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Cap.9 – AUTONOMIE

Quando Charles Lindberg effettuò il suo spettacolare volo trans-Quando Charles Lindberg effettuò il suo spettacolare volo transatlantico nel 1927, ad egli non importavano poi così tanto i concettodi velocità massima, di rateo di salita o di tempo di salita. La cosapiù importante era,per quel volo,la massima distanza che avrebbepotuto percorrere con il carico di combustibile a disposizione del suo“S i it f St L i ” Q i di l’ t i di di t f l ifi“Spirit of St. Louis”. Quindi l’autonomia di distanza fu la specificapiù importante nel progetto e nella costruzione di quel celebreaeroplano. L’autonomia di distanza è stata per tutti i velivoliaeroplano. L autonomia di distanza è stata per tutti i velivoliprogettati fino ad oggi un requisito fondamentale di progetto, inparticolar modo per quelli destinati al trans-oceanico o trans-continentale.

Cap.9 – AUTONOMIE

L’autonomia di distanza (range in inglese) di un velivolo siL autonomia di distanza (range, in inglese) di un velivolo sidefinisce come la distanza totale, misurata al suolo, percorsa con unpieno di combustibile. Una grandezza legata all’autonomia didistanza è l’autonomia di durata (endurance, in inglese), definitacome il tempo totale per il quale un velivolo è capace di volare con

i di b tibil A d d ll’i i ti i diun pieno di combustibile. A seconda dell’impiego tipico di unvelivolo è importante avere un’autonomia di distanza oppureun’autonomia di durata massima possibile.un autonomia di durata massima possibile.

Cap.9 – AUTONOMIE

consumo specifico di combustibile (specific fuel consumption)

ELICA

consumo specifico di combustibile (specific fuel consumption)

combust.di)(kpSFC =)()( hhp

SFC⋅

dove kp il peso hp i cavalli di potenza ed h oredove kp, il peso, hp, i cavalli di potenza, ed h, ore,sono unità di misura del sistema tecnico.

Cap.9 – AUTONOMIESi consideri inizialmente l’autonomia di durata. Intuitivamente è

ELICA

naturale pensare che per rimanere in volo per un periodo più lungopossibile è necessario utilizzare la quantità minima possibile di

b ibil i à di (il i i di k ) Icombustibile per unità di tempo (il numero minimo di kp per ora). Intermini dimensionali questa quantità è proporzionale alla potenzarichiesta ed al consumo specificorichiesta ed al consumo specifico

combustdi)(kp )()()(

combust.di)(RhpSFC

hkp

⋅∝

La massima autonomia di durata di un velivolo ad elica siottiene con un volo in condizioni di minima potenzarichiesta.

Cap.9 – AUTONOMIELa massima autonomia di durata di un velivolo ad elica si ottiene

ELICA

con un volo ad una velocità tale che il rapporto

CC /2/3DL CC /2/3

sia maxsia max

Cap.9 – AUTONOMIEAdesso si consideri l’autonomia di distanza. Per coprire la massima

ELICAp

distanza il buon senso suggerisce di usare la minor quantitàpossibile di kp di combustibile per km. In termini dimensionali si

ò i l l i di i li àpuò scrivere la relazione di proporzionalità

hpSFCkp R )()(combust.di)( ⋅∝

VkmR

)(∝

d l l i à di l V i k /h Q i di il i idove compare la velocità di volo V in km/h. Quindi il minimo consumo chilometrico di combustibile, kp per km, si ottiene in condizioni di minimo di hpR /Vcondizioni di minimo di hpR /V.

La massima autonomia di distanza di un velivolo ad elica si ottienecon un volo ad una velocità tale che il rapporto

DL CC / DLsia massimo.

Cap.9 – AUTONOMIEFormulazione Quantitativa

ELICAQ

consumo specifico Unità di misura consistenti

ssJN

ssmkpkp

⋅⋅⋅ )/(combust.di)(oppure

)/(combust.di)(

dΠ b tdi)(combust.di)(d kmkpkpt ⋅Πtc dΠ combust.di)(

)/()(d kp

sp

ssmkpptc ==

⋅⋅=Π


ELICAQ

Il peso totale W del velivolo è la somma del peso strutturale e delcarico pagante contributi questi invarianti nel tempo e del peso delcarico pagante, contributi questi invarianti nel tempo, e del peso delcombustibile, contributo variabile durante la missione di volo.Variazione di W => variazione di combustibile. Si indichi con W0 ilgross weight, cioè il peso del velivolo con pieno di combustibile ecarico pagante a bordo, con WF il peso istantaneo del combustibile econ W1 il peso dell’aeroplano (con carico pagante a bordo) senzacombustibile. Da queste definizioni si ha

FWWW −= 01 tcWWF ddd Π−==

Π−=

cWt ddΠc


ELICAQ

∫∫ −=1 dd

WEn Wt ∫∫ Π−=

0

d0 W

ct

∫ Π−=

1 dW WEn Autonomia di durata in [sec]∫ Π0Wc


ELICAQ

Per ottenere un’analoga espressione dell’autonomia didistanza si moltiplichi l’eq. Prec per la velocità V:p q p

sWVtV ddd =Π⋅

−=⋅cΠ

ds = Vdt Incremento di percorso coperto nel tempo infinitesimo dtds = Vdt Incremento di percorso coperto nel tempo infinitesimo dt

∫∫⋅1 dWR WVd ∫

⋅1 dW WV∫∫ Π−=

0

d

0 Wc

WVds ∫ Π⋅

−=0

d

Wc

WVR0


ELICAQ

∫⋅

=1 dW WVR ∫−=

1 dW WEn∫ Π−=

0Wc

R ∫ Π=

0Wc

En

Cap.9 – AUTONOMIEBreguet - Elica

VDDa

⋅=

Π=Π

ηηa

111 dηdηd WWW WWVWV∫∫∫

⋅−=

⋅⋅−=

Π⋅

−=000

dηdηd

WWWDcW

VDcWV

cWVR

000

Volo livellato L=W

∫∫ ⋅−=⋅

−=11 dηdη WW

WW

DL

DW

WWR ∫∫

00 WWWDcDcW

IPOTESI VOLO LIVELLATO Ed UNIFORMEIPOTESI VOLO LIVELLATO Ed UNIFORME

Cap.9 – AUTONOMIEBreguet - Elicaη,

DL CCDL // =ed il consumo specifico c si mantengano costanti durante il voloed il consumo specifico c si mantengano costanti durante il volo

∫⋅−=1 dη W

L WCR ∫0WD WCc

η WC

1

0lnηWW

CC

cR

D

L⋅=

formula di Breguet per l’autonomia di distanza vel. ad elica

Ec

AF ⋅=η.. FATTORE DI AUTONOMIA VEL ELICAc


0lnηWW

CC

cR L⋅=

1WCc D


formula di Breguet per l’autonomia di durata

111 ddd WWW

∫∫∫ ⋅⋅−=⋅

−=Π

−=1

0

1

0

1

0

dηdηd W

W

W

W

W

WWW

VDL

cVDcW

cWEn

LCS VWL 2ρ21

== )ρ(/2 LC SWV =2

∫1 dρηW WCSC∫ ⋅−=

0

2/3

d2

ρη

W

L

D

L

WWCS

CC

cEn

Cap.9 – AUTONOMIEBreguet - Elica formula di Breguet per l’autonomia di durata

∫ ⋅−=1

2/3

d2

ρηWLL

WWC S

CC

cEn

02

W D WCc

⎟⎞⎜⎛∫1

12/1

2/3 ρη2dρη WLW

LL WSCWCSCE ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅=⋅⋅−= ∫

1

0

2/1

02/3 2

ρη2d2

ρηW

D

L

W

L

D

L WSC

CcW

WCSCC

cEn

( )2/10

2/11

2/3

ρ2η −− −⋅⋅= WW SC

CEn L ( )Cc D

Cap.9 – AUTONOMIEBreguet - Elica formula di Breguet per l’autonomia di durata

( )2/10

2/11

2/3

ρ2η −− −⋅⋅= WWSC

CEn L ( )01ρCc D

E’ interessante notare che , secondo le approssimazioni alla basedella derivazione delle formule di Breguet, l’autonomia di durataE di d d ll t t ll di di t R tE dipende dalla quota mentre quella di distanza R ne restaindipendente.

Cap.9 – AUTONOMIEBreguet - ElicaLe formule non risultano di facile uso, dato che è presente ilconsumo c e non SFC.

0LP WlnCη5603R =1D W

lnCSFC

5.603R ⋅⋅=

che fornisce il valore di R in [Km] con SFC in [lb/(hp h)]che fornisce il valore di R in [Km] con SFC in [lb/(hp h)](intorno a 0.5 per un motore a pistoni e 0.7 per un turboelica).

⎤⎡2/3

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⋅⋅⋅=

o1D

2/3LP

W1

W1 Sρ2

CC

SFCη5.53En

⎥⎦⎢⎣ o1

con En in [ore] e W espresso in [Kg]

Cap.9 – AUTONOMIEBreguet - ElicaLe formule possono essere usate per valutare:- MAX RANGE

MAX ENDURANCE- MAX ENDURANCE

W

1

0MAX

PMAX W

WlnESFCη5.603R ⋅⋅=

⎤⎡⎞⎛ 2/3

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

o1MAXD

2/3LP

MAX W1

W1 Sρ2

CC

SFCη5.53En

Cap.9 – AUTONOMIEEsercizio

Stimare le massime autonomie di distanza e di durata per il velivolo ad elicaCP-1(vedi cap.8), le cui caratteristiche sono riportate in fig. 9.3. Si consideri un

l d l ifi (SFC) d l l i i 0 45 lb divalore del consumo specifico (SFC) del motore alternativo pari a 0.45 lb dicobust. / (hp di potenza ⋅ h). Si assuma un gross weight del velivolo W0 = 2950lb ed un’efficienza dell’elica η = 0.8. Si consideri che il serbatoio è capace dicontenere 65 gal di gasolio aeronautico, che ha un peso specifico di 5.64 lb /gal.La superficie di riferimento S è in questo caso pari a 174 ft2. Si assuma infinep q p fun volo aun’altitudine livello del mare con densità dell’aria ρ =

⎞⎛ C 2/3 ⎞⎛C

,

62.13max =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

D

L

CC 81.12max =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

D

L

CC

Dai dati si calcola un peso di combustibile WF = 65⋅5.64 = 367 lb. Il peso a seccosarà quindi W1 = 2950 – 367 = 2583 lb. Per un’efficienza dell’elica η = 0.8 si hauna autonomia di distanza massima pari auna autonomia di distanza massima pari a

Cap.9 – AUTONOMIEEsercizioDai dati si calcola un peso di combustibile WF = 65⋅5.64 = 367 lb. Il peso a seccosarà quindi W1 = 2950 – 367 = 2583 lb. Per un’efficienza dell’elica η = 0.8 si hauna autonomia di distanza massima pari a

RMAX=1940 Km

una autonomia di distanza massima pari a

ed un’autonomia di durata

EnMAX =14.4 ore,

Cap.9 – AUTONOMIE JETPer un velivolo a getto il consumo specifico di combustibile sig pdefinisce come peso di combustibile consumato per unità di spintainstallata e per unità di tempo. Si osservi che, a differenza dei

li li d li ( i l i ) ivelivoli ad elica (accoppiata con motore alternativo), in questadefinizione è usata la spinta anziché la potenza. Questo è dovuto alfatto che per aeroplani a getto il consumo di combustibile dipendefatto che per aeroplani a getto il consumo di combustibile dipendefisicamente dal livello di spinta prodotta dal motore mentre per ivelivoli ad elica dipende fisicamente dalla potenza che il motore

, p p

rende disponibile all’albero. Questa differenza porta allo sviluppodi formule di Breguet differenti per il calcolo dell’autonomia didi di d di li lidistanza e di durata di velivoli a getto.

Cap.9 – AUTONOMIE JETil consumo specifico di velivoli a getto (thrust-specific fuel consumption, in inglese; comunemente indicato con l’abbreviazione SFCJ)

)h(spintadi)kp(combust.di)kp(SFCJ

⋅= (h) spinta di lb

comb di lb⋅

in unità di misura del sistema tecnico (si noti l’inconsistenzadell’unità di misura del tempo), dell unità di misura del tempo).

Cap.9 – AUTONOMIE JETConsiderazioni fisiche

Autonomia di durata massima

DTSFCJhcombust.di)kp(

⋅=

La massima autonomia di durata di un velivolo a getto si ottienecon un volo in condizioni di minima spinta richiesta.

,

Cap.9 – AUTONOMIE JETConsiderazioni fisiche

Autonomia di distanza massima)T()SFCJ(b tdi)k(

V)T()SFCJ(

kmcombust.di)kp( D⋅

∝

Il minimo consumo di kp di combustibile per chilometro, per volo livellato uniforme, ovvero se TD = TR , corrisponde a condizioni in

i è i i il , cui è minimo il rapporto

VTR /R

Cap.9 – AUTONOMIE JETConsiderazioni fisiche Autonomia di distanza massima

VTR /

1

D

DR CSV

SCV

VD

VT ρ

21

V

ρ21 2

===CS

Vρ

W2=

VV 2V LCSρ

T 1W21 ,

DLLD

R

CCCSCS

VT

/1

ρW2ρ

21

2/1∝=

La massima autonomia di distanza diun velivolo a getto si ottiene con unvolo ad una velocità tale da avere unrapporto

CC /2/1massimo.DCC

L/

Cap.9 – AUTONOMIE JETConsiderazioni fisiche Autonomia di distanza massima

VTR /

Si arriva anche considerando che :

WLDT 11VE

WVE

LVD

VT 11

⋅=⋅==,

( ) LMAX

CEVET=>⎟

⎟⎞

⎜⎜⎛

=>⋅=> ( )DMAXL

MAXMIN CC

VEV

>⎟⎠

⎜⎝

>>

Cap.9 – AUTONOMIE JETFormulaz. Quantitativa - BREGUETQ

Si indichi con ct il consumo specifico per velivoli a getto in unità di misura consistenti espresso ad esempio inmisura consistenti, espresso ad esempio in

)(i tdi)(combust.di)(

kkp

)(i tdi)(combust.di)(

NN

)(spintadi)( skp ⋅ )(spintadi)( sN ⋅

, tTcW Dt dd −=

Wd WE

Dt TcWt dd −= ∫∫ −==

1

0

dd0

W

W Dt

En

TcWEnt

0

∫−=1 dW WEn ∫0W Dt Tc

En


∫−=1 dW

TWEn ∫

0W Dt Tc

1 d1W WL

Ma D =W/ETD = TR = D

∫ ⋅⋅−=1

0

d1W

W t WW

DL

cEn

, 0W

Ipotesi ct ed E costanti :

0ln1WW

CCEn L ⋅⋅=

1WCc Dt


0ln1 WCEn L ⋅⋅=1

lnWCc

EnDt

,

NON DIPENDE DALLA QUOTA (se ct =cost)

Cap.9 – AUTONOMIE JETFormulaz. Quantitativa – BREGUET AUTON DISTANZA Q

TWVtVs ddd ⋅

−=⋅=Dt Tc

∫∫1

dWR

WVRds ∫∫ −==0

d0 W Dt

WTc

Rds

W ,

∫−=1 dW

W D

L

t WW

CC

cVR

LCSV

ρW2

=

0W Dt WCc

∫∫11 2/1 d21dW21 WW WCWC∫∫ −=−=

00

2/1

dρ21d

ρW21

W D

L

tW D

L

Lt WW

CC

ScWW

CC

CScR


∫∫ −=−=11 2/1 d21dW21 W

LW

L WCWCR ∫∫ ==00

2/1ρρ W DtW DLt WCScWCCScR

,

( )2/11

2/10

2/1

ρ22 WW

CC

ScR L −⋅⋅⋅=

ρ CSc Dt

(IPOTESI QUOTA COSTANTE)(IPOTESI QUOTA COSTANTE)


( )2/12/12/122 WWCR L −⋅⋅⋅= ( )10ρ

WWCSc

RDt

=

,


∫1 dW

L WCVR ∫−=0W Dt WCc

R

Se ipotizziamo anche V costante oltre ai coefficienti aerodinamici(vuol dire che la quota deve cambiare in relazione al minor peso

, che sia ha per il combustibile consumato)

d1 WCVWCV LW

L ∫1

lnd

0WW

CC

cV

WW

CC

cVR o

D

L

tWD

L

t

=−= ∫


ln WCVR oL=

Formula di Breguet semplificata autonomia vel jet

1

lnWCc

RDt

=

Formula di Breguet semplificata autonomia vel jet

EAF V FATTORE DI AUTONOMIA VEL JET, E

cAF

t

⋅=..

Formula di Breguet CORRETTA (quota costante)

( )2/11

2/10

2/1

ρ22 WW

CC

SR L −⋅⋅⋅= ( )

ρ CSc Dt

Cap.9 – AUTONOMIE JETFormulaz. Quantitativa – BREGUET – Formule con unità tecnicheQ

0L WlnC1En ⋅⋅=1D W

lnCSFCJ

En ⋅⋅=

con SFCJ in (lb/(lb h)) (circa 0.6-0.7) e En in [ore]

,

[ ]10D

2/1L WW

CC

Sρ2

SFCJ227.11R −⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅=

DCSρSFCJ ⎠⎝

con R in [Km] e W in [Kg]

Cap.9 – AUTONOMIE JETFormulaz. Quantitativa – BREGUETQ

JET MAX RANGE and MAX ENDURANCE

1

0MAXMAX W

WlnESFCJ

1En ⋅⋅=1

[ ]2/1LC22 ⎟

⎞⎜⎛

, [ ]10MAXD

LMAX WW

CC

Sρ2

SFCJ227.11R −⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅=

[ ]L WWC222711R A [ ]10

DMAX WW

CSρSFCJ27.11R

A

−⋅⋅⋅⋅=

Cap.9 – AUTONOMIE JETEsercizio

9.16max =⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ LC

, 9.16max ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ DC

4.23max2/1

=⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ LC

⎟⎠

⎜⎝ DC


R=5850 KmR 5850 Kml’autonomia di durata è invece pari aEn=13.3 ore

,


,

Cap.9 – AUTONOMIE JETRANGE - Considerazioni

Nel caso del velivolo a jet potremmo avere :1) Volo a CL e quota costante1) Volo a CL e quota costante2) Volo a V e CL cost (la quota deve cambiare, climbing flight)3) Volo a quota e Vel costante (cambia CL)

Tipicamente il volo per tratte lunghe si svolge a tratte a quota costanteh i t t di t t i t t d li t i, che vengono incrementate di tanto in tanto su degli opportuni

LEVEL FLIGHT

In realtà sarebbe desiderabile avere quota e Mach (quindi V) costante


1) Volo a CL e quota costante

[ ]1 [ ]2/11 )1(112 ς−−⋅⋅=

tcVER

⎞⎛⎞⎛W⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

o

o

o

f

WWW

WW 1con ζ

,


2) Volo a V e CL costante

d1 CC W

1

lnd1

0WW

CC

cV

WW

CC

cVR o

D

L

t

W

WD

L

t

=−= ∫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

o

o

o

f

WWW

WW 1con ζ

, ⎠⎝⎠⎝

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=1lnLCVR ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ −ζ1

lnDt Cc

R


1 dW

3) Volo a quota e V costante ∫−=1

0

dW

Wt DW

cVR )( 2

LDo CKCSqD ⋅+⋅⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ⋅⋅⋅=

)1(2arctan2

ζζ oMAX

ECKEE

cVER

⎥⎦⎢⎣ ⋅⋅⋅−⋅⋅ )1(2 ζoLMAXt ECKEco

,

E’ quello + usato , maq ,La formula è complessa.


BEST RANGE – confronto fra i vari programmi di volo

,


Cruise climbing vs Stepped altitude flight

Tipicamente gli step ammessi Dagli enti controllo traff aereo

di, Sono di 4 FL(1 FL = 1000 ft)e dispari e pari sensi oppostie dispari e pari sensi opposti

C’e’ poca differenza tra il cruise climb e lo stepped altitude- Il constant altitude non conviene !- Il constant altitude non conviene !


Per il JET va considerato anche se M> MddIn tal caso la V non può essere qualsiasip q

,

Cap.9 – AUTONOMIERANGE - Considerazioni

Soprattutto per i velivoli ad elica Wη

1

0MAX

PMAX W

WlnESFCη5.603R ⋅⋅= MAXMAX ER =>

La velocità di Max Range è BASSA., Ottimizzo i consumi, ma non il tempo !

U ATR d bb l M h b iUn ATR dovrebbe volare a Mach bassi (es. 0.3)


,


,

=> T/V min


,


La velocità di volo che ottimizza il tempo di percorrenza nel caso di un velivolo ad elica è la V del punto A !!!!

Ricordo che il MAX RANGE si ha nel punto E.

Carson Speed

Cap.9 – AUTONOMIERANGE – EFFETTO DEL VENTO

Cap.9 – AUTONOMIERANGE – EFFETTO DEL VENTO ELICA

Pgg

R

VaSFC

VSFC

kmkp

η⋅Π⋅

=Π⋅

∝)()()()(

)(combust.di)(

min

Cap.9 – AUTONOMIERANGE – EFFETTO DEL VENTO JET

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