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Corso di Statistica Medica - Il significato di probabilità - Cenni di calcolo combinatorio - Cenni di calcolo delle probabilità
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  • Corso di Statistica Medica

    - Il significato di probabilit- Cenni di calcolo combinatorio- Cenni di calcolo combinatorio- Cenni di calcolo delle probabilit

  • Corso di Statistica Medica

    Un trial clinico ha mostrato che 50 pazienti che ricevono il farmaco A per una malattia guariscono pi velocemente (in media) di 50 pazienti che ricevono il farmaco B.

    (1) E' giusto affermare, in generale, che A migliore di B per curare questa malattia?

    (2) Il medico dovr usare in futuro A piuttosto che B per trattare al meglio i suoi pazienti?

    (1) Domanda di tipo "inferenziale": quali conclusioni possono essere tratte dal campionerispetto alla popolazione da cui stato estratto?

    (2) Domanda di tipo "decisionale":qual la scelta piu' razionale per il futuro trattamento, tenendo conto dell'informazione offerta dal trial?

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    Le risposte ad entrambe le domande, e a tutte le domanderiguardanti studi campionari, sono caratterizzate da un certo livello diincertezza.

    Ci puo' essere infatti un' indicazione dal campione che A sia migliore di B, mapossiamo essere certi che i pazienti che hanno ricevuto B non fossero piu' gravemente malati di quelli che hanno ricevuto A, e che questa variabilit tra i due gruppi non fosse il motivo per le loro differenti risposte?

    Le risposte alle domande devono quindi essere formulate in termini di 'incertezza:se l'incertezza bassa, la conclusione campionaria sar affidabile e la decisionesar sicura. Se viceversa l'incertezza alta, l'esperimento sar considerato non conclusivo e non sar di aiuto nella decisione.

    Per avere una 'misura dell'incertezza' di un risultato campionario, lo strumento matematico appropriato la teoria della probabilit.

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    Definizione di probabilit

    Se una moneta viene lanciata un grande numero di volte e si guarda lesito di ogni lancio i risultati potrebbero presentarsi come segue:

    TTCTCCTCTTTCTCCTCCCCTTC....T=testa; C=croce

    La probabilit rappresenta in termini matematici i fenomeni caratterizzati da comportamenti variabili

    T=testa; C=croce

    Tale sequenza definita una sequenza casuale o una sequenza random; ogni posto nella sequenza rappresenta una prova o estrazione (trial) ed ogni risultato del lancio viene definito come un evento.

    Una sequenza random caratterizzata dal fatto che non possibile predire (indovinare) l'evento successivo sulla base dei precedenti.

    La probabilit di avere croce in un certo passo la stessa che ad ogni altro, e non influenzata da cio' che successo prima

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    Quanti piu' lanci vengono fatti tanto piu' le proporzioni (frequenze) di un evento edell'altro, diventano sempre meno variabili e sempre piu' vicine ad un valore limite:tale proporzione 'di lungo periodo' viene definita probabilit dell'evento.

    La frequenza di testa tende ad avvicinarsi al valore , e sarebbe ragionevole affermare che: la probabilit di Testa di circa .Poich la moneta simmetrica (una faccia testa, laltra croce), lo avremmo intuito anchesenza dover effettuare alcun esperimentoa meno che la moneta non fosse stata truccata!!

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    La definizione classica di probabilit :

    La probabilit di un evento data dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli allevento ed il numero dei casi possibili, purch questi ultimi siano tutti ugualmente probabili.

    Per la moneta i casi possibili sono 2 (testa o croce) e quindi la probabilit che esca testa (o che esca croce) pari ad 1/2.

    Limite concettuale di questa definizione:per definire la probabilit occorre sapere preliminarmente che cosasignifica che due casi sono ugualmente probabili, cio sapere gi che cosa laprobabilit!

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    Unaltra definizione di probabilit nota come la legge empirica del caso:

    In una successione di prove fatte nelle stesse condizioni, la frequenza di un evento si avvicina alla probabilit dellevento stesso, e lapprossimazionetende a migliorare con laumentare del numero delle prove.

    E quindi, secondo questa definizione frequentista:

    La probabilit di un evento il limite della frequenza (relativa) dei successi(cio delle prove in cui levento si verifica) quando il numero delle provetende allinfinito.tende allinfinito.

    La probabilit dellevento Testa sar quindi data dal rapporto tra il numero delle prove favorevoli allevento ed il numero totale delle prove: allaumentare del numero dei lanci tale frequenza tende a .

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    Anche questa definizione di probabilit pero alquanto criticabile:in generale, non potremo mai osservare una sequenza infinita di prove !!

    ..e se osserviamo solo una parte di sequenza non possiamo affermare con precisione la probabilit di un certo evento, perch la probabilit, come si detto, una propriet a lungo termine

    in pratica, il concetto di sequenza 'infinita' deve essere interpretato come unacornice teorica ideale che pero' descrive in modo soddisfacente alcuni fenomenianche a livello campionario.anche a livello campionario.

    Per esempio: se si lancia un dado la frequenza relativa di ogni singola faccia del dado, da 1 a 6, circa pari ad 1/6 in una lunga successione di lanci; per ogni nuovo nato la probabilit che sia maschio (o femmina) oscilla intorno a

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    Complichiamo un po la faccenda

    Qual la probabilit che il fumo contribuisca al cancro al polmone

    ?

    Difficile rispondere in termini di una sequenza casuale di 'prove' in cui in alcune il fumo una causa di cancro al polmone ed in altre no

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    La probabilit la misura del grado di fiduciache si ha sulla verit di un'affermazione.

    Definizione soggettiva di probabilit:

    In altri termini, e usando il linguaggio delle scommesse:

    Indipendentemente da quale sia la definizione di probabilit che usiamo, abbiamo bisogno di strumenti matematici per poterla calcolare ed applicare in pratica !!!

    La probabilit di un evento il prezzo che un individuo ritiene equopagare per ricevere 1 se levento si verifica, e 0 se levento non si verifica. Le probabilit degli eventi devono essere attribuite in modo tale che non sia possibile ottenere con un insieme di scommesse una vincita certa o una perdita certa.

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    La probabilit si misura con un numero tra 0 e 1:- se un evento non capita mai - in nessuno dei trials della sequenzarandom- la sua probabilit 0.- se un evento capita sempre - in tutti i trials della sequenza random-la sua probabilit 1.

    Quando gli eventi si fanno pi complessi, la valutazione della probabilit richiede nozioni di calcolo combinatoriorichiede nozioni di calcolo combinatorio

    Parliamo di: permutazioni disposizioni semplici o con ripetizione combinazioni

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    Cenni di calcolo combinatorio: permutazioni

    Le permutazioni sono come gli anagrammi ed indicano in quanti modi (ordinamenti) diversi possono essere presi n oggetti.

    Le permutazioni di n elementi sono date dallo sviluppo fattoriale di n (ossia n moltiplicato per tutti i numeri interi inferiori ad n).

    ad esempio, date 4 lettere (ABCD), in quanti ordini si possono presentare (ABCD, BACD, DACB, ....)?BACD, DACB, ....)?

    ...*)3(*)2(*)1(*! = nnnnn

    241*2*3*4!4 ==

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    Cenni di calcolo combinatorio: disposizioni (I)

    Disposizioni semplici:

    Sono le possibili scelte di k elementi ordinati da un insieme composto da n oggetti (disposizioni di n elementi di classe k).

    Ad esempio, quali sono i possibili podi (1,2,3) in una gara tra 8 atleti? Al primo posto possono esserci 8 persone diverse, al secondo posto ce ne possono essere 7 e al terzo 6; le combinazioni possibili possono essere 8 x 7 x 6 = 336.

    In generale:

    Le disposizioni coincidono con le permutazioni se n = k.

    Nota bene: 0!=1

    3366*7*81*2*3*4*5

    1*2*3*4*5*6*7*8

    )!38(

    !8 ===

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    Cenni di calcolo combinatorio: disposizioni (II)

    Disposizioni con ripetizione:

    Le disposizioni con ripetizione (disposizioni con ripetizione di n elementi di classe k) sono come le disposizioni, ma ogni oggetto, dopo essere stato scelto viene rimesso nell insieme di partenza.

    Date 10 lettere (da A a L), quante combinazioni ordinate da 4 lettere posso effettuare?

    Si parla di combinazioni ordinate perch l'ordine delle lettere conta, cio ABCD,Si parla di combinazioni ordinate perch l'ordine delle lettere conta, cio ABCD,ad esempio, diverso da BACD.

    Per la prima lettera ho dieci possibilit, altrettante per la seconda e cos via, cio:

    10 x 10 x 10 x 10 = 104 = 10'000

    In generale, le disposizioni con ripetizione di n elementi di classe k sono:kn

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    Cenni di calcolo combinatorio: combinazioni

    Nelle combinazioni (di n elementi di classe k, con k

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    Date le 10 (n) lettere da A ad L, le combinazioni a gruppi di 4 (k) che posso avere sono:

    ( ) 2107*3*101*2*3*4*1*2*3*4*5*61*2*3*4*5*6*7*8*9*10

    !4!6

    !10

    !4!410

    !10 ====

    In un trial clinico di tipo caso-controllo, su 10 controlli eligibili se ne devono scegliere 5. Si hanno:scegliere 5. Si hanno:

    252 possibili campioni di 5 controlli.

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    Cenni di calcolo delle probabilit

    Le operazioni di base del calcolo delle probabilit sono l'addizione e la moltiplicazione.

    Esempio: qual la probabilit che esca 1 oppure 3 in un lancio di un dado?

    Se il dado perfettamente bilanciato, la probabilit di 1 1/6,e la probabilit di 3 1/6.

    In nessun lancio potranno uscire contemporaneamente 1 e 3.In nessun lancio potranno uscire contemporaneamente 1 e 3.

    L'evento "composto" definito come: "esce la faccia 1 oppureesce la faccia 3" avverr con probabilit: (1/6 +1/6)=1/3.

    La faccia 1 e la faccia 3 non possono uscire contemporaneamente: sono due eventi mutualmente esclusivi.

    Altrimenti, la regola di addizione non sarebbe stata valida.

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    Complichiamoci un po la vita

    Supponiamo che il nome di un infermiere/a viene estratto a caso da un registro ospedaliero di Roma, e la probabilit che l'infermiere sia maschio di 0.4 (40%),mentre la probabilit che un infermiere/a si sia diplomato a Roma di 0.8 (80%)

    qual la probabilit che l'infermiere sia maschio oppure si sia diplomato a Roma,oppure entrambe le cose?

    Se le due probabilit separate venissero semplicemente addizionate, il risultato sarebbe: (0.4+0.8)=1.2, che chiaramente un risultato sbagliatoil risultato sarebbe: (0.4+0.8)=1.2, che chiaramente un risultato sbagliatopoich la probabilit di un evento, anche composto, non puo' mai superare 1.

    L'errore risiede nel fatto che la probabilit del doppio evento:"infermiere maschio e diplomato a Roma" stata contata due volte,una volta come parte della probabilit di essere infermiere maschioe una volta come parte della probabilit di essere infermiere diplomato a Roma.

    i due eventi NON SONO mutualmente esclusivi !!

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    Indichiamo con:

    P=probabilit dellevento;A= evento [infermiere maschio]; B=evento [infermiere diplomato a Roma]P(A e B)=probabilit dellevento composto [infermiere maschio e diplomato a Roma]

    La forma piu' generale della regola di addizione :

    P(A o B) = P(A)+P(B)-P(A e B)

    Supponiamo che la probabilit dell'evento composto P(A e B) pari a 0.3; allora:

    P(A o B)=(0.4+0.8) - 0.3=0.9.

    Se i due eventi A e B sono mutualmente esclusivi, allora:

    P(A e B)=0, e cosi' si ottiene la forma semplice della regola di addizione:

    P(A o B)= P(A) + P(B)

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    Supponiamo adesso che ad ogni prova vengono lanciati contemporaneamenteuna moneta ed un dado: qual la probabilit congiunta di testa (T) sulla moneta e 5come faccia sul dado?

    Regola di moltiplicazione:

    P(T e 5)=P(T)*P(5, dato testa)

    P(5, dato testa) = probabilit condizionata

    In questo particolare esempio, non c' in realt ragione di supporre che laprobabilit di 5 sul dado sia in qualche modo condizionata dall'evento Testasulla moneta; in altre parole:

    P(5, dato testa) = P(5)

    Notazione matematica: P(A, dato B) = P(A|B)

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    Se la probabilit condizionata uguale alla probabilit non condizionata, i due eventi sono definiti indipendenti, e si ottiene la forma semplice della regola di moltiplicazione:

    P(T e 5)=P(T)*P(5)=1/2 * 1/6=1/12

    Nell'esempio dell'infermiere maschio (A) e diplomato a Roma (B), se questi due eventi fossero indipendenti avremmo:eventi fossero indipendenti avremmo:

    P(A e B)=P(A)*P(B)=0.4*0.8=0.3

    Se questi due eventi invece non fossero indipendenti, perch per esempio i corsi dilaurea per infermieri a Roma accettano come regola piu' donne che uomini, il valorecorretto per P(A e B) andrebbe ottenuto accertando il valore della probabilitcondizionata: P(B=diplomato a Roma|A=maschio) .

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    Le variabili casuali

    Distribuzione Binomiale

    Curva di Gauss o Normale Curva di Gauss o Normale

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    Immaginiamo un mazzo di carte con i quattro assi, tre due, due tre e un quattro (10 carte) e definiamo la variabile casuale:

    Variabili casuali

    La funzione o variabile casuale P(x) assegna una probabilit ad ogni carta; ovviamente, la somma delle probabilit di tutti gli eventi sempre pari ad 1.

    In questo caso i valori che la v.c. pu assumere sono discreti e quindi si ottiene una distribuzione di probabilit discreta o una distribuzione di frequenza.

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    Oltre alla distribuzione di frequenza, si pu definire anche la funzione cumulata di frequenza, detta anche funzione di ripartizione con la quale si assegna ad ogni evento la sua probabilit pi quella di tutti gli eventi precedenti:

    Possiamo definire poi la media (valore atteso) di una variabile casuale discreta come:

    Expected value

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    Possiamo definire anche la varianza di una variabile casuale discreta come:

    Se abbiamo invece una variabile casuale continua (dove ci che si ottiene detto funzione di densit o densit di frequenza) la funzione di ripartizione (=probabilit cumulata), la media e la devianza sono definite ricorrendo al concetto di integrale:

    Funzione di densit

    Funzione di ripartizione

    Media o valore atteso

    Varianza

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    In analisi matematica l'integrale di una funzione un operatore matematico che associa alla funzione l'area sottesa dalla funzione rispetto all'ascissa nel caso di una funzione a una variabile:

    Per calcolare la probabilit di un fenomeno X misurato su scala continua che segue una certa funzione di densit, si deve calcolare l'integrale della funzione, nell'intervallo di esistenza di X.

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    Densit di probabilit per la DBP (pressione diastolica) in un uomo di et 35-44 anni.A, B, C sono rispettivamenteBorderline, Moderatamente iperteso e Iperteso.

    Densit di probabilit per i trigliceridi.

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    La distribuzione di probabilit cumulativa di una variabile casuale continua X valutata in un punto a pari alla probabilit che X abbia valori

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    Una variabile casuale (v.c) una quantit che assume valori differenti con specifiche probabilit.

    Una variabile casuale che assume un insieme discreto di valori con probabilit specificata detta variabile casuale discreta.

    Ricapitolando:

    Una variabile casuale che assume un insieme continuo e infinito di valori, in modo che intervalli di tali valori abbiano probabilit specificata detta variabile casuale continua.

    Una funzione di una variabile casuale una variabile casuale.

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    Le variabili casuali sono estremamente importanti perch ci permettono di studiare la probabilit dei fenomeni facendo riferimento a funzioni matematiche note.

    Quando estraiamo un campione dalla popolazione per studiare un certo fenomeno X, facciamo lipotesi che X segua una certa legge di probabilit nella popolazione e quindi i dati campionari che osserviamo siano una realizzazione (casuale) della legge di X.

    Sulla base dei dati campionari faremo quindi inferenza sulla popolazione, cio stimeremo delle quantit (per es. media e varianza) del fenomeno X e le riporteremo a livello della popolazione, ad un certo grado di probabilit (o confidenza).a livello della popolazione, ad un certo grado di probabilit (o confidenza).

    Tutto ci che viene stimato sul campione per sua natura casuale proprio perch il campione estratto dalla popolazione in modo casuale. Per cui tutto ci che si afferma da studi campionari pu essere accettato come vero con un certo grado di probabilit.

    Vediamo ora alcuni esempi di variabili casuali che possono essere utilizzate per interpretare fenomeni di interesse.

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    Si consideri un insieme di n=100 pazienti, cui viene somministrato un farmaco. Dopo un certo periodo di trattamento, si riscontrano 60 guarigioni. Si puo allora affermare che linsieme dei pazienti A=a1, a2, , a100 puo essere suddiviso nei due insiemi A1 dei guariti e A2 dei non guariti. Attribuendo agli eventi appartenenti ad A1 il valore numerico x1=1 e a quelli di A2 il valore x2=0, si ottiene la probabilit di osservare una guarigione come:

    P(A1)=0.6=P(X=1)

    Variabili casuali discrete: la distribuzione binomiale

    P(A1)=0.6=P(X=1)

    N=100

    pazienti

    A1=60

    A2=40

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    6.0,4.0

    1,0

    ,

    1,0:

    pqX

    Indicando questa probabilit con p e P(A2)=P(X=0)=q, si ottiene la variabile casuale binomiale o di Bernoulli:

    P(A1)=0.6=P(X=1)=p

    Ogni esperimento che consiste in un insieme di prove indipendenti ripetute, per ognuna delle quali abbiamo solo 2 esiti possibili (successo ed insuccesso), con una probabilit di successo costante, viene detto esperimento Bernoulliano.

    Nell'ambito di questi esperimenti, spesso siamo interessati a conoscere la probabilit di ottenere k successi su n prove, evento che pu essere descritto attraverso la variabile casuale binomiale.

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    Poniamo di sapere che in una Facolt di Medicina con un alto numero di studenti il rapporto tra maschi e femmine sia pari a 0.7 e quindi che la probabilit di incontrare un maschio sia pari a p = 0.7 (evento semplice).

    Deve essere estratto a sorte un viaggio studio per 4 studenti e, per unaquestione di pari opportunit, si preferirebbe che fossero premiati in ugualmisura maschi e femmine.

    Un altro esempio:

    Qual la probabilit che un simile evento si realizzi?

    Abbiamo un evento estrazione che pu dare 2 risultati possibili (maschio o femmina) e che deve essere ripetuto 4 volte.

    Se consideriamo successo estrarre una femmina, allora la probabilit di successo in ogni estrazione p=0.3 mentre quella di insuccesso (evento complementare) pari a 1 - p = q = 0.7.

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    La probabilit che su 4 estrazioni si abbiano 2 successi (evento femmina) e 2 insuccessi (evento maschio) data da:

    0.3 *0.3 *0.7 * 0.7 = 0.32 * 0.72

    In generale, data una popolazione numerosa, nella quale ci interessa valutare un fenomeno con 2 modalit possibili, e posto di sapere che la frequenza con cui si presenta una modalit nella popolazione pari a p (in questo caso la frequenza presenta una modalit nella popolazione pari a p (in questo caso la frequenza dei maschi pari a 0.7), mentre la frequenza della seconda modalit pari a q = 1 - p, se estraiamo da questa popolazione n elementi, la probabilit che k di questi presentino la prima modalit :

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    La formula precedente non risolve del tutto il problema, in quanto si vuole che vengano estratte 2 femmine, indipendentemente dall'ordine (prima, seconda, terza o quarta estrazione) mentre la probabilit precedente quella relativa all'evento in cui le 2 femmine sono estratte al primo e secondo posto.

    Di conseguenza alla probabilit dell'evento indicato in precedenza (estrazione di 2 femmine in prima e seconda posizione) dobbiamo aggiungere la probabilit

    di tutti gli altri eventi utili (2 femmine in seconda e terza posizione, oppure in terza e seconda, oppure in terza e quarta e cos via). terza e seconda, oppure in terza e quarta e cos via).

    Il numero delle combinazioni possibili per 2 femmine in 4 estrazioni (combinazione di 4 elementi di classe 2) dato dal coefficiente binomiale:

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    Moltiplicando le due equazioni otteniamo la equazione della v.c. binomiale:

    Nellesempio delle 2 femmine in 4 estrazioni:

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    Valore atteso di una v.c. discreta

    Valore atteso della variabile binomiale:

    Varianza della variabile binomiale:

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    La distribuzione gaussiana (normale)

    C.F. Gauss (1777-1855)

    Distribuzione delle altezze in un campione

    Molti parametri biologici rilevati su campioni diindividui sembrano seguire la legge di distribuzione gaussiana o normale.

    Distribuzione della pressione sanguigna in un campione

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    La distribuzione gaussiana puo essere descritta usando essenzialmente due indici:

    ,2MEDIA

    VARIANZA/DEVIAZIONE STANDARD

    Circa il 95% dei valori di X sono compresi in un intervallo definito dalla media e deviazione standard di X: 1.96

    = xz

    Variabile normale standard

    N(0;1)

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    Larea delimitata dalla curva della distribuzione normale e dallasse delle ascissevale 1 (=intero spazio di probabilit). Larea sotto la curva compresa tra due valoriX=a e X=b, dove a

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    Densit della Curva Gaussiana

    P(x) N(;;;;)=N(5;3)

    exp=e

    =3.14

    x

    = media della v.c. gaussiana2=varianza della v.c. gaussiana

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    Densit della Curva Gaussiana standard:N(;;;;)=N(0;1)

    Distribuzione cumulativa:

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    Calcolo dei percentili di una Normale standard

    Il (100-u) percentile di una normale standard indicato con zu ed definito dalla relazione:

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    Per trovare zu si deve trovare l'area u e quindi trovare il valore che corrisponde a tale area.

    Si pu usare la simmetria della distribuzione: zu = -z1-u

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    rappresentazione cumulativarappresentazione cumulativa

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    Se:

    Allora:

    Dalla Normale alla Normale Standard:Ricapitolando:

    in tali condizioni si ha che:

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    Es: Una persona borderline per ipertensione definita come una DBP compresa tra 90 e 95 mm Hg. Nei maschi tra i 35 ed i 44 anni la DBP distribuita normalmente con media 80 e varianza 144 (dev std=12).Si vuole la probabilit di essere borderline per un maschio in quella classe di et

    La probabilit di essere borderline per un maschio tra 35 e 44 anni pari a 0.098

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    Es: Si supponga che i diametri di alcuni arbusti siano distribuiti normalmente con media 8 cm e deviazione standard 2 cm.

    La probabilit per un arbusto di avere un diametro eccezionalmente grande (> 12cm) pari a:

    > 12 cm

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    Es: Nella popolazione generale la pressione vascolare cerebrale CBF distribuita con media 75 e deviazione standard 17.

    Un paziente definito a rischio di stroke se ha una CBF < 40.

    La probabilit di essere a rischio pari a:

    < 40

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    Es: Il glaucoma una malattia che si presenta con una pressione intraoculare eccessiva.

    Nella popolazione generale, la pressione intraoculare normale con media 16 mm Hg e deviazione standard 3 mm Hg.

    Se il range di normalit tra i 12 ed i 20 mm Hg, la probabilit di essere normali pari a:

    La probabilit di ricadere nel range di normalit pari a 0.82 (82%).

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    N.B.: Le distribuzioni normali sono infinite (perch infiniti sono i valori possibili per e ), ma possono tutte essere ricondotte ad una sola essere ricondotte ad una sola distribuzione di riferimento con = 0 e = 1: la distribuzione normale standardizzata.

    -> permette di risolvere il problema del calcolo di frequenza o di probabilit semplicemente ricorrendo alle tavoledegli integrali della distribuzione normale standardizzata.