7/25/2019 Cambio de Parametro

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Proposicin 2.9 (cambio de parmetros)

Supongamos que x = x(u, v) y x = x*(, ) sean dos cartas de una superficie

regularMy que tengan interseccin no vaca G. Sean, Wel conjunto del plano uv

que xaplica sobreyectivamente en G, y W*el conjunto del plano que x*aplica

sobreyectivamente en G(fig. .!). "omo ambas, xy x*, son inyectivas, e#istir$ una

transformacin param%trica inyectiva, = (u, v), = ( u, v) tal que, para todo

(u ,v ) en W*tengamos x(u, v) = x*((u, v), ( u, v)).

W es abierto, = (u, v), = ( u, v) son de clase Cm y para todo (u, v) el

jacobiano( ,)(u ,v )

0.

&na aplicacin = (u, v), = ( u, v) de un conjunto abierto W, perteneciente al

plano uv, sobre el plano , inyectiva y tal que para todo ( u, v) de Wel jacobiano

( ,)(u , v )

0, se denomina transformacin admisible de parmetro. 'bservemos

que del teorema de la funcin inversa se deduce directamente que si = (u , v ),

= (u , v) es una transformacin admisible de par$metro que tenga imagen W*,

entonces W*es abierto, la aplicacin inversa u u(, ), v v(, ) es diferenciable

en W*, y para todo (, ) de W* el jacobiano

(u , v )

( ,)

=

[( ,)

(u , v )]

1

0

. ' sea, la

inversa de una transformacin coordenada admisible es otra transformacin

coordenada admisible.

!i"ura #.$

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