Calcolo combinatorio Calcolo combinatorio Una trattazione elementare esposta in modo essenziale e funzionale.

Liceo Scientifico Statale G.Sulpicio Veroli (FR) A.S. 2000/2001

N. Monforte

Note Bibliografiche

DIDATTICA@EDSCUOLA.COM

a cura di Umberto Tenuta

Diapositiva sommario

Disposizioni semplici Disposizioni con Ripetizione Permutazioni semplici Permutazioni con oggetti identici Combinazioni Semplici Combinazioni con Ripetizione

Premessa Calcolo Combinatorio

Consideriamo un insieme di n oggetti: G={a1,a2,a3,…an} con ndi natura qualunque ma perfettamente distinguibili l’uno dall’altro in base a qualche caratteristica, ad esempio palline di diverso colore; lettere dell’alfabeto; numeri diversi; ecc. .

Il “calcolo combinatorio” ha per scopo la costruzione e la misurazione del n° di raggruppamenti che, secondo un’assegnata definizione, si possono formare con una prefissata quantità degli n oggetti di G.

Calcolo combinatorio

Disposizioni semplici

Fissiamo un numero k0 che non superi n, si vogliono costruire tutti i possibili raggruppamenti distinti che si ottengono prendendo k oggetti di Gn in modo che valgano le seguenti proprietà: in ciascun raggruppamento figurano k oggetti senza ripetizioni; due qualsiasi raggruppamenti sono distinti se e solo se o uno di essi contiene

almeno un oggetto che non figura nell’altro oppure gli oggetti di un raggruppamento sono gli stessi dell’altro raggruppamento ma è diverso l’ordine con cui essi sono disposti.

I predetti raggruppamenti si dicono disposizioni semplici di n oggetti distinti di classe k o presi a k a k. Tale numero si indica con il simbolo Dn,k e si dimostra che

Dn,k=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)= )!(

!

kn

n

Ad esempio si ha: D7,4=7654=840 D9,3=987=504

Calcolo combinatorio

Osservazioni

In generale Dn,k è uguale al prodotto di k numeri naturali, consecutivi, decrescenti a partire da n. Consideriamo per fissare le idee, l’insieme G4={1,2,3,4},

costruiamo le disposizioni semplici degli n=4 oggetti a k=1 a k=1; si hanno i raggruppamenti seguenti: e pertanto D4,1= 4

costruiamo le disposizioni semplici degli n=4 oggetti a k=2 a k=2; si hanno i raggruppamenti seguenti:

sicché resta verificato che D4,2 = 12.

per costruire le disposizioni semplici degli n=4 oggetti a k=3 a k=3 occorre aggregare ai precedenti raggruppamenti via via uno degli altri due oggetti che ancora non vi figurano:, tenendo conto delle regole di composizione dei raggruppamenti per le disposizioni semplici si ha:

D4,3=432=24 generalizzando si comprende la validità della formula per il calcolo delle disposizioni semplici.

1 2 3 4

1 2 2 1 3 1 4 1 1 3 2 3 3 2 4 2 1 4

2 4

3 4

4 3

1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 2 4 2 1 4 3 1 4

Osservazioni sulle Disposizioni Semplici

Calcolo combinatorio

Fissiamo un numero k0, senza alcuna limitazione superiore; si

vogliono costruire tutti i possibili raggruppamenti distinti, prendendo k oggetti di Gn , in modo che valgano le seguenti proprietà:

in ciascun raggruppamento figurano k oggetti, potendovi uno stesso oggetto figurare, ripetuto, sino ad un massimo di k volte;

due qualsiasi raggruppamenti sono distinti se e solo se o uno di essi contiene almeno un oggetto che non figura nell’altro, oppure gli oggetti sono diversamente ordinati oppure gli oggetti che figurano in uno figurano anche nell’altro ma sono ripetuti un numero diverso di volte.

I predetti raggruppamenti si dicono disposizioni con ripetizione degli n oggetti di Gn, a k a k ( o di classe k). Il n° delle predette disposizioni con ripetizione degli n oggetti di Gn, a k a k si indica con D’

n,k=nk

Disposizioni con Ripetizione Osservazioni

Osservazioni sulle Disposizioni con Ripetizione

Per fissare le idee consideriamo l’insieme G4={1,2,3,4} le disposizioni con ripetizione degli n=4 oggetti a k=1 a k=1

sono: pertanto D’

4,1=4 le disposizioni con ripetizione degli n=4 oggetti a k=2 a k=2 si

ottengono dalle (1) aggregando via via ciascuno degli oggetti di G4, anche se già contenuti nel raggruppamento; esse sono:

Possiamo osservare che per ogni disposizione con ripetizione di classe uno se ne ottengono n=4 di classe 2 e pertanto D’

4,1=42=16

1 2 3 4 (1)

1 1 2 1 3 1 4 1 1 2 2 2 3 2 4 2 1 3 2 3 3 3 4 3 1 4 2 4 3 4 4 4

Applicazioni - 1

Calcolo combinatorio

1. Quante parole anche prive di significato, si possono costruire con 3 lettere dell’alfabeto, tutte diverse tra loro?[disp. Semplici n=21, k=3 R.7980]

2. In quanti modi diversi 7 persone si possono sedere su 5 poltrone allineate di un cinema? [D(7,5)]

3. Quanti numeri di tre cifre, anche uguali tra loro, si possono costruire con i primi cinque numeri naturali? [D’(5,3)]

4. Quante colonne d diverse si possono compilare nel gioco del totocalcio? [D’(3,13)]

Permutazioni semplici

Calcolo combinatorio

Le permutazioni semplici degli oggetti di Gn sono le disposizioni semplici dei predetti n oggetti a k=n a k=n. Si deduce che due qualsiasi permutazioni semplici differiscono solo per l’ordine con cui sono disposti gli n oggetti distinti in esse contenuti. Il loro n° è Dn,n ma si preferisce usare il simbolo Pn Evidentemente si ha: Pn=n(n-1)(n-2)(n-3)…321=n! “enne fattoriale”. Ad esempio, costruiamo e contiamo tutti gli anagrammi, anche privi di significato, che si possono formare con la parola “APE”. APE PAE EAP AEP PEA EPA, sono sei, difatti P3=3!=321=6

C i p ro p o niam o d i anagram m are una p a ro la co ntenente a lcune le tte re ugua li; se p rend iam o in e sam e la p a ro la “ A L A ” , no tiam o che i suo i p o ss ib ili anagram m i d is tin ti so no : A L A L A A A A L c io è so ltan to tre e no n se i co m e accad e se le le tte re so no tu tte d ive rse . In gene ra le , vo lend o p e rm uta re n o gge tti in cu i ve ne s iano id en tic i tra lo ro , s i o ttiene un num ero d i p e rm utaz io ni d a to d a :

!

!

!)(

nP

P nn

N ell’e sem p io p reced ente avevam o n= 3 ed = 2 s icché g li anagram m i d is tin ti

risu ltavano : 312

123

!2

!3)2(

3

P

Permutazioni con oggetti identici

Calcolo combinatorio

Applicazioni - 2

Calcolo combinatorio

E s e m p i o : i l n u m e r o d i a n a g r a m m i d i s t i n t i c h e s i p o s s o n o c o s t r u i r e c o n l a p a r o l a “ M A T E M A T I C A ” è d a t o d a :

15120!2!2!3

!10)2,2,3(

10

P p o i c h é i l n ° d i l e t t e r e d a p e r m u t a r e è

n = 1 0 t r a l e q u a l i l a l e t t e r a “ A ” fi g u r a 3 v o l t e , l a l e t t e r a “ M ” 2 v o l t e c o m e l a l e t t e r a “ T ” .

E s e r c i z i o 1 : U n n e g o z i a n t e d e v e e s e g u i r e 5 c o n s e g n e d i m e r c e a c q u i s t a t a d a c l i e n t i a b i t a n t i c i a s c u n o i n 5 z o n e d i v e r s e d e l l a c i t t à . d e t e r m i n a r e i l n ° d i m o d i d i ff e r e n t i d i e s e g u i r e l e c o n s e g n e . [ R . 1 6 0 ]

E s e r c i z i o 2 : Q u a n t i n u m e r i n a t u r a l i d i v e r s i d i 6 c i f r e s i

p o s s o n o f o r m a r e c o n l e c i f r e d e l n u m e r o 7 7 5 5 5 1 . [ R . 6 0 ]

Combinazioni Semplici

Calcolo combinatorio

Fissiamo un numero k0, che non superi n; si vogliono costruire tutti i possibili

raggruppamenti distinti che si ottengono prendendo k oggetti di Gn in modo che valgano le seguenti proprietà:

in ciascun raggruppamento figurano k oggetti senza ripetizioni; due raggruppamenti sono distinti se e solo se uno di essi contiene almeno un

oggetto che non figura nell’altro. Segue, pertanto, che due raggruppamenti che differiscono solo per l’ordine con cui in essi sono disposti gli oggetti sono da ritenersi identici. I predetti raggruppamenti si dicono “Combinazioni semplici” degli n oggetti di Gn di classe k od a k a k. Il numero delle predette combinazioni semplici di n oggetti distinti di classe k si indica con il simbolo di Cn,k

Si dimostra che : !,

, kD

C kn

kn Questa formula è giustificata dal fatto che da ogni

combinazione semplice si possono ottenere, permutando in tutti i modi possibili i k oggetti che la compongono, k! disposizioni semplici.

Osservazioni

Osservazioni sulle Combinazioni Semplici 1/3

Consideriamo ad esempio l’insieme G4={1,2,3,4,5} le combinazioni semplici degli n=4 oggetti di classe k=1 sono:

1 2 3 4 le combinazioni semplici degli n=4 oggetti di classe k=2 si ottengono

dalle precedenti aggregaziondo, via via, solo quegli elementi che, in G4 seguono l’oggetto già presente nel raggruppamento, ossia:

1 2 2 3 3 4 1 3 2 4 1 4

le combinazioni semplici degli n=4 oggetti di classe k=3 si ottengono da quelle di classe 2 aggregando, via via, solo quegli elementi che in G4, seguono l’oggetto che figura più a destra del raggruppamento, ossia:

1 2 3 2 3 4 1 2 4 1 3 4

Osservazioni sulle Combinazioni Semplici 2/3

N o t a : i l n u m e r o C n , k s i i n d i a a n c h e c o n

k

n c h e s i

l e g g e “ n s u k ” , d e n o m i n a t o “ c o e f f i c i e n t e b i n o m i a l e ” d i o r d i n e n e d i c l a s s e k . E ’ a b b a s t a n z a f a c i l e , p o s t o p e r d e f i n i z i o n e 1

0

n ,

d i m o s t r a r e l a v a l i d i t à d e l l e s e g u e n t i f o r m u l e :

)!(!

!, knk

nC kn

;

kn

n

k

n;

k

n

k

n

k

n

11

1

P u ò e s s e r e u t i l e r i c o r d a r e l a “ f o r m u l a d e l b i n o m i o d i N e w t o n ” :

kknn

k

n bak

nba

0

)(

Osservazioni sulle Combinazioni Semplici 3/3

S u s s i s t o n o l e s e g u e n t i p r o p r i e t à :

1 . 10

n

2 . 1

n

n

3 . nn

1

4 . nn

n

1

5 .

kn

n

k

n

6 . 0,!

)1()1(

k

k

knnn

k

n

7 . nknk

n

k

n

n

n,,1,,

1

1

Combinazioni con Ripetizione

Fissiamo un numero k0, senza alcuna limitazione superiore; si vogliono costruire

tutti i possibili raggruppamenti distinti, prendendo k oggetti di G n, in modo che valgano le seguenti proprietà:

in ciascun raggruppamento figurano k oggetti di G n, potendovi uno stesso elemento figurare ripetuto fino ad un massimo di k volte;

due raggruppamenti sono distinti se e solo se o uno di essi contiene almeno un oggetto che non figura nell’altro oppure gli oggetti che figurano in uno figurano anche nell’altro ma sono ripetuti un numero diverso di volte.

I predetti raggruppamenti si dicono “combinazioni con ripetizione degli n oggetti di Gn, a k a k” o di classe k.

Il loro numero si indica con il simbolo C’n,k. Si dimostra che:

k

knC kn

1'

,

Calcolo combinatorio

Applicazioni - 3

Calcolo combinatorio

E s e r c i z i o 1 : U n b a r m a n d i s p o n e d i 3 0 l i q u o r i d i v e r s i . Q u a n t i c o k t a i l s d i v e r s i p o t r à p r e p a r a r e u t i l i z z a n d o , o g n i v o l t a , 3 d e i p r e d e t t i l i q u o r i ? [ R . 4 0 6 0 ] E s e r c i z i o 2 : Q u a n t i t e r n i s i p o s s o n o f a r e c o n i 9 0 n u m e r i d e l g i o c o d e l l o t t o ? [ R . 1 1 7 4 8 0 ] E s e r c i z i o 3 : Q u a n t e s o n o l e d i a g o n a l i d i u n p o l i g o n o c o n v e s s o d i n l a t i ? [ R . l e d i a g o n a l i d i u n p o l i g o n o s o n o i s e g m e n t i c h e u n i s c o n o d u e v e r t i c i n o n c o n s e c u t i v i . I l n u m e r o t o t a l e d e i s e g m e n t i d e f i n i t i d a g l i n v e r t i c i d e l p o l i g o n o è :

!2

)1(2,

nnC n

,

m a i n q u e s t o n u m e r o è c o m p r e s o a n c h e i l n u m e r o d e i l a t i , p e r t a n t o v a s o t t r a t t o n . E s e r c i z i o 4 : I n u n c a m p i o n a t o d i p a l l a v o l o l e s q u a d r e c h e s i d e v o n o i n c o n t r a r e i n 1 0 c a m p i s o n o 1 5 . Q u a n t o d u r a i l c a m p i o n a t o ? [ R . 2 1 g i o r n i ]

Note Bibliografiche

“Calcolo Combinatorio e delle probabilità”

M. Battelli – U. Moretti

C.P.E. Oggiscuola – Modena

Lineamenti di Matematica

Probabilità e statistica.

N. Dodero – P. Baroncini – R. Manfredi

G.& C. Ghisetti e Corvi Editori

ISBN 88-8013-621-6

Atlante di Matematica

F.Reinhardt – H. Soeder

Hoepli – Milano

ISBN 88-203-2050-9