Calcolo delle probabilit per le scuole superiori Laboratorio Convegno "Il piacere di insegnare - il piacere di imparare la matematica" Alberto Gandolfigandolfi@math.unifi.it Appunti completi disponibili su http://bb.math.unifi.it/~gandolfi/didindex.html

Eventi casuali Il calcolo delle probabilit e la statistica costituiscono quella parte della matematica e, pi in generale, della scienza che si occupa di fenomeni casuali. Partiamo da due problemi. Problema 1: lanciando 1000 volte una moneta, quale sarebbe la vostra reazione di fronte a 510 teste? E a 492, 459, 423, 397, 354, 299, 212, 154, 22?Problema 2: cercando la porta vincente tra 3, ne scegliamo una e poi ci viene mostrata una porta non vincente tra le altre: conviene cambiare la nostra scelta? O preferiremmo che la porta fosse aperta prima di fare la scelta?

Probabilit

In questi problemi non si riesce a determinare con certezzal'esito tra varie possibili alternative.

Due cause possibili:- mancanza di informazioni - l'indeterminatezza connaturata.Ma non ci interessa: perl'indeterminatezza chiameremo talieventi "casuali".Per fare comunque previsioni introduciamo una nuova quantit: la probabilit.

Caratteristiche della probabilit - Non importa la sua vera natura: basta che sia misurabileed utile in casi interessanti.- Si determina attraverso processi logici.- E' un numero puro e si esprime in genere in frazioni di100 (tipo 30%) o con un numero in [0,1].Quest'ultimo metodo conveniente per le moltiplicazioni: il 3% del 40% l'1,2%, facilmente ottenibile da 0,03x0,40=0,12.

Interpretazioni della probabilit Esistono varie scuole su come definire la probabilit:- Frequentista- Soggettiva- Bayesiana- Convenzionalismo

Obiettivi didattici nell'insegnamento della probabilit:deduzione logica di una teoria da alcune ipotesi

fornitura di alcuni elementi per l'interpretazione del mondo reale, inclusi giochi, dati, sondaggi

esemplificazione delluso di alcuni strumenti matematici presentati nel corso

Prima formalizzazioneIniziamo da una formulazione elementare, che pu rimanere lunica se si intende esporre una parte limitata della teoria.

Con qualche esempio si vede la naturalezza delluso della terminologia insiemistica per descrivere le probabilit: Tutte le realizzazioni possibili sono un insieme SUn evento un sottoinsieme di SLa probabilit una funzione P sui sottoinsiemi di S

Probabilit uniformi

Alcune propriet elementarida derivare (o far derivare) rigorosamente

Calcolo combinatorio

Probabilit finitePer poter fare modelli di situazioni pi generali si considerano casi in cui probabilit non sono tutte uguali.Si prendono come punti di partenza le prime tre propriet dimostrate nel caso uniforme:

Costruzione delle probabilit finiteLa teoria molto elementare e tutti gli esempi di spazi di probabilit finiti si costruiscono come segue:

Probabilit dellunione di eventiTalvolta utile dedurre la probabilit da quella di eventi pi semplici.

Probabilit del complementoNello stesso spirito di prima:

Indipendenza

Due direzioni dellindipendenzaLindipendenza naturalmente utile quandosi usa senza verificarla. Questo ponequalche problema di consistenza condefinizione precedente.

Per i corsi elementari accontentiamoci di dire che omettiamo la verifica.

Indipendenza dei complementiUn risultato elementare che verifica che la teoria si sta sviluppando coerentemente riguarda lindipendenza dei complementi:

Riepilogo primi calcoli delle probabilit

Distribuzione di BernoulliCon i metodi appena riassunti si ricava la distribuzione di Bernoulli o Binomiale (n,p):

Foglio di calcoloUsando le funzioni di un foglio elettronico di calcolo si possono calcolare alcune probabilit. Ad esempio il valore della distribuzione Binomiale(n, p). Qui di fianco i valori di p(k,2k,1/2).

Osservazioni sulle moneteAnche il numero di teste che ci aspettiamo (n/2 su n) ha probabilit che tende a 0. Quindi queste espressioni non servono per il problema 1.

E chiaro per che la probabilit di un numero di successi minore o uguale a k pu non tendere a 0.

Riprenderemo la questione quando avremo pi strumenti.

Interpretazioni della probabilitVediamo i progressi fatti: sui problemi(1) sappiamo scrivere le varie probabilit (2) nessun progresso

Come interpretare le probabilit?

A priori ci si aspetta che specifici eventi di probabilit piccola non si realizzino

A posteriori: si sar realizzato qualche evento di probabilit piccola, ma non era prevedibile quale.

Probabilit condizionateTalvolta interessa la probabilit di un evento sapendo che un altro si realizzato.Anche in questo caso ci sono due direzioni: a volte si ricava P(A|B) dalla situazione concreta e lo si usa per ottenere uno degli altri termini.

Probabilit totali o composte

Dimostrazione del teorema

Il problema del premio dietro alla portaFinalmente abbiamo gli strumenti per rispondere al problema 2:

Formula di BayesFormula di Bayes e probabilit condizionate sono usate ampiamente nei calcoli di genetica.

Variabili aleatorie

Una funzione X definita su un insieme S su cui sia definita una probabilit P detta variabile aleatoria

La sua distribuzione linsieme dei valori x che assume e delle relative probabilit P(X=x).

Valore attesoCon qualche esempio si vede che il valore atteso o valor medio emerge sia come risultato medio dopo molte prove che come valutazione equa di un esperimento aleatorio.

Significato del valore atteso

Linearit del valore attesoIl valore atteso lineare. Questa dimostrazione si pu cominciare ad omettere.

Indipendenza di variabili aleatorieLa verifica che questa definizione generalizza lindipendenza di eventi un po laboriosa dovendo considerare sottofamiglie di eventi e si omette.

Misure della deviazione dal valor medioPer valutare quanto in media una variabile aleatoria si discosta dal suo valore atteso si introduce la deviazione standard SD:

per valutare la quale il primo passo la varianza:

Additivit della varianzaSorprendentemente, la varianza additiva per variabili aleatorie indipendenti.(volendo si pu presentare agli studenti una dimostrazione)

Deviazione standard per il numero di testePer cui per n lanci di una moneta, essendo p=1/2, la deviazione standard

Questo suggerisce gi qualcosa sul problema delle monete, ma prima di completare lanalisi introduciamo le variabili continue.

Variabili continueFinora si sono viste variabili aleatorie con un numero finito di valori. Vari esempi suggeriscono che a volte utile considerare variabili che assumono valori sul continuo. Ad esempio se si spezza un bastoncino a caso o si considera lorario di un arrivo.

Densit delle variabili continueLe variabili aleatorie continue sono ben descritte prendendo una densit di probabilit f, analoga alla densit di massa, che soddisfa:

La probabilit poi si calcola con gli integrali

Esempi di variabili continue

Valore atteso di variabili continue

Funzione di distribuzioneUn altro modo per descrivere una variabile aleatoria la funzione di distribuzione. Non un metodo intuitivo, ma talvolta molto utile:

Simulazione di una variabile uniforme

Simulazione di variabili continue

Analisi di datiPer analizzare dati casuali (che interpretiamo come realizzazioni di variabili aleatorie) si utilizzano le stesse quantit calcolate per sui dati, e quindi dette empiriche:

indicate nei fogli di calcolo con funzioni tipo MEDIA, DEV ST, VAR

Il valor medio empirico anche detto media empirica e pu essere a sua volta pensato come funzione delle variabili aleatorie.

Convergenza della media empirica

Teorema centrale del limite

Con qualche calcolo questo risultato permette di stimare molto accuratamente la probabilit che la somma di variabili indipendenti disti pi di una data costante dal valore atteso.

Illustrazione grafica del TCLCi sono molti siti in cui si pu vedere come la distribuzione della somma di variabili indipendenti converge ad una normale.

Per le variabili Bernoulli si veda per esempio http://cnx.org/content/m11198/latest/

Stima della deviazione dal valore atteso

Stima della deviazione della media empirica dal valore attesoAbbiamo visto che la media empirica approssima il valore atteso, ma il TCL permette di dare una stima pi accurata:

Questa osservazione si usa nei problemi di misura fornendo una stima di quanto la media empirica delle misurazioni disti dalla misura vera.

Variabili congiunteSpesso si considerano pi variabili aleatorie allo stesso momento. Queste possono essere non essere indipendenti, e quindi occorre una trattazione delle distribuzioni congiunte.In un corso di scuola superiore conviene per limitarsi ad un caso semplice: una misura del grado di dipendenza di due variabili aleatorie.

CorrelazioneDate due variabili aleatorie X ed Y si introduce la covarianza:

E poi la misura adimensionale della dipendenza, detta correlazione:

Propriet della correlazioneLa correlazione soddisfa:

Quando r=1 oppure r=-1 c dipendenza lineare tra X ed Y. Quando X ed Y sono indipendenti r=0. Per cui r misura la dipendenza di X ed Y

Correlazione empirica

I fogli di calcolo forniscono di solito una funzione, a volte indicata con CORRELAZIONE che calcola questo valore sui dati.

Test: un modello per pesi ed altezze