Campo e Potenziale

CAMPO E POTENZIALE ELETTROSTATICO Marco Panareo

Campo elettrico

Si definisce vettore campo elettrico EG

il rapporto tra la forza FG

che agisce su una carica di prova positiva 0q ed il valore di tale carica:

0q

FEGG = ,

tale grandezza si misura in CN . La carica di prova 0q deve essere sufficientemente piccola da non perturbare la distribuzione di carica che genera il campo; cos, a rigore, E

G va definito come:

0

00lim

qFE

q

GG= ,

sebbene il limite 0 0q risulti fisicamente privo di senso poich la carica pi piccola ottenibile quella dellelettrone.

Il concetto di campo consente di interpretare diversamente lazione che si esplica tra due corpi carichi: possibile rivedere tale interazione come linterazione tra una carica ed il campo prodotto dallaltra carica, senza dover far ricorso allazione a distanza (interazione diretta e istantanea) suggerita dalla legge di Coloumb. I mutamenti di posizione della carica che si assume dia origine al campo si propagano nello spazio alla velocit della luce in accordo con la teoria della relativit.

Assegnata una carica puntiforme q posta a distanza r dalla carica di prova 0q , secondo la legge di Coloumb si ha:

020

1 4

qqF rr=

G,

cos il campo elettrico prodotto dalla carica puntiforme q dato da:

20 0

1 4

F qE rq r= =GG

,

(si veda la figura in cui mostrato il campo elettrico prodotto in

corrispondenza di una carica di prova da una carica puntiforme positiva, in alto, e negativa, in basso).

Come conseguenza del principio di sovrapposizione, se 1EG

, 2EG

, ..., NEG

sono i campi prodotti da N cariche, allora il campo complessivo :

1 2 NE E E E= + + +

G G G G .

2 Campo e potenziale elettrostatico

In particolare, per un sistema di N cariche puntiformi 1q , 2q , ..., Nq , poste rispettivamente alle distanze 1r , 2r , ..., Nr dal punto in cui stata posta la carica di prova, si ha:

210

1 4

Ni

ii i

qE rr ==

G

Distribuzioni continue di carica

Qualora la separazione fra le singole cariche di un certo insieme molto piccola rispetto alla distanza dal punto in cui si vuole calcolare il campo, possibile considerare tale insieme come una distribuzione continua di carica.

Consideriamo pertanto una certa distribuzione di carica e valutiamo il campo elettrico in un punto P. Il contributo al campo di un elemento q di carica :

20

1 4

qE rr =G ,

dove r la distanza dellelemento q da P. In virt del principio di sovrapposizione, il campo totale prodotto dallintera distribuzione approssimativamente dato da:

20

1 4

ii

i i

qE rr = G

dove iq rappresenta li-esimo elemento di carica che costituisce la distribuzione. Se la separazione fra tali elementi piccola rispetto alla distanza dal punto P, la distribuzione pu ritenersi continua, cos, nel limite 0iq si ha:

2 200 0

1 1 lim4 4i

iiq i i Q

q dqE r rr r = = G

dove lintegrazione estesa a tutta la carica Q che costituisce la distribuzione.

Allo scopo di eseguire tale calcolo si rende opportuno introdurre il concetto di densit di carica. In particolare, se la carica distribuita in un volume si definisce:

dqdV

che prende il nome di densit di carica volumetrica e si misura in 3C m ; se distribuita su di

una superficie:

dqdS

Campo e potenziale elettrostatico 3

che prende il nome di densit di carica superficiale e si misura in 2C m ; infine, se la carica distribuita lungo una linea si definisce:

dqdl

che prende il nome di densit di carica lineare e si misura in C m . Qualora una carica q uniformemente distribuita in un volume V o su di una superficie S o lungo

una linea l allora si ha, rispettivamente, q V = o q S = o q l = . Esempio: (Campo elettrico prodotto da una bacchetta carica). Consideriamo una bacchetta di lunghezza l lungo la quale uniformemente distribuita una carica Q con densit . Stabiliamo lintensit del campo elettrico in un punto situato lungo lasse della barretta, ad una distanza d da un estremo. Consideriamo unascissa con origine nel punto O in cui si vuole stabilire il campo. Allelemento infinitesimo dx della sbarretta, posto a distanza x dallorigine, corrisponde una carica (si veda la figura): dq dx= cos il campo elettrico nel punto O dovuto a tale elemento vale: ( )2 2

0 0

1 1 4 4

dq dxdE x xx x

= =

G

essendo dE

G orientato nella direzione opposta dellasse x. Integrando questa espressione tra d e d l+ si ha:

( )20 0 0 01 1 1

4 4 4 4

d ld l

dd

dx lE x x x xx x d d l d d l

++ = = = = + + G ,

e, in modulo: ( ) ( )0 0

14 4

l QEd d l d d l

= =+ +

,

poich, essendo la carica Q uniformemente distribuita lungo la bacchetta, di ha l Q = . Si osservi che, a grande distanza dalla bacchetta, ovvero per d l , risulta:

20

14

QEd ,

cio, a grande distanza la bacchetta assimilabile ad una carica puntiforme. Esempio: (Campo elettrico prodotto da un anello carico). Consideriamo lanello di figura, di raggio R lungo il quale uniformemente distribuita la carica Q. Ci proponiamo di stabilire lintensit del campo elettrico su un punto situato sullasse dellanello. Consideriamo unascissa x coincidente con lasse e con origine O nellintersezione tra lasse e il piano dellanello. Se il punto P situato a distanza x dallorigine, il campo elettrico dovuto ad un elemento di carica dq sullanello risulta:

20

14

dqdEr=


dove r la distanza da dq a P. Il vettore dEG

pu essere decomposto in una componente diretta lungo lasse ed una perpendicolare a questo, cos, poich per ogni elemento dq c ne un altro 'dq che genera un campo 'dE

G la cui

componente normale allasse opposta a quella di dEG

, allora il campo in P dovuto alla sola componente di dEG

diretta lungo lasse. Siccome: ( )1 22 2r x R= + , cos

xr

= , si ha:

( ) ( )1 2 3 22 2 2 2 2 20 01 1cos

4 4xx xdqdE dE dq

x R x R x R = = =+ + +

;

integrando infine su q si ha: ( ) ( )3 2 3 22 2 2 20 0

14 4x Q

x xQE dqx R x R = =+ + .

In figura mostrato landamento del campo elettrico lungo lasse x. Esempio: (Campo elettrico prodotto da un disco carico). Consideriamo un disco di raggio R sul quale risulta uniformemente distribuita una carica Q con densit superficiale . Stabiliamo il campo in corrispondenza di un punto posto sullasse. Consideriamo lascissa indicata in figura, con origine nellintersezione tra il disco e lasse, e sia x la coordinata del punto P. Consideriamo inoltre un anello di raggio r ( r R< ) e spessore dr ; poich larea di questo anello 2 r dr , la carica dq che contenuta in esso vale: 2dq r dr= . Dal risultato dellesempio precedente segue che il campo prodotto da tale distribuzione : ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 22 2 2 2 2 20 0 0

1 1 24 4 2

x x x rdE dq r dr drx r x r x r

= = =+ + +.

Per ottenere il campo in P integriamo da 0 a R: ( )3 22 20 02

Rx rE drx r

= + ,

ponendo 2 2x r + si ha 2r dr d= cos, sostituendo segue:

( )2 22 2

2 2

1 23 2

1 22 20 0 0

1 1 12 2 2 2 1 2 2

x Rx R

x x

x x xE d

x R

++

= = = +

, (si veda la figura). Si noti che, nellespressione precedente, facendo tendere 0x o R si ottiene:


02

E = tale relazione rappresenta il campo elettrico prodotto da una distribuzione di carica piana di estensione infinita.

Linee di forza del campo elettrico

Le linee di forza consentono una immediata visualizzazione della distribuzione spaziale del campo elettrico. Le loro caratteristiche sono:

Il vettore campo elettrico tangente alle linee di forza in ogni punto; Il numero di linee di forza per unit di superficie che attraversano una superficie ad esse

perpendicolare proporzionale allintensit del campo elettrico in corrispondenza della superficie. Nellesempio di figura, siccome la densit delle linee che attraversano

la superficie (matematica) A superiore a quella delle linee che attraversano la superficie B, il campo elettrico in A maggiore del campo in B.

Le regole per disegnare le linee di forza per una distribuzione di carica sono:

le linee di forza devono avere origine dalle cariche positive e terminare sulle cariche negative o allinfinito qualora il sistema abbia un eccesso di carica;

il numero di linee di forza che entrano o escono da una carica proporzionale alla carica; due linee di forza non si possono incrociare. Per verificare che quanto sopra in accordo con la legge di Coloumb,

consideriamo una sfera di raggio r concentrica con una carica q (si veda la figura). Per simmetria il campo elettrico avr la stessa intensit su tutti i punti della sfera. Il numero N di linee che escono dalla carica pari a quello delle linee che entrano nella superficie sferica, cos, poich la superficie della sfera in questione 24 r e lintensit del campo elettrico proporzionale al numero di linee per unit di superficie, sar:

24NEr ,

inoltre, siccome il numero di linee proporzionale alla carica ( N q ), allora,

in accordo alla legge di Coloumb:

24qEr

Poich la carica quantizzata, il numero di linee di forza che escono da un qualsiasi oggetto

materiale deve essere 0, ke , 2ke , , dove k una costante di proporzionalit arbitraria. Fissata k il numero di linee di forza non arbitrario. Se, ad esempio, un oggetto ha carica 1Q ed un altro ha carica 2Q , allora il rapporto 1 2N N tra i numeri delle corrispondenti linee di forza sar pari al rapporto delle cariche 1 2Q Q .

Il metodo di rappresentazione del campo elettrico attraverso le linee di forza presenta tuttavia alcune limitazioni. Innanzitutto la sua efficacia circoscritta alla descrizione di campi statici essendo piuttosto complessa la rappresentazione dei campi generati da cariche in movimento;


inoltre con questo metodo impossibile applicare il principio di sovrapposizione. Si faccia riferimento infatti alla configurazione di

linee di forza originate da una singola carica (si veda la figura); in principio il campo prodotto da due cariche uguali ma di segno opposto si dovrebbe ottenere affiancando due configurazioni di linee di una singola carica e invertendo la direzione delle frecce per una delle due cariche. Tuttavia tale metodo determinerebbe delle linee che si incrociano a cui corrisponderebbero due direzioni del campo elettrico nello stesso punto. La rappresentazione delle linee di forza per tale sistema di cariche comunque possibile ma richiede un preventivo calcolo matematico (si veda la figura).

Il dipolo elettrico

Il sistema costituito da due cariche uguali ma opposte q poste alla mutua distanza d prende il nome di dipolo elettrico. Calcoliamo il campo elettrico in un punto situato lungo la linea mediana perpendicolare alla congiungente le cariche e posto alla distanza x dalla congiungente (si veda la figura). Indicando con E

G e E+

G i campi prodotti da ciascuna

carica, per il principio di sovrapposizione si ha: E E E += +

G G G,

dove:

220 0 2

1 14 4

2

q qE Er dx

+ = = = + .

Daltra parte ( ) ( )x xE E +=

cos il campo sar diretto lungo lasse y e varr:

( ) ( ) cos cos 2 cosy yE E E E E E + + += + = + = dove:

Rappresentazione delle linee di forza del campo elettrico prodotto da una carica puntiforme.

Rappresentazione delle linee di forza del campo elettrico prodotto da due cariche puntiformi uguali (in alto) e di segno opposto (in basso).


2

2

2 2cos

2

d d

r dx

= = +

.

Pertanto, sostituendo, si ha:

2 3 2 3 22 2 20 0 02 2 2 2

1 1 1 124 2 4 4

2 2 2 2

q d qd pEd d d dx x x x

= = = + + + +

, (1.1)

avendo posto: p qd kG ,

dove k un versore orientato dalla carica negativa a quella positiva (si veda la figura). Il vettore cos definito prende il nome di momento di dipolo elettrico e, in modulo pG vale qd .

Esempio: Il momento di dipolo elettrico una propriet di numerose molecole, ossia di aggregati atomici contenenti una carica positiva ed una negativa separate da una certa distanza. Ad esempio la molecola di cloruro di sodio (NaCl) pu essere rivista come linsieme di uno ione Na+ ed uno Cl separati da una certa distanza NaCld e rispettivamente di cariche e+ e e . Dalle misure si evince che: 0.236NaCld nm , cos il relativo momento di dipolo dovrebbe essere: ( ) ( )19 9 291.6 10 0.236 10 3.78 10NaCl NaClp ed C m C m = = = . Tuttavia il valore misurato : 293.00 10NaClp C m

; ci evidenzia che lelettrone del sodio non completamente ceduto allatomo di cloro ma risulta condiviso tra questi due atomi.

In applicazioni come quella mostrata nellesempio precedente risulta utile stabilire il campo elettrico a grande distanza dal dipolo, ossia per:

x d . Dalla relazione (1.1) segue:

3 22

3 2 320 02

1 1 14 4 2

2

p p dEx xdx

= = + +

,


facendo uso della relazione dello sviluppo in serie del binomio:

( ) ( ) 211 12!

n n ny ny y+ = + + + ,

si ha:

2

30

1 314 2 2

p dEx x

= + +

ed arrestando lo sviluppo al primo termine segue:

30

14

pEx .

Analogamente si prova che per un punto posto lungo lasse y, a grande distanza da dipolo, si ha:

30

14

pEy .

I due risultati appena riportati costituiscono unindicazione di una caratteristica generale del dipolo; infatti possibile provare che a distanza r dal dipolo, con r d , il campo elettrico varia come

31 r . Supponiamo che il dipolo si immerso in un campo elettrico esterno uniforme E

G e supponiamo

inoltre che il dipolo non perturbi significativamente le linee di forza del campo. Le forze 1FG

e 2FG

agenti sulle due cariche valgono, in modulo:

1 2F F qE= = ,

tuttavia, sebbene abbiano la stessa direzione, sono opposte in verso (si veda la figura) cos il centro di massa del dipolo non soggetto a movimento. Nondimeno le forze esercitano una coppia sul dipolo che tende pertanto a ruotare per allinearsi con la direzione del campo. Se 1r

G e 2rG sono i due bracci, con

1 2 2dr r= = ,

i momenti delle due forze rispetto al centro di massa del dipolo 1G e 2G hanno moduli:

1 1 1 2 2 2sin2dr F qE r F = = = =G GG G ;

inoltre 1G e 2G sono uguali sia in direzione che in verso, cos risulta:


1 2 =G G ,

e pertanto il momento totale delle forze ha modulo:

12 2 sin sin sin2d qE dqE pE = = = = ,

e quindi vettorialmente:

p E = GG G . Fisicamente ci significa che il dipolo elettrico indotto dal campo a raggiungere una posizione

di equilibrio tale che pG risulti parallelo ad EG ; in tale condizione infatti 0 =G . Questo corrisponde sia a 0 = che a = ; nel seguito proveremo che mentre il primo valore di corrisponde ad una posizione di equilibrio stabile, il secondo valore relativa ad una posizione di equilibrio instabile.

Flusso di un vettore

Consideriamo un campo vettoriale vG e supponiamo che le linee di forza corrispondenti siano tutte parallele tra loro. Consideriamo una superficie di area S disposta perpendicolarmente alle linee di forza (si veda la figura). Poich il numero di linee di forza per unit di area di un vettore proporzionale al modulo del vettore, un a misura del numero di linee di forza passanti attraverso la superficie proporzionale al prodotto v S . Questa grandezza prende il nome di flusso del vettore vG attraverso la superficie S:

v S = . Qualora la superficie forma un angolo con le linee di forza di vG

risulter: cosv S = ,

essendo il numero di linee che attraversa S pari al numero di linee che attraversa larea proiettata 'S , perpendicolare al campo (si veda la figura). Se si definisce un versore normale n alla superficie

S, come mostrato in figura, si pu definire il flusso come: v nS = G ,

ovvero, definendo un vettore S nSG si ha: v S = GG . Nel caso generale il vettore vG pu variare in corrispondenza dei punti della superficie S

attraverso la quale si vuole calcolare il flusso; cos per poter applicare la precedente definizione occorre suddividere tale superficie in elementi infinitesimi ds in corrispondenza dei quali la variazione del vettore vG pu essere considerata trascurabile, allora il flusso elementare di vG attraverso ds sar:


d v n ds v ds = = G G G ,

dove si posto ds n dsG (si veda la figura). Pertanto la misura del numero di linee di forza del campo vG che attraversano tale superficie :

S

v ds = G G . Poich in generale la superficie pu anche essere chiusa (si veda la

figura), occorre stabilire una convenzione circa il verso di n . In questo contesto tale versore scelto uscente dalle superfici chiuse. Con questa convenzione il prodotto v nG sar positivo laddove il campo uscente dalla superficie considerata e sar negativo dove il campo entrante.

La legge di Gauss

Consideriamo una carica puntiforme q posta al centro di una sfera di raggio r. Sulla superficie S della sfera risulta:

20

1 4

qE nr=

G

dove n il versore normale uscente dal generico punto posto sulla superficie. Il flusso elementare attraverso un elemento di superficie dsG vale (si veda la figura):

2 20 0

1 1 4 4

q qd E ds n n ds dsr r

= = =G G ,

cos, il flusso attraverso lintera superficie S vale:

22 2 20 0 0

1 1 1 44 4 4S S S

q q qE ds ds ds rr r r

= = = = G G ,

essendo pari 24 r la superficie della sfera, cos:

0

q = . Quindi il flusso del campo elettrico attraverso la superficie della sfera proporzionale alla carica

interna alla superficie. Il risultato appena conseguito, che sar esteso nel paragrafo successivo ad una qualsiasi

superficie chiusa contenente la carica, risulta consistente con la definizione di flusso e con le caratteristiche delle linee di forza; infatti il flusso attraverso una superficie proporzionale al


numero di linee di forza che attraversano tale superficie, daltra parte tale numero proporzionale alla carica che le origina, cos il flusso risulta proporzionale alla carica.

Dalla costruzione di figura evidente che il numero di linee di forza che attraversano le superfici non sferiche 2S e 3S pari al numero di linee di forza che attraversano 1S , cos il flusso totale attraverso qualsiasi superficie chiusa indipendente dalla forma della superficie stessa.

Se la carica esterna alla superficie chiusa (si veda la figura) il numero di linee di forza entranti pari a

quello delle linee uscenti, cos il flusso totale del campo elettrico che attraversa una superficie chiusa che non circonda alcuna carica nullo.

I due risultati test illustrati costituiscono lenunciazione della legge di Gauss per una carica singola, in formule:

00S

q se q interna a SE ds

se q esterna a S

= G G .

Dimostrazione della legge di Gauss

Consideriamo una superficie S contenente la carica q. Sia 'S una superficie sferica concentrica alla carica e contenuta in S (si veda la figura); dal risultato conseguito nel paragrafo precedente, il flusso attraverso 'S vale:

'0' '

' 'SS S

qE ds E ds = = = G G ,

dove 'E

G il campo elettrico sulla superficie 'S . In particolare se 'r il raggio della sfera si

superficie 'S , si ha:

20

1'4 '

qEr= (1.2)

mentre, in un punto a distanza r sulla superficie S risulta:

20

14

qEr= , (1.3)

cos, dividendo membro a membro le equazioni (1.2) e (1.3) si ottiene:

2'

'E rE r

= . (1.4)

Con riferimento al cono di figura risulta che larea A della base e larea 'A di una

sezione del cono perpendicolare allasse possono essere espresse in funzione dei corrispondenti raggi delle base e della sezione come:

2

2

' ' ,,

A lA l

==

pertanto il rapporto tra le aree 'A e A vale:


2' 'A l

A l =

;

daltra parte, valendo la relazione di proporzionalit ' 'l l r r= si pu scrivere:

2' 'A r

A r =

. (1.5)

Applicando tale relazione alle superfici infinitesime dsG e 'dsG appartenenti rispettivamente alle superfici S e 'S

della figura precedente si ha:

2'cos 'rds ds

r =

cos, il flusso del campo elettrico E

G attraverso la superficie S vale:

2 2

0'

'cos ' ' ' ''S S S S S

r r qE ds E ds E ds E dsr r

= = = = =

G G ,

dove si fatto uso della (1.4) per mettere in relazione il campo E

G col campo 'E

G.

Se la carica situata allesterno della superficie considerata, con riferimento alla figura risulta:

2''cos ' cosrds ds

r =

;

facendo uso di tale formula ed esprimendo il flusso infinitesimo del campo elettrico attraverso S come la somma dei flussi infinitesimi attraverso la superfici contrapposte dsG e 'dsG , si ha:

2 2'' ' ' 'cos ' cos cos cos 0

'Sr rd E ds E ds E ds Eds E ds Edsr r

= + = + = + = G GG G ,

e siccome questo risultato vale per ogni coppia di elementi dsG e 'dsG , risulter: 0S = .

La dimostrazione della legge di Gauss mette in luce un importante

collegamento tra tale legge e la legge di Coloumb. Infatti questa dimostrazione basata sul fatto che il rapporto tra i campi elettrici prodotti da una carica puntiforme in corrispondenza di due superfici sferiche concentriche alla carica e di raggi r e 'r (1.4) uguale al rapporto tra le aree delle due superfici (1.5). Concludiamo quindi che la validit della legge di Gauss dipende dalla proporzionalit con linverso del quadrato espressa dalla legge di Coloumb.

Supponiamo che internamente alla superficie chiusa considerata S vi siano N cariche 1 2, , , Nq q q , allora se 1 2, , , NE E E

G G G rappresentano i campi prodotti da ciascuna di esse prese singolarmente (si veda la figura), allora:


11

0

22

0

0

,

,

,

S

S

NN

S

qE ds

qE ds

qE ds

=

=

=

G G

G G

#G G

cos, sommando membro a membro, per il principio di sovrapposizione, se: 1 2 NE E E E + + +

G G G G , 1 2int Nq q q q + + + , allora:

0

int

S

qE ds =G G .

Cio il flusso del campo elettrico totale attraverso una qualunque superficie chiusa uguale alla

carica totale contenuta allinterno della superficie, divisa per 0 . Esempio: (Campo elettrico prodotto da una sfera carica). Consideriamo una sfera isolante di raggio R caratterizzata da una distribuzione di carica uniforme di densit . Calcoliamo il campo elettrico in ogni punto dello spazio. Consideriamo una superficie sferica di raggio r concentrica con la sfera data e valutiamo il campo per r R> e per r R< . Se r R> , (si veda la figura in alto) dallapplicazione della legge di Gauss segue: ( )

0S

qE E ds = =G G G ,

dove 24S r= la superficie della sfera di raggio r e q la carica contenuta nella sfera isolante. Da tale relazione si ricava: 2

0

4S S

qE ds E ds E r = = = G G ,

cio:

20

14

qEr= .

Quindi allesterno della sfera il campo lo stesso che si avrebbe qualora la sfera fosse sostituita da una carica puntiforme di uguale valore posta al centro della sfera. Inoltre, siccome r uniformemente distribuita nel volume V della sfera, si ha: 34

3V Vq dv dv R = = = ,

e quindi:


3

203

REr

= .

Se r R< , (si veda la figura, in basso) dallapplicazione della legge di Gauss segue: ( ) 2

0

'4S

qE E ds E r = = =G G G ,

dove 'q rappresenta la carica contenuta allinterno del volume 'V delimitato dalla superficie S di raggio r: 3

' '

4'3V V

q dv dv r = = = , quindi, sostituendo si ha:

03E r= ,

in figura mostrato landamento del campo elettrico al variare di r. Esempio: (Distribuzione di carica a simmetria cilindrica). Consideriamo un filo di lunghezza infinita lungo il quale uniformemente distribuita una carica con densit lineare . Stabiliamo il valore del campo elettrico in tutto lo spazio. La simmetria della distribuzione di carica suggerisce che il campo elettrico deve essere perpendicolare al filo carico e uscente. Consideriamo una superficie cilindrica S di raggio r e lunghezza l coassiale col filo (nella figura, in alto; in basso la superficie mostrata in sezione); il flusso attraverso le superfici di base nullo essendo il campo elettrico parallelo a tali superfici, quindi: ( ) 2

S S

E E ds E ds rl E = = = G G G . Daltra parte per la legge di Gauss risulta: ( )

0 0

2 q lE rl E = = =G ,

pertanto:

0

12

Er

= . Si osservi che se il filo non infinito viene a cadere la simmetria diventa inutile lapplicazione della legge di Gauss per la determinazione del campo elettrico; tuttavia questo risultato resta valido per un filo di lunghezza finita L nel limite r L per punti sufficientemente distanti dalle estremit del filo.

Esempio: (Campo prodotto da un guscio sferico). Consideriamo un guscio sferico di materiale isolante di raggio R sul quale uniformemente distribuita una carica con densit . Con riferimento ad una superficie sferica S di raggio r concentrica al guscio (si veda la figura), possiamo affermare che per r R< il campo elettrico nullo poich non presente carica allinterno del guscio. Per r R> , se q la carica distribuita sul guscio, si ha: 24q R = ,

e quindi, poich: ( ) 2

0

4S

qE E ds E r = = =G G G ,


segue:

2

2 20 0

14

q REr r

= = .

in figura mostrato landamento del campo elettrico al variare di r. Esempio: (Piano infinito uniformemente carico). Consideriamo un piano isolante indefinito sul quale uniformemente distribuita una carica positiva con densit superficiale . Stabiliamo il valore del campo elettrico in ogni punto dello spazio. Per simmetria il campo elettrico su entrambe la superfici del piano sar normale ed opposto in verso (si veda la figura). Consideriamo una superficie cilindrica S con asse perpendicolare al piano e superfici di base di area A equidistanti dal piano come mostrato in figura. Il flusso del

campo elettrico attraverso ciascuna base EA , cos il flusso totale attraverso la superficie S vale: ( ) 2E EA =G ; daltra parte la carica q interna a questa superficie pari a quella distribuita sullintersezione tra il volume definito dal cilindro di superficie S ed il piano carico: q A= , cos, essendo ( ) 0E q =G , segue:

02E = .

Questo risultato, per altro gi ottenuto attraverso un approccio differente in un precedente esempio, pu essere applicato ad una importante configurazione di carica rappresentata da

una coppia di piani infiniti e paralleli uniformemente carichi e recanti su di essi cariche di segno opposto. Con riferimento alla figura si osserva che allesterno della regione compresa tra i due piani, i campi prodotti da ciascun piano sono uguali ma hanno verso opposto; allinterno i campo hanno lo stesso segno e si sommano. Pertanto:

0

0int

ext

E

E

==

.

Questa configurazione elettrostatica consente quindi di confinare in una regione limitata dello spazio un campo uniforme.

Operatori differenziali e relativi teoremi

Si definisce un operatore nabla nella maniera seguente:

x y zx y z

+ + G

.

E possibile provare che tale operatore possiede caratteristiche analoghe a quelle dei tradizionali

vettori e si presta a definire in maniera sintetica altre grandezze utili nellambito

Rappresentazione delle linee di forza del campo elettrico prodotto da due piani uniformemente carichi.


dellelettromagnetismo. In generale la sua espressione dipende dal particolare sistema di coordinate adoperate e lespressione precedente relativa alle coordinate cartesiane.

Il gradiente

Sia ( ), ,x y z una funzione definita e derivabile in ogni punto ( ), ,x y z di una certa regione dello spazio (ossia descrive un campo scalare derivabile). Si definisce gradiente di e si indica con

G o grad la seguente grandezza:

x y z x y zx y z x y z

+ + = + + G

;

cos G descrive un campo vettoriale. La componente di G nella direzione di un versore r data da r G e prende il nome di

derivata direzionale della funzione nella direzione di r ; in pratica r G esprime lentit della variazione di nella direzione di r nel punto ( ), ,x y z .

La divergenza

Sia ( ) , , x y zv x y z v x v y v z= + +G una funzione vettoriale definita e derivabile in ogni punto ( ), ,x y z di una certa regione dello spazio (ossia vG descrive un campo vettoriale derivabile). Si definisce divergenza di vG e si indica con v G G o divvG la seguente grandezza:

( ) yx zx y z vv vv x y z v x v y v zx y z x y z + + + + = + + G G .

Si noti che loperatore nabla viene formalmente adoperato come un operatore tradizionale;

tuttavia tale operatore non soddisfa la propriet commutativa dei vettori rispetto al prodotto scalare, risultando v G G differente da v GG , espressione, questultima che priva di significato.

Il rotore

Sia ( ) , , x y zv x y z v x v y v z= + +G un campo vettoriale derivabile. Si definisce rotore di vG e si indica con vG G o rot vG la seguente grandezza:

( )

.

x y z

x y z

y yx xz z

x y z

v x y z v x v y v zx y z x y z

v v v

v vv vv vx y zy z z x x y

+ + + + = =

= + +

G G.


Si osservi che anche in questo caso loperatore nabla agisce analogamente ad un vettore tradizionale nel prodotto vettoriale.

Teorema della divergenza

Sia V il volume delimitato dalla superficie chiusa S e uG un campo vettoriale derivabile con derivate continue, allora:

S S V

u ds u n ds u dv = = GG G G G ,

dove n il versore positivo (ossia orientato verso lesterno) normale ala superficie S.

Teorema del rotore

Sia S una porzione di superficie aperta a due facce, delimitata da una curva chiusa non intrecciata (curva chiusa semplice) C, allora, se vG un campo vettoriale derivabile con derivate continue, si ha:

( ) ( )

S S

v dr v n ds v ds = = G GG G G G GvC

,

dove C percorsa in direzione positiva. La direzione di C detta positiva se un osservatore che cammina sul contorno di S in questa direzione e con il capo orientato nella direzione del versore positivo n normale a S, ha la superficie S alla sua sinistra (si veda la figura).

Formulazione puntuale della legge di Gauss

Supponiamo che allinterno del volume V racchiuso da una superficie S vi sia una distribuzione continua di carica con densit ( ), ,x y z (si veda la figura). Allora la carica totale contenuta allinterno del volume V vale:

V

q dv= ;

sostituendo q nellespressione della legge di Gauss si trova:

0 0

1

V V

qE ds dv = = G G .

Questa espressione mette in relazione il campo elettrico, definito su una superficie, con la densit

di carica, definita in un volume. Sebbene risulti utile in numerose circostanze, tale formulazione della legge di Gauss, detta integrale, presenta lo svantaggio di non poter fornire, in generale, indicazioni di carattere puntuale circa le grandezze coinvolte.

Applicando il teorema della divergenza al primo membro dellespressione precedente, si trova:

0

1

V V V

E ds E dv dv = = G G GG ,


ovvero:

0

1 0V

E dv = G G

;

dovendo valere questa relazione per ogni dominio di integrazione V, deve essere:

0

1E =G G

.

Laddove nullo, 0E =G G ed il campo elettrico EG detto, ivi, solenoidale. In

sostanza lequazione precedente stabilisce quali sono i punti dello spazio dove EG

o meno solenoidale e, di conseguenza, lassenza o meno di sorgenti del campo elettrico in quei punti. Pertanto se, ad esempio, osserviamo delle linee di forza di E

G che

originano da un punto, che funge quindi da sorgente del campo (si veda la figura in alto), possiamo dedurre che esiste un punto in cui risulta 0E G G . Viceversa, se le linee di forza del campo non originano manifestatamene da alcun punto (si veda la figura in basso), concludiamo che il campo solenoidale.

Conduttori in equilibrio elettrostatico

Dal punto di vista microscopico, un buon conduttore elettrico pu essere generalmente rappresentato come un reticolo atomico immerso il un gas di elettroni liberi di muoversi allinterno del materiale. In assenza di un moto netto degli elettroni in una particolare direzione, il conduttore detto in equilibrio elettrostatico. In tale circostanza valgono le seguenti propriet:

Il campo elettrico allinterno del conduttore ovunque nullo; Un qualunque eccesso di carica su conduttore deve localizzarsi superficialmente. Allesterno del conduttore, in prossimit della superficie, il campo elettrico

perpendicolare alla superficie ed ha intensit pari a 0 , dove la densit superficiale di carica.

Su un conduttore di forma irregolare la carica tende ad accumularsi nei punti in cui la curvatura della superficie maggiora, ovvero sulle punte

La prima propriet pu essere compresa considerando una lastra conduttrice immersa in un campo elettrico. Allapplicazione del campo, gli elettroni si muovono verso sinistra causando un accumulo di carica negativa a sinistra e positiva a destra (si veda la figura). Queste cariche creano un campo elettrico opposto al campo esterno; la densit superficiale di carica cresce fino a che lintensit di questo

campo non uguagli quella del campo esterno, dando luogo ad un campo nullo allinterno del conduttore; i tempi tipici per raggiungere tale condizione di equilibrio sono dellordine di 1610 sec per un buon conduttore.

Consideriamo un conduttore in equilibrio elettrostatico; allinterno del conduttore consideriamo una superficie chiusa S prossima quanto si vuole alla superficie del conduttore (si veda la figura). Poich allinterno del conduttore il campo elettrico nullo, dalla legge di Gauss segue che


allinterno della superficie S quindi del conduttore la carica netta nulla. Pertanto se il conduttore carico, tale carica deve situarsi sulla superficie.

Consideriamo un conduttore carico allequilibrio e facciamo riferimento ad una superficie S a forma di cilindro con le superfici di base A sufficientemente piccole da potersi ritenere localmente parallele alla superficie del conduttore e con parte del cilindro contenuta nel conduttore. Attraverso la parte interna il flusso del campo elettrico nullo essendo nullo il campo elettrico internamente al conduttore. Inoltre il campo normale alla superficie perch qualora vi fosse una componente tangenziale determinerebbe un moto delle cariche e quindi una condizione di non equilibrio. Perci nullo il flusso anche attraverso la superficie laterale del cilindro. Cos il flusso attraverso la superficie del cilindro nE A essendo nE il campo elettrico in prossimit della superficie esterna del conduttore. Applicando la legge di Gauss alla superficie del cilindro si ha quindi:

0 0

nS

q AE ds E S = = =G G ,

dove la densit locale di carica superficiale. Ne segue che, siccome nE pari a E n

G, dove n il versore normale alla

superficie del conduttore, allora:

0

E n=G

;

tale espressione prende il nome di Teorema di Coloumb.

Lultima propriet elencata dei conduttori in equilibrio sar provata nel seguito.

Differenza di potenziale e potenziale elettrico

Le forze di tipo centrale, che dipendono dalla sola distanza da un centro, risultano intrinsecamente conservative; poich la forza espressa dalla legge di Coloumb appartiene a questa categoria, allora la forza elettrostatica conservativa e di conseguenza il campo elettrostatico conservativo.

Se 0q immersa in un campo EG

la forza FG

cui soggetta vale 0q EG

; tale forza conservativa essendo la somma di tutte le forze conservative agenti tra 0q e le cariche che determinano il campo

EG

. Il lavoro fatto da questa forza in corrispondenza di uno spostamento infinitesimo dlG

della carica vale:

0dL F dl q E dl= =

G GG G.

Per definizione, il lavoro fatto da una forza conservativa pari alla variazione di energia

potenziale dU , cambiata di segno: 0dU dL q E dl= =

GG;

Rappresentazione delle linee di forza del campo elettrico prodotto da due conduttori carichi.


in corrispondenza di uno spostamento finito di 0q dal punto A al punto B, la variazione di energia potenziale data da:

0B

B AA

U U U q E dl = = GG ,

dove lintegrale non dipende dal cammino scelto essendo il campo EG

conservativo. La differenza di potenziale A BV V tra i punti A e B definita come la variazione dellenergia

potenziale per unit di carica, ovvero:

0

BB A

A BA

U UV V V E dlq = = GG .

Si noti che tale definizione perviene soltanto a differenze di potenziale, in quanto solo tali

quantit hanno valore fisico. Spesso si usa assumere che la funzione potenziale si nulla in un punto particolare, ad esempio allinfinito; allora, ponendo:

( ) 0V = ,

il potenziale in corrispondenza di un generico punto P vale:

P

PV E dl

= GG ,

espressione che pu essere riguardata come il lavoro necessario per trasportare una carica unitaria dallinfinito al punto P.

Lunit di misura del potenziale il volt (V) e risulta 1 1 1V J C= , cos 1V rappresenta il lavoro che deve essere fatto per far superare ad una carica di 1C una differenza di potenziale di 1V . Lintroduzione del volt consente inoltre di riscrivere lunit di misura del campo elettrico in V m che rappresenta lunit tradizionalmente pi usata per questa grandezza.

In fisica atomica e nucleare duso comune per la misura dellenergia lelettronvolt (eV),definito come lenergia che un elettrone (o un protone) acquista quando viene accelerato mediante una differenza di potenziale di 1V . Siccome 1 1 1V J C= e la carica dellelettrone (protone) di

191.6 10 C , allora 19 191 1.6 10 1.6 10eV C V J = = .

Esempio: Nel cinescopio di un apparecchio televisivo un elettrone del fascio ha una velocit di 78 10 m sec circa. Poich la massa dellelettrone 319.1 10 kg circa, questa velocit corrisponde ad unenergia cinetica di 153 10 J . Cosi tale elettrone per raggiungere questa velocit, partendo da fermo, deve essere accelerato tramite una differenza di potenziale di 19 kV .

Campo elettrico uniforme

Consideriamo un campo elettrico uniforme diretto lungo lasse x (si veda la figura):


E E x=G

e calcoliamo la differenza di potenziale tra i punti A e B separati dalla distanza d:

( ) ( ) B B BB AA A A

V V V E dl E x x dx E dx Ed = = = = = GG .

Il fatto che 0V < indica che il potenziale di B inferiore a quello di A, ossia B AV V< . La variazione di energia potenziale di interazione tra una carica di prova 0q e un campo elettrico

uniforme quando la carica si muove tra A e B : 0 0B AU U U q V q Ed = = = .

Quindi se 0 0q > allora 0U < ovvero B AU U< , cio il sistema perde energia potenziale in corrispondenza del moto di una carica positiva nella direzione del campo elettrico. Se venisse abbandonata in A, la carica, per effetto della forza 0q E

G, sarebbe accelerata acquisendo energia

cinetica; siccome la carica guadagna energia cinetica in una certa misura, il sistema deve perdere altrettanta energia potenziale. Pertanto se la carica originariamente a riposo in A, allora la sua velocit Av nulla e quindi risulta:

0

12A B q B

U U m v= + , dove Bv la velocit della carica e 0qm la sua massa. Viceversa, se 0 0q < allora 0U > ovvero B AU U> , cio il sistema guadagna energia potenziale in corrispondenza del moto di una carica negativa nella direzione del campo elettrico.

Supponiamo che lo spostamento avvenga tra due punti generici, allora, siccome E

G uniforme, si ha:

( ) ( ) B B BA A A

V E dl E x x dx y dy E dx Ed = = + = = GG , cos il risultato conseguito lo stesso del caso presentente. Ne segue che i punti perpendicolari alla direzione del campo (B e C ad esempio, nella figura) sono equipotenziali e definiscono una superficie detta superficie equipotenziale.

Potenziale elettrico ed energia potenziale per cariche puntiformi

Calcoliamo la differenza di potenziale tra i punti A e B di figura:

B

B AA

V V E dl = GG ,


in cui:

20

1 4

qE rr=

G,

allora

2 2 20 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1cos4 4 4 4 4

BB

A A

rrB B

B AB AA A r r

q q q q qV V dl dl drr r r r r r

= = = = = .

Si noti che lintegrale appena calcolato risulta indipendente dal percorso seguito, a motivo della conservativit del campo.

Assumendo che il potenziale sia nullo per Ar , si trova il potenziale di una carica puntiforme:

0

14

qVr= ;

tale espressione pu essere interpretata come il lavoro per unit di carica che si effettua per trasportare una carica dallinfinito ad un punto posto a distanza r dalla carica q.

Poich V uniforme su una superficie sferica di raggio r (cio A Br r= nella precedente espressione), concludiamo che le superfici equipotenziali per una

carica puntiforme sono delle sfere concentriche alla carica stessa e tali superfici risultano perpendicolari alla direzione del campo.

In figura mostrata la sezione (in tratteggio) delle superfici equipotenziali per una carica puntiforme e per due cariche puntiformi di segno opposto.

Come conseguenza del principio di sovrapposizione, il potenziale in un certo punto, dovuto a pi cariche puntiformi pari alla somma dei potenziali di ciascuna carica calcolati in tale punto:

0

14 i i

qVr= ,

sempre con lipotesi che il potenziale sia nullo allinfinito.

Sia 1V il potenziale determinato dalla carica 1q nel punto P distante 12r da 1q . Il lavoro richiesto per portare una seconda carica, 2q , dallinfinito a P vale 2 1q V . Poich per definizione tale lavoro pari allenergia potenziale U del sistema quando le due cariche sono separate dalla distanza 12r , allora:

1 22 10 12

14

q qU q Vr= = .


E possibile generalizzare questa espressione ad un sistema di pi cariche trovando, ad esempio, per tre cariche:

1 3 2 31 20 12 13 23

14

q q q qq qUr r r

= + + ,

ovvero, per N cariche:

, 1 1 1 10 0 0

1 1 1 1 1 1 14 2 2 4 2 4 2

N N N N N Ni j j j

i i i ii j i i j i i j iij ij iji j

q q q qU q q q V

r r r = = = = = = = = .

Potenziale elettrico dovuto a distribuzioni continue di carica

Per il calcolo del potenziale per una distribuzione continua facciamo riferimento alle espressioni gi trovate per le cariche puntiformi. Sia dq un elemento di carica della distribuzione Q, allora, il contributo al potenziale nel punto P posto a distanza r da questo elemento :

0

14

dqdVr= ,

cos, per ottenere il potenziale generato da tutta la distribuzione occorre integrare su tutta la carica Q della distribuzione:

0

14 Q

dqVr= .

In relazione al tipo di distribuzione di carica possibile esplicitare il differenziale dq ; cos,

qualora la carica distribuita in un volume V con densit dq dv = , allora:

0 0

1 14 4Q

dq dvVr r

= = V .

Un approccio alla determinazione del potenziale di un corpo alternativo al precedente prevede la

diretta applicazione dellespressione della differenza di potenziale in termini di integrale di linea di EG

. Pertanto, se il problema ha un grado di simmetria tale da rendere agevole tale determinazione, fissando infine il valore del potenziale in un punto arbitrario, possibile stabilire il potenziale del corpo.

Relazione tra campo elettrico e potenziale

Nota che sia lespressione del campo elettrico possibile ricavare il corrispondente potenziale attraverso la relazione:


( ) ( )0

0

P

P

V P E dl V P= + GG ; Da questa relazione segue: E dl dV = GG , e, sviluppando i due membri in coordinate cartesiane, si ha:

x y zV V VE dx E dy E dz dx dy dzx y z

+ + = + + , cos, confrontando le due espressioni, segue:

,

,

,

x

y

z

VExVEyVEz

= = =

ovvero, vettorialmente: E V= G G .

Sostituendo questa relazione nellespressione di dV si trova: ( ) cosdV V dl V dl = = GG G in cui rappresenta langolo compreso tra i vettori VG e dlG . Da tale relazione segue:

cosdV Vdl

= G , cio la variazione per unit di lunghezza di V nella direzione di dl

G

pari alla proiezione di VG nella direzione di dlG . Se a partire da un punto ci si sposta di un tratto dl

G

ortogonalmente a VG , siccome vale 2 e cos 0 = , segue che 0dV dl = , ovvero V costante; pertanto VG un vettore

perpendicolare alle superfici equipotenziali in cui V costante. Infine, se dl

G diretto perpendicolarmente alle superfici

equipotenziali, ovvero parallelamente a VG , siccome nullo e cos 1 = , segue che la derivata direzionale dV dl risulta massima e pari al modulo del gradiente:


dV Vdl

= G . Inoltre il verso di VG nella direzione in cui il potenziale aumenta con la derivata massima1.

Espressione della conservativit del campo elettrostatico

Dalla conservativit del campo elettrico segue che lintegrale di linea di EG

calcolato da un punto A ad un punto B risulta indipendente dal percorso C che porta da A a B. Risulta infatti che, essendo:

( ) ( )BA

E dl V A V B = GG , lintegrale dipende dai soli valori estremi del percorso. Se il percorso tale che i punti A e B coincidono, ovvero la curva C chiusa, allora si ha: 0E dl = GGv

C.

Quindi, lintegrale di linea del campo elettrostatico, calcolato lungo una curva chiusa nullo.

Se applichiamo a questultima espressione il teorema del rotore, si ha: ( )0 E dl E ds= = GG G G Gv

C S,

e poich tale relazione vale per ogni linea chiusa C e per ogni superficie S che abbia per contorno C, segue che: 0E =G G , cio il campo elettrostatico irrotazionale.

Per altro questa relazione pu essere ricavata seguendo unaltra via, ovvero, il fatto che il campo elettrostatico conservativo implica che esiste una funzione scalare V tale che E V= G G , allora:

2 2 2 2 2 2

0.

x y z

E Vx y zV V Vx y z

V V V V V Vx y zy z y z x z z x x y y x

= = =

= =

G G G G

1 Infatti, ad esempio, per una carica puntiforme positiva, VG punta verso la carica, dove il potenziale aumenta.


Si noti che a prescindere dallo sviluppo del prodotto vettoriale VG G in coordinate cartesiane, tale risultato poteva essere conseguito considerando G e VG come due vettori paralleli il cui prodotto vettoriale risulta, ovviamente, nullo. Esempio: (Potenziale elettrico di una bacchetta carica). Consideriamo una bacchetta di lunghezza l e valutiamo il potenziale in corrispondenza dei punti dellasse passante per un estremo. Il contributo al potenziale di un elemento di carica dq posto a distanza r dal punto considerato, vale: ( )1 22 20 0

1 14 4

dq drdVr x y

= = +

,

cos, integrando da 0 a l si trova:

( )2 2

1 22 20 00

ln4 4

l l l ydrVyx y

+ + = = +

Esempio: (Potenziale elettrico dovuto ad un anello uniformemente carico). Consideriamo un anello uniformemente carico e calcoliamo il potenziale in un punto P posto sullasse dellanello. Il contributo al potenziale di un elemento di carica dq posto sullanello : ( )1 22 20 0

1 14 4

dq dqdVr x R = = +

,

il termine ( )1 22 2x R+ comune a tutti i punti sullanello, cos, integrando,

segue:

( ) ( )( )

1 2 1 22 2 2 20 0

1 22 20

1 1 14 4

14

Q Q

dqV dqx R x R

Q

x R

= =+ +

=+

.

Il cui grafico mostrato in figura. Si osservi che, a partire dalla relazione E V= G G si pu ricavare lespressione del campo elettrico lungo lasse x. Infatti: ( ) ( ) ( )

3 22 21 2 3 22 2 2 2

0 0 0

1 1 24 4 2 4

dV d Q Q Q xE V x R xdx dx x R x R

= = = = + = + +G

Conduttori carichi isolati

Siano A e B due punti posti in un conduttore allequilibrio, poich allinterno il campo elettrico nullo, si ha:

( ) ( ) 0BA

V A V B E dl = = GG per cui:


( ) ( )V A V B= , ovvero tutti i punti interni al conduttore sono allo stesso potenziale e, anche la superficie del conduttore, in particolare, una superficie equipotenziali.

Quale ulteriore propriet dei conduttori carichi allequilibrio, possibile provare che in un conduttore di forma irregolare la carica tende ad accumularsi nei punti in cui la curvatura della superficie maggiore, ovvero in prossimit delle punte.

Per comprendere questo fenomeno consideriamo due sfere conduttrici di raggi, rispettivamente, 1R e 2R , con 1 2R R< , collegate elettricamente tra loro tramite un filo conduttore. Se 1 e 2 indicano le densit superficiali di carica sui due conduttori, le cariche rispettive saranno:

2

1 1 12

2 2 2

4 ,

4 ,

q Rq R

==

e facendo il rapporto membro a membro, segue:

2

1 1 12

2 2 2

q Rq R

= .

Daltra parte, siccome sono connesse con un conduttore, le due sfere sono allo stesso potenziale; assumendo che la distanza tra le sfere sia tale da poter assumere che la carica su una non abbia alcun effetto sulla distribuzione di carica dellaltra, segue che il comune valore V del loro potenziale :

1 20 1 0 2

1 14 4

q qVR R = = ,

e facendo il rapporto membro a membro dei due valori del potenziale, segue:

1 12 2

q Rq R

= , cos, confrontando con lespressione precedente, si ha:

1 22 1

RR

= .

Daltra parte, siccome 1 2R R< , allora 1 2 > , cio la sfera pi piccola ha una maggiore densit di carica superficiale; ci implica che il campo elettrico pi intenso in prossimit della sfera pi piccola. Per questo motivo in un conduttore che presenta una zona in cui il raggio di curvatura della superficie molto piccolo, ovvero presenta una punta, il campo elettrico maggiore in tale zona.

Potenziale di un dipolo

Consideriamo un dipolo il cui momento ha intensit


p qd= ;

il potenziale in un punto P posto a distanze 1r e 2r , rispettivamente, da q+ e q , vale:

2 10 1 2 0 1 2

1 14 4

r rq qV qr r r r

= = .

Questa espressione pu essere semplificata nel caso in cui il punto P molto distante dal dipolo, ovvero per 1 2,r r d ; in questo caso risulta:

1 2, ,

',r r r

con tali approssimazioni il prodotto 1 2r r circa uguale a

2r e la differenza 2 2r r , pari a cos 'd , circa uguale a cosd . Pertanto, sostituendo nella precedente espressione, si ha:

2 20 0

1 cos 1 cos4 4

qd pVr r

= = .

Da tale espressione segue che il potenziale nullo per 0 = , ovvero nel piano equatoriale del dipolo, pertanto il campo elettrico del dipolo non compie lavoro quando una carica viene portata dallinfinito ad un punto su questo piano, attraverso un qualsiasi percorso.

A partire dalla relazione precedente possibile ricavare lespressione del campo elettrico prodotto dal dipolo in tutto lo spazio. Allo scopo esprimiamo V in coordinate cartesiane; con riferimento alla figura, poich:

( )1 22 2 2cos ,

,

z r

r x y z

== + +

segue:

( )3 22 2 3 2 2 20 0 0 01 1 1 1cos

4 4 4 4p p z pz pzVr r r r x y z

= = = = + + .

Applichiamo ora la relazione E V= G G e calcoliamo il gradiente del potenziale. Per la componente lungo x si ha:


( )( ) ( )

1 22 2 2

3 5 22 2 2 2 2 20 0

3 21 1 324 4x

x y z xV pzxE pzx x y z x y z

+ += = = + + + +.

La componente lungo y si pu ricavare dalla precedente espressione osservando che, per simmetria, le due componenti devono essere indipendenti per uno scambio tra i due assi corrispondenti, cos:

( )5 22 2 201 3

4yV pzyEy x y z

= = + +,

infine:

( ) ( )

( ) ( )3 2 1 22 2 2 2 2 2

2 2 2

3 5 22 2 2 2 2 20 0

3 21 1 224 4y

x y z z x y z zV x y zE p pz x y z x y z

+ + + + + = = = + + + +.

Energia potenziale di un dipolo

Consideriamo un dipolo di momento pG immerso in un campo elettrico esterno EG ; per ruotare tale dipolo di un dato angolo rispetto al campo necessario compiere del lavoro. Tale lavoro accrescer lenergia potenziale del sistema. Il lavoro elementare dL necessario per ruotare un momento meccanico G di un angolo d pari a d , cos, siccome il momento del dipolo vale p E GG , e quindi sinpE = , e poich il lavoro viene trasformato in energia potenziale, si ha che

per una rotazione finita da 0 a , la variazione di energia potenziale :

( )0

0 0

0 0' sin ' ' cos ' cos cosU U d pE d pE pE

= = = = . La costante 0 dipende dallorientazione iniziale del dipolo, per cui, assumendo 0 pari a 2 e ponendo quale riferimento per lenergia potenziale 0 0U = per 0 2 = si ha: cosU pE = , ovvero: U p E= GG . Il grafico dellenergia potenziale in funzione dellangolo mostra la presenza di un minimo per 0 = , per cui tale angolo corrisponde ad una posizione di equilibrio stabile del dipolo nel campo elettrico.


Equazioni di Maxwell per il campo elettrostatico

Assegnata una certa distribuzione statica di carica nello spazio vuoto, di densit descritta dalla funzione ( ), ,x y z = , il campo elettrico soddisfa le equazioni integrali:

0

1 ,

0,

E ds dv

E dl

= =

G G

GGvS V

C

nella prima S una superficie chiusa contenente il volume V ; nella seconda C una generica curva chiusa. La prima equazione lespressione della legge di Gauss mentre la seconda conseguenza della conservativit del campo elettrostatico. In forma puntuale queste equazioni si scrivono:

0,

0.

E

E

=

=

G G

G G

Queste relazioni sono dette equazioni di Maxwell per il campo elettrostatico.

Il fatto che il campo elettrostatico irrotazionale implica lesistenza di una funzione potenziale V tale che:

V E =G G ,

cos, sostituendo nella prima delle equazioni di Maxwell segue ( ) 2 0V V = = G G , ovvero:

20

V = , dove loperatore 2 definito come:

2 2 2

22 2 2x y z

+ + . Lequazione precedente compendia le due equazioni di Maxwell e prende il nome di equazione di Poisson. Fissata che sia la funzione localizzata in una regione definita dello spazio, si prova che lequazione di Poisson ammette una sol soluzione che soddisfi le specificate condizioni al contorno del dominio di definizione.

In assenza di cariche localizzate, ovvero per 0 = , lequazione precedente si scrive: 2 0V =

e prende il nome di equazione di Laplace.

Campo e Potenziale

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