Capitolo-02 - Analisi Della Missione Propulsiva

5/13/2018 Capitolo-02 - Analisi Della Missione Propulsiva - slidepdf.com

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Problemi Energetici in Propulsione AerospazialeAppunti per Studenti

Capitolo 02Analisi della Missione Propulsiva

Luigi T. DeLucaSPLab, Dipartimento di Energetica, Politecnico di Milano

32 Piazza Leonardo da Vinci, 20133 Milano, Mi, Italia

Edizione Preliminare Corretta



2 Propulsione Spaziale - DeLuca 1998

Indice

1 RIPARTIZIONE DELLE MASSE 4

2 ∆v DISPONIBILI 62.1 Volo ideale (spinta nello spazio vuoto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Altre forze agenti sul veicolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Equazioni di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1 Applicazione N. 1 (θ = ψ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.2 Applicazione N. 2 (θ = ψ = π/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.3 Applicazione N. 3 (θ = ψ = π/2, C D = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 PRESTAZIONI E POSSIBILI POTENZIAMENTI 163.1 Propulsore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Veicolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Missione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Velocità iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5 Veicoli monostadio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.6 Veicoli multistadio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.6.1 Esempio monostadio vs. bistadio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.6.2 Eff etto numero di stadi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6.3 Esempio US Space Shuttle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 ∆v RICHIESTI 254.1 Satellite in orbita terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Traiettoria di fuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 ESEMPI VALUTAZIONE SISTEMA PROPULSIVO 275.1 US Space Shuttle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Missioni interplanetarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3 Satellite GEO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.4 Manovre di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.5 Considerazioni conclusive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6 SOMMARIO DELLE RELAZIONI UTILI 31

7 BIBLIOGRAFIA 34

8 DOMANDE DI RIPASSO 36

Elenco delle figure

1 Massimo incremento∆v in condizioni di volo nel vuoto. [Tratta da Sutton 1992]. 82 Rapporto di massa M 0/M f (a sinistra) e incremento adimensionale di velocità

∆v/(g0I s) (a destra) in funzione della frazione massica ζ u per diversi valori dis. [Tratta da Cornelisse et al. 1979]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Coefficiente di resistenza C D (in alto) e portanza C L (in basso) in funzione delnumero M di Mach per il missile V2 (a motore spento). [Tratta da Sutton 1992]. 11

4 Schema delle forze agenti su un veicolo in volo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12



Capitolo 02 - Analisi della Missione Propulsiva 3

5 Schema semplificato delle forze agenti su un veicolo senza ali (portanza nulla)e θ = ψ (direzione di volo e direzione della spinta coincidenti). . . . . . . . . . 13

6 Frazione massica ζ u del carico utile e indice strutturale M , in funzione della

missione propulsiva∆

v, per due tipici propellenti liquidi a base di LOx. [Trattada Hill & Peterson 1992]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Possibili schemi di veicoli multistadio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Dipendenza del rapporto totale di carico utile M 01/M u dal numero degli stadi

n. Veicolo multistadio con stadi uguali e s = 0.10. [Tratta da Hill & Peterson1992]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

9 Proprietà orbite circolari terrestri in funzione della quota. [Tratta da Sutton1992]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

10 Schizzo di una tipica missione lunare: le parti della traiettoria a grosso spessorerappresentano le fasi di volo a motori accesi; i numeri indicano l’intensità dellaspinta in percentuale rispetto al valore di decollo. [Tratta da Sutton 1992]. . 29

11 Sono richieste almeno 6 coppie di propulsori per realizzare manovre di rotazioneattorno ai tre assi di riferimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Elenco delle tabelle

1 Confronto prestazioni e masse dei motori H-1 e J-2 della missione Apollo. . . 62 Confronto dei parametri di prestazione ideale di veicoli monostadio e bistadio. 223 Prestazioni globali dei motori di lancio dello US Space Shuttle . . . . . . . . . 244 Variazione delle masse al lancio dello US Space Shuttle . . . . . . . . . . . . . 245 Alcuni valori tipici di ∆v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Alcuni valori tipici di meccanica celeste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7 Bilancio ∆v lancio US Space Shuttle in orbita a 110 km (breve permanenza) 288 ∆v necessari per tipiche missioni interplanetarie . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Bilancio impulso totale per un satellite da 1000 kg in orbita GEO per 7 anni 2910 ∆v necessari per tipiche missioni interplanetarie con partenza da LEO . . . . 3111 Confronto relativo carico utile ammissibile in diverse missioni . . . . . . . . . 3112 Confronto fra i valori significativi dei parametri di merito . . . . . . . . . . . 33




Capitolo 2ANALISI DELLA MISSIONE PROPULSIVA

Questo capitolo tratta le prestazioni di missione dei veicoli (missili, razzi, navette spaziali,ecc.) a qualunque titolo propulsi da endoreattori. Si intende dare una indicazione elementaredi come i parametri del motore influenzino le prestazioni della missione in vari regimi di volo:

1. all’interno dell’atmosfera;2. in orbite terrestri;3. in missioni di esplorazione lunare e planetaria;

4. in fuga dal sistema solare.Testi di propulsione ben noti a livello internazionale sono: [1] - [5] dedicati agli endoreattori

termici in particolare; [6] - [8] per il funzionamento e progetto dei sistemi propulsivi ingenerale; [9] - [14] per una rapida panoramica sui sistemi spaziali di tipo non solo propulsivo;[15] [16] per un catalogo ragionato dei lanciatori e basi di lancio; [17] e il datato [18] sonoutilissimi compendi di ingegneria astronautica.

1 RIPARTIZIONE DELLE MASSE

Seguiamo dapprima la trattazione in [1] [2], ricordando che il rapporto di massa MR del

veicolo (globale o di un suo particolare stadio) e il rapporto di massa ζ p del propellente (relativo all’intero veicolo o a un suo particolare stadio) sono definiti rispetto alla massainiziale rispettivamente come

MR =M f M 0

=M f

M f + M p(1)

ζ p =M pM 0

=M 0 − M f

M 0= 1 −MR (2)

dove:

• M f = massa totale finale (dell’intero veicolo o di un suo particolare stadio) dopo la

fine del funzionamento; comprende il carico pagante + le masse dette ”inerti” (motore,serbatoi, sistema di alimentazione e supporto, sistema di guida & controllo, materialistrutturali e anche il propellente ed eventuale materiale termoprotettivo non utilizzatio comunque residui alla fine delle operazioni).

• M p = massa totale di propellente ed eventuale materiale termoprotettivo eff ettivamenteutilizzati (dall’intero veicolo o da un suo particolare stadio) durante il funzionamento.Nota: la massa totale di propellente ed eventuale materiale termoprotettivo imbarcati,per motivi di sicurezza, è in generale superiore a quella eff ettivamente utilizzata.

• M 0 = massa totale iniziale (dell’intero veicolo o di un suo particolare stadio) primadell’inizio del funzionamento; per definizione M 0 = M p + M f da cui, in forma alquanto

criptica, segue immediatamente (come già riportato in Eq. 2) che 1 = ζ p +MR.




La trattazione in [3] e [6], più raffinata, opportunamente distingue nella massa finale ilcontributo del carico utile da quello delle masse inerti del veicolo. Vengono introdotti duenuovi rapporti, l’indice di massa εu del carico utile e l’indice strutturale s delle masse inerti,

defi

niti rispetto a M p+M s (la massa iniziale M 0 depurata del carico utile M u) rispettivamentecome

εu =M u

M 0 − M u=

M uM p + M s

(3)

s =M s

M 0 − M u=

M sM p + M s

(4)

dove:

• M u = massa del carico utile;

• M s = massa inerte totale (dell’intero veicolo o di un suo particolare stadio); perdefinizione viene escluso il carico utile e dunque risulta M s = M motore + M serbatoi +M struttura + M guida&controllo + restanti masse inerti ∼= M m + M tank + M struc + M GNC ;

• M f = massa totale finale (dell’intero veicolo o di un suo particolare stadio) dopo la finedel funzionamento; per definizione ora risulta M f = M s + M u;

• M 0 = massa totale iniziale (dell’intero veicolo o di un suo particolare stadio) primadell’inizio del funzionamento; per definizione ora risulta M 0 = M f +M p = M s+M u+M p.

Utilizzando i due indici aggiuntivi di massa εu del carico utile e s della struttura, segue unariscrittura di Eq. 1 e 2 rispettivamente come

MR = M f M 0

= M s + M uM p + M s + M u

= s + εu1 + εu

(5)

ζ p =M pM 0

=M 0 − M u − M s

M 0= (1 − M u

M 0)− M s

M p + M s

M 0 − M uM 0

= (1 − M uM 0

)(1 − s)

Introducendo invece il rapporto di massa ζ u del carico utile

ζ u =M uM 0

=M u

M p + M s + M u

e ricordando che talvolta [19] [6] viene preferibilmente utilizzato il parametro R definito comeinverso di MR (numericamente scomodo da trattare)

R =M 0M f

=M p + M s + M u

M s + M u=

1 + εus + εu

=1

MR

segue un’ulteriore riformulazione di Eq. 1 e 2 come

MR =M f M 0

=M 0 − M p

M 0= 1 − ζ p = s(1 − ζ u)+ζ u =

1

R(6)

ζ p =M pM 0

=M 0 − M u − M s

M 0= (1 − ζ u)(1 − s) (7)

Un’applicazione significativa è riportata in Tab. 1, dove sono confrontati i rapporti di

massa di due motori della missione Apollo, H-1 (stadio 1) e J-2 (stadi 2 e 3), aventi la




Proprietà motore H-1 (stadio 1) motore J-2 (stadi 2 e 3)

combustibile RP 1 H 2spinta, S , kN 1023 1023

massa motore, M m, Mg 0.921 1.622rapporto di massa, ζ m = M m/M 0 0.014 0.024M tank/M p 0.016 0.046velocità di efflusso, ue, m/s 2891 4175impulso specifico ponderale, I s, s 295 426

Tabella 1: Confronto prestazioni e masse dei motori H-1 e J-2 della missione Apollo.

stessa spinta ma che utilizzano il primo combustibile storabile RP 1 e il secondo combustibilecriogenico H 2 [20]. Nella tabella, per semplicità, la massa M tank dei serbatoi comprendetutte le masse inerti, eccetto quella del motore M m e del carico utile M u. Si osserva che

tutti i rapporti o indici di massa sono a favore di RP1 (grazie alla sua maggiore densità), mal’impulso specifico di H 2 è nettamente superiore. In generale, i rapporti o indici di massadipendono, oltre che dalla natura del propellente, dalla particolare missione propulsiva dacompiere (vedi Sez. 3.5).

2 ∆v DISPONIBILI

Consideriamo per il momento traiettorie di volo semplificate e idealizzate di veicoli monosta-dio, riservandoci di trattare nel seguito traiettorie di volo più complesse e veicoli multistadio.

2.1 Volo ideale (spinta nello spazio vuoto)

Questa prima analisi riguarda il volo di un veicolo in uno spazio esterno, in assenza di atmos-fera e attrazione gravitazionale. Seguendo la trattazione in [1] [2], assumiamo che la direzionedi volo sia allineata alla direzione della spinta lungo l’asse dell’ugello secondo una traiettoriarettilinea monodimensionale. Assumiamo inoltre che la portata massica di propellente

.m, e

quindi la spinta S del propulsore, rimangano costanti per tutto il tempo tb di funzionamentodel motore (ovvero di combustione nel caso dei propulsori termochimici). In queste condizioni,il consumo istantaneo di propellente può essere valutato semplicemente come

.m = M p/tb.

Sotto queste ipotesi, la massa istantanea del veicolo M (t) si può esprimere in funzione

della massa iniziale M 0 del veicolo a pieno carico, massa totale M p di propellente imbarcatoe tempo tb di funzionamento come

M (t) = M 0 − .mt = M 0 − M p

tbt = M 0

µ1 − M p

M 0

t

tb

¶(8)

= M 0

µ1 − ζ p

t

tb

¶= M 0

∙1 − (1 −MR)

t

tb

¸(9)

Le Eq. 8-9 esprimono la massa M (t) del veicolo in una forma comoda per il calcolo dellatraiettoria di un qualsiasi tipo di propulsore. Dalla seconda legge di Newton, per un veicolodi massa istantanea M , dotato di accelerazione dv/dt e sottoposto a spinta S

S = M dv

dt =.

mue =.

mc (10)




dove c è la velocità efficace del getto. Si ricava per l’incremento di velocità del veicolo

dv =S

M

dt =

.mc

M 0 −.

mt

dt =

M ptb

M 0 −M ptb t

cdt =M p

M 0³

1 − M pM 0 ttb

´ c

tb

dt =ζ p

1 − ζ pt

tb

c

tb

dt (11)

Integrando si trova la massima velocità raggiungibile dal veicolo sotto le condizioni idealiscelte Z vf

v0

dv = ζ pc

tb

Z tbt0

dt

1 − ζ pttb

Per t = tb (burnout o istante di fine combustione in propulsione chimica), otteniamo l’incre-mento finale di velocità (oppure la velocità finale per v0 = 0) conseguibile in condizioni idealidi volo (ovvero nel vuoto in assenza di gravità e atmosfera). Se t0 = 0, detto valore idealerisulta essere

∆v = vf − v0 = −c ln¡

1 − ζ p¢

= −c lnMR = +c ln 1MR

= +c lnR = +c ln M 0M f

(12)

∆v = vf − v0 = +g0I s ln1

1 − ζ p= +g0I s ln

1

MR= +g0I s lnR = +g0I s ln

M 0M f

(13)

da cui l’ovvia importanza dell’impulso specifico ponderale (o equivalente) linearmente pro-porzionale a ∆v e del rapporto delle masse (in una delle tante forme comunemente in uso)proporzionale attraverso un’espressione logaritmica. Vedi Fig. 1. Questa equazione fu pub-blicata per le prima volta da Tsiolkovsky nel 19031, solo qualche mese prima dello storicovolo dei fratelli Wright in USA (Kitty Hawk, North Carolina, 17 dicembre 1903).

Dalle Eq. 12 e 13, considerando l’Eq. 6, si può anche ricavare la massa di propellente

necessaria per realizzare una certa missione propulsiva

ζ p =M pM 0

= 1 −MR= 1 − exp

µ− ∆v

g0I s

¶

mentre la massa (totale) del sistema propulsivo [21] si ricava da

ζ ps ≡ M psM 0

=I s

I ssp

∙1 − exp

µ− ∆v

g0I s

¶¸

essendo ζ ps ≡ M ps/M 0 il rapporto di massa del sistema propulsivo.In propulsione chimica i massimi valori del rapporto ζ p = M p/M 0 sono da attender-

si nell’intervallo 0.90 − 0.95 e corrispondentemente MR = M f /M 0 = 0.10 − 0.05 mentre1/MR = M 0/M f = 10 − 20; per veicoli monostadio ζ p = 0.95 con MR= 0.05 e 1/MR= 20

costituisce probabilmente il limite invalicabile. È possibile superare tali limiti con la tecnicadei veicoli multistadio: in tal caso ζ p = 0.995 con MR = 0.005 e 1/MR = 200 costituisceprobabilmente il limite invalicabile; vedi Sez. 3.6. Nella Fig. 1 la regione di possibile lavoroè ulteriormente ristretta dalle limitazioni intrinseche a ogni tipo di propulsione. In propul-sione chimica (vedi Capitoli 9-12) gli attuali limiti operativi per i bipropellenti criogenici (laclasse più performante) sono grosso modo c ∼= 5000 m/s per la velocità d’efflusso (figura inalto) e I s ∼= 500 s per l’impulso specifico (figura in basso). In propulsione nucleare (vediCapitolo 13) gli attuali limiti operativi per i reattori a nucleo solido sono 10, 000 m/s per la

1 nota come equazione di Tsiolkovsky ([3] pp. 237-239, [9] p. 172) o anche equazione della massima velocità

([1] pp. 102-104) o equazione ideale dei razzi ([8] pp. 12-13) o equazione delle masse, ecc.




Figura 1: Massimo incremento ∆v in condizioni di volo nel vuoto. [Tratta da Sutton 1992].




velocità d’efflusso e 1000 s per l’impulso specifico, con la possibilità di pervenire in futuro avalori massimi rispettivamente di 60, 000 m/s per la velocità d’efflusso e 6000 s per l’impulsospecifico (reattori a nucleo gassoso). In propulsione elettrica (vedi Capitolo 14) i limiti at-

tualmente prevedibili per gli arcogetti sono 150, 000 m/s per la velocità d’effl

usso e 1500 sper l’impulso specifico, mentre per i motori a plasma si confida di raggiungere valori massimirispettivamente di 100, 000 m/s per la velocità d’efflusso e 10, 000 s per l’impulso specifico;valori massimi ancora più alti sono attesi per i motori a ioni.

Alternativamente, dalle Eq. 12 e 13, considerando l’Eq. 6, si può scrivere

exp

µ− ∆v

g0I s

¶= exp

µ−∆v

c

¶= 1 − ζ p =

1

R=MR =

M f M 0

= s(1 − ζ u)+ ζ u (14)

exp

µ+∆v

g0I s

¶= exp

µ+∆v

c

¶=

1

1 − ζ p= R =

1

MR=

M 0M f

=1 + εus + εu

(15)

che mette in evidenza l’importanza dell’indice strutturale s nel realizzare una missione con

massa utile M u per una certa massa iniziale M 0; vedi Fig. 2. Nel caso (accademico) di caricoutile nullo, M u = 0, l’incremento finale di velocità ideale raggiunge il valore più elevato e valesemplicemente, per qualsiasi s,

exp

µ− ∆v

g0I s

¶= exp

µ−∆v

c

¶= 1 − ζ p =MR=

M f M 0

= s (16)

Per un determinato veicolo, il rapporto di massa 1/MR = M 0/M f e il massimo incrementoadimensionale di velocità∆v/(g0I s) sono illustrati in Fig. 2 in funzione della frazione massicaζ u di carico utile e al variare dell’indice strutturale s: al diminuire di s, e anche di ζ u (!),aumentano le prestazioni in termini di ∆v/(g0I s) e così pure il rapporto di massa M 0/M f .Dall’equazione di Tsiolkovsky, nella versione di Eq. 12 o 13 o 14, al fine di conseguire buoneprestazioni del veicolo (elevato∆v), deriva in conclusione l’urgenza da una parte ad aumentarel’impulso specifico del propulsore e dall’altra a ridurre le masse ”inerti” o comunque nonutilizzate del veicolo. Si faccia però ben attenzione, nel processo di ottimizzazione globaledel sistema propulsivo, a migliorare simultaneamente ambedue gli aspetti del progetto o, perlo meno, ad aumentare l’impulso specifico senza peggiorare i rapporti di massa e viceversa.

2.2 Altre forze agenti sul veicolo

Le forze esterne comunemente agenti su un veicolo in volo, oltre la spinta, sono essenzialmentele forze aerodinamiche e l’attrazione gravitazionale. Altre forze, come il vento solare e lapressione di radiazione solare, sono piccole e possono generalmente essere trascurate.

• La spinta è la forza prodotta dall’impianto propulsivo; solitamente agisce nella direzionedell’asse del propulsore (in generale diretto come l’asse dell’ugello). La spinta per unrazzo a portata massica costante è essenzialmente funzione della velocità c efficace diefflusso dei gas e della portata

.m di propellente. In molti endoreattori il consumo di pro-

pellente è eff ettivamente costante e possono essere trascurati i transitori di accensionee spegnimento. Ne segue, come già ben noto dal Capitolo 1, che

S =.

mue + ( pe − pa)Ae =.

mc = g0I sM ptb

(17)

dove i valori di c e I s dipendono dal rapporto delle aree dell’ugello e dalla quota di volo

(ambedue crescono con la quota).




Figura 2: Rapporto di massa M 0/M f (a sinistra) e incremento adimensionale di velocità∆v/(g0I s) (a destra) in funzione della frazione massica ζ u per diversi valori di s. [Tratta daCornelisse et al. 1979].

• La resistenza D e la portanza L sono la forza aerodinamica in direzione rispettivamenteopposta e perpendicolare a quella di volo. Tali forze, generate dall’interazione del moto

del veicolo con velocità v e superficie caratteristica A in un fluido di densità ρ, possonoessere espresse come

L =1

2C Lρv2A (18)

D =1

2C Dρv2A (19)

dove C L e C D sono rispettivamente il coefficiente di portanza e resistenza aerodinamica.In aerodinamica la superficie caratteristica A è tipicamente quella alare, in missilisticacon A indichiamo ancora l’area della superficie alare per missili dotati di ali ma in-tendiamo la massima sezione frontale del veicolo nel caso di missili senza significativesuperfici alari. Le variazioni dei coefficienti di portanza e di resistenza per la storica

V2 tedesca sono mostrate in Fig. 3. Si osserva che la zona transonica è quella piùcomplessa: in particolare, in campo supersonico, sia il coefficiente di resistenza sia ilcoefficiente di portanza diminuiscono sensibilmente. Per qualsiasi angolo α di attacco,il coefficiente di resistenza C D (figura in alto) si impenna e passa attraverso un valoremassimo in prossimità di M ∼= 1; in misura meno accentuata la tendenza si ripete peril coefficiente di portanza C L (figura in basso). L’angolo di attacco per missili senzasignificative superfici alari è in genere molto basso (0 < α < 1).Per missili balisticie lanciatori spaziali, le perdite dovute alla resistenza aerodinamica rappresentano ingenere il 5-10% del ∆v finale. In eff etti, la perdita non è elevata per un meccanismointrinseco di compensazione: il veicolo viaggia lentamente attraverso le basse quote ovela densità dell’aria è alta, mentre viaggia velocemente attraverso le quote elevate ove la

densità dell’aria è bassa.




Figura 3: Coefficiente di resistenza C D (in alto) e portanza C L (in basso) in funzione delnumero M di Mach per il missile V2 (a motore spento). [Tratta da Sutton 1992].

• L’attrazione gravitazionale è esercitata sul veicolo da tutti i corpi celesti (pianeti, luna,sole, stelle) e un qualunque veicolo precipita verso il centro di massa del corpo cheattrae. La legge della forza di gravitazionale universale fra due corpi di massa M 1 eM 2, con i centri di massa a distanza R, si può esprimere secondo Newton come

F = GM 1M 2

R2

dove G = 6.67 · 10−17 N km2/kg2 è la costante universale di gravitazione.

Nelle vicinanze della Terra, la forza gravitazionale degli altri corpi celesti è trascurabilerispetto a quella terrestre. Trascurando le disuniformità del campo gravitazionale ter-restre e considerando la Terra sferica, l’accelerazione di gravità g sul nostro pianetavale

g(z) = g0

µR0

R

¶2= g0

µR0

R0 + z

¶2(20)

dove g0 è l’accelerazione di gravità alla superficie terrestre, R0 il raggio terrestre ez = R−R0 la quota di volo. I valori standard per il pianeta Terra sono M = 5.974·10+24

kg, g0 = 9.80665 m/s2 e R0 = 6378.388 km all’equatore. Spesso viene anche usata laquantità μ = GM , prodotto della costante universale di gravitazione per la massa del

corpo celeste (vedi [8] p. 67).




Figura 4: Schema delle forze agenti su un veicolo in volo.

2.3 Equazioni di moto

Si consideri ora un veicolo in volo in prossimità della Terra, per cui sia possibile trascurarel’eff etto dell’attrazione gravitazionale di altri corpi. Nell’ipotesi che le forze laterali e i mo-menti che tendono a ruotare il veicolo spaziale siano nulli, la traiettoria può essere consideratabidimensionale e contenuta in un piano fissato. Il veicolo abbia ali inclinate di un angolo αrispetto alla traiettoria e sia sottoposto a forze aerodinamiche di resistenza e portanza. La di-rezione di volo non coincide in generale con la direzione della spinta S; vedi Fig. 4.Se, rispetto

all’orizzontale, chiamiamo θ l’angolo della direzione di volo e ψ l’angolo della direzione dellaspinta, per la legge della dinamica si ottiene

M dv

dt= S cos(ψ − θ) − D − Mg sin θ lungo la direzione di volo (21)

Mvdθ

dt= S sin(ψ − θ) + L − Mg cos θ normale alla direzione di volo (22)

essendo dv/dt e vdθ/dt l’accelerazione rispettivamente lungo la direzione di volo e la nor-male alla direzione di volo. Sostituendo le classiche espressioni usate per le interazioniaerodinamiche, perveniamo a

dvdt = S M cos(ψ − θ) − 12 C DM ρv2A − g sin θ lungo la direzione di volo (23)

vdθ

dt=

S

M sin(ψ − θ) +

1

2

C LM

ρv2A − g cos θ normale alla direzione di volo (24)

Non esiste una soluzione generale di questo problema, anche se visto solo nella versione bidi-mensionale e assumendo spinta e consumi costanti. In realtà tutti i parametri (C D, C L, tb,ρ,θ,ψ, ...) variano indipendentemente, a seconda del profilo di missione, col tempo o la quota divolo. Questo fa sì che non si trova una soluzione chiusa per il problema né che si possa indi-viduare un unico parametro di merito da ottimizzare per tutte le possibili missioni o regimi divolo. In eff etti, i sistemi di propulsione a razzo sono solitamente progettati per ottimizzareuna ben specifica missione di volo. Si possono ottenere risultati di prima approssimazione

con ulteriori semplificazioni partendo dalle precedenti equazione (Eq. 23-24); ma per l’analisi




Figura 5: Schema semplificato delle forze agenti su un veicolo senza ali (portanza nulla) eθ = ψ (direzione di volo e direzione della spinta coincidenti).

di traiettorie reali già la bidimensionalità non permette risultati sufficientemente accurati.Inoltre l’eff etto di perturbazioni, in aggiunta alla gravità e alle forze aerodinamiche, rende

comunque necessario l’uso di computers digitali per il calcolo. Spesso, nel caso di missionispaziali, bisogna considerare l’eff etto gravitazionale sulla massa del veicolo non solo della Ter-ra ma anche della Luna (problema dei tre corpi) e tener conto del fatto che spinta e consumidel motore non sono costanti.

Le equazioni sopra scritte (Eq. 23-24) possono anche essere opportunamente manipolateper determinare l’eff ettiva spinta S o impulso specifico I s in tempo reale, grazie alla raccoltadei dati riguardanti la traiettoria mediante misure radar e/o ottiche. L’accelerazione è es-senzialmente proporzionale alla spinta e tramite un’analisi delle forze aerodinamiche, noto omisurato il consumo di propellente, è possibile determinare la spinta eff ettiva durante il volo.

Integrando le equazioni (Eq. 23-24), si può ottenere la storia delle velocità e delle distanzepercorse e quindi la descrizione completa della traiettoria. Nel caso più generale sono richieste6 equazioni: 3 di traslazione e 3 di rotazione.

2.3.1 Applicazione N. 1 (θ = ψ)

Per un missile senza ali, con spinta e consumo di propellente costanti, le equazioni di cuisopra possono essere semplificate. Se la direzione della spinta coincide con la direzione di

volo θ = ψ, la portanza può considerarsi nulla; vedi Fig. 5. Nell’ipotesi di traiettoria




bidimensionale, possiamo scrivere (vedi Eq. 11 e 23) :

dv

dt=

S

M − 1

2

C DM

ρv2A − g sin θ lungo la direzione di volo (25)

=ζ p

1 − ζ pttb

c

tb− 1

2

C D

M 0³

1 − ζ pttb

´ρv2A − g sin θ (26)

dove gli ultimi due termini sono rispettivamente responsabili della ”perdita” aerodinamica egravitazionale.

2.3.2 Applicazione N. 2 (θ = ψ = π/2)

In caso di volo verticale, θ = ψ = π/2 e dunque l’Eq. 26 conduce a

dvdt =ζ p

1 − ζ pttb

ctb− 12 C D

M 0³

1 − ζ pttb

´ρv2A − g

Integrando si può ricavare l’incremento di velocità a fine combustione

∆v = vf − v0 = c ln1

MR− B

C DA

M 0− gtb (27)

essendo c e g due valori medi nel tempo, mentre la quantità

B =1

2 Z tb

t0

ρv2

³1 − ζ p

t

tb´dt

deve in generale essere valutata numericamente. La perdita aerodinamica è apprezzabile solose il veicolo spende una frazione apprezzabile del suo tempo di funzionamento in presenza diatmosfera. La massima velocità raggiungibile (anche nota come velocità di fine combustioneo ”cut-off velocity”) risulta

vf = v0 + c ln1

MR− B

C DA

M 0− gtb

essendo v0 la velocità iniziale del veicolo (in qualche modo impartita). Per qualsiasi mis-sione esiste una traiettoria ottima per cui i diversi parametri (tempo, perdita aerodinamica,perdita gravitazionale, massima quota, massima velocità, carico utile, ecc.) devono essereglobalmente e reciprocamente ottimizzati.

2.3.3 Applicazione N. 3 (θ = ψ = π/2, C D = 0)

Per una traiettoria verticale a partire da v0 = 0 e in assenza di perdite aerodinamiche (assenzadi atmosfera o B trascurabile), la massima velocità raggiungibile risulta

vf = v0 + c ln1

MR− gtb

= v0 − c lnMR− gtb

= v0 − c ln(1 − ς ) − gtb




Figura 6: Frazione massica ζ u del carico utile e indice strutturale M , in funzione dellamissione propulsiva ∆v, per due tipici propellenti liquidi a base di LOx. [Tratta da Hill &Peterson 1992].

dove la perdita gravitazionale si riduce per tb piccoli (tempo di combustione ridotto) oppurevolo in alta quota (g ridotto). L’accelerazione a0 per un decollo verticale a livello del mare è

a0 =S 0W 0

g0 − g0 (28)

oppure, rispetto a g0,

a0 =a0g0

=S 0W 0

− 1 (29)

dove S 0/W 0 è il rapporto spinta/peso del veicolo al decollo. Nei grandi lanciatori, S 0/W 0 =1.2−2.2; nei missili per impieghi tattici il valore del rapporto è nettamente superiore S 0/W 0 =50

−100. D’altra parte, l’accelerazione finale af viene raggiunta immediatamente prima

dell’istante di fine combustioneaf

g0=

S f W f

− 1 (30)

che diventa semplicementeaf

g0=

S f W f

in assenza di gravità. Questo valore è solitamente il massimo dell’accelerazione possibile inun qualsiasi propulsore termochimico, in quanto la massa W f del veicolo raggiunge il minimovalore appena prima dello spegnimento dei motori (propellente totalmente consumato, a partei residui) mentre la spinta S f normalmente cresce con la quota (eff etto sensibile nei veicoli

da lancio).




3 PRESTAZIONI E POSSIBILI POTENZIAMENTI

Sono discussi vari accorgimenti utili a migliorare le prestazioni di un sistema propulsivo.

3.1 Propulsore

In base all’Eq. 13, l’impulso specifico ponderale I s del propulsore è linearmente proporzionaleall’incremento di velocità conseguibile dal veicolo. Di conseguenza, comunque si aumenti I srisulterà vantaggioso per la missione: mediante l’impiego di una coppia di propellenti più

reattivi, aumentando il valore di pc oppure T c/=

M in camera di combustione, aumentandoil rapporto di espansione pc/pe a cavallo dell’ugello, riducendo le perdite ∆I s di impulsospecifico, mantenendo elevato il valore del rendimento propulsivo durante il volo (c/u ' 1).Si faccia però ben attenzione in queste operazioni a non peggiorare il rapporto di massaR ≡1/MR =M 0/M f del veicolo. A esempio, un aumento della pressione in camera di com-

bustione comporta anche un aumento delle masse inerti (strutture, serbatoi, ecc.), a menoche non si ricorra contestualmente all’impiego di materiali strutturali più leggeri.

3.2 Veicolo

In base all’Eq. 13, un aumento della frazione massica ζ p di propellente e/o riduzione dellemasse inerti è proporzionale attraverso il logaritmo del rapporto R ≡1/MR=M 0/M f all’in-cremento di velocità conseguibile dal veicolo. Di conseguenza, un aumento del rapporto dimassa di R ≡1/MR=M 0/M f risulterà vantaggioso per la missione: a esempio, riducendoil propellente residuo, risparmiando sull’eventuale materiale termoprotettivo, alleggerendo imateriali strutturali, compattando i sistemi di generazione e condizionamento di potenza a

bordo, semplificando i sistemi di guida e controllo, utilizzando carichi utili ridotti, accor-ciando la lunghezza dell’ugello (maggiore angolo di divergenza e/o convergente rientrante incamera di combustione), ricorrendo a tecniche multistadio (vedi Eq. 38), ecc. Si faccia peròben attenzione in queste operazioni a non peggiorare l’impulso specifico I s del propulsore.

3.3 Missione

In base all’Eq. 27, una diminuzione delle perdite gravitazionali e aerodinamiche è linearmenteproporzionale all’incremento di velocità conseguibile dal veicolo. Di conseguenza, ridottivalori di g (poco plausibile) e/o B (mediante un buon progetto aerodinamico) e/o tb (medianteun maggiore livello della spinta) risulteranno vantaggiosi per la missione. Nel caso di missioni

in presenza di atmosfera, si può anche pensare di bilanciare la forza di gravità con la portanzaaerodinamica dotando il veicolo di ali. Si faccia però ben attenzione in queste operazionia non peggiorare l’impulso specifico I s del propulsore e/o il rapporto di massa R ≡1/MR =M 0/M f del veicolo. A esempio, una diminuzione del tempo di combustione attraverso unaumento della spinta comporta in generale anche un aumento delle masse inerti (strutture,serbatoi, impianto di alimentazione, controllo portate, ecc.).

3.4 Velocità iniziale

L’incremento di velocità∆v = vf −v0 ottenibile da un veicolo può comunque essere potenzia-to impartendo una velocità iniziale v0 al veicolo stesso. Per lanci in direzione est, la velocità

orbitale di un satellite è aumentata dalla velocità associata alla rotazione del pianeta. Nel




caso della Terra, la velocità tangenziale vs della superficie terrestre è di circa 465 m/s all’e-quatore e diminuisce con la latitudine secondo la legge vs cos θlatid. A esempio, detta velocitàsi riduce a 463 m/s alla latitudine θlatid = 5.23◦ N in cui si trova il Centro Spaziale della

Guyana a Kourou nella Guyana Francese, a 408 m/s alla latitudine di 28.5

◦

N in cui si trovail Kennedy Space Center a Cape Canaveral in Florida, a 325 m/s alla latitudine di 45.6◦ Nin cui si trova il cosmodromo di Baikonour nel Kazakhstan e a 212 m/s alla latitudine di62.9◦ N in cui si trova il cosmodromo militare di Plesetsk in Russia. Viceversa, per un lan-cio in direzione ovest la velocità vf è depauperata dalla velocità tangenziale della superficieterrestre. Di conseguenza, la velocità di fuga dalla Terra di 11200 m/s scende a 10735 m/sper un lancio in direzione est, ma sale a 11665 m/s in direzione ovest.

La velocità finale vf di un veicolo può anche essere aumentata impartendo come velocitàiniziale v0 nella direzione voluta la velocità di una apposita base mobile di lancio, come unaeromobile (aereo, altro satellite, ecc.) in volo oppure una slitta che scorra in superficie.

3.5 Veicoli monostadioUna missione propulsiva è definita dall’incremento di velocità ∆v = vf − v0 richiesto alveicolo, tenuto conto di tutte le prevedibili perdite. In generale, l’obiettivo di una missioneè di rendere massima la massa del carico utile M u (a pari caratteristiche d’inserimento inorbita). Per definizione, le masse in gioco sono

M u = M 0 − M p − M s ∼= M 0 − M p − (M m + M tank)

avendo assunto, per semplicità, che la massa M tank dei serbatoi comprende tutte le masseinerti, eccetto quella del motore M m e del carico utile M u (vedi discussione relativa a Tab.1). Passando ai rapporti di massa rispetto a M 0, grazie all’Eq. 14, si trova

M pM 0

= 1 − exp

µ− ∆v

g0I s

¶(31)

e quindi

M uM 0

= 1 − M pM 0

− M m + M tankM 0

= 1 − M mM 0

− M pM 0

µ1 +

M tankM p

¶(32)

ζ u = 1 − ζ m −µ

1 +M tank

M p

¶∙1 − exp

µ− ∆v

g0I s

¶¸(33)

che descrive l’andamento di ζ u in funzione della missione (ζ u risulta fortemente decrescente

per∆

v crescente). Analogamente, l’indice strutturale s (vedi Eq. 4) si può esprimere, perle ipotesi fatte, come

s =M s

M p + M s=

M m + M tankM p + M m + M tank

Passando ai rapporti di massa rispetto a M 0, grazie all’Eq. 31, si trova

s =

M mM 0

+M tank

M 0M pM 0

+M mM 0

+M tank

M 0

=

ζ m +M tank

M p

∙1 − exp

µ− ∆v

g0I s

¶¸

ζ m +

µ1 +

M tankM p

¶∙1 − exp

µ− ∆v

g0I s

¶¸ (34)

che descrive l’andamento di s in funzione della missione (s decresce per ∆v crescente ma

satura per elevati valori di ∆v).




Figura 7: Possibili schemi di veicoli multistadio.

Con riferimento all’applicazione già discussa in Tab. 1, si deduce che nell’ambito delle

ipotesi fatte il combustibile criogenico H 2 permette, rispetto al combustibile storabile RP1,un prezioso guadagno di frazione massica ζ u del carico utile sull’intero intervallo esploratodi ∆v (a parte ∆v → 0) nonostante l’indice strutturale s ne aggravi di almeno il doppio lemasse inerti; vedi Fig. 6.

3.6 Veicoli multistadio

Una tecnica usata per veicoli chimici di grossa taglia (lanciatori spaziali e missili strate-gici) sin dagli inizi delle esplorazioni spaziali, al fine di ottimizzare il rapporto di massaR ≡1/MR =M 0/M f , è di suddividere il veicolo in più stadi (tipicamente da due a sei); vediFig. 7 [6]. In eff etti, nel caso dei lanciatori, non solo la massa di propellente è molto più grande

di quella del carico utile, ma anche la massa dei serbatoi e componenti ausiliari (sistema dialimentazione, sopratutto) può risultare superiore a quella del carico utile. I veicoli multista-dio sono costituiti in linea di massima da una serie di singoli veicoli (stadi) ciascuno dei qualiè capace di funzionare in maniera autonoma. I veicoli multistadio permettono di raggiungerevelocità finali più elevate e conseguire prestazioni migliori rispetto ai veicoli monostadio. Lostadio che ha terminato il propellente in esso contenuto viene sganciato dal resto del veicolo esi accende lo stadio successivo. Così facendo, si abbandona durante il volo la parte di masseinerti non più utili ai fini della missione (essenzialmente serbatoi ormai vuoti) e si risparmial’energia necessaria per continuare ad accelerarle. Ciascuno stadio trasporta un ”carico utile”costituito dalla somma delle masse di tutti gli stadi successivi; l’ultimo stadio, solitamenteil più piccolo, trasporta il vero e proprio carico utile della missione. Usando questa tecnica

multistadio, come ulteriore vantaggio si ha anche la possibilità di utilizzare per i vari stadi




ugelli gasdinamici con diversi rapporti Ae/At e quindi adattare in modo ”discreto” le con-dizioni d’efflusso alla quota di volo. Tuttavia, all’aumentare del numero degli stadi, aumentala complessità nel progettare e gestire l’intero veicolo (mediante un’accorta e precisa succes-

sione di estinzioni e ignizioni) mentre diminuisce il guadagno in termini di incremento∆

v divelocità del veicolo; per cui la tendenza moderna è di ridurre a due o tre il numero totaledegli stadi. La massa del carico utile risulta in definitiva proporzionale alla massa totale aldecollo M u ∼ M 0 .

Per lo stadio i-esimo di un veicolo multistadio, valgono le seguenti generalizzazioni [6]degli indici di massa εu,i del carico utile e dell’indice ”strutturale” εs,i delle masse inerti.Ricordando che M u,i = M 0,i+1 si trova

εu,i =M u,i

M 0,i − M u,i=

M 0,i+1M 0,i − M 0,i+1

(35)

εs,i =M s,i

M 0,i − M u,i=

M s,i

M 0,i − M 0,i+1(36)

Ri =M 0,iM f,i

=1 + εu,i

εs,i + εu,i=

1

MRi

(37)

dove:- M u,i = massa del carico utile dello i-esimo stadio;- M s,i = massa inerte totale dello i-esimo stadio;- M f,i = massa totale finale dello i-esimo stadio;- M 0,i = massa totale iniziale dello i-esimo stadio.

Per n stadi in serie, l’incremento totale ∆v di velocità, anche in condizioni reali di volo,è dato dalla somma degli incrementi impartiti dai singoli stadi

∆v = vf ,n −v0,1 =i=nXi=1

∆vi (38)

In condizioni ideali di volo, per ogni stadio vale l’equazione di Tsiolkovsky (vedi Eq. 13)

∆vi = g0I s,i ln

µM 0M f

¶i

= g0I s,i lnRi = g0I s,i ln1

MRi

da cui l’incremento totale ∆v di velocità

∆v =i=n

Xi=1

(g0I s,i lnRi)

∆v = g0I s,1 ln

µM 0M f

¶1

+ g0I s,2 ln

µM 0M f

¶2

+ g0I s,3 ln

µM 0M f

¶3

+ ...

Nel caso di impulsi specifici I s identici per tutti gli stadi, l’espressione si semplifica a

∆v = g0I s

∙ln

µM 0M f

¶1

+ ln

µM 0M f

¶2

+ ln

µM 0M f

¶3

+ ...

¸

g0I s

∙ln

µM 0M f

¶1

µM 0M f

¶2

µM 0M f

¶3

+ ...

¸

g0I s lnµ M 0,1

M f , n¶




da cui si vede che l’incremento totale ∆v di velocità dipende dal rapporto tra la masse totaledel primo stadio e la massa finale dell’ultimo stadio (nel frattempo alleggeritosi di tuttoquanto è stato abbandonato strada facendo). La complessità globale del sistema multistadio

rende poco probabili, ma non impossibili, anche riduzioni della massa totale M 0,1 al decollo.Nel caso speciale, ma poco plausibile, di stadi tutti identici fra di loro anche come rapportodi massa

³M 0M f

´, si troverebbe

∆v = ng0I s ln

µM 0M f

¶= ng0I s lnR = ng0I s ln

1

MR= ng0I s ln

1 + εus + εu

(39)

Esistono vari tipi di configurazioni multistadio e varie modalità di funzionamento: in serie,in parallelo, parziale (usato da Atlas), a dorso (piggy-back, come nello US Space Shuttle), inserie con boosters d’avviamento (la più comune configurazione dei lanciatori spaziali), ecc.;vedi schemi in Fig. 7. Valori massimi per un veicolo monostadio sono R = 1/MR= M 0/M f

= 10 − 20 (ovvero ζ p = 0.90 − 0.95); per veicoli multistadio si può arrivare a R = 1/MR =M 0/M f = 100 − 200 (ovvero ζ p = 0.990 − 0.995).

Motori a elevato impulso specifico (tipicamente, quelli utilizzanti la coppia criogenicaLH 2/LOX oppure speciali ingredienti solidi) sono generalmente riservati agli stadi superiori,dove un incremento anche piccolo di I s ha più influenza che negli stadi inferiori. In generale,per veicoli a elevato rapporto di massa R = 1/MR = M 0/M f (stadi finali), l’influenzadell’impulso specifico sulle prestazioni è dominante. Al contrario, per veicoli a basso rapportodi massa R = 1/MR = M 0/M f (stadi iniziali), un incremento della densità del propellente èaltrettanto apprezzabile quanto un incremento dell’impulso specifico ([19] p. 26).

3.6.1 Esempio monostadio vs. bistadio

Confrontiamo in condizioni ideali (assenza di gravità e atmosfera) le prestazioni di un veicolomonostadio vs. bistadio, assegnati carico utile M u = 1000 kg, massa strutturale M s = 2000kg, massa iniziale totale M 0 = 15000 kg e velocità equivalente d’efflusso c = 3048 m/s(esempio tratto da [6]). Valutiamo separatamente le due configurazioni a confronto.

Nella configurazione monostadio, essendo M f = M u + M s = 3000 kg e M p = M 0 − M f =M 0 − M u − M s = 12000 kg, troviamo

s =M s

M 0 − M u=

2000

15000 − 1000

= 0.143

εu =M u

M 0 − M u=

1000

15000 − 1000= 0.0714

R =1

MR=

M 0M f

=15000

3000= 5 oppure R=

1

MR=

1 + εus + εu

=1 + 0.0714

0.143 + 0.0714= 5

∆v = g0I s ln

µM 0M f

¶= c ln

µM 0M f

¶= 3048 ln 5 = 4905.6 m/s

= g0I s ln1 + εus + εu

= c ln1 + εus + εu

= 3048 ln1 + 0.0714

0.143 + 0.0714= 4093.9 m/s (verifica)

con una piccola diff erenza nel ∆v di verifica dovuta agli errori di arrotondamento nel valutare

gli indici s e u.




Nella configurazione bistadio, assumendo un egual rapporto per il carico utile εu = εu,1 =εu,2 ovvero

εu = εu,1 =M 0,2

M 0,1 − M 0,2

= εu,2 =M u

M 0,2 − M u

M 0,2M 0,1 − M 0,2

=M u

M 0,2 − M uM 0,2

15000 − M 0,2=

1000

M 0,2 − 1000==> M 0,2 = 3873 kg

troviamo

εu = εu,1 = εu,2 =M 0,2

M 0,1 − M 0,2=

M uM 0,2 − M u

=3873

15000 − 3873=

1000

3873 − 1000= 0.348

Assumendo un egual rapporto anche per l’indice strutturale s = s.1 = s.2 ovvero

s = s.1 = s.2 =M s,1

M 0,1 − M 0,2=

M s,2M 0,2 − M u

col vincolo che comunque M s,1 + M s,2 = 2000 kg, troviamo

M s,1 = 1589 kg

M s,2 = 411 kg

s = s.1 = s.2 =M s,1

M 0,1 − M 0,2=

M s,2M 0,2 − M u

=1589

15000 − 3873=

411

3873 − 1000= 0.143

In conclusione per la configurazione bistadio, essendo per i due stadi il rapporto delle masselo stesso e mantenendo la velocità equivalente d’efflusso uguale a quella della configurazionemonostadio, troviamo:

• per il primo stadio M p,1 = M 0,1 − M PL,1 − M s,1 = 15000 − 3873 − 1589 = 9538.0 kg eM f,1 = M 0,1 − M p,1 = 15000 − 9538.0 = 5462.0 kg

• per il secondo stadio M p,2 = M 0,2 − M PL,2 − M s,2 = 3873 − 1000 − 411 = 2462.0 kg eM f,2 = M 0,2 − M p,2 = 3873 − 2462 = 1411.0 kg

ovvero.

s = M sM 0 − M u

= 200015000 − 1000

= 0.143

εu =M u

M 0 − M u=

1000

15000 − 1000= 0.348

R =1

MR=

M 0M f

=15000

5462=

3873

1411= 2.75 oppure R =

1 + εus + εu

=1 + 0.348

0.143 + 0.348= 2.75

∆v = 2g0I s ln

µM 0M f

¶= 2c ln

µM 0M f

¶= 2c ln

1 + εus + εu

= 2 · 3048 · ln 2.75 = 6156.6 m/s

nettamente superiore al valore di 4905.6 m/s trovato per la configurazione monostadio. Irisultati ottenuti nell’esempio sono riassunti nella Tab. 2.




Proprietà monostadio bistadio

a pari M o, M u, M s, I s stadio 1 stadio 2massa iniziale totale, M 0, kg 15000 15000 3873

massa carico utile, M u, kg 1000 3873 1000massa strutturale, M s, kg 2000 1589 411

indice di massa del carico utile, εu 0.0714 0.348 0.348

indice di massa strutturale, s 0.143 0.143 0.143massa propellente, M p, kg 12000 9538 2462rapporto di massa, M 0/M f 5 2.75 2.75massa finale, M f , kg 3000 5462 1411incremento di velocità, ∆v, m/s 4905.6 3078.3 3078.3velocità terminale carico utile, uf , m/s 4905.6 − 6156.6

Tabella 2: Confronto dei parametri di prestazione ideale di veicoli monostadio e bistadio.

3.6.2 Eff etto numero di stadi

È istruttivo indagare come l’indice di massa εu,i del carico utile per stadio sia collegato alrapporto di carico utile totale M 0,1/M u . Considerando l’ Eq. 35, si trova

M 0,1M 0,2

=1 + εu,1

εu,1...

M 0,n−1M 0,n

=1 + λM,n−1

λM,n−1

M 0,n

M u =

1 + λM,n

λM,n

Moltiplicando a sinistra e a destra dell’eguaglianza, troviamo

M 0,1M u

=i=nYi=1

µ1 + εu,i

εu,i

¶

Nel caso particolare di egual rapporto εu per il carico utile di ciascun stadio, ottengo

M 0,1M u

=

µ1 + εu

εu

¶n

Sostituendo in Eq. 39, si trova anche

∆v = ng0I s ln1 + εus + εu

= ng0I s ln

³M 0,1M u

´1n

s

∙³M 0,1M u

´ 1

n − 1

¸+ 1

(40)

ovvero

∆v

g0I s=∆v

c= n ln

³M 0,1M u

´ 1

n

s

∙³M 0,1M u

´ 1

n − 1

¸+ 1

(41)

illustrata in Fig. 8 [6], con s = 0.10, per due valori di ∆v/c.

Dalle relazioni appena ottenute e dalla relativa figura, si osserva che:




Figura 8: Dipendenza del rapporto totale di carico utile M 01/M u dal numero degli stadi n.Veicolo multistadio con stadi uguali e s = 0.10. [Tratta da Hill & Peterson 1992].

• il rapporto M u/M 0,1 aumenta col numero n degli stadi, ma satura tanto più rapidamentequanto più basso è il valore di ∆v/c.

• In particolare, il caso ∆v/c = 3 corrisponde all’incirca alla velocità di fuga dalla Terracon propellenti ad alta energia. Si deduce che un veicolo monostadio è incapace di

realizzare una missione di questo tipo anche con un carico utile evanescente.• Nel caso limite di un numero infinito di stadi simili, la velocità terminale assume un

valore finito abbastanza ristretto

limn→∞

∆v = limn→∞

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ng0I s ln

³M 0,1M u

´ 1

n

s

∙³M 0,1M u

´ 1

n − 1

¸+ 1

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

= g0I s limn→∞

{n ln ...}

= g0I s (1 − s) lnM 0,1M u

= 3048 (1 − 0.143) ln15000

1000= 7073.8 m/s

A esempio, con i valori dell’esercizio precedente, si trova per la velocità terminale 4093.9m/s per il monostadio (n = 1), 6156.6 m/s per il bistadio (n = 2) e 7073.8 m/s per laconfigurazione a numero infinito di stadi (n → ∞).

• Nel caso limite di s = 0, il sogno ultimo degli ingegneri propulsivi, si ricava

lims→0

∆v = lims→0

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ng0I s ln

³M 0,1M u

´ 1

n

s

∙³M 0,1M u

´ 1

n − 1

¸+ 1

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

= ng0I s1

n

M 0,1M u

= g0I sM 0,1M u

L’indipendenza del risultato da n prova l’inutilità della configurazione multistadio nella

condizione operativa imposta.




3.6.3 Esempio US Space Shuttle

Confronto l’incremento di velocità in condizioni ideali (assenza di gravità e atmosfera) nelledue fasi principali di ascesa: due minuti con boosters SRM a propellente solido composito

e altri 6 minuti solo con gli SSME criogenici alimentati dal serbatoio esterno ET (esempiotratto da [6]). Con riferimento alla Tab. 3, durante i primi due minuti di volo si può calcolareun impulso specifico ponderale di circa 291 s per gli SRM, circa 429 s per gli SSME e unvalore medio di circa 312 s (come rapporto tra la spinta totale S tot ottenuta e il consumototale

.mtot di propellente solido e liquido) per l’intero sistema propulsivo di lancio

I s|20 =

S totg0

.mtot

=(24000 + 6300) · 10+3

9.807 · (8410 + 1496)= 311.9 s

motori: tipo e numero tb, min S tot, kN.

mtot, kg/s I s, s

SRM x 2 2 24, 000 8, 410 291SSME x 3 8 6, 300 1, 496 429

totale lanciatore − 30, 300 9, 906 312

Tabella 3: Prestazioni globali dei motori di lancio dello US Space Shuttle

Con riferimento alla Tab. 4, è ora possibile valutare l’incremento di velocità ∆v nellediverse fasi di volo: durante i primi due minuti di volo si ottengono 2731.8 m/s grazie all’azionecombinata di SRM e SSME, mentre nei successivi sei minuti si ottengono 7212.1 m/s grazieai soli SSME. L’intero sistema propulsivo di lancio consegue un ∆v totale di 9943.9 m/s.

∆v|20 = g0I s lnM 0,1M b,1

= 9.807 · 311.9 · ln2006400

821400= 2731.8 m/s

∆v|82

= g0I s lnM 0,2M b,2

= 9.807 · 429 · ln657400

118400= 7212.1 m/s

∆v|100 = ∆v|20 + ∆v|82 = 2731.8 + 7212.1 = 9943.9 m/s

La velocità terminale ottenuta è nettamente superiore al valore di 7600 m/s richiesto perun’orbita circolare a 270 km di quota (vedi Tab. 10), ma le perdite gravitazionali e aerodi-namiche portano via circa 2000 m/s al valore ideale appena calcolato. Eventuali diff erenze inaltri testi, rispetto ai dati riportati in Tab. 3 e Tab. 4, sono dovute all’approssimazione dellaconversione dai valori numerici originali espressi in unità anglosassoni.

masse al tempo di volo: 0 min 2− min 2+ min 8 min

2 boosters SRM, kg 1, 170, 000 164, 000 − −serbatoio ET + 3 SSME, kg 750, 000 571, 000 571, 000 32, 000Orbiter compreso carico utile, kg 86, 400 86, 400 86, 400 86, 400massa totale, kg 2, 006, 400 821, 400 657, 400 118, 400

Tabella 4: Variazione delle masse al lancio dello US Space Shuttle




Missione ∆v, km/s

LEO (250-1000 km quota) 8.8 − 9.3

da LEO a GEO 4 − 5

da LEO a Marte lento (centinaia giorni) 3.5da LEO a Marte veloce (40 giorni) 85.0

da LEO a fuga sistema solare 8.5

GEO station keeping N-S 0.35GEO station keeping E-W 0.03

Tabella 5: Alcuni valori tipici di ∆v

4 ∆v RICHIESTI

A fronte del ∆v ottenibile da un propulsore (vedi Sez. 2), tipici valori di ∆v richiesti per

varie missioni spaziali sono riportati in Tab. 5 (dati tratti da [2] pp. 148-152, [8] p. 66 e pp.446-447, [9] p. 172). Vediamo in dettaglio alcuni casi di particolare interesse.

4.1 Satellite in orbita terrestre

Per ottenere un’orbita circolare attorno a un corpo celeste è necessaria una velocità sufficien-temente alta perché la forza centrifuga agente sul satellite di massa M sat equilibri l’attrazionegravitazionale esercitata dal corpo in questione. Il bilancio di forze

M satu2circ

R= M satg

porta a

ucirc =

s g0

R20

R0 + z=

r μ

R0 + z(42)

essendo z = R−R0 l’altezza dell’orbita sopra la superficie di un corpo di raggio R0. Il periododi rivoluzione τ dell’orbita circolare vale

τ = 2πR

ucirc= 2π

(R0 + z)3/2√

g0R0

(43)

L’energia necessaria per iniettare in orbita circolare un’unità di massa, trascurando resistenze

e altri eff etti secondari, consta essenzialmente del contributo cinetico e potenziale

E =u2circ

2+

Z RR0

g(R)dR =g02

R20

R0 + z+ g0R2

0

Z RR0

dR

R2=

g0R0

2

R0 + 2h

R0 + z(44)

Nel caso particolare della Terra, i valori standard sono: M = 5.974 · 10+24 kg, g0 = 9.80665m/s2, R0 = 6378.388 km all’equatore, da cui:

- g0R20 = 9.80665 · (6378.388 · 10+3)2 = 3.9897 · 1014 m3/s2;

- μ = GM = 6.67 · 10−20 · 5.974 · 10+24 = 3.9847 × 105 km3/s2 = 3.9847 × 1014 m3/s2.

Satelliti iniettati sino a quote di 500 km sono considerati di bassa orbita (LEO = Low EarthOrbit), sino a 36,000 km di media orbita (MEO = Medium/Middle Earth Orbit), oltre i

36,000 km di alta orbita. In particolare, perché un satellite in orbita circolare equatoriale




Figura 9: Proprietà orbite circolari terrestri in funzione della quota. [Tratta da Sutton 1992].

risulti geostazionario (GEO = Geo-synchronous Earth Orbit) rispetto alla Terra bisogna chevenga iniettato alla quota

R = R0 + z =

µτ R0

√ g0

2π

¶2/3= 42, 254 km, ovvero z = R − R0

∼= 36, 000 km

in modo che il suo periodo di rivoluzione sia di 24 ore e appaia quindi fermo a un osservatoreterrestre. L’energia necessaria per unità di massa da Eq. 44 vale

E GEO =g0R0

2

R0 + 2h

R0 + z

= 58.449 MJ/kg

Vedi sommario grafico in Fig. 9; per i valori di rilievo di altri corpi celesti vedi Tab. 6.

4.2 Traiettoria di fuga

Per sfuggire al campo gravitazionale di un corpo celeste, di nuovo trascurando resistenze e altrieff etti secondari, è necessaria una velocità sufficientemente alta perché un satellite di massaM sat acquisisca l’energia cinetica pari all’energia potenziale (definita negativa) associata alcampo gravitazionale

M satu2esc

2= M sat

Z ∞

Rg(R)dR

da cui

uesc =

s 2

Z ∞

Rg(R)dR =

s 2g0R2

0

Z ∞

R

dR

R2=

s 2g0

R20

R0 + z=

r 2μ

R0 + z(45)

ossia un valore√

2 maggiore della velocità circolare (vedi Eq. 42). Nel caso della Terra,l’energia necessaria per unità di massa (con z = 0) è

E esc,Earth =u2esc

2=

GM Earth

R0

=6.67 · 10−20 · 5.974 · 10+24

6378.388 · 10+3= 62.471 MJ/kg

ossia circa il 7% in più dell’energia orbitale richiesta da un satellite GEO. Nel caso di fugadal sistema solare, l’energia necessaria per unità di massa risulta circa un ordine di grandezza

(8 volte) più grande che per la fuga dalla Terra.




corpo raggio orbita periodo diametro massa densità acc. grav. vel. fugain 10+6 km orbita 2R0, km relativa specifica g0, m/s2 z = 0, m/s

Sole - - 1,393,000 332,950 1.41 273.40 616,000

Luna 0.383 27.3 giorni 3,475 0.012 3.34 1.58 2,380Mercurio 57.87 87.97 giorni 4,670 0.06 5.50 3.67 4,200Venere 108.1 224.70 giorni 12,400 0.86 5.30 8.67 10,300Terra 149.6 365.256 giorni 12,742 1.000 5.52 9.81 11,200Marte 227.7 686.98 giorni 6,760 0.15 3.95 3.75 6,400Giove 777.8 11.86 anni 143,000 318.4 1.33 26.00 59,700Saturno 1486 29.46 anni 121,000 95.2 0.69 11.40 35,400Plutone 5899 248.8 anni 5,950 0.90 4.00 7.62 10,000

Tabella 6: Alcuni valori tipici di meccanica celeste

5 ESEMPI VALUTAZIONE SISTEMA PROPULSIVO

Vediamo quali siano i requisiti posti al sistema propulsivo in alcune tipiche applicazioni: lanciodello US Space Shuttle a bassa quota, missioni interplanetarie, immissione e mantenimentoin orbita di un satellite geostazionario.

5.1 US Space Shuttle

Nel primo caso si esamina il ∆v necessario allo US Space Shuttle per un lancio dal KennedySpace Center e una breve permanenza in orbita a 110 km; vedi Tab. 7. La richiesta velocitàideale (7790 m/s, convenzionalmente riferita a condizioni di volo nel vuoto e in assenza diatmosfera) è sensibilmente corretta dalle perdite gravitazionali (1220 m/s) e poco dalle perditeaerodinamiche (118 m/s). Più dispendiose delle perdite aerodinamiche risultano le manovrenecessarie prima a deflettere la traiettoria dalla verticale (360 m/s) e poi a inserirsi in orbita(145 m/s). Le manovre di correzione e uscita dall’orbita (in preparazione del rientro a terra)richiedono un modesto dispendio di energia, valutabile all’incirca in ∆v = 60 m/s, mentre sirivela di tutto riguardo il guadagno conseguente a un lancio in direzione est (408 m/s è lavelocità di rotazione della superficie terrestre alla latitudine di Cape Canaveral in Florida).Dati tipici sono riassunti nella Tab. 7.

5.2 Missioni interplanetarie

Nel secondo caso si esamina il ∆v necessario per varie missioni interplanetarie confrontandola velocità ideale con la velocità eff ettiva (approssimata); vedi Tab. 8. In generale, larichiesta propulsiva risulta dalla somma algebrica delle varie fasi di volo. A esempio, per unamissione lunare (vedi Fig. 10 [1]) il veicolo deve prima essere idealmente accelerato a 7300m/s per entrare in orbita terrestre, altri 2900 m/s sono richiesti per l’inserimento in orbitadi trasferimento, ancora 1000 m/s sono dovuti per l’ingresso in orbita lunare e finalmente1600 m/s sono necessari per l’atterraggio sulla Luna. L’eventuale ritorno dalla Luna richiede

2400 m/s per l’ascesa dalla Luna e l’inserimento in orbita terrestre; utilizzando l’atmosfera




Funzione ∆v, m/s

velocità ideale 7790perdite gravitazionali 1220

curva dalla traiettoria verticale 360resistenze aerodinamiche 118iniezione in orbita 145uscita dall’orbita 60manovre di correzione 62velocità fornita dalla rotazione terrestre a 28.5◦ latitudine -408

TOTALE VELOCITÀ MISSIONE 9347

Tabella 7: Bilancio ∆v lancio US Space Shuttle in orbita a 110 km (breve permanenza)

Missione ∆v ideale, km/s ∆v eff ettivo, km/s

orbita attorno alla Terra (senza ritorno) 7.9-10 9.1-12.5fuga dalla Terra (senza ritorno) 11.2 12.9fuga dalla Luna 2.3 2.6dalla Terra alla Luna (soft landing) senza ritorno 13.1 15.2dalla Terra a Marte (soft landing) 17.5 20dalla Terra a Venere (soft landing) 22 25dalla Terra alla Luna e ritornoa 15.9 17.7dalla Terra a Marte e ritornoa 22.9 27

a nell’ipotesi di frenata aerodinamica nell’atmosfera.

Tabella 8: ∆v necessari per tipiche missioni interplanetarie

terrestre per rallentare il veicolo in rientro bastano soli 300 m/s di correzioni di traiettoriae aggiustamenti orbitali per completare la missione con un ∆v totale di almeno 15,500 m/s.Dati tipici sono riassunti nella Tab. 8.

5.3 Satellite GEO

Nel terzo caso si esamina l’impulso totale necessario per mantenere in vita per 7 anni un satel-

lite geosincrono di circa 1000 kg di massa; vedi Tab. 9. In questo tipo di applicazione, essendod’interesse sopratutto la flessibilità e l’autonomia del sistema propulsivo, le prestazioni sonovalutate in base all’impulso totale rispetto al tempo di vita della missione piuttosto che inbase all’impulso specifico. La posizione GEO di lavoro del satellite è solitamente individua-ta in base a necessità commerciali (telecomunicazioni, monitoraggio, ecc.), di sicurezza (perevitare collisioni in particolare con altri satelliti GEO) e anche di volo in formazione (con-servazione delle posizioni reciproche). Per il mantenimento della posizione GEO prescelta,si rendono allora necessarie manovre di controllo e correzione dell’orbita del satellite: si dis-tingue la correzione d’orbita est - ovest (E - O, rispetto all’intersezione dell’orbita col pianoequatoriale terrestre) dalla correzione nord - sud (N - S). La correzione E - O è dovutasopratutto alla forma ellittica della Terra e risulta molto meno dispendiosa, in termini di

impulso totale, della correzione N - S dovuta invece a eff etti secondari di attrazione da terzo




Figura 10: Schizzo di una tipica missione lunare: le parti della traiettoria a grosso spessorerappresentano le fasi di volo a motori accesi; i numeri indicano l’intensità della spinta inpercentuale rispetto al valore di decollo. [Tratta da Sutton 1992].

funzione impulso totale, N s

acquisizione orbita 20,000controllo assetto (rotazione) 4,000

mantenimento posizione, E-W 13,000mantenimento posizione, N-S 270,000riposizionamento 53,000controllo scorrimento linea apsidi 445,000uscita orbita 12,700

Impulso Totale Missione 817,700

Tabella 9: Bilancio impulso totale per un satellite da 1000 kg in orbita GEO per 7 anni

corpo (Sole e Luna). In generale l’orbita ellittica tende a deteriorarsi nel tempo a causa di

resistenze aerodinamiche (importanti sotto 500 km di quota ma trascurabili oltre 800 km),radiazione solare (importante oltre 800 km di quota e dovuto all’urto della superficie delsatellite con i fotoni in arrivo dal Sole), gradienti gravitazionali (associati alla specifica dis-tribuzione delle masse nel satellite), campi magnetici (l’interazione fra il campo magneticoterrestre in continua fluttuazione ed eventuali campi magnetici del satellite produce momentitorcenti che tuttavia diminuiscono rapidamente come 1/R3), accelerazioni interne al satellite(spiegamento di pannelli solari, movimento di masse, spostamento di astronauti, consumopropellente, ecc.). Le dovute manovre di mantenimento orbitale vengono tipicamente svoltepiù volte all’anno durante la vita del satellite. Dati tipici sono riassunti nella Tab. 9.




Figura 11: Sono richieste almeno 6 coppie di propulsori per realizzare manovre di rotazioneattorno ai tre assi di riferimento.

5.4 Manovre di rotazione

I bilanci dettagliati mostrati a titolo di esempio nelle Tab. 7 - 8 - 9 sono utili per avereun’idea della severità della missione da realizzare e anche per confrontare diverse soluzionialla missione stessa. Manovre di sola rotazione non sono computate nel bilancio propulsivoperché non influenzano il ∆v della missione, ma devono ovviamente essere considerate nelprogetto generale e nella riserva di propellente. In veicoli complessi le manovre di rotazionesono affidate ad appositi sottosistemi propulsivi, detti RCS (Reaction Control Systems), fun-

zionanti a coppia e disposti nello stadio finale o in ciascuno stadio del veicolo; vedi Fig. 11.I sistemi RCS sono tipicamente utilizzati in missioni di propulsione secondaria o ausiliaria

per manovre di rotazione, controllo di assetto, controllo fine del vettore velocità, correzionidi traiettoria, appuntamenti (rendez-vous) e agganci (docking) nello spazio, ecc. Ne esistonovarie tipologie, a energia primaria sia chimica sia elettrica, e funzionano di preferenza attra-verso treni d’impulsi di bassa spinta (durata del singolo impulso da 10 a 30 ms e spinta da10−2 a 10+2 N). I sistemi propulsivi RCS sono valutati in base all’impulso totale e al ciclodi carico (definito come periodo di funzionamento rispetto alla durata totale della missione)piuttosto che in base all’impulso specifico.

5.5 Considerazioni conclusive

Con un singolo stadio a propulsione chimica è plausibile raggiungere velocità di missione

dell’ordine dai 4,000 ai 12, 000 m/s, a seconda della scelta dei propellenti, carico utile, progettodel veicolo, ecc.; tenendo conto delle perdite sono possibili missioni di inserimento solo inorbita LEO e di modesti carichi utili Con un bistadio l’intervallo di velocità di missione

ottenibile va dai 12,000 ai 22,000 m/s ([1] p. 131) coprendo quindi gran parte delle prevedibilimissioni a breve - medio termine. In caso di missioni interplanetarie, si può conseguire unsensibile risparmio sulla velocità di missione richiesta iniziando la missione da una orbitaLEO (o equivalente) piuttosto che dalla superficie terrestre; confronta Tab. 8 e Tab. 10 [6].

Per un determinato veicolo, è possibile incrementare ulteriormente la velocità di missione

ma solitamente solo a spese del carico utile; vedi esempio illustrativo in Tab. 11 [1]. Un

sistema propulsivo (chimico multistadio) capace di mettere in orbita terrestre un satellite




Missione ∆v ideale, km/s

dalla Terra a LEO (270 km) 7.6da LEO a GEO (42,227 km) 4.2

da LEO a fuga dalla Terra 3.2da LEO a orbita lunare (7 giorni) 3.9da LEO a orbita marziana (0.7 anni) 5.7da LEO a orbita marziana (40 giorni) 85.0da LEO a fuga dal Sole 8.7da LEO ad Alpha Centauri (50 anni) 30,000

Tabella 10: ∆v necessari per tipiche missioni interplanetarie con partenza da LEO

Missione carico utile relativo, %

satellite Terra a 555.6 km 100

fuga dalla Terra 35-45schianto sulla Luna (hard landing) 35-45atterraggio sulla Luna (soft landing) 10-20circumnavigazione della Luna 30-42satellite Luna 20-30atterraggio sulla Luna e ritorno 1-4satellite Luna e ritorno 8-5sorvolo Marte 20-30satellite Marte 10-18atterraggio su Marte 0.5-3

Tabella 11: Confronto relativo carico utile ammissibile in diverse missioni

a 555.6 km, con una massa di riferimento diciamo del 100%, deve ridurre il carico utile afrazioni dell’ordine del 2% per un viaggio di andata e ritorno sulla Luna, ancora meno per unviaggio di andata e ritorno su Marte (1%). Missioni di semplice sorvolo (fly-by) della Luna(35%) e anche di Marte (25%) sono molto meno onerose.

6 SOMMARIO DELLE RELAZIONI UTILI• Equazione di Tsiolkovsky, Kaluga, Russia:

’Exploration of the Universe with Reaction Machines’, pubblicato a San Pietroburgosulla rivista mensile "The Science Review ", N. 5, 1903.

’Research into Interplanetary Space by Means of Rocket Power’, 1903.

∆v = vf − v0 = +g0I s lnM 0M f

= +g0I s lnR = +g0I s ln1

MR= +g0I s ln

1

1 − ζ p

Idealmente vorremmo M 0 → M p → 100% e M f → 0 con M u = 0.




• Ripartizione delle masse del veicolo

M 0 = M p + M f

= M p

+ M u

+ M s

= M p + M u + M m + M tank + M struc + M GNC ...∼= M p + M u + M m + M tank

• Rapporto di massa del veicolo

MR =1

R= 1 − ζ p =

M f M 0

= exp³

− ∆vg0I s

óvvero per le singole masse

M 0 = M f exp³+ ∆vg0I s´

M f = M 0 exp³

− ∆vg0I s

´M p = M 0 − M f

• Rapporto di massa del propellente

ζ p =M pM 0

= 1 − exp³

− ∆vg0I s

´= 1 −MR = 1 − 1

R

p =M p

M 0 − M u=

M pM p + M s

= 1 − s

ovvero per la massa di propellente

M p = M 0h

1 − exp³

− ∆vg0I s

íM p = M f

hexp

³+ ∆v

g0I s

´− 1

i

• Rapporto di massa del carico utile

ζ u =M uM 0

= 1 − M pM 0

− M sM 0

=1− ζ p − ζ s

εu =M u

M 0−

M u=

M uM p + M s

=1 − s exp

³+ ∆v

g0I s

´

exp³

+

∆v

g0I s´− 1

ovvero per la massa di carico utile in funzione della massa iniziale

M u = M 0 − M p − M s

= M 0h

exp³

− ∆vg0I s

í− M s

oppure in funzione della massa di propellente

M u = M f − M s

=M p

exp³

+∆v

g0I s´− 1

− M s




Parametro Veicolo monostadio multistadioaM f /M 0 = MR= 1/R 0.10 − 0.05 0.010 − 0.005aM 0/M f = 1/MR = R 10 − 20 100 − 200

aM p/M 0 = ζ p = 1 −MR =1 − 1/R 0.90 − 0.95 0.990 − 0.995bM u/M 0 = ζ u 0.20 − 0.01bs = M s/(M 0 − M u) = M s(M p + M s) = 1 − p 0.10 − 0.50 0.05 − 0.25b p = M p/(M 0 − M u) = M p(M p + M s) = 1 − sbεu = M u/(M 0 − M u) = M u(M p + M s)massima velocità terminale, uf , km/s 4 − 12 12 − 22

a massimo valore attendibile.b tipico valore corrente.

Tabella 12: Confronto fra i valori significativi dei parametri di merito

• Massa totale M ps del sistema propulsivo [21]

ζ ps ≡ M psM 0

=I s

I ssp

h1 − exp

³− ∆v

g0I s

´i

Vedi discussione dettagliata nel Capitolo 16.

• Valori significativi dei parametri di merito: vedi Tab. 12.

I valori dell’indice strutturale s per endoreattori chimici monostadio sono da attendersinell’intervallo 0.1 (motori di grossa taglia) − 0.5 (motori di piccola taglia), con l’uso dimoderni materiali e la tecnica multistadio possono verosimilmente scendere sino a 0.05.

Una raccolta di dati storici [15] [16] [8] relativa ai propulsori chimici in generale rivelache s può coprire un esteso intervallo di valori da 0.08 a 0.70 ([8] p. 5). Per i lanciatorimultistadio a propellente liquido, la tendenza storica è di s crescente al crescere delnumero n degli stadi, ma decrescente al crescere della massa M p di propellente ([8]p. 215); per i motori da navigazione a propellente liquido, i dati disponibili appaionovariamente dispersi (0.7 per sistemi di tipo RCS e 0.17 per altri sistemi quali stadisuperiori, motori da manovra, inserimento in orbita, ecc.) e senza una chiara tendenza([8] p. 216).

Una raccolta di dati storici relativa ai motori a propellente solido indica per la frazionedi propellente p valori variamente dispersi e senza una chiara tendenza ([8] p. 306).Separando i tipi di missione, si osserva che

prisulta superiore per i motori da nav-

igazione (0.87 − 0.95) rispetto a quelli da lancio e in generale crescente al crescere dellamassa M p di propellente ([8] pp. 307-308). Per i primi stadi dei lanciatori, circa l’indicestrutturale s si riscontrano valori nell’intervallo 0.03 − 0.10 ([8] p.717).

La frazione massica ζ u di carico utile per endoreattori chimici monostadio sono daattendersi nell’intervallo 0.01 − 0.2.




7 BIBLIOGRAFIA

Testi ben noti a livello internazionale sono quelli di Sutton e collaboratori [1] [2], Hill ePeterson [6] [7], Humble e collaboratori [8]; contributi specifici sono dovuti a Martin [20] edErichsen [21] (vedi anche Capitolo 16 in questo volume).

Per un catalogo completo dei lanciatori e relative basi di lancio a livello internazionale,vedi [15] [16]; per un aggiornato compendio sui sistemi spaziali in generale, vedi [17].

Testi alquanto datati, ma ancora utili, sono quelli di Cornelisse et al. [3], Barrère et al.[4], Koelle [18].

Riferimenti bibliografici

[1] G.P. Sutton and O. Biblarz. Rocket Propulsion Elements . Wiley, New York, NY, USA,7th edition, 2001.

[2] G.P. Sutton. Rocket Propulsion Elements . Wiley, New York, NY, USA, 6th edition,1992.

[3] J.W. Cornelisse, H.F.R. Schöyer, and Wakker K.F. Rocket Propulsion and Space fl ight

Dynamics . Pitman Publishing Limited, London, UK, 1979.

[4] M. Barrère et al. La Propulsion par Fusées . Sciences et Lettres, S.A., Liége, Belgium,1957.

[5] Y.M. Timnat. Advanced Chemical Rocket Propulsion . Academic Press, London, UK,1987.

[6] P.G. Hill and C.R. Peterson. Mechanics and Thermodynamics of Propulsion . Addison-Wesley Publishing Company, Reading, MA, USA, 2nd edition, 1992.

[7] P.G. Hill and C.R. Peterson. Mechanics and Thermodynamics of Propulsion . Addison-Wesley Publishing Company, Reading, MA, USA, 3rd printing 1970 1st edition, 1965.

[8] R.W. Humble, G.N. Henry, and W.J. Larson. Space Propulsion Analysis and Design .McGraw-Hill, 1995.

[9] P. Fortescue, J. Stark, and G. Swinerd. Spacecraft Systems Engineering . Wiley,Chichester, West Sussex, England, 3rd edition, 2003.

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[11] D. Darling. The Complete Book of Space fl ight . Wiley, Hoboken, NJ, USA, 2003.

[12] G. Genta and M. Rycroft. Space, the Final Frontier? Cambridge University Press, UK,2003.

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[16] S.J. Isakowitz. International Reference Guide to Space Launch Systems . AIAA,

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[21] P.P. Erichsen. Spacecraft Propulsion . Computerized Educational Platform Book Com-pany, Inc., Malabar, Stockholm, Sweden, 2005. Heat and Power Technology LectureSeries, Vol. 13.




8 DOMANDE DI RIPASSO

1. Ricavare l’equazione di Tsiolkovsky e illustrarne il significato.

2. In che maniera l’equazione di Tsiolkovsky è influenzata dalla presenza di un campogravitazionale ?

3. In che maniera l’equazione di Tsiolkovsky è influenzata dalla presenza di un campo

fl uidodinamico?

4. Ricavare l’equazione di Tsiolkovsky per un veicolo a n stadi identici in condizioni divolo ideale.

5. Come varian0 le prestazioni di un lanciatore in dipendenza del numero degli stadi?

6. Ricavare la massa M p di propellente necessaria per realizzare una certa missione propul-

siva in funzione del ∆v richiesto dalla missione.7. Quali sono i massimi valori della frazione massica ζ di propellente per i propulsori

chimici monostadio? multistadio?

8. In un lanciatore spaziale quali masse sono da intendersi ”inerti ” nel senso di Tsi-olkovsky?

9. L’indice strutturale s (delle masse inerti) è più grande per un monostadio o bistadio?perché?

10. Come varia la velocità tangenziale vs della superficie terrestre?

11. In che direzione conviene lanciare un satellite artificiale? perché?

Capitolo-02 - Analisi Della Missione Propulsiva

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