ - .

x x100 20 12- + ; k k10 25 12

+ + .

a b ab25 102 2+ + ; a b ab4 9 122 2

+ - .

4x x 44 2+ + ; a a16 8 12

+ + .

a ab b9 62 2+ + ; 4 4x x 12

+ + .

b a ab251

522 2

+ - ; x x491

722

+ + .

b x abx a22 2 2+ + ; a ab b16 82 2 4

+ + .

a ab b412 2

- + ; a b ab10 252 2- + .

a a22 1212- + ; x x y y4 44 2 2

+ + .

a b ab22 4 2+ + ; x y xy9 162 4 2

+ + .

b b16 25402+ + ; x x4 20 25 2

+ + .

16x x 644 2+ + ; a a1 14 49 2

+ + .

25x x70 492+ + ; y y25 60 36 2

- + .

a a 1682- + ; a ab b9 24 162 2

- + .

ab b a4 42 2+ + ; x y xy81 18 12 2

- + .

b b49 28 44 2+ + ; ab a b1 4 4 2 2

+ + .

x y xy91

38

162 2- + ; x x y y121 66 94 2 3 6

- + .

x xy y91

61

1612 2

+ + ; x xy y9

1634

412 2

+ + .

316■ ■ ■

317■ ■ ■

318■ ■ ■

319■ ■ ■

320■ ■ ■

321■ ■ ■

322■ ■ ■

323■ ■ ■

324■ ■ ■

325■ ■ ■

326■ ■ ■

327■ ■ ■

328■ ■ ■

329■ ■ ■

330■ ■ ■

331■ ■ ■

332■ ■ ■

333■ ■ ■

334■ ■ ■

335■ ■ ■

336■ ■ ■

CACCIA ALL’ERRORE Trova gli errori e spiega perché le uguaglianze sono sbagliate.

( )a b a b2 2 2+ = +

9 9 ( )x xy y x y32 2 2- - = -

a y a y161

412 2

2

+ = +b l

4 ( )x x x9 16 2 32 2+ - = -

8 4 ( 2 )a a x x a x4 2 2 4 2 2 2+ + = +

yy y

91

361

4 31

2

2 2

+ + = +c m

TEST Quale tra i seguenti polinomi non è il quadrato di un binomio?

A x x16 8 14 2+ + B y y32 162

- + C x x41 2- + D x xy y25 102 2 4

+ +

COMPLETA le seguenti scomposizioni.

a. x9 492 2+ + = +^ h

b. a b ab16 82 2 2+ + = +^ h

c. x25 44 2+ + = +^ h

d. b81 36 2 2- + = -^ h

SPIEGA PERCHÉ Se al quadrato di un numero naturale aggiungiamo 1 e il doppio del numero stesso, trovia-mo il quadrato del suo successivo. Spiega perché.

337■ ■ ■

338■ ■ ■

339■ ■ ■

340■ ■ ■

341■ ■ ■

342■ ■ ■

343■ ■ ■

344■ ■ ■

345■ ■ ■

ESERCIZI

E


35

SPIEGA PERCHÉ Leonardo: « x x4 40 1002- + - non può essere lo sviluppo del quadrato di un binomio,

perché x4 2- e 100- sono negativi». Angela: «Certo, però non è tanto diverso». Hai capito a cosa sta pensando

Angela?

Scomponi in fattori, riconoscendo il quadrato di un binomio.

x x4 12 92- + -

IN 2 PASSI

Raccogli il fattore -1.

Scomponi il trinomio tra parentesi, ricono-scendo il quadrato di un binomio.

x x8 162- - - ; x x30 9 25 2

- - .

x x10 252- + - ; y y6 9 12

- - .

x x20 25 42- - ; x y xy1 22 2

- - + .

a b ab4 42 2- - - ; xy x y12 9 42 2

- - - .

Scomponi in fattori: a b ab b4 42 2 2 2- + .


Per prima cosa, effettuiamo un raccoglimento totale:

a b ab b4 42 2 2 2- + = (4a2 + 1)

Il secondo fattore è il quadrato di un binomio se è il doppio prodotto dei due termini 2a e 1. Controlliamo:

a a2 2 1 4$ $- =-^ h , oppure a2 2$ $^ h ( ) a4=- .

Quindi:

a b ab b b a4 4 1 22 2 2 2 2 2- + = -^ h , oppure a b ab b b a4 4 2 12 2 2 2 2 2

- + = -^ h .

Scomponi in fattori i seguenti polinomi.

x xy y4 8 42 2- + ; x x36 24 4 2

- + .

16 64x x y xy3 2 2+ + ; a ab b5 10 52 2

+ + .

x x x2 4 24 3 2+ + ; xy xy xy3 12 123 2

- + .

xy x y4 2 22 2- - ; x y x x y4 43 4 2 2

- - .

EUREKA! Scomponi i seguenti polinomi.

a. x x y2 12 2+ + - b. a a b4 9122 2

+ + - c. x xy y16 6 92 2- + -

[ )( )( ); ) ( )( ); ) ( )( )]x y x y x xa b a b y y1 1 2 3 2 3 4 3 4 3a b c+ - + + + - + + - + + -

Quadrato di un trinomio Attività interattiva A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC = (A + B + C)2

ESERCIZIO GUIDA Scomponiamo in fattori b a a b ab9 4 8 12 4 122 2+ - + + - .

Il polinomio ha sei termini di cui tre sono dei quadrati, quindi può essere il quadrato di un trinomio.Individuiamo i tre quadrati:

b a a b ab9 4 8 12 4 122 2+ - + + - .

Controlliamo se gli altri tre termini sono i tre doppi prodotti, senza tener conto del segno:

.b a a b ab9 4 8 12 4 122 2+ - + + -

346■ ■ ■

347■ ■ ■

1

2

348■ ■ ■

349■ ■ ■

350■ ■ ■

351■ ■ ■

352■ ■ ■

raccogliamo b2

quadrato di 1quadrato di 2a

353■ ■ ■

354■ ■ ■

355■ ■ ■

356■ ■ ■

357■ ■ ■

358

(3b)2 (2a)2 (2)2

2 $ 3b $ 2a2 $ 2 $ 3b2 $ 2a $ 2

ESERCIZI

E


36

Consideriamo i segni dei doppi prodotti: a8- , b12+ , ab12- .

Abbiamo due possibili scomposizioni equivalenti: ( )b a3 2 2 2- + oppure ( )b a3 2 2 2

- + - .

2a e 2 discordi

2 e 3b concordi

3b e 2a discordi

Scomponi in fattori riconoscendo il quadrato di un trinomio.

x y y x xy2 1 2 22 2+ + + + +

a b ab b a9 4 4 12 8 122 2+ + + - -

4x y xy x y4 16 8 162 2+ - + + -

1 6 9 2y y xy x x91

322 2

+ + - + -

ab a a b b4 44 8 42 2+ + + + +

16 8 1x xy y x y8 22 2+ + + - -

a b a b ab8 4161

42 2- + + + -

4 8 12 12 4y xy x y x 92 2+ - - + +

x x y ax ay y a6 4 12 9 46 3 3 2 2- + - + +

x y xy z xz zy41

22 4 2 2 2+ - + - +

Quale termine occorre aggiungere al polinomio a b a b a a b a b2 24 2 4 4 2 3 3 2+ + + + in modo che sia il quadrato

di un trinomio?

Cubo di un binomio Attività interattiva A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3

ESERCIZIO GUIDA Scomponiamo in fattori y y y8 27 36 543 2- - + .

Il polinomio ha quattro termini di cui due sono dei cubi, quindi può essere il cubo di un binomio.

Individuiamo i due cubi: y y y8 27 36 543 2- - + .

Controlliamo che gli altri due termini siano i tripli prodotti:

( ) ( )y y36 3 2 32 2$ $- = - e ( ) ( )y y54 3 2 3 2

$ $+ = - .

Quindi: ( )y y y y8 27 36 54 2 33 2 3- - + = - .

COMPLETA le seguenti scomposizioni

b b b b3 3 13 2 3- + - = -^ h .

y y y1 6 12 82 3 3+ + + = +^ h .

xx 27 33 3+ = ++ + ^ h .

a a a1 27 9 273 2 3- - + = -^ h .

Scomponi in fattori riconoscendo il cubo di un binomio.

b ab a b a8 12 63 2 2 3- + - +

3 1 3y y y3 2+ - -

x y x y xy27 27 93 3 2 2+ + +

3x y y x y x32 2 3 4 6- - - -

a a a125 15 753 2+ + +

a ab b a b43

81

233 2 3 2

+ - -

24 8 8 24x y y x xy2 3 3 2+ + +

a a b b a b3 36 4 2 6 2 4+ + +

x x x 86 123 2+ + +

a a a27 27 9 2 3- + -

a b a b ab271

313 3 2 2

- + + -

48 12y y y 642 3- + -

x y y xy x36 27 54 82 3 2 3+ + + +

b b b3 12 82 3- + - +

y x y xyx3 3 12 2 3 3- + + -

x x x8 27 36 543 2+ + +

359■ ■ ■

360■ ■ ■

361■ ■ ■

362■ ■ ■

363■ ■ ■

364■ ■ ■

365■ ■ ■

366■ ■ ■

367■ ■ ■

368■ ■ ■

369■ ■ ■

370

(2y)3 (-3)3

371■ ■ ■

372■ ■ ■

373■ ■ ■

374■ ■ ■

375■ ■ ■

376■ ■ ■

377■ ■ ■

378■ ■ ■

379■ ■ ■

380■ ■ ■

381■ ■ ■

382■ ■ ■

383■ ■ ■

384■ ■ ■

385■ ■ ■

386■ ■ ■

387■ ■ ■

388■ ■ ■

389■ ■ ■

390■ ■ ■

ESERCIZI

E


37

Scomposizione con il metodo di Ruffini Attività interattiva

Zeri di un polinomio

TEST Solo uno, tra i numeri seguenti, è uno zero del polinomio x x x2 3 23 2- - + - . Quale?

A -1 B 2 C -2 D 0

Determina gli eventuali zeri razionali dei seguenti polinomi.

x x6 72- - [ , ]1 7-

b b 23+ + [ ]1-

x x x2 5 63 2+ - - [ , , ]3 1 2- -

x x2 24 2- + - [nessuno]

a a a2 2 45 4+ + + [ ]2-

y y y7 9 34 2- + - [1]

x x x5 4 203 2- - + [ , , ]2 2 5-

x x x2 13 16 53 2+ + + , ,5 1 2

1- - -8 B

x x x3 2 9 63 2- + - 3

2: D

x x x5 2 83 2- + + [ , , ]21 4-

SPIEGA PERCHÉ Perché, sicuramente, il polinomio x x2 146+ + non ha alcuno zero?

Qual è il prodotto degli zeri del polinomio x x x5 4 203 2+ - - ? 206 @

(Furman University – Ciphering Competition)

Scomposizione con il metodo di Ruffini

ESERCIZIO GUIDA Scomponiamo in fattori con il metodo di Ruffini: P a a a a5 3 93 2= - + +^ h .

Cerchiamo gli zeri di P(a) tra i divisori del termine noto: 1! ; 3! ; 9! .

Calcoliamo: ( )P 1 1 5 3 9 0!= - + + ;

( )P 1 1 5 3 9 0- =- - - + = " a 1+ è divisore di P(a).

Eseguiamo la divisione:

( ) : ( )a a a a5 3 9 13 2- + + +

1 5- 3 9

" ( )Q a a a6 92= - + ; R 0= .

1- 1- 6 9-

1 6- 9 0

Il polinomio Q(a) è ancora scomponibile:

Otteniamo la scomposizione finale:

( )a a a6 9 32 2- + = - .

( ) ( )a a a a a a5 3 9 6 9 13 2 2- + + = - + + = ( ) ( )a a3 12

- + .

Scomponi in fattori, utilizzando la regola di Ruffini.

6x 2 - 5x - 1 [(x - 1)(6x + 1)]

4x 2 - 7x - 15 [(x - 3)(4x + 5)]

5x 2 - 4x - 1 [(x - 1)(5x + 1)]

x x x2 43 2+ + - [( ) ( )]x x x1 2 42

- + +

a a3 43 2- + [( ) ( ) ]a a1 2 2

+ -

2a3 - a2 - 5a - 2 [(a + 1)(a - 2)(2a + 1)]

→ Teoria a p. 10

391■ ■ ■

392■ ■ ■

393■ ■ ■

394■ ■ ■

395■ ■ ■

396■ ■ ■

397■ ■ ■

398■ ■ ■

399■ ■ ■

400■ ■ ■

401■ ■ ■

402■ ■ ■

403■ ■ ■

404

405■ ■ ■

406■ ■ ■

407■ ■ ■

408■ ■ ■

409■ ■ ■

410■ ■ ■

ESERCIZI

E


38

y y y y3 24 3 2- + - + y y y1 22 2

- + +^ ^h h6 @IN 4 PASSI

Individua uno zero del polinomio.

Scomponi il polinomio con il metodo di Ruffini.

Considera il polinomio quoziente Q1(y) eindividua un suo zero. Scomponi Q1(y) applicando di nuovo il metodo di Ruffini.

Cerca uno zero del polinomio quoziente ( )Q y2 . Se non lo trovi fra tutti quelli possi-

bili, la scomposizione è terminata.

x x 23 2- + [( ) ( )]x x x1 2 22

+ - +

k k4 53+ + [( ) ( )]k k k1 52

+ - +

3b3 - 4b2 + 5b - 4 [(b - 1)(3b2 - b + 4)]

3a3 - 2a2 - 5a - 6 [(a - 2)(3a2 + 4a + 3)]

y y 24 2+ - [( ) ( )( )]y y y1 1 22

- + +

a a3 23- + [( ) ( )]a a1 22

- +

2b3 + 5b2 - 4b - 3 [(b - 1)(b + 3)(2b + 1)]

t 3 - 39t + 70 [(t - 2)(t - 5)(t + 7)]

x 3 - 3x - 2 [(x + 1)2(x - 2)]

x 3 - 2x 2 - 5x + 6 [(x - 1)(x + 2)(x - 3)]

4b + 16 + b4 - 2b3 - 10b2 [(b + 2)(b - 4)(b2 - 2)]

x x x2 83 2- + - [( 2)( )]x x x 42

- + +

8x x x 84 3+ - - [( 1)( 2)( )]x x x x2 42

- + - +

y 4 - 4y 3 - 2y 2 + 9y - 4 [(y - 4)(y - 1)(y 2 + y - 1)]

x 5 - x 4 - 10x 3 - 8x 2 [ ( )( )( )]x x x x1 2 42+ + -

6x 4 - 5x 3 - 2x 2 + x [x(x - 1)(2x + 1)(3x - 1)]

TEST (x + 1) è un fattore della scomposizione di P(x) = 2x 3 + 5x 2 + 2x + k se k è uguale a:

A 0. B -1. C 1. D -2.

Somma o differenza di cubi Attività interattiva A3 ! B3 = (A ! B) · (A2 " AB + B2)

ESERCIZIO GUIDA Scomponiamo in fattori: a. x y27 3 3+ ; b. b1 8

1 3- .

a. x y x y x xy yy y y yx x x x27 3 9 33 3 3 33 3 3 3 2 2 2 2$+ = = + + = + ++ - -^ ^ ^ ^ ^h h h h h6 @

b. b b b bb b b b1 81

1 21

1 21

41

1 1 121

21

21

21

13 33

22

2$- = = - + = - +- + +` ` ` ` `j j j j j: D

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi.

x 273+ ; y 1253

+ .

a b64 273 3- ; a 16

+ .

a2713

- ; t64 3- .

y y2 54 4+ ; a b 273 3

- .

x y18 9- ; x y 83 3

+ .

b a6 66 6- ; x y27 9 9

- .

411■ ■ ■

1

2

3

4

412■ ■ ■

413■ ■ ■

414■ ■ ■

415■ ■ ■

416■ ■ ■

417■ ■ ■

418■ ■ ■

419■ ■ ■

420■ ■ ■

421■ ■ ■

422■ ■ ■

423■ ■ ■

424■ ■ ■

425■ ■ ■

426■ ■ ■

427■ ■ ■

428■ ■ ■

429

A = 3x; B = y

A = 1; B = 21b

430■ ■ ■

431■ ■ ■

432■ ■ ■

433■ ■ ■

434■ ■ ■

435■ ■ ■

ESERCIZI

E

Scomposizione in fattori RIEPILOGO

39

a b125

8 3 3- ; 81x 13

- .

a818

13- ; 64x 83

- .

x x27 4+ ; t m

1251 3 3

- .

x y125 19 6- ; 40x

85 3+ .

b a31

24273 3

+ ; a a8 5 8+ .

a a5 405 2+ ; ( )a2 13

+ + .

SPIEGA PERCHÉ Il binomio 27x 3 + 8 è divisibile per 3x + 2? Perché?

YOU & MATHS Use tricks to divide each given polynomial by the one proposed without actually setting up the division between polynomials.

a. Divide x 16- by x 13

- . b. Divide x 273+ by x x3 92

- + .

YOU & MATHS Which is a factor of 5x 4 - 135xy 3?

A x 2 + 6xy + 9y 2

B x 2 - 6xy - 9y 2

C x 2 - 3xy + 9y 2

D x 2 + 3xy + 9y 2

E x 2 - 6xy + 9y 2

(USA Tennessee Mathematics Teachers Association: 39th Annual Mathematics Contest)

Riepilogo: Scomposizione in fattori Attività interattiva

436■ ■ ■

437■ ■ ■

438■ ■ ■

439■ ■ ■

440■ ■ ■

441■ ■ ■

442■ ■ ■

443■ ■ ■

444■ ■ ■

______I FONDAMENTALI

Scomporre un polinomio

Scomponiamo il polinomio ( )P x x x x4 15 183 2= + - - .

Contiamo i termini di P (x).

( )P x x x x4 15 183 2"= + - - 4 termini.

Individuiamo la tecnica di scomposizione da applicare.

Può essere utile percorrere la seguente «tabella di marcia».

1. Raccoglimento a fattore comune.

2. Raccoglimento parziale.

3. Scomposizione con prodotti notevoli.

Se il polinomio ha:

• 2 termini, può essere

una differenza di quadrati ( ) ( )a b a b a b2 2- = + - ;

una differenza di cubi ( )( )a b a b a ab b3 3 2 2- = - + + ;

una somma di cubi ( )( )a b a b a ab b3 3 2 2+ = + - + ;

una somma di quadrati a b2 2+ che è irriducibile;

• 3 termini, può essere

il quadrato di un binomio ( )a ab b a b22 2 2! !+ = ;

un trinomio speciale ( ) ( )( )x a b x ab x a x b2+ + + = + + ;

un falso quadrato a ab b2 2! + che è irriducibile;

• 4 termini, può essere il cubo di un binomio ( )a a b ab b a b3 33 2 2 3 3! ! !+ = ;

• 6 termini, può essere il quadrato di un trinomio ( )a b c ab ac bc a b c2 2 22 2 2 2+ + + + + = + + .

!3

Se necessario, prima di contare i termini del polinomio, lo riduciamo

in forma normale.

«Tabella di marcia» per scomporre un polinomio: se un metodo non è efficace,

passiamo al successivo.

ESERCIZI

E


40

CACCIA ALL’ERRORE

a4 + a3 + a2 = a2(a2 + a)

9a4 - b16 = (3a2 - b4)(3a2 + b4)

a3b3 + 1 = (ab + 1)(a2b2 + ab + 1)

- x 2 - 4y 2 - 4xy = (- x - 2y)2

VERO O FALSO?

a. x ax a4 166 3 2- + è il quadrato di un binomio. V F

b. x xy x y y2 2 2 12 2- - + - + scomposto è ( )x y 1 2

+ - . V F

c. Il polinomio x3 52+ è irriducibile. V F

d. Il trinomio x x 562- - si scompone come trinomio speciale. V F

TEST Quale delle seguenti uguaglianze è vera?

A ( )a a a a3 1 3 13 2 3- - - = -

B ( )x x x8 1 16 1 42 2- - =- -

C ( ) ( )a b a b a b9 3 39 4 3 2 3 2- = + -

D a ba ab a b b 2 14 2 4 4 1 22 2+ -+ + + - + = ^ h

445■ ■ ■

446■ ■ ■

447■ ■ ■

448■ ■ ■

449■ ■ ■

450■ ■ ■

4. Scomposizione con il metodo di Ruffini.

Scomponiamo.

Osserviamo che il polinomio dato P(x) ha 4 termini e seguiamo in ordine lo schema. Notiamo che:

• non possiamo eseguire né un raccoglimento totale né un raccoglimento parziale;

• P(x) non può essere il cubo di un binomio.

Poiché ( )P 1 0- = , scomponiamo con il metodo di Ruffini. Otteniamo:

( ) ( )( )P x x x x1 3 182= + + - .

Verifichiamo che tutti i fattori siano irriducibili.

Il secondo fattore di P(x) è un trinomio di secondo grado.In questo caso è scomponibile come trinomio speciale:

( ) ( )( ) ( )( )( )P x x x x x x x1 13 18 3 62= + + - = + - + .

Poiché tutti i fattori sono irriducibili, abbiamo concluso.

Dato che la scomposizione con il metodo di Ruffini è la più

laboriosa, proviamo ad applicare prima tutti gli altri metodi:

Ruffini è l’ultima opzione!

Se uno dei fattori non è irriducibile, dobbiamo

scomporlo ulteriormente.

Binomi di primo grado e somme di quadrati del tipo x2 + 4 o x2 + y2

sono sempre irriducibili.

TEST Quale dei seguenti trinomi non è il quadra-to di un binomio?

A a4 + 16x 4 + 4a2x 2

B 4a2 + x 2 - 4ax

C 25 + 20a + 4a2

D 9x 2 + 4 + 12x

TEST Il binomio 27a 3x 3 - 8a 3 è scomponibile in uno solo dei seguenti modi. Quale?

A (3ax - 2a)3

B (- 3ax + 2a)3

C (3ax - 2a)(9a 2x 2 - 12a 2x + 4a 2)

D a 3(3x - 2)(9x 2 + 6x + 4)


x x2 12 82- + [ ( )]x x2 6 42

- +

ax x a2 3 62 2+ - - [( ])( )x a3 22

- +

y y8 162+ + [( ) ]y 4 2

+

a y4 24- [( ) ( )]a y a y2 22 2

- +

x y3 272 2- [ ( ) ( )]x y x y3 3 3- +

ax ax y a x6 8 55 4 2 4- + [ ( )]ax x y a6 8 54

- +

x x b bx2 2 2- - + [( ) ( )]x b x2 1- -

c c25 10 12- + [( ) ]c5 1 2

-

451■ ■ ■

452■ ■ ■

453■ ■ ■

454■ ■ ■

455■ ■ ■

456■ ■ ■

457■ ■ ■

458■ ■ ■

459■ ■ ■

460■ ■ ■

ESERCIZI

E

Scomposizione in fattori RIEPILOGO

41

a x x9 162 3 3- [ ( )( )]x a a3 4 3 43

+ -

k k k k k1 2 2 26 2 3 4+ + + + + [( ) ]k k 13 2

+ +

m m3 252+ - [( ) ( )]m m2 3 1+ -

t t4

255 2+ + t

25 2

+` j: D

x ax a a6 3 2 2- + - [( ) ( )]a x a2 3- +

16 4x y x5 2 3- [ ( ) ( )]x xy xy4 2 1 2 13

+ -

c64 13- [( ) ( )]c c c4 1 16 4 12

- + +

b4 94- [( ) ( )]b b2 3 2 32 2

+ -

25 9x x302+ - [( ) ]x5 3 2

-

1 9 27y y y272 3- + - [( ) ]y1 3 3

-

a a491

342

+ - a231 2

-a k: D

125x y3 6- [( ) ( )]x y x xy y5 25 52 2 2 4

- + +

x x41 2+ + x

21 2

+` j: D

y y11 302- + [( ) ( )]y y5 6- -

b b b271

312 3

+ + + b31 3

+a k: D

x x13 222- + [( ) ( )]x x11 2- -

a a21 42- - [( ) ( )]a a7 3- +

6x x13 52+ - [( ) ( )]x x3 1 2 5- +

1 2x x2- + [( ) ( )]x x1 2 1+ -

( )a b1 2- + [( ) ( )]a b a b1 1+ + - -

8 6 12x y x y x y x y5 2 3 2 4 2 2 2+ - - [ ( ) ]x y x2 12 2 3

-

- 7x 2y 2 + 14x 5y 6 [ ( )]x y x y7 1 22 2 3 4- +

xx

41

42

+ +x2

12 2

+a k; E

a2 + b2 + 4c2 - 2ab - 4ac + 4bc [( ) ]a b c2 2- -

x x x21

21

213 2

- + ( )x x x21

12- +8 B

y x y x xy94

49

34

2 32 2+ + - + - y x

32

23 2

- +a k: D

a b ab169

916

22 2+ + ab

43

34 2

+a k: D

3ax + 3xy + 2a + 2y [( )( )]a y x3 2+ +

8x 3 + 12x 2 + 6x + 1 [( ) ]x2 1 3+

a b a b ab271

21

49

8273 3 2 2

- + - ab31

23 3

-a k: D

x y z xy xz yz441

2 42 2 2+ + + - - x y z2

21 2

+ -` j: D

y3z12 - a9 [( )( )]yz a y z a yz a4 3 2 8 3 4 6- + +

3b2 + b - 10 [( )( )]b b2 3 5+ -

x 3 - 2x 2 + 4x - 3 [(x - 1)(x 2 - x + 3)]

3 3x x x x5 4 3 2- + - [ ( ) ]x x 12 3

-

x y xy y9 24 162- + [ ( ) ]y x3 4 2

-

mt mt m2 4 302- - [ ( )( )]m t t2 5 3- +

a c a3 242 3 2- [ ( )( )]a c c c3 2 2 42 2

- + +

t t13 123- - [( ) ( )( )]t t t1 4 3+ - +

x x x2 12 24 163 2- + - [ ( ) ]x2 2 3

-

x x6 2- [ ( ) ( )( )]x x x x1 1 12 2

+ + -

32x - 12x 2 - 16 [- 4(x - 2)(3x - 2)]

3x 5 - 81x 2 [3x 2(x - 3)(x 2 + 3x + 9)]

a625

14- a aa

51

51

2512

- + +b b bl l l: D

a x b abx ax2 22 2- + - [( ) ( )]ax b ax 2+ -

t t t t27 54 8 364 3 2- - + [ (3 2) ]t t 3

-

2 2x x x43 2+ - [2 ( 1)( 2)]x x x- +

x x x2 5 63 2-+ - [( ) ( )( )]x x x31 2+ + -

7x 4 - 7 [7(x - 1)(x + 1)(x 2 + 1)]

3 7 2x x x2 3- + [ ( 3)(2 1)]x x x- -

461■ ■ ■

462■ ■ ■

463■ ■ ■

464■ ■ ■

465■ ■ ■

466■ ■ ■

467■ ■ ■

468■ ■ ■

469■ ■ ■

470■ ■ ■

471■ ■ ■

472■ ■ ■

473■ ■ ■

474■ ■ ■

475■ ■ ■

476■ ■ ■

477■ ■ ■

478■ ■ ■

479■ ■ ■

480■ ■ ■

481■ ■ ■

482■ ■ ■

483■ ■ ■

484■ ■ ■

485■ ■ ■

486■ ■ ■

487■ ■ ■

488■ ■ ■

489■ ■ ■

490■ ■ ■

491■ ■ ■

492■ ■ ■

493■ ■ ■

494■ ■ ■

495■ ■ ■

496■ ■ ■

497■ ■ ■

498■ ■ ■

499■ ■ ■

500■ ■ ■

501■ ■ ■

502■ ■ ■

503■ ■ ■

504■ ■ ■

505■ ■ ■

506■ ■ ■

507■ ■ ■

508■ ■ ■

509■ ■ ■

510■ ■ ■

ESERCIZI

E


42

2 2y x x y2 2 2 2- + - [(1 )(1 )( )]x x y 22

+ - +

x x x x4 2 24 3 2- - + ( ) ( )x x x2 1 2 12

- -6 @

y - 2 - x 2y + 2x 2 [(x + 1)(1 - x)(y - 2)]

12x 4y + 16x 2y 3 - 2x 5 - 24x 3y 2 [ ( ) ]x y x2 22 3-

(a + 1)(a2 + 1) - (a + 1)(a2 - 1) [2(a + 1)]

x 6 - x 4 + x 2 - 1 [(x + 1)(x - 1)(x 4 + 1)]

(a + b)3x 2 - (a - b)3x 2 [6bx 2]

3ax - 3bx - 6ay + 6by [3(x - 2y)(a - b)]

x 3 + 4x 2 - 9x - 36 [(x + 4)(x - 3)(x + 3)]

3x 4 - 12ax 2 + 12a2 [3(x 2 - 2a)2]

t t t2 5 11 43 2- - - [( ) ( )( )]t t t1 4 2 1+ - +

- 49a3 - 14a2b - ab2 [- a(7a + b)2]

-2xb2 - 4xb - 2x [-2x(b + 1)2]

b 19- [( ) ( )( )]b b b b b1 1 12 6 3

- + + + +

x 5 - 10x 4 + 25x 3 [x 3(x - 5)2]

a9 - 3a6 + 3a3 - 1 [(a - 1)3(a2 + a + 1)3]

a b b16912

- b a a431

431

- +b bl l: D

a4(x 2 + 1) - 2a4 [a4(x + 1)(x - 1)]

x 6 - 12x 4 + 48x 2 - 64 [(x + 2)3(x - 2)3]

x 3 + x 2y - x - y [(x - 1)(x + 1)(x + y)]

x3y3 + 4x3y + xy3 + 4xy [xy(x2 + 1)(y2 + 4)]

c c c6 18 18 62 4 6- + - [ ( ) ( ) ]c c6 1 13 3

+ -

a b a b ab ab3 3 3 3+ - - [ ( ) ( )( )]ab a a b1 1 12

- + +

9x 2 - (x - 5)2 [(2x + 5)(4x - 5)]

12(a + b) - 6(a2 - b2) [6(a + b)(2 - a + b)]

(a + 2)2 - 1 [(a + 1)(a + 3)]

511■ ■ ■

512■ ■ ■

513■ ■ ■

514■ ■ ■

515■ ■ ■

516■ ■ ■

517■ ■ ■

518■ ■ ■

519■ ■ ■

520■ ■ ■

521■ ■ ■

522■ ■ ■

523■ ■ ■

524■ ■ ■

525■ ■ ■

526■ ■ ■

527■ ■ ■

528■ ■ ■

529■ ■ ■

530■ ■ ■

531■ ■ ■

532■ ■ ■

533■ ■ ■

534■ ■ ■

535■ ■ ■

536■ ■ ■

Equazioni e scomposizioni

ESERCIZIO GUIDA Risolviamo le seguenti equazioni, scomponendo in fattori il primo membro:

a. x x2 16 02- = ; b. x x6 9 02

- + = .

a. ( )x x x x x x x x2 16 0 2 8 0 2 0 8 0 0 82" " "0 0- = - = = - = = = .

b. ( )x x x x x6 9 0 3 0 3 0 32 2" " "- + = - = - = = .

Risolvi le seguenti equazioni.

( )( )x x3 5 4 0- + = [ ; ]5 4-

x x7 02- = [0; 7]

x 9 02- = [ ]3!

x x4 03+ = [ ]0

x x2 1 02+ + = [ ]1-

x x5 20 02- = [ ; ]0 4

x x25 10 1 02- + = 5

1: Dx x x3 18 27 03 2- + = [0; 3]

( )( )x x25 9 2 02- + = ;2 5

3!-: D

x x36 03- = [ ; ]0 6!

x x16 08 6- = [ ; ]0 4!

x x4 162- = - [ ; ]4 3-

537

raccogliamo

il fattore comune 2x

applichiamo la legge di

annullamento

del prodotto

quadrato di

un binomio

un quadrato è nullo

quando lo è la

sua base

538■ ■ ■

539■ ■ ■

540■ ■ ■

541■ ■ ■

542■ ■ ■

543■ ■ ■

544■ ■ ■

545■ ■ ■

546■ ■ ■

547■ ■ ■

548■ ■ ■

549■ ■ ■

ESERCIZI

E

MCD e mcm di polinomi PARAGRAFO 5

43

ESERCIZIO GUIDA Marta sa che utilizzare l’energia da fonti rinnovabili è importante per tutelare l’ambiente e quindi deci-de di installare 122 m2 di pannelli solari sul tetto di casa, che è rettangolare e misura 8 16m m# . È prevista una parte di tetto non occupata dai pannelli, attorno a un lucernario; tale parte deve avere la forma di un rettangolo, con un lato che è la dif-ferenza tra il doppio dell’altro lato e 1. Quali dovrebbero esse-re le misure dei lati di questo rettangolo?

L’area del rettangolo si ottiene per differenza: 8 16 122 6$ - = .Se indichiamo con x la misura di un lato del rettangolo, la misura dell’altro lato è x2 1- . Pertanto, l’area del rettangolo, in funzione di x, è ( )x x x x2 1 2 2

- = - .Uguagliamo le espressioni per l’area: x x x x2 6 2 6 02 2

"- = - - = .Per risolvere l’equazione, scomponiamo il primo membro riconoscendo il trinomio speciale:

( ) ( )x x x x x x x x2 6 0 2 4 3 6 0 2 2 3 2 02 2" " "- - = - + - = - + - =

( )( )x x x x2 3 2 0 23 2" 0+ - = =- = .

Poiché x indica una misura, l’unica soluzione accettabile è x 2= . I lati del rettangolo sono lunghi 2 m e 3 m.

REALTÀ E MODELLI Quadrato per pesci Nel tuo giardino, di 8 m # 5 m, vuoi scavare una buca di forma quadrata per costruire una vasca per i pesci. Quale deve essere il lato della buca affinché rimangano 36 m2 di giardino? [2 m]

REALTÀ E MODELLI Un bel giardino! La casa di Lorenza sorge all’interno di un terreno rettangolare di 20 m # 40 m. La casa ha base rettangolare e un lato lungo 2 metri più dell’altro. Il terreno rimanente è adibito a giardino e ha un’area di 680 m2. Quali sono le lunghezze dei lati della casa? [10 m e 12 m]

MCD e mcm di polinomi Attività interattiva

ESERCIZIO GUIDA Calcoliamo MCD e mcm dei polinomi: ; ;x x x x x x x2 8 4 2 16 323 2 3 2 2+ - + + + .

Scomponiamo in fattori i polinomi.

x x x x x x x x x2 8 2 8 2 43 2 2+ - = + - = - +^ ^ ^h h h

x x x x4 43 2 2+ = +^ h

x x x x x2 16 32 2 8 16 2 42 2 2+ + = + + = +^ ^h h

MCD = x 4+^ h

mcm = x x x2 2 42 2- +^ ^h h

550

somma = -1; prodotto = -12;

numeri: -4 e +3

legge di annullamento del prodotto

551■ ■ ■

552■ ■ ■

5 → Teoria a p. 12

553

fattori comuni con esponente più basso

fattori comuni e non comuni con esponente più alto

ESERCIZI

E


44

Calcola MCD e mcm dei seguenti polinomi.

x x2 42- ; x - 2. [MCD = x - 2; mcm = 2x (x - 2)]

a a32- ; 8a2. [MCD = a; mcm = 8a2 (a - 3)]

x x43 2- ; x x3 122

- . [MCD = x (x - 4); mcm = 3x2 (x - 4)]

x x84 3+ ; x x x7 83 2

+ - . [ ( ); ( ) ( )]x x x x x8 8 1MCD mcm 3= + = + -

x x4 4 12+ + ; x4 12

- . [ ; ( ) ( ) ]x x x2 1 2 1 2 1MCD mcm 2= + = - +

a a4 62- ; a a12 36 272

+ + . [ ; ( ) ( ) ]a a a1 6 2 3 2 3MCD mcm 2= = - +

x xy y2 4 22 2+ + ; x x y4 43 2

+ . [ ( ); ( ) ]x y x x y2 4MCD mcm 2 2= + = +

x x x x27 9 274 3 2- - + ; x x94 2

- . [ ( ); ( ) ( )]x x x x x3 3 3MCD mcm 2 3= - = - +

a a15 33 2+ ; a a6 182

- ; a b a18 182 2+ . ;a a a a b3 18 5 1 3 1MCD mcm 2

= = + - +^ ^ ^h h h6 @

m m253- ; m m2 103 2

- ; m m m6 53 2- + . ;m m m m m m5 2 5 5 1MCD mcm 2

= - = - + -^ ^ ^ ^h h h h6 @

x x12 12 32- + ; xy x y12 12 6 6- - + ; xy y6 32 2

- . ;x y x y3 2 1 6 2 1 1MCD mcm 2 2= - = - -^ ^ ^h h h6 @

a b ab22 2- ; a b ab6 122 2 3

+ ; a b a b3 63 2 2 3- - . ;ab a b a b a b2 6 2MCD mcm 2 2

= + = +^ ^h h6 @

a b2 2- ; a b a b ab3 33 3 2 2

- - + ; a a ab b3 32- - + . [MCD = (a - b); mcm = (a - b)3(a + b)(3a - 1)]

3x 2 - 3x - 18; 4x 5 - 16x 3. [MCD = (x + 2); mcm = 12x3(x - 3)(x - 2)(x + 2)]

2 2x x x43 2-+ ; 4 4xx 34

- ; 4x x43- . [MCD = 2x(x - 1); mcm = 4x 3(x - 1)(x + 1)(x + 2)]

(x 2 - 4)(x 2 + 9); (x 3 + 9x)(x 2 + 4x + 4); x 3 - 4x. [MCD = (x + 2); mcm = x(x + 2)2(x 2 + 9)(x - 2)]

VERO O FALSO?

a. Il mcm di polinomi non può essere 1. V F

b. x 2- è un divisore di x x2 62- - . V F

c. I due polinomi x31

1+^ h e a b52+^ h non hanno un divisore comune. V F

d. Il mcm di a3 9+ e a3 6+ è a3 9+ . V F

TEST Il MCD tra due polinomi è x x 1-^ h e il loro mcm è x x x1 12 2- +^ ^h h.

I due polinomi sono:

A ,x x x x2 12 2- - + . C ,x x x x x24 2 3 2

- - + .

B ,x x x x x22 4 3 2+ - + . D ,x x x x2 3

+ - .

FAI UN ESEMPIO di due polinomi che hanno x x2 32+ - come MCD.

FAI UN ESEMPIO di due polinomi che hanno x y x y5 54 2 3- come mcm.



554■ ■ ■

555■ ■ ■

556■ ■ ■

557■ ■ ■

558■ ■ ■

559■ ■ ■

560■ ■ ■

561■ ■ ■

562■ ■ ■

563■ ■ ■

564■ ■ ■

565■ ■ ■

566■ ■ ■

567■ ■ ■

568■ ■ ■

569■ ■ ■

570■ ■ ■

571■ ■ ■

572■ ■ ■

573■ ■ ■

ESERCIZI

E

45

FAI IL PUNTO

SUI FONDAMENTALI

DIVISIBILITÀ

a. Due polinomi divisibili per lo stesso polinomio sono uguali. V F

b. Se un polinomio A(x) è divisibile per B(x), allora è divisibile anche per ( )B x2 . V F

c. Se un polinomio A(x) è divisibile per B(x), allora anche ( )x A x3 $ è divisibile per B(x). V F

d. Se un polinomio è divisibile per a b 44 2- , allora è divisibile anche per a b 22

+ . V F

DIVISIONI FRA POLINOMI Esegui le seguenti divisioni.

( ) : ( )x x x x4 2 1 22 23- + + + ( ) : ( )x x x x x8 2 12 24

- + - + -

DIVISIONE FRA POLINOMI

A

2x

2x

3x2 + 1

B

CDL’area della zona colorata del rettangolo in figura misura

x x x3 8 43 2+ + + , con x 02 .

Utilizza i dati della figura per determinare la misura di CB.

DIVISIONE CON LA REGOLA DI RUFFINI Esegui la divisione (b4 - 3b2 + 2) : (b - 2) applicando la regola di Ruffini.

TEOREMA DEL RESTO Determina il resto della divisione (a4 - 4a3 - 2a2 + 3a) : (a - 2) senza eseguirla.

TEOREMA DEL RESTO Indica qual è il resto della divisione : ( )x x x4 221

2 12- + -b l .

A21

B21

- C43

- D23

TEOREMA DI RUFFINI Stabilisci se il polinomio x x x3 4 1223+ - - è divisibile per x 3+ , x 3- , x 1+ , ,x 2+

x 2- .

TEOREMA DI RUFFINI Il polinomio ( )P x x x k2 2133

= - + è divisibile per (x + 2) se k è uguale a:

A +1. B -2. C -3. D +3.

SCOMPOSIZIONI IN FATTORI Scomponi in fattori.

4a3 + ax 2 + 4a2 x

x 3 + 3x 2 - 4x - 12

x x x2 8 10 24 3+ -

x ax x aa3 3 6 6 6 32 2+ - + - +

ax a4 323-

x x x x8 12 6 24 3- - +

y y y2 24 3- + -

a a39 703- +

MCD E mcm DI POLINOMI Sono dati i polinomi ( )A x x x x6 93 2= + + , ( )B x x x2 63 2

= + .

a. A(x) è divisibile per x3. V F

b. B(x) può essere scomposto in 2x2(x + 3). V F

c. Il MCD di A(x) e B(x) è x2(x + 3). V F

d. Il mcm di A(x) e B(x) è 2x2(x + 3)2. V F

GUARDA!Ripassa con le attività interattive

Fai questi esercizi anche su ZTE

1

2 3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

ALLE

NA

TI

SU

LLE

CO

MP

ET

EN

ZE

V

46

ALLENATI SULLE COMPETENZEArgomentare

Il quoziente della divisione fra due polinomi è il polinomio nullo. Come possono essere i due polinomi?

In quale caso il resto di una divisione fra due polinomi è uguale a 0?

Spiega perché è sbagliato eseguire la divisione indicata nel seguente modo:

(9x 3) : (3x 2 + 9) = (9x 3) : (3x 2) + (9x 3) : 9 = 3x + x 3.

Calcola il risultato nel modo corretto.

Dimostra che 3 3n n 1+

+ è divisibile per 4 (n N! ).

Andrea: «Io riesco a scomporre anche x y44 4+ !». Cristina: «Non mi sembra possibile…».

Andrea: «Aggiungi e togli x y4 2 2». Che cosa pensi del metodo di Andrea?

Utilizzare tecniche e procedure di calcolo

Esegui le seguenti divisioni applicando la regola di Ruffini, quando è possibile.

: ( )a b a b ab ab4 21

2 23 3 2 2+ +` j ;Q a b a b R2 4

102 2

= + + =8 B

(x 2 - x + 3 - 2x 3) : (x - 1) [Q = - 2x 2 - x - 2; R = 1]

( ) : ( )x x x x6 9 3 4 2 53 2- + - - [ ; ]Q x x R3 3 9 412

= + + =

: ( )x x x5 21

3 13 2 2- + +` j ;Q x R x5 2

15 2

7= - =- +8 B

( ) : ( )x x x x5 4 1 23 2- + - - [ ; ]Q x x R3 2 52

= - - =-

( ) : ( )x x x x3 8 3 2 3 13 2+ + - - [ ; ]Q x x R3 2 02

= + + =

2 :x x x x23

214 3

- - +b bl l ;Q x Rx x2 2 2 13 2= - + - =6 @

(2x 5 - 5x - x 3 - 4) : (x 2 - 2x + 1) [Q = 2x 3+ 4x 2 + 5x + 6; R = 2x - 10]

Determina il resto senza eseguire la divisione.

(2x 3 + 4x 2 + 3x - 1) : (x + 2) [R = - 7] : ( )x x x x31

32

4 1 14 3- - - +b l [R = 4]

Stabilisci se x x x x2 2 7 64 3 2- + - + è divisibile per x 2- , x2 1- , ( ) ( )x x1 1- + .

Determina il valore di k per cui la divisione di x x x k8 2 2 64 3- - + + - per x 1+ ha resto 5. 96 @

1■ ■ ■

2■ ■ ■

3■ ■ ■

4■ ■ ■

5■ ■ ■

6■ ■ ■

7■ ■ ■

8■ ■ ■

9■ ■ ■

10■ ■ ■

11■ ■ ■

12■ ■ ■

13■ ■ ■

14■ ■ ■

15■ ■ ■

16■ ■ ■

17■ ■ ■


x a x a22 2 4+ +

x xy y9 62 3 6- +

t4 818- +

x y16 4 4-

a 112+

x81 6-

a a a a3 34 3 2- + -

x y xy161

61

912 6 3

+ +

a b25 6 12-

a b c abc c9 62 2 2 2 2- +

x x x1273 2- +

y x y x y18 12 22 2 2 2- +

18■ ■ ■

19■ ■ ■

20■ ■ ■

21■ ■ ■

22■ ■ ■

23■ ■ ■

24■ ■ ■

25■ ■ ■

26■ ■ ■

27■ ■ ■

28■ ■ ■

29■ ■ ■

ALLE

NA

TI

SU

LLE

CO

MP

ET

EN

ZE

V

47

ALLENATI SULLE COMPETENZE

c bc b c b c6 12 82 3+ + +

( )( ) ( )( )b a ab7 4 472 2- + -+ -

2x + 6y + ax + 3ay [(2 + a)(x + 3y)]

2a2b - 4ab + 8ab2 [2ab(a - 2 + 4b)]

2x x x3 63 2- - + [( 2)( )]x x 32

- -

8ax 2 + 2ay 2 + 8axy [2a(2x + y)2]

2a5x 4 - 32a [2a(ax - 2)(ax + 2)(a2x 2 + 4)]

2x 2y + 16xy + 32y [2y(x + 4)2]

2ax - 4ay + bx - 2by [(2a + b)(x - 2y)]

2x 4 + 54x [2x(x + 3)(x 2 - 3x + 9)]

a3 + 6a2 - 7a [a(a - 1)(a + 7)]

x10 - 6x7 + 9x4 [x4(x3 - 3)2]

x 3 - 4xy 2 + 3x 2 - 12y 2 [(x + 3)(x - 2y)(x + 2y)]

2x 4 - 20x 2 - 2x 3 + 20x [2x(x - 1)(x 2 - 10)]

Calcola MCD e mcm dei seguenti polinomi.

a a3 102+ - ; a a10 252

+ + ; a a2 102+ . ;a a a a5 2 5 2MCD mcm 2

= + = + -^ ^h h6 @

x4 12- ; x x x8 12 6 13 2

+ + + ; x12 6+ . ;x x x2 1 6 2 1 2 1MCD mcm 3= + = + -^ ^h h6 @

Risolvere problemi

L’area di un triangolo ABC è a a a3 7 3 23 2+ + + ,

con a 02 , e il lato AB misura a 2+ .Trova l’altezza CH relativa ad AB.

[ ]a a6 2 22+ +

Un rettangolo ha la base che misura a2 1+ e l’a-rea che misura a a a2 5 4 33 2

+ - - , con a 02 . Trova il perimetro di un triangolo in cui due lati hanno le stesse misure dei lati del rettangolo e il terzo lato è 8. [ ]a a4 62

+ +

Le misure della base e dell’altezza di un rettangolo sono rappresentate da due polinomi a coefficienti interi. La misura dell’area del rettangolo vale 4a2 + 13a + 3, con a 2 0.

a. Quanto misurano base e altezza?

b. Quanto misura il perimetro del rettangolo? [a) a + 3, 4a + 1; b) 10a + 8]

30■ ■ ■

31■ ■ ■

32■ ■ ■

33■ ■ ■

34■ ■ ■

35■ ■ ■

36■ ■ ■

37■ ■ ■

38■ ■ ■

39■ ■ ■

40■ ■ ■

41■ ■ ■

42■ ■ ■

43■ ■ ■

44■ ■ ■

45■ ■ ■

46■ ■ ■

47■ ■ ■

48■ ■ ■

Costruire e utilizzare modelli

Chiavetta geometrica La forma della chiavetta usb nella foto è approssimabile a quella di un parallelepipedo di volume ( )x x x5 63 2+ + cm3, con x 02 .

Trova i polinomi che esprimono le misure dei suoi lati in centi-metri, sapendo che hanno coefficienti interi. Trova poi le dimen-sioni della chiavetta, quando x 1= cm. [ , ( ) , ; , , ]( )x x x1 5 1 1 2 6cm cm cm cmcm cm+ +

Cambio di forma La forma di un appezzamento di terreno è quella della figura, dove sono riportate le misure di alcuni lati in metri. Il proprietario vende il terreno per comprarne uno che ha forma rettangolare e la stessa estensione. Trova i polinomi che esprimono le lunghezze dei lati del nuovo appezzamento, sapendo che hanno coefficienti interi. [ ; ]x x1 3 16+ +

49■ ■ ■

x + 2

x + 2

x + 12x

x + 6

S

S

50■ ■ ■



ALLE

NA

TI

SU

LLE

CO

MP

ET

EN

ZE

V

48

SEI PRONTO PER LA VERIFICA?

Prova A 1 ora Punteggio totale ....... / 100

VERO O FALSO?

a. Il resto di :x x x5 4 3 12- + +^ ^h h è 4. V F

b. x x2 13 62+ + è divisibile per x 6+^ h. V F

c. Il polinomio P x^ h è divisibile per x c+^ h se cP 0=^ h . V F

d. x x x x5 64 3 2- - - - è divisibile sia per x 2+^ h, sia per x 3-^ h. V F

Esegui le seguenti divisioni applicando, quando è possibile, la regola di Ruffini:

a. :x x x x10 2 4 2 2 13 2 2- - + -^ ^h h; b. :x x x x4 3 2 1 34 2

- + - -^ ^h h; c. :a a a9 91

3 25- +a ^k h.

Un rettangolo di area x x x x3 12 8 20 54 3 2+ + + + ha base x3 52

+ . Determina l’altezza.


a. a c a c c4 46 3+ +

b. a a b a b a b3 35 4 3 2 2 3- + -

c. ak a3 243-

d. m m m5 4 205 4+ - -


a. a y y9 2 5-

b. t t3 182- -

c. k k k2 5 63 2- - +

d. y y41 2+ +

Calcola MCD e mcm di , ,x x x x x x x18 3 36 4 122 3 3 2+ - + - .

Prova B 1 ora Punteggio totale ....... / 100

Esegui le divisioni seguenti applicando, quando è possibile, la regola di Ruffini:

a. : ( )ax a x axa x8 5 2342 2 3 22 4

- + -` j ; b. ( ) : ( )y y y4 20 14 5- - + ; c. ( ) : ( )x x x3 2 1 14 2

+ - + .


a. a x ax a2 32 163 2- - + b. x xy x yy 8 23 2 2 2 2

- - c. x y xy x y9 4 6 4 122 2+ + - + - d. y16 212

+

Trova il valore di a per cui il polinomio ( )P x x ax x a2 3 34 2= - + - - :

a. è divisibile per x 1+ ; b. dà resto 12 nella divisione ( ) : ( )P x x 3- .

REALTÀ E MODELLI Costruzioni Il bambino nella foto sta giocando con dei mattoncini in legno. Uno dei parallelepipedi ha la base quadrata, l’altezza di ( )x3 1+ cm e il volume di ( )x x x3 13 16 43 2

+ + + cm3, mentre uno dei cubetti ha il volume di ( )x x x8 6 1 123 2

+ + + cm3. Se tutti i lati sono espressi da polino-mi a coefficienti interi e se x 2= , quanto misurano il lato di base del parallele-pipedo e il lato del cubetto?

Determina MCD e mcm di x x4 122+ , x x x2 18 124 2 3

+ + , x x x12 42 183 2+ + .

GUARDA!Inquadrami

e controlla

i risultati

1

/20

2

/20

3

/10

4

/15

5

/15

6

/20

1

/15

2

/20

3

/15

4

/30

5

/20

CAPITOLO 1 - Zanichelli

Documents

Transcript of CAPITOLO 1 - Zanichelli