Binder 1

CAPITOLO 7

CIRCUITI DINAMICI LINEARI

7.1 Circuito resistivo associato e sistema fondamentale

I Capitoli 6 e 7 sono stati dedicati esclusivamente (ad eccezione del paragrafo sugli induttori

accoppiati) ai circuiti costituiti da resistori e generatori. (Si noti che in quel caso “resistore” va

inteso in senso ampio, comprendendo generatori pilotati lineari, giratori, trasformatori ideali,

amplificatori operazionali). In questo Capitolo, invece, studieremo i circuiti dinamici lineari, cioè

quei circuiti costituiti da elementi statici e dinamici lineari e da generatori indipendenti, con

particolare riferimento a quelli costituiti da condensatori, induttori e resistori lineari tempo-

invarianti.

Si consideri un circuito N costituito da nC condensatori e nL induttori lineari e tempo-invarianti,

da nR resistori, in generale, lineari e tempo-varianti, e da ne generatori ideali di tensione e nj

generatori ideali di corrente (figura 1a). Le equazioni, che ne governano la dinamica, sono

Ai = 0,

Bv = 0,ÏÌÓ

(1)

Ckdvk

dt- i k = 0 k =1, 2, ..., nC , (2)

L kdikdt

- vk = 0 k = nC +1,..., nC +nL , (3)

vk - Rk (t)i k = 0 k = nC +nL +1,..., nC +nL +nR, (4)

vk = ek (t) k = nC +nL + nR +1,..., nC +nL + nR + ne,

i k = jk (t) k = nC +nL + nR + ne +1,..., nC +nL + nR + ne + nj ,

ÏÌÓ

(5)

dove i = (i1,i 2,...,i b)T e v = (v1,v2,...,vb)T sono i vettori rappresentativi delle correnti e delle

tensioni del circuito, b = (nC + nL + nR + ne + nj ), A e B sono, rispettivamente, una matrice di

incidenza ridotta e una matrice di maglia fondamentale, Ck , Lk e Rk = Rk (t) (Ck e Lk sono

costanti nel tempo) sono, rispettivamente, le capacità, le induttanze e le resistenze del circuito,

ek = ek (t) e jk = jk (t) sono, rispettivamente, le tensioni dei generatori di tensione e le correnti

dei generatori di corrente indipendenti.

224

Il sistema di equazioni (1)-(5) è un sistema di equazioni algebriche-differenziali costituito da

[2b - (nC + nL )] equazioni algebriche e (nC + nL ) equazioni differenziali del primo ordine.

Un'equazione differenziale del primo ordine esprime un legame tra la derivata di almeno una

delle funzioni incognite e le incognite stesse. Nel nostro caso l'operazione di derivazione èapplicata alle funzioni incognite che rappresentano le tensioni dei condensatori v1, ..., vnC

e le

correnti negli induttori i nC +1, ..., inC +nL. Il sistema di equazioni (1)-(5) è lineare, tempo-variante

e non omogeneo (perché tutte le equazioni che vi compaiono sono lineari, Rk è variabile nel

tempo e vi sono tensioni e correnti assegnate tramite i generatori indipendenti).

Figura 1 Circuito dinamico costituito da bipoli lineari e generatori indipendenti (a) e circuitoresistivo associato (b).

Il sistema algebrico-differenziale (1)-(5) di dimensione 2b può essere ridotto alla forma

canonica in cui compaiono soltanto le tensioni dei condensatori e le correnti degli induttori come

incognite. Il sistema così ridotto consiste di sole equazioni differenziali del primo ordine. È

evidente che il numero di equazioni differenziali è uguale a m = (nC + nL ) . È anche evidente che

conviene ridurre il sistema originario a un sistema in cui le incognite siano le tensioni deicondensatori v1, ..., vnC

e le correnti negli induttori i nC +1, ..., inC +nL.

Che ciò sia possibile è evidente dalle seguenti considerazioni: se supponiamo di assegnare le

tensioni dei condensatori e le correnti degli induttori in un determinato istante - e cioè m variabili

- il sistema complessivo di equazioni (1)-(5) può essere interpretato come un sistema di 2b

equazioni in altrettante incognite nel quale, però, hanno assunto il ruolo di incognite le derivate

delle tensioni dei condensatori al posto delle tensioni stesse dei condensatori e le derivate delle

correnti degli induttori al posto delle correnti stesse degli induttori. Un tale sistema può essere

risolto fornendo così i valori delle derivate delle tensioni dei condensatori e delle correnti degli

induttori in quel determinato istante, in altri termini è possibile esprimere le derivate delle

tensioni dei condensatori e delle correnti degli induttori in funzione delle tensioni dei

condensatori e delle correnti degli induttori stesse, nonché dei generatori, il che costituisce il

225

sistema in forma canonica cui si faceva riferimento (sistema fondamentale del circuito

dinamico).

Operativamente la riduzione del sistema (1)-(5) alla forma canonica appena descritta può

essere ottenuta nella maniera seguente.Attraverso le [2b - (nC + nL )] equazioni algebriche (1), (4) e (5) si esprimano le correnti nei

condensatori i1, ..., inC e le tensioni degli induttori vnC +1, ..., vnC +nL

in funzione delle nC

tensioni v1, ..., vnC dei condensatori e delle nL correnti i nC +1, ..., inC +nL

negli induttori. Ciò

equivale a risolvere un circuito resistivo ottenuto dal circuito dinamico in esame sostituendo a

ciascun condensatore un generatore di tensione con tensione pari a quella del condensatore e a

ciascun induttore un generatore di corrente con corrente pari a quella dell'induttore (figura 1b). A

questo circuito ausiliario si dà il nome di circuito resistivo (poiché costituito da soli resistori e

generatori) associato al circuito dinamico. La soluzione del circuito resistivo associato (che

supponiamo esistere ed essere unica), dà quella del circuito dinamico in esame, una volta note le

tensioni sui condensatori e le correnti negli induttori.

Il sistema di equazioni (algebriche-lineari) che descrive il circuito resistivo associato è

Ai = 0,

Bv = 0,ÏÌÓ

(6)

vk = vk (t) k =1,..., nC, (7)

i k = i k (t) k =nC +1,..., nC +nL , (8)

vk - Rki k = 0 k =nC +nL +1,..., nC +nL +nR, (9)vk = ek (t) k =nC +nL + nR +1,..., nC +nL + nR + ne,

i k = jk (t) k =nC +nL + nR + ne +1,..., nC +nL + nR + ne + nj .ÏÌÓ

(10)

Le equazioni (6)-(10) si ottengono dal sistema (1)-(5) sostituendo all'equazione costitutiva di

ogni condensatore quella di un generatore di tensione ideale con tensione uguale a quella del

condensatore e all'equazione costitutiva di ogni induttore un generatore ideale di corrente con

corrente uguale a quella dell'induttore.

7.2 Equazioni di stato e variabili di stato

La soluzione del circuito resistivo associato dà le espressioni delle correnti nei condensatori e

delle tensioni degli induttori in funzione delle tensioni dei condensatori e delle correnti negli

induttori. Il sistema fondamentale in forma canonica di m equazioni differenziali nelle mincognite v1, ..., vnC

, i nC +1, ..., inC +nL si ottiene sostituendo le espressioni delle correnti nei

condensatori e delle tensioni degli induttori così ottenute, rispettivamente, nelle equazioni (2) e (3)

del sistema di equazioni circuitali.

Per la linearità del circuito resistivo associato, ogni tensione e ogni corrente è esprimibile

attraverso una combinazione algebrica lineare delle tensioni dei generatori di tensione di

“sostituzione” (le tensioni dei condensatori) e dei generatori di tensione “effettivi” e delle

correnti nei generatori di corrente di “sostituzione” (le correnti negli induttori) e dei generatori

226

di corrente “effettivi”. Pertanto, i valori delle correnti in condensatori, resistori e generatori di

tensione e delle tensioni su induttori, resistori e generatori di corrente all'istante generico t

dipendono solo dai valori delle tensioni dei condensatori e dei generatori di tensione e dai valori

delle correnti negli induttori e nei generatori di corrente in quell'istante, attraverso relazioni

algebriche lineari. In particolare per le correnti dei condensatori e per le tensioni degli induttori si

ottiene:

- i1 = h1ivii=1

nC

Â + h1ki kk=nC +1

nC +nL

Â + j1* (t),

........

- i nC= hnCivi

i=1

nC

Â + hnCki kk=nC +1

nC +nL

Â + jnC

* (t),

(11)

- vnC +1 = hnC +1ivii =1

nC

Â + hnC +1ki kk=nC +1

nC +nL

Â + enC +1* (t),

........

- vnC +nL= hnC +nL ivi

i =1

nC

Â + hnC +nL ki k k=nC +1

nC +nL

Â + enC +nL

* (t),

(12)

dove i coefficienti hij sono indipendenti dalle tensioni e dalle correnti (essi dipendono solo dai

resistori del circuito) e le funzioni jh* (t) e ek

* (t) descrivono l'effetto dei generatori indipendenti

del circuito; i coefficienti hij dipendono dal tempo se i resistori sono tempo-varianti.

È evidente che i coefficienti hij sono proprio gli elementi della matrice ibrida H del

(nC + nL ) -porte resistivo lineare (con la convenzione dell'utilizzatore su ogni porta) di figura 1b,

quando i generatori del circuito dinamico sono spenti, e jh* (t) e ek

* (t) sono, rispettivamente, la

corrente di corto circuito nella porta “h” e la tensione a vuoto nella porta “k” (sempre con la

convenzione dell'utilizzatore per ogni porta), quando i generatori di “sostituzione” sono spenti e

i generatori indipendenti effettivi sono in funzione. Pertanto le (11) e (12) possono essere riscritte

nella forma matriciale

y = - H(t)x - g(t), (13)

dove x = (v1,..., vnC, inC +1,..., inC +nL

)T , y = (i1,..., inC, vnC +1,..., vnC +nL

)T , H(t) è la matrice ibrida

d e l (nC + nL ) -porte corr ispondente al c i rcui to resist ivo associato e

g(t) = ( j1* (t),..., jnC

* (t),enC +1* (t),...,enC +nL

* (t))T. (In generale, un circuito dinamico può essere

considerato come un (nC + nL ) -porte resistivo lineare, a cui sono collegati nC condensatori e

nL induttori (figura 1a)).

Sostituendo le (11) nelle (2) e le (12) nelle (3) si ottiene il sistema fondamentale

227

C1dv1

dt= - h1ivi

i =1

nC

Â - h1ii kk=nC +1

nC +nL

Â - j1* (t),

........

CnC

dvnC

dt= - hnCivi

i =1

nC

Â - hnCki kk=nC +1

nC +nL

Â - jnC

* (t),

L nC +1

dinC +1

dt= - hnC +1ivi

i =1

nC

Â - hnC +1ki kk=nC +1

nC +nL

Â - enC +1* (t),

........

L nC +nL

dinC +nL

dt= - hnC +nL ivi

i =1

nC

Â - hnC +nL ki k k=nC +1

nC +nL

Â - enC +nL

* (t).

(14)

Se le correnti e le tensioni del circuito verificano le equazioni circuitali (1)-(5), allora le tensionidei condensatori v1 = v1(t), ..., vnC

= vnC(t) e le corrent i negl i indut tor i

i nC +1 = i nC +1(t), ..., inC +nL= i nC +nL

(t) verificano il sistema (14). Per converso, se le tensioni nei

condensatori e le correnti negli induttori verificano il sistema (14), allora esiste una e una sola

soluzione del circuito in esame con queste tensioni e queste correnti. Le altre grandezze elettriche

del circuito si ottengono, una volta note le tensioni dei condensatori e le correnti negli induttori,

risolvendo il circuito resistivo associato.

Il sistema (14) prende il nome di sistema di equazioni di stato e le tensioni dei condensatoriv1, ..., vnC

e le correnti negli induttori i nC +1, ..., inC +nL sono le variabili di stato del circuito.

L'ordine del sistema di equazioni di stato (l'ordine del circuito) è uguale al numero di equazioni di

stato e quindi al numero di elementi dinamici presenti nel circuiti m = (nc + nL ).

In qualsiasi istante √t , lo stato in √t e i valori delle tensioni dei generatori indipendenti di tensione

e delle correnti dei generatori indipendenti di corrente in quell'istante, determinano univocamente

i valori delle tensioni di induttori, resistori e generatori indipendenti di corrente e i valori delle

correnti in condensatori, resistori e generatori indipendenti di tensione allo stesso istante, attraverso

le equazioni del circuito resistivo associato. Il risultato ottenuto è molto significativo: le grandezze

“non di stato” sono esprimibili in ogni istante in funzione delle sole grandezze di stato e dei

generatori indipendenti attraverso relazioni puramente algebriche, quindi di tipo istantaneo. Il

risultato giustifica il nome di grandezze di stato dato a queste variabili; la loro conoscenza in un

determinato istante infatti implica la conoscenza di tutte le altre grandezze nello stesso istante e

quindi determina univocamente lo “stato” del circuito.

Il sistema (14) può essere riscritto nella forma matriciale

D «x = - H(t)x - g(t), (15)

dove x = (v1,...,vnC,i nC +1,...,i nC +nL

)T è il vettore rappresentativo delle grandezze di stato, vettore

di stato, e D = diag(C1,...,CnC,LnC +1,...,LnC +nL

) è una matrice diagonale m¥ m.

Il sistema (14) è un sistema di m equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine. I

sistemi di equazioni differenziali, in generale, ammettono infinite soluzioni (questa proprietà è

stata già evidenziata quando abbiamo studiato la dinamica di circuiti semplici costituiti da un solo

228

induttore o da un solo condensatore), a differenza dei sistemi lineari puramente algebrici (come

quelli che descrivono il funzionamento dei circuiti resistivi lineari).

Per individuare tra tutte le soluzioni ammissibili, quella che governa il circuito in esame,

bisogna assegnare ulteriori condizioni, che non sono contenute né nel sistema fondamentale, né

nelle equazioni circuitali. È possibile prevedere l'andamento temporale delle tensioni e delle

correnti di un circuito per t > t0, ( t0 è detto istante iniziale, e può essere tipicamente l'istante

iniziale dell'intervallo di osservazione oppure l'istante in cui il circuito inizia a funzionare), se si

conoscono all'istantet = t0 le tensioni dei condensatori (condizioni iniziali per le tensioni sui

condensatori):

v1(t0) = V1,

...

vnC(t0) = VnC ,

(16)

e le correnti negli induttori (condizioni iniziali per le correnti negli induttori):

i nC +1(t0) = I1,

...

i nC +nL(t0) = I nL

.

(17)

Le condizioni iniziali (16) e (17) non sono contenute nel sistema (1)-(5); esse dipendono solo

dalla storia del circuito precedente all'istante t = t0.

La soluzione del sistema di equazioni differenziali (14) con le condizioni iniziali (16) e (17)

prende il nome di Problema di Cauchy. Dalla teoria delle equazioni differenziali ordinarie 1 si ha

la seguente proprietà:

Proprietà 1: esistenza e unicità della soluzione

Esiste una e una sola soluzione del sistema di equazioni (14) che verifica le

condizione iniziali (16) e (17).

(Questa proprietà così forte è dovuta alla linearità del sistema di equazioni.) Di conseguenza una

volta assegnato il valore dello stato del circuito all'istante iniziale t = t0, lo stato per t > t0 è

univocamente determinato dalle equazioni di stato.

Esempio

Per rendere più chiaro il discorso è utile far riferimento ad un circuito concreto del tipo

mostrato in figura 2a. Tutte le tensioni e le correnti sono state ordinate secondo la convenzione

che abbiamo precedentemente adottato. Le equazioni che descrivono la dinamica del circuito

sono

1 Vedi, ad esempio, in C.Miranda, Lezioni di Analisi Matematica, Liguori Editore, Napoli 1976.

229

Cdv1

dt= i1,

Ldi2dt

= v2,

Ï

ÌÔ

ÓÔ

(18)

0 = i1 + i 2 + i3,

0 = i3 - i 4,

0 = v1 - v2,

0 = v2 - v3 - v4,

0 = v3 - R3i3,

0 = v4 - e(t).

Ï

Ì

ÔÔÔ

Ó

ÔÔÔ

(19)

Il sistema di equazioni circuitali (18), (19) è costituito da 8 equazioni in 8 incognite: le prime

due equazioni, cioè le (18), sono equazioni differenziali lineari del primo ordine e le restanti, cioè

le (19), sono equazioni algebriche lineari. Le equazioni (18) esprimono, rispettivamente, le

relazioni costitutive del condensatore e dell'induttore, le prime quattro del sistema (19)

costituiscono l'insieme massimale di equazioni di Kirchhoff linearmente indipendenti e le

restanti due equazioni sono le equazioni costitutive dei bipoli statici presenti nel circuito:

resistore e generatore ideale di tensione.

Figura 2 Circuito dinamico in esame (a) e circuito resistivo associato (b).

Per ridurre il sistema algebrico differenziale (18), (19) alla forma canonica basta ricavare dalle

(19) l'espressione della corrente i1 del condensatore e della tensione v2 dell'induttore in

funzione delle sole grandezze di stato e del generatore, cioè in funzione di v1, i2 ed e(t). Allo

scopo è sufficiente considerare la tensione v1 e la corrente i2 come assegnate e interpretare le

equazioni (19) come un sistema di 6 equazioni nelle 6 incognite i1,v2,i3,v3,i 4,v4, ovvero come

la soluzione del circuito resistivo associato ottenuto sostituendo al condensatore un generatore di

tensione e all'induttore un generatore di corrente (figura 2b). La soluzione del circuito resistivo

associato è:

i1(t) = e(t) - v1(t)R

- i 2(t),

v2(t) = v1(t),(20)

i3(t) = i 4(t) = v1(t) - e(t)R

,

v3(t) = v1(t) - e(t).(21)

230

Sostituendo le espressioni (20) nel sistema di equazioni differenziali (18) si ottiene il sistema

di equazioni di stato

dv1

dt= - v1

RC- i 2

C+ e(t)

RC,

di2dt

= v2

L.

Ï

ÌÔ

ÓÔ

(22)

Esempio

Si consideri, ora, il circuito dinamico illustrato in figura 3a. I due resistori sono tempo-varianti.

In figura 3b è illustrato il circuito resistivo associato, ottenuto sostituendo al posto dei due

condensatori, due generatori di tensione ideali con tensione v1(t) e v2(t) (le tensioni dei

condensatori), e al posto dell'induttore un generatore di corrente ideale con corrente i3(t), (la

corrente nell'induttore).

Il circuito resistivo associato ha una ed una sola soluzione. Risolvendolo si ottiene:

i1 = - v1

R4(t)+ v2

R4(t)+ i3(t),

i 2 = v1

R4(t)- v2

R4(t),

v3 = - v1(t) - R5(t)i3(t) + e(t),

v4 = v1 - v2,

v5 = R5(t)i3(t).

(23)

Le relazioni algebriche (23) esprimono le grandezze circuitali in funzione delle tensioni

v1(t) e v2(t) dei due condensatori, della corrente i3(t) nell'induttore e della tensione e(t) del

generatore di tensione “effettivo”.

Per ridurre le equazioni circuitali al sistema fondamentale possiamo ragionare anche in un altro

modo. La parte statica del circuito dinamico in esame è rappresentata attraverso il 3-porte resistivo

lineare N3: alle porte “1” e “2” sono collegati i due condensatori e alle porta “3” è collegato

l'induttore. Il 3-porte N3 è caratterizzato assegnando le tensioni v1(t) e v2(t) sulle porte “1” e

“2” e la corrente i3(t) nella porta “3” (caratterizzazione ibrida); su ogni porta è stata fatta la

convenzione del generatore. La relazione che lega le correnti i1(t) e i2(t) nei due condensatori e

la tensione v3(t) dell'induttore alle tensioni dei due condensatori e alla corrente nell'induttore,

può essere espressa tramite la matrice ibrida H del 3-porte. Si ottiene, così,

i1i2v3

= - H(t)

v1

v2

i3

+0

0

e

. (24)

H =H(t) è la matrice ibrida del 3-porte quando e(t)=0 e vale

231

H =G S

- ST R. (25)


La (25) è una matrice a blocchi. Il blocco G (2¥2) è la matrice delle conduttanze “vista” dai

due condensatori quando al posto dell'induttore c'è un circuito aperto ed e(t)=0,

G =1 / R4(t) - 1 / R4(t)

- 1 / R4(t) 1 / R4(t). (26)

Il blocco R (1¥1) è la matrice delle resistenze vista dall'induttore (la resistenza equivalente)

quando al posto dei condensatori ci sono corto circuiti ed e(t)=0,

R= R5(t) . (27)

Infine il blocco S (2¥1) descrive il contributo alle correnti nei condensatori dovuto alla corrente

nell'induttore,

S=- 1

0, (28)

e il blocco - ST (1¥2) descrive il contributo alla tensione sull'induttore dovuto alle tensioni sui

condensatori. Le (24)-(28) si ottengono direttamente dalle prime tre equazioni dell'insieme (23).

Le equazioni di stato del circuito sono

C1dv1

dt= - v1

R4(t)+ v2

R4(t)+ i3,

C2dv2

dt= v1

R4(t)- v2

R4(t),

L3di3dt

= - v1(t) - R5(t)i3(t) + e(t).

Ï

Ì

ÔÔÔ

Ó

ÔÔÔ

(29)

Il sistema di equazioni (29) può essere posto nella forma matriciale (15).

Osservazione: rappresentazione geometrica dell'evoluzione di un circuito dinamico

232

La struttura delle equazioni circuitali (1)-(5) mette chiaramente in luce che i bipoli dinamici e

quelli statici giocano due ruoli diversi nel meccanismo che determina l'evoluzione temporale del

circuito: in particolare le equazioni costitutive dei bipoli statici giocano un ruolo simile a quello

svolto dalle equazioni di Kirchhoff. Infatti, in analogia con la meccanica, la parte algebrica delle

equazioni circuitali può essere considerata come un insieme di vincoli olonomi, in generale

variabili nel tempo, sulle tensioni e le correnti del circuito in esame, mentre le equazioni

differenziali che esprimono le equazioni costitutive degli elementi dinamici ricordano le

equazioni del moto. Per meglio approfondire questo parallelo utilizzeremo una rappresentazione

geometrica.

7.3 Continuità delle variabili di stato di un circuito

Le funzioni hij (t), eh* (t) e jk

* (t) possono essere generalmente continue, cioè, possono avere

delle discontinuità di prima specie 2, (figura 4). Ad esempio nel circuito illustrato in figura 3a le

forme d'onda delle resistenze R4 = R4(t) e R5 = R5(t) dei resistori tempo-varianti e della

tensione del generatore di tensione e=e(t) possono avere delle discontinuità di prima specie.

Utilizzando, ancora, la teoria delle equazioni differenziali ordinarie si ha:

Proprietà 2: continuità delle variabili di stato

Le soluzioni del sistema di equazioni (21) sono continue e l imitate se hij (t),

eh* (t) e jk

* (t), pur essendo generalmente continue, sono funzioni limitate 3.

Questa proprietà, detta proprietà di continuità delle variabili di stato, è molto importante e per

questo merita di essere approfondita. Essa può essere dimostrata attraverso un ragionamento che è

allo stesso tempo semplice e “rigoroso”. Per fare questo abbiamo bisogno di alcuni risultati

intermedi.

Prima di tutto si considerino le seguenti proprietà.

Proprietà 3

(a) Se la forma d'onda della corrente i c = i c(t) in un condensatore lineare tempo-

invariante si mantiene limitata, allora la forma d'onda della tensione vc = vc(t) del

condensatore è continua: per qualsiasi istante √t si ha vc(√t - ) = vc(√t+ ).

(b) Dualmente, se la forma d'onda della tensione vL = vL (t) di un induttore tempo-

invariante si mantiene limitata, allora la corrente i L = i L (t) nell'induttore è una

funzione continua: per qualsiasi istante √t si ha i L (√t - ) = i L (√t+ ).

2 Una discontinuità di prima specie di una funzione reale f(t) è un punto t= √t tale che f(√t+ ) e f(√t - ) esistono

(finiti) e f (√t+ ) π f (√t - ); la differenza f(√t+ ) - f (√t - ) è il salto di discontinuità di f a t= √t . f(t) si dice generalmentecontinua in un intervallo I se e solo se f(t) è continua in I eccetto che in un numero finito di punti in cui hadiscontinuità di prima specie.

3 Una funzione f=f(t) è limitata se esiste una costante positiva M finita tale che f (t) £ M " t.

233

Si dimostrerà soltanto (a) poiché (b) segue per dualità.

Si consideri la relazione caratteristica del condensatore tempo-invariante,

i c = Cdvc

dt. (30)

e si integrino ambo i membri della (30) sull'intervallo (√t - e ,√t + e) , dove e è una parametro

positivo e piccolo a piacere. Si ha

vc(√t + e) = 1C

ic(t )dt + vc(√t -√t -e√t+eÚ e) . (31)

Se la corrente i c = i c(t) è limitata, l'integrale tende a zero per eÆ0, e quindi per ogni

√t si ha vc(√t - ) = vc(√t+ ).

Figura 4 Esempi di funzioni generalmente continue.

Se la tensione del condensatore e la corrente nell'induttore sono continue, allora sia l'energia

elettrica immagazzinata nel condensatore WC(t) = CvC2(t) / 2, che l'energia magnetica

immagazzinata nell'induttore WL (t) = Li L2(t) / 2 sono funzioni continue e la potenza elettrica

assorbita da questi bipoli è limitata.

Osservazione

Le Proprietà 3 non valgono se il condensatore (l'induttore) è tempo-variante e la funzione che

descrive la forma d'onda della capacità (dell'induttanza) è una funzione generalmente continua. In

generale è la carica (il flusso dell'induttore) nel condensatore che è continua se la corrente (la

tensione dell'induttore) è limitata. In corrispondenza di un punto di discontinuità di prima specie

della capacità (del coefficiente di autoinduzione), la tensione del condensatore (la corrente

nell'induttore) è discontinua.

Può mai essere discontinua la tensione del condensatore, pur essendo la capacità costante nel

tempo? Si assuma che la tensione vc = vc(t) abbia all'istante t = √t una discontinuità di prima

specie come mostrato in figura 5a. È sempre possibile riscrivere la funzione vc = vc(t) come

vC(t) = ƒvC(t) + Vu(t - √t), (32)

dove ƒvC(t) è una funzione ovunque continua e derivabile (figura 5b) e u=u(t) è la funzione

gradino unitario (funzione di Heaviside) definita come (figura 6a)

234

u(t) =0 t <0,

non è definita in t =0,1 t >0.

ÏÌÔ

ÓÔ(33)

Figura 5

Figura 6 Funzione gradino unitario (funzione di Heaviside) (a); un approssimante dellafunzione gradino unitario (b); impulso rettangolare (un approssimante dell'impulso diDirac) (c).

Il limite sinistro di u(t) in t=0 è uguale a 0, mentre il limite destro è uguale a 1. In effetti la

funzione gradino unitario non è una funzione derivabile nel senso “classico”, e pertanto, a stretto

rigore, non ha significato sostituire la (33) nell'equazione (30). Tuttavia, è possibile pensare al

gradino unitario come limite della successione ottenuta facendo tendere il parametro D a zero

nella funzione SD(t) , così definita (figura 6b)

SD(t) =0 t£ -D / 2,(2t +D)

2D - D / 2 £ t £ D / 2,

1 D / 2 £ t.

Ï

ÌÔ

ÓÔ

(34)

SD(t) è una funzione “approssimante” il gradino unitario per DÆ0. Utilizzando la (34) è

possibile costruire un approssimante della (32) del tipo:

vcD(t) = ƒvc(t) + XSD(t - √t) per D Æ0. (35)

Sostituendo la (35) nell'equazione (30), si ottiene

VP D(t - √t) = 1C

ic(t) - dƒvC

dt, (36)

235

dove la funzione P D(t) (impulso rettangolare) è definita come (figura 6c)

P D(t) =

1D

-D2

< t < D2

0 t <-D2

e D2

< t

Ï

ÌÔ

ÓÔ

¸

˝Ô

˛Ô

= 1D

u t + D2

ÊË

ˆ¯ - u t - D

2ÊË

ˆ¯

ÈÎÍ

˘˚. (37)

La funzione impulso rettangolare P D(t) è uguale alla derivata della funzione SD(t) ,

P D(t) = ddt

SD(t). (38)

Prima di proseguire con la nostra analisi, ricordiamo brevemente la definizione dell'impulso di

Dirac. Si consideri la successione di funzioni P D(t) quando DÆ0. È evidente che P D(t) gode

delle seguenti proprietà per DÆ0:

- è nulla per qualsiasi t, eccetto che in t=0;

- non ha valore finito in t=0.

- Inoltre il suo integrale definito nell'intervallo (-D ,D) vale uno per ogni valore di D, quindi

limDÆ0

P D-D

+DÚ (t )dt = 1. (39)

La forma d'onda limite limDÆ0

P D(t) è detta impulso unitario o funzione impulsiva di Dirac e

viene indicata con d(t). Più esattamente, una funzione “illimitata” è definito impulso unitario se, e

solo se, essa soddisfa le due seguenti proprietà:

d(t) =non limitata t =0,

0 tπ0;ÏÌÓ

(40)

d(t )dt = 1 per ogni e1 > 0 e -e 1

e2Ú e2 > 0. (41)

L'impulso di Dirac viene indicato con una freccia “in grassetto”, come illustrato in figura 7a,

perché è uguale a zero per t π0 ed è illimitato nell'origine.

Figura 7 Impulso di Dirac applicato in t=0 (a) e impulso di Dirac applicato in t=T (b).

La relazione

d(t-•

t

Ú )dt = u(t), (42)

suggerisce la relazione inversa

236

d(t) = dudt

. (43)

La relazione (43) può essere considerata come il limite per DÆ0 della (38). Nella teoria dei

circuiti si usa considerare adimensionale la funzione gradino unitario; di conseguenza la funzione

impulsiva unitaria ha le dimensioni di [s-1] nel Sistema Internazionale.

Una proprietà notevole dell'impulso di Dirac è la cosiddetta proprietà di campionamento, cioè

per ogni funzione continua j = j (t)vale la proprietà

j (t )d(t - t )dt = j (t)-•

•Ú . (44)

Dopo questo breve intermezzo ritorniamo all'equazione (36). Quando DÆ0, il termine a primo

membro dell'equazione (36) diventa non limitato in un intorno dell'istante t = √t : esso tende a un

impulso di Dirac traslato di √t (la derivata di ƒvC(t) è limitata). Allora, affinché la (36) sia verificata

in ogni istante, deve essere necessariamente o V=0, cioè la tensione ai capi del condensatore deve

essere continua, oppure la corrente nel condensatore deve contenere un impulso di Dirac applicato

di ampiezza opportuna applicato all'istante in cui la tensione è discontinua. (Affinché la tensione

del condensatore abbia una discontinuità di prima specie non basta che la corrente sia illimitata; si

potrebbe avere una corrente non limitata e una tensione continua).

Se la corrente nel condensatore è impulsiva (ad esempio, il condensatore è alimentato tramite

un generatore di corrente impulsivo)

ic(t) = Qd(t - √t), (45)

(la funzione d(t) ha le dimensioni di s-1 e quindi l'ampiezza Q dell'impulso deve essere

dimensionalmente omogenea con una carica elettrica), la tensione del condensatore è data da

vc(t) = vc(√t - ) + QC

d(t - √t)d√t -

√t+

Ú t , (46)

quindi vale

vc(t) = vc(√t - ) + QC

u(t - √t), (47)

dove Q rappresenta la carica “fornita” dal generatore impulsivo di corrente al condensatore

nell'intervallo infinitesimo centrato in √t . In questo caso l'energia immagazzinata nel condensatore

ha un salto di discontinuità e quindi il condensatore assorbe una potenza, che è anch'essa

impulsiva (i generatori impulsivi possono erogare e gli interruttori possono assorbire potenze

elettriche non limitate).

Per l'induttore vale il duale. Se la tensione sull'induttore è

vL (t) = Fd(t - √t), (48)

237

(in questo caso l'ampiezza dell'impulso deve essere dimensionalmente omogenea con un flusso

magnetico), la corrente nell'induttore è data da

iL(t) = i

L(√t - ) + F

Ld(t - √t)d

√t -

√t+

Ú t , (49)

e quindi vale

iL(t) = i

L(√t - ) + F

Lu(t - √t), (50)

dove F rappresenta il flusso “fornito” dal generatore impulsivo di tensione all'induttore

nell'intervallo infinitesimo centrato in √t . In questo caso l'energia immagazzinata nell'induttore ha

un salto di discontinuità e quindi l'induttore assorbe una potenza, che è anch'essa impulsiva.

Possiamo riassumere questi risultati nel modo seguente.

Proprietà 4

(a) La tensione del condensatore è generalmente continua se la corrente che in esso

circola contiene impulsi di Dirac; in particolare un impulso unitario di corrente

(positivo) dà un incremento di tensione pari a 1/C.

(b) Dualmente, la corrente nell'induttore è generalmente continua se la tensione a esso

applicata contiene impulsi di Dirac; in particolare un impulso unitario di tensione

(positivo) dà un incremento di corrente pari a 1/L.

Per sapere, ora, sotto quali condizioni le grandezze di stato sono continue, bisogna dare risposta

alle seguenti domande:

- Quando in un circuito le correnti nei condensatori e le tensioni sugli induttori sono limitate?

- E quando, invece, contengono impulsi di Dirac?

Dalle equazioni (11) e (12) segue immediatamente che, se le funzioni hij (t), eh* (t) e jk

* (t) e le

grandezze di stato sono limitate, allora le correnti nei condensatori e le tensioni degli induttori

sono anche esse limitate (le hij (t), eh* (t) e jk

* (t) possono essere generalmente continue). Ad

esempio, nel circuito illustrato in figura 3a, se la forma d'onda della conduttanza 1 / R4(t) e della

resistenza R5(t) dei resistori tempo-varianti e della tensione del generatore di tensione e=e(t)

sono limitate, (possono presentare delle discontinuità di prima specie), allora le correnti nei

condensatori e la tensione dell'induttore sono anche esse limitate, purché lo siano le grandezze di

stato. Si è supposto, nel ragionamento che abbiamo sviluppato, che le grandezze di stato siano

limitate, cioè, ad esempio, che non contengano esse stesse impulsi di Dirac. Questa ipotesi non è

affatto limitativa. Affinché le grandezze di stato contengano degli impulsi di Dirac, le correnti nei

condensatori e le tensioni degli induttori dovrebbero contenere derivate dell'impulso di Dirac 4 (le

correnti nei condensatori e le tensioni degli induttori devono contenere termini più “irregolari”

4 La derivata dell'impulso di Dirac è una funzione (nel senso della teoria delle distribuzioni) che viene indicata

con d(1) = d(1)(t) . Essa vale zero per t π0, non è limitata in t=0 e d(1) (t )dt=-•

tÚ d(t) .

238

degli stessi impulsi di Dirac) e quindi, a maggior ragione, le funzioni hij (t), eh* (t) e jk

* (t) devono

essere non limitate.Si dimostra che le funzioni hij (t) sono limitate se non ci sono maglie costituite da soli

condensatori, generatori di tensione e interruttori che si chiudono e insiemi di taglio costituiti da

soli induttori, generatori di corrente e interruttori che si aprono. Le funzioni eh* (t) e jk

* (t) sono

limitate se le tensioni dei generatori di tensione e le correnti dei generatori di corrente sono

limitate (generatori limitati). Nell'esempio riportato in figura 3a, R4 = R4(t) deve essere sempre

maggiore di zero (non deve mai diventare un corto circuito), R5 = R5(t) deve essere limitata

(non deve mai diventare un circuito aperto) e e=e(t) non deve contenere impulsi di Dirac.

Le correnti nei condensatori e le tensioni negli induttori possono contenere impulsi di Dirac se:

(a) i generatori del circuito dinamico contengono impulsi di Dirac (nel circuito ci sono

generatori impulsivi);

(b) ci sono interruttori che si chiudono in parallelo ai condensatori e interruttori che si aprono

in serie a induttori e più in generale maglie costituite da soli condensatori, generatori di

tensione e interruttori che si chiudono e insiemi di taglio costituiti da soli induttori,

generatori di corrente ideali e interruttori che si aprono. Ad esempio, nell'istante in cui un

interruttore in serie a un induttore si apre, la corrente nell'induttore è forzata a annullarsi

istantaneamente, e quindi nasce una tensione impulsiva sia sull'induttore che

sull'interruttore; dualmente per il condensatore.

Ricapitolando, le proprietà delle grandezze di stato in un circuito con condensatori e induttori

lineari e tempo-invarianti sono:

(i) Per qualsiasi istante t0 , lo stato in t0 e gli andamenti delle tensioni dei generatori di

tensione e delle correnti dei generatori di corrente (supposti noti dall'istante t0 in poi)

determinano univocamente lo stato per ogni t > t0, attraverso le equazioni di stato.

(ii) Lo stato all'istante t, e le tensioni dei generatori di tensione e le correnti dei generatori di

corrente, determinano univocamente il valore all'istante t di ogni variabile del circuito

attraverso un legame di tipo algebrico.

(iii) In un circuito dinamico con induttori e condensatori tempo-invarianti le grandezze di stato

sono funzioni continue se: (a) i generatori sono limitati; (b) non ci sono maglie costituite

da soli condensatori, generatori di tensione e interruttori che si chiudono e insiemi di taglio

costituiti da soli induttori, generatori di corrente e interruttori che si aprono.

Osservazioni

Non è necessario scegliere come variabili di stato le correnti negli induttori e le tensioni dei

condensatori; si potrebbero anche scegliere i flussi degli induttori e le cariche dei condensatori. In

effetti, per il caso di induttori e condensatori non lineari e/o tempo-varianti, procedere in questo

modo presenta il vantaggio che continua a essere valida la proprietà di continuità

239

(precedentemente è stato messo in evidenza che sono, rispettivamente, le cariche e i flussi che sono

sempre continui, se le correnti nei condensatori e le tensioni degli induttori sono limitate).

Anche altre grandezze circuitali potrebbero essere utilizzate per ridurre le equazioni circuitali,

ad esempio, le correnti nei condensatori, le tensioni degli induttori e le tensioni dei resistori. Per

esse sarebbero ancora verificate le proprietà (i) e (ii) appena enunciate. Invece la proprietà di

continuità non sarebbe verificata, in generale. Infatti se le forme d'onda dei generatori e delle

resistenze dei resistori tempo-varianti sono generalmente continue, le correnti nei condensatori, le

tensioni degli induttori e le tensioni dei resistori possono essere discontinue. Questa è la ragione

fondamentale della scelta fatta per le variabili di stato. Come poi vedremo, la proprietà di

continuità dello stato è molto utile nello studio dei circuiti dinamici tempo-varianti.

Tutti i risultati che abbiamo ottenuto valgono anche quando il circuito contiene anche altri

elementi lineari (come, ad esempio, amplificatori operazionali, giratori, trasformatori ideali,

generatori controllati, induttori accoppiati).

7.4 Circuiti del primo ordine

I circuiti costituiti da un solo condensatore (o da un solo induttore) e da elementi statici

(resistori, trasformatori ideali, amplificatori operazionali, generatori controllati, generatori

indipendenti, etc) sono circuiti del pri mo ordine. Per determinare l'equazione di stato di un

circuito siffatto, può essere conveniente rappresentarlo come illustrato in figura 8, dove con il

bipolo NS è rappresentata la parte del circuito costituita da soli elementi statici lineari e generatori

indipendenti.

7.4.1 Circuito RC del primo ordine: equazione di stato

Applicando il teorema di Norton al bipolo statico lineare NS e usando l'equazione caratteristica

del condensatore, si ottiene :

Cdvdt

= i, (51)

i = - Geqv + j* (t), (52)

dove Geq è la conduttanza equivalente del bipolo statico quando i generatori al suo interno sono

stati spenti e j* = j* (t) è la corrente di corto circuito (si sta assumendo che il bipolo NS è

controllabile in tensione). La corrente di corto circuito dipende dalle forme d'onda dei generatori

indipendenti presenti all'interno del circuito: per la linearità j* = j* (t) è una combinazione lineare

delle tensioni dei generatori di tensione e delle correnti dei generatori di corrente indipendenti. Le

equazioni (51) e (52) sono le equazioni del circuito equivalente RC illustrato in figura 9a.

240

Figura 8 Circuito RC del primo ordine lineare (a) e circuito RL del primo ordine lineare (b).

Figura 9 Circuito equivalente del circuito di figura 8a (a) e del circuito di figura 8b (b).

L'equazione caratteristica del condensatore (51), impone tra la tensione v e la corrente i una

relazione di tipo dinamico, invece l'equazione caratteristica del bipolo NS (52) impone una

relazione di tipo algebrico, (sul bipolo NS è stata fatta la convenzione del generatore). Dunque il

bipolo statico impone attraverso la (52) che la corrente nel condensatore all'istante generico √t

dipenda solo dai valori che la tensione v e la corrente di corto circuito j* assumono in

quell'istante. Combinando le equazioni (51) e (52), si ottiene

dvdt

+Geq(t)

Cv = j* (t)

C. (53)

La (53) è l'equazione di stato per il generico circuito RC del primo ordine. Assegnata un'arbitraria

condizione iniziale

v(t = t0) = V , (54)

esiste una ed una sola soluzione che verifica l'equazione (53) e la condizione iniziale (54). Una

volta determinata la tensione v, è possibile determinare le altre variabili del circuito risolvendo il

circuito resistivo associato ottenuto sostituendo il condensatore con un generatore di tensione

ideale con tensione v=v(t).

Per il circuito RC la corrente di corto circuito j* (t) è limitata se le tensioni dei generatori di

tensione e le correnti dei generatori di corrente sono limitate e se non ci sono generatori ditensione in parallelo al condensatore. La conduttanza equivalente Geq(t) si mantiene limitata se

in parallelo al condensatore non c'è né un interruttore che si chiude, né un generatore di tensione.

In queste condizioni la tensione del condensatore è una funzione continua del tempo, pur potendo

essere la conduttanza equivalente Geq(t) e la corrente di corto circuito j* (t) funzioni

generalmente continue (ma limitate).

241

Anche se abbiamo già discusso abbondantemente la proprietà della continuità delle grandezze

di stato, è utile rivederla quando i circuiti sono particolarmente semplici, per capirne meglio il

significato. A tale scopo ne viene proposta un'altra dimostrazione, che si basa su un ragionamento

per assurdo.

Si assuma che la tensione del condensatore sia limitata, ma possa essere discontinua all'istante √t .

È possibile, allora, rappresentarla come

v(t) = ƒv(t) + Vu(t - √t) , (55)

dove ƒv(t) è una funzione limitata e derivabile e V è il salto di discontinuità. Sostituendo la (55)

nella (53), si ottiene

Vd(t - √t) = - dƒvdt

-Geq(t)

C[ ƒv + Vu(t - √t)] + j* (t)

C. (56)

Se Geq(t) ej* (t) sono limitate nell'intorno dell'istante √t , l'equazione (56) può essere verificata se

e solo se il salto di discontinuità V è uguale a zero. In questo caso la corrente nel condensatore si

mantiene limitata.

Esempio

Si consideri il circuito del primo ordine rappresentato in figura 10a e si scriva l'equazione di

stato per la tensione del condensatore v, utilizzando il teorema di Norton. In figura 10b è

rappresentato il circuito equivalente di Norton. Bisogna determinare la corrente di corto circuito

j* = j* (t) (figura 11b), e la conduttanza equivalente (figura 11c), Geq del bipolo statico NS.

La corrente di corto circuito e la conduttanza equivalente valgono

Geq = 316

, j* (t) = E8

+ j(t). (57)

L'equazione di stato è

dvdt

+ 3◊106

16v =106 ◊ E

8+ I sin(wt)È

ÎÍ˘˚. (58)

Essa deve essere risolta con la condizione iniziale v(0)=V0. Una volta che è stata determinata la

tensione v=v(t) per t>0, per determinare tutte le altre grandezze del circuito bisogna risolvere il

circuito resistivo associato illustrato in figura 11a.

242

Figura 10 Circuito dinamico in esame (a) e circuito equivalente di Norton (b).

Figura 11 Circuito resistivo associato del circuito dinamico illustrato in figura 10a (a) ecaratterizzazione i-v del bipolo NS tramite il teorema di Norton (b) e (c).

Esempio

Si consideri il circuito del primo ordine rappresentato in figura 12a e si scriva l'equazione di

stato per la tensione del condensatore v utilizzando il teorema di Norton. L'interruttore si apre

all'istante t=0. Il grafico dell'andamento temporale della corrente di corto circuito j* = j* (t) è

rappresentato in figura 12b, e il grafico dell'andamento temporale della conduttanza equivalenteGeq è rappresentato in figura 12c.

Figura 12 Circuito dinamico tempo-variante (l'interruttore si apre all'istante t=0).

7.4.2 Circuito RL del primo ordine: equazioni di stato

243

Applicando il teorema di Thévenin al bipolo statico lineare NS (figura 8b) e usando l'equazione

caratteristica dell'induttore, si ottiene:

Ldidt

= v, (59)

v = - Reqi + e* (t) , (60)

dove Req è la resistenza equivalente del bipolo statico quando i generatori al suo interno sono

stati spenti e e* = e* (t) è la tensione a vuoto (si sta assumendo che sia possibile caratterizzare il

bipolo NS su base corrente). Le (59) e (60) sono le equazioni del circuito equivalente RL illustrato

in figura 9b.

L'equazione caratteristica dell'induttore (59) impone tra la tensione v(t) e la corrente i(t) una

relazione di tipo dinamico, invece l'equazione caratteristica del bipolo statico NS (60) impone una

relazione di tipo statico. Dunque il bipolo statico impone attraverso la (60) che la tensione

dell'induttore all'istante generico √t dipenda solo dai valori che la corrente i e la tensione a vuoto

e* assumono in quell'istante. Combinando le equazioni (59) e (60), si ottiene

didt

+Req(t)

Li = e* (t)

L. (61)

La (61) è l'equazione di stato per il circuito RL. Assegnata un'arbitraria condizione iniziale

i(t = t0) = I , (62)

si deve determinare la soluzione dell'equazione (61) che verifica la condizione (62). Essa esiste ed

è unica. Una volta determinata tale soluzione, è possibile determinare le altre variabili del circuito

risolvendo il circuito resistivo associato, ottenuto sostituendo all'induttore un generatore di

corrente con corrente i=i(t).Nel circuito RL la resistenza equivalente Req(t) si mantiene limitata se non c'è in serie

all'induttore un interruttore che si apre in un istante assegnato. La tensione a vuoto e* (t) è limitata

se le tensioni dei generatori di tensione e le correnti dei generatori di corrente sono limitate. In

queste condizioni la corrente nell'induttore è una funzione continua del tempo, anche quando la

resistenza equivalente e la tensione a vuoto sono generalmente continue (il lettore provi ad

applicare il ragionamento sviluppato per il circuito RC per dimostrare la continuità della corrente

nell'induttore). Si osservi, anche, che in questi casi la tensione dell'induttore si mantiene limitata .

7.4.3 Circuiti del primo ordine tempo-invarianti

In questo paragrafo vengono discussi e risolti i due circuiti equivalenti rappresentati in figura 9,

quando la conduttanza e la resistenza equivalenti sono costanti nel tempo. Le equazioni di stato

(53) e (61) sono del tipo

dxdt

+ ax = b(t) . (63)

244

La (63) è una equazione differenziale ordinaria, del primo ordine, lineare, a coefficienti costanti

e non omogenea. Essa ha infinite soluzioni. Per determinare quella che si realizza nel circuito in

esame, bisogna imporre la condizione iniziale

x(t0) = X0. (64)

La soluzione generale dell'equazione (63) (la soluzione generale, per definizione, contiene tutte

le possibili soluzioni dell'equazione) è uguale alla somma della soluzione generale xo = xo(t)

dell'equazione omogenea associata, (cioè l'equazione che si ottiene ponendo b(t)=0 nella (63)),

dxo

dt+ axo = 0 , (65)

e di una soluzione particolare xp(t) dell'equazione completa (63),

x(t) = xo(t) + xp(t) . (66)

La soluzione generale dell'equazione (65) è

xo(t) = A exp l (t - t0)[ ] , (67)

dove A è una costante arbitraria e l è la soluzione dell'equazione caratteristica

l + a = 0 (68)

associata all'equazione differenziale omogenea (65). L'equazione algebrica (65) è ottenuta

costruendo il polinomio caratteristico

p(l ) = l + a , (69)

associato alla (65) e poi imponendo che sia uguale a zero. In questo caso il polinomio p(l ) è

costituito dalla somma di due monomi in l : al termine della (65) in cui compare la derivata prima

corrisponde il monomio in l di grado uno, con lo stesso coefficiente della derivata prima, cioè 1, e

al termine senza derivate corrisponde il monomio di grado zero, con lo stesso coefficiente che

moltiplica la funzione incognita, cioè a. Un circuito del primo ordine è descritto da una

equazione di stato del primo ordine e quindi il polinomio caratteristico corrispondente è di primo

grado. Le radici del polinomio caratteristico prendono il nome di frequenze naturali del circuito:

un circuito del primo ordine ha una sola frequenza naturale.

Allora l'integrale generale dell'equazione (63) è

x(t) = A exp - (t - t0) / t[ ] + xp(t), (70)

dove la costante di tempo t=1/l e vale

t = C / Geq = ReqC (71)

per il circuito RC e

245

t = L / Req = GeqL (72)

per il circuito RL.

La costante di integrazione A deve essere determinata imponendo la condizione iniziale (64).

Così facendo si ottiene

A = X0 - xp(t0), (73)

quindi la soluzione è

x(t) = [X 0 - xp(t0)]exp - (t - t0) / t[ ] + xp(t). (74)

La funzione che descrive la soluzione particolare dipende dalla forma della funzione b=b(t) e

quindi dalla forma d'onda dei generatori indipendenti.

7.4.4 Evoluzione libera ed evoluzione forzata

Nella (74) c'è un termine dipendente unicamente dalla condizione iniziale (indipendente

dall'integrale particolare e quindi dai generatori) e due termini dipendenti solo dall'integrale

particolare e quindi dai generatori (indipendenti dalla condizione iniziale).

Il termine dipendente unicamente dalla condizione iniziale prende il nome di termine di

evoluzione libera del circuito e il termine dipendente unicamente dai generatori prende il nome

di termine di evoluzione forzata del circuito.

x(t) = X0 exp - (t - t0) / t[ ] + {- xp(t0)exp - (t - t0) / t[ ] + xp(t)}

termine di termine di

evoluzione libera evoluzione forzata

Per la linearità del circuito è sempre possibile decomporre qualsiasi soluzione in un termine di

evoluzione libera e in uno di evoluzione forzata.

Il termine di evoluzione libera è la soluzione che si avrebbe se tutti i generatori fossero spenti;

esso rappresenta il contributo dovuto al valore iniziale dello stato. Si dice che un circuito è in

evoluzione libera se i generatori indipendenti che contiene sono tutti spenti (o se ne è privo). Nel

circuito RC (nel circuito RL) con tensione iniziale V (con corrente iniziale I), un'energia uguale a

CV2 / 2 (uguale a LI 2 / 2) è immagazzinata nel condensatore (nell'induttore). È questa l'energia

che viene messa in gioco nell'evoluzione libera.

Il termine di evoluzione forzata è la soluzione che si avrebbe se il valore dello stato iniziale del

circuito fosse uguale a zero (V=0 nel circuito RC e I=0 nel circuito RL). Si dice che un circuito è

in evoluzione forzata se le grandezze di stato del circuito all'istante iniziale sono tutte nulle. È

evidente che in questo caso c'è bisogno di generatori indipendenti per sollecitare il circuito.

7.4.5 Circuito dissipativo; termine transitorio e regime permanente

246

Siccome le frequenze naturali di un circuito non dipendono dai generatori indipendenti, ma

solo dagli elementi lineari presenti in esso, tutte le loro proprietà possono essere messe in evidenza

considerando il circuito in evoluzione libera.

La frequenza naturale di un circuito del primo ordine è una grandezza reale e può essere, come

vedremo, positiva, uguale a zero o negativa.

Quando la frequenza naturale è negativa, la costante di tempo è positiva, e lo stato del circuito in

evoluzione libera tende a zero con legge esponenziale per tÆ+• . Se la frequenza naturale è zero,

l'evoluzione libera è una costante uguale al valore iniziale della grandezza di stato. L'evoluzione

libera diverge esponenzialmente se la frequenza naturale è maggiore di zero (costante di tempo

negativa).

Da queste considerazioni risulta evidente che il segno della frequenza naturale caratterizza

fortemente la dinamica di un circuito. Sarebbe interessante poterne prevedere il segno senza dover

risolvere il circuito. Analizziamo un attimo questa questione.

Consideriamo un circuito RC del primo ordine (considerazioni analoghe possono essere svolte

per il circuito RL). Siccome la capacità del condensatore è positiva (stiamo evidentemente

considerando un condensatore passivo), la frequenza naturale è minore di zero quando laconduttanza equivalente è positiva, Geq > 0, ed è maggiore di zero quando Geq < 0; la frequenza

naturale è nulla quando Geq = 0. Allora, quando Geq > 0 la tensione del condensatore decresce

nel tempo, quando Geq = 0 la tensione resta costante, invece quando Geq < 0 la tensione del

condensatore cresce nel tempo. Queste proprietà possono essere dedotte anche a partire dal

bilancio energetico per il circuito in evoluzione libera

12

Cv2(t) = - Geq v2(t )dtt0

t

Ú + 12

Cv2(t0), (75)

che, nel caso del circuito RL diventa

12

Li 2(t) = - Req i2(t )dtt0

t

Ú + 12

Li 2(t0). (76)

In entrambe le equazioni il termine integrale rappresenta la potenza assorbita dalla parte statica

del circuito. Quando il circuito RC è costituito da soli elementi strettamente passivi, la potenza

assorbita dalla parte statica del circuito è strettamente maggiore di zero e quindi anche la

conduttanza equivalente “vista” dal condensatore (nei circuiti RL la resistenza equivalente vista

dall'induttore) è strettamente maggiore di zero. In un circuito siffatto l'energia immagazzinata

inizialmente nel condensatore (nell'induttore) viene completamente dissipata dagli elementi statici

durante l'evoluzione libera.

La potenza assorbita dalla parte statica e quindi la conduttanza equivalente vista dal

condensatore nel circuito RC (dall'induttore nel circuito RL) può essere nulla quando gli elementi

statici non sono tutti strettamente passivi. Ciò accade, ad esempio, quando il condensatore è

collegato in serie a un circuito aperto (l'induttore è collegato in parallelo a un corto circuito). Il

circuito aperto e il corto circuito sono elementi passivi ma non strettamente passivi. In questo caso

247

l'energia immagazzinata negli elementi dinamici si conserva. Il circuito aperto in serie al

condensatore e il corto circuito in parallelo all'induttore possono essere, rispettivamente, un

generatore di corrente indipendente spento e un generatore di tensione indipendente spento

(ricordiamoci che stiamo analizzando l'evoluzione libera del circuito, quindi i generatori

indipendenti sono tutti spenti).

Infine, la potenza assorbita dalla parte statica e quindi la conduttanza equivalente (la resistenza

equivalente nel circuito RL) può essere minore di zero se il circuito in evoluzione libera contiene

elementi attivi (come, ad esempio, amplificatori operazionali, generatori controllati, resistori con

resistenza negativa). Quando ciò accade l'energia immagazzinata nel condensatore (nell'induttore)

cresce indefinitamente nel tempo.

Dunque l'evoluzione libera di un circuito del primo ordine passivo o tende a zero o al più si

mantiene costante per tÆ+•, e quindi tutte le grandezze circuitali si mantengono limitate nel

tempo.

A questo punto possiamo introdurre il concetto di circuito dissipativo. Un circuito si dice

dissipativo se nell'evoluzione libera l'energia immagazzinata nell'elemento dinamico tende

asintoticamente a zero per tÆ• . È evidente che un circuito del primo ordine è dissipativo se e solo

se la frequenza naturale è strettamente minore di zero (cioè la costante di tempo è strettamente

maggiore di zero). In un circuito dissipativo in evoluzione libera l'energia immagazzinata

all'istante iniziale viene completamente assorbita dai resistori, e quindi dissipata in energia termica.

Si osservi che un circuito di soli elementi passivi potrebbe non essere dissipativo. Ciò è quanto si

verifica quando in serie al condensatore c'è un circuito aperto e in parallelo all'induttore un corto

circuito (il generatore indipendente di corrente si comporta da circuito aperto e il generatore

indipendente di tensione si comporta da corto circuito quando vengono spenti). In questi casi la

tensione del condensatore e la corrente nell'induttore si mantengono costanti nell'evoluzione

libera. Circuiti di questo tipo vengono detti conservativi.

Si consideri ora un circuito in evoluzione generica, si supponga che esso sia dissipativo e si

faccia tendere l'istante iniziale t0 a -• (è come se il circuito iniziasse a funzionare all'istante

“remoto” t= -•) . La grandezza di stato in un generico istante vale

limt0 Æ-•

x(t) = limt0 Æ-•

{[X 0 - xp(t0)]exp - (t - t0) / t[ ]} + xp(t) = xp(t). (77)

La dinamica dello stato per t finito non dipende dalla particolare condizione iniziale (si è persa

ogni traccia di essa), ma dipende unicamente dalla soluzione particolare e quindi dalla forma

d'onda delle tensioni imposte dai generatori di tensione e delle correnti imposte dai generatori di

corrente. In questi casi si dice che il funzionamento del circuito è in regime permanente e alla

soluzione particolare si dà il nome di soluzione di regime permanente o semplicemente regime.

Si consideri ora il caso in cui l'istante iniziale t0 sia al finito. Il termine esponenziale tende

asintoticamente a zero per tÆ+• , indipendentemente dal valore che lo stato e l'integrale

particolare assumono all'istante iniziale t0. A questo termine si dà il nome di termine transitorio.

248

l = -t < 0

termine transitorio: xtran ∫ [X0 - xp(t0)]exp - (t - t0) / t[ ]termine di regime: xreg(t) ∫ lim

t0 Æ-•x(t) = xp(t)

Il termine transitorio può essere tracciato graficamente (figura 13) sfruttando le seguenti

osservazioni:

- la tangente in t=t0 alla curva, che rappresenta xtran(t), passa per i punti [t0,X0 - xp(t0)] e

[t 0 + t ,0];

- dopo un intervallo di tempo pari alla costante di tempo t , l'ampiezza (in valore assoluto) del

termine transitorio è circa il 37% del valore iniziale X0 - xp(t0) ;

- dopo un intervallo pari a cinque costanti di tempo, xtran(t) è praticamente uguale a zero

( e- 5 @0,007). In pratica si può assumere che il funzionamento di regime si instaura dopo

un intervallo di tempo pari all'incirca a cinque costanti di tempo.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

t

x tra

n(t)

Figura 13 (L'istante iniziale è t0=0 e t =0.5)

Quando la frequenza naturale del circuito è uguale a zero, il “termine transitorio” non si

estingue ma si mantiene costante nel tempo. In questo caso il comportamento asintotico del

circuito (a ogni t finito per t0 Æ -• o per t Æ +• a partire da un istante iniziale finito) dipende

anche dalla condizione iniziale e quindi non c'è più un funzionamento di regime. Un circuito di

questo tipo è detto conservativo. Quando la frequenza naturale del circuito è maggiore di zero, il

“termine transitorio” addirittura diverge con legge esponenziale per t Æ +• ed è, quindi, quello

predominante (come poi vedremo in quasi tutti i casi la soluzione particolare è limitata se le

correnti imposte dai generatori di corrente indipendenti e le tensioni imposte dai generatori di

tensione indipendenti sono limitate).

In conclusione il funzionamento di regime può essere realizzato se e solo se il circuito è

dissipativo (non basta la sola passività; in realtà, la condizione di passività oltre a essere non

sufficiente, non è nemmeno necessaria).

Proprietà 5

249

L'evoluzione di un circuito RC (o RL) del primo ordine dissipat ivo tende

asintoticamente alla soluzione di regime indipendentemente dal valore iniziale della

grandezza di stato.

7.4.6 Regime stazionario e regime sinusoidale

Il termine di regime dipende, oltre che dai parametri caratteristici del circuito, anche dalla

forma d'onda dei generatori. Per ora verranno discussi due casi di notevole interesse: circuiti con

generatori costanti (o stazionari) e circuiti con generatori sinusoidali.

- Regime stazionario

Si consideri un circuito RL o RC del primo ordine con soli generatori stazionari (cioè

costanti nel tempo)

ek (t) = Ek ,

jk (t) = Jk .(78)

In questo caso anche la tensione a vuoto e* (t) e la corrente di corto circuito j* (t) sono funzioni

costanti,

e* (t) = E* ,

j* (t) = J* ,(79)

e quindi anche il termine noto dell'equazione (63) è una funzione costante, b(t)=B. Allora un

integrale particolare dell'equazione (63) è la funzione costante

xp(t) = X . (80)

Imponendo che la (80) verifichi la (63), si ottiene

xp(t) = X = B / a . (81)

Proprietà 6: regime stazionario

Quando i generatori sono stazionari, il regime di funzionamento che si instaura nel

circuito è anche esso stazionario, se il circuito è dissipativo.

In figura 13 viene riportato l'andamento dello stato per due condizioni iniziali diverse

quando i generatori sono costanti. Per t>15 la soluzione in entrambi i casi ha raggiunto,

praticamente, il regime stazionario.

250

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

0 5 10 15 20

t

x(t

)

Figura 13 Per t>15 entrambe le soluzioni, relative a due condizioni iniziali diverse, raggiungonoil valore di regime.

Osservazione

La soluzione di un circuito RC (o RL) in regime stazionario può essere ottenuta anche per

ispezione diretta. Quando il circuito funziona in regime stazionario, la tensione dell'induttore e la

corrente nel condensatore sono costanti, quindi il condensatore si comporta come se fosse un

circuito aperto e l'induttore come se fosse un corto circuito. Pertanto per calcolare la soluzione

stazionaria di un circuito dinamico, si può risolvere il circuito resistivo ottenuto considerando al

posto del condensatore un circuito aperto e al posto dell'induttore un corto circuito.

- Regime sinusoidale

Si consideri un circuito RL o RC del primo ordine con soli generatori sinusoidali

isofrequenziali (le frequenze, e quindi le pulsazioni, dei generatori sinusoidali sono uguali):

ek (t) = Ek cos(wt + j k ),

jk (t) = Jk cos(wt + f k ).(82)

Una funzione sinusoidale è definita attraverso tre parametri: la frequenza o pulsazione,

l'ampiezza massima e la fase. La pulsazione w è legata alla frequenza f attraverso la relazione

w = 2p f . (83)

Nel Sistema Internazionale l'unità di misura della frequenza è l'hertz (Hz): 1Hz=1s-1; la

pulsazione si misura in rad/s: 1rad/s=(2p)Hz. La funzione sinusoidale è una funzione periodica

con periodo T (ek (t) = ek (t + T), jk (t) = jk (t + T) per ogni t), dato da

T = 1f

= 2pw

. (84)

Ek e Jk sono le ampiezze massime delle funzioni sinusoidali (82) e sono grandezze definite

positive; j k e f h sono le cosiddette fasi (i valori che assumono gli argomenti delle funzioni

coseno all'istante t=0). I valori degli argomenti delle funzioni sen(◊) e cos(◊) sono numeri “puri”;

251

Ek e Jk, invece, sono omogenei dimensionalmente con una tensione e una corrente,

rispettivamente.

Nel caso in esame, anche la tensione a vuoto e* (t) e la corrente di corto circuito j* (t) sono

funzioni sinusoidali con pulsazione w (esse sono combinazioni lineari delle tensioni dei generatori

di tensione e delle correnti dei generatori di corrente indipendenti),

e* (t) = E* cos(wt + j * ),

j* (t) = J* cos(wt + f * ),(85)

e quindi il termine noto b(t) dell'equazione (63) è anche esso una funzione sinusoidale,

b(t) = Bcos(wt + g) . (86)

In questo caso un integrale particolare della (63) è una funzione sinusoidale con la stessa

pulsazione del termine noto,

xp(t) = X cos(wt + y ). (87)

L'ampiezza X e la fase iniziale y devono essere determinate imponendo che la (87) verifichi la

(63). Sostituendo la (87) nella (63) si ottiene l'equazione trigonometrica:

-w X sin(wt + y ) + aX cos(wt + y ) = Bcos(wt + g) . (88)

Per determinare X e a basta imporre che l'equazione trigonometrica sia verificata in due istanti di

tempo che non differiscano di un multiplo intero del periodo T. Conviene imporre la (88) per

wt + y = 0, (89)

e per

wt + y = p / 2. (90)

Così facendo si ottiene il sistema di equazioni

aX = Bcos(y - g ), (91)

-w X = Bcos(g - y + p / 2) = Bsin(g - y ). (92)

Dalle (91) e (92) si ha immediatamente (a=1/t )

X = B

w2 +1 / t 2,

a = g - arctg(wt ).

(93)

Proprietà 7: regime sinusoidale

Quando i generatori sono sinusoidali e isofrequenziali, il regime di funzionamento

che si instaura nel circuito è anche esso sinusoidale con la stessa pulsazione dei

generatori, se il circuito è dissipativo.

252

In figura 14 viene riportato l'andamento dello stato per due condizioni iniziali diverse quando i

generatori sono sinusoidali e isofrequenziali. Per t>5 entrambe le soluzioni raggiungono,

praticamente, il regime sinusoidale che si instaura nel circuito.

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

0 5 10 15 20

x(t)

t

Figura 14 Per t>10 entrambe le soluzioni, relative a due condizioni iniziali diverse, hannopraticamente raggiunto il funzionamento di regime.

Osservazione

Se nel circuito vi fossero generatori costanti e generatori sinusoidali con diverse pulsazioni,

l'integrale particolare potrebbe essere determinato utilizzando la sovrapposizione degli effetti

(l'equazione differenziale (63) è lineare): la soluzione particolare è la somma delle soluzioni

particolari che si avrebbero se ciascun generatore agisse da solo, essendo tutti gli altri “spenti”.

Esempio

Si consideri il circuito rappresentato in figura 10. Si determini la tensione sul condensatore

quando v(0)=- 1V, E=3V, I=0.1A e w=105 rad/s. Il circuito è descritto dall'equazione di stato

dvdt

+ 3◊106

16v =106 ◊ 3 / 8+ 0.1sin(105t)[ ] . (94)

L'integrale generale dell'equazione (94) è:

v(t) = A exp - t / t( ) + vp(t), (95)

dove [email protected] (1ms=10-6s) e vp(t) è un integrale particolare; la costante A deve essere

determinata imponendo la condizione iniziale v(0)=- 1.

L'integrale particolare della (94) può essere ottenuto applicando la sovrapposizione degli effetti.

Così facendo si ottiene

vp(t) @2.0+ 0.9cos(105t - 2.1). (96)

Il primo termine è l'integrale particolare quando agisce solo il generatore di tensione stazionario e

il secondo termine è l'integrale particolare quando agisce solo il generatore di corrente

sinusoidale.

253

Sostituendo la (96) nella (95) e imponendo la condizione iniziale, si ottiene A=- 2.5 e quindi la

soluzione del problema è

v(t) @ -2.5exp - t / t( ) + [ 2.0 + 0.9cos(105t - 2.1)] . (97)

In questo caso si ha un regime periodico, costituito dalla sovrapposizione di un termine costante e

di uno sinusoidale con periodo [email protected] (figura 15).

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0 5 10 15 20

t [ms]

v(t)

[V

]

Figura 15

Esempio

Si consideri il circuito descritto in figura 12. Esso, pur essendo tempo variante, può essere

analizzato usando le tecniche appena descritte. Ciò è possibile perché nell'intervallo (-•,0) (prima

dell'apertura dell'interruttore) e nell'intervallo (0,+•) (dopo l'apertura dell'interruttore), il circuito

è tempo-invariante. La conduttanza equivalente del bipolo statico vale

Geq(t) =

38R

t <0,

1

3R t >0,

Ï

ÌÔ

ÓÔ

(98)

e la corrente di corto circuito è data da

j* (t) =

E4R

t <0,

E3R

t >0.

Ï

ÌÔÔ

ÓÔÔ

(99)

L'equazione di stato è per t Œ(-• ,• )

dvdt

+Geq(t)

Cv = - j* (t)

C. (100)

254

Per t<0 il circuito è tempo-invariante ed è alimentato con un generatore stazionario e l'equazione

di stato è

dvdt

+ 38RC

v = E4RC

(t <0). (101)

Per t<0 il circuito è in regime stazionario, perché è dissipativo e l'istante iniziale t0 coincide con

“l'istante remoto” (t0 Æ -• ). Pertanto la soluzione vale

v(t) = 2E3

t <0. (102)

Figura 16 Circuito equivalente in regime stazionario per t<0 (a) e circuito equivalente in regimestazionario per t>0 (b).

La (102) può essere ottenuta cercando la soluzione costante della (101), oppure per ispezione

diretta del circuito di figura 16. Quando il circuito è in regime stazionario la tensione del

condensatore è costante e quindi la corrente che in esso circola è uguale a zero. Pertanto il

condensatore si comporta come se fosse un circuito aperto (nel circuito aperto la corrente è

uguale a zero per qualsiasi valore di tensione). Si consideri, ora, il circuito equivalente ottenuto

sostituendo al condensatore un circuito aperto (figura 16). La tensione v del condensatore può

essere calcolata usando il partitore di tensione; così facendo si ottiene di nuovo l'espressione

(102).

Per t>0 il circuito è ancora tempo-invariante e alimentato con un generatore stazionario.

L'equazione di stato vale

dvdt

+ 13RC

v = E3RC

(t >0). (103)

La soluzione dell'equazione (103) deve verificare la condizione iniziale

v(0+ ) = v(0- ); (104)

v(0- ) è il valore che assume la tensione sul condensatore nell'istante immediatamente precedente

all'apertura dell'interruttore e v(0+ ) è il valore che assume nell'istante immediatamente successivo

La (104) è una conseguenza della proprietà di continuità della tensione sul condensatore (nel caso

in esame la corrente di corto circuito e la conduttanza equivalente hanno un punto di discontinuità

di prima specie in t=0, ma sono sempre limitate). Pertanto deve essere

v(0+ ) = 2E3

. (105)

255

L'equazione (103) deve essere risolta con la condizione iniziale (105). L'integrale generale è

v(t) = Ae- t /(3RC) + E. (106)

Per t>0 la soluzione stazionaria può essere ottenuta per ispezione diretta del circuito illustrato in

figura 16b. La costante A deve essere determinata imponendo la condizione iniziale (105). Così

facendo si ottiene

v(t) = - E3

e- t /(3RC) + E t≥ 0. (107)

0,0

0,5

1,0

1,5

- 5 0 5 10 15 20

v(t)

[V

]

t[ms]

Figura 17 Evoluzione della tensione del condensatore con E=1 e RC=1.

Riassumendo, la soluzione del circuito tempo-variante illustrato in figura 12 vale

v(t) =

23

E t£ 0,

- 13

Ee- t /(3RC) + E t≥ 0.

Ï

ÌÔ

ÓÔ

(108)

In figura 17 viene illustrato il grafico della tensione del condensatore per E = 1 e RC = 1.

Osservazione

La tensione del condensatore del circuito illustrato in figura 18a e la corrente nell'induttore del

circuito illustrato in figura 18b valgono, rispettivamente:

v(t) = v(t0) + 1C

j(t )dtt0

t

Ú , (109)

i(t) = i(t0) + 1L

e(t )dtt0

t

Ú . (110)

Entrambi i circuiti hanno costante di tempo uguale a infinito, t = • , cioè frequenza naturale

uguale a zero. Pertanto il termine dipendente dal valore iniziale dello stato non svanisce, ma

permane indefinitamente in entrambi i circuiti. A causa dell'assenza di bipoli dissipativi i termini

256

di evoluzione libera non tendono asintoticamente a zero per t Æ +• , ma restano costanti nel

tempo (ricordiamo che nell'evoluzione libera il generatore di corrente indipendente si comporta

come un circuito aperto e il generatore di tensione indipendente si comporta come un corto

circuito). In questi casi il comportamento asintotico dei due circuiti dipende anche dal valore

iniziale dello stato e quindi non ha più senso parlare di regime.

Figura 18

7.5 Circuiti del secondo ordine: equazioni di stato

Qualsiasi circuito lineare contenente due bipoli dinamici può essere schematizzato con una delle

tre configurazioni illustrate in figura 19; N denota un doppio bipolo costituito da elementi statici

lineari e generatori indipendenti. I condensatori e gli induttori sono lineari.

Per risolvere questi circuiti bisogna prima determinare le equazioni di stato. Noi ora le

determineremo, distinguendo i tre casi possibili.

7.5.1 Circuiti RC del secondo ordine

Si consideri il circuito di figura 19a. Le equazioni caratteristiche dei due condensatori

impongono la relazione di tipo differenziale tra le due correnti i1 e i2 e le due tensioni v1 e v2 (i

condensatori sono tempo-invarianti, mentre gli elementi statici possono essere tempo-varianti; è

stata fatta la convenzione del generatore sui condensatori e quindi quella dell'utilizzatore sulle due

porte del doppio bipolo):

C1dv1

dt= - i1,

C2dv2

dt= - i 2.

(111)

Per ottenere le equazioni di stato, bisogna esprimere le correnti i1 e i2 in funzione delle grandezze

di stato v1 e v2 (in questo caso esse sono le variabili di stato).

Figura 19 Le tre possibili configurazioni per i circuiti del secondo ordine.

257

La parte statica del circuito, che può essere schematizzato come un doppio bipolo lineare,

impone un altro vincolo, di tipo algebrico, tra le correnti i1 e i2 e le grandezze di stato v1 e v2.

Poiché il doppio bipolo contiene solo resistori lineari e generatori indipendenti, esso può essere

caratterizzato su base tensione, così come è stato illustrato nel precedente Capitolo,

i1 = G11(t)v1 + G12(t)v2 + j1* (t),

i 2 = G21(t)v1 + G22(t)v2 + j2* (t),

(112)

dove Gij sono gli elementi della matrice delle conduttanze del doppio bipolo statico lineare (una

volta che sono stati spenti tutti i generatori al suo interno) e j1* (t) e j2

* (t) sono, rispettivamente, le

correnti nella porta “1” e “2” quando sono entrambe collegate a due corto circuiti e sono in

funzione i generatori indipendenti.

Figura 20 Circuiti resistivi associati per ricavare le equazioni di stato.

Combinando le (111) e (112) si ottiene il sistema di equazioni di stato

C1dv1

dt= - G11(t)v1 - G12(t)v2 - j1

* (t),

C2dv2

dt= - G21(t)v1 - G22(t)v2 - j2

* (t),

Ï

ÌÔ

ÓÔ

(113)

che può essere riscritto nella forma

Cdvdt

= - G(t)v - j* (t) , (114)

dove C = diag(C1,C2), v =(v1,v2)T , j* = ( j1* , j2

* )Te G è la matrice delle conduttanze del doppio

bipolo resistivo. Anche le equazioni di stato di un generico circuito lineare costituito da NC

condensatori ed elementi statici sono del tipo (114): l'ordine del sistema di equazioni e la

dimensione delle matrici e dei vettori sono uguali a NC.

Le grandezze di stato v1(t) e v2(t) sono continue se: (a) i generatori del circuito dinamico in

esame sono limitati; (b) in parallelo ai due condensatori non vi sono interruttori che si chiudono.

Quando quest'ultima condizione è verificata, allora sono certamente limitati gli elementi della

diagonale principale della matrice delle conduttanze G; se il doppio bipolo è passivo (i generatori

indipendenti sono spenti) sono limitati anche gli altri elementi, a causa delle proprietà di G. Di

conseguenza le correnti nei condensatori sono limitate (si potrebbe ripetere lo stesso

ragionamento fatto per il circuito RC del primo ordine, per dimostrare la continuità dello stato).

Il sistema del secondo ordine (113) deve essere risolto con le condizioni iniziali

258

v1(t0) = V1,

v2(t0) = V2.(115)

7.5.2 Circuito RL del secondo ordine

Si consideri il circuito di figura 19b. Anche le equazioni caratteristiche dei due induttori

impongono un legame di tipo dinamico tra le correnti i1 e i2 e le tensioni v1 e v2 (gli induttori

sono tempo-invarianti, mentre gli elementi statici possono essere tempo-varianti; è stata usata di

nuovo la convenzione del generatore)

L1di1dt

= - v1,

L2di2dt

= - v2.(116)

Per ottenere le equazioni di stato, bisogna esprimere le tensioni v1 e v2 in funzione delle

grandezze di stato i1 e i2. Ciò può essere fatto utilizzando il vincolo imposto dalla parte statica del

circuito. Impiegando un procedimento duale a quello descritto precedentemente, si sostituiscano i

due induttori di figura 19b con due generatori di corrente con correnti uguali a quelle che

circolano nei due induttori. Così facendo si ottiene il circuito di figura 20b. Poiché il doppio

bipolo contiene solo elementi lineari e generatori indipendenti, esso può essere caratterizzato su

base corrente, così come è stato illustrato nel precedente Capitolo,

v1 = R11(t)i1 + R12(t)i 2 + e1* (t),

v2 = R21(t)i1 + R22(t)i 2 + e2* (t),

(117)

dove Rij sono gli elementi della matrice delle resistenze R del doppio bipolo resistivo lineare (una

volta che sono stati spenti tutti i generatori al suo interno) e e1* (t) e e2

* (t) sono, rispettivamente, le

tensioni della porta “1” e “2” quando sono entrambe collegate a due circuiti aperti e sono in

funzione i generatori indipendenti.

Combinando le (116) e (117) si ottiene

L1di1dt

= - R11(t)i1 - R12(t)i 2 - e1* (t),

L2di2dt

= - R21(t)i1 - R22(t)i 2 - e2* (t),

Ï

ÌÔ

ÓÔ

(118)

che può essere riscritto nella forma

Ldidt

= - Ri - e* (t), (119)

dove L = diag(L1,L2), i =(i 1, i2)T , e* = (e1* ,e2

* )Te R è la matrice delle resistenze del doppio

bipolo resistivo. Anche le equazioni di stato di un generico circuito costituito da NL induttori ed

elementi statici ha la forma (119); l'ordine del sistema di equazioni e la dimensione delle matrici e

dei vettori sono uguali a NL.

259

Le grandezze di stato i1(t) e i2(t) sono continue se: (a) i generatori del circuito dinamico in

esame sono limitati; (b) in serie agli induttori non vi sono interruttori che si aprono. Quando

questa condizione è verificata, allora sono certamente limitati gli elementi della diagonale

principale della matrice delle resistenze R; se il doppio bipolo è passivo (i generatori indipendenti

sono spenti) sono limitati anche gli altri elementi, a causa delle proprietà di R. Di conseguenza le

tensioni dei due induttori sono limitate.


i1(t0) = I1,

i 2(t0) = I2. (120)

7.5.3 Circuito RLC del secondo ordine

Si consideri il circuito di figura 19c. Le equazioni caratteristiche del condensatore e

dell'induttore impongono un legame di tipo dinamico tra le correnti i1 e i2 e le tensioni v1 e v2

(l'induttore e il condensatore sono tempo-invarianti, mentre la parte statica può essere tempo-

variante; è stata usata di nuovo la convenzione del generatore su entrambi i bipoli dinamici)

C1dv1

dt= - i1,

L2di2dt

= - v2.(121)

Per costruire le equazioni di stato, bisogna esprimere, ora, la corrente nel condensatore i1 e la

tensione dell'induttore v2 in funzione delle grandezze di stato (cioè della tensione del

condensatore v1 e della corrente nell'induttore i2) utilizzando il vincolo imposto dalla parte

statica del circuito. Si sostituisca il condensatore con un generatore di tensione v1e l'induttore con

un generatore di corrente i2. Così facendo si ottiene il circuito di figura 20c. Poiché il doppio

bipolo contiene solo elementi lineari e generatori indipendenti, esso può essere caratterizzato su

base ibrida, così come è stato illustrato nel precedente Capitolo,

i1 = H11(t)v1 + H12(t)i 2 + j1* (t),

v2 = H21(t)v1 + H22(t)i 2 + e2* (t),

(122)

dove Hij sono gli elementi della matrice ibrida del doppio bipolo resistivo lineare (una volta che

sono stati spenti tutti i generatori al suo interno) e j1* (t) e e2

* (t) sono, rispettivamente, la corrente

nella porta “1” e la tensione della porta “2” quando, la porta “1” è collegata a un corto

circuito e la porta “2” a un circuito aperto e sono in funzione i generatori indipendenti.

Combinando le (121) e (122) si ottiene

C1

dv1

dt= - H11(t)v1 - H12(t)i 2 - j1

* (t),

L2di2dt

= - H21(t)v1 - H22(t)i 2 - e1* (t),

Ï

ÌÔ

ÓÔ

(123)

che può essere riscritta nella forma

260

Ddxdt

= - H x - g(t), (124)

dove D = diag(C1,L2), x =(v1, i2)T , g = ( j1* ,e2

* )Te H è una matrice ibrida del doppio bipolo.

Anche le equazioni di stato di un generico circuito costituito da NC condensatori, da NL induttori

ed elementi statici hanno la forma della (124); l'ordine del sistema di equazioni e la dimensione

delle matrici e dei vettori sono uguali a (NC+NL). La struttura della matrice ibrida H , nel caso più

generale, è descritta nel Capitolo 6.

Le grandezze di stato v1(t) e i2(t) sono continue se: (a) i generatori del circuito dinamico in

esame sono limitati; (b) in parallelo al condensatore non c'è un interruttore che si chiude e in serie

all'induttore non c'è un interruttore che si apre. Quando questa condizione è verificata, allora sono

certamente limitati gli elementi della diagonale della matrice ibrida H; se il doppio bipolo è

passivo (i generatori indipendenti sono spenti) gli altri elementi della matrice H sono in modulo

minori di uno. In questo caso la corrente nel condensatore e la tensione dell'induttore sono

limitate.


v1(t0) = V1,

i 2(t0) = I2.(125)

7.6 Circuiti del secondo ordine tempo-invarianti

Si considerino, ora, circuiti tempo-invarianti del secondo ordine, costituiti da generatori

indipendenti ed elementi lineari passivi, cioè induttori, condensatori, resistori e trasformatori ideali.

La passività degli elementi lineari implica che: (a) le capacità e le induttanze sono positive; (b) gli

elementi della diagonale principale delle matrici R, G e H sono non negativi; (c) gli elementi fuori

diagonale delle matrici G e R sono, in modulo, minori o al più uguali a quelli della diagonale

principale e gli elementi fuori diagonale della matrice H sono in modulo minori di uno

(ricordiamo che H12 e H21 sono grandezze adimensionali). Inoltre vale la reciprocità: questa

proprietà implica che R e G sono simmetriche e H è anti-simmetrica (H12 = - H21). Infine L e C

e le matrici R, G e H sono costanti nel tempo perché abbiamo supposto che tutti gli elementi siano

tempo-invarianti.

Le equazioni di stato per questi circuiti sono del tipo

D1dx1

dt= - a11x1 - a12x2 - g1(t)

D2dx2

dt= - a21x1 - a22x2 - g2(t)

Ï

ÌÔ

ÓÔ

(126)

dove

261

RC RL RLC

x = (v1,v2)T x = (i1,i 2)T x = (v1,i 2)T

D = diag(C1,C2) D = diag(L1,L2) D = diag(C1,L2)

A = G A = R A = H

g = ( j1* , j2

* )T, g = (e1* ,e2

* )T, g = ( j1* ,e2

* )T.

Il sistema (126) può essere riscritto nella forma vettoriale

Ddxdt

= - Ax - g(t). (127)

Le equazioni (126) devono essere risolte con la condizione iniziale

x(t0) = x0 = (x10,x20)T. (128)

Il sistema lineare, a coefficienti costanti, del secondo ordine (126) può essere risolto in diversi

modi. Ora ne descriveremo soltanto due. Il primo consiste nel ridurre il sistema (126) a una

equazione scalare del secondo ordine e poi risolverla utilizzando la tecnica che già abbiamo

utilizzato per l'equazione del primo ordine. L'altro metodo consiste nel risolvere direttamente il

sistema di equazioni di stato, calcolando gli autovalori e gli autovettori della matrice dinamica del

sistema. Noi qui useremo il primo metodo; il secondo sarà illustrato brevemente in Appendice D.

Si scelga di ridurre il sistema (126) a una equazione scalare nell'incognita x1 = x1(t) . Dalle

equazioni (126) si ottiene per x1 = x1(t) l'equazione differenziale scalare lineare del secondo

ordine:

d2x1

dt2+ 2a dx1

dt+ w0

2x1 = f (t), (129)

dove

a ∫ 12

a11

d1

+ a22

d2

ÊËÁ

ˆ¯,

w02 ∫ 1

d1d2

(a11a22 - a12a21),

f (t) ∫ a22

d1d2

g1(t) - a12

d1d2

g2(t) - a11

d1

dg1

dt.

(130)

Si osservi che a causa della passività, i parametri a e w02 non possono mai assumere valori

negativi, a ≥ 0, w02 ≥ 0; (nel caso di un circuito con un induttore e un condensatore bisogna

usare, anche, la proprietà a12 = - a21) .

L'equazione scalare del secondo ordine (129) deve essere risolta con le condizioni iniziali

x1(t0) = x10,

dx1

dt t=t0

= x10© ,

(131)

dove

262

x10© = - 1

d1[a11x10 + a12x20 - g1(t = t0)]. (132)

La condizione iniziale per la derivata prima di x1(t) è stata ottenuta utilizzando la seconda

equazione del sistema di equazioni di stato (126) e le condizioni iniziali per lo stato. Una volta

determinata la soluzione del problema di Cauchy definito dalle (129) e (131), usando la prima

equazione del sistema (126) è possibile ottenere la grandezza di stato x2(t) attraverso delle

semplici operazioni algebriche e di derivazione.

L'integrale generale dell'equazione scalare (129) è dato da

x1(t) = xo(t) + xp(t) , (133)

dove xp(t) è una soluzione particolare dell'equazione (129) e xo(t) è l'integrale generale

dell'equazione omogenea associata alla (129),

d2xo

dt2+ 2a dxo

dt+ w0

2xo = 0. (134)

L'equazione (134) è un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, lineare, a

coefficienti costanti e omogenea. Si consideri il polinomio caratteristico dell'equazione

differenziale (134),

p(l ) = l 2 + 2al + w 02. (135)

Il polinomio caratteristico di un circuito del secondo ordine è di grado due, ed è costituito dalla

somma di tre monomi in l : al termine della (134) in cui compare la derivata seconda corrisponde

il monomio in l di grado due con lo stesso coefficiente della derivata seconda, cioè l 2; al termine

in cui compare la derivata prima corrisponde il monomio in l di grado uno con lo stesso

coefficiente della derivata prima, cioè 2al ; infine al termine non derivato corrisponde il

monomio di grado zero, con lo stesso coefficiente che moltiplica la funzione incognita, cioè w02.

Le radici del polinomio sono le frequenze naturali del circuito e, in questo caso, sono due e

valgono:

l +

l -

¸˝˛

= -a ± a 2 - w 02 . (136)

Ovviamente esse non dipendono dai generatori.

Dalla teoria delle equazioni differenziali ordinarie lineari si è appreso che l'integrale generale

dell'equazione omogenea associata (135) ha la forma (bisogna distinguere i casi in cui le radici

del polinomio caratteristico sono distinte dal caso in cui sono coincidenti)

xo(t) = K +el + (t - t 0 ) + K - el - (t - t 0 ) se l + π l - (radici distinte)

[A + B(t - t0)]el (t - t 0 ) se l + = l - = l (radici coincidenti)

ÏÌÔ

ÓÔ(137)

dove K+ e K- (rispettivamente, A e B), sono due costanti arbitrarie.

263

Quando le radici sono distinte, K+el + (t - t0 ) e K - el - (t - t0 ) sono due soluzioni linearmente

indipendenti dell'equazione omogenea e facendo variare nella (137) sia K+ che K- (in generale,

nell'insieme dei numeri complessi), si ottengono tutte le possibili soluzioni della (134). Invece

quando le radici sono coincidenti, Ae-a (t - t0 ) e B(t - t0)e-a (t - t0 ) sono due soluzioni

linearmente indipendenti dell'equazione (134).

L'integrale generale dell'equazione (129) è

x1(t) =K +el + ( t - t0 ) + K - el - ( t - t0 ) +x p(t) se l + π l - ,

[ A + B(t - t0)]ela ( t - t0 ) +x p(t) se l + = l - = l .

ÏÌÔ

ÓÔ(138)

L'integrale generale (138) dipende: (a) dall'integrale particolare xp(t) dell'equazione completa

(122); (b) dalle costanti di integrazione K+ e K- (rispettivamente, A e B); (c) dalle frequenze

naturali l + e l - . L'integrale particolare dipende dal termine noto f=f(t) dell'equazione (129), il

quale a sua volta dipende dalle forme d'onda dei generatori indipendenti di tensione e di corrente

presenti nel circuito. Le due costanti di integrazione K+ e K- (rispettivamente, A e B) devono

essere determinate imponendo che la (138) verifichi le condizioni iniziali (131), quindi K+ e K-

(rispettivamente, A e B) dipendono dallo stato iniziale del circuito. Le frequenze naturali l + e l -

sono, invece, grandezze caratteristiche del circuito, che non dipendono dai generatori indipendenti

e dallo stato iniziale.

Anche per i circuiti del secondo ordine è possibile, a causa della linearità, decomporre il

funzionamento in condizioni generiche in due contributi: l'evoluzione libera xlib = xlib (t) e

l'evoluzione forzata x for = x for (t). Nel circuito in evoluzione libera i generatori sono spenti e

quindi il termine noto dell'equazione differenziale (129) è uguale a zero: l'evoluzione libera è la

soluzione dell'equazione omogenea associata che verifica le condizioni iniziali (131). Invece

l'evoluzione forzata è la soluzione dell'equazione completa (129) che verifica condizioni iniziali

nulle.

x1(t) = xlib (t) + x for (t)

d2xlib

dt2+ 2a dxlib

dt+ w0

2xlib = 0

xlib (t0) = x10

xlib© (t0) = x10

©

Ï

ÌÔÔ

ÓÔÔ

d2x for

dt2+ 2a

dx for

dt+ w0

2x for = f (t)

xlib (t0) = 0

xlib© (t0) = 0

Ï

Ì

ÔÔ

Ó

ÔÔ

7.6.1 Proprietà delle frequenze naturali

Abbiamo già visto (nei circuiti del primo ordine) che il comportamento qualitativo di un

circuito dipende dalle sue frequenze naturali, e quindi è importante studiarne le proprietà. Le

proprietà delle frequenze naturali di un circuito del secondo ordine dipendono dalle proprietà

delle matrici D e A e quindi da proprietà strutturali del circuito.

264

Innanzi tutto bisogna mettere in evidenza che essendo le matrici A e D reali (i parametri fisici

del circuito sono espressi tramite grandezze reali), i coefficienti del polinomio caratteristico

p=p(l ) sono anch'essi reali. Pertanto le due radici l + e l - sono reali se a ≥ w0 (in questo caso il

discriminante dell'equazione di secondo grado p(l )=0 è non negativo),

l ± = -a ± a d, (per a ≥ w0) (139)

dove

a d ∫ a 2 - w 02 , (140)

oppure sono complesse e coniugate se a < w0 (il discriminante dell'equazione di secondo grado

p(l )=0 in questo caso è negativo),

l ± = -a ± i wd, (per a < w0) (141)

dove

wd ∫ w 02 - a 2 ; (142)

nella (142) i rappresenta l'unità immaginaria, i = - 1. Le due radici sono reali e coincidenti

quando a = w0 (il discriminante dell'equazione di secondo grado p(l )=0 in questo caso è uguale

a zero)

l ± = -a (per a = w0). (143)

Come al solito facciamo riferimento al circuito in evoluzione libera, perché le frequenze

naturali non dipendono dai generatori indipendenti presenti nel circuito. Siccome gli elementi del

circuito in evoluzione libera sono passivi, i parametri a e w02 non possono mai assumere valori

negativi (nel caso di un circuito con un induttore e un condensatore bisogna usare anche la

proprietà della reciprocità). Infatti, il parametro a è non minore di zero perché gli elementi della

diagonale principale delle matrici G, R e H sono sempre non minori di zero per doppi bipoli

passivi. Il parametro w02 è non minore di zero, perché per la matrice delle conduttanze, resistenze

e ibrida valgono, rispettivamente, le relazioni

G11G22 ≥ G12G21,

R11R22 ≥ R12R21,

H12 = - H21.

(144)

Le prime due sono una conseguenza della passività, l'ultima si ottiene dalla proprietà di

reciprocità. Di conseguenza quando le due radici sono reali esse non sono mai positive o quando

sono complesse coniugate la parte reale non è mai positiva.

Proprietà 8:

265

Si assuma che il circuito in evoluzione libera sia passivo. Allora la parte reale delle

frequenze naturali non può essere positiva, e quindi l'evoluzione libera è una funzione

limitata per ogni t > t0 (se i valori delle condizioni iniziali sono limitati).

passivitàfi Re{l ± } £ 0

Infatti, in un circuito in evoluzione libera passivo del secondo ordine si ha

dWdt

= - PR(t) £ 0, (145)

dove PR è la potenza assorbita da tutti gli elementi statici e W è l'energia totale immagazzinata

negli elementi dinamici; ad esempio, se il circuito è costituito da un condensatore e un induttore

essa vale

W(t) = Cv12(t) / 2 + Li1

2(t) / 2. (146)

Pertanto l'energia immagazzinata al generico istante t > t0 non può mai essere più grande di

quella immagazzinata all'istante iniziale t = t0 e quindi le grandezze di stato si mantengono

limitate nel tempo. Come poi mostreremo, questa proprietà è generale e non dipende dall'ordine

del circuito.

Quando la potenza assorbita dalla parte statica è positiva per ogni condizione di funzionamento

ed è uguale a zero solo quando il circuito è a riposo (cioè quando le grandezze di stato, e quindi

tutte le grandezze del circuito, sono uguali a zero), dalla (145) si ha che l'energia immagazzinata

diminuisce continuamente fino a quando non diventa nulla (W è definita positiva) e quindi il

circuito è dissipativo. In questo caso la parte reale delle frequenze naturali è minore di zero e

l'evoluzione libera tende asintoticamente a zero per tÆ+•, indipendentemente dal valore delle

condizioni iniziali. Se le frequenze naturali sono reali, l'evoluzione libera è costituita da due

termini che tendono asintoticamente a zero con legge esponenziale. Anche quando le frequenze

naturali sono complesse coniugate l'evoluzione libera tende asintoticamente a zero, perché

l'espressione

K+el + (t - t0 ) + K - el - (t - t0 ) = e-a (t - t0 ) [ K+ei wd (t - t0 ) + K - e- i wd (t - t0 ) ] . (147)

tende a zero con legge esponenziale per tÆ+• (la costante di tempo è 1/a) .

L'evoluzione libera non tende asintoticamente a zero ma resta limitata, quando la parte reale

delle frequenze naturali o almeno una di esse è uguale a zero. Ciò può verificarsi quando: (a) il

circuito è privo di elementi dissipativi; (b) ci sono due condensatori in serie o due induttori in

parallelo; (c) quando in serie al condensatore c'è un circuito aperto e/o in parallelo all'induttore un

corto circuito, come nei circuiti del primo ordine. In questi casi la potenza assorbita dalla parte

statica del circuito può essere uguale a zero anche quando le grandezze di stato sono diverse da

zero. Ritorneremo in seguito su questa questione.

Osservazione

266

Se nel circuito vi fossero anche elementi attivi, come, ad esempio, amplificatori operazionali,

giratori, generatori controllati, la soluzione sarebbe ancora del tipo (138), ma le frequenze naturali

potrebbero essere a parte reale maggiore di zero e la soluzione divergerebbe con legge

esponenziale per t Æ +• (nei circuiti reali di questo tipo, a causa di fenomeni di natura non

lineare, nascono meccanismi di saturazione che non consentono alle grandezze di crescere

illimitatamente).

Dopo avere discusso il segno della parte reale delle frequenze naturali, bisogna capire quando

esse sono reali e quando, invece, possono essere complesse. Il discriminante D dell'equazione di

secondo grado (135) vale:

D = a2 - w 02 = 1

4a11

d1- a22

d2

ÊËÁ

ˆ¯

2

+ a12a21

d1d2. (148)

(i) Circuito con due condensatori (rispettivamente, due induttori)

Si consideri il circuito con due condensatori (due induttori). In questo caso la matrice A è

uguale alla matrice delle conduttanze G (alla matrice delle resistenze R) del doppio bipolo

resistivo lineare. La matrice delle conduttanze G (la matrice delle resistenze R) è simmetrica,

perché il circuito resistivo è costituito da resistori lineari e trasformatori ideali, e quindi a12 = a21.

Di conseguenza il discriminante (148) non può essere mai negativo e le frequenze naturali sono

sempre reali.

t

x1

K+

K-

t+

t-

0

Im{ l }

Re{l }-1/t-

-1/t+

Figura 21

Proprietà 9: evoluzione libera di circuiti RC (o RL)

L'evoluzione libera di un circuito costituito da soli condensatori (rispettivamente, soli

induttori), resistori lineari e trasformatori ideali è descritta dalla somma di due

funzioni esponenziali decrescenti, con costanti di tempo

t + = - 1 / l +, t - = - 1 / l - . (149)

Quando l'evoluzione libera è descritta dalla somma di due esponenziali smorzati, (figura 21; le

frequenze naturali sono state rappresentate sul piano complesso), si dice che è aperiodica o sovra-

267

smorzata. Al crescere di a , lo smorzamento diventa più forte e il circuito in evoluzione libera

raggiunge prima lo stato di riposo.

Osservazione

In questi circuiti può accadere che w02 = 0 e quindi l + = 0. Ciò si verifica quando i due

condensatori sono in serie o i due induttori sono in parallelo (figura 22). In questi casi

l'evoluzione libera è costituita da un esponenziale smorzato con costante di tempo uguale a 1/(2a)

e da un termine costante. Essa non tende a zero per tÆ+• , ma tende asintoticamente a una

costante dipendente dallo stato iniziale. In quest’ultimo caso, l'energia immagazzinata all'istante

iniziale nei due condensatori (rispettivamente, nei due induttori) non viene completamente

assorbita dai resistori (e quindi trasformata in energia termica). Ad esempio, nel circuito di figura

22a la tensione sulla serie costituita dai due condensatori tende a zero (rispettivamente, la corrente

totale del parallelo costituito dai due induttori di figura 22b), ma le tensioni sui due condensatori

tendono a valori costanti, diversi da zero e opposti, di modo che la loro somma sia uguale a zero

(rispettivamente, le correnti nei due induttori tendono a due valori costanti, diversi da zero e

opposti). È evidente allora che la potenza assorbita dal resistore, in entrambi i casi, può essere zero

pur continuando a esserci energia immagazzinata nei bipoli conservativi.

Proprietà 10

Un circuito costituito da soli condensatori (rispettivamente, soli induttori), resistori

lineari e trasformatori ideali è dissipativo se i due condensatori non sono in serie

(rispettivamente, i due induttori non sono in parallelo).

Figura 22 Esempi di circuiti passivi non dissipativi.

Le frequenze naturali l + e l - coincidono se a12 = a21 = 0. Ciò si verifica solo se i due

condensatori (i due induttori) non sono tra loro collegati in nessuna maniera: ad esempio, due

circuiti RC (RL) del primo ordine non interagenti tra loro (figura 23) con R1C1=R2C2 (con

L1/R1=L 2/R2). È, allora, evidente che in questi casi non sarà mai possibile “eccitare” forme

d'onda del tipo B(t - t0)e-a (t - t0 ).

268

Figura 23 Due circuiti RC del primo ordine.

Osservazione

Se il circuito con due condensatori (con due induttori) contenesse un amplificatore

operazionale o un giratore la matrice delle conduttanze (la matrice delle resistenze), potrebbe non

essere più simmetrica. In questo caso si potrebbero avere frequenze naturali complesse e

coniugate (più avanti faremo un esempio di questo caso).

(ii) Circuito con un condensatore e un induttore

Quando il circuito dinamico è costituito da un condensatore e da un induttore (questi circuiti

sono denominati circuiti RLC), la matrice A è la matrice ibrida del doppio bipolo, e quindi

a12 = - a21. Innanzi tutto, in questo caso, non può mai essere w0 = 0, e quindi non è mai

possibile avere una radice reale e uguale a zero, così come accade nei circuiti con soli

condensatori (rispettivamente, solo induttori). Come poi si vedrà, invece, può accadere che a=0.

Inoltre il discriminate (148) può essere sia positivo che negativo e al limite nullo. In particolare si

ha

H11R02 - H22 > 2 H12 R0 fi a > w 0 fi D > 0,

H11R02 - H22 = 2 H12 R0 fi a = w 0 fi D = 0,

H11R02 - H22 < 2 H12 R0 fi a < w 0 fi D < 0,

(150)

dove la grandezza caratteristica R0 è una grandezza omogenea con una resistenza, data da

R0 = L2 / C1 . (151)

È utile ricordare che H11 rappresenta la conduttanza equivalente “vista” dal condensatore

quando al posto dell'induttore c'è un circuito aperto e H22 la resistenza equivalente “vista”

dall'induttore quando al posto del condensatore c'è un corto circuito.

Quando D>0 ( a > w0 > 0), le frequenze naturali l + e l - sono reali, e quindi le due costanti di

integrazione A+ e A- sono reali. L'evoluzione libera è la somma di due funzioni esponenziali

smorzati ed è, quindi, caratterizzata da una dinamica aperiodica, (figura 24).

Quando il discriminante è uguale a zero (caso critico a= w0), la forma d'onda dell'evoluzione

libera è descritta da

x1(t) = [ A + B(t - t0)]e-a (t - t0 ) . (152)

Questo tipo di evoluzione prende il nome di evoluzione critica o criticamente smorzata, (figura

24).

Evoluzione libera smorzata(a > w0 > 0) Evoluzione libera critica(a = w0 > 0)

x1(t) = K+el +t + K - el - t x1(t) = (A + Bt)e-a t

269

t

x1

K+

K-

t+

t-

0

Im{ l }

Re{l }-1/t - -1/t +

C

Btexp(-at )

1/ a t

x1

A

Aexp(-at )

Im{ l }

Re{l }-a

0

Evoluzione libera Evoluzione liberaoscillante smorzata(w0 > a > 0) oscillante(w0 > 0,a = 0)

x1(t) = Ke-a t cos(wdt + J ) x1(t) = K cos(w0t + J )

t

x1

0

Im{ l }

Re{l }-a

i wd

-iwd

2p / wd

-Kexp(-a t)

Kexp(-a t)Kcos(J )

t

x1

0

2 p / w0

Kcos(J )

Im{ l }

Re{l }i w

0

-iw0

Figura 24 Possibili risposte in evoluzione libera per un circuito RLC.

Quando D<0 (w0 > a > 0), le frequenze naturali l + e l - sono complesse coniugate.

Imponendo le condizioni iniziali, si ottiene (stiamo considerando solo l'evoluzione libera)

K+ + K - = x10,

l +K+ + l - k - = x10© .

(153)

È evidente che le due costanti di integrazione K+ e K- sono, in questo caso, complesse coniugate,

perché x10 e x10© sono grandezze reali. Pertanto è possibile riscrivere la soluzione nella seguente

forma

x1(t) = Ae-a (t - t0 ) cos[wd(t - t0) + J ] , (154)

dove

A = 2 A+ ,

J = arg(A+ );(155)

A è il modulo e arg(A+ ) è la fase (valore principale) del numero complesso K+ . L'andamento

dell'evoluzione libera è dato da una oscillazione sinusoidale di pulsazione wd, con ampiezza che

si smorza con legge esponenziale con costante di tempo 1/a ; al parametro wd si dà il nome di

pulsazione propria del circuito. Una evoluzione libera di questo tipo prende il nome di evoluzione

oscillatoria smorzata, (figura 24).

270

Un circuito RLC è sempre dissipativo se contiene resistori (stiamo escludendo che vi sia un

generatore indipendente di corrente in serie al condensatore e/o un generatore indipendente di

tensione in parallelo all'induttore). Mantenendo costante w0 e riducendo a al di sotto del valore

critico a= w0, si ottiene una forma d'onda sinusoidale con ampiezza che decade esponenzialmente

nel tempo. Nel caso limite a =0, la forma d'onda diventa una sinusoide pura, con pulsazione

uguale a w0 e l'evoluzione libera non tende più a zero per tÆ•, ( figura 24). Ciò si verifica se e

solo se gli elementi della diagonale della matrice ibrida sono entrambi uguali a zero, cioè il

circuito non contiene resistori. In questo caso la potenza elettrica PR(t) assorbita dal doppio

bipolo resistivo è uguale a zero in qualsiasi condizione di funzionamento, e quindi l'energia totale

W(t) immagazzinata nell'induttore e nel condensatore si mantiene costante nel tempo: l'energia

viene scambiata continuamente tra il condensatore e l'induttore, senza mai essere dissipata. Questo

è un circuito conservativo e deve essere necessariamente come quello illustrato in figura 25; esso

prende il nome di circuito LC.

Figura 25 Circuito LC.

7.6.2 Soluzione di regime e termine transitorio

Si consideri ora un circuito del secondo ordine dissipativo (quindi Re{l ± } < 0) in condizione

di funzionamento generico e si faccia tendere l'istante iniziale t0 a -• (il funzionamento del

circuito ha inizio all'istante “remoto” t0= -•). La generica grandezza di stato in un generico

istante finito è data da

limt0 Æ-•

x1(t) =lim

t0 Æ-•[K +el + (t - t0 ) +K - el - (t - t0 ) ] + xp(t)

limt0 Æ-•

[A +B(t - t 0)e-a (t - t0 ) ] + xp(t)

ÏÌÔ

ÓÔ

¸˝Ô

Ô= xp(t). (156)

Pertanto, la dinamica dello stato, e quindi dell'intero circuito, per t finito non dipende dalla

condizione iniziale (si è persa ogni traccia dello stato iniziale), ma dipende unicamente dalla

soluzione particolare e quindi dalla forma d'onda delle tensioni dei generatori di tensione e delle

correnti dei generatori di corrente: il circuito funziona in regime. La soluzione di regime è uguale

alla soluzione particolare ed è indipendente dallo stato. Ritroviamo quanto abbiamo già visto nei

circuiti del primo ordine.

Si consideri ora il caso in cui l'istante iniziale t0 sia al finito. Il termine dipendente dalle

costanti di integrazione K+ e K- tende asintoticamente a zero per t Æ+• ( indipendentemente dai

valori delle costanti di integrazione); esso è il termine transitorio della risposta. Le costanti di

integrazione K+ e K- sono combinazioni lineari dei valori dello stato e dell'integrale particolare

all'istante iniziale t0.

271

termine di regime: xreg(t) ∫ limt0Æ-•

x1(t) = xp(t)

termine transitorio: xtran(t) ∫K+el + ( t - t0 ) +K - el - ( t - t0 ) a > w0 >0 (l + e l - reali)

[ A +B(t - t0)]e-a ( t - t0 ) a = w0 > 0

Ke-a ( t - t ) cos(wdt + J ) w0 > a >0

Ï

ÌÔ

ÓÔ

Se il circuito in evoluzione libera è passivo ma non dissipativo, le frequenze naturali sono a

parte reale uguale a zero o almeno una di esse è nulla. In questo caso il “termine transitorio” non

tende a zero per tÆ+• , ma rimane limitato. Se il circuito contiene elementi lineari attivi (un

circuito che, ad esempio contiene amplificatori operazionali, generatori controllati, giratori e

resistori con resistenza negativa), le frequenze naturali potrebbero avere parte reale maggiore di

zero e il termine “transitorio” divergerebbe per tÆ+• .

Proprietà 11

L'evoluzione di un circuito del secondo ordine dissipativo tende asintoticamente alla

soluzione di regime per tÆ+• , indipendentemente dal valore iniziale dello stato.

L'evoluzione libera tende asintoticamente a zero con legge esponenziale e l'evoluzione

forzata tende asintoticamente alla soluzione di regime.

7.6.3 Regime stazionario e regime sinusoidale

Il termine di regime dipende, oltre che dai parametri caratteristici del circuito, anche dalla

forma d'onda dei generatori. Verranno discussi i soliti due casi: circuiti con generatori costanti (o

stazionari) e circuiti con generatori sinusoidali.

- Generatori costanti (stazionari)

Si consideri un circuito con soli generatori stazionari. Il termine noto dell'equazione

differenziale, che descrive l'evoluzione del circuito, è una funzione costante, e quindi una

funzione costante è soluzione dell'equazione differenziale. Essa può essere ottenuta sostituendo

nell'equazione differenziale (129) la funzione

xp(t) = X , (157)

e determinando poi la costante X che la verifica.

Proprietà 12

Quando i generatori sono stazionari, il regime di funzionamento che si instaura nel

circuito è anche esso stazionario, se il circuito è dissipativo. La soluzione stazionaria

può essere ottenuta risolvendo direttamente il circuito resistivo ottenuto sostituendo ai

condensatori circuiti aperti e agli induttori corto circuiti.

272

Per provare quanto affermato è sufficiente ricordare che in regime stazionario la corrente nei

condensatori e le tensioni sugli induttori sono uguali a zero.

- Generatori sinusoidali isofrequenziali

Si consideri, ora, un circuito con soli generatori sinusoidali (isofrequenziali) con pulsazione

w. Il termine noto dell'equazione differenziale (129) è una funzione sinusoidale con pulsazione

w. Anche in questo caso una funzione sinusoidale con pulsazione w è soluzione dell'equazione

differenziale. Essa può essere determinata sostituendo nell'equazione differenziale una funzione

del tipo

xp(t) = X cos(wt + y ), (158)

e determinando l'ampiezza X e la fase y, in modo tale che la (129) sia verificata (così come

abbiamo operato con i circuiti del primo ordine).

La soluzione particolare (158) non esiste se il circuito non è dissipativo e la pulsazione dei

generatori è uguale alla frequenza naturale del circuito. In questo caso si dice che il circuito è in

risonanza. Ad esempio, nel circuito RLC del secondo ordine ciò accade se, a=0 e w = wd = w0.

In questo caso, è facile verificare che una soluzione particolare è una funzione sinusoidale con

pulsazione w e ampiezza crescente linearmente nel tempo 4. Il fenomeno della risonanza non può

mai verificarsi in un circuito RL o RC, se esso è costituito da soli elementi statici reciproci.

Proprietà 13

Quando i generatori sono sinusoidali e isofrequenziali, il regime di funzionamento

che si instaura nel circuito è anche esso di tipo sinusoidale con la stessa pulsazione

dei generatori, se il circuito è dissipativo.

In questi casi la soluzione di regime può essere ottenuta direttamente utilizzando il metodo

fasoriale. Questo metodo sarà illustrato nel prossimo Capitolo.

Se nel circuito ci sono generatori costanti e generatori sinusoidali con diverse pulsazioni, allora

l'integrale particolare può essere determinato utilizzando la sovrapposizione degli effetti

(l'equazione differenziale è lineare perché il circuito del quale essa descrive la dinamica è lineare).

La soluzione particolare è la somma delle soluzioni particolari che ciascuno dei generatori

produrrebbe se agisse da solo, essendo gli altri “spenti”.

7.6.4 Applicazione: Circuito RLC serie e circuito RLC parallelo e altri esempi

4 Si consideri l'equazione ««x + w02x = cos(w0t) . Questa è l'equazione che descrive l'evoluzione di un circuito LC

con forzamento sinusoidale alla stessa frequenza della frequenza naturale del circuito. In questo caso non esiste unintegrale particolare sinusoidale con pulsazione w0. È facile verificare che, un integrale particolare è

x(t) = [ t sin(w0t)] / 2w0.

273

Si consideri il circuito RLC serie rappresentato in figura 26a. Il circuito è in evoluzione

libera; lo stato all'istante iniziale t=0 vale

vc(t = 0) = V0, i L (t = 0) = I 0. (159)

Figura 26 Circuito RLC serie (a) e circuito RLC parallelo (b).

Le equazioni caratteristiche dei bipoli a memoria sono

Cdvc

dt= i c,

LdiL

dt= vL .

(160)

Per determinare le equazioni di stato bisogna esprimere la corrente nel condensatore e la tensione

dell'induttore in funzione delle grandezze di stato vc e iL . In questo caso tutto ciò può essere fatto

per ispezione diretta del circuito. Immediatamente si ha

Cdvc

dt= i L ,

LdiL

dt= - vc - RiL .

(161)

Sostituendo la prima equazione di stato nella seconda, si ottiene l'equazione scalare per la tensione

del condensatore

d2vc

dt2+ R

Ldvc

dt+ 1

LCvc = 0. (162)

L'integrale generale della (162) assume, come è noto, tre forme diverse a seconda che

w0t > 1, w0t < 1 o w0t = 1, dove sono state fatte le posizioni

t ∫ 2LR

, w0 ∫ 1LC

. (163)

Quando w0t < 1 l'evoluzione libera è aperiodica, quando w0t > 1 l'evoluzione libera è oscillante

e smorzata; invece quando w0t = 1 si ha il caso critico. Il parametro adimensionale Q∫(w 0t/2)

prende il nome di fattore di qualità o fattore di merito del circuito.

Si assuma che nel circuito in esame l'evoluzione sia di tipo oscillante smorzato. Allora si ha

vc(t) = Ae- t /t cos(wt + q), (164)

dove la pulsazione w è data da

274

w = w0 1- 1 / (w0t )2 , (165)

e t è la costante di tempo dell'esponenziale smorzato che descrive l'ampiezza dell'oscillazione;

quando RÆ0 la costante di tempo tende all'infinito e la pulsazione w tende a quella caratteristica

1 / LC . In questo limite il funzionamento del circuito tende a quello di un oscillatore LC ideale.

Le due costanti A e q devono essere determinate imponendo le condizioni iniziali a t=0, cioè

vc(0) e dvc / dtt=0

. La derivata della tensione del condensatore si ottiene imponendo le

condizioni iniziali per lo stato (159) utilizzando la prima equazione del sistema (161). Così

facendo si ottiene

dvc / dtt=0

= I 0 / C. (166)

Si consideri, ora, il circuito RLC parallelo rappresentato in figura 26b. Il circuito è in

evoluzione libera; lo stato all'istante iniziale t=0 è dato dalle (159). Le equazioni caratteristiche dei

bipoli a memoria sono ancora le (160). Per determinare le equazioni di stato bisogna esprimere,

come al solito, la corrente nel condensatore e la tensione dell'induttore in funzione delle

grandezze di stato vc e iL . Anche ciò può essere fatto ancora per ispezione diretta del circuito

rappresentato in figura 26b. Si ha

Cdvc

dt= - vc

R- i L ,

LdiL

dt= vc.

(167)

Sostituendo la seconda equazione di stato nella prima, si ottiene l'equazione scalare per la corrente

nell'induttore

d2i L

dt2+ 1

RCdiL

dt+ 1

LCi L = 0. (168)

Anche l'integrale generale della (168) assume tre forme diverse a seconda che w0t > 1, w0t < 1,

o w0t = 1 dove questa volta la costante di tempo caratteristica t vale

t = 2RC

. (169)

Le costanti di integrazione devono essere determinate imponendo le condizioni iniziali in t=0,

cioè i L (0) e diL / dtt=0

. La derivata della corrente nell'induttore si ottiene imponendo le

condizioni iniziali per lo stato (159) e la seconda equazione del sistema (167). Così facendo si

ottiene

diL / dtt=0

= V0 / L . (170)

Esempio

Si consideri il circuito rappresentato in figura 27. Il circuito è alimentato con un generatore

a gradino. Determinare l'andamento della corrente nel condensatore.

275

Conviene sempre formulare il problema in termini di variabili di stato. In questo caso

particolare viene prima determinata la tensione del condensatore e poi, usando la sua caratteristica,

si determina la corrente.

Le equazioni caratteristiche dei bipoli a memoria sono

Cdvc

dt= i c,

LdiL

dt= vL .

(171)

Per determinare le equazioni di stato bisogna esprimere la corrente nel condensatore e la tensione

dell'induttore in funzione delle grandezze di stato vc e iL . Anche in questo caso ciò può essere

fatto per ispezione diretta del circuito, applicando la legge di Kirchhoff per le correnti al nodo

“1”, e la seconda legge di Kirchhoff alla maglia costituita dal condensatore, dall'induttore e dal

resistore di resistenza R2. Così facendo si ottiene

Cdvc

dt= - vc

R1

- iL+ E0

R1

u(t),

Ldi

L

dt= vc - R2i L

,

(172)

dove E0 = 600.

Figura 27 Circuito in evoluzione forzata.

Il sistema (172) è definito per -• < t < +• . Per t<0 il generatore di tensione è spento, quindi il

circuito è nello stato stazionario di riposo (il circuito è dissipativo). La tensione del generatore è

limitata, e quindi lo stato è continuo in ogni istante ed in particolare in t=0. Pertanto si ha

vc(0+ ) = vc(0- ) = 0,

i L (0+ ) = i L (0- ) = 0.(173)

Essendo noto lo stato del circuito all'istante t = 0+, bisogna risolvere il sistema (172) per t ≥ 0+ ;

per t ≥ 0+ la funzione di Heaviside u=u(t) è costante ed è uguale a uno. Dovendo calcolare la

corrente nel condensatore, conviene ridurre il sistema (172) a una equazione scalare del secondo

ordine nella funzione incognita vc = vc(t). Derivando ambo i membri della prima equazione di

stato rispetto al tempo e usando la seconda, si ottiene

d2vc

dt2+ R2

L+ 1

R1C

ÊËÁ

ˆ¯

dvc

dt+ 1

LC1+ R2

R1

ÊËÁ

ˆ¯vc = 1

LCR2

R1E0 per t≥ 0+. (174)

276

L'integrale generale dell'equazione (174) è costituito dalla somma di un integrale particolare

dell'equazione completa e dell'integrale generale dell'omogenea associata.

Come integrale particolare si può assumere senz'altro la tensione in regime stazionario (essendo

per t ≥ 0+ il generatore costante):

vp = E0R2

R1 + R2

= 510. (175)

(In regime stazionario il condensatore si comporta come se fosse un circuito aperto e l'induttore si

comporta come se fosse un corto circuito; la (175) è stato ottenuta usando il partitore di tensione.)

Il polinomio caratteristico è

p(l ) = l 2 + R2

L+ 1

R1C

ÊËÁ

ˆ¯l + 1

LC1+ R2

R1

ÊËÁ

ˆ¯

. (176)

Gli zeri del polinomio caratteristico sono nel caso in esame

l 1 = - 10, l 2 = - 30. (177)

L'integrale generale dell'equazione (174) vale

vc(t) = K1e- 10t + K2e- 30t + 510 per t≥ 0+. (178)

Per determinare le due costanti di integrazione K1 e K2 c'è bisogno di vc(0+ ) e dvc / dtt=0+ . Il

valore iniziale della tensione è noto. Il valore iniziale della derivata prima si determina usando la

prima equazione di stato e le condizioni iniziali per lo stato. Così facendo si ha

dvc

dt t=0+

= 1C

- vc(0+ )

R1

- iL(0+ ) + E0u(t = 0+ )

R1

È

ÎÍ

˘

˚˙ = E0

R1C= 4800. (179)

Imponendo alla (176) le condizioni iniziali per vc(0+ ) e dvc / dtt=0+ , si ottiene il sistema

algebrico lineare

K1 + K2 = - 510,

K1 + 3K2 = - 480.(180)

Risolvendo il sistema (180) si ottengono le due costanti di integrazione; quindi si ha, in definitiva,

vc(t) = - 525e- 10t +15e- 30t + 510( )u(t) . (181)

La corrente nel condensatore vale

ic(t) = Cdvc

dt= 525e- 10t - 40e- 30t( )u(t)+ - 525e- 10t +15e- 30t + 510( )d(t) =

= 525e- 10t - 40e- 30t( )u(t).(182)

277

L'impulso di Dirac ha ampiezza nulla perché la tensione del condensatore è nulla in t=0. Si noti

che la corrente nel condensatore è discontinua in t=0. Gli andamenti della tensione e della

corrente nel condensatore sono riportati in figura 28.

0,0

100,0

200,0

300,0

400,0

500,0

600,0

-100 0 100 200 300 400

ic(t)

vc(t)

t[ms]

vc(t)[V]

ic(t)[A]

Figura 28

Esempio

Valutare l'andamento della v(t) nella rete di figura 29 supposta a riposo prima della chiusura

dell'interruttore. La v(t) può essere determinata una volta nota la variabile di stato i2 = i 2(t).

Figura 29

Figura 30 Circuito equivalente del trasformatore.

Figura 31 Circuito equivalente del circuito dinamico illustrato in figura 29.

Il trasformatore non è ad accoppiamento perfetto perché L1L2 < M2. Un possibile circuito

equivalente del trasformatore è rappresentato in figura 30. Le induttanze L' e L" valgono

278

L'=0.5mH, L"=1.5mH e il rapporto di trasformazione vale n=L'/M=0.5. Usando il circuito

equivalente del trasformatore, si ottiene il circuito equivalente dinamico illustrato in figura 31,dove Leq = L + L" = 5.5mH.

Le variabili di stato del circuito equivalente sono la corrente ¢i = ¢i (t) e la corrente i2 = i 2(t).

Nel circuito in esame le variabili di stato sono le due correnti del trasformatore e la corrente

nell'induttore L. In realtà sono solo ¢i = ¢i (t) e i2 = i 2(t) , perché la corrente i2 nell'induttore L è

uguale a quella che circola nella porta “2” del trasformatore e la corrente i1 è legata alla

corrente i2 e alla corrente i© attraverso la relazione algebrica

i1 = 0.5(i©- i 2). (183)

La corrente i2© è uguale a - 2i1, perché il rapporto di trasformazione è uguale a 0.5.

Per potere scrivere le equazioni di stato del circuito equivalente di figura 31, si parta dalle

equazioni caratteristiche dei due induttori; esse sono:

L©di©dt

= v©,

Leqdi2dt

= - v.(184)

Poi bisogna esprimere le tensioni v© e vL in funzione delle variabili di statoi© e i2. Applicando la

seconda legge di Kirchhoff alla maglia comprendente il generatore di tensione, le equazioni

caratteristiche del trasformatore ideale e la prima legge di Kirchhoff al nodo a cui è collegato

l'induttore L', si ha

2v©= v1 = E - R1i1 = E + R1

2i2© = E + R1

2(- i©+i 2) t ≥ 0+. (185)

Invece applicando la seconda legge di Kirchhoff alla maglia comprendente Leq, R2 e L©, si ha:

v = v©+R2i2 = - R1

4i©+(

R1

4+ R2)i 2 +

E2

t ≥ 0+. (186)

Pertanto le equazioni di stato sono per t ≥ 0+

L©di©dt

= - R1

4i©+ R1

4i2 +

E2

,

Leqdi2dt

= R1

4i©- (

R1

4+ R2)i 2 - E

2.

Ï

ÌÔ

ÓÔ

(187)

Il sistema (187) deve essere risolto con le condizioni iniziali

i©(0+ ) = i©(0- ) = 0,

i 2(0+ ) = i 2(0- ) = 0.(188)

Con i valori assegnati, si ottiene dal sistema (187) l'equazione scalare per la corrente i2

279

d2i2dt2

+ 1611

◊103 di2dt

+ 511

◊106i2 = 0 t ≥ 0+. (189)

L'integrale generale dell'equazione (189) è:

i2(t) = k1el 1t + k2el 2t , (190)

dove

l 1 = - 1000, l 2 = - 1022

103 @ -454,5, (191)

sono le frequenze naturali del circuito. Per determinare le costanti di integrazione bisogna

imporre le condizioni iniziali per i2(t) e di2 / dt a t =0+. Il valore iniziale di i2 è nullo; invece il

valore iniziale di di2 / dt è dato dalla seconda equazione del sistema (189), imponendo che

all'istante iniziale sia nulla anche ¢i ,

di2dt t=0+

= - 6000[ A / s]. (192)

Imponendo queste due condizioni si ottiene il sistema di equazioni lineari e algebriche in due

incognite

k1 + k2 = 0,

l 1k1 + l 2k2 = - 6000.(193)

Risolvendo il sistema (193) e sostituendo nell'integrale generale, si ottiene

i2(t) =11(el 1t - el 2t )u(t) , (194)

e quindi

vL (t) = (44el 1t - 20el 2t )u(t) . (195)

In figura 32 sono diagrammati gli andamenti della i2(t) e della v(t).

-4,0

-2,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

0 2 4 6 8 10

t[ms]

v(t)/4[V]

i2(t)[A]

Figura 32

7.6.5 Applicazione: Circuito RC con amplificatore operazionale

280

Si consideri il circuito del secondo ordine con due condensatori e un amplificatore

operazionale illustrato in figura 33a. Si valutino le equazioni di stato e si discutano i tipi di

evoluzione libera che possono presentarsi.

Si assuma che il circuito funzioni in modo tale che la tensione in uscita all'amplificatore

operazionale sia, in valore assoluto, inferiore a quella di saturazione; quindi l'amplificatore

operazionale funziona nella regione lineare della caratteristica. Inoltre si assuma che AÆ•; in

questo limite, se la tensione di uscita deve essere inferiore a quella di saturazione e quindi

limitata, deve essere necessariamente

vd = 0. (196)


Per le correnti in ingresso all'amplificatore deve essere

I+ = I - = 0. (197)

(Questo è il modello dell'amplificatore operazionale ideale).

Per costruire le equazioni di stato, bisogna prima scrivere le equazioni caratteristiche dei due

elementi dinamici; esse sono:

C1dv1

dt= i1,

C2dv2

dt= i 2.

(198)

Ora bisogna esprimere le correnti i1 e i2 nei due condensatori in funzione delle variabili di stato.

Ciò può essere fatto usando il circuito resistivo associato illustrato in figura 33b. Applicando la

prima legge di Kirchhoff si ha (v3 e v4sono le tensioni sui due resistori, scelte con la

convenzione dell'utilizzatore):

i1 = - i 3 - i 4 = - v3

R1

- v4

R2

,

i 2 = - i 4 - I+ = - i 4 = - v4

R2

;(199)

le tensioni v3 e v4valgono (si deve applicare la seconda legge di Kirchhoff)

281

v3 = v1 - v2 + vd = v1 - v2,

v4 = vd + v1 = v1.(200)

Sostituendo le (200) nelle (199), e sostituendo, poi, le correnti i1 e i2 così ottenute nelle (198), si

ottengono le equazioni di stato del circuito:

C1

dv1

dt= - 1

R1

+ 1R2

ÊËÁ

ˆ¯v1 + v2

R1

C2dv2

dt= - v1

R2

Ï

ÌÔÔ

ÓÔÔ

. (201)

La matrice G del doppio bipolo statico lineare visto dai due condensatori vale, in questo caso:

G =

1R1

+ 1R2

- 1R1

1R2

0. (202)

Essa non è simmetrica , perché l'amplificatore operazionale è un elemento non reciproco. Inoltre,

essendo l'amplificatore operazionale attivo, c'è un elemento della diagonale principale che è più

piccolo degli elementi fuori diagonale. Per i circuiti che contengono amplificatori operazionali, in

generale, non vale più la proprietà della reciprocità e la proprietà di non amplificazione.

Il sistema (201) può essere ridotto all'equazione scalare del secondo ordine, nella funzione

incognita v1 = v1(t) ,

d2v1

dt2+ R1 + R2

R1R2

ÊËÁ

ˆ¯

1C1

dv1

dt+ 1

R1R2C1C2

v1 = 0. (203)

Il polinomio caratteristico di questa equazione è:

p(l ) = l 2 + R1 + R2

R1R2

ÊËÁ

ˆ¯

1C1

l + 1R1R2C1C2

. (204)

Siccome i coefficienti del polinomio caratteristico hanno tutti lo stesso segno, i suoi zeri devono

essere necessariamente a parte reale minore di zero. Pertanto, pur essendovi nel circuito un

elemento attivo, il circuito è asintoticamente stabile (prevalgono, per come l'amplificatore

operazionale è collegato, gli effetti dissipativi dei resistori).

Si calcoli, ora, il discriminante D del polinomio (204). Si ottiene:

D = 14C1

2R1R2

(R1 + R2)2

R1R2

- C1

C2

È

ÎÍ

˘

˚˙ . (205)

È evidente che è sempre possibile scegliere i parametri R1, R2, C1 e C2 in modo tale da avere un

discriminante positivo, nullo oppure negativo. Dunque, è possibile con due condensatori e un

amplificatore operazionale avere anche frequenze naturali complesse coniugate (a parte reale

minore di zero). Questo è un risultato molto importante, perché, come abbiamo visto

282

precedentemente, ciò non può mai accadere se gli elementi statici lineari sono solo resistori e

trasformatori ideali. È come se l'amplificatore operazionale, a causa della sua caratteristica non

reciproca, cambiasse la natura di uno dei due condensatori, trasformandolo in un induttore. In

realtà in questo caso non è possibile individuare quale dei due condensatori si comporta da

induttore. Questi tipi di circuiti sono alla base degli oscillatori e dei filtri attivi.

7.7 Circuiti dinamici lineari tempo-invarianti di ordine qualsiasi

A conclusione di questo Capitolo estenderemo i concetti e le proprietà introdotti per i circuiti

dinamici del primo e del secondo ordine lineari e tempo-invarianti ai circuiti di ordine N qualsiasi.

L'equazione per una generica grandezza di stato (ad esempio, la tensione di un condensatore o

la corrente di un induttore ) è del tipo

dNy

dtN+ aN- 1

dN- 1y

dtN- 1 +...+a1dydt

+ a0y = f (t) ; (206)

i coefficienti ai sono reali e costanti e la funzione f=f(t) è una combinazione lineare delle tensioni

dei generatori di tensione e delle correnti dei generatori di corrente e di loro derivate fino

all'ordine (N-1). Essa si ottiene riducendo il sistema di equazioni di stato (14) ad un'unica

equazione in un'unica incognita.

L'integrale generale della (206) è

y(t) = yo(t) + yp(t), (207)

dove yp(t) è una soluzione particolare e yo(t) è l'integrale generale dell'equazione omogenea

(l'equazione che si ottiene ponendo f(t)=0 nella (206)).

Per determinare l'integrale generale dell'equazione omogenea associata bisogna determinare gli

zeri del polinomio caratteristico

p(l ) = l N + aN- 1lN- 1+...+a1l + a0. (208)

Nell'ipotesi che le radici di p(l ) siano tutte distinte (questa ipotesi ha solo lo scopo di semplificare

la notazione), yo(t) assume la forma

yo(t) = Kii =1

N

Â el i ( t - t 0 ) . (209)

Le costanti di integrazione (che possono essere reali o complesse) si determinano imponendo le

condizioni iniziali per la y(t) e per le sue derivate fino all'ordine (N-1) all'istante t = t0. Esse si

ottengono imponendo il valore delle grandezze di stato del circuito all'istante iniziale t = t0,

usando le equazioni di stato (14).

Un circuito di ordine N possiede N frequenze naturali (reali e/o complesse); le frequenze

complesse sono a due a due coniugate perché i coefficienti del polinomio caratteristico sono reali.

Se l i è reale, il termine el i (t - t0 ) è una funzione con andamento esponenziale, decrescente al

283

crescere di t se l i è minore di zero, crescente se invece l i >0. Come caso limite intermedio, al

valore l i =0 corrisponde una costante.

Se invece l i è complesso, cioè esprimibile come

l i = s i + i wi , (210)

con s i e wi reali, la combinazione dei due termini K iel i (t - t0 ) e Ki

*el i* (t - t0 ) dà luogo a un

termine del tipo

Aies i (t - t0 ) cos[wi (t - t0) + J i ] . (211)

La (211) è una funzione oscillante sinusoidale con ampiezza crescente o decrescente a seconda

del segno di s i ; per s i =0 la (211) si riduce a una funzione sinusoidale con pulsazione wi .

Proprietà 14

I circuiti costituiti da soli condensatori (rispettivamente, induttori), resistori lineari e

trasformatori ideali hanno solo frequenze naturali reali, qualunque sia l'ordine.

Questa proprietà è strettamente connessa alla simmetria della matrice delle conduttanze che

caratterizza i circuiti RC e della matrice delle resistenze che caratterizza i circuiti RL (vedi

Appendice D) con resistori lineari e trasformatori ideali. Invece circuiti con induttori e

condensatori possono avere anche frequenze naturali complesse, essendo la matrice ibrida non

simmetrica .

In generale i circuiti dinamici possono essere classificati in “asintoticamente stabili”, “stabili”

e “instabili”.

Un circuito si dice stabile se l'evoluzione libera si mantiene limitata uniformemente rispetto al

tempo, comunque siano i valori iniziali dello stato. Le frequenze naturali si trovano nel semipiano

sinistro del piano complesso (piano di Gauss) e tutto al più sull'asse immaginario; non possono

trovarsi nel semipiano destro. Un circuito si dice instabile se l'evoluzione libera diverge per tÆ•;

almeno una frequenza naturale ha parte reale maggiore di zero e quindi si trova nel semipiano

destro del piano di Gauss. Un circuito si dirà asintoticamente stabile se è stabile e se l'evoluzione

libera tende asintoticamente a zero per tÆ• , indipendentemente dai valori iniziali dello stato; le

frequenze naturali devono avere tutte parte reale minore di zero: non ci sono frequenze naturali

sull'asse immaginario e si trovano tutte nel semipiano sinistro del piano di Gauss.

Proprietà 15

Un circuito in evoluzione libera passivo è stabile e quindi le frequenze naturali non

possono mai trovarsi nel semipiano destro del piano di Gauss.

Questa proprietà può essere dimostrata in questo modo. Si consideri il circuito in evoluzione

libera e si applichi a esso la conservazione delle potenze elettriche. Si ottiene

284

dWdt

= - PR(t) , (212)

dove W=W(t) è l'energia globalmente immagazzinata nel circuito al generico istante t, e vale

W(t) = 12

Civi2(t) + 1

2L ki k

2 (t)k=NC +1

NC +NL

Âi=1

NC

Â , (213)

e PR(t) è la potenza assorbita globalmente dalla parte statica del circuito (la potenza assorbita dai

trasformatori ideali è uguale a zero),

PR(t) = Rhih2(t)

hÂ . (214)

Avendo supposto che tutti i resistori sono passivi, la potenza PR(t) non può essere mai negativa, e

quindi la derivata dell'energia immagazzinata non può mai essere positiva. Di conseguenza si ha

0 £ W(t) £ W(t0) per ogni t≥ t0 , (215)

dove W(t0) è l'energia immagazzinata nel circuito all'istante iniziale t0. Pertanto l'energia

immagazzinata e quindi tutte le grandezze di stato rimangono limitate (perché le capacità e le

induttanze sono positive) e le frequenze naturali non possono trovarsi nel semipiano destro del

piano di Gauss.

Se nel circuito non ci sono elementi dissipativi (la parte statica è costituita da soli corto circuiti,

circuiti aperti e trasformatori ideali), in qualsiasi condizione di funzionamento si ha PR(t)=0. In

questi casi l'energia immagazzinata si mantiene costante: i circuiti di questo tipo sono detti

conservativi.

Se il circuito contenesse, invece, amplificatori operazionali e/o generatori controllati, la potenza

PR(t) potrebbe essere minore di zero, e quindi il circuito potrebbe avere evoluzioni libere

divergenti. Pertanto un circuito con elementi attivi può essere instabile. I circuiti instabili sono

usati negli oscillatori.

Si supponga, ora, che il circuito sia dissipativo. In questo caso l'energia che è in esso

immagazzinata nell'istante iniziale, viene completamente assorbita dai resistori durante l'evoluzione

libera. Pertanto tutte le frequenze naturali devono avere necessariamente parte reale minore di

zero.

Proprietà 16

Se il circuito è dissipativo, tutte le frequenze naturali hanno parte reale minore di

zero, e quindi il circuito è asintoticamente stabile.

Più di una volta abbiamo osservato che la passività dei componenti dinamici e la presenza di

resistori passivi è condizione necessaria ma non sufficiente affinché il circuito sia dissipativo.

Proprietà 17

285

Un circuito costituito da generatori indipendenti e resistori, induttori e condensatori

passivi è dissipativo, se nel circuito in evoluzione libera non esiste né un insieme di

taglio e né una maglia senza almeno un resistore (con resistenza limitata e maggiore

di zero); questa è una condizione riguardante il grafo del circuito ed è sufficiente, ma

non necessaria.

Non dimostreremo questa proprietà. Comunque è utile commentarla considerando dei casi in

cui non è verificata. A tale scopo si considerino i tre circuiti illustrati in figura 35 (i primi due

circuiti sono stati già considerati precedentemente).

Nel circuito illustrato in figura 35a esiste un insieme di taglio di soli condensatori, nel circuito

illustrato in figura 35b esiste una maglia di soli induttori e nel circuito illustrato in figura 35c

esistono insieme di taglio e maglie costituite da soli induttori e condensatori.

Nel circuito illustrato in figura 35a, siccome i due condensatori sono in serie, può verificarsi

che v = v1 + v2 = 0, v1 = V π0 e v2 = - V. In questo caso la potenza PR(t) = v2 / R è uguale a

zero pur essendo diversa da zero l'energia immagazzinata nel circuito. Pertanto si ha

W(t) = (C1 + C2)V2 / 2 = costante, quindi pur essendo il circuito passivo esso non è dissipativo.

Nel circuito illustrato in figura 25b siccome i due induttori sono in parallelo, può verificarsi che

i = i1 + i 2 = 0, i1 = I π0 e i2 = - I dove I=costante. Anche in questo caso la potenza

PR(t) = Ri2 è uguale a zero pur essendo diversa da zero l'energia immagazzinata nel circuito.

Pertanto si ha W(t) = (L1 + L2)I2 / 2 = costante come nel caso precedente.

Infine nel circuito illustrato in figura 35c, se L1C1 = L2C2 =1 / w02, è facile verificare che è

possibile una evoluzione libera con

v = v1 - v2 = 0,

v1(t) = v2(t) = V cos(w0t + J ).(216)

(è come se vi fossero due circuiti LC non interagenti). In questo caso la potenza PR(t) = v2 / R è

uguale a zero pur essendo diversa da zero l'energia immagazzinata nel circuito.

Figura 35 Esempi di circuiti passivi ma non dissipativi.

Osservazione

286

È evidente che, n condensatori in parallelo di capacità C1,C2,...,Cn, equivalgono a un solo

condensatore di capacità equivalente Ceq = Cii =1

nÂ e, dualmente, m induttori in serie di

induttanza L1,L2,...,L m equivalgono a un solo induttore di induttanza Leq = L ii =1

mÂ . In

entrambi i casi, pur avendo più elementi dinamici, abbiamo una sola grandezza di stato.

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