Calcolo del campo elettromagneticoOttica geometrica

Capitolo 5

Impatto ambientale dei campi elettromagnetici

OG: derivazione rigorosa• L’ottica geometrica si può introdurre in modo rigoroso a partire dalle

equazioni di Maxwell.• alla base c’è la teoria dei metodi asintotici, in cui la soluzione risulta

valida quando un dato parametro tende ad un suo valore limite (qui alta frequenza....)

• i metodi asintotici possono essere diretti o indiretti.

il metodo viene applicato direttamente alle equazioni

di Maxwell che successivamente vengono

risolte

si formula una soluzione esatta delle equazioni di Maxwell a cui si applica il

metodo asintotico

e.g. ottica geometricae.g. formule per la riflessione e diffrazione...

metodo numerico finale

OG: tecnica in alta frequenza

• Il concetto di alta frequenza su cui si basa l’ottica geometrica è un concetto relativo.

• Il limite, infatti, è in relazione alla dimensione degli oggetti coinvolti nella propagazione del campo elettromagnetico;

• in sostanza, la condizione di base che deve essere soddisfatta per poter applicare l’ottica geometrica è del tipo:

• questa condizione sarà in generale soddisfatta a microonde (~ GHz = 109 Hz → λ ~10 cm);

• ma potrà anche essere soddisfatta nello studio della propagazionedi un campo a qualche MHz (106 Hz → λ ~100 m) nella ionosfera(dimensioni dell’ordine dei 100 km…)

dimensione oggetto >> lunghezza d’onda campo

• Luneberg e Kline (ca 1960) espressero il campo eletromagnetico in alta frequenza come:

( ) ( ) ( )( )

∑∞

=

−=0m m

mrjkj

rEe,rEω

ω Ψ

Luneberg-Kline high frequency expansion

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ....ej

rEerE,rE rjk

11rjk

0 ++= −− ΨΨ

ωω

OG: derivazione rigorosa

La serie deriva sostanzialmente da osservazioni fisiche, poi è stata supportata dall’esperienza

Em e Ψ non dipendono da ω

Sviluppo di Luneberg e Kline

• Nello sviluppo di Luneberg - Kline, il primo termine dipende dalla frequenza solo nella fase (k), mentre i successivi hanno una dipendenza dalla frequenza del tipo:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ....ej

rEerE,rE rjk

11rjk

0 ++= −− ΨΨ

ωω

( )mj

1ω

• pertanto, in alta frequenza, il termine più significativo è il primo:

( ) ( ) ( )rjk0 erE,rE Ψω −≈

Termine dell’ottica geometrica

Campo magnetico• Analogamente, il campo magnetico viene espresso come:

( ) ( ) ( )( )

∑∞

=

−=0m m

mrjkj

rHe,rHω

ω Ψ

Nelle espressioni di E ed H, Em, Hm, e Ψ non dipendono da ω

Derivazione dell’equazione iconalesostituendo lo sviluppo di Luneberg – Kline nelle equazioni di Maxwell....

( ) ( )( ) ( )ωωεω

ωωμω,,

,,rEjrH

rHjrE=×∇−=×∇

( ) ( ) ( )( )

Afj

rEe,rE0m m

mrjk == ∑∞

=

−

ωω Ψ f scalare (l’esponenziale),

A vettore (la sommatoria)

AfAfAf ×∇+×∇=×∇

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )∑

∑∑∞

=

−

∞

=

−∞

=

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×∇−

×∇=

=×∇+×∇=×∇

0mm

mm

mrjk

0mm

mrjk

0mm

mrjk

j

rErjk

j

rEe

j

rEe

j

rEeE

ω

Ψ

ω

ωω

Ψ

ΨΨ

Derivazione dell’equazione iconale (2)• tenendo conto che:

con ν velocità dell’onda nel mezzo, si può scrivere:

• uguagliando al secondo membro della prima equazione di Maxwell, si ottiene:

νω

νπ

λπ jf2j2jjk ===

( ) ( )( )

( ) ( )( )

∑∞

=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×∇−

×∇=×∇

0m 1mm

mmrjk

j

rEr1j

rEeEω

Ψνω

Ψ

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

∑∑

∑∑

∞

=−

−∞

=−

−

∞

=

−∞

=−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×∇−

×∇

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×∇−

×∇

0m 1mmrjk

0m 1mm

mmrjk

0m mmrjk

0m 1mm

mmrjk

j

rHej

rEr1j

rEe

j

rHejj

rEr1j

rEe

ωμ

ω

Ψνω

ωωμ

ω

Ψνω

ΨΨ

ΨΨ

Derivazione dell’equazione iconale (3)• scrivendo in modo esplicito i primi termini dello sviluppo in

serie, si ha:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )rjk

2m1m

m

01

10

2m1mm

mm

11

010

10rjk

ej

rH

j

rH

j

rH

j

rEr1j

rE

j

rE

j

rEr/1rE

j

rEr1e

Ψ

Ψ

ωμ

ωμ

ωμ

ω

Ψνω

ωω

Ψν

ω

Ψν

−∞

=−

−

∞

=−

−−

⎥⎥⎦

⎤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎢⎢⎣

⎡+−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×∇−

×∇+

+×∇

⎢⎢⎣

⎡+

×∇−×∇+

×∇−

∑

∑

Poiché Em, Hm, e Ψ non dipendono da ω, si possono uguagliare i termini in uguale potenza di ω. Dal termine ∝ (jω)-1 si ha:

( ) ( ) ( )rHrEr100 μΨ

ν=×∇

Derivazione dell’equazione iconale (4)• per dualità, partendo dalla seconda equazione di Maxwell e

dallo sviluppo di Luneberg – Kline per H si trova,

( ) ( ) ( )rErHr100 εΨ

ν−=×∇

( ) ( ) ( ) ( ) ( )rrHrrH1rE 000 ΨεμΨ

εν∇×=∇×=

Dove E0 ed H0 sono vettori complessi e ∇Ψ è una quantità reale

Derivazione dell’equazione iconale (5)• Inoltre, sostituendo lo sviluppo di L.K. nella condizione sulla

divergenza (condizione nec. accanto all’equazione delle onde perché il campo trovato sia effettivamente un campo elettromagnetico...) esvolgendo il solito procedimento, si trova:

( ) ( ) ( )( )

Afj

rEe,rE0m m

mrjk == ∑∞

=

−

ωω Ψ

fAAfAf ∇⋅+⋅∇=⋅∇

0=⋅∇ E

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

0j

rE/1j

rEe

jrE

jrE/1rE

jrE/1e

0j

rE/1j

rEe

2m1mm

mmrjk

11

010

10rjk

0m1mm

mmrjk

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ⋅∇−

⋅∇+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ⋅∇+

⋅∇−⋅∇+

⋅∇−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ⋅∇−

⋅∇

∑

∑

∞

=−

−

−−

∞

=−

−

ωΨν

ω

ωωΨν

ωΨν

ωΨν

ω

Ψ

Ψ

Ψ

( ) 00 =⋅Ψ∇ rE

Condizione sulla divergenza

Derivazione dell’equazione iconale (6)Allora, risulta

formano una terna ortogonale destra;Ψ∇,, 00 HE

( ) ( ) ( ) ( ) ( )rrHrrH1rE 000 ΨεμΨ

εν∇×=∇×=

( ) 00 =⋅Ψ∇ rE

e

Da cui si può concludere che

Derivazione dell’equazione iconale (7)• Infine, dalle

• posso scrivere:

• ma E0 è ⊥∇ψ

( ) ( ) ( )rHrEr100 μΨ

ν=×∇ ( ) ( ) ( )rErHr1

00 εΨν

−=×∇

( ) 1r 22 ==∇ μενΨ

equazione iconale !!!

ζεμ==

00

HE impedenza

caratteristica mezzo

( ) ( ) ( ) ( )rErErv1r1

00 εΨμ

Ψν

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×∇×∇

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )rErrrErErr10002 εΨΨΨΨ

μν−=∇⋅∇−⋅∇∇

( ) ( ) ( )BACCABCBA ⋅−⋅=××

Da notare che.....Lo sviluppo di Luneberg – Kline può essere scritto in forme diverse; in

particolare,• si può scrivere in potenze del numero d’onda invece che della

pulsazione, i.e.,

• si può mettere in evidenza nella fase il numero d’onda nel vuoto, i.e.

In quest’ultimo caso, le proprietà elettriche del mezzo in cui avviene la propagazione rimangono nella funzione Ψ(r). Pertanto, l’equazione iconale diviene:

• Questa forma è conveniente quando si studia la propagazione in mezzi con ε variabile da punto a punto.

( ) ( ) ( )( )

∑∞

=

−=0m m

mrjkjk

rEe,rE Ψω

( ) ( ) ( )( )

∑∞

=

−=0m m

mrjk

j

rEe,rE 0

ωω Ψ

( ) ( )snsn =Ψ∇

Equazione del trasporto• Sostituendo lo sviluppo di Luneberg- Kline nell’equazione di

Helmholtz per il campo elettrico si trova,

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( )( )

( )( ) 0e

j

rE

j

rE2rrE1j

rEr11 rjk

0mm

m2

1mm

2m

2m

m2

2 =⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞∇+

∇⋅∇+∇+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∇−

−∞

=−−∑ Ψ

ωω

ΨΨνω

Ψ

ν

Uguagliano a 0 il coefficiente della potenza di ω-1 (per m=0), si ha:

( ) ( ) ( ) ( ) 0rE2rrE 02

0 =∇⋅∇+∇ ΨΨ

equazione del trasporto di ordine 0

mentre dagli altri si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )rErE2rrE 1m2

m2

m −∇−=∇⋅∇+∇ νΨΨ

equazioni del trasporto di ordine superiore

Il termine di ottica geometrica• Come già notato, al limite per ω→∞, il primo termine dello

sviluppo di Luneberg - Kline è l’unico che rimane. • Esso è definito il campo di ottica geometrica:

( ) ( ) ( )rjk0 erE,rE Ψω −≈

( ) ( ) ( )rjkerHrH Ψ−≈ 0,ωLe relazioni che tale termine deve soddisfare sono:

( ) ( ) ( )rrHrE Ψ∇×= 00 ζ

( ) 12 =Ψ∇ r

( ) ( ) ( ) ( ) 0rE2rrE 02

0 =∇⋅∇+∇ ΨΨ

Onda localmente TEM

Equazione iconale

Equazione del trasporto

( ) 00 =⋅Ψ∇ rECondizione sulla divergenza

H0 deve soddisfare a delle condizioni duali.....

Flusso di potenza• Dalle relazioni sopra segue, per il vettore di Poynting S:

( ) ( ) ( )rrHrE Ψ∇×= 00 ζ

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )rHrrHrHrE *0

*0 00 ×Ψ∇×=× ζ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]rrHrHrHrHrrHrE 0**

0*

0 000ΨΨζ ∇⋅−⋅∇=×

( ) ( ) ( )BACCABCBA ⋅−⋅=××

Nullo dalla condizione sulla divergenza (si ottiene da quella per il campo elettrico per dualità...)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]rHrHrrHrE *0

*0 00

⋅∇=× Ψζ

Il vettore di Poynting è diretto come ∇ψ=ŝ(n.b. dall’eq. iconale, ŝ è un versore…)

PotenzaRiassumendo,• Poynting è diretto come il gradiente di ψ;• poiché ∇ψ=ŝ è perpendicolare alle superfici in cui ψ è

costante (superfici equifase), i raggi sono ortogonali a tali superfici;

• E,H sono ortogonali a ∇ψ, quindi non ci sono componenti di campo lungo la direzione di propagazione, quindi onda TEM;

• il flusso di potenza avviene lungo un tubo di raggi, e non c’èflusso di potenza in direzione trasversa ad esso;

Traiettorie dei raggiFinora risulta: • ŝ = direzione del raggio;• r vettore posizione nello spazio.Introduciamo la coordinata s lungo il raggio. Risulta:

s=Ψ∇ poiché

( ) ( )ΨΨΨΨ∇∇⋅∇=∇∇⋅=

∂∂∇ s

s

srs∂∂

=ˆ segue∇⋅=∂∂ ss

ma:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 01

2

2 =∇=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∇∇=∇⋅∇∇

∇∇⋅∇=∇∇⋅∇+∇∇⋅∇=∇⋅∇∇

ΨΨΨ

ΨΨΨΨΨΨΨΨ

0s

rss

s 2

2=

∂

∂=

∂∂

=∂

∂∇Ψ

e

Traiettorie dei raggi (2)

La relazione trovata dice che la traiettoria è rettilinea!!!!!!

n.b. = stiamo supponendo mezzi omogenei (εr = costante). Altrimenti, la traiettoria è ‘dettata’ dalle variazioni nello spazio della costante dielettrica relativa (come, ad es. nella ionosfera..). In questo caso infatti l’equazione iconale eguaglia le variazioni di ψ con quelle di εre il ∇ψ non è più uguale ad un versore costante, ma è uguale ad un vettore variabile nello spazio....

( ) BsAsr +=

A e B sono due vettori costanti;

0s

rss

s 2

2=

∂

∂=

∂∂

=∂

∂∇Ψ

integrando..

Polarizzazione del campo• La polarizzazione è data dalla direzione del vettore del campo

elettrico; definendo un versore di polarizzazione ê come:

• dalla condizione sulla divergenza, segue:

• dal legame con H:

Le variazioni della polarizzazione lungo la traiettoria sono date dalla derivata di ê rispetto ad ŝ:

0

0ˆEE

e =

( ) 00 =⋅Ψ∇ rE 0ˆˆ =⋅es

( ) ( ) ( )rrHrE Ψ∇×= 00 ζ she ˆˆˆ ×=

0.........s

EEe

sE

EEE

sse 01

001

00

0 ==∂

∂−

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=∂∂ −− La polarizzazione non

cambia in regioni omogenee

Cambiamenti di fase lungo la traiettoriaSempre in mezzi isotropi ed omogenei, si è visto che:• i raggi sono rette;• i raggi sono ortogonali ai fronti d’onda (superfici equifase).Lungo la traiettoria si ha:

Integrando tra un punto di riferimento (s=s0=0) ed un generico punto s

dsdsd =Ψ∇=Ψ

( ) ( )

( ) ( ) ss

ssss

=Ψ−Ψ

−=Ψ−Ψ

0

00

Quindi, la fase del campo varia come:( ) ( ) jksjksjk eee −Ψ−Ψ− = 0

Ampiezza del campo lungo la traiettoria• L’informazione sulle variazioni dell’ampiezza del campo al

propagarsi dello stesso lungo una traiettoria si ottengono risolvendo l’equazione del trasporto

( ) ( ) ( ) ( ) 0rE2rrE 02

0 =∇⋅∇+∇ ΨΨ

ss

∂∂

=∇⋅=∇⋅Ψ∇ ˆ

( ) ( ) ( ) 02 020 =

∂∂

+Ψ∇s

sEssE

( )( ) ( ) sssEsE

∂Ψ∇−=∂ 2

0

021

( ) ( )( )∫ ∂Ψ∇−

=

sss

eEsE 0

221

00 0

Ampiezza del campo lungo la traiettoria (2)Bisogna trovare un’espressione esplicita per l’esponente.....

Tubo di raggi astigmatico (a- negativo; stigma: un punto)

ψ(0)= superficie equifase di riferimento; ha ρ1 e ρ2 come raggi principali di curvatura;

ψ(s)= superficie equifase con (ρ1+s) e (ρ2+s) come raggi principali di curvatura;

Ampiezza del campo lungo la traiettoria (3)• dS0 e dS superfici elementari sul tubo di raggi a ψ(0) e ψ(s),

rispettivamente.• Si trova (geometria..),

( )

( )( ) ( )sGddddssdS

GdddddS

212121

2121210 0

φφφφρρ

φφφφρρ

=++=

==

Ampiezza del campo lungo la traiettoria (4)• dove G(0) e G(s) sono le curvature gaussiane:

• Introducendo il vettore F funzione delle coordinate: F(s) = G(s)ŝ , e considerando l’integrale di F sulla superficie chiusa costituita dalle due superfici dS0 e dS sul tubo di raggi e dai lati del tubo tra esse, considerando che F è parallelo ai raggi del tubo di flusso si trova:

( ) ( ) ( )( )sssGG ++==2121

11 ;0 ρρρρ

0=⋅∇∫∫∫ VdF

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00ˆ0ˆˆ 00 =−=−⋅+⋅=⋅∫∫ dSGdSsGdSsFdSssFdSnF

Teorema della divergenza

0=⋅∇ F

Ampiezza del campo lungo la traiettoria (5)

0=⋅∇ F( )[ ]

( ) ( ) 0ˆˆ

0ˆ

=⋅∇+∇⋅

=⋅∇

ssGsGs

ssG

( )ssG

∂∂ ψ2∇=Ψ∇⋅∇

( ) ( )

( )( ) ssGsG

sGssG

∂Ψ−∇=∂

Ψ∇−=∂

∂

2

2

( )( )

( )∫ ∂Ψ∇−

=

sss

eG

sG 0

2

0

E’ l’esponenziale che si cercava..

Ampiezza del campo lungo la traiettoria (6)

( ) ( )( )∫ ∂Ψ∇−

=

sss

eEsE 0

221

00 0 ( )( )

( )∫ ∂Ψ∇−

=

sss

eG

sG 0

2

0

( ) ( ) ( )( )0

000 GsGEsE =

( ) ( ) ( )( )ssEsE

++=

21

210 0

ρρρρ

Mettendo tutto insieme.....

Propagazione del campo

( ) ( ) ( )( )( )

jksjk ess

eEsE −Ψ−

++=

21

2100 0

ρρρρ

( ) ( ) ( )( )( )

jksjM e

sseEsE −Φ−

++=

21

2100 00

ρρρρ

sarà in genere complesso... ( ) ( ) 000 00Ej

M eEE Φ−=

Campo nel “punto di riferimento” Attenuazione spaziale

per fattore divergenza

Fattore di fase

( ) ( ) ( )00 00 0 EeE j

M =Φ−

Propagazione

Rispetto alla “formulazione di base”, quella rigorosa mantiene le informazioni sulla fase e sulla polarizzazione dell’onda

( ) ( ) ( )( )jkse

ssEsE −

++=

21

210ρρρρ

Da notare che:

• quando s=-ρ1/2, l’equazione del trasporto ha una singolarità (è la convergenza dei raggi nelle caustiche...), e perde di validità (anche nell’intorno dei punti in esame);

• quando -ρ2 < s < -ρ1, o in situazioni analoghe, c’è un cambiamento di segno nel denominatore: l’equazione cioè prevede (correttamente) un salto di fase di +90° ogniqualvolta si passa attraverso una caustica nella direzione di propagazione

Passaggio attraverso una caustica• Per prendere in conto il passaggio attraverso una caustica, si

deve sommare correttamente ±90° a seconda del verso di propagazione del campo. In particolare,

Se ci si muove lungo un raggio, attraverso una caustica,• nella direzione di propagazione, si deve moltiplicare il campo per• nella direzione di opposta a quella di propagazione, si deve

moltiplicare il campo perIn generale, allora, sarà

2/πje

2/πje−

( ) ( ) ( )( )( ) 2/

21

210 πρρρρ mnjjksee

ssEsE −−

++=

numero caustiche attraversate nella direzione di propagazione

Riassumendo• L’espressione che descrive la propagazione del campo

secondo l’ottica geometrica è del tipo:

( ) ( ) ( )( )( ) 2/

21

210 πρρρρ mnjjksee

ssEsE −−

++=

dove:• E(0) rappresenta il campo (ampiezza, polarizzazione e fase) nel punto di

riferimento (s0 = 0);• s è la distanza lungo il raggio dal punto di riferimento, pertanto• exp(-jks) esprime lo sfasamento lungo la traiettoria;• il termine sotto radice rappresenta il fattore di divergenza del fascio, ovvero le

variazioni di ampiezza del campo lungo la traiettoria;• ρ1 e ρ2 rappresentano i raggi di curvatura principali del fascio nel punto di

riferimento. La convenzione che si adotta è tale che un raggio di curvatura positivo (negativo) implica un fascio divergente (convergente) nel corrispondente piano principale

• n (m) è il numero di caustiche attraversate dall’osservatore che si muove lungo la traiettoria nella direzione di (opposta a quella di ) propagazione del campo

Riassumendo• Analoga espressione è valida per il campo magnetico:

( ) ( ) ( )( )( ) 2/

21

210 πρρρρ mnjjksee

ssHsH −−

++=

Inoltre, campo elettrico e campo magnetico sono localmente legati dalle relazioni tipiche di un’onda piana:

Ψ∇,, 00 HE

ζεμ==

00

HE

( ) ( ) ( )rrHrE Ψ∇×= 00 ζ

formano una terna ortogonale destra

Situazioni speciali• L’espressione che descrive la propagazione del campo

secondo l’ottica geometrica è del tipo:

• Se si è interessati al caso in cui l’onda abbia le superfici a fase costante corrispondenti a dei piani (onda piana...), alloraper i raggi di curvatura si ha:

ρ1→∞ ρ2→∞;

• e quindi

( ) ( ) ( )( )( ) 2/

21

210 πρρρρ mnjjksee

ssEsE −−

++=

( )( ) 1ss 21

21 →++ ρρ

ρρ

( ) ( ) jkse0EsE −=