CALCOLODIFFERENZIALE PER FUNZIONI

DI PIÙ VARIABILI.ESTREMI VINCOLATI,

ESEMPI.

Estremi vincolati. Estremi vincolati.

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Esempi.Esempi.

ESTREMI ESTREMI VINCOLATIVINCOLATI

Abbiamo appreso come calcolaregli estremi liberi di funzioni di piùvariabili.

Spesso tuttavia si debbono cercarei valori massimi o minimi di unafunzione quando le variabili non sono libere di muoversi in un aperto A Rm ma sono soggette avincoli, rappresentati da certe funzioni definite in A.

Per esempio, si cerca la posizioned’equilibrio di una particella soggettaa un campo di forze di potenziale f(x,y)vincolata a stare su una linea pianaespressa da g(x,y) = 0.

Se l’equazione della linea piana si può esplicitare nella forma y = h(x), x I allora si potrà sostituire nella f(x,y) e cercare il minimo “libero” di F(x) = f(x, h(x)) al variare di in un intervallo I di R.

Sia f : A Rm R una funzione e K Rm un sottoinsieme proprio non vuoto di A. x0 è punto d’estremovincolato o condizionato per f su Kse x0 è punto d’estremo per la restrizione di f a K.

Teorema(moltiplicatori di Lagrange )

(m=2) Siano f, g : A R2 R, A aperto,

funzioni di classe C1(A).

Sia (x0,y0) punto d’estremo per f ,

sotto il vincolo g(x,y) = 0

e sia g (x0,y0) ≠ 0 , allora esiste

un numero reale 0, tale che

f (x0,y0) + 0 g (x0,y0) = 0.

Ossia (x0, y0, 0) è soluzione del sistema

fx(x0,y0) + 0 gx(x0,y0) = 0

fy(x0,y0) + 0 gy(x0,y0) = 0

g(x,y) = 0

Teorema(moltiplicatori di Lagrange )

Siano f e g1, .. , gn : A Rm+n R, A aperto,

funzioni di classe C1(A). Sia

(x10,…, xm

0,y10,…, yn

0)T punto d’estremo

per f , sotto i vincoli gi(x,y) = 0 , i = 1,.., n

esistono n numeri reali i0, tali che

f (x0,y0) + ni=1 i

0 gi(x0,y0) = 0.

e sia det J( )(x0,y0) ≠ 0 , allorag1 g2..gn

y1 y2..yn

Interpretazione geometrica

Sia data la funzione

f(x10,…, xm

0,xm+10,…, xm+n

0) : A Rm+n R

gi (x1,…, xm,xm+1,…, xm+n) = 0

e il vincolo K A sia descritto dalle equazioni

det J( )(x1,…, xm,xm+1,…, xm+n) ≠ 0g1 g2..gn

y1 y2..yn

i = 1,.., n , con

Sia xi(t) = hi(t), i= 1,… , m+n una curva regolare, cioèh1

2(t)+ .. + hm+n2(t) ≠ 0 , che giace su

K, allora

Gi(t) =gi(h1(t),…, hm(t),…, hm+n (t)) = 0i=1,…, n e quindi 0 = G’i(t) =gi ,h’(t)

Dunque il vettore tangente alla curva h(t) che giace su K è ortogonale ciascuno dei vettori gi .

Se (x10,…, xm

0,y10,…, yn

0)T è punto d’estremo vincolato, la condizione

f (x0,y0) + ni=1 i

0 gi(x0,y0) = 0,

afferma che anche f (x0,y0) è ortogonale al vincolo.

ESEMPIESEMPI