Como, 7 febbraio 2012

La progressione della moltiplicazione

(Classe 3a )

  

La moltiplicazione e l'addizione sono due operazioni essenzialmente diverse, anche se, operativamente, posso sostituire la moltiplicazione con un'addizione iterata (che l’allievo può scoprire per conto proprio, contrariamente al concetto di prodotto).

L'addizione  corrisponde  alla  riunione di due insiemi disgiunti.

La  moltiplicazione  è  la  messa  in relazione  di  ogni  elemento  di  un insieme con ogni elemento di un altro insieme,  essa  è  legata  al  prodotto cartesiano.

712

[1] Osservazione: L'addizione reiterata (somma di addendi uguali) interviene in un secondo tempo. Essa non è in nessun caso suggerita dal docente, ma viene accettata al momento in cui è proposta dagli allievi (ciò avviene sempre, in genere).

- Scoprire uguaglianze e diversità tra addizione e moltiplicazione.1

Se aggiungo un elemento ad un insieme, risultato (nell'addizione) e prodotto (nella moltiplicazione) come cambiano?Se inverto i termini dell'operazione, cosa succede? (commutatività)

OBIETTIVIOBIETTIVI(Apprendimento  della moltiplicazione dalla 2a alla 4a elementare)

- Capire il concetto di moltiplicazione come prodotto di una combinatoria in cui ogni elemento di un insieme è messo in relazione con i singoli elementi di un altro insieme.

- Introdurre l'operatore x simultaneamente alla duplice scrittura: 3 x 4 = 3

. x 4

- Istituzionalizzare il termine prodotto.

OBIETTIVIOBIETTIVI(Apprendimento  della moltiplicazione dalla 2a alla 4a elementare)

[1] E' consigliabile costruire prima la tavola soltanto con i primi 5 numeri in modo che si ha un numero inferiori di dati sui quali fare le prime scoperte (non viene quindi insegnata prima la casellina del 2, poi del 3 ecc…. . Si inizierà con le caselline “facili” per passare poi a quelle “difficili”)

- Costruire e capire cosa sia una tavola a doppia entrata attraverso l'uso di varie rappresentazioni grafiche.

- Costruire la tavola pitagorica e analizzare le sue particolarità (coppie di prodotti, simmetria).1

- Apprendimento delle caselline (automatismo).

- Costruzione di algoritmi spontanei per la risoluzione di moltiplicazioni scritte.

- Primi accenni al concetto di area (Si tratta di aspetti impliciti nelle azioni precedenti che si ricollegano con quanto affrontato in geometria). Quando ho trovato la forma della "coperta rettangolare" e ho determinato lunghezza e larghezza, non posso calcolare la somma, ma devo trovare il prodotto. (Basandoci sulle "griglie" costruite possiamo inoltre associare i concetti di verticale e orizzontale.)

IL GIOCO DELLE COMBINAZIONIIL GIOCO DELLE COMBINAZIONI

Accidenti! Che disordine! Prova a metterli in ordine per tipo

Adesso per colore Ora per colore e per tipo

IL GIOCO DELLE COMBINAZIONIIL GIOCO DELLE COMBINAZIONI

IL GIOCO DELLE COMBINAZIONIIL GIOCO DELLE COMBINAZIONI

Per tipo

Adesso proviamo con 4 colori e 6 oggetti

Per colore

… … E adesso per tipo e coloreE adesso per tipo e colore

ISTITUZIONALIZZAZIONEISTITUZIONALIZZAZIONE

Questa è larappresentazione che

noi usiamo

IL GIOCOIL GIOCO DELL’ANTICIPAZIONEDELL’ANTICIPAZIONEProva tu adesso ad anticipare la soluzione

5 MEZZI DI TRASPORTO, 8 COLORI

SOLUZIONE: ....................................

5 OGGETTI, 3 COLORI

SOLUZIONE: ....................................

..... ADESSO CON 7 OGGETTI

SOLUZIONE: ....................................

PROVIAMO CON I NUMERIPROVIAMO CON I NUMERI

COSTRUISCI TUTTE LE CASELLINE CHE TI VENGONO IN MENTE

La costruzione delle CASELLINELa costruzione delle CASELLINE

Combina in tutti i modi possibili 1,2,3,4,5 ... fino a 25

La costruzione delle CASELLINELa costruzione delle CASELLINE

IL GIOCO DELLE CASELLINEIL GIOCO DELLE CASELLINESovrapponi le tabelle scoperte fino al  2525

1 2 3 4 5

2 4 6 8 10

3 6 9 12 15

4 8 12 16 20

5 10 15 20 25

Mescolare tre giochi e poi rimettere assieme in modo ordinato

CASELLINE FACILICASELLINE FACILI

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 6 9 12 15 30

4 8 12 16 20 40

5 10 15 20 25 50

6 12 60

7 14 70

8 16 80

9 18 90

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

CASELLINE DIFFICILICASELLINE DIFFICILI

18 21 24 27

24 28 32 36

30 35 40 45

18 24 30 36 42 48 54

21 28 35 42 49 56 63

24 32 40 48 56 64 72

27 36 45 54 63 72 81

Memorizzazione delle caselline Memorizzazione delle caselline (automatismi)(automatismi)

Il gioco delle carte colorate

Preparare tante carte come questa

Prova a vedere, quanti sono?Prova a vedere, quanti sono?

Scrivi il risultato nell’ultima casellina

… … Quanto sei bravo?Quanto sei bravo?

6

4

Scrivi il risultato nella casellina rossa

… … Infine solo con i numeriInfine solo con i numeriDue modi di rappresentare

4 X6 =

4 X 6 =

1.Abbandono della rappresentazione grafica2.Si  mantiene  il  quadratino  (per  marcare  il  collegamento  con  le precedenti attività)3.Inevitabilmente  questo  percorso  sarà  compiuto  dai  bambini  in tempi diversi.4.Va  seguito  il  percorso  senza  interruzione  per  permettere  al bambino di collegare meglio le diverse esperienze. Il lavoro fatto la settimana prima deve quindi essere rievocato.

La moltiplicazioneLa moltiplicazione

E’ essenziale che gli allievi (soprattutto

quelli meno esperti) possano associare una rappresentazione grafica (es. tavola a

doppia entrata) o una scrittura simbolica a un’azione direttamente vissuta.

Prima di imporre una scrittura convenzionale (es. 5x4) il bambino dovrebbe essere posto nella condizione di trovarne, inventarne una propria (es. algoritmi spontanei).

Affinché ciò sia possibile, egli deve incontrare l’ostacolo (il concetto) all’interno di una situazione.

La moltiplicazioneLa moltiplicazione

ObiettivoObiettivo

Con quali numeri (entro il 100) posso costruire delle "forme"?

Con quali numeri (entro il 100) posso costruire delle "forme"?

7

(3x2)+1 6 +1

14

20

31

11 11

11

La moltiplicazioneLa moltiplicazioneEsempioEsempio

1. Situazione introduttivaAbbiamo tanti pezzi di lana, di forma quadrata e desideriamo formare, cucire, delle coperte (rettangolari).Consegna:Dovremo avere tre tipi di coperte: - larghe   4  (per i letti dei bambini), - larghe   7  (per letti a una piazza), - larghe   9  (per letti “francesi”) ,- larghe 12  (per i letti a due piazze).La lunghezza può variare, guardate un po’ voi (pensate alle misure dei letti). Cercate la varie soluzioni possibili e calcolate quanti quadrati sono necessari per ogni modello.2. Situazioni di sviluppo- Con 94 pezze che possibilità ho di ... avendo minor spreco ...- Sono state ordinate 5 coperte del modello “bambini” e 7 del modello “francese” , ....- ecc...3. Situazioni “astratte”- Con quali numeri (numero di pezze) posso formare delle coperte a una piazza senza nessun spreco ? 

Sviluppi ulteriori (in 4a) Sviluppi ulteriori (in 4a) (Apprendimento  della moltiplicazione)(Apprendimento  della moltiplicazione)

- Addizione e moltiplicazione nella scomposizione di quantità numeriche:

14

4x3 + 2

3x2 + 6x4 + 3 = 33 oppure 3x6 + 3x4 + 3

L'associazione delle due operazioni è quanto è già stato probabilmente messo in atto dagli allievi durante l'invenzione di alcuni algoritmi spontanei. In ogni caso le due operazioni saranno coinvolte al momento dell'apprendimento dell'algoritmo tradizionale.

Sviluppi ulteriori (in 4a) Sviluppi ulteriori (in 4a) (Apprendimento  della moltiplicazione)(Apprendimento  della moltiplicazione)

- Attività con le grandi collezioni:

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

14 x 15

10x16 + ......

Inversamente:"Trovate il numero corrispondente a 46 x 25" ecc.....

Sviluppi ulteriori (in 4a) Sviluppi ulteriori (in 4a) (Apprendimento  della moltiplicazione)(Apprendimento  della moltiplicazione)

- Attività di approssimazione (controllo) sulla base dei prodotti conosciuti.

- "Dall'algoritmo spontaneo all'algoritmo tradizionale."Apprendimento della tecnica tradizionale sulla base delle conoscenze sviluppato durante tutte le attività precedenti. (Non avere fretta di arrivare alla moltiplicazione tradizionale!)

- Calcolo delle superfici:

-    Attività di  scoperta  su  altri  algoritmi  possibili  (in particolare quello mussulmano).

835 x 43=35.905

“Di algoritmi convenzionali ce ne sono e ce ne sono stati diversi, a dipendenza delle culture e dei paesi. Ecco quello chiamato “musulmano”.(Portiamo  gli  allievi  ad  approfondire  il  senso  dell’algoritmo  da  un  lato  e  dall’altro proponiamo una interessante attività di ricerca-scoperta.“Ora, dopo aver prima eseguito la moltiplicazione come la svolgiamo noi, guardate quest’altro modo e cercate di capire se funziona e come funziona. Mettetevi a coppie.”

ALGORITMO CONVENZIONALE MUSULMANO(Soltanto in 4a-5a!)

8 3 5

33

21

22

04

52

40

91

53

9 0 5