1

Calcolo delle Probabilità

Non sempre la conoscenza delle caratteristiche di un fenomeno può essere conseguita osservando tutta la popolazione ma deve essere

estratto un campione (rilevazione parziale)

Che collegamento c’è tra gli strumenti statistici visti fino ad ora per lo studio dei fenomeni reali e il calcolo delle

probabilità?

La STATISTICA INDUTTIVA o INFERENZIALE intende descrivere non tanto ciò che traspare dalle manifestazioni

osservate (rilevazioni parziali), ma quello che emergerebbe qualora la rilevazione fosse estesa all’insieme di tutte le manifestazione del

fenomeno.

L’incertezza che deriva dalla parzialità della rilevazione è dominata dalla TEORIA DELLE PROBABILITÀ

2

TERMINOLOGIAEVENTI: entità caratterizzate da aleatorietà, qualcosa che può

verificarsi oppure noLa Juventus vincerà il campionato anche quest’anno?

Gli eventi si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino E1 =“La Juventus vincerà il campionato anche quest’anno”

E1 =“La Juventus non vincerà il campionato quest’anno”

Si chiama evento complementare ad E il verificarsi di tutto ciò che non è E e si indica con E

Si indica con la lettera dell’alfabeto greco Ω l’insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento, per esperimento si intende una

prova il cui esito è incerto. Viene anche chiamato evento certo o spazio campionario

E1=Vince la Juve, E2=Vince la Lazio, E3=Vince la Roma, E4=Vince il Parma, E5=Vince il Milan…. Ω è l’insieme di tutti gli eventi Ei, per i=1,….,20

NOTA: quando sono state fatte queste slides, ovviamente la Juve era in serie A

TERMINOLOGIAAl verificarsi di un evento viene associata una PROBABILITA’

P(E1)=Probabilità che la Juventus vinca il campionato

Come è possibile assegnare correttamente la probabilitàagli eventi?

Se chiedessimo di assegnare questa probabilità a un tifoso della Juve, a un tifoso dell’Inter (che pensa

sempre che quest’anno sia quello buono), a un tifoso del Torino, o a una persona oggettiva, tecnicamente

preparata a livello calcistico otterremmo 4 valori diversi di probabilità

3

PROPRIETA’ FORMALI

La probabilità non è mai un numero negativo, verràassegnata probabilità 0 agli eventi che ci si aspetta che

non si verifichino (evento quasi impossibile) e probabilità 1 all’eventi che ci si aspetta che si

verifichino (evento quasi certo)

Siccome ogni evento è contenuto in Ω

0 < P(Ei) < P(Ω) =1

P(Ω)=P(“tutto quello che può accadere”)=P(“evento certo”)=1

( )iE ⊂ Ω

PROPRIETA’ FORMALI

Se due eventi E1 e E2 non possono verificarsi contemporaneamente (la loro intersezione coincide con

l’insieme vuoto) diremo che sono incompartibili,

1 2 1 2( ) 0E E P E E∩ = ∅ ⇔ ∩ =

Probabilità che vinca il campionato la Juve e anche l’Inter?

Siccome non possono vincere entrambe, gli eventi sono incompatibili, la probabilità della loro intersezione è uguale a 0

4

PROPRIETA’ FORMALI

Se si vuole calcolare la probabilità che si verifichi l’evento E1 oppure l’evento E2 (E1 unito E2) e i due

eventi sono incompatibili allora la probabilitàdell’unione è uguale alla somma delle probabilità

1 2 1 2( ) ( ) ( )P E E P E P E∪ = +

Probabilità che vinca il campionato una squadra romana?

Siccome non possono vincere entrambe, gli eventi sono incompatibili, la probabilità della loro unione è uguale alla

probabilità che vinca la Roma, più la probabilità che vinca la Lazio.

ASSIOMI

E’ possibile riassumere quanto visto fino ad ora negli assiomi di Kolmogorov

1 2 1 2 1 2

1. , ( ) 02. ( ) 13. Se allora ( ) ( ) ( )

E P EP

E E P E E P E P E

∀ ⊂ ≥=∩ =∅ ∪ = +

ΩΩ

5

ALCUNE REGOLE

quindi ( ) ( ) 1 e dunque ( ) 1 ( )

E E P E P EP E P E

∪ = + =

= −

Ω

( )

1 2

1 2 1 2 1 2

Se allora

( ) ( ) ( )

E E

P E E P E P E P E E

∩ ≠∅

∪ = + − ∩

EVENTI ELEMENTARI

Insiemi contenenti un solo elemento

In generale lo spazio campionario viene descritto in termini di eventi elementari

1 2, ,..., n= ω ω ωΩSe gli eventi elementari sono tutti equiprobabili, cioè

( ) ( ) ( )1 2 ........ nP P Pω = ω = = ω

Allora la probabilità di un evento qualsiasi E composto da piùeventi elementari

( ) # casi favorevoli (all'evento)# casi possibili (dell'esperimento)

P E =

6

PROBABILITA’ CONDIZIONATA

Se abbiamo due eventi E1 e E2 e ne conoscono le probabilità P(E1) e P(E2) chi chiediamo se la probabilità del verificarsi dell’uno varia

sapendo che si è verificato l’altro

ESEMPIO:Lancio di un dado

E1 = ‘estrarre un numero pari’ ; E2 = ‘estrarre un numero >=4’P(E1) =3/6 ; P(E2)=3/6

La probabilità di estrarre un numero pari cambia se si sa che il numero estratto è >=4?

1 21 2 2

2

( )( | ) con ( ) 0( )

P E EP E E P EP E

∩= >

1 21 2

2

( 4 ,6 )( ) 2 / 6 2 1( | )( ) ( 4,5,6 ) 3 6 3 2

PP E EP E EP E P

∩= = = = ≠

EVENTI INDIPENDENTI

ESEMPIO: Mazzo di 40 carteE1 = ‘estrarre una carta di denari’ P(E1) = 10/40 ; E2 = ‘estrarre un asso’ P(E2)=4/40

La probabilità di estrarre una carta di denari cambia se si sa che la carta estratta è un asso?

1 21 2

2

1 2 1 2

( ) (asso d i den ari) 1 40 1 1 0( | )( ) (asso ) 4 40 4 4 0

10 4 1( ) ( ) ( )40 40 4 0

P E E PP E EP E P

P E E P E P E

∩= = = = =

∩ = ⋅ = ⋅ =

Due eventi E1 e E2 si diranno indipendenti se la probabilità del verificarsi dell’uno rimane invariata sapendo che si è verificato l’altro, cioè

1 2 1 2 1 2( | ) ( ) e ( | ) ( )P E E P E P E E P E= =

Se due eventi sono indipendenti 1 2 1 2( ) ( ) ( )P E E P E P E∩ = ⋅

Infatti 1 2 1 21 2 1 2 1 2

2 1

( ) ( )( | ) = ( ) e ( | ) = ( )( ) ( )

P E E P E EP E E P E P E E P EP E P E

∩ ∩= =

Eventi compatibili ma indipendenti!

Eventi compatibili ma indipendenti!

7

EVENTI INDIPENDENTI

ESEMPIO 2: Mazzo di 40 carteE1 = ‘estrarre una carta di denari’ P(E1) = 10/40 ; E2 = ‘estrarre una figura’ P(E2)=12/40

La probabilità di estrarre una carta di denari cambia se si sa che la carta estratta è una figura?

1 21 2

2

1 2 1 2

( ) (figura d i denari) 3 40 3 10( | )( ) (figura) 12 40 12 40

10 12 3( ) ( ) ( )40 40 40

P E E PP E EP E P

P E E P E P E

∩= = = = =

∩ = ⋅ = ⋅ =

Eventi compatibili ma indipendenti!Eventi compatibili ma indipendenti!

LEGGI DI DE MORGAN

1 2 1 2

1 2 1 2

E E E E

E E E E

∩ = ∪

∪ = ∩

L’operazione di “complementazione”scambia l’operazione di unione con

l’operazione di intersezione e viceversa

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SCHEMI DI CAMPIONAMENTO

Si supponga di estrarre una pallina da un urna

a) Estrazione con rimessa, la probabilità di estrazione di una singola pallina rimane costante in ogni estrazione

b) Estrazione senza rimessa, la probabilità di estrazione di una singola pallina cambia

Si supponga di estrarre una unità da una popolazione

a) Campionamento con ripetizione (eventi indipendenti)

b) Campionamento senza ripetizione (eventi condizionati)

COEFFICIENTE BINOMIALE

In quanti modo posso estrarre in blocco (senza rimessa) kelementi da un’insieme di n elementi?

Combinazioni di n elementi presi k alla volta

( )!

! !n nk n k k

= −

( ) ( )! 1 2 ........ 2 1n n n n= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅dove

Proprietà:

0! 1, 1, , 0 1n n n n

nk n k

= = = = −

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ESEMPIO: COEFFICIENTE BINOMIALENell’aula oggi ci sono 20 studenti: 10 di SPO, 7 di SAM e 3 di SIE. Decido di chiamare alla lavagna 3 studenti.1. Quante sono le possibili combinazioni?2. Qual è la probabilità che siano tutti di SPO?3. Se ne chiamo 1 per corso di laurea, quante sono le possibili combinazioni?4. Qual è la probabilità che siano uno per ognuno dei tre corsi di laurea?

201) 1140

3

103 120 10 9 82) 0.105 che è uguale a

20 1140 20 19 183

10 7 33) 210

1 1 1

10 7 31 1 1 210 10 7 34) 0.184 che è uguale a 3!

20 1140 20 19 183

=

= = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = =

⋅ ⋅

SAM,SPO,SIE; SAM, SIE,SPO; SPO,SAM,SIE; SPO,SIE,SAM; SIE,SPO,SAM; SIE,SAM,SPO

ESERCIZIO: ESTRAZIONE SENZA RIMESSA

Soluzione:

N=15 5 rosse; 5 verdi; 5 blu n=2 (senza reimmissione)

Trattandosi di estrazioni senza reimmissione non vi è l’indipendenza delle prove, infatti la composizione dell’urna si modifica ad ogni estrazione. Inoltre viene chiesta la probabilità che si estraggano due palline dello stesso colore e non di un colore particolare. Si fa osservare che nell’urna vi sono palline di tre colori differenti presenti in pari numero (5 rosse; 5 verdi; 5 blu), pertanto la probabilità cercata sarà data dalla seguente espressione:

0.285714144

1553colore” stesso dello Pr“2 =⋅⋅=

Da un’urna contenente 15 palline (5 rosse, 5 verdi e 5 blu), se ne estraggono 2 senza reimmissione; calcolare la probabilità che queste siano dello stesso colore.

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PRINCIPIO DELLE PROBABILITA’ TOTALI

( ) ( )

1 2

1

, , ..., sono una partizione di ed è un qualsiasi altro evento

( ) |

kk

i ii

Se A A A E

P E P E A P A=

=∑

Ω

1 2 eventi , , ..., sono una partizione se e solo se

e scelti a caso due eventi e allora =

kk

ii

i j i j

k A A A

A

A A A A

=

∩ ∅

ΩU

Partizione di W

Se si conoscono le probabilità degli eventi di una partizione (a priori) e si conoscono le probabilità condizionate del verificarsi di un qualsiasi altro evento agli eventi della

partizione, si è sempre in grado di calcolare la probabilità dell’evento stesso

Se si conoscono le probabilità degli eventi di una partizione (a priori) e si conoscono le probabilità condizionate del verificarsi di un qualsiasi altro evento agli eventi della

partizione, si è sempre in grado di calcolare la probabilità dell’evento stesso

FORMULA DI BAYES

( ) ( )

( ) ( )

1 2

1

, , ..., sono una partizione di ed è un qualsiasi altro evento|

( | )|

k

i ii k

i ii

Se A A A EP E A P A

P A EP E A P A

=

=

∑

Ω

Se si sa che si è verificato l’evento E si è in grado di calcolare la probabilitàche si sia verificato l’evento Ai. Dato l’effetto è possibile calcolare la

probabilità della causa che lo ha generato (probabilità a posteriori). E’ come se le conoscenze a priori su Ai a seguito del verificarsi dell’evento E

venissero aggiornate

La probabilità a priori P(Ai) diventa una probabilità a posteriori P(Ai|E)

Se si sa che si è verificato l’evento E si è in grado di calcolare la probabilitàche si sia verificato l’evento Ai. Dato l’effetto è possibile calcolare la

probabilità della causa che lo ha generato (probabilità a posteriori). E’ come se le conoscenze a priori su Ai a seguito del verificarsi dell’evento E

venissero aggiornate

La probabilità a priori P(Ai) diventa una probabilità a posteriori P(Ai|E)

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ESEMPIO

ESEMPION° cubetti esaminati

N° cubetti difettosi

P(Ai) P(E|Ai)

IMPIANTO A A1 300 10 0.21 0.03

IMPIANTO B A2 400 20 0.29 0.05

IMPIANTO C A3 700 25 0.50 0.041400

a) Probabilità totali

b) Formula di Bayes

P(E) = P(E|A1)P(A1) + P(E|A2)P(A2) + P(E|A3)P(A3) = 0.04

P(A1|E) = [P(E|A1)P(A1)]/P(E) = 0.18