BacM2_teorie Mate 2013

7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013

1/21

NOIUNI TEORETICE PENTRU BACALAUREATFormule de calcul

2222)( bababa ++=+

222 2)( bababa +=))((22 bababa +=

a ))(( 2233 bababab ++=a ))(( 2233 bababab ++=+(a+b) 32233 33 babbaa +++= (a-b) 32233 33 babbaa += a ))(( 121 +++= nnnnn bbaabab

Funcia de gradul IDefiniie:f:R R,f(x)=ax+b,a 0 , a,b R , se numete funcia de gradul IProprieti:Dac a>0 f este strict cresctoare

Dac a 0 ecuaia are rdcini reale i diferite.Dac = 0 ecuaia are rdcini reale i egale.Dac


2/21

0>

x - x1 x 2

f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a0=

x - x21 x=

f(x) semnul lui a 0 semnul lui a00,a 1 se numete funcie exponenial.Proprieti:1)Dac a>1 f strict cresctoare2)Dac a )1,0( f strict descresctoare3)Funcia exponenial este bijectivFuncia logaritmic

Definiie: f:(0,) R, f(x)= log a x , a>0, a 1 se numete funcie logaritmic.Proprieti:1)Dac a >1 f strict cresctoare2)Dac a )1,0( f strict descresctoare3)Funcia logaritmic este bijectiv4)log yxxy aaa loglog += 5)log xmx a

m

a log= ,m R

6)log yxy

xaaa

loglog = 7)a xxa =log

2


3/21

Schimbarea bazei:loga

AA

b

ba

log

log= ,log

ab

b

alog

1=

Progresii aritmeticeDefiniie: Se numete progresie aritmetic un ir de numere realea n n care diferena oricror doi termeni consecutivi este un numr

constant r, numit raia progresiei aritmetice:a 1,1 =+ nrannTermenul general : a rnan )1(1 +=

Prop.:Nr. a,b,c sunt n progresie aritmetic2

cab

+=

Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice: S2

)(1 naa n

n

+=

Progresii geometriceDefiniie : Se numete progresie geometric un ir de numerereale b 0, 1 bn n care raportul oricror doi termeni consecutivi este un

numr constant q, numit raia progresiei geometrice: qb

b

n

n

=+1

,q 0 Termenul general al unei progresii geometrice:b 11

= nn qb

Prop.:Numerelea,b,c sunt n progresie geometric cab = 2

Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice: S1

)1(1

=q

qb n

n

,q 1 sau S dacbnn ,1= q = 1

Formule utile:

1+2+3+2

)1( +=+ nnn

16

)12)(1(2 222 ++=+++

nnnn

1 2333 ]2

)1([2

+=+++

nnn

Modulul numerelor reale Proprieti:

aaxaax 7. 0),,[],( > aaaxax 8.yxyx ++

3


4/21

Combinatoricn!=1 n2 ,n )1!0( =N ,P !nn= ,n N

A)!(

!kn

nkn

= ,0 1,,; nNnknk

C)!(!

!

knk

nkn

= , 0 Nnknk ,;

Proprieti:1. C knnk

n C= ,0 Nnknk ,; 2. C kCC kn

k

n

k

n += 1,

1

11


5/21

Teorem:Vectorii u i v sunt coliniari R a.i. v = u .Punctele A, B, C sunt coliniare R a.i. AB = ACAB CD R a.i. AB = AC

Ecuaiile dreptei n plan

Ecuaia cartezian general a dreptei:ax+by+c=0 (d)Punctul M(x M ,y M ) d a Mx + 0=+ cbyM

Ecuaia dreptei determinat de dou puncte distincte:A( ), AA yx ,B(x ), BB y

AB:1

1

1

BB

AA

yx

yx

yx

=0

Ecuaia dreptei determinat de un punct A(x ), AA y i panta m : y-y )( AA xxm =

Dreptele d1 ,d 2 sunt paralele 21 dd mm =

Dreptele d1 ,d 2 sunt perpendiculare 21 dd mm = -1

Distana dintre punctele A(x ), AA y ,B(x ,B y )B :AB= 22 )()( ABAB yyxx +

Distana de la punctul A(x ), AA y la dreapta h:ax+by+c=0:

d(A,h)=22 ba

cbyax AA

+

++

Punctele A,B,C sunt coliniare 01

1

1

=

CC

BB

AA

yx

yx

yx

Elemente de geometrie i trigonometrieFormule trigonometrice.Proprieti.

sin Rxxx =+ ,1cos 22

5


6/21

-1 Rxx ,1sin -1 Rxx ,1cos sin(x+2k xsin) = , ZkRx , cos(x+2k

= kRxx ,,cos) sin(a+b)=sinacosb+sinbcosacos(a+b)=cosacosb-sinasinb

sin(a-b)=sinacosb-sinbcosb cos(a-b)=cosacosb+sinasinbsin2x=2sinxcosx, cos2x=cos

xx 22 sin

sin xx cos)2

( =

cos xx sin)2

( =

tgx= 0cos,cos

sinx

x

xctgx= 0sin,

sin

cos xx

x

tg(x+k tgx=) ctg(x+k ctgx=)

tg ctgxx = )2

(

ctg tgxx = )2

(

Valori principale ale funciilor trigonometricex 0

6

4

3

2

2

3 2

sinx 0

2

12

2

2

3 1 0 -1 0

cosx 12

3

2

2

2

1 0 -1 0 1

tgx 03

3 1 3 - 0 - 0

ctgx - 3 133 0 - 0 -

Teorema sinusurilor:C

c

B

b

A

a

sinsinsin== =2R,unde R = raza cercului

circumscris tr.Teorema cosinusului:a Abccb cos2222 +=Aria unui triunghi:

A2

hb = A

2

sin AACAB = A ))()(( cpbpapp = ,p=

2

cba ++

A1

1

1

,2

CC

BB

AA

ABC

yx

yx

yx

== A2

21 cccdreptunghi = A

4

32llechilatera =

6


7/21

Matrice

A=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

.....

....................

......

......

21

22221

11211

-matrice cu m linii i n coloane;

nj

miijaA

,1

,1)(

=

=

=

)(, CM nm -reprezint mulimea matricelor cu m linii i n coloane cuelemente din C.

)(, CMA mnt -reprezint transpusa lui A i se obine din A prin

schimbarea liniilor ncoloane(sau a coloanelor n linii).Dac m = n atunci matricea se numete ptratic de ordinul n i areforma

A=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

.....

....................

......

......

21

22221

11211

- )(CMA n

Tr(A)= nnaaa +++ 2211 -reprezint urma matricei ASistemul ordonat de elemente ),,,( 2211 nnaaa se numete diagonalaprincipal a matricei A,iar sistemul ordonat de elemente ),,( 11 nn aa senumete diagonala secundar a matricei A.

7


8/21

nI =

1000

0010

0100

-matricea unitate de ordinul n ; nmO , =

0000

0000

0000

-

matricea nulProprieti ale operaiilor cu matrice.:1)A+B=B+A , )(, , CMBA nm (comutativitate)2)(A+B)+C = A+(B+C) , )(,, , CMCBA nm (asociativitate)3)A+ nmO , = nmO , +A = A , )(, CMA nm

4) )()(),( ,. CMACMA nmnm a.. A+(-A) = (-A)+A= nmO , ,)(, CMA nm

5)(AB)C = A(BC) , )(),(),( ,,, CMCCMBCMA qppnnm (asociativitate)6)a)A(B+C) = AB+AC , )(,),( ,, CMCBCMA pnnm (distributivitateanmulirii fa de adunare)

b)(B+C)A = BA+CA, )(),(, ,, CMACMCB pnnm

7) )(, CMAAAIAI nnn ==

8)a(bA) = (ab)A, )(,, , CMACba nm

9)(a+b)A=aA+bA, )(,, , CMACba nm

10)a(A+B)=aA+aB, )(,, , CMBACa nm

11)aA = 0, =aO nm sau A=

nmO ,

12) ABABAaaABABAAA tttttttttt ==+=+= )(,)(,)(,)(Puterile unei matrice:Fie )(CMA n

Definim ===== NnAAAAAAAAAAAIA nnn ,,,,,,123210

Relaia Hamilton-Cayley: 222

)()( OIbcadAdaA =++ ,unde

=

dc

baA

Determinani.

bcaddc

ba= (determinantul de ordinul doi)

Determinantul de ordinul trei(regula lui Sarrus)

fed

cba

ibdfhaceggbfdhcaei

ihg

fedcba

++=

Propr: det(A BAB detdet) = , A,B )(CMn

8


9/21

Definiie:Fie )()( CMaA nij = .Se numete minor asociat elementuluinjiaij ,1,

determinantul matricei obinute din A prin eliminarea liniei i i acoloanei j.Se noteaz acest minor cu ijM .Numrul ij

ji

ij MA+= )1( se numete complementul algebric al

elementului ija .

Matrice inversabileInversa unei matrice :A )(CMn se numete inversabil dac existo matrice notat A )(1 CMn

a.i. A nIAAA == 11

Teorem:A 0det)( AinversabilCMn

A = AAdet

11 ,Aadjuncta matricei A. A se obine din At nlocuind

fiecare element cu complementul su algebric.Dac A,B )(CMn sunt inversabile,atunci au loc relaiile: a)(A 1 ) 1 = Ab)(AB) 111 = AB

Sisteme de ecuaii liniareForma general a unui sistem de m ecuaii cu n necunoscute:

=+++

=+++

=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

a ij -coeficienii necunoscutelor, x nxx ,,, 21 - necunoscute, b mbb ,,, 21 -termenii liberi

A=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

.....

....................

......

......

21

22221

11211

-matricea sistemului, A =

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

.....

....................

......

......

21

222221

111211

-matricea

extins

9


10/21

B=

mb

b

b

....

2

1

matricea coloan a termenilor liberi,X=

nx

x

x

...

2

1

.matricea

necunoscutelor.AX=B -forma matriceal a sistemuluiDefiniie:- Un sistem se numete incompatibil dac nu are soluie;- Un sistem se numete compatibil dac are cel puin o soluie;- Un sistem se numete compatibil determinat dac are o singursoluie;- Un sistem se numete compatibil nedeterminat dac are mai mult deo soluie.Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:Un sistem de ecuaii liniare este de tip Cramer dac numrul de ecuaiieste egal cu numrul de necunoscute i determinantul matriceisistemului este nenul.Teorema lui Cramer: Dac det A notat 0 , atunci sistemul AX=B

are o soluie unic x i =i ,unde i se obine nlocuind coloana i cu

coloana termenilor liberi.

GrupuriDefiniie:Fie MMM : lege de compozitie pe M.O submultimenevid H a lui M ,se numete parte stabil a lui M n raport cu legea dac HyxHyx , .Proprietile legilor de compoziieFie MMM : lege de compoziie pe M.Legea se numete asociativ dac (x

Mzyxzyxzy = ,,),()

Legea se numete comutativ dac x Myxxyy = ,,Legea admite element neutru dac exista e M a.iMxxxeex == ,.

Definiie:Cuplul (M, ) formeaz un monoid dac are proprietile:1)(x Mzyxzyxzy = ,,),()2) exist e M a.i Mxxxeex == ,.Dac n plus x Myxxyy = ,, atunci monoidul se numetecomutativ.

10


11/21

Notaie:U(M)={x xM/ este simetrizabil}Definiie:Cuplul (G, ) formeaz un grup dac are proprietile:1)(x Gzyxzyxzy = ,,),()2) exist e M a.i Gxxxeex == ,.3) GxGx ', a.i. x exxx == ''

Dac n plus x Gyxxyy = ,, atunci grupul se numete abelian saucomutativ.Definiie:Un grup G se numete finit dac mulimea G este finit igrup infinit ,n caz contrar.Se numete ordinul grupului G ,cardinalul mulimii G(numrul deelemente din G).Ordinul unui elementDefinie:Fie (G, ) un grup i x G .Cel mai mic numr natural nenul ncu proprietatea x en= se numete ordinul elementului x n grupul G.(ordx = n)

SubgrupDefiniie:Fie (G, ) un grup.O submulime nevid H a lui G senumete subgrup al grupului (G, ) dac ndeplinete condiiile:1) HyxHyx , .2) HxHx '

Grupul claselor de resturi modulo n, }1,,2,1{^^^

= nZn

+),( nZ grup abelian

),( nZ -monoid comutativ ,n care }1),.(..../{)(^

== nkcdmmcZkZUnn

Morfisme i izomorfisme de grupuriDefiniie:Fie (G, ) i (G ),' dou grupuri.O funcie f:G 'G senumete morfism de grupuri dac are loc conditia f(

Gyxyfxfyx

=,),()()

Dac n plus f este bijectiv atunci f se numete izomorfism de grupuri.Prop.Fie (G, ) i (G ),' dou grupuri.Dac f:G 'G este morfism degrupuri atunci:1)f(e)=e ' unde e,e ' sunt elementele neutre din cele dou grupuri.2)f(x '' )]([) xf= Gx

Inele i corpuri

11


12/21

Definiie:Un triplet (A, ), , unde A este o multime nevid iar ,, i ,, sunt doulegi de compozitie pe A,este inel dac:

1) (A, )este grup abelian2) (A, )este monoid3)Legea ,,este distributiv fata de legea ,, :

x

(y z)=(x

y) (x

z),(y Azyxxzxyxz = ,,)()()

Inelul (A, ), , este fr divizori ai lui 0,dac (. eyxeyx eelementneutru de la legea ,, )Un inel (A, ), , se numete comutativ dac satisface i axioma: x

Ayxxyy = ,,

Un inel (A, ), , comutativ,cu cel putin 2 elemente i fr divizori ai lui 0, senumete,domeniu de integritate .Definiie :Un inel (K, ), cu e e se numete corp dac KxexKx

',, a.i.

eeexxxx ,('' == fiind elementele neutre )

Un corp (K, ), , se numete comutativ dac satisface i axioma: xKyxxyy = ,,

Obs.:Corpurile nu au divizori ai lui zero.Morfisme i izomorfisme de inele i corpuri.

Definiie :Fie (A, ),(),, ' A dou inele.O funcie f:A 'A se numete morfism deinele dac :1)f( Ayxyfxfyx = ,),()()1)f( Ayxyfxfyx = ,),()()

3)f(e )= e (e , e fiind elementele neutre corespunztoare legilor , )Dac n plus f este bijectiv atunci f se numete izomorfism de inele.Definiie:Fiind date corpurile K, 'K ,orice morfism(izomorfism) de inele de la K la

'K ,se numete morfism(izomorfism)de corpuri.

Inele de polinoameForma algebric a unui polinom:f = 0,011

1 ++++

nn

n

n

n aaxaxaxa ,

Aai un inel comutativ.Definiie:a A se numete rdcin a polinomului f dac f(a)=0.Teorema mpririi cu rest:Fie K un corp comutativ,iar f i g,cu g

polinoame,0 din K[X].Atunci exist polinoamele q i r din K[X] ,unicdeterminate,astfel nct f=gq+r cu gradr


13/21

Teorem:Fie f ][XR ,f 0 .Dac z = a+ib,b 0 este o rdcincomplex a lui f,atunci:1) z= a-ib este de asemenea o rdcin complex a lui f1)z i z au acelai ordin de multiplicitate.Obs. : fzXzX /))((

Polinoame cu coeficieni raionaliTeorem :Fie f ][XQ , f 0 .Dac x 0 ba += este o rdcin a lui

f,unde a,b QbbQ ,0, ,atunci1) bax =0 este de asemenea o rdcin a lui f 2)x 0 , 0x au acelaiordin de multiplicitate.Obs. : fxXxX /))(( 00 Polinoame cu coeficieni ntregi

Teorem :fie f= 0,011

1 ++++

nn

n

n

n aaxaxaxa ;f ][XZ

1)Dac x qpq

p,(0= numere prime ntre ele) este o rdcin raional a

lui f,atuncia)p divide termenul liber a 0b)q divide pe a n2)Dac x p=0 este o rdcin ntreag a lui f,atunci p este un divizor allui a 0 .Polinoame ireductibileDefiniie:Fie K un corp comutativ,f un polinom din K[X] cu gradf>0 senumete reductibil peste K dac exist g,q din K[X] cugradg


14/21

Dac f = +++ ][,012

2

3

3 XCfaxaxaxa

=

=++

=++

3

0321

3

1323121

3

2321

a

axxx

a

axxxxxx

a

axxx

f=a

=

=+++

=+++

=+++

++++

4

04321

4

1432431421321

4

2433121

4

34321

01

2

2

3

3

4

4 ][,

a

axxxx

a

axxxxxxxxxxxx

a

axxxxxx

a

axxxx

XCfaxaxaxax

Ecuaii reciproce

Definiie:O ecuaie de forma 0,011

1 ++++

nn

n

n

n aaxaxaxa pentrucare niaa iin = 0, se numete ecuaie reciproc de gradul n.Orice ecuaie reciproc de grad impar are rdcina -1.Ecuaia reciproc de gradul IV are forma:a 0,234 ++++ aabxcxbxx

Se mparte prin 2x i devine a 0)1

()1

(2

2=++++ c

xxb

xx ;notez x t

x=+

1i

obinem o ecuaie de gradul II.

Limite de functiiTeorem:O funcie are limit ntr-un punct finit de acumulare dac i numai dac arelimite laterale egale n acel punct.

f are limit n x )()( 000 xlxl ds = )0()0( 00 += xfxf

)(lim)(lim0

0

0

0 xfxfxxxx

xxxx

=

14


15/21

Limite uzuale.Limite remarcabile.n

nx

n

n

n

nx

xaaxaxaxa

=++++ lim)(lim 01

1

1

=

=++++

++++

mkb

a

km

mkb

a

bxbxbxb

axaxaxa

mk

m

k

m

k

m

m

m

m

k

k

k

k

x

,)(

,0

,

lim01

1

1

01

1

1

01

lim = xx

01

lim = xx

=

< x

xx

1lim

00

+ =

> x

xx

1lim

00

=

xxlim =

3lim xx

=

3lim xx

( )

>

= 10daca0

1dacalim

,a,

a,

a

x

x

( )

>

= 10daca

1daca0

lim ,a,

a,

a

x

x

( )

>=

10daca

1dacaloglim

,a,-

a,

xa

x

( )

>=

> 10daca

1dacaloglim

00 ,a,

a,

xa

x

x

2arctglim

= xx 2arctglim

=x

x 0lim =

arcctgxx

=

arcctgxx

lim

ex

x

x=

+

11lim e

x

x

x=

+

11lim ( ) ex x

x=+

1

01lim

1sin

lim0

= x

x

x 1lim

0=

x

tgx

x 1

arcsinlim

0=

x

x

x 1

arctglim

0=

x

x

x

( )1

1lnlim

0=

+ x

x

x 1,0ln

1lim

0>=

aa , ax

ax

x

15


16/21

1)(

)(sinlim

0=

xu

xu

x 1

)(

)(tglim

0=

xu

xu

x 1

)(

)(arcsinlim

0=

xu

xu

x

1)(

)(arctglim

0=

xu

xu

x

( )

1)(

)(1ln

lim0 =

+ xu

xu

x 1,0ln)(1

lim

)(

0 >=

aa , axu

a xu

x unde0)(lim

0

=

xuxx

Operaii fr sens: 00 ,0,1,0,,0

0,

Funcii continue

Definiie Fie RDf : i D0 x punct de acumulare pentru D

f este continu n D0 x dac )()(lim 00

xfxfxx

=

Dac f nu este continu n D0 x ,ea se numete discontinu n 0x ,iar 0x se numetepunct de discontinuitate.Teorem: Fie RDf : i D0 x punct de acumulare pentru D f continu n 0x

)()( 00 xlxl ds = = f( )0xTeorem:Funciile elementare sunt continue pe domeniile maxime de definiie.Operaii cu funcii continueTeorem:Fie f,g:D R continue pe D f+g,

),min(),,max(,),0(, gfgffgg

fgf sunt funcii continue pe D.

Compunerea a dou funcii continue este o funcie continu.Teorem: Fie f:[a,b] R o funcie continu a.. f(a)f(b)

)(lim xf

axax sau

=>

)(lim xf

axax .

Definiie : Fie f :E RaR , punct de acumulare pentru E.Se spune c dreapta x = aeste asimptot vertical pentru f dac ea este asimptot vertical att la stnga ct i ladreapta sau numai lateral.2.Asimptote oblice

Teorema : Fie f :E ,R unde E conine un interval de forma(a, )

16


17/21

Dreapta y=mx+n,m 0 este asimptot oblic spre + la graficul lui f dac i numai

dac m,n sunt numere reale finite,unde m= ])([lim,)(

lim mxxfnx

xfxx

=

.Analog la -

.3.Asimptote orizontale

Dac llxfx ,)(lim = numr finit atunci y = l este asimptot orizontal spre + lagraficul lui f.Analog la -Obs :O funcie nu poate admite att asimptot orizontala ct i oblic spre + (- )

Funcii derivabile

Definiie:Fie f:D R ,x D0 punct de acumulare pentru D

Derivata ntr-un punct:f )( 0' x =

0

0 )()(lim0 xx

xfxf

xx

.

f este derivabil n x 0 dac limita precedent exist i este finit.Dac f este derivabil n 0x , graficul funciei are n punctul ))(,( 000 xfxM tangent a

crei pant este )( 0' xf .Ecuaia tangentei este: ))(()( 00

'0 xxxfxfy = .

Teorem:Fie f:DR , x 0 D punct de acumulare pentru D f este derivabil n

punctul de acumulare 0x (finite)R)()( 0'

0

' = xfxf ds

0

0)()(lim

0

0 xx

xfxf

xxxx

= .

Rxx

xfxf

xxxx

0

0 )()(lim

0

0

.

Teorem .Orice funcie derivabil ntr-un punct este continu n acel punct.

Derivatele funciilor elementare

Functia Derivatac 0x 1

*Nnx n , 1nnx

Rrx r, 1rrx

x

x2

1

17


18/21

n xn nxn 1

1

xln

x

1

xe xe

)1,0( > aaax aax lnxsin xcosxcos xsin

xtg

x2cos

1

xctg

x2sin

1

xarcsin21

1

xxarccos

21

1

x

xarctg

21

1

x+xarcctg

21

1

x+

Operaii cu funcii derivabile

Teorem:Fie f,g:D R derivabile pe D f+g ,fg, gf

(g 0 )sunt funcii derivabile peD.Compunerea a dou funcii derivabile este o funcie derivabil.Reguli de derivare

''')( gfgf = ; ''')( gfgfgf += ; '')( ff = ;2

'''

g

gfgf

g

f =

''' )()( uufuf =

Proprietile funciilor derivabile

Definiie:Fie f:DR.Un punct x0 D se numete punct de maxim local(respectiv deminim local)al lui f dac exist o vecintate U a punctului x 0 astfel nct f(x)f(x 0 )

(respectiv f(x)f(x 0 ) ) pentru orice x UD .Dac f(x)f(x 0 )(respectiv f(x)f(x 0 ) ) pentru orice x D atunci x 0 se numetepunct de maxim absolut(respectiv minim absolut)Teorem . ( Fermat) Fie I un interval deschis i x 0 I un punct de extrem al uneifuncii : IR. Dac este derivabil n punctul x 0 atunci (x 0 )=0.

18


19/21

Rolul primei derivate3. Fiefo funcie derivabil pe un interval I.Dac I),0)((0)( '' > xxfxf , atuncifeste strict cresctoare( cresctoare) pe I.Dac I),0)((0)( '' < xxfxf , atuncifeste strict descresctoare(descresctoare) pe

I.Observaie: Cu ajutorul primei derivate se stabilesc intervalele de monotonie ale uneifuncii derivabile i se determin punctele de extrem local.

Rolul derivatei a douaTeorem: Fiefo funcie de dou ori derivabil pe I.

Dac I,0)(" xxf , atuncifeste convex pe I.

Dac I,0)("

xxf , atuncifeste concav pe I.Definiie: Fiefo funcie continu pe Isi I0x punct interior intervalului. Spunem c

0x este punct de inflexiune al graficului funciei dacfeste convex pe o vecintatestnga a lui 0x i concav pe o vecintate dreapta a lui 0x sau invers.Observaie:Cu ajutorul derivatei a doua se stabilesc intervalele de convexitate iconcavitate i se determin punctele de inflexiune.

Noiunea de primitiv

Definiie: Fie I R interval, f : I R. Se numete primitiv a funciei f pe I, oricefuncie F : I Rderivabil pe I cu proprietatea F '(x) = f (x), x I.Teorem.Orice funcie continu f : I R posed primitive pe I.

Tabel de integrale nedefinite

Cn

xdxx

nn +

+=

+

1

1

,n N ,x R

Caxx

a

a ++=+

11

,a 1, aR ,x ),0(

),0(,ln1

+= xCxdxx sau x )0,(

RxaaCa

adxa

xx += ,1,0,ln

19


20/21

),(,0,ln2

1122

axaCax

ax

aax+

+

= sau x ),( aa sau x ),( a

RxaCa

xarctg

adx

ax+=

+,0,

1122

),(,0,arcsin1

22

aaxaCa

xdx

xa+=

RxaCaxxdx

ax+++=

+ ,0,)ln(

1 2222

),(,0,ln1 22

22axaCaxxdx

ax++=

sau x ),( a

+= RxCxxdx ,cossin

+= RxCxxdx ,sincos

0cos,cos

12

+= xCtgxdxx

0sin,sin

12 += xCctgxdxx

Integrala definitTeorem (Formula Leibniz - Newton)

Dac f : [a, b]Reste o funcie integrabil i f admite primitive pe [a, b] atunci pentruorice primitiv F a lui f pe [a, b] are loc formula Leibniz-Newton:

( ) ( ) ( ) ( )b b

aa

f x dx F x F b F a= = .

Proprietile funciilor integrabile.a)(Proprietatea de linearitate)Dac f,g Rba ].[: sunt integrabile i R

1) ( ) +=+b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

2) =b

a

b

a

dxxfdxxf )()(

b)Dac [ ]baxxf ,,0)( i este integrabil pe [ ]ba, , atunci 0d)( b

axxf .

c)Dac )()( xgxf pentru orice [ ]bax , i dacfigsunt integrabile pe [ ]ba, ,atunci

b

a

b

axxgxxf d)(d)(

d)(Proprietatea de aditivitate n raport cu intervalul)

20


21/21

Funcia f : [a, b]Reste integrabil pe [a, b] dac i numai dac, c (a, b) funciile

1 2[ , ] i [ , ]f f a c f f c b= = sunt integrabile i are loc formula:

.d)(d)(d)( =+b

a

b

c

c

axxfxxfxxf

Teorem (Formula de integrare prin pri)Fie f , g : [a, b]Rcu f , g derivabile cu derivatele continue, atunci :

' 'b bb

aa afg dx fg f gdx= .

Aria unui domeniu din plan

1. Aria mulimii din plan DR2 mrginit de dreptelex = a,x = b, y = 0 i graficul

funcieif: [a, b] R pozitiv i continu se calculeaz prin formula: ( ) ( )Ab

aD f x dx= .

2. n cazulf: [a, b] R continu i de semn oarecare, avem: ( ) | ( ) |Ab

aD f x dx= .

Volumul unui corp de rotaie Fief: [a, b]Ro funcie continu, atunci corpul Cf din spaiu obinut prin rotirea graficului luif , Gf, n jurul axei Ox, are volumul calculat

prin formula: .V(C f )= b

a

dxxf )(2

BacM2_teorie Mate 2013

Documents

Transcript of BacM2_teorie Mate 2013