AZIONI MUTUE TRA ELEMENTI DI MACCHINE Possono essere...

Lezione XAttrito statico e cinetico

Corso di Meccanica Applicata alle MacchineA.A. 2000/2001

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AZIONI MUTUE TRA ELEMENTI DI MACCHINE

Possono essere suddivise in due categorie:o azioni scambiate tra solido e solido;o azioni scambiate tra solido e fluido.

La prima categoria può essere divisa in tre sottocasi principali, trascurando ifenomeni di urto:

o superfici che aderiscono tra loro;o superfici che strisciano;o superfici che rotolano.

ADERENZA

Consideriamo il caso che tra i due corpi a contatto non visia moto relativo.

L’esperienza mostra che se applichiamo al corpo unaforza ), anche non perpendicolare al piano, il corpo restafermo finché la componente )W non supera un certovalore )W

�

Possiamo perciò dire che il piano è in grado di esercitareuna reazione R avente una componente 5W di valoremassimo 5W

(uguale a )W ) capace di opporsi all’azione di

)W che tenderebbe a muovere il corpo rispetto al piano diappoggio.

Dalle esperienze di Coulomb, risulta che

*� ��5 I 5=

ove 5Q è la componente normale della reazione;

ID è il coefficiente di aderenza (o attrito statico) dipendente dalla natura edallo stato delle superfici a contatto, indipendente entro ampi limitidall’estensione dell’area di contatto.

Per cui, affinché non vi sia moto relativo tra le superfici deve valere che

� ��5 I 5≤



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STRISCIAMENTO

Se

� ��5 I 5>

il corpo è moto rispetto alla superficie d’appoggio con velocità v e allora vale

( )� �

Y5 I Y 5

Y= −

rr

equidiretta ma in verso opposto a quello della velocità Y.

I�Y� coefficiente di attrito dinamico (o cinetico), dipendente dallo stato e dallanatura delle superfici a contatto, ma non dall’estensione delle aree dicontatto. Normalmente, in prima approssimazione, si trascura la

dipendenza di I�Y� dalla velocità e si assume I FRVW.

L’indipendenza di I dalla velocità è ammissibile entro limiti non troppo ampi divelocità. Dopo una brusca diminuzione passando da velocità nulla (attrito statico) avelocità piccolissime di qualche millimetro al secondo, subisce poi un sensibileaumento al crescere della velocità fino a valori di circa 0,3 m/s. Per velocitàmaggiori, fino a circa 5 m/s, il coefficiente d’attrito rimane costante.Oltre quella velocità il coefficiente di attrito tende a decrescere, diminuzione chediventa notevole a forti velocità.

fa



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( )� �

Y5 I Y 5

Y= −

rr

Tale relazione vale solamente se le superfici a contatto sono piane e Y=costante.Se entrambe tali ipotesi non sono verificate, allora solo la relazione infinitesimale èverificata:

( )��

� � �

��

Y YG5 I Y G5 IG5

Y Y= − ≅ −

r rr

ove G$ è l’area di contatto infinitesima, YG$ è la sua velocità di strisciamento e G5Q èla reazione normale a G$ agente su di essa.

La potenza dissipata vale

( ) ( ) ( )� � �� Y

: 5 Y I Y 5 Y I Y 5 YY

= − × = × =r

r r r

espressa secondo la formulazione:

��

G(: : :

GW− − =



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Rn

Rt

Giustificazione fisica dell’indipendenza di I dall’area di contatto

Una delle teorie più accreditate è quelladella PLFURVDOGDWXUD fra le partieffettivamente a contatto, la cuisuperficie complessiva è unapiccolissima frazione di quella apparentedi contatto.

In seguito alla compressione mutua e alle conseguenti deformazioni plastiche edelastiche, la aree reali di contatto, fra le quali può verificarsi una vera saldatura, siestendono proporzionalmente alla forza che preme i corpi l’uno contro l’altro eindipendente dalla superficie apparente di contatto.

Per far strisciare i corpi l’uno sull’altro si debbonorompere dette saldature e per conseguenza

max� � � �5 $τ=

ma

max

��

5$

σ=

quindi

max

max

� � �5 5 I5τσ

= =



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Esempio: superfici piane a contatto ma convelocità variabile da punto a punto

Consideriamo un perno spingente, ruotante attornoal proprio asse e appoggiato a una superficie pianacontro la quale è premuto da una forza assiale 1

I punti della superficie piana d’appoggio del pernosono ciascuno di una velocità proporzionale alledistanza dall’asse di rotazione e di direzionetangente alla rispettiva traiettoria circolare.

Avremo ovviamente che dall’equilibrio allatraslazione verticale:

� �

� �

1 5 G5 SG$= = =∫ ∫con p = pressione di contatto, funzione solo del raggio r per l’ovvia simmetria polare

ma

0� � � �

� � �

5 G5 IG5 I G5Q I5= = ≠ = =∫ ∫ ∫



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Logoramento o Ipotesi di Reye

Intimamente collegata è il fenomeno del ORJRUDPHQWR ossia dell’usura che si producenelle parti a contatto.

Ipotesi di Reye

,O� YROXPH� GL� PDWHULDOH� DVSRUWDWR� SHU� ORJRUDPHQWR� q� SURSRU]LRQDOH� DO� ODYRUR

FRQVXPDWR�SHU�DWWULWR

Su un elemento G$ della superficie di contatto, sucui agisce la pressione S, si ha una forza normaleSG$ e perciò, durante il moto, una componentetangenziale ISG$, con I�supposto noto e costante.Se Z è la velocità di strisciamento, il lavoroperduto nell’unità di tempo vale:

G/ ISZG$=

Se δ è lo spessore asportato sull’elemento perlogoramento nell’unità di tempo, il volume asportato risulta δG$; per laproporzionalità affermata dal Reye, detto k un coefficiente di usura dipendente daimateriali di cui sono costituiti i due membri e dalle condizioni di lavoro, risulta:

G$ NISZG$δ =

ovvero

NIS Uδ ω=

Nel caso in esame lo spessore di materiale asportato nell’unità di tempo risultacostante e indipendente dalla posizione sulla superficie per cui

NIS Uω =FRVWDQWH 1( )S U

U∴ ∝



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Applicazione: innesto a frizione nella costruzione di veicoli

Esigenze:o i motori a combustione interna non possono avviarsi sotto carico e devono

essere mantenuti, durante l’avviamento di un veicolo, a un regime di coppiasuperiore a un dato valore minimo; inoltre occorre poter fermare il veicolostesso senza fermare il motore;

o esistendo un cambio di velocità, il passaggio da una marcia all’altra va fattomentre la trasmissione non trasmettecoppia.

Tali esigenze sono soddisfatte dagliinnesti a frizione che permettono ditrasmettere una data coppia motricetra due alberi coassiali rotanti avelocità angolari differenti.Utilizzano le forze d’attritodisponibili tra due superfici rotanti(a-a1 e b) rispettivamente solidalicon l’albero motore e con quellocomandato, premute l’una control’altra dallo spingidisco a1.Tale pressione è generalmente datada molle opportunamente precaricateed è necessario che la pressione siatale da poter trasmettere una coppiasuperiore a quella massima.

E’ necessario, d’altronde, cheo l’innesto possa funzionare come giunto di sicurezza evitando che, in caso di

frenatura d’urgenza con motore innestato, si possano trasmettere all’alberomotore decelerazioni troppo grandi;

o la differenza tra la coppia che l’innesto trasmette slittando e la coppia motricenon sia troppo grande per evitare grandi rallentamenti nel motore durante lafase di avviamento del veicolo



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Coppie trasmesse per attrito

Indicato con A2 il precarico datodalle molle avremo che la pressionep agente su una faccia del disco bsolidale con l’albero di trasmissionerisulta essere pari a:

2 2� �

� �

� �

� �$ SG$ SUGUπ= =∫ ∫Ricordando, tuttavia, che ladistribuzione di pressione varia inmodo inversamente proporzionaleal raggio

( )2 2 2�

�

� �

N$ UGU N U U

Uπ π′ ′= = −∫

da cui, noto A2 e le dimensioni deldisco

( )2

2 � �

$N

U Uπ′ =

−

Nel moto relativo tra i dischi, a causa dell’attrito definito dal coefficiente I suppostocostante, si genera quindi un momento opposto alla velocità angolare del motore

( )2 2 22�

��

� � ��

N0 I U GU I N U U

Uπ π′ ′= = −∫

che può essere visto come dovuto a una forza tangenziale risultante fittizia fA2 aventeun braccio equivalente Req tale che

( )2 2 222

�

��

��

N0 I U GU I N U U I$ 5

Uπ π′ ′= = − =∫

( ) ( )( )( )

2 2

2 2 2

� � � � � � � ��

� �

I N U U U U U U U U5

I$ U U

π ′ − − + += = =−

pari al raggio medio del disco

Req



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Applicando allora il bilancio di potenze al sistemacomposto dal motore e dalla campana della frizioneavremo:

( )� � � �� 0 0 -ω ω ω ω ω′− = &

dove 2� � �� 0 0′ = essendo, nel nostro caso, due le facce

che trasmettono il moto al disco della frizione.Poiché tale momento è maggiore della coppia massimaerogata dal motore, quest’ultimo decelera

( )� � ��

0 0

-

ωω ′−=&

e la conseguente legge del moto risulta

( ) ( )0

� � ��

0 0W W

-

ωω ω

′ −= −

dalla quale si nota che se la velocità angolare iniziale del motore è troppo piccola, econseguentemente la coppia erogata, la grande decelerazione può portare il motore aspegnersi.



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Per quanto riguarda il disco della frizione, rigidamentecollegato all’utilizzatore, possiamo applicare a esso ilbilancio di potenze

( )�� 0 0 -ω ω ω ω ω′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− = &

avendo indicato con 0X e -¶, rispettivamente la coppia eil momento d’inerzia del veicolo ridotti all’albero sulquale è calettato il disco della frizione.

N.B. Il momento d’inerzia ridotto deve tener conto solodella massa del veicolo, del momento d’inerzia delleruote e degli organi di trasmissione.

L’accelerazione del disco della frizione sarà quindi

( )� � �

�

0 0

-

ωω

′ ′−′ =′

&

e la conseguente legge del moto del veicolo, supposto inizialmente fermo, sarà

( ) ( )�

0 0W W

-

ωω

′ ′−′ =′

Dopo un tempo t’, detto tempo d’innesto, le due velocità angolari saranno eguali e lafrizione si comporterà come un collegamento rigido e la legge del moto varràovviamente

( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � �

� � �

0 0W W W W

- -

ω ωω ω ω

−′ ′= = +′ +



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Tale legge vale se non vi è slittamento tra disco e campana della frizione ovvero sesono verificate entrambe le equazioni:

( ) ( )max 22� � �� 0 I $ 5 0 -ω ω ω′ = > + &

( ) ( )max 22� � � � � � �0 I $ 5 0 -ω ω ω′ ′= > + &

dove max�0 ′ rappresenta il momento massimo della frizione in condizioni diincipiente slittamento.

Si noti che:o durante il transitorio d’innesto gli organi della trasmissione sono sollecitati da

un momento torcente maggiore della coppia massima erogata dal motore e ciòspiega le possibili rotture in fase di partenza;

o d’altronde l’aumento del momento trasmesso durante la fase di slittamentoriduce il tempo d’innesto a vantaggio delle prestazioni;

o la riduzione di -, facendo il momento d’inerzia della campana e del disco i piùpiccoli possibili, migliora le accelerazioni;

o aumentando il momento trasmesso dalla frizione in fase d’innesto porta a unincremento della potenza dissipata con corrispondente incremento dellatemperatura del materiale d’attrito con conseguente riduzione del coefficiented’attrito dinamico della guarnizione d’attrito.

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