Un ripasso di probabilità: Domini discreti. Spazi metrici

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Riccardo Rigon

R. Rigon

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Probabilità in spazi discreti

L’esempio visto in precedenza ha a che fare con uno spazio degli eventi discreto.

Se dovessimo andare a precisare maggiormente, potremmo dire che, nel caso

discreto

Ovvero un opportuno sottoinsieme dei numeri razionali.

Spazio degli eventi discreto

R. Rigon

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Spazio degli eventi discreto

In questo caso assegnare la probabilità

Significa, come nell’esempio, assegnare un insieme del tipo

Ma si possono certamente usare delle funzioni a valori

discreti per farlo … come vedremo più avanti.

R. Rigon

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Probabilità in spazi metrici

Se lo spazio degli eventi è uno spazio continuo, supporremo di essere inuno

spazio metrico, isomorfo ad Rn. In questo caso gli insiemi sono generalmente

rappresentati da coordinate, di solito cartesiane, e la probabilità viene

rappresentata da funzioni su Rn che vengono dette

• Funzioni di ripartizione

Se tali funzioni sono funzioni sono di una sola variabile (P: R ->R ) , il processo

viene detto:

•univariato

Altrimenti viene detto

•multivariato

Spazio degli eventi continio

R. Rigon

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D’ora in poi

Faremo assumeremo sempre di lavorare in Rn o R. Quindi:

In genere, A e B saranno intervalli, continui o discreti, di

Spazio degli eventi continio

R. Rigon

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D’ora in poi

Per indicare la probabilità di ottenere valori minori di x useremo la notazione:

oppure la probabilità di ottenere valori compresi tra x1 ed x2:

con ovvie generalizzazioni ai casi molti-dimensionali

Spazio degli eventi continio

R. Rigon

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Distribuzioni delle variabili casuali

• La funzione di ripartizione o Cumulative Probability

Distribution (CDF) è definita:

• La sua derivata (se esiste) è la funzione densità di probabilità

Probability Density Function (PDF):

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

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• Dalle due equazioni precedenti segue:

Distribuzioni delle variabili casuali

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

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La regola di Bayes con questa notazione diviene

Spazio degli eventi continio

ma di solito si usa sulle densita di probabilità

Riccardo Rigon

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Vista la simmetria tra le variabili

vale anche:

che può essere riscritto:

Ciò che qui appare un semplice rimaneggaimento algebrico è in effetti la

nascita di una nuova visione della disciplina.

Bayes Theorem

Riccardo Rigon

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Bayes Theorem

Infatti:

Si assuma infatti la conoscenza a priori della variabile x, definita dalla

la distribuzione a priori. Il teorema di Bayes afferma che la conoscenza

introdotta dalla variabile y (o meglio dai fatti che y descrive), modifica la

conoscenza della variabile x (o meglio: della sua distribuzione), e che

questa conoscenza è garantita della distribuzione a posteriori:

che è proporzionale, ma non necessariamente uguale alla prima.

,

,

Riccardo Rigon

!12

Bayes Theorem

Il fattore di proporzionalità

è chiamato verosimiglianza:

Cosicchè:

la probabilità a posteriori (di x) uguaglia il prodotto della verosimiglianza per la

probabilità a priori (di x) diviso per l’evidenza

Alcuni distinguono tra numeratore, la verosimiglianza e denominatore che è

chiamato evidenza. Noi adotteremo quest’ultima convenzione.

R. Rigon

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Probabilità e causalità

La probabilità non riguarda necessariamente la rapporti causali

non significa che y causa x. Solo accenna alle relazioni tra y ed x.

L’evento y può precedere x !

R. Rigon

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Caratterizzazione delle distribuzioni

• Valore Atteso (Il valore medio! Il primo momento):

•Il secondo momento

R. Rigon

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• Varianza di X:

• Deviazione standard di X:

Caratterizzazione delle distribuzioni

Caratterizzazione delle distribuzioni continue

R. Rigon

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Caratterizzazione delle distribuzioni

• Si può definire, in generale, il momento n-esimo di una

distribuzione come:

M (n) :=� ⇥

�⇥xn pX(x) dx

Caratterizzazione delle distribuzioni continue

R. Rigon

Funzione caratteristica

La funzione caratteristica è definita come il valore atteso della della funzione a valori complessi - eitx

Caratterizzazione delle distribuzioni continue

R. Rigon

Funzione generatrice dei momenti

La funzione generatrice dei momenti è definita come (il valore atterso di etx ):

Il momento n-esimo può,, una volta ottenuto l’integrale di cui sopra essere calcolati da:

Ovvero mediante la derivata n-esima dell funzione generatrice dei momenti, calcolata per t=0

Caratterizzazione delle distribuzioni continue